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- 2021-05-10 发布
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2019 年河北省中考数学试卷
一、选择题(本大题有 16 个小题,共 42 分,1-10 小题各 3 分,11-16 小题各 2
分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(3 分)下列图形为正多边形的是( )
A. B. C. D.
2.(3 分)规定:(→2)表示向右移动 2 记作+2,则(←3)表示向左移动 3 记
作( )
A.+3 B.﹣3 C.﹣ D.+
3.(3 分)如图,从点 C 观测点 D 的仰角是( )
A.∠DAB B.∠DCE C.∠DCA D.∠ADC
4.(3 分)语句“x 的 与 x 的和不超过 5”可以表示为( )
A. +x≤5 B. +x≥5 C. ≤5 D. +x=5
5.(3 分)如图,菱形 ABCD 中,∠D=150°,则∠1=( )
A.30° B.25° C.20° D.15°
6.(3 分)小明总结了以下结论:
①a(b+c)=ab+ac;
②a(b﹣c)=ab﹣ac;
③(b﹣c)÷a=b÷a﹣c÷a(a≠0);
④a÷(b+c)=a÷b+a÷c(a≠0)
其中一定成立的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7.(3 分)下面是投影屏上出示的抢答题,需要回答横线上符号代表的内容
则回答正确的是( )
A.◎代表∠FEC B.@代表同位角
C.▲代表∠EFC D.※代表 AB
8.(3 分)一次抽奖活动特等奖的中奖率为 ,把 用科学记数法表示
为( )
A.5×10﹣4 B.5×10﹣5 C.2×10﹣4 D.2×10﹣5
9.(3 分)如图,在小正三角形组成的网格中,已有 6 个小正三角形涂黑,还需
涂黑 n 个小正三角形,使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三
条对称轴,则 n 的最小值为( )
A.10 B.6 C.3 D.2
10.(3 分)根据圆规作图的痕迹,可用直尺成功找到三角形外心的是( )
A. B.
C. D.
11.(2 分)某同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类,以下是排乱的
统计步骤:
①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类
②去图书馆收集学生借阅图书的记录
③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比
④整理借阅图书记录并绘制频数分布表
正确统计步骤的顺序是( )
A.②→③→①→④ B.③→④→①→② C.①→②一④→
③ D.②→④→③→①
12.(2 分)如图,函数 y= 的图象所在坐标系的原点是( )
A.点 M B.点 N C.点 P D.点 Q
13.(2 分)如图,若 x 为正整数,则表示 ﹣ 的值的点落在( )
A.段① B.段② C.段③ D.段④
14.(2 分)图 2 是图 1 中长方体的三视图,若用 S 表示面积,S 主=x2+2x,S 左=
x2+x,则 S 俯=( )
A.x2+3x+2 B.x2+2 C.x2+2x+1 D.2x2+3x
15.(2 分)小刚在解关于 x 的方程 ax2+bx+c=0(a≠0)时,只抄对了 a=1,b=
4,解出其中一个根是 x=﹣1.他核对时发现所抄的 c 比原方程的 c 值小
2.则原方程的根的情况是( )
A.不存在实数根 B.有两个不相等的实数根
C.有一个根是 x=﹣1 D.有两个相等的实数根
16.(2 分)对于题目:“如图 1,平面上,正方形内有一长为 12、宽为 6 的矩
形,它可以在正方形的内部及边界通过移转(即平移或旋转)的方式,自由
地从横放移转到竖放,求正方形边长的最小整数 n.”甲、乙、丙作了自认为
边长最小的正方形,先求出该边长 x,再取最小整数 n.
甲:如图 2,思路是当 x 为矩形对角线长时就可移转过去;结果取 n=13.
乙:如图 3,思路是当 x 为矩形外接圆直径长时就可移转过去;结果取 n=
14.
丙:如图 4,思路是当 x 为矩形的长与宽之和的 倍时就可移转过去;结果
取 n=13.
下列正确的是( )
A.甲的思路错,他的 n 值对
B.乙的思路和他的 n 值都对
C.甲和丙的 n 值都对
D.甲、乙的思路都错,而丙的思路对
二、填空题(本大题有 3 个小题,共 11 分,17 小题 3 分:18~19 小题各有 2
个空,每空 2 分,把答案写在题中横线上)
17.(3 分)若 7﹣2×7﹣1×70=7p,则 p 的值为 .
18.(4 分)如图,约定:上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的
数.
示例: 即 4+3=7
则(1)用含 x 的式子表示 m= ;
(2)当 y=﹣2 时,n 的值为 .
19.(4 分)勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系,并标示了 A,B,C 三地
的坐标,数据如图(单位:km).笔直铁路经过 A,B 两地.
(1)A,B 间的距离为 km;
(2)计划修一条从 C 到铁路 AB 的最短公路 l,并在 l 上建一个维修站 D,使
D 到 A,C 的距离相等,则 C,D 间的距离为 km.
三、解答题(本大题有 7 个小题,共 67 分.解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤)
20.(8 分)有个填写运算符号的游戏:在“1□2□6□9”中的每个□内,填入
+,﹣,×,÷中的某一个(可重复使用),然后计算结果.
(1)计算:1+2﹣6﹣9;
(2)若 1÷2×6□9=﹣6,请推算□内的符号;
(3)在“1□2□6﹣9”的□内填入符号后,使计算所得数最小,直接写出这
个最小数.
21.(9 分)已知:整式 A=(n2﹣1)2+(2n)2,整式 B>0.
尝试化简整式 A.
发现 A=B2,求整式 B.
联想由上可知,B2=(n2﹣1)2+(2n)2,当 n>1 时,n2﹣1,2n,B 为直角三
角形的三边长,如图.填写下表中 B 的值:
直角三角形三边 n2﹣1 2n B
勾股数组Ⅰ / 8
勾股数组Ⅱ 35 /
22.(9 分)某球室有三种品牌的 4 个乒乓球,价格是 7,8,9(单位:元)三
种.从中随机拿出一个球,已知 P(一次拿到 8 元球)= .
(1)求这 4 个球价格的众数;
(2)若甲组已拿走一个 7 元球训练,乙组准备从剩余 3 个球中随机拿一个训
练.
①所剩的 3 个球价格的中位数与原来 4 个球价格的中位数是否相同?并简要
说明理由;
②乙组先随机拿出一个球后放回,之后又随机拿一个,用列表法(如图)求
乙组两次都拿到 8 元球的概率.
又拿
先拿
23.(9 分)如图,△ABC 和△ADE 中,AB=AD=6,BC=DE,∠B=∠D=30°,
边 AD 与边 BC 交于点 P(不与点 B,C 重合),点 B,E 在 AD 异侧,I 为△APC
的内心.
(1)求证:∠BAD=∠CAE;
(2)设 AP=x,请用含 x 的式子表示 PD,并求 PD 的最大值;
(3)当 AB⊥AC 时,∠AIC 的取值范围为 m°<∠AIC<n°,分别直接写出 m,
n 的值.
24.(10 分)长为 300m 的春游队伍,以 v(m/s)的速度向东行进,如图 1 和图
2,当队伍排尾行进到位置 O 时,在排尾处的甲有一物品要送到排头,送到后
立即返回排尾,甲的往返速度均为 2v(m/s),当甲返回排尾后,他及队伍均
停止行进.设排尾从位置 O 开始行进的时间为 t(s),排头与 O 的距离为 S 头
(m).
(1)当 v=2 时,解答:
①求 S 头与 t 的函数关系式(不写 t 的取值范围);
②当甲赶到排头位置时,求 S 的值;在甲从排头返回到排尾过程中,设甲与
位置 O 的距离为 S 甲(m),求 S 甲与 t 的函数关系式(不写 t 的取值范围)
(2)设甲这次往返队伍的总时间为 T(s),求 T 与 v 的函数关系式(不写 v
的取值范围),并写出队伍在此过程中行进的路程.
25.(10 分)如图 1 和 2,▱ABCD 中,AB=3,BC=15,tan∠DAB= .点 P 为 AB
延长线上一点,过点 A 作⊙O 切 CP 于点 P,设 BP=x.
(1)如图 1,x 为何值时,圆心 O 落在 AP 上?若此时⊙O 交 AD 于点 E,直接
指出 PE 与 BC 的位置关系;
(2)当 x=4 时,如图 2,⊙O 与 AC 交于点 Q,求∠CAP 的度数,并通过计算
比较弦 AP 与劣弧 长度的大小;
(3)当⊙O 与线段 AD 只有一个公共点时,直接写出 x 的取值范围.
26.(12 分)如图,若 b 是正数,直线 l:y=b 与 y 轴交于点 A;直线 a:y=x﹣
b 与 y 轴交于点 B;抛物线 L:y=﹣x2+bx 的顶点为 C,且 L 与 x 轴右交点为
D.
(1)若 AB=8,求 b 的值,并求此时 L 的对称轴与 a 的交点坐标;
(2)当点 C 在 l 下方时,求点 C 与 l 距离的最大值;
(3)设 x0≠0,点(x0,y1),(x0,y2),(x0,y3)分别在 l,a 和 L 上,且 y3
是 y1,y2 的平均数,求点(x0,0)与点 D 间的距离;
(4)在 L 和 a 所围成的封闭图形的边界上,把横、纵坐标都是整数的点称为
“美点”,分别直接写出b=2019 和 b=2019.5 时“美点”的个数.
2019 年河北省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题有 16 个小题,共 42 分,1-10 小题各 3 分,11-16 小题各 2 分,在每
小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.【解答】解:正五边形五个角相等,五条边都相等,
故选:D.
2.【解答】解:“正”和“负”相对,所以,如果(→2)表示向右移动 2 记作+2,则(←
3)表示向左移动 3 记作﹣3.
故选:B.
3.【解答】解:∵从点C 观测点 D 的视线是 CD,水平线是 CE,
∴从点 C 观测点 D 的仰角是∠DCE,
故选:B.
4.【解答】解:“x 的 与 x 的和不超过 5”用不等式表示为 x+x≤5.
故选:A.
5.【解答】解:∵四边形ABCD 是菱形,∠D=150°,
∴AB∥CD,∠BAD=2∠1,
∴∠BAD+∠D=180°,
∴∠BAD=180°﹣150°=30°,
∴∠1=15°;
故选:D.
6.【解答】解:①a(b+c)=ab+ac,正确;
②a(b﹣c)=ab﹣ac,正确;
③(b﹣c)÷a=b÷a﹣c÷a(a≠0),正确;
④a÷(b+c)=a÷b+a÷c(a≠0),错误,无法分解计算.
故选:C.
7.【解答】证明:延长BE 交 CD 于点 F,
则∠BEC=∠EFC+∠C(三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和).
又∠BEC=∠B+∠C,得∠B=∠EFC.
故 AB∥CD(内错角相等,两直线平行).
故选:C.
8.【解答】解: =0.00002=2×10﹣5.
故选:D.
9.【解答】解:如图所示,n 的最小值为 3,
故选:C.
10.【解答】解:三角形外心为三边的垂直平分线的交点,由基本作图得到C 选项作了两边
的垂直平分线,从而可用直尺成功找到三角形外心.
故选:C.
11.【解答】解:由题意可得,
正确统计步骤的顺序是:②去图书馆收集学生借阅图书的记录→④整理借阅图书记录并
绘制频数分布表→③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比→①从扇形图中分析出最
受学生欢迎的种类,
故选:D.
12.【解答】解:由已知可知函数y= 关于 y 轴对称,
所以点 M 是原点;
故选:A.
13.【解答】解∵ ﹣ = ﹣ =1﹣ =
又∵x 为正整数,
∴ ≤x<1
故表示 ﹣ 的值的点落在②
故选:B.
14.【解答】解:∵S 主=x2+2x=x(x+2),S 左=x2+x=x(x+1),
∴俯视图的长为 x+2,宽为 x+1,
则俯视图的面积 S 俯=(x+2)(x+1)=x2+3x+2,
故选:A.
15.【解答】解:∵小刚在解关于x 的方程 ax2+bx+c=0(a≠0)时,只抄对了 a=1,b=4,
解出其中一个根是 x=﹣1,
∴(﹣1)2﹣4+c=0,
解得:c=3,
故原方程中 c=5,
则 b2﹣4ac=16﹣4×1×5=﹣4<0,
则原方程的根的情况是不存在实数根.
故选:A.
16.【解答】解:甲的思路正确,长方形对角线最长,只要对角线能通过就可以,但是计算
错误,应为 n=14;
乙的思路与计算都正确;
乙的思路与计算都错误,图示情况不是最长;
故选:B.
二、填空题(本大题有 3 个小题,共 11 分,17 小题 3 分:18~19 小题各有 2 个空,每空 2
分,把答案写在题中横线上)
17.【解答】解:∵7﹣2×7﹣1×70=7p,
∴﹣2﹣1+0=p,
解得:p=﹣3.
故答案为:﹣3.
18.【解答】解:(1)根据约定的方法可得:
m=x+2x=3x;
故答案为:3x;
(2)根据约定的方法即可求出 n
x+2x+2x+3=m+n=y.
当 y=﹣2 时,5x+3=﹣2.
解得 x=﹣1.
∴n=2x+3=﹣2+3=1.
故答案为:1.
19.【解答】解:(1)由A、B 两点的纵坐标相同可知:AB∥x 轴,
∴AB=12﹣(﹣8)20;
(2)过点 C 作 l⊥AB 于点 E,连接 AC,作 AC 的垂直平分线交直线 l 于点 D,
由(1)可知:CE=1﹣(﹣17)=18,
AE=12,
设 CD=x,
∴AD=CD=x,
由勾股定理可知:x2=(18﹣x)2+122,
∴解得:x=13,
∴CD=13,
故答案为:(1)20;(2)13;
三、解答题(本大题有 7 个小题,共 67 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
20.【解答】解:(1)1+2﹣6﹣9
=3﹣6﹣9
=﹣3﹣9
=﹣12;
(2)∵1÷2×6□9=﹣6,
∴1× ×6□9=﹣6,
∴3□9=﹣6,
∴□内的符号是“﹣”;
(3)这个最小数是﹣20,
理由:∵在“1□2□6﹣9”的□内填入符号后,使计算所得数最小,
∴1□2□6 的结果是负数即可,
∴1□2□6 的最小值是 1﹣2×6=﹣11,
∴1□2□6﹣9 的最小值是﹣11﹣9=﹣20,
∴这个最小数是﹣20.
21.【解答】解:A=(n2﹣1)2+(2n)2=n4﹣2n2+1+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2,
∵A=B2,B>0,
∴B=n2+1,
当 2n=8 时,n=4,∴n2+1=42+1=15;
当 n2﹣1=35 时,n2+1=37.
故答案为:15;37
22.【解答】解:(1)∵P(一次拿到 8 元球)= ,
∴8 元球的个数为 4× =2(个),按照从小到大的顺序排列为 7,8,8,9,
∴这 4 个球价格的众数为 8 元;
(2)①所剩的 3 个球价格的中位数与原来 4 个球价格的中位数相同;理由如下:
原来 4 个球的价格按照从小到大的顺序排列为 7,8,8,9,
∴原来 4 个球价格的中位数为 =8(元),
所剩的 3 个球价格为 8,8,9,
∴所剩的 3 个球价格的中位数为 8 元,
∴所剩的 3 个球价格的中位数与原来 4 个球价格的中位数相同;
②列表如图所示:共有 9 个等可能的结果,乙组两次都拿到 8 元球的结果有 4 个,
∴乙组两次都拿到 8 元球的概率为 .
23.【解答】解:(1)在△ABC 和△ADE 中,(如图 1)
∴△ABC≌△ADE(SAS)
∴∠BAC=∠DAE
即∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE
∴∠BAD=∠CAE.
(2)∵AD=6,AP=x,
∴PD=6﹣x
当 AD⊥BC 时,AP= AB=3 最小,即 PD=6﹣3=3 为 PD 的最大值.
(3)如图 2,设∠BAP=α,则∠APC=α+30°,
∵AB⊥AC
∴∠BAC=90°,∠PCA=60°,∠PAC=90°﹣α,
∵I 为△APC 的内心
∴AI、CI 分别平分∠PAC,∠PCA,
∴∠IAC= ∠PAC,∠ICA= ∠PCA
∴∠AIC=180°﹣(∠IAC+∠ICA)
=180°﹣ (∠PAC+∠PCA)
=180°﹣ (90°﹣α+60°)
= α+105°
∵0<α<90°,
∴105°< α+105°<150°,即 105°<∠AIC<150°,
∴m=105,n=150.
24.【解答】解:(1)①排尾从位置O 开始行进的时间为 t(s),则排头也离开原排头 t
(s),
∴S 头=2t+300
②甲从排尾赶到排头的时间为 300÷(2v﹣v)=300÷v=300÷2=150 s,此时 S 头=
2t+300=600 m
甲返回时间为:(t﹣150)s
∴S 甲=S 头﹣S 甲回=2×150+300﹣4(t﹣150)=﹣4t+1200;
因此,S 头与 t 的函数关系式为 S 头=2t+300,当甲赶到排头位置时,求 S 的值为 600m,
在甲从排头返回到排尾过程中,S 甲与 t 的函数关系式为 S 甲=﹣4t+1200.
(2)T=t 追及+t 返回= + = ,
在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为:v×(T﹣150)=v×( ﹣﹣150)=
400﹣150v;
因此 T 与 v 的函数关系式为:T= ,此时队伍在此过程中行进的路程为(400﹣150v)
m.
25.【解答】解:(1)如图 1,AP 经过圆心 O,∵CP 与⊙O 相切于 P,
∴∠APC=90°,
∵▱ABCD,
∴AD∥BC,
∴∠PBC=∠DAB
∴ =tan∠PBC=tan∠DAB= ,设 CP=4k,BP=3k,由 CP2+BP2=BC2,
得(4k)2+(3k)2=152,解得 k1=﹣3(舍去),k2=3,
∴x=BP=3×3=9,
故当 x=9 时,圆心 O 落在 AP 上;
∵AP 是⊙O 的直径,
∴∠AEP=90°,
∴PE⊥AD,
∵▱ABCD,
∴BC∥AD
∴PE⊥BC
(2)如图 2,过点 C 作 CG⊥AP 于 G,
∵▱ABCD,
∴BC∥AD,
∴∠CBG=∠DAB
∴ =tan∠CBG=tan∠DAB= ,
设 CG=4m,BG=3m,由勾股定理得:(4m)2+(3m)2=152,解得 m=3,
∴CG=4×3=12,BG=3×3=9,PG=BG﹣BP=9﹣4=5,AP=AB+BP=3+4=7,
∴AG=AB+BG=3+9=12
∴tan∠CAP= = =1,
∴∠CAP=45°;
连接 OP,OQ,过点 O 作 OH⊥AP 于 H,则∠POQ=2∠CAP=2×45°=90°,PH= AP=
,
在 Rt△CPG 中, = =13,
∵CP 是⊙O 的切线,
∴∠OPC=∠OHP=90°,∠OPH+∠CPG=90°,∠PCG+∠CPG=90°
∴∠OPH=∠PCG
∴△OPH∽△PCG
∴ ,即 PH×CP=CG×OP, ×13=12OP,
∴OP=
∴劣弧 长度= = ,
∵ <2π<7
∴弦 AP 的长度>劣弧 长度.
(3)如图 3,⊙O 与线段 AD 只有一个公共点,即圆心 O 位于直线 AB 下方,且∠OAD≥90
°,
当∠OAD=90°,∠CPM=∠DAB 时,此时 BP 取得最小值,过点 C 作 CM⊥AB 于 M,
∵∠DAB=∠CBP,
∴∠CPM=∠CBP
∴CB=CP,
∵CM⊥AB
∴BP=2BM=2×9=18,
∴x≥18
26.【解答】解:(1)当x=0 吋,y=x﹣b=﹣b,
∴B(0,﹣b),
∵AB=8,而 A(0,b),
∴b﹣(﹣b)=8,
∴b=4.
∴L:y=﹣x2+4x,
∴L 的对称轴 x=2,
当 x=2 吋,y=x﹣4=﹣2,
∴L 的对称轴与 a 的交点为(2,﹣2 );
(2)y=﹣(x﹣ )2+ ,
∴L 的顶点 C( )
∵点 C 在 l 下方,
∴C 与 l 的距离 b﹣ =﹣ (b﹣2)2+1≤1,
∴点 C 与 1 距离的最大值为 1;
(3)由題意得 ,即 y1+y2=2y3,
得 b+x0﹣b=2(﹣x02+bx0)
解得 x0=0 或 x0=b﹣ .但 x0#0,取 x0=b﹣ ,
对于 L,当 y=0 吋,0=﹣x2+bx,即 0=﹣x(x﹣b),
解得 x1=0,x2=b,
∵b>0,
∴右交点 D(b,0).
∴点(x0,0)与点 D 间的距离 b﹣(b﹣ )=
(4)①当 b=2019 时,抛物线解析式 L:y=﹣x2+2019x
直线解析式 a:y=x﹣2019
联立上述两个解析式可得:x1=﹣1,x2=2019,
∴可知每一个整数 x 的值都对应的一个整数 y 值,且﹣1 和 2019 之间(包括﹣1 和﹣2019)
共有 2021 个整数;
∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分:线段和抛物线,
∴线段和抛物线上各有 2021 个整数点
∴总计 4042 个点,
∵这两段图象交点有 2 个点重复重复,
∴美点”的个数:4042﹣2=4040(个);
②当 b=2019.5 时,
抛物线解析式 L:y=﹣x2+2019.5x,
直线解析式 a:y=x﹣2019.5,
联立上述两个解析式可得:x1=﹣1,x2=2019.5,
∴当 x 取整数时,在一次函数 y=x﹣2019.5 上,y 取不到整数值,因此在该图象上“美
点”为 0,
在二次函数 y=x+2019.5x 图象上,当 x 为偶数时,函数值 y 可取整数,
可知﹣1 到 2019.5 之间有 1009 个偶数,并且在﹣1 和 2019.5 之间还有整数 0,验证后可
知 0 也符合
条件,因此“美点”共有 1010 个.
故 b=2019 时“美点”的个数为 4040 个,b=2019.5 时“美点”的个数为 1010 个.
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