2011中考模拟分类汇编31解直角三角形的应用 28页

解直角三角形的应用 一、选择题 A组 ‎1. （2011年北京四中中考全真模拟15）从小明家到学校有两条路。一条沿北偏东45度方向可直达学校前门，另一条从小明家一直往东，到商店处向正北走‎200米，到学校后门。若两条路的路程相等，学校南北走向。学校的后门在小明家北偏东67.5度处。学校从前门到后门的距离是（ ）米.‎ ‎ ‎ ‎ A‎.200‎米;B‎.200‎米;C‎.200‎米;D‎.200米 答案：B ‎2.（2011.河北廊坊安次区一模）如图4，市政府准备修建一座高AB＝‎6m的过街天桥，已知天 桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的余弦值为，则坡面AC的长度为 第2题图 A． m B．‎10 m C． m D． m 答案:B ‎ ‎ ‎3. (2011浙江省杭州市10模)如图，小亮同学在晚上由路灯A走向路灯B，当他走到点P时，发现他的身影顶部正好接触路灯B的底部，这时他离路灯A ‎25米，离路灯B ‎5米，如果小亮的身高为‎1.6米，那么路灯高度为 ( ▲ )‎ A．‎6.4米 B． ‎8米 C．‎9.6米 D． ‎‎11.2米 答案:C ‎（第3题）‎ ‎4. (浙江省杭州市瓜沥镇初级中学2011年中考数学模拟试卷)‎ 如图所示，平地上一棵树高为‎6米，两次观察地面上的影子，第一次是当阳光与地面成60°时，第二次是阳光与地面成30°时，第二次观察到的影子比第一次长…………………( )‎ A. B. C. D. ‎ 答案：B ‎5．(河北省中考模拟试卷)石家庄市在“三年大变样”城中村改造建设中，计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要……（　　）‎ A．‎450a元 B．‎225a元 C．‎150a元 D．‎300a元 ‎150°‎ ‎20m ‎30m 第5题 答案：C B组 ‎1．（2011杭州上城区一模）Rt△ABC中，∠C=90°，、、分别是∠A、∠B、∠C的对 ‎ 边，那么等于（ ）‎ A. B. ‎ ‎ C. D.‎ 答案：B ‎2．（2011浙江杭州义蓬一中一模）如图，小明发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=‎8米，BC=‎20米，CD与地面成30º角，且此时测得‎1米杆的影长为‎2米，则电线杆的高度为( ) ‎ A．‎14米 B．‎28米 C．米 D．米 答案：D ‎3.（安徽芜湖2011模拟）小明沿着坡度为1:2的山坡向上走了‎1000m，则他升高了 （ ）‎ A．‎500m B．m C．m D．‎‎1000m 答案: B ‎4.（浙江杭州进化2011一模）如图折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在斜边AB上的点E处. 已知AB=, ∠B=30°, 则DE的长是( ).‎ A. 6 B. ‎4 C. D. 2‎ 答案: B ‎5、（2011年北京四中34模）如图，矩形ABCD中，AB>AD，AB=a，过点A作射线AM，使得∠DAM=60°，DE⊥AM与E，DF⊥AM与F，则DE+CF的值是（用含a的代数式表示，）（ ）‎ A．a B． C． D． ‎ 答案：D ‎6．（2011年浙江省杭州市模2）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE=2，则tan∠DBE的值是（　　）‎ A． B．2 ‎ C． D．‎ 答案：B 二、填空题 A组 ‎1、（2011年北京四中模拟28）‎ 如图，一人乘雪橇沿坡比1∶的斜坡笔直滑下‎72米，那么他下降的高度为 __米．‎ 答案：36‎ ‎（第1题）‎ ‎2. （2011浙江杭州模拟7）如图为护城河改造前后河床的横断面示意图，将河床原竖直迎水面BC改建为坡度1：0．5的迎水坡AB，已知AB=‎4‎米，则河床 面的宽减少了_______ 米．(即求AC的长) ‎ A C B ‎0．5‎ = i ‎1：‎ ‎（第2题图）‎ 答案:4‎ ‎（第3题）‎ A时 B时 ‎3. (2011浙江省杭州市8模)如图，小明在A时测得某树的影长为‎3米，B时又测得该树的影长为‎12米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_____米.‎ 答案:6‎ ‎4．(2011年宁夏银川)为了测量水塔的高度，取一根竹杆放在阳光下，已知‎2米长的竹杆投影长为‎1.5米，在同一时刻测得水塔的投影长为‎30米，则水塔高为_________米.‎ 答案：40‎ B组 ‎1.（2011灌南县新集中学一模）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝20，cosB＝，则BC等于 .‎ 答案：5‎ ‎2.（2011灌南县新集中学一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，CB＝6，在斜边AB上取一点M，使MB＝CB，过M作MN⊥AB交AC于N，则MN＝ .‎ ‎（第2题图）‎ 答案： 3 ‎ ‎3. （河南新乡2011模拟）如图，甲、乙两楼相距‎20米，甲楼高‎20米，小明站在距甲楼‎10米的处目测得点 与甲、乙楼顶刚好在同一直线上，若小明的身高忽略不计，则乙楼的高度是 米．‎ 答案：‎60米　‎ ‎30º A B C ‎2m ‎4、（北京四中2011中考模拟13）如图，沿倾斜角为30º的山坡植树，‎ 要求相邻两棵树间的水平距离AC为，那么相邻两棵树的斜坡距离 AB约为_________;‎ ‎(结果精确到‎0.1m，可能用到的数据：).‎ 答案：约为 ‎5.（北京四中2011中考模拟14）如图:为了测量河对岸旗杆AB的高度,在 点C处测得顶端A的仰角为30°,沿CB方向前进‎20m达到D处,在D点测得 旗杆顶端A的仰角为45°,则旗杆AB的高度为__________m.(精确到‎0.1m)‎ 答案：27.3‎ ‎6. （2011深圳市模四） 如图所示，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时测得大树在地面上的影子约为‎10米，则大树的高约为________米．（保留根号）‎ 第6题图 答案：‎ ‎7、（2011年北京四中33模）如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD，BC//AD，迎水坡AB长‎10m，且，则河堤的高BE为 m。‎ 答案：8‎ 三、解答题 A组 ‎1．（2011年黄冈中考调研六）池塘中竖着一块碑，在高于水面‎1米的地方观测，测得碑顶的仰角为，测得碑顶在水中倒影的俯角为 ‎（研究问题时可把碑顶及其在水中的倒影所在的直线与水平线垂直），求水面到碑顶的高度（精确到‎0.01米，）.‎ 解：如图，DE表示水面，A表示观测点，‎ B为碑顶，在水中的倒影，由题意：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 设,则 ‎ 在Rt△ABC中， ‎ 在Rt△AC中， ‎ 由、得 ‎ ‎ ‎ 米 ‎ 答：水面到碑顶的高度‎4.41米.‎ ‎2. （2011年江苏盐都中考模拟）（本题10分）青海玉树地震发生后，一支专业搜救队驱车前往灾区救援．如图，汽车在一条南北走向的公路上向北行驶，当在A处时，车载GPS（全球卫星定位系统）显示村庄C在北偏西26°方向，汽车以‎35km/h的速度前行2h到达B处，GPS显示村庄C在北偏西52°方向．‎ ‎（1）求B处到村庄C的距离；‎ ‎（2）求村庄C到该公路的距离．（结果精确到‎0.1km）‎ ‎（参考数据：，，‎ ‎，）‎ 解：过作，交于．‎ ‎（1），，，，即处到村庄的距离为‎70km．（4分）‎ ‎（2）在中， ‎ ‎（5分）． ‎ 即村庄到该公路的距离约为‎55.2km．（1分）‎ ‎3、（2011年北京四中中考模拟18）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．如图，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米／时的速度沿北偏东30°方向往C移动，且台风中心风力不变．若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响．‎ 图7‎ ‎（1）该城市是否会受到这次台风的影响?请说明理由．‎ ‎（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长?‎ ‎（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级?‎ 解：（1）如图，由点A作AD⊥BC，垂足为D．∵AB＝220，∠B＝30°∴AD＝110（千米）．由题意，当A点距台风中心不超过‎160千米时，将会受到台风的影响．故该城市会受到这次台风的影响．‎ ‎（2）由题意，当A点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影响．则AE＝AF＝160．当台风中心从E处移到F处时，该城市都会受到这次台风的影响．由勾股定理得：．∴EF＝60（千米）．∵该台风中心以15千米／时的速度移动．∴这次台风影响该城市的持续时间为（小时）．‎ ‎（3）当台风中心位于D处时，A市所受这次台风的风力最大，其最大风力为12－＝6.5（级）．‎ ‎4.（2011年浙江省杭州市模拟23）‎ ‎ 为打击索马里海盗，保护各国商船的顺利通行，我海军某部奉命前往该海域执行护航任务．某天我护航舰正在某小岛北偏西并距该岛海里的处待命．位于该岛正西方向处的某外国商船遭到海盗袭击，船长发现在其北偏东的方向有我军护航舰（如图9所示），便发出紧急求救信号．我护航舰接警后，立即沿 航线以每小时60海里的速度前去救援．问我护航舰需多少分钟可以到达该商船所在的位置处？（结果精确到个位．参考数据：）‎ C A B ‎60°‎ ‎45°‎ 北 北 答案：解：由图可知， 2分 ‎ 作于（如图），‎ C A B ‎60°‎ ‎45°‎ 北 北 D ‎ 在中，‎ ‎ ∴ 4分 ‎ 在中，‎ ‎ ∴ 6分 ‎ ∴8分 ‎ ∴（分钟）9分 答：我护航舰约需28分钟就可到达该商船所在的位置10分 ‎5、(2011年浙江省杭州市中考数学模拟22（原创）‎ ‎（第5题）‎ ‎ 如图,装修师傅装修一间房子，在两墙之间有一架底端在M点的梯子,当它靠在一侧墙上时,梯子的顶端在A点；当它靠在另一侧墙上时梯子的顶端在D点.已知，，且点A到地面的垂直距离为‎4米，试求D点到地面垂直的距离．(结果保留三个有效数字。) ‎ 答案：18、（本小题满分6分）‎ ‎ 2分 ‎ 2分 ‎6、（2011年北京四中模拟26）‎ 如图，已知灯塔A的周围‎7海里的范围内有暗礁，一艘渔轮在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向，向正东航行‎8海里到C处后，又测得该灯塔在北偏东30°方向，渔轮不改变航向，继续向东航行，有没有触礁危险？请通过计算说明理由（参考数据1.732）。‎ 答案：作AD⊥BC交BC延长线于D，设AD=，在Rt△ACD中，‎ ‎∠CAD=30° ∴CD=。在Rt△ABD中，∠ABD=30°‎ ‎∴BD= ∵BC=8 ‎ ‎∴有触礁危险。 ‎ ‎7、（北京四中模拟）‎ 李攀家居住在某居民小区，在距他房前‎24米的地方有一幢26层的电梯公寓，刘卉家就住在这幢公寓里，刘卉的奶奶每天上午都能在她家的阳台上晒到太阳。已知太阳光与水平线的夹角为32°，李攀家所住的楼高‎40米，电梯公寓每层高‎2.5米，问刘卉家住的楼层至少是几楼？‎ ‎（计算结果保留整数，参考数据）‎ 解：过E作EF⊥AB于F ∵AB⊥BC，DC⊥BC ∴四边形BCEF是矩形，‎ ‎ EF=BC=24，∠AEF=32°∵tan∠AEF= ∴AF=EF tan∠AEF=24×=15‎ ‎∴EC=BF=40-15=25，25÷25=10，故刘卉家住的楼层至少是10层。‎ F E O D C B A 第8题图 ‎8.(2011湖北省天门市一模)安装在屋顶的太阳能热水器的横截面示意图如图所示.已知集热管AE与支架BF所在直线相交与水箱横截面⊙O的圆心O,⊙O的半径为‎0.2m,AO与屋面AB的夹角为32°，与铅垂线OD的夹角为40°，BF⊥AB于B，OD⊥AD于D，AB＝‎2m,求屋面AB的坡度和支架BF的长.‎ ‎(参考数据：)‎ ‎∵OD⊥AD ‎ ∴∠AOD+∠OAC+∠CAD=90°‎ ‎ ∵∠OAC=32°，∠AOD=40°‎ ‎ ∴∠CAD=18°‎ ‎ ∴i==tan18°=1：3 ‎ F E O D C B A ‎ 在Rt△OAB中，=tan32°‎ ‎ ∴OB=AB·tan32°=2×=1.24‎ ‎ ∴BF=OB-OF=1.24-0.2=1.04(m) ‎ ‎ （第9题图）‎ ‎9.（2011浙江杭州模拟7）如图：把一张给定大小的矩形卡片ABCD放在宽度为‎10mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知α＝25°,求长方形卡片的周长。（精确到‎1mm，参考数据： sin25°≈0，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5）.‎ 答案: 解：作AF⊥l4，交l2于E，交l4于F ‎ 则△ABE和△AFD均为直角三角形 ‎ 在Rt△ABE中，∠ABE＝∠α＝25°‎ sin∠ABE＝ ‎ ‎∴AB＝＝50 ‎ ‎∵∠FAD＝90°－∠BAE，∠α＝90°－∠BAE ‎∴∠FAD＝∠α＝25° ‎ 在Rt△AFD中，cos∠FAD＝ ‎ AD＝≈44.4‎ ‎∴长方形卡片ABCD的周长为（44.4＋50）×2＝190（mm） ‎ ‎10．（2011年江苏连云港）（本小题满分8分）‎ 如图，大楼的高为‎16米，远处有一塔，小李在楼底处测得塔顶处的仰角为，在楼顶处测得塔顶处的仰角为．其中两点分别位于两点正下方，且两点在同一水平线上，求塔的高度．‎ 解：作于，‎ 可得和矩形，‎ 则有，… …… …… ……… ……… … （2分）‎ 在中，… …… …… ……（4分）‎ 在中，，… …… ……（5分）‎ ‎，解得：… …… ……（7分）‎ 所以塔的高度为米．… …… …… 8分 ‎11 （2011年江苏盐城）如图，跷跷板AB的一端B碰到地面时，AB与地面的夹角为15°，且OA＝OB＝‎3m．‎ ‎(1)求此时另一端A离地面的距离(精确到‎0.1m)；‎ ‎(2)跷动AB，使端点A碰到地面，请画出点A运动的路线(不写画法，保留画图痕迹)并求出点A运动的路线长．‎ ‎15° A O B ‎(参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27)‎ 答案．(1)A点离地面的距离约为‎1.6m …4′ (2)画图略 …7′ 点A运动的路线长为．…10′‎ ‎12、(2011浙江杭州模拟15)如图，“五一”节，小明和同学一起到游乐场游玩，游乐场的大型摩天轮的半径为‎20m，旋转1周需要24min（匀速）。小明乘坐最底部的车厢按逆时针方向旋转（离地面约‎1m）开始1周的观光。‎ ‎（1）2min后小明离地面的高度是多少？‎ ‎（2）摩天轮启动多长时间后，小明离地面的高度到达‎11m？‎ ‎(3)在旋转一周的过程中，.小明将有多长时间连续保持在离地面‎31m以上的空中?‎ ‎13、(2011浙江杭州模拟16)‎2011年3月11日13时46分日本发生了9.0级大地震，伴随着就是海啸。山坡上有一棵与水平面垂直的大树，海啸过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示）．‎ 已知山坡的坡角∠AEF=23°，量得树干的倾斜角为 ‎∠BAC=38°,大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC=60°,AD=‎4m。‎ ‎（1）求∠DAC的度数；‎ 第13题 ‎（2）求这棵大树折点C到坡面AE的距离？‎ ‎（结果精确到个位，参考数据：，，）．‎ ‎14、（8分）(2011山西阳泉盂县月考)如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°，已知原传送带AB长为‎4米。‎ ‎（1）求新传送带AC的长度；‎ ‎（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出‎2米的通道，试判断距离B点‎4米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由。（说明：（1）（2）的计算结果精确到‎0.1米，参考数据：≈1.14，≈1.73，≈2.24，≈2.45）‎ ‎15．（2011年浙江仙居）（10分）如图，李明同学在东西方向的滨海路A处，测得海中灯塔P在北偏东60°方向上，他向东走‎400米至B处，测得灯塔P在北偏东30°方向上，求灯塔P到滨海路的距离．（结果保留根号）‎ 解：过点P作PC⊥AB，垂足为C. ………………………………………………1分 由题意, 得∠PAB＝30°，∠PBC＝60°.‎ ‎∵ ∠PBC是△APB的一个外角，∴ ∠APB＝∠PBC-∠PAB=30O. …………………3分 ‎∴ ∠PAB＝∠APB. ………………………………………………………4分 P A B C ‎30°‎ ‎60°‎ 北 东 故 AB=PB=‎400米． …………………………6分 在Rt△PBC中，∠PCB＝90°，∠PBC＝60°，PB=400，‎ ‎∴ PC=PB …………………………8分 ‎=400×=（米）.…………………10分 C B A 北 东 ‎16．(河北省中考模拟试卷)（本小题满分9分）在一次数学活动课上，老师带领学生测一条南北流向的河宽，如图所示，某学生在河东岸点A处观测到河对岸水边有一点C，测得C在A北偏西31°的方向上，沿河岸向北前行‎20米到达B处，测得C在B北偏西45°的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度．（参考数值：）‎ 答案：解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，设CD=x米，在Rt△BCD 中，∠CBD=45°，∴BD=CD=x米．在Rt△ACD中，∠DAC=31°，‎ AD=AB+BD=（20+x）米，CD=x米，∵，‎ ‎∴∴x＝30．答：这条河的宽度为‎30米．‎ ‎17．(2011年江苏省东台市联考试卷）(本题满分10分)‎ 一游客从某塔顶Ａ望地面C、D两点的俯角分别为、，若C、D与塔底B在一条直线上，CD＝‎200米，求塔高AB 答案： ⑴CD在AB同侧AB=;⑵CD在AB异侧AB=‎ ‎18. (浙江省杭州市党山镇中2011年中考数学模拟试卷)(本小题满分6分)‎ 在一次数学活动课上，某校初三数学老师带领学生去测河宽，如图13所示，某学生在河东岸点处观测到河对岸水边有一点，测得在北偏西的方向上，沿河岸向北前行‎20米到达处，测得在北偏西的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度．（参考数值：tan31°≈，sin31°≈） ‎ 答案：解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，设CD=，在Rt△BCD中，∠CBD=45°‎ ‎∴BD=CD=米.…………………………………………………………………………………1分 在Rt△ACD中，∠DAC=31°，AD=AB+BD=(20+)米，CD=米.…………………………3分 ‎∵∠DAC=‎ ‎∴…………………………………………………………………………………5分 ‎∴………………………………………………………………………………………6分 所以这条河宽度约为‎30米 B组 ‎1．（2011 天一实验学校 二模）安装在屋顶的太阳能热水器的横截面示意图如图所示.已知集热管AE与支架BF所在直线相交于水箱横截面⊙O的圆心O,⊙O的半径为‎0.2m ，AO与屋面AB的夹角为32°，与铅垂线OD的夹角为40°，BF⊥AB于B，OD⊥AD于D，AB＝‎2m,求屋面AB的坡度和支架BF的长.(参考数据：)‎ F E O D C B A ‎（第1题图）‎ 答案： ‎ 解：∵OD⊥AD ‎ ∴∠AOD+∠OAC+∠CAD=90°‎ ‎ ∵∠OAC=32°，∠AOD=40°‎ ‎ ∴∠CAD=18°‎ ‎ ∴i==tan18°=1：3 ‎ ‎ 在Rt△OAB中，=tan32°‎ ‎ ∴OB=AB·tan32°=2×=1.24 ‎ ‎ ∴BF=OB-OF=1.24-0.2=1.04(m) ‎ ‎2 （2011浙江慈吉 模拟）在数学活动课上，九年级（1）班数学兴趣小组的同学们测量校园内一棵大树的高度，设计的方案及测量数据如下：‎ ‎(1)在大树前的平地上选择一点，测得由点A看大树顶端的仰角为35°；‎ ‎(2)在点和大树之间选择一点（、、在同一直线上），测得由点 看大树顶端的仰角恰好为45°；‎ ‎(3)量出、两点间的距离为‎4.5米.‎ 请你根据以上数据求出大树的高度.(结果保留3个有效数字)‎ 答案：∠CDB=90°, ∠CBD=45°‎ ‎ CD=BD ‎ ‎ AB=4.5‎ ‎ AD=BD+4.5 ‎ ‎ 设高CD=‎ ‎ 则BD=，AD=+4.5‎ ‎ ∠CAD=35°‎ ‎ tan∠CAD=tan35°= ‎ 整理后得≈10.5‎ ‎ 故大树CD的高约为‎10.5米 ‎ ‎3．（2011年三门峡实验中学3月模拟）如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋大楼顶部B的俯角为30°，看这栋大楼底部C的俯角为60°，热气球A的高度为‎240米，求这栋大楼的高度．‎ 答案：‎ 解：过点A作直线BC的垂线，垂足为D. ‎ 则∠CDA=90°，∠CAD=60°，∠BAD=30°，CD=‎240米 ‎ 在Rt△ACD中，tan∠CAD=，‎ ‎∴AD= ‎ 在Rt△ABD中，tan∠BAD=，‎ ‎∴BD=AD·tan30°=80 ‎ ‎∴BC=CD－BD=240－80=160 ‎ 答：这栋大楼的高为‎160米．‎ ‎4.（2011年杭州市西湖区模拟）第4题 （本题6分）如图，在梯形中，∥，‎ ‎，,，，‎ 求梯形的面积.‎ 答案：（本题6分）‎ 在梯形ABCD中，AB∥CD，‎ ‎∴∠1＝∠2. ‎ ‎∵∠ACB＝∠D＝90°.‎ ‎∴∠3＝∠B.‎ ‎∴…………………………………………… 1分 在Rt△ACD中，CD＝4，‎ ‎∴……………………………………………………………… 3分 ‎∴.在Rt△ACB中，，‎ ‎∴，∴…………………………………………… 5分 ‎∴……………………………………… 6分 ‎3‎ ‎10‎ ‎5．（2011年安徽省巢湖市七中模拟）．下图是一座人行天桥的示意图，天桥的高是‎10米，坡面的倾斜角为．为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面的倾斜角为，若新坡角下需留‎3米的人行道，问离原坡角‎10米的建筑物是否需要拆除？‎ ‎(参考数据：≈1.414，≈1.732 )‎ ‎ ‎ 答案：（解：在Rt中，∵，，∴AB==10(米) ……2分 在Rt中，∵∴=米 ……4分 则DA=DB-AB=≈10×1.732= ‎7.32米． ……5分 ‎∵3 + DA，所以离原坡角‎10米的建筑物应拆除. ……6分 答：离原坡角‎10米的建筑物应拆除． ……7分 ‎6．（2011安徽中考模拟）某风景管理区，为提高游客到某景点的安全性，决定将到达该景点的步行台阶进行改善，把倾角由45°减至30°，已知原台阶坡面AB的长为m（BC所在地面为水平面）．‎ ‎（1）改善后的台阶坡面会加长多少？‎ ‎45º ‎45º ‎30º ‎（2）改善后的台阶多占多长一段水平地面？（结果精确到，参考数据：，）‎ 答案：解：（1）如图，在中，‎ ‎(m)．……2分 在中，‎ ‎(m)，……………4分 m． ………………………………5分 即改善后的台阶坡面会加长 m． ‎ ‎（2）如图，在中， (m)．………6分 在中，‎ ‎(m)，……………………………8分 ‎(m)．………………………9分 即改善后的台阶多占.长的一段水平地面． ……………………10分 C A B ‎60°‎ ‎45°‎ 北 北 ‎7．（2011灌南县新集中学一模）（10分）为打击索马里海盗，保护各国商船的顺利通行，我海军某部奉命前往该海域执行护航任务．某天我护航舰正在某小岛北偏西并距该岛海里的处待命．位于该岛正西方向处的某外国商船遭到海盗袭击，船长发现在其北偏东的方向有我军护航舰（如图9所示），便发出紧急求救信号．我护航舰接警后，立即沿航线以每小时60海里的速度前去救援．问我护航舰需多少分钟可以到达该商船所在的位置处？（结果精确到个位．参考数据：）‎ C A B ‎60°‎ ‎45°‎ 北 北 D 答案：解：由图可知，‎ 作于（如图），在中，‎ ‎ ∴ ‎ 在中， ∴‎ ‎ ∴ ∴（分钟）‎ 答：我护航舰约需28分钟就可到达该商船所在的位置 ‎8. （2011浙江杭州义蓬一模）(本小题满分6分) 每年的‎5月15日是‘世界助残日’.我区时代超市门前的台阶共高出地面‎1.2米，为帮助残疾人,便于轮椅行走，准备拆除台阶换成斜坡，又考虑安全，轮椅行走斜坡的坡角不得超过90，已知此商场门前的人行道距门前垂直距离为‎8米(斜坡不能修在人行道上)，问此商场能否把台阶换成斜坡?(参考数据， ，=0.1584) ‎ 答案：1.2/8=0.15＜tan9° (3) ‎ ‎ 这与坡角小于9°相符 （2）‎ ‎ 答： 能 （1）‎ ‎9. （2011广东南塘二模）B C A 东 西 ‎45°‎ ‎60°‎ 如图，在小山的东侧A处有一热气球，以每分钟‎30m 的速度沿着仰角为60°的方向上升，20分钟后升到B处，这时 气球上的人发现在A的正西方向俯角为45°的C处有一着火点，‎ 求气球的升空点A与着火点C的距离（结果保留根号）。‎ 答案：过B作BD⊥CA于D，则AB＝‎600m，AD＝‎300m，BD＝CD＝‎300‎m，CA＝300(－1)m。‎ ‎10. （浙江杭州靖江2011模拟） (本小题满分8分)‎ 小明身高为‎1.6米，通过地面上的一块平面镜，刚好能看到前方大树的树梢，此时他测得俯角为45度，然后他直接抬头观察树梢，测得仰角为30度。求树的高度。（结果保留根号）（原创）‎ 答案：(本小题满分8分)‎ 设树的高度为x米。过点A作DE的垂线，垂足为F。………………1分 由题意得，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形。………………………1分 ‎∴AB＝BC=‎1.6米，CD＝DE＝x.‎ ‎∵∠B=∠D＝∠AFD＝90°‎ ‎∴四边形ABDF为矩形。……………………………………………………1分 ‎∴AF＝BD＝x+1.6，DF＝AB＝1.6，EF＝x-1.6……………………………1分 ‎∵∠EAF＝30°‎ ‎∴tan∠EAF=……………………………………………2分 解得：x=…………………………………………………………1分 答：树的高度为米。………………………………………………1分 ‎11.（浙江杭州金山学校2011模拟）（8分）（根据九年级数学一诊试题改编）‎ 如图，一艘渔船位于海洋观测站P的北偏东60°方向，渔船在A处与海洋观测站P的距离为‎60海里，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于海洋观测站P的南偏东45°方向上的B处。求此时渔船所在的B处与海洋观测站P的距离（结果保留根号）。‎ 答案：解：过点P作PC⊥AB，垂足为C。∠APC=30°，∠BPC=45°，AP=60………2分 Ｃ ‎ 在Rt△APC中，cos∠APC=，‎ ‎ PC=PA·cos∠APC=30…………………………………2分 ‎ 在Rt△PCB中，………………………1分 …………………………………2分 ‎ 答：当渔船位于P南偏东45°方向时，渔船与P的距离是30海里。 ‎ ‎12.路边有一根电线杆AB和一块正方形广告牌．‎ E A B C D G F 有一天，小明突然发现，在太阳光照射下，电线杆顶 端A的影子刚好落在正方形广告牌的上边中点G处，‎ 而正方形广告牌的影子刚好落在地面上E点（如图），‎ 已知BC=‎5米，正方形边长为‎3米，DE=‎4米．‎ ‎（1）求电线杆落在广告牌上的影长；‎ ‎（2）求电线杆的高度（精确到‎0.1米）．‎ 解：（1）电线杆落在广告牌上的影长为3+1.5=4.5（米）…………（2分）‎ 第12题图 ‎（2）作GH⊥AB于H，依题意得：HG=BC+0.5CD=5+1.5=6.5…………（3分）‎ E A B C D G F 第12题图 H 因为：,DF=3,DE=4. …………（4分）‎ 所以：AH==4.875…………（5分）‎ 所以：电线杆的高度为:‎ AB=AH+BH=AH+DF=3+4.875=7.875≈7.9．…………（6分）‎ 答：（1）广告牌上的影长为‎4.5米；（2）电线杆的高度为‎7.9米。…………（7分）‎ 图18‎ ‎13、（2011年广东省澄海实验学校模拟）现要建造一段水坝，它的横截面是梯形ABCD，‎ 其上底CD＝‎4米，斜坡BC的坡度，‎ ‎，坝高DE＝‎6米.‎ ‎(1)求截面梯形的面积；‎ ‎(2)若该水坝的长为‎1000米，工程由甲、‎ 乙两个工程队同时合作完成，原计划需要 ‎25天，但在开工时，甲工程队增加了机器，‎ 第13题图 工作效率提高60%，结果工程提前了5天完成，问这两个工程队原计划每天各完成多少土方？(坝的土方＝坝的横截面的面积×坝的长度)‎ 解：(1)作CF⊥AB于F，依题意知：CD＝4，， DE＝6‎ F 则：CF=DE=6,EF=CD=4‎ 因为：在Rt△ADE中，‎ 所以：AE=18…………(1分)‎ 因为：在Rt△CFB中，BC的坡度 所以：BF=2CF=12…………(2分)‎ 所以：AB=AE+EF+BF=18+4+12=34…………(3分)‎ 所以：坝的横截面的面积= …………(4分)‎ ‎(2) 坝的土方＝坝的横截面的面积×坝的长度= 114×1000=‎114000米3，…………(5分)‎ 设甲工程队原计划每天完成土方，则乙工程队原计划每天完成土方，‎ 依题意得：…………(7分)‎ 解得：,所以：=2660…………(8分)‎ 答：坝的横截面的面积为114㎡，甲工程队原计划每天完成1900土方，‎ 乙工程队原计划每天完成2600土方. …………(9分)‎ ‎14．（2011年深圳二模）如图，河中水中停泊着一艘小艇，王平在河岸边的A处测得∠DAC＝α，李月在河岸边的的B处测得∠DCA＝β，如果A、C之间的距离为ｍ，求小艇D到河岸AC的距离． ‎ 第14题图 解：过点D作DB⊥AC于点Ｂ，设DB＝ｘ………1分 在Rt△ADB中，tan∠DAB＝‎ ‎∴AB＝………4分 在Rt△CDB中，tan∠DCB＝‎ ‎∴BC＝‎ ‎∵AB＋BC＝AC＝ｍ ‎∴＋＝ｍ………8分 解得：ｘ＝‎ 答：小艇D到河岸AB的距离为 ‎15.（2011深圳市三模）（本小题满分10分）‎ 如图①②，图①是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏，铁环是圆形的，铁环向前滚动时，铁环钩保持与铁环相切.将这个游戏抽象为数学问题，如图②.已知铁环的半径为5个单位（每个单位为‎5cm），设铁环中心为O，铁环钩与铁环相切点为M，铁环与地面接触点为A，∠MOA＝α，且sinα＝错误！未找到引用源。.‎ ‎（1）求点M离地面AC的高度BM（单位：厘米）；‎ ‎（2）设人站立点C与点A的水平距离AC等于11个单位，求铁环钩MF 的长度（单位：厘米）.‎ A B M O F C 错误！未找到引用源。‎ 错误！未指定书签。②‎ 错误！未指定书签。①‎ 错误！未指定书签。H 错误！未指定书签。N 错误！未指定书签。‎ 第15题图 解：‎ 过M作AC平行的直线，与OA，FC分别相交于H，N.（1）在Rt△OHM中，∠OHM＝90°，OM＝5，HM＝OM×sinα＝3，所以OH＝4，MB＝HA＝5－4＝1（单位），1×5＝5（cm），所以铁环钩离地面的高度为‎5cm.（2）因为∠MOH+∠OMH＝∠OMH+∠FMN＝90°，∠FMN＝∠MOH＝α，所以＝sinα＝，即得FN＝FM，在Rt△FMN中，∠FNM＝90°，MN＝BC＝AC－AB＝11－3＝8（单位），由勾股定理FM 2＝FN 2+MN 2，即FM 2＝(FM)2+82，解得FM＝10（单位），10×5＝50（cm），所以铁环钩的长度FM为‎50cm.‎ H G ‎16、（2011年黄冈市浠水县）（本小题满分8分）如图8所示，两地之间有条河，原来从地到地需要经过桥，沿折线到达．现在 新建了桥，可直接沿直线从地到达地．‎ 已知，，，桥和平行，则现在 从地到地可比原来少走多少路程？（结果精确到‎0.1km．‎ 参考数据：，， ） ‎ 答案：‎ 解：如图，过点D作DH⊥AB于H，DG∥CB交AB于G。‎ ‎∵DC∥AB，∴四边形DCBG为平行四边形， ‎ ‎∴DC＝GB，GD＝BC＝11。‎ ‎∴两条路线路程之差为AD＋DG－AG。…………3分 H G 在Rt△DGH中，‎ DH＝DG●sin370≈11×0.60＝6.60，‎ GH＝DG●cos370≈11×0.80＝8.80. …………5分 在Rt△ADH中,‎ AD=DH≈1.41×0.60＝9.31‎ AH=DH≈6.60‎ ‎∴AD＋DG－AG＝（9.31＋11）－（6.60＋8.80）≈4.9（km）‎ 即现在从A地到B地可比原来少走约‎4.9km ………………9分 ‎17、（北京四中2011中考模拟13）一艘渔船在A处观测到东北方向有一小岛C，已知小岛C周围4.8海里范围内是水产养殖场.渔船沿北偏东30°方向航行10海里到达B处，在B处测得小岛C在北偏东60°方向，这时渔船改变航线向正东(即BD)方向航行，这艘渔船是否有进入养殖场的危险？‎ 答案：过点C作CE⊥BD，垂足为E，∴CE∥GB∥FA.‎ ‎　　　　∴∠BCE=∠GBC=60°.∠ACE=∠FAC=45°.‎ ‎　　　　∴∠BCA=∠BCE-∠ACE=60°-45°=15°.‎ ‎　　　　又∠BAC=∠FAC-∠FAB=45°-30°=15°，‎ ‎∴∠BCA=∠BAC.∴BC=AB=10.‎ ‎　　　在Rt△BCE中，CE=BC·cos∠BCE=BC·cos60°=10×=5(海里).‎ ‎　　　　∵‎5海里＞‎4.8海里，∴渔船没有进入养殖场的危险.‎ ‎　　　答：这艘渔船没有进入养殖场的危险.‎ ‎18．（2011年杭州市上城区一模）（本小题满分10分）‎ 观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题．‎ 在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，过A作 ‎ AD⊥BC于D(如图)，则sinB=，sinC=，即AD=csinB，AD=bsinC，于是csinB=bsinC，即.同理有：，，‎ 所以 即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素.根据上述材料，完成下列各题.‎ ‎（1）如图，△ABC中，∠B=450，∠C=750，BC=60，则∠A= ；AC= ； ‎ ‎(第22题)‎ ‎（2）如图，一货轮在C处测得灯塔A 在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以‎60海里／时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西75°的方向上(如图)，求此时货轮距灯塔A的距离AB.‎ 答案：解：（1）∠A=600，AC= ‎ ‎(第18题)‎ ‎(2)如图，依题意：BC=60×0.5=30（海里）‎ ‎∵CD∥BE ， ∴∠DCB+∠CBE=1800‎ ‎ ∵∠DCB=300，∴∠CBE=1500‎ ‎∵∠ABE=750。∴∠ABC=750，∴∠A=450‎ ‎…‎ 在△ABC中 ‎ 解之得：AB=15‎ 答：货轮距灯塔的距离AB=‎‎15海里 第19题 ‎19. （2011年杭州市模拟）（本题6分）如图，在梯形中，∥，，,，，求梯形的面积.‎ 答案：在梯形ABCD中，AB∥CD，‎ ‎∴∠1＝∠2. ‎ ‎∵∠ACB＝∠D＝90°.‎ ‎∴∠3＝∠B.‎ ‎∴‎ 在Rt△ACD中，CD＝4，‎ ‎∴‎ ‎∴.在Rt△ACB中，，‎ ‎∴，∴‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎20、（2011年北京四中33模）如图，一艘渔船位于海洋观测站P的北偏东60°方向，渔船在A处与海洋观测站P的距离为60海里，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于海洋观测站P的南偏东45°方向上的B处。求此时渔船所在的B处与海洋观测站P 的距离（结果保留根号）。‎ 答案：过点P作PC⊥AB，垂足为C。∠APC=30°，∠BPC=45°，AP=60…………‎ Ｃ ‎ 在Rt△APC中，cos∠APC=，‎ ‎ PC=PA·cos∠APC=30‎ ‎ 在Rt△PCB中，……………………‎ ‎ ‎ ‎ ………………………………………………‎ ‎ ∴当渔船位于P南偏东45°方向时，渔船与P的距离是30海里。……‎ ‎21、（2011年浙江杭州27模）小明身高为‎1.6米，通过地面上的一块平面镜，刚好能看到前方大树的树梢，此时他测得俯角为45度，然后他直接抬头观察树梢，测得仰角为30度。求树的高度。（结果保留根号）‎ 答案：设树的高度为x米。过点A作DE的垂线，垂足为F。…………‎ 由题意得，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形。……………………‎ ‎∴AB＝BC=‎1.6米，CD＝DE＝x.‎ ‎∵∠B=∠D＝∠AFD＝90°‎ ‎∴四边形ABDF为矩形。…………………………………………………‎ ‎∴AF＝BD＝x+1.6，DF＝AB＝1.6，EF＝x-1.6…………………………‎ ‎∵∠EAF＝30°‎ ‎∴tan∠EAF=…………………………………………‎ 解得：x=…………………………………………………‎ 答：树的高度为米。………………………………………‎ ‎22、（2011年浙江杭州28模）如图，小岛在港口的南偏西方向，距离港口海里处，甲船从出发，沿方向以海里/时的速度驶向港口，乙船从港口出发，沿南偏东方向以海里/时的速度驶离港口。现两船同时出发，问：经过几小时后，乙船恰在甲船的正东方向？（结果保留根号）‎ 答案：解：设出发小时后乙船在甲船的正东方向，此时甲船在点处，乙船在点处，连结 在正南方向取点，则于，据题意：‎ 在中，， ‎ 在中，，‎ ‎ ‎ 解得：=（时） ‎