2020年中考数学压轴题：四边形问题考点专练 86页

2020 年中考数学压轴题全：四边形问题考点专练 【典例分析】 【考点 1】多边形的内角和与外角和 【例 1】（2019·云南中考真题）一个十二边形的内角和等于( ) A．2160° B．2080° C．1980° D．1800° 【答案】D 【解析】 【分析】 根据多边形的内角和公式进行求解即可. 【详解】 多边形内角和公式为 2 180( )n   ，其中n 为多边形的边的条数， ∴十二边形内角和为(12 2) 180 1800    ， 故选 D. 【点睛】 本题考查了多边形的内角和，熟记多边形的内角和公式是解题的关键. 【变式 1-1】（2019·福建中考真题）已知正多边形的一个外角为 36°，则该正多边形的边数 为( ). A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】B 【解析】 【分析】 利用多边形的外角和是 360°，正多边形的每个外角都是 36°，即可求出答案． 【详解】 解：360°÷36°＝10，所以这个正多边形是正十边形． 故选：B． 【点睛】 本题主要考查了多边形的外角和定理．是需要识记的内容． 【变式 1-2】（2019·四川中考真题）如图，六边形 ABCDEF 的内角都相等， / /AD BC ，则 DAB  _______°． 【答案】60°． 【解析】 【分析】 先根据多边形内角和公式( 2) 180n   求出六边形的内角和，再除以 6 即可求出 BÐ 的度数，由 平行线的性质可求出 DAB 的度数． 【详解】 解：在六边形 ABCDEF 中， (6 2) 180 720    ， 720 1206   ， ∴ 120B   ， ∵ / /AD BC ， ∴ 180 60DAB B      ， 故答案为：60°． 【点睛】 本题考查了多边形的内角和公式，平行线的性质等，解题关键是能够熟练运用多边形内角和公 式及平行线的性质． 【考点 2】平行四边形的判定与性质的应用 【例 2】（2019·四川中考真题）如图， ABCD 中，对角线 AC 、BD 相交于点 O，OE BD 交 AD 于点 E，连接 BE ，若 ABCD 的周长为 28，则 ABE 的周长为（ ） A．28 B．24 C．21 D．14 【答案】D 【解析】 【分析】 根据平行四边形的性质和中垂线定理，再结合题意进行计算，即可得到答案. 【详解】 解：∵四边形 ABCD是平行四边形， ∴OB OD ， AB CD ， AD BC ， ∵平行四边形的周长为 28， ∴ 14AB AD  ∵OE BD ， ∴OE 是线段 BD 的中垂线， ∴ BE ED ， ∴ ABE 的周长 14AB BE AE AB AD      ， 故选：D． 【点睛】 本题考查平行四边形的性质和中垂线定理，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和中垂线 定理. 【变式 2-1】（2018·山东中考真题）如图，在四边形 中， 是边 的中点，连接 并延 长，交 的延长线于点 ， .添加一个条件使四边形 为平行四边形，你认为下面四 个条件中可选择的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 把 A、B、C、D 四个选项分别作为添加条件进行验证，D 为正确选项．添加 D 选项，即可证 明△DEC≌△FEB，从而进一步证明 DC＝BF＝AB，且 DC∥AB，则四边形 ABCD 是平行四 边形. 【详解】 ∵∠F＝∠CDE， ∴CD∥AF， 在△DEC 与△FEB 中， ， ∴△DEC≌△FEB（ASA）， ​∴DC＝BF，∠C＝∠EBF， ∴AB∥DC， ∵AB＝BF， ∴DC＝AB， ​∴四边形 ABCD 为平行四边形． 故选 D. 【点睛】 本题是一道探索性的试题，考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题 的关键．平行四边形的判定方法有：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②一组对边 平行且相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互 相平分的四边形是平行四边形；⑤.两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 【变式 2-2】（2019·江苏中考真题）如图，在▱ABCD 中，点 M，N 分别是边 AB，CD 的中 点． 求证：AN=CM． 【答案】见解析 【解析】 【分析】 根据平行四边形的性质：平行四边的对边相等，可得 / /AB CD ，AB CD ，根据一组对边平行 且相等的四边形是平行四边形，可得 AN CM . 【详解】 ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD． ∵M，N 分别是 AB、CD 的中点， ∴CN= CD，AM= AB， ∵CN∥AM， ∴四边形 ANCM 为平行四边形， ∴AN=CM． 【点睛】 本题考查了平行四边形的判定与性质，根据条件选择适当的判定方法是解题关键. 【变式 2-3】（2018·江苏中考真题）如图，矩形 ABCD 中，E 是 AD 的中点，延长 CE，BA 交于点 F，连接 AC，DF． （1）求证：四边形 ACDF 是平行四边形； （2）当 CF 平分∠BCD 时，写出 BC 与 CD 的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）BC=2CD，理由见解析. 【解析】 分析：（1）利用矩形的性质，即可判定△FAE≌△CDE，即可得到 CD=FA，再根据 CD∥AF， 即可得出四边形 ACDF 是平行四边形； （2）先判定△CDE 是等腰直角三角形，可得 CD=DE，再根据 E 是 AD 的中点，可得 AD=2CD， 依据 AD=BC，即可得到 BC=2CD． 详解：（1）∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AB∥CD， ∴∠FAE=∠CDE， ∵E 是 AD 的中点， ∴AE=DE， 又∵∠FEA=∠CED， ∴△FAE≌△CDE， ∴CD=FA， 又∵CD∥AF， ∴四边形 ACDF 是平行四边形； （2）BC=2CD． 证明：∵CF 平分∠BCD， ∴∠DCE=45°， ∵∠CDE=90°， ∴△CDE 是等腰直角三角形， ∴CD=DE， ∵E 是 AD 的中点， ∴AD=2CD， ∵AD=BC， ∴BC=2CD． 点睛：本题主要考查了矩形的性质以及平行四边形的判定与性质，要证明两直线平行和两线段 相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置 上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的． 【考点 3】矩形的判定与性质的应用 【例 3】（2019·内蒙古中考真题）如图，在矩形 ABCD中， 8AD  ，对角线 AC 与 BD 相交 于点O， AE BD ，垂足为点 E ，且 AE 平分 BAC ，则 AB 的长为_____. 【答案】 8 3 3 ． 【解析】 【分析】 由矩形的性质可得 AO=CO=BO=DO，可证△ABE≌△AOE，可得 AO=AB=BO=DO，由勾 股定理可求 AB 的长． 【详解】 解：∵四边形 ABCD是矩形 ∴ AO CO BO DO   ， ∵ AE 平分 BAO ∴ BAE EAO   ，且 AE AE ， AEB AEO   ， ∴ ABE ≌ AOE （ ASA） ∴ AO AB ，且 AO OB ∴ AO AB BO DO   ， ∴ 2BD AB ， ∵ 2 2 2AD AB BD  ， ∴ 2 264 4AB AB  ， ∴ 8 3 3AB  故答案为： 8 3 3 ． 【点睛】 本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练运用矩形的性质是本题的 关键． 【变式 3-1】（2019·湖北中考真题）在 Rt ABC 中， 90 30C A D E F   ＝ ， ＝ ， ， ， 分别是 AC AB BC， ， 的中点，连接 ED EF， ．  1 求证：四边形 DEFC 是矩形；  2 请用无刻度的直尺在图中作出 ABC 的平分线（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】（1）证明见解析；（2）作图见解析. 【解析】 【分析】  1 首先证明四边形 DEFC 是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可判 断．  2 连接 EC DF， 交于点O，作射线 BO即可． 【详解】  1 证明： D E F ， ， 分别是 AC AB BC， ， 的中点， / / / /DE FC EF CD ， ， 四边形 DEFC 是平行四边形， 90DCF  ＝ ， 四边形 DEFC 是矩形  2 连接 EC DF， 交于点O，作射线 BO，射线 BO即为所求． 【点睛】 本题考查三角形中位线定理，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关 键是熟练掌握基本知识. 【变式 3-2】（2019·山东中考真题）如图，在□ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ， 点 E ， F 分别为 OB ， OD 的中点，延长 AE 至 G ，使 EG ＝AE ，连接 CG ． （1）求证： △ABE≌△CDF ； （2）当 AB 与 AC 满足什么数量关系时，四边形 EGCF 是矩形？请说明理由. 【答案】（1）见解析；（2） 2AC AB 时,四边形 EGCF 是矩形，理由见解析. 【解析】 【分析】 （1）由平行四边形的性质得出 AB=CD，AB∥CD，OB=OD，OA=OC，由平行线的性质得 出∠ABE=∠CDF，证出 BE=DF，由 SAS 证明△ABE≌△CDF 即可； （2）证出 AB=OA，由等腰三角形的性质得出 AG⊥OB，∠OEG=90°，同理：CF⊥OD， 得出 EG∥CF，由三角形中位线定理得出 OE∥CG，EF∥CG，得出四边形 EGCF 是平行四 边形，即可得出结论． 【详解】 （1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD，OB=OD，OA=OC， ∴∠ABE=∠CDF， ∵点 E，F 分别为 OB，OD 的中点， ∴BE= 1 2 OB，DF= 1 2 OD， ∴BE=DF， 在△ABE 和△CDF 中， AB CD ABE CDF BE DF       ( )ABE CDF SAS   （2）当 AC=2AB 时，四边形 EGCF 是矩形；理由如下： ∵AC=2OA，AC=2AB， ∴AB=OA， ∵E 是 OB 的中点， ∴AG⊥OB， ∴∠OEG=90°， 同理：CF⊥OD， ∴AG∥CF， ∴EG∥CF， ∵EG=AE，OA=OC， ∴OE 是△ACG 的中位线， ∴OE∥CG， ∴EF∥CG， ∴四边形 EGCF 是平行四边形， ∵∠OEG=90°， ∴四边形 EGCF 是矩形． 【点睛】 本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、三角形中位线定理等 知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题. 【考点 4】菱形判定与性质的应用 【例 4】（2019·辽宁中考真题）如图，在菱形 ABCD 中，E，F 分别是 AD，DC 的中点，若 BD＝4，EF＝3，则菱形 ABCD 的周长为__． 【答案】 4 13 . 【解析】 【分析】 连接 AC，利用三角形的中位线定理求得 AC 的长，从而利用菱形的性质求得 AO 和 BO 的长， 利用勾股定理求得边长后即可求得周长． 【详解】 解：如图，连接 AC， ∵E，F 分别是 AD，DC 的中点，EF＝3， ∴AC＝2EF＝6， ∵四边形 ABCD 为矩形，BD＝4， ∴AC⊥BD，AO＝3，BO＝2， ∴AB＝ 2 2 13AO BO  ， ∴周长为 4 13 ， 故答案为： 4 13 ． 【点睛】 考查了菱形的性质，解题的关键是了解菱形的对角线互相垂直平分，难度不大． 【变式 4-1】（2019·广西中考真题）如图，在菱形 ABCD中，对角线 ,AC BD 交于点O，过 点 A作 AH BC 于点 H ，已知 BO=4，S 菱形 ABCD=24，则 AH  ___． 【答案】 24 5 【解析】 【分析】 根据菱形面积=对角线积的一半可求 AC ，再根据勾股定理求出 BC ，然后由菱形的面积即可得 出结果. 【详解】 ∵四边形 ABCD是菱形， ∴ 4 ,BO DO AO CO   ， AC BD ， ∴ 8BD  ， ∵ 1 242ABCDS AC BD  菱形 ， ∴ 6AC  ， ∴ 1 32OC AC  ， ∴ 2 2 5BC OB OC   ， ∵ 24ABCDS BC AH  菱形 ， ∴ 24 5AH  ； 故答案为： 24 5 ． 【点睛】 本题考查了菱形的性质、勾股定理以及菱形面积公式.熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出 BC 是解题的关键. 【变式 4-2】（2019·浙江中考真题）如图，矩形 EFGH 的顶点 E ，G 分别在菱形 ABCD的边 AD ， BC 上，顶点 F 、 H 在菱形 ABCD的对角线 BD 上. （1）求证： BG DE ； （2）若 E 为 AD 中点， 2FH  ，求菱形 ABCD的周长。 【答案】（1）证明见解析；（2）8. 【解析】 【分析】 （1）根据矩形的性质得到 EH=FG，EH∥FG，得到∠GFH=∠EHF，求得∠BFG=∠DHE，根 据菱形的性质得到 AD∥BC，得到∠GBF=∠EDH，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）连接 EG，根据菱形的性质得到 AD=BC，AD∥BC，求得 AE=BG，AE∥BG，得到四边 形 ABGE 是平行四边形，得到 AB=EG，于是得到结论． 【详解】 （1）∵四边形 EFGH 是矩形， ∴EH=FG，EH∥FG， ∴∠GFH=∠EHF， ∵∠BFG=180°-∠GFH，∠DHE=180°-∠EHF， ∴∠BFG=∠DHE， ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AD∥BC， ∴∠GBF=∠EDH， ∴△BGF≌△DEH（AAS）， ∴BG=DE； （2）连接 EG， ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AD=BC，AD∥BC， ∵E 为 AD 中点， ∴AE=ED， ∵BG=DE， ∴AE=BG，AE∥BG， ∴四边形 ABGE 是平行四边形， ∴AB=EG， ∵EG=FH=2， ∴AB=2， ∴菱形 ABCD 的周长=8． 【点睛】 本题考查了菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别作图是解题的关 键． 【变式 4-3】（2019·辽宁中考真题）如图，BD 是▱ABCD 的对角线，按以下步骤作图：①分 别以点 B 和点 D 为圆心，大于 1 2 BD 的长为半径作弧，两弧相交于 E，F 两点；②作直线 EF， 分别交 AD，BC 于点 M，N，连接 BM，DN．若 BD＝8，MN＝6，则▱ABCD 的边 BC 上的 高为___． 【答案】 24 5 . 【解析】 【分析】 由作法得 MN 垂直平分 BD，则 MB=MD，NB=ND，再证明△BMN 为等腰三角形得到 BM=BN， 则可判断四边形 BMDN 为菱形，利用菱形的性质和勾股定理计算出 BN=5，然后利用面积法 计算 ABCD 的边 BC 上的高． 【详解】 由作法得 MN 垂直平分 BD， ∴MB＝MD，NB＝ND， ∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠MDB＝∠NBD， 而 MB＝MD， ∴∠MBD＝∠MDB， ∴∠MBD＝∠NBD， 而 BD⊥MN， ∴△BMN 为等腰三角形， ∴BM＝BN， ∴BM＝BN＝ND＝MD， ∴四边形 BMDN 为菱形， ∴ 2 23 4 5BN ＝ ＝ ， 设▱ABCD 的边 BC 上的高为 h， ∵ 2MN BD BN h＝ ， ∴ 6 8 24 2 5 5h   ＝ ＝ ， 即▱ABCD 的边 BC 上的高为 24 5 ． 故答案为 24 5 ． 【点睛】 本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已 知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查 了平行四边形的性质． 【考点 5】正方形的判定与性质的应用 【例 5】（2019·上海中考真题）如果一个正方形的面积是 3，那么它的边长是＝_______. 【答案】 3 【解析】 【分析】 正方形的面积公式：S=a 2 ，所以 a= S ，求出这个正方形的边长，即可解答． 【详解】 设正方形的边长为 a，则有 a2=3 ∴边长为 a= 3 故答案为 3 【点睛】 此题考查正方形的面积，掌握运算公式是解题关键 【变式 5-1】（2019·山东中考真题）如图， E ， F 是正方形 ABCD的对角线 AC 上的两点， 8AC  ， 2AE CF  ，则四边形 BEDF 的周长是_____． 【答案】8 5 【解析】 【分析】 连接 BD 交 AC 于点O，则可证得OE OF ，OD OB ，可证四边形 BEDF 为平行四边形，且 BD EF ，可证得四边形 BEDF 为菱形；根据勾股定理计算 DE 的长，可得结论． 【详解】 如图，连接 BD 交 AC 于点O， ∵四边形 ABCD为正方形， ∴ BD AC ，OD OB OA OC   ， ∵ 2AE CF  ， ∴OA AE OC CF   ，即OE OF ， ∴四边形 BEDF 为平行四边形，且 BD EF ， ∴四边形 BEDF 为菱形， ∴ DE DF BE BF   ， ∵ 8AC BD  ， 8 4 22OE OF    ， 由勾股定理得： 2 2 2 24 2 2 5DE OD OE     ， ∴四边形 BEDF 的周长 4 4 2 5 8 5DE    ， 故答案为：8 5 . 【点睛】 本题考查了正方形的性质、菱形的判定和性质及勾股定理，掌握对角线互相垂直平分的四边形 为菱形是解题的关键． 【变式 5-2】（2019·湖北中考真题）如图①，等腰直角三角形OEF 的直角顶点O为正方形 ABCD的中心，点C ，D 分别在OE 和 OF 上，现将 OEF 绕点O逆时针旋转 角 0 90    ， 连接 AF ， DE （如图②）． （1）在图②中， AOF  ；（用含 的式子表示） （2）在图②中猜想 AF 与 DE 的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）90  ；（2） AF DE ．理由见解析. 【解析】 【分析】 （1）如图②，利用旋转得 DOF COE     ，再利用四边形 ABCD为正方形，求出∠AOD， 从而求出∠AOF; （2）如图②，利用四边形 ABCD为正方形，得到 90AOD COD     ，OA OD ，又因为 OEF 为等腰三角形，所以 OF=OE,再证明 AOF DOE ≌ 即可. 【详解】 解：（1）如图②， OEF 绕点O逆时针旋转 角， DOF COE     ， 四边形 ABCD为正方形， 90AOD   ， 90AOF    ； 故答案为90  ； （2） AF DE ． 理由如下： 如图②，四边形 ABCD为正方形， 90AOD COD    ，OA OD ， DOF COE     ， AOF DOE   ， OEF 为等腰直角三角形， OF OE  ， 在 AOF 和 DOE 中 AO DO AOF DOE OF OE       ，  AOF DOE SAS ≌ ， AF DE  ． 【点睛】 本题考查的是等腰直角三角形和正方形的综合运用，熟练掌握旋转的性质是解题的关键. 【达标训练】 一、单选题 1．（2019·辽宁中考真题）如图，某人从点 A 出发，前进 8m 后向右转 60°，再前进 8m 后 又向右转 60°，按照这样的方式一直走下去，当他第一次回到出发点 A 时，共走了（ ） A．24m B．32m C．40m D．48m 【答案】D 【解析】 【分析】 从 A 点出发，前进 8m 后向右转 60°，再前进 8m 后又向右转 60°，…，这样一直走下去， 他第一次回到出发点 A 时，所走路径为正多边形，根据正多边形的外角和为 360°，判断多 边形的边数，再求路程． 【详解】 解：依题意可知，某人所走路径为正多边形，设这个正多边形的边数为 n， 则 60n＝360，解得 n＝6， 故他第一次回到出发点 A 时，共走了：8×6＝48（m）． 故选：D． 【点睛】 本题考查了多边形的外角和，正多边形的判定与性质．关键是根据每一个外角判断多边形的边 数． 2．（2019·贵州中考真题）如图，已知矩形 ABCD，一条直线将该矩形 ABCD分割成两个多边 形（含三角形），若这两个多边形的内角和分别为 M 和 N，则 M N 不可能是（ ）. A．360 B．540 C．720 D．630 【答案】D 【解析】 如图，一条直线将该矩形 ABCD 分割成两个多边（含三角形）的情况有以上三种， ①当直线不经过任何一个原来矩形的顶点， 此时矩形分割为一个五边形和三角形， ∴M+N=540°+180°=720°； ②当直线经过一个原来矩形的顶点， 此时矩形分割为一个四边形和一个三角形， ∴M+N=360°+180°=540°； ③当直线经过两个原来矩形的对角线顶点， 此时矩形分割为两个三角形， ∴M+N=180°+180°=360°． 故选 D． 3．（2019·四川中考真题）四边形 ABCD的对角线 AC 与 BD 相交于点O，下列四组条件中， 一定能判定四边形 ABCD为平行四边形的是( ) A． / /AD BC B．OA OC ，OB OD C． / /AD BC ， AB DC D． AC BD 【答案】B 【解析】 【分析】 根据平行四边形的判定方法逐一进行分析判断即可. 【详解】 A.只有一组对边平行无法判定四边形是平行四边形，故错误； B. OA OC ，OB OD ，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定，故正确； C. / /AD BC ， AB DC ，一组对边平行，一组对边相等的四边形可能是平行四边形也可能是 等腰梯形，故错误； D. 对角线互相垂直不能判定四边形是平行四边形，故错误， 故选 B. 【点睛】 本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键. 4．（2019·湖北中考真题）若正多边形的内角和是540，则该正多边形的一个外角为（ ） A． 45 B．60 C．72 D．90 【答案】C 【解析】 【分析】 根据多边形的内角和公式 2 180n    求出多边形的边数，再根据多边形的外角和是固定的 360，依此可以求出多边形的一个外角． 【详解】 正多边形的内角和是540， 多边形的边数为540 180 2 5  ＝ ， 多边形的外角和都是360， 多边形的每个外角 360 5 72 ＝ ＝ ． 故选C ． 【点睛】 本题主要考查了多边形的内角和与外角和之间的关系，关键是记住内角和的公式与外角和的特 征，难度适中． 5．（2019·山东中考真题）如图，在平行四边形 ABCD中，M 、N 是 BD 上两点，BM DN ， 连接 AM、 MC 、 CN 、 NA，添加一个条件，使四边形 AMCN 是矩形，这个条件是( ) A． 1 2OM AC B． MB MO C． BD AC D． AMB CND   【答案】A 【解析】 【分析】 由平行四边形的性质可知：OA OC ，OB OD ，再证明OM ON 即可证明四边形 AMCN 是 平行四边形． 【详解】 ∵四边形 ABCD是平行四边形， ∴OA OC ，OB OD ， ∵对角线 BD 上的两点 M 、 N 满足 BM DN ， ∴OB BM OD DN   ，即OM ON ， ∴四边形 AMCN 是平行四边形， ∵ 1 2OM AC ， ∴ MN AC ， ∴四边形 AMCN 是矩形． 故选：A． 【点睛】 本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 6．（2019·湖北中考真题）如图，在△ABC 中，点 D、E、F 分别是 AB、AC、BC 的中点， 已知∠ADE=65°，则∠CFE 的度数为（ ） A．60° B．65° C．70° D．75° 【答案】B 【解析】 【分析】 根据三角形中位线的性质可得 DE//BC，EF//AB，根据平行线的性质求出∠CFE 的度数即可. 【详解】 ∵点 D、E、F 分别是 AB、AC、BC 的中点， ∴DE//BC，EF//AB， ∴∠ADE=∠B，∠B=∠CFE， ∵∠ADE=65°， ∴∠CFE=∠ADE=65°， 故选 B. 【点睛】 本题考查了三角形中位线的性质及平行线的性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三 边的一半，熟练掌握相关性质是解题关键. 7．（2019·四川中考真题）如图，在四边形 ABCD中，AB CD ， ,AC BD 是对角线， , , ,E F G H 分别是 , , ,AD BD BC AC 的中点，连接 , , ,EF FG GH HE ，则四边形 EFGH 的形状是（ ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】C 【解析】 【分析】 根据三角形的中位线定理可得， EH 平行且等于CD 的一半， FG 平行且等于CD 的一半，根 据等量代换和平行于同一条直线的两直线平行，得到 EH 和 FG 平行且相等，所以 EFGH 为平 行四边形，又因为 EF 等于 AB 的一半且 AB CD ，所以得到所证四边形的邻边 EH 与 EF 相等， 所以四边形 EFGH 为菱形． 【详解】 解：∵ , , ,E F G H 分别是 , , ,AD BD BC AC 的中点， ∴在 ADC 中， EH 为 ADC 的中位线，所以 / /EH CD 且 1 2EH CD ；同理 / /FG CD 且 1 2FG CD ，同理可得 1 2EF AB ， 则 //EH FG 且 EH FG ， ∴四边形 EFGH 为平行四边形，又 AB CD ，所以 EF EH ， ∴四边形 EFGH 为菱形． 故选：C． 【点睛】 此题考查学生灵活运用三角形的中位线定理，平行四边形的判断及菱形的判断进行证明，是一 道综合题． 8．（2019·贵州中考真题）如图，D 是△ABC 内一点，BD⊥CD，AD＝7，BD＝4，CD＝3， E、F、G、H 分别是 AB、BD、CD、AC 的中点，则四边形 EFGH 的周长为( ) A．12 B．14 C．24 D．21 【答案】A 【解析】 【分析】 利用勾股定理列式求出 BC 的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半 求出 EH＝FG＝ BC，EF＝GH＝ AD，然后代入数据进行计算即可得解． 【详解】 ∵BD⊥CD，BD＝4，CD＝3， ∴BC＝ ， ∵E、F、G、H 分别是 AB、AC、CD、BD 的中点， ∴EH＝FG＝ BC，EF＝GH＝ AD， ∴四边形 EFGH 的周长＝EH+GH+FG+EF＝AD+BC， 又∵AD＝7， ∴四边形 EFGH 的周长＝7+5＝12. 故选 A. 【点睛】 此题考查三角形中位线定理，勾股定理，解题关键在于求出 BC 的值 9．（2019·广东中考真题）已知菱形 ABCD， ,E F 是动点，边长为 4， , 120BE AF BAD    ， 则下列结论正确的有几个（ ） ① BEC AFC ≌ ； ② ECF 为等边三角形 ③ AGE AFC   ④若 1AF  ，则 1 3 GF GE  A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】 【分析】 ①易证△ABC 为等边三角形，得 AC=BC，∠CAF=∠B，结合已知条件 BE=AF 可证△BEC≌ △AFC；②得 FC=EC，∠FCA=∠ECB，得∠FCE=∠ACB，进而可得结论；③证明∠AGE= ∠BFC 则可得结论；④分别证明△AEG∽△FCG 和△FCG∽△ACF 即可得出结论. 【详解】 在四边形 ABCD是菱形中， ∵ 120BAD   ， ∴ 60 ∠DAC ∵ 60B   ∴ B DAC   ∴△ABC 为等边三角形， ∴ AC BC 又 BE AF ， ∴ BEC AFC ≌ ，故①正确； ∴ FC EC ， FCA ECB   ∴∠FCE=∠ACB=60°, ∴ ECF 为等边三角形，故②正确； ∵∠AGE+∠GAE+∠AEG=180°，∠BEC+∠CEF+∠AEG=180°， 又∵∠CEF=∠CAB=60°, ∴∠BEC=∠AGE， 由①得，∠AFC=∠BEC， ∴∠AGE=∠AFC，故③正确； ∴∠AEG=∠FCG ∴△AEG∽△FCG， ∴ GE GC AE FC  ， ∵∠AGE=∠FGC，∠AEG=∠FCG ∴∠CFG=∠GAE=∠FAC， ∴△ACF∽△FCG， ∴ FC AF GC GF  ∴ GF AF GE AE  ∵AF=1， ∴BE=1， ∴AE=3， ∴ 1 3 GF GE  ，故④正确. 故选 D. 【点睛】 本题主要考查了运用菱形的性质求解，主要的知识点有：全等三角形的判定与性质，等边三角 形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，难度较大，综合性较强，是一道好题. 10．（2019·内蒙古中考真题）如图，在 ABCD 中， 47 42BDC    ，依据尺规作图的痕迹， 计算 的度数是（ ） A．67°29′ B．67°9′ C．66°29′ D．66°9′ 【答案】D 【解析】 【分析】 根据平行四边形性质，角平分线性质和线段垂直平分线性质可求出结果. 【详解】 ∵四边形 ABCD为平行四边形， ∴ / /AB CD ， ∴ 47 42ABD BDC      ， 由作法得 EF 垂直平分 BD ， BE 平分 ABD ， ∴ EF BD ， 1 23 512ABE DBE ABD        ， ∵ 90BEF EBD     ， ∴ 90 23 51 66 9BEF         ， ∴ 的度数是 66°9′． 故选：D． 【点睛】 考核知识点：线段垂直平分线，平行四边形性质.理解作图的意义是关键. 11．（2019·广西中考真题）如图，在 ABC 中， ,D E 分别是 ,AB BC 的中点，点 F 在 DE 延 长线上，添加一个条件使四边形 ADFC 为平行四边形，则这个条件是（ ） A． B F   B． B BCF   C． AC CF D． AD CF 【答案】B 【解析】 【分析】 利用三角形中位线定理得到 1DE AC DE AC2 ， ，结合平行四边形的判定定理进行选择． 【详解】 ∵在 ABC 中， ,D E 分别是 ,AB BC 的中点， ∴ DE 是 ABC 的中位线， ∴ 1 2DE AC∕∕ ． A、根据 B F   不能判定 AC DF∕∕ ，即不能判定四边形 ADFC 为平行四边形，故本选项错 误． B、根据 B BCF   可以判定CF AB∕∕ ，即CF AD∕∕ ，由“两组对边分别平行的四边形是平 行四边形”得到四边形 ADFC 为平行四边形，故本选项正确． C、根据 AC CF 不能判定 AC DF∕∕ ，即不能判定四边形 ADFC 为平行四边形，故本选项错 误． D、根据 ,AD CF FD AC ∕∕ 不能判定四边形 ADFC 为平行四边形，故本选项错误． 故选：B． 【点睛】 本题三角形的中位线的性质和平行四边形的判定．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于 第三边，且等于第三边的一半． 12．（2019·山东中考真题）如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是 BC、CD 上的点，且∠ EAF＝45°，AE、AF 分别交 BD 于 M、N，连按 EN、EF、有以下结论：①AN＝EN，②当 AE＝AF 时， BE EC ＝2﹣ 2 ，③BE+DF＝EF，④存在点 E、F，使得 NF＞DF，其中正确的个数 是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】 【分析】 ①如图 1，证明△AMN∽△BME 和△AMB∽△NME，可得∠NAE=∠AEN=45°，则△AEN 是等腰直角三角形可作判断； ②先证明 CE=CF，假设正方形边长为 1，设 CE=x，则 BE=1-x，表示 AC 的长为 AO+OC 可 作判断； ③如图 3，将△ADF 绕点 A 顺时针旋转 90°得到△ABH，证明△AEF≌△AEH（SAS），则 EF=EH=BE+BH=BE+DF，可作判断； ④在△ADN 中根据比较对角的大小来比较边的大小． 【详解】 ①如图 1， ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠EBM＝∠ADM＝∠FDN＝∠ABD＝45°， ∵∠MAN＝∠EBM＝45°，∠AMN＝∠BME， ∴△AMN∽△BME， ∴ AM MN BM EM  ， ∵∠AMB＝∠EMN， ∴△AMB∽△NME， ∴∠AEN＝∠ABD＝45° ∴∠NAE＝∠AEN＝45°， ∴△AEN 是等腰直角三角形， ∴AN＝EN， 故①正确； ②在△ABE 和△ADF 中， ∵ AB AD ABE ADF 90 AE AF         ， ∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）， ∴BE＝DF， ∵BC＝CD， ∴CE＝CF， 假设正方形边长为 1，设 CE＝x，则 BE＝1﹣x， 如图 2，连接 AC，交 EF 于 H， ∵AE＝AF，CE＝CF， ∴AC 是 EF 的垂直平分线， ∴AC⊥EF，OE＝OF， Rt△CEF 中，OC＝ 1 2 EF＝ 2 2 x， △EAF 中，∠EAO＝∠FAO＝22.5°＝∠BAE＝22.5°， ∴OE＝BE， ∵AE＝AE， ∴Rt△ABE≌Rt△AOE（HL）， ∴AO＝AB＝1， ∴AC＝ 2 ＝AO+OC， ∴1+ 2 2 x＝ 2 ， x＝2﹣ 2 ， ∴ BE EC ＝1 (2 2) 2 2    ＝ ( 2 1)(2 2) 2   ＝ 2 2 ； 故②不正确； ③如图 3， ∴将△ADF 绕点 A 顺时针旋转 90°得到△ABH，则 AF＝AH，∠DAF＝∠BAH， ∵∠EAF＝45°＝∠DAF+∠BAE＝∠HAE， ∵∠ABE＝∠ABH＝90°， ∴H、B、E 三点共线， 在△AEF 和△AEH 中， AE AE FAE HAE AF AH       ， ∴△AEF≌△AEH（SAS）， ∴EF＝EH＝BE+BH＝BE+DF， 故③正确； ④△ADN 中，∠FND＝∠ADN+∠NAD＞45°， ∠FDN＝45°， ∴DF＞FN， 故存在点 E、F，使得 NF＞DF， 故④不正确； 故选 B． 【点睛】 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质、线段垂直 平分线的性质和判定等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线 构造全等三角形. 二、填空题 13．（2019·四川中考真题）已知一个多边形的每一个内角都等于 108°，则这个多边形的边 数是 ． 【答案】5 【解析】 试题分析：∵多边形的每一个内角都等于 108°，∴每一个外角为 72°． ∵多边形的外角和为 360°，∴这个多边形的边数是：360÷÷72=5． 14．（2019·辽宁中考真题）如图，在矩形 ABCD 中， 5AD  ， 3AB  ，点 E 从点 A 出发，以 每秒 2 个单位长度的速度沿 AD 向点 D 运动，同时点 F 从点 C 出发，以每秒 1 个单位长度的 速度沿 CB 向点 B 运动，当点 E 到达点 D 时，点 E，F 同时停止运动．连接 BE，EF，设点 E 运动的时间为 t，若 BEF 是以 BE 为底的等腰三角形，则 t 的值为________． 【答案】 5 7 4  【解析】 【分析】 过点 E 作 EG BC 于 G，可得 3AB EG  ， 2AE BG t  ，由勾股定理可求 t 的值． 【详解】 如图，过点 E 作 EG BC 于 G， ∴四边形 ABGE 是矩形， ∴ 3AB EG  ， 2AE BG t  ， ∵ 5BF EF t   ， | 2 (5 ) | | 3 5 |FG t t t     ， ∴ 2 2 2EF FG EG  ， ∴ 2 2(5 ) (3 5) 9t t    ， ∴ 5 7 4t  故答案为： 5 7 4  ． 【点睛】 本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，利用勾股定理列出方程是本题的关键． 15．（2019·四川中考真题）如图，▱ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E 是 AB 的中 点， BEO 的周长是 8，则 BCD 的周长为_____． 【答案】16 ． 【解析】 【分析】 根据平行四边形的性质可得 1 2BO DO BD＝ ＝ ，进而可得 OE 是 ABC 的中位线，由三角形中位 线定理得出 2BC OE＝ ，再根据平行四边形的性质可得 AB CD＝ ，从而可得 BCD 的周长 BEO＝ 的周长 2 ． 【详解】 解：∵▱ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O， 1 22BO DO BD BD OB ＝ ＝ ， ＝ ， ∴O 为 BD 中点， ∵点 E 是 AB 的中点， 2 2AB BE BC OE ＝ ， ＝ ， ∵四边形 ABCD 是平行四边形， AB CD ＝ ， 2CD BE ＝ ． BEO 的周长为 8， 8OB OE BE   ＝ ， 2 2 2 2 16BD BC CD OB OE BE OB OE BE      ＝ ＝（ ）＝ ， BCD 的周长是 16， 故答案为 16． 【点睛】 考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理以及线段中点的定义．关键是掌握平行四边形的 性质：①边：平行四边形的对边平行且相等．②角：平行四边形的对角相等；③对角线：平行 四边形的对角线互相平分． 16．（2019·江苏中考真题）如图，已知点 E 在正方形 ABCD 的边 AB 上，以 BE 为边向正方 形 ABCD 外部作正方形 BEFG，连接 DF，M、N 分别是 DC、DF 的中点，连接 MN.若 AB=7， BE=5，则 MN=_______. 【答案】13 2 【解析】 【分析】 连接 FC，根据三角形中位线定理可得 FC=2MN，继而根据四边形 ABCD，四边形 EFGB 是正 方形，推导得出 G、B、C 三点共线，然后再根据勾股定理可求得 FC 的长，继而可求得答案. 【详解】 连接 FC，∵M、N 分别是 DC、DF 的中点， ∴FC=2MN， ∵四边形 ABCD，四边形 EFGB 是正方形， ∴∠FGB=90°，∠ABG=∠ABC=90°，FG=BE=5，BC=AB=7， ∴∠GBC=∠ABG+∠ABC=180°， 即 G、B、C 三点共线， ∴GC=GB+BC=5+7=12， ∴FC= 2 2FG GC =13， ∴MN=13 2 ， 故答案为：13 2 . 【点睛】 本题考查了正方形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，正确添加辅助线，熟练掌握 和灵活运用相关知识是解题的关键. 17．（2019·天津中考真题）如图，正方形纸片 ABCD的边长为 12，E 是边CD 上一点，连接 AE ．折叠该纸片，使点 A落在 AE 上的G 点，并使折痕经过点 B ，得到折痕 BF ，点 F 在 AD 上．若 5DE  ，则 GE 的长为__________． 【答案】 49 13 【解析】 【分析】 先根据勾股定理得出 AE 的长，然后根据折叠的性质可得 BF 垂直平分 AG，再根据 ABM ~ ADE ,求出 AM 的长，从而得出 AG,继而得出 GE 的长 【详解】 解：在正方形 ABCD中，∠BAD=∠D = 090 ， ∴∠BAM+∠FAM= 090 在 Rt ADE 中， 2 2 2 2+ 1DE 2 31 5   A ADE ∵由折叠的性质可得 ABF GBF ∴AB=BG，∠FBA=∠FBG ∴BF 垂直平分 AG， ∴AM=MG，∠AMB= 090 ∴∠BAM+∠ABM= 090 ∴∠ABM=∠FAM ∴ ABM ~ ADE ∴ AM AB DE AE  ，∴ 12 5 13 AM  ∴AM= 60 13 , ∴AG=120 13 ∴GE=5-120 49 13 13  【点睛】 本题考查了正方形与折叠，勾股定理，等腰三角形的性质，以及三角形相似的判定和性质，熟 练掌握相关的知识是解题的关键 18．（2019·湖南中考真题）如图所示，过正五边形 ABCDE 的顶点 B 作一条射线与其内角 EAB 的角平分线相交于点 P ，且 60ABP   ，则 APB  _____度． 【答案】66 【解析】 【分析】 首先根据正五边形的性质得到 108EAB  度，然后根据角平分线的定义得到 54PAB  度， 再利用三角形内角和定理得到 APB 的度数． 【详解】 解：∵五边形 ABCDE 为正五边形， ∴ 108EAB  度， ∵ AP 是 EAB 的角平分线， ∴ 54PAB  度， ∵ 60ABP   ， ∴ 180 60 54 66APB       ． 故答案为：66． 【点睛】 本题考查了多边形内角与外角，题目中还用到了角平分线的定义及三角形内角和定理． 19．（2019·山东中考真题）用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图 1 所示），然后 轻轻拉紧、压平就可以得到如图 2 所示的正五边形 ABCDE ．图中， BAC  ____度． 【答案】36°. 【解析】 【分析】 利用多边形的内角和定理和等腰三角形的性质即可解决问题． 【详解】 (5 2) 180 1085ABC       ， ABC 是等腰三角形， 36BAC BCA    度． 【点睛】 本题主要考查了多边形的内角和定理和等腰三角形的性质． 解题关键在于知道 n 边形的内角 和为：180°（n﹣2）． 20．（2019·江苏中考真题）如图，正方形 ABCD的边长为 4，E 为 BC 上一点，且 1BE  ，F 为 AB 边上的一个动点，连接 EF ，以 EF 为边向右侧作等边 EFG ，连接CG ，则CG 的最小值 为_____． 【答案】 5 2 【解析】 【分析】 由题意分析可知，点 F 为主动点，G 为从动点，所以以点 E 为旋转中心构造全等关系，得到点 G 的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得 CG 最小值． 【详解】 由题意可知，点 F 是主动点，点G 是从动点，点 F 在线段上运动，点G 也一定在直线轨迹上 运动 将 EFB 绕点 E 旋转60，使 EF 与 EG 重合，得到 EFB EHG   ， 从而可知 EBH 为等边三角形，点G 在垂直于 HE 的直线 HN 上， 作CM HN ，则CM 即为CG 的最小值， 作 EP CM ，可知四边形 HEPM 为矩形， 则 1 3 512 2 2CM MP CP HE EC       . 故答案为 5 2 ． 【点睛】 本题考查了线段极值问题，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点G 的运动 轨迹，是本题的关键． 21．（2019·湖北中考真题）如图，在 ABCD 中，E 、F 是对角线 AC 上两点，AE EF CD  ， 90ADF   ， 63BCD   ，则 ADE 的大小为___________ 【答案】21°. 【解析】 【分析】 由直角三角形斜边中线的性质得 DE＝AE＝EF，进而可得 DC＝DE，设∠ADE＝x，则∠DAE ＝x，进而可得∠DCE＝∠DEC＝2x，再根据平行线的性质可得 ∠ACB＝∠DAE＝x，再根据 ∠ACB+∠ACD＝∠BCD=63°，即可求得答案. 【详解】 ∵AE＝EF，∠ADF＝90°， ∴DE＝AE＝EF， ∴∠DAE=∠ADE， 又∵AE＝EF＝CD， ∴DC＝DE， ∴∠DEC=∠DCE， 设∠ADE＝x，则∠DAE＝x， 则∠DCE＝∠DEC＝2x， 又 AD∥BC， ∴∠ACB＝∠DAE＝x， 由∠ACB+∠ACD＝∠BCD=63°， 得：x+2x＝63°， 解得：x＝21°， ∴∠ADE=21°， 故答案为：21°. 【点睛】 本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，平行四边形 的性质等，正确把握相关性质是解题的关键. 22．（2019·吉林中考真题）如图，在四边形 ABCD中， 10,AB BD AD  ．若将 BCD 沿 BD 折 叠,点C 与边 AB 的中点 E 恰好重合，则四边形 BCDE 的周长为________． 【答案】20 【解析】 【分析】 根据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到 DE=BE= 1 2 AB=5，再根据折叠的性质，即可得 到四边形 BCDE 的周长为 5×4=20． 【详解】 解：∵BD⊥AD，点 E 是 AB 的中点， ∴DE=BE= 1 2 AB=5， 由折叠可得，CB=BE，CD=ED， ∴四边形 BCDE 的周长为 5×4=20， 故答案为：20． 【点睛】 本题主要考查了直角三角形的性质及折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前 后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 23．（2019·湖北中考真题）如图，已知菱形 ABCD的对角线 ,AC BD 交于点 ,O E 为 BC 的中点， 若 3OE  ，则菱形的周长为_____． 【答案】24 【解析】 【分析】 根据菱形的对角线互相平分可得 BO DO ，然后求出OE 是 BCD 的中位线，再根据三角形的 中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出CD ，然后根据菱形的周长公式计算即可得 解． 【详解】 四边形 ABCD是菱形， ,AB BC CD AD BO DO     点 E 是 BC 的中点，  OE 是 BCD 的中位线， 2 2 3 6CD OE     ， 菱形 ABCD的周长 4 6 24   ； 故答案为： 24 ． 【点睛】 本题考查了菱形的性质以及三角形中位线定理；熟记菱形性质与三角形中位线定理是解题的关 键． 24．（2019·贵州中考真题）如图，平行四边形纸片 ABCD 的边 AB，BC 的长分别是 10cm 和 7.5cm，将其四个角向内对折后，点 B 与点 C 重合于点 C'，点 A 与点 D 重合于点 A′．四 条折痕围成一个“信封四边形”EHFG，其顶点分别在平行四边形 ABCD 的四条边上，则 EF ＝__cm． 【答案】10． 【解析】 【分析】 先根据有三个角是直角的四边形是矩形证明四边形 EHFG 是矩形，再证明△FCH≌△EAG， 可得 CF=AE=FC'，可知 EF=AB，即可得结论． 【详解】 如图中， 由翻折可知：∠CHF＝∠FHC'，∠BHE＝∠EHC'， ∴∠FHE＝∠FHC'+∠EHC' 1 2  （∠CHC'+∠BHC'）＝90°， 同法可证：∠HFG＝∠GEH＝90°， ∴四边形 EHFG 是矩形． ∴FH＝EG，FH∥EG， ∴∠HFC'＝∠FEG， ∵∠CFH＝∠HFC'，∠AEG＝∠GEA'， ∴∠CFH＝∠AEG， ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠C＝∠A，BC＝AD， 由翻折得：CH＝C'H＝BH 1 2  BC，AG＝A'G＝DG 1 2  AD， ∴CH＝AG， ∴△HCF≌△GAE（AAS）， ∴CF＝AE， ∴EF＝FC'+EC'＝AE+BE＝AB＝10cm， 故答案为：10． 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质，翻折变换，矩形的判定和性质，三角形全等的性质和判定等知 识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 25．（2019·山东中考真题）如图， E ， F 是正方形 ABCD的对角线 AC 上的两点， 8AC  ， 2AE CF  ，则四边形 BEDF 的周长是_____． 【答案】8 5 【解析】 【分析】 连接 BD 交 AC 于点O，则可证得OE OF ，OD OB ，可证四边形 BEDF 为平行四边形，且 BD EF ，可证得四边形 BEDF 为菱形；根据勾股定理计算 DE 的长，可得结论． 【详解】 如图，连接 BD 交 AC 于点O， ∵四边形 ABCD为正方形， ∴ BD AC ，OD OB OA OC   ， ∵ 2AE CF  ， ∴OA AE OC CF   ，即OE OF ， ∴四边形 BEDF 为平行四边形，且 BD EF ， ∴四边形 BEDF 为菱形， ∴ DE DF BE BF   ， ∵ 8AC BD  ， 8 4 22OE OF    ， 由勾股定理得： 2 2 2 24 2 2 5DE OD OE     ， ∴四边形 BEDF 的周长 4 4 2 5 8 5DE    ， 故答案为：8 5 . 【点睛】 本题考查了正方形的性质、菱形的判定和性质及勾股定理，掌握对角线互相垂直平分的四边形 为菱形是解题的关键． 26．（2019·内蒙古中考真题）如图，在 Rt ABC 中， 90 , 3,ABC BC D   为斜边 AC 的中点， 连接 BD ，点 F 是 BC 边上的动点（不与点 B C、 重合），过点 B 作 BE BD 交 DF 延长线交于 点 E ，连接CE ，下列结论： ①若 BF CF ，则 2 2 2CE AD DE  ； ②若 , 4BDE BAC AB    ，则 15 8CE  ； ③ ABD 和 CBE 一定相似； ④若 30 , 90A BCE     ，则 21DE  ． 其中正确的是_____．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】 ①由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得 AD=BD，由 BF=CF，BD=CD 得 DE 是 BC 的垂直平分线，得 BE=CE，再由勾股定理便可得结论，由此判断结论的正误；②证明△ABC ∽△DBE，求得 BE，再证明 DE∥AB，得 DE 垂直平分 BC，得 CE=BE，便可判断结论的正误； ③证明∠ABD=∠CBE，再证明 BE 与 BC 或 BC 与 BE 两边的比不一定等于 AB 与 BD 的比， 便可判断结论正误；④先求出 AC，进而得 BD，再在 Rt△BCE 中，求得 BE，进而由勾股定理 求得结果，便可判断正误． 【详解】 解：① 90 ,ABC D  为斜边 AC 的中点， AD BD CD   ， AF CF ， BF CF  ， DE BC  ， BE CE  BE BD ， 2 2 2BD BE DE   2 2 2CE AD DE   故①正确； ② 4, 3AB BC  ， 2 2 5AC AB BC    ， 5 2BD AD CD    ， , 90A BDE ABC DBE        ， ~ABC DBE  ， AB BC DB BE   ， 即 4 3 5 2 BE  ． 15 8BE  ， AD BD ， A ABD   ， ,A BDE BDC A ABD        ， A CDE   ， / /DE AB DE BC  ， BD CD ， DE 垂直平分 BC ， BE CE  ， 15 8CE  ， 故②正确； ③ 90ABC DBE     ， ABD CBE   ， 5 52 4 8 BD AB   ， 但随着 F 点运动， BE 的长度会改变，而 3, 3 BEBC  3 BE 或 3 BE 不一定等于 5 8 ， ABD 和 CBE 不一定相似， 故③错误； ④ ,30 3A BC   ， 30 ,A ABD CBE       2 6AC BC  1 32BD AC   3, 90BC BCE    ， 2 3cos30B BCE    ， 2 2 21E BDD BE    ， 故④正确； 故答案为：①②④． 【点睛】 本题是三角形的一个综合题，主要考查了勾股定理，相似三角形的性质与判定，解直角三角形， 直角三角形的性质，线段垂直平分线的判定与性质，考试的内容多，难度较大，关键是综合应 用以上性质灵活解题． 三、解答题 27．（2019·山东中考真题）如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 的中点为 O，点 G，H 在 对角线 AC 上，AG＝CH，直线 GH 绕点 O 逆时针旋转α角，与边 AB、CD 分别相交于点 E、 F（点 E 不与点 A、B 重合）． （1）求证：四边形 EHFG 是平行四边形； （2）若∠α＝90°，AB＝9，AD＝3，求 AE 的长． 【答案】（1）详见解析；（2）AE＝5． 【解析】 【分析】 （1）由“ASA”可证△COF≌△AOE，可得 EO＝FO，且 GO＝HO，可证四边形 EHFG 是 平行四边形； （2）由题意可得 EF 垂直平分 AC，可得 AE＝CE，由勾股定理可求 AE 的长． 【详解】 证明：（1）∵对角线 AC 的中点为 O ∴AO＝CO，且 AG＝CH ∴GO＝HO ∵四边形 ABCD 是矩形 ∴AD＝BC，CD＝AB，CD∥AB ∴∠DCA＝∠CAB，且 CO＝AO，∠FOC＝∠EOA ∴△COF≌△AOE（ASA） ∴FO＝EO，且 GO＝HO ∴四边形 EHFG 是平行四边形； （2）如图，连接 CE ∵∠α＝90°， ∴EF⊥AC，且 AO＝CO ∴EF 是 AC 的垂直平分线， ∴AE＝CE， 在 Rt△BCE 中，CE2＝BC2+BE2， ∴AE2＝（9﹣AE）2+9， ∴AE＝5 【点睛】 此题主要考查特殊平行四边形的证明与性质，解题的关键是熟知矩形的性质及勾股定理的运 用. 28．（2019·湖南中考真题）如图，点 E、F、G、H 分别在矩形 ABCD 的边 AB、BC、CD、 DA(不包括端点)上运动，且满足 AE CG ， AH CF ． (1)求证： AEH CGF   ； (2)试判断四边形 EFGH 的形状，并说明理由． (3)请探究四边形 EFGH 的周长一半与矩形 ABCD 一条对角线长的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)四边形 EFGH 是平行四边形，理由见解析；(3)四边形 EFGH 的周 长一半大于或者等于矩形 ABCD 一条对角线长度，理由见解析. 【解析】 【分析】 （1）根据全等三角形的判定定理 SAS 证得结论； （2）由（1）中全等三角形的性质得到：EH=GF，同理可得 FE=HG，即可得四边形 EFGH 是 平行四边形； （3）由 轴对称--最短路径问题得到：四边形 EFGH 的周长一半大于或等于矩形 ABCD 一条 对角线长度． 【详解】 解：(1)∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ A C   ． ∴在 AEH 与 CGF 中， AE CG A C AH CF       ， ∴ (SAS)AEH CGF   ； (2)∵由(1)知， (SAS)AEH CGF   ，则 EH GF ，同理证得 (SAS)EBF GDH   ，则 EF GH ， ∴四边形 EFGH 是平行四边形； (3) 四边形 EFGH 的周长一半大于或等于矩形 ABCD 一条对角线长度． 理由如下：作 G 关于 BC 的对称点 G′，连接 EG′，可得 EG′的长度就是 EF+FG 的最小 值． 连接 AC， ∵CG′=CG=AE，AB∥CG′， ∴四边形 AEG′C 为平行四边形， ∴EG′=AC． 在△EFG′中，∵EF+FG′≥EG′=AC， ∴四边形 EFGH 的周长一半大于或等于矩形 ABCD 一条对角线长度． 【点睛】 考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质．灵活运用这些性质进行推理证明是本题的关键． 29．（2019·江苏中考真题）如图，把平行四边形纸片 ABCD沿 BD 折叠，点C 落在点C 处， BC与 AD 相交于点 E ． （1）连接 AC，则 AC与 BD 的位置关系是 ；（2） EB 与 ED 相等吗？证明你的结论． 【答案】（1） / /AC BD ；（2） EB 与 ED 相等，详见解析. 【解析】 【分析】 （1）根据 AD C B ， ED EB ，即可得到 AE C E ，再根据三角形内角和定理，即可得到 EAC EC A EBD EDB        ，进而得出 / /AC BD ； （2）依据平行线的性质以及折叠的性质，即可得到 EDB EBD   ，进而得出 BE DE ． 【详解】 解：（1）连接 AC， 在平行四边形 ABCD中， AD BC ， ADB CBD   ， 把平行四边形纸片 ABCD沿 BD 折叠，点C 落在点C 处.  'AD BC ， 'CBD C BD  ，  'ADB C BD   ，  ED EB .  AE C E ，  EAC EC A EBD EDB        .  / /AC BD ， 故答案为 / /AC BD ； （2） EB 与 ED 相等． 由折叠可得， CBD C BD   ，  / /AD BC ，  ADB CBD   ，  EDB EBD   ，  BE DE ． 【点睛】 本题主要考查了折叠问题以及平行四边形的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠 前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 30．（2019·江苏中考真题）如图，四边形 ABCD中， AD BC∥ ，点 E 、 F 分别在 ,AD BC 上， AE CF ，过点 A、C 分别作 EF 的垂线，垂足为G 、 H ． （1）求证： AGE CHF   ；（2）连接 AC ，线段GH 与 AC 是否互相平分？请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）线段GH 与 AC 互相平分，见解析. 【解析】 【分析】 （1）由垂线的性质得出∠G=∠H=90°，AG∥CH，由平行线的性质和对顶角相等得出∠ AEG=∠CFH，由 AAS 即可得出△AGE≌△CHF； （2）连接 AH、CG，由全等三角形的性质得出 AG=CH，证出四边形 AHCG 是平行四边形， 即可得出结论． 【详解】 （1）证明： AG EF ， CH EF ， 90G H    ， AG CH∥ ， AD BC∵ ‖ ， DEF BFE   ， AEG DEF   ， CFH BFE   ， AEG CFH   ， 在 AGE 和 CHF 中， G H AEG CFH AE CF         ，  AGE CHF AAS   ； （2）线段GH 与 AC 互相平分，理由如下： 连接 AH 、CG ，如图所示： 由（1）得： AGE CHF   ， AG CH  ， AG CH ∥ ， ∴四边形 AHCG 是平行四边形， ∴线段GH 与 AC 互相平分． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平 行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 31．（2017·山东中考真题）如图，在▱ABCD 中，以点 A 为圆心，AB 长为半径画弧交 AD 于点 F，再分别以点 B、F 为圆心，大于 1 2 BF 的相同长为半径画弧，两弧交于点 P；连接 AP 并延长交 BC 于点 E，连接 EF，则所得四边形 ABEF 是菱形． （1）根据以上尺规作图的过程，求证：四边形 ABEF 是菱形； （2）若菱形 ABEF 的周长为 16，AE=4 3 ，求∠C 的大小． 【答案】（1）证明见解析；（2）60°． 【解析】 试题分析：（1）由作图过程可知，AB＝AF，AE 平分∠BAD，即可得∠BAE＝∠EAF．再由四 边形 ABCD 为平行四边形，可得 BC∥AD，根据平行线的性质可得∠AEB＝∠EAF，所以∠ BAE＝∠AEB，根据等腰三角形的性质可得 AB＝BE，即可得 BE＝AF，所以四边形 ABEF 为平 行四边形，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可判定四边形 ABEF 为菱形；（2）连接 BF，已知四边形 ABEF 为菱形，根据菱形的性质可得 BF 与 AE 互相垂直平分，∠BAE＝∠FAE， OA＝ AE＝ ．再由菱形 ABEF 的周长为 16，可得 AF＝4．所以 cos∠OAF＝ ＝ ．即 可得∠OAF＝30°，所以∠BAF＝60°．再由平行线的性质即可得∠C＝∠BAD＝60°． 试题解析： （1）由作图过程可知，AB＝AF，AE 平分∠BAD．∴∠BAE＝∠EAF． ∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴BC∥AD．∴∠AEB＝∠EAF． ∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE．∴BE＝AF．∴四边形 ABEF 为平行四边形． ∴四边形 ABEF 为菱形． （2）连接 BF， ∵四边形 ABEF 为菱形，∴BF 与 AE 互相垂直平分，∠BAE＝∠FAE． ∴OA＝ AE＝ ．∵菱形 ABEF 的周长为 16，∴AF＝4． ∴cos∠OAF＝ ＝ ．∴∠OAF＝30°，∴∠BAF＝60°． ∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴∠C＝∠BAD＝60°． 32．（2019·山东中考真题）如图，BD 是菱形 ABCD的对角线， 75CBD   ，（1）请用尺规 作图法，作 AB 的垂直平分线 EF ，垂足为 E ，交 AD 于 F ；（不要求写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）条件下，连接 BF ，求 DBF 的度数． 【答案】（1）答案见解析；（2）45°． 【解析】 【分析】 （1）分别以 A、B 为圆心，大于 1 2 AB 长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可； （2）根据∠DBF＝∠ABD﹣∠ABF 计算即可； 【详解】 （1）如图所示，直线 EF 即为所求； （2）∵四边形 ABCD 是菱形， ∴∠ABD＝∠DBC 1 2  ∠ABC＝75°，DC∥AB，∠A＝∠C， ∴∠ABC＝150°，∠ABC+∠C＝180°， ∴∠C＝∠A＝30°． ∵EF 垂直平分线段 AB， ∴AF＝FB， ∴∠A＝∠FBA＝30°， ∴∠DBF＝∠ABD﹣∠FBE＝45°． 【点睛】 本题考查了线段的垂直平分线作法和性质，菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知 识解决问题． 33．（2019·湖北中考真题）如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，点 O 是对角线 AC 的中 点，过点 O 作 AC 的垂线，分别交 AD、BC 于点 E、F，连接 AF、CE.试判断四边形 AECF 的形状，并证明. 【答案】四边形 AECF 为菱形；证明见解析. 【解析】 【分析】 如图，根据平行线的性质可得∠1=∠2，由 O 是 AC 中点可得 AO=CO，利用 AAS 可证明 △AOE≌△COF，可得 AE=CF，根据中垂线的性质可得 AF=CF，AE=CE，进而可证明 AF=CF=AE=CE，即可得四边形 AECF 为菱形. 【详解】 四边形 AECF 为菱形.证明如下： ∵AD∥BC， ∴∠1=∠2， ∵O 是 AC 中点， ∴AO=CO， 在△AOE 和△COF 中 1 2 AOE COF AO CO         ， ∴△AOE≌△COF（AAS）， ∴AE=CF， ∵EF⊥AC，OA=OC， ∴AF=CF，AE=CE， ∴AF=CF=AE=CE ∴平行四边形 AECF 为菱形. 【点睛】 本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质、线段中垂线的性质及菱形的判定，熟练 掌握判定定理及性质是解题关键. 34．（2019·江苏中考真题）如图，将平行四边形纸片 ABCD沿一条直线折叠，使点 A与点C 重合，点 D 落在点G 处，折痕为 EF ．求证： （1） ECB FCG   ； （2） EBC FGC   ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】 【分析】 (1)依据平行四边形的性质，即可得到 A BCD   ，由折叠可得， A ECG   ，即可得到 ECB FCG   ； (2)依据平行四边形的性质，即可得出 D B   ，AD BC ，由折叠可得， D G   ，AD CG ， 即可得到 B G   ， BC CG ，进而得出 EBC FGC   ． 【详解】 (1)四边形 ABCD是平行四边形， A BCD   ， 由折叠可得， A ECG   ， BCD ECG   ， BCD ECF ECG ECF     ， ECB FCG   ； (2)四边形 ABCD是平行四边形， D B   ， AD BC ， 由折叠可得， D G   ， AD CG ， B G   ， BC CG ， 又 ECB FCG   ， ( )EBC FGC ASA   ． 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质 以及折叠的性质是解题的关键. 35．（2019·辽宁中考真题）如图，四边形 ABCD 是菱形，∠BAD＝120°，点 E 在射线 AC 上（不包括点 A 和点 C），过点 E 的直线 GH 交直线 AD 于点 G，交直线 BC 于点 H，且 GH ∥DC，点 F 在 BC 的延长线上，CF＝AG，连接 ED，EF，DF． （1）如图 1，当点 E 在线段 AC 上时， ①判断△AEG 的形状，并说明理由． ②求证：△DEF 是等边三角形． （2）如图 2，当点 E 在 AC 的延长线上时，△DEF 是等边三角形吗？如果是，请证明你的结 论；如果不是，请说明理由． 【答案】（1）①△AEG 是等边三角形；理由见解析；②证明见解析；（2）△DEF 是等边三角 形；理由见解析； 【解析】 【分析】 （1）①由菱形的性质得出 AD∥BC，AB＝BC＝CD＝AD，AB∥CD，∠CAD＝ 1 2 ∠BAD＝ 60°，由平行线的性质得出∠BAD＋∠ADC＝180°，∠ADC＝60°，∠AGE＝∠ADC＝ 60°，得出∠AGE＝∠EAG＝∠AEG＝60°，即可得出△AEG 是等边三角形； ②由等边三角形的性质得出 AG＝AE，由已知得出 AE＝CF，由菱形的性质得出∠BCD＝∠ BAD＝120°，得出∠DCF＝60°＝∠CAD，证明△AED≌△CFD（SAS），得出 DE＝DF， ∠ADE＝∠CDF，再证出∠EDF＝60°，即可得出△DEF 是等边三角形； （2）同（1）①得：△AEG 是等边三角形，得出 AG＝AE，由已知得出 AE＝CF，由菱形的 性质得出∠BCD＝∠BAD＝120°，∠CAD＝ 1 2 ∠BAD＝60°，得出∠FCD＝60°＝∠CAD， 证明△AED≌△CFD（SAS），得出 DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，再证出∠EDF＝60°，即可得 出△DEF 是等边三角形． 【详解】 （1）①解：△AEG 是等边三角形；理由如下： ∵四边形 ABCD 是菱形，∠BAD＝120°， ∴AD∥BC，AB＝BC＝CD＝AD，AB∥CD，∠CAD＝ 1 2 ∠BAD＝60°， ∴∠BAD+∠ADC＝180°， ∴∠ADC＝60°， ∵GH∥DC， ∴∠AGE＝∠ADC＝60°， ∴∠AGE＝∠EAG＝∠AEG＝60°， ∴△AEG 是等边三角形； ②证明：∵△AEG 是等边三角形， ∴AG＝AE， ∵CF＝AG， ∴AE＝CF， ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴∠BCD＝∠BAD＝120°， ∴∠DCF＝60°＝∠CAD， 在△AED 和△CFD 中， AD CD EAD FCD AE CF       ， ∴△AED≌△CFD（SAS） ∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF， ∵∠ADC＝∠ADE+∠CDE＝60°， ∴∠CDF+∠CDE＝60°， 即∠EDF＝60°， ∴△DEF 是等边三角形； （2）解：△DEF 是等边三角形；理由如下： 同（1）①得：△AEG 是等边三角形， ∴AG＝AE， ∵CF＝AG， ∴AE＝CF， ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴∠BCD＝∠BAD＝120°，∠CAD＝ 1 2 ∠BAD＝60°， ∴∠FCD＝60°＝∠CAD， 在△AED 和△CFD 中， AD CD EAD FCD AE CF       ， ∴△AED≌△CFD（SAS）， ∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF， ∵∠ADC＝∠ADE﹣∠CDE＝60°， ∴∠CDF﹣∠CDE＝60°， 即∠EDF＝60°， ∴△DEF 是等边三角形． 【点睛】 本题是四边形综合题目，考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与 性质、平行线的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的 关键． 36．（2019·广西中考真题）如图 1，在正方形 ABCD中，点 E 是 AB 边上的一个动点（点 E 与 点 ,A B 不重合），连接CE ，过点 B 作 BF CE 于点G ，交 AD 于点 F ． （1）求证： ABF BCE ≌ ； （2）如图 2，当点 E 运动到 AB 中点时，连接 DG ，求证： DC DG ； （3）如图 3，在（2）的条件下，过点C 作CM DG 于点 H ，分别交 ,AD BF 于点 ,M N ，求 MN NH 的值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 5 4 MN NH  . 【解析】 【分析】 （1）先判断出 90GCB CBG     ，再由四边形 ABCD是正方形，得出 90CBE A     ， BC AB ，即可得出结论； （2）过点 D 作 DQ CE 于Q，设 2AB CD BC a   ，先求出 1 2EA EB AB a   ，进而得出 5CE a ，再求出 2 5 5BG a ， 4 5 5CG a ，再判断出  CQD BGC AAS ，进而判断出 GQ CQ ，即可得出结论； （3）先求出 8 5CH a ，再求出 6 5DH a ，再判断出 CHD DHM ，求出 9 10HM a ，再用 勾股定理求出 4 5GH a ，最后判断出 NGH GCH ，得出 2 2 5 HGHN aCH   ，即可得出结论. 【详解】 （1）证明：∵ BF CE ， ∴ 90CGB  ， ∴ 90GCB CBG     ， ∵四边形 ABCD是正方形， ∴ 90 ,CBE A BC AB      ， ∴ 90FBA CBG     ， ∴ GCB FBA   ， ∴ ( )ABF BCE ASA ≌ ； （2）证明：如图 2，过点 D 作 DQ CE 于Q， 设 2AB CD BC a   ， ∵点 E 是 AB 的中点， ∴ 1 2EA EB AB a   ， ∴ 5CE a ， 在 Rt CEB 中，根据面积相等，得 BG CE CB EB   ， ∴ 2 5 5BG a ， ∴ 2 2 4 5 5CG CB BG a   ， ∵ 90 , 90DCE BCE CBF BCE         ， ∴ DCE CBF   ， ∵ , 90CD BC CQD CGB     ， ∴ ( )CQD BGC AAS ≌ ， ∴ 2 5 5CQ BG a  ， ∴ 2 5 5GQ CG CQ a CQ    ， ∵ , 90DQ DQ CQD GQD     ， ∴ ( )DGQ DCQ SAS ≌ ， ∴CD GD ； （3）解：如图 3，过点 D 作 DQ CE 于Q， 1 1 2 2CDGS CG DQ CH DG     ， ∴ 8 5 CG DQCH aDG   ， 在 Rt CHD 中， 2CD a ， ∴ 2 2 6 5DH CD CH a   ， ∵ 90 , 90MDH HDC HCD HDC          ， ∴ MDH HCD   ， ∴ CHD DHM ∽ ， ∴ 3 4 DH HM H DHC   ， ∴ 9 10HM a ， 在 Rt CHG 中， 4 5 8,5 5CG a CH a  ， ∴ 2 2 4 5GH CG CH a   ， ∵ 90 , 90NGH CGH HCG CGH          ， ∴ NGH HCG   ， ∴ NGH GCH ∽ ， ∴ HN HG HG CH  ， ∴ 2 2 5 HGHN aCH   ， ∴ 1 2MN HM HN a   ， ∴ 1 52 2 4 5 aMN NH a   【点睛】 此题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股 定理，判断出 DGQ DCQ 是解本题的关键. 37．（2019·四川中考真题）如图 1，在正方形 ABCD中， AE 平分 CAB ，交 BC 于点 E ，过 点C 作CF AE ，交 AE 的延长线于点G ，交 AB 的延长线于点 F ． (1)求证： BE BF ； (2)如图 2，连接 BG 、 BD ，求证： BG 平分 DBF ； (3)如图 3，连接 DG 交 AC 于点 M ，求 AE DM 的值． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) 2AE DM  . 【解析】 【分析】 (1)由正方形性质得出 90ABC   ， AB BC ，根据直角三角形两锐角互余的关系可得 EAB FCB   ，利用 ASA可证得 ABE CBF   ，即可得出结论；(2)由正方形性质与角平分 线的定义得出 22.5CAG FAG    o ，利用 ASA可证得 AGC AGF   得出CG GF ，由直角 三角形斜边中线的性质得出GB GC GF  ，根据角的和差关系可得 DBG GBF   ，即可得 出结论；(3)连接 BG ，由正方形的性质得出 DC AB ， 45DCA ACB    o ， 90DCB  o ，推 出 2AC DC ，根据角的和差关系可得 DCG ABG   ，利用 SAS 可证得 DCG ABG   ，得 出 22.5CDG GAB    o ，推出 CDG CAG   ，即可证得△DCM∽△ACE，即可得出结果． 【详解】 (1)∵四边形 ABCD是正方形， ∴ 90ABC   ， AB BC ， ∴ 90EAB AEB    o ， ∵ AG CF ， ∴ 90FCB CEG    o ， ∵ AEB CEG   ， ∴ EAB FCB   ， 在 ABE 和 CBF 中， 90 EAB FCB AB BC ABE CBF           ， ∴  ABE CBF ASA   ， ∴ BE BF . (2)证明：∵四边形 ABCD是正方形， ∴ 45ABD CAB    o ， ∵ AE 平分 CAB ， ∴ 22.5CAG FAG    o ， 在 AGC 和 AGF 中， 90 CAG FAG AG AG AGC AGF           ， ∴  AGC AGF ASA   ， ∴CG GF ， ∵ 90CBF  o ， ∴GB GC GF  ， ∴ 90 90GBF GFB FCB GAF        o o 90 22.5 67.5  o o o ， ∴ 180DBG ABD GBF     o 180 45 67.5 67.5   o o o o ， ∴ DBG GBF   ， ∴ BG 平分 DBF . (3)解：连接 BG ，如图 3 所示： ∵四边形 ABCD是正方形， ∴ DC AB ， 45DCA ACB    o ， 90DCB  o ， ∴ 2AC DC ， ∵ DCG DCB BCF DCB GAF         90 22.5 112.5  o o o ， 180 180 67.5 112.5ABG GBF      o o o o ， ∴ DCG ABG   ， 在 DCG 和 ABG 中， DC AB DCG ABG CG BG       ， ∴  DCG ABG SAS   ， ∴ 22.5CDG GAB    o ， ∴ CDG CAG   =22.5°， ∵ 45DCM ACE    o ， ∴ DCM ACE : ， ∴ 2AE AC DM DC   ． 【点睛】 本题是相似综合题，考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、角平分线定义、等腰直 角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综 合性强，涉及知识面广，熟练掌握正方形的性质、角平分线定义，证明三角形全等与相似是解 题的关键． 38．（2019·江苏中考真题）如图，线段 8AB  ，射线 BG AB ，P 为射线 BG 上一点，以 AP 为边作正方形 APCD，且点C 、D 与点 B 在 AP 两侧，在线段 DP 上取一点 E ，使 EAP BAP   ， 直线CE 与线段 AB 相交于点 F （点 F 与点 A、 B 不重合）． （1）求证： AEP CEP   ； （2）判断CF 与 AB 的位置关系，并说明理由； （3）求 AEF 的周长． 【答案】（1）详见解析；（2）CF AB ，理由详见解析；（3）16. 【解析】 【分析】 （1）四边形 APCD正方形，则 DP 平分 APC ， PC PA ， 45APD CPD    o ，即可求解； （2） AEP CEP   ，则 EAP ECP   ，而 EAP BAP   ，则 BAP FCP   ，又 90FCP CMP    o ，则 90AMF PAB    o 即可求解； （3）证明  PCN APB AAS   ，则CN PB BF  ， PN AB ，即可求解． 【详解】 （1）证明：∵四边形 APCD正方形， ∴ DP 平分 APC ， PC PA ， ∴ 45APD CPD    o ， ∴  AEP CEP SAS   ； （2）CF AB ，理由如下： ∵ AEP CEP   ，∴ EAP ECP   ， ∵ EAP BAP   ，∴ BAP FCP   ， ∵ 90FCP CMP    o ， AMF CMP   ， ∴ 90AMF PAB    o ， ∴ 90AFM  o ，∴CF AB ； （3）如图，过点C 作CN PB ． ∵CF AB ， BG AB ，∴ FC BNP ， ∴ CPN PCF EAP PAB       ， 又 AP CP ，∴  PCN APB AAS   ， ∴CN PB BF  ， PN AB ， ∵ AEP CEP   ，∴ AE CE ， ∴ AE EF AF  CE EF AF   BN AF  PN PB AF   AB CN AF   AB BF AF   2AB 16 ． 【点睛】 本题为四边形综合题，涉及到正方形的性质、三角形全等等知识点，其中（3），证明  PCN APB AAS   ，是本题的关键． 39．（2019·辽宁中考真题）如图，四边形 ABCD 是正方形，连接 AC，将 ABC△ 绕点 A 逆 时针旋转α得 AEF ，连接 CF，O 为 CF 的中点，连接 OE，OD． （1）如图 1，当 45  时，请直接写出 OE 与 OD 的关系（不用证明）． （2）如图 2，当 45 90   时，（1）中的结论是否成立？请说明理由． （3）当 360  时，若 4 2AB  ，请直接写出点 O 经过的路径长． 【答案】（1）OE OD= ，OE OD ，理由见解析；（2）当 45 90   时，（1）中的结论成立， 理由见解析；（3）点 O 经过的路径长为8 ． 【解析】 【分析】 （1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质可得 OD 与 OE 的数量关系；根据旋 转的性质和正方形的性质可得 AC=AF 以及△ACF 各内角的度数，进一步即可求出∠COE 与 ∠DOF 的度数，进而可得 OD 与 OE 的位置关系； （2）延长 EO 到点 M，使OM EO ，连接 DM、CM、DE，如图 2 所示，先根据 SAS 证明 COMV ≌ FOEV ，得 MCF EFC   ，CM EF ，再根据正方形的性质和旋转的性质推得 FCD CFE MCF     ，进一步在△ACF 中根据三角形内角和定理和正方形的性质得出 DAE DCM   ，再一次运用 SAS 推出 ADE ≌ CDMV ，于是 DE DM ，进一步即可得出 OE、OD 的位置关系，然后再运用 SAS 推出 COMV ≌ COD△ ，即可得 OD 与 OE 的数量关 系； （3）连接 AO，如图 3 所示，先根据等腰三角形三线合一的性质得出 90AOC   ，即可判断 点 O 的运动路径，由 360  可得点 O 经过的路径长，进一步即可求得结果. 【详解】 解：（1） OE OD= ，OE OD ；理由如下： 由旋转的性质得： AF AC ， AFE ACBÐ = Ð ， ∵四边形 ABCD 是正方形，∴ 45ACB ACD FAC       ， ∴  1 180 45 67.52ACF AFC         ， ∴ 22.5DCF EFC     ， ∵ 90FEC   ，O 为 CF 的中点，∴ 1 2OE CF OC OF   ， 同理： 1 2OD CF ，∴OE OD OC OF   ， ∴ 2 45EOC EFO     ， 2 45DOF DCO     ， ∴ 180 45 45 90DOE         ，∴OE OD ； （2）当 45 90   时，（1）中的结论成立，理由如下： 延长 EO 到点 M，使OM EO ，连接 DM、CM、DE，如图 2 所示： ∵O 为 CF 的中点，∴ OC OF ， 在 COMV 和 FOEV 中， OM OE COM FOE OC OF       ， ∴ COMV ≌ FOEV （SAS），∴ MCF EFC   ，CM EF . ∵四边形 ABCD 是正方形，∴ AB BC CD  ， 45BAC BCA     ， ∵ ABC 绕点 A 逆时针旋转α得 AEF ， ∴ AB AE EF CD   ， AC AF ， ∴CD CM ， ACF AFC   ， ∵ ACF ACD FCD     ， AFC AFE CFE     ， 45ACD AFE     ， ∴ FCD CFE MCF     ， ∵ 45EAC DAE     ， 45FAD DAE     ，∴ EAC FAD   ， 在 ACF 中，∵ 180ACF AFC CAF       ， ∴ 2 90 180DAE FAD DCM         ， ∵ 45FAD DAE     ，∴ 45FAD DCM     ，∴ DAE DCM   ， 在 ADE 和 CDMV 中， AE CM DAE DCM AD CD       ， ∴ ADE ≌ CDMV （SAS），∴ DE DM ， ∵OE OM ，∴OE OD ， 在 COMV 和 COD△ 中， CM CD MCF FCD OC OC       ， ∴ COMV ≌ COD△ （SAS），∴OM OD . ∴ OE OD= ，∴ OE OD= ，OE OD ； （3）连接 AO，如图 3 所示： ∵ AC AF ，CO OF ，∴ AO CF ，∴ 90AOC   ， ∴点 O 在以 AC 为直径的圆上运动， ∵ 360  ，∴点 O 经过的路径长等于以 AC 为直径的圆的周长， ∵ 2 2 4 2 8AC AB    ，∴点 O 经过的路径长为： 8d  ． 【点睛】 本题是正方形的综合题，综合考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、 等腰三角形的性质和判断动点运动路径等知识，考查的知识点多、综合性强，倍长中线构造全 等三角形、熟知正方形的性质、灵活应用旋转的性质和全等三角形的判定与性质是解（2）题 的关键.