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- 2021-05-10 发布
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第36课时 轴对称与中心对称
(60分)
一、选择题(每题6分,共30分)
1.[2016·潍坊]下列汽车标志中不是中心对称图形的是 (B)
2.如图36-1,△ABC与△A′B′C′关于直线l对称,则∠B的度数为 (C)
图36-1
A.50° B.30°
C.100° D.90°
【解析】 ∵△ABC≌△A′B′C′,
∴∠C=∠C′=30°,
∴∠B=180°-50°-30°=100°,故选C.
3.[2016·烟台]剪纸是我国最古老的民间艺术之一,被列入第四批《人类非物质文化遗产代表作名录》.下列剪纸作品中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是 (D)
4.[2016·呼和浩特]如图36-2,有一块矩形纸片ABCD,AB=8,AD=6,将纸片折叠,使得AD边落在AB边上,折痕为AE,再将△AED沿DE向右翻折,AE与BC的交点为F,则△CEF的面积为 (C)
7
图36-2
A. B. C.2 D.4
【解析】 ∵AB=8,AD=6,将纸片折叠,使得AD边落在AB边上,
∴DB=8-6=2,∠EAD=45°,
又∵△AED沿DE向右翻折,AE与BC的交点为F,
∴AB=AD-DB=6-2=4,△ABF为等腰直角三角形,
∴BF=AB=4,
∴CF=BC-BF=6-4=2,
而EC=DB=2,
则△CEF的面积=×2×2=2.
5.[2016·遵义]如图36-3,四边形ABCD中,∠C=50°,∠B=∠D=90°,E,F分别是BC,DC上的点,当△AEF的周长最小时,∠EAF的度数为 (D)
A.50° B.60°
图36-3
C.70° D.80°
第5题答图
【解析】 要使△AEF的周长最小,即利用点的对称,使三角形的三边在同一直线上,作出A关于BC和CD的对称点A′,A″,连结A′A″交BC于E,DC于F,则此时△AEF的周长最小.即可得出∠AA′E+∠A″=∠HAA′=50°,进而得出∠AEF+∠AFE=2(∠AA′E+∠A″)=2×50°=100°,
∴∠EAF=180°-100°=80°.
二、填空题(每题6分,共30分)
6.[2016·六盘水]如图36-4,有一个英语单词,四个字母都关于直线l对称,请在图上补全字母,写出这个单词所指的物品是__书__.
7
图36-4
【解析】 根据轴对称图形的性质,组成图形,
第6题答图
这个单词所指的物品是书.
图36-5
7.如图36-5,将一张直角三角形纸片ABC沿中位线DE剪开后,在平面上将△BDE绕着CB的中点D逆时针旋转180°,点E到了点E′位置,则四边形ACE′E的形状是__平行四边形__.
【解析】 ∵DE是△ABC的中位线,
∴DE∥AC,DE=AC.
∵将△BDE绕着CB的中点D逆时针旋转180°,点E到了点E′位置,
∴DE=DE′,∴EE′=2DE=AC,
∴四边形ACE′E的形状是平行四边形.
图36-6
8.[2017·白银]如图36-6,四边形ABCD是菱形,O是两条对角线的交点,过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分.当菱形的两条对角线的长分别为6和8时,则阴影部分的面积为__12__.
【解析】 ∵菱形的两条对角线的长分别为6和8,
∴菱形的面积=×6×8=24,
∵O是菱形两条对角线的交点,
∴阴影部分的面积=×24=12.
图36-7
9.[2016·成都]如图36-7,在▱ABCD中,AB=,AD=4,将▱ABCD沿AE翻折后,点B恰好与点C重合,则折痕AE的长为__3__.
【解析】 ∵翻折后点B恰好与点C重合,
∴AE⊥BC,BE=CE,
∵BC=AD=4,
∴BE=2,
∴AE===3.
10.在四边形ABCD中,AB=CD,要使四边形ABCD
7
是中心对称图形,只需添加一个条件,这个条件可以是__AB∥CD或AD=BC或∠B+∠C=180°或∠A+∠D=180°等(答案不唯一)__(只需填写一种情况).
三、解答题(共10分)
11.(10分)[2017·金华]在棋盘中建立如图36-8所示的直角坐标系,三颗棋子A,O,B的位置如图①,他们的坐标分别是(-1,1),(0,0)和(1,0).
① ②
图36-8
(1)如图②,添加棋子C,使A,O,B,C四棵棋子成为一个轴对称图形,请在图中画出该图形的对称轴;
(2)在其他格点位置添加一颗棋子P,使A,O,B,P四棵棋子成为一个轴对称图形,请直接写出棋子P的位置坐标.(写出两个即可)
解:(1)如答图:
第11题答图
(2)(2,1),(-1,-1).
(20分]
图36-9
12.(10分)[2016·江西]如图36-9,正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点中心对称,已知A,D1,D三点的坐标分别是(0,4),(0,3),(0,2).
(1)求对称中心的坐标;
7
(2)写出顶点B,C,B1,C1的坐标;
解:(1)根据对称中心的性质,可得
对称中心的坐标是D1D的中点,
∵D1,D的坐标分别是(0,3),(0,2),
∴对称中心的坐标是(0,2.5);
(2)∵A,D的坐标分别是(0,4),(0,2),
∴正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的边长都是4-2=2,
∴B,C的坐标分别是(-2,4),(-2,2),
∵A1D1=2,D1的坐标是(0,3),
∴A1的坐标是(0,1),
∴B1,C1的坐标分别是(2,1),(2,3),
综上,可得顶点B,C,B1,C1的坐标分别是(-2,4),(-2,2),(2,1),(2,3).
13.(10分)[2016·衢州]如图36-10①,将矩形ABCD沿DE折叠使点A落在A′处,然后将矩形展平,如图②沿EF折叠使点A落在折痕DE上的点G处,再将矩形ABCD沿CE折叠,此时顶点B恰好落在DE上的点H处.
(1)求证:EG=CH;
(2)已知AF=,求AD和AB的长.
① ②
图36-10
解:(1)证明:由折叠知△AEF≌△GEF,△BCE≌△HCE,
∵AE=A′E=BC,∠AEF=∠BCE,∴△AEF≌△BCE,
∴△GEF≌△HCE,∴EG=CH;
(2)∵AF=FG=,∠FDG=45°,∴FD=2,AD=2+;
∵AF=FG=HE=EB=,AE=AD=2+,
∴AB=AE+EB=2++=2+2.
(10分)
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14.(10分)问题背景:如图36-11①,点A,B在直线l的同侧,要在直线l上找一点C,使AC与BC的距离之和最小,我们可以作出点B关于l的对称点B′,连结AB′与直线l交于点C,则点C即为所求.
图36-11
(1)实践运用:如图②,已知⊙O的直径CD为4,点A在⊙O上,∠ACD=30°,B为弧AD的中点,P为直径CD上一动点,则BP+AP的最小值为__2__;
(2)知识拓展:如图③,在Rt△ABC中,AB=10,∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D,E,F分别是线段AD和AB上的动点,求BE+EF的最小值,并写出解答过程.
【解析】 (1)如答图①,作点B关于CD的对称点E,连结AE交CD于点P,
此时PA+PB最小,且等于AE.
作直径AC′,连结C′E.
根据垂径定理得=.
∵∠ACD=30°,
∴∠AOD=60°,∠DOE=30°,∴∠AOE=90°,
∴∠C′AE=45°,
又AC′为圆的直径,∴∠AEC′=90°,
∴∠C′=∠C′AE=45°,
∴C′E=AE=AC′=2.
即AP+BP的最小值是2;
① ②
第14题答图
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解:(2)如答图②,在斜边AC上截取AB′=AB,连结BB′.
∵AD平分∠BAC,
∴∠B′AM=∠BAM,
AB′=AB,AM=AM,
∴△B′AM≌△BAM(SAS),
∴BM=B′M,∠BMA=∠B′MA=90°,
∴点B与点B′关于直线AD对称.
过点B′作B′F⊥AB,垂足为F,交AD于E,连结BE,则线段B′F的长即为所求.
在Rt△AFB′中,∵∠BAC=45°,AB′=AB=10,
∴B′F=AB′·sin45°=AB·sin45°=10×=5,
∴BE+EF的最小值为5.
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