2018有关中考数学试题分类汇编与圆有关的位置关系 15页

‎（2010哈尔滨）5.如图，PA、PB是O的切线，切点分别是A、B，如果∠P＝60°,‎ 那么∠AOB等于（ ） D ‎ A.60° B.90° C.120° D.150°‎ A B C D O E ‎（第15题）‎ ‎(2010台州市)如图，正方形ABCD边长为4，以BC为直径的半圆O交对角线BD于E．则直线CD与⊙O的位置关系是 ▲ ，阴影部分面积为(结果保留π) ▲ ．‎ 答案：相切（2分），π ‎（桂林2010）25．（本题满分10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O 的切线，切点为F，‎ FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF．‎ H ‎（1）证明：AF平分∠BAC；‎ ‎（2）证明：BF＝FD；‎ ‎（3）若EF＝4，DE＝3，求AD的长．‎ ‎25．(本题10 分)证明（1）连结OF H ‎∵FH是⊙O的切线 ‎∴OF⊥FH ……………1分 ‎∵FH∥BC ，‎ ‎∴OF垂直平分BC ………2分 ‎∴‎ ‎∴AF平分∠BAC …………3分 ‎（2）证明：由（1）及题设条件可知 ‎∠1=∠2，∠4=∠3，∠5=∠2 ……………4分 H ‎∴∠1+∠4=∠2+∠3‎ ‎∴∠1+∠4=∠5+∠3 ……………5分 ‎∠FDB=∠FBD ‎∴BF=FD ………………6分 ‎ （3）解： 在△BFE和△AFB中 ‎∵∠5=∠2=∠1，∠F=∠F ‎∴△BFE∽△AFB ………………7分 ‎∴， ……………8分 ‎∴‎ ‎∴ ……………………9分 ‎ ‎ ∴‎ ‎∴AD== …………………10分 ‎（2010年兰州）6.已知两圆的半径R、r分别为方程的两根，两圆的圆心距为1，两圆的位置关系是 ‎ A．外离 B．内切 C．相交 D．外切 答案 B ‎（2010年兰州）10. 如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为 A． B． C． D． ‎ 答案 D ‎（2010年无锡）6．已知两圆内切，它们的半径分别为3和6，则这两圆的圆心距d的取值满足 （ ▲ ）‎ A． B． C． D．‎ 本试卷由无锡市天一实验学校金杨建录制 QQ：623300747．转载请注明！‎ 答案 D ‎（2010年无锡）27．（本题满分10分）如图，已知点，经过A、B的直线以每秒1个单位的 速度向下作匀速平移运动，与此同时，点P从点B出发,在直线上以每秒1个单位的速度沿直线向右下方向作匀速运动．设它们运动的时间为秒．‎ ‎（1）用含的代数式表示点P的坐标；‎ ‎（2）过O作OC⊥AB于C,过C作CD⊥轴 于D,问：为何值时,以P为圆心、1为半 径的圆与直线OC相切？并说明此时 与直线CD的位置关系．‎ 答案解：⑴作PH⊥OB于H ﹙如图1﹚，∵OB＝6，OA＝，∴∠OAB＝30°‎ ‎∵PB＝t，∠BPH＝30°，∴BH＝，HP＝ ;‎ ‎∴OH＝，∴P﹙，﹚‎ 图1‎ 图2‎ 图3‎ ‎⑵当⊙P在左侧与直线OC相切时﹙如图2﹚，‎ ‎∵OB＝，∠BOC＝30°‎ ‎∴BC＝ ‎ ‎∴PC ‎ 由，得 ﹙s﹚,此时⊙P与直线CD相割．‎ 当⊙P在左侧与直线OC相切时﹙如图3﹚，‎ PC 由，得﹙s﹚，此时⊙P与直线CD相割．‎ 综上，当或时，⊙P与直线OC相切，⊙P与直线CD相割．‎ ‎（2010年兰州）26.（本题满分10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.‎ ‎ （1）求证：PC是⊙O的切线；‎ ‎ （2）求证：BC=AB；‎ ‎ （3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN·MC的值.‎ 答案（本题满分10分）‎ 解：（1）∵OA=OC,∴∠A=∠ACO ‎ ‎ ∵∠COB=2∠A ,∠COB=2∠PCB ‎ ‎ ∴∠A=∠ACO=∠PCB ……………………………………………………1分 ‎ ∵AB是⊙O的直径 ‎ ∴∠ACO+∠OCB=90° …………………………………………………2分 ‎ ∴∠PCB+∠OCB=90°,即OC⊥CP …………………………………………3分 ‎∵OC是⊙O的半径 ‎ ‎ ∴PC是⊙O的切线 …………………………………………………4分 ‎ （2）∵PC=AC ∴∠A=∠P ‎ ∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P ‎ ‎ ∵∠COB=∠A+∠ACO,∠CBO=∠P+∠PCB ‎ ∴∠CBO=∠COB ……………………………………………5分 ‎ ∴BC=OC ‎ ∴BC=AB ………………………………………………………6分 ‎ (3)连接MA,MB ‎ ‎ ∵点M是弧AB的中点 ‎ ∴弧AM=弧BM ∴∠ACM=∠BCM ………7分 ‎ ‎∵∠ACM=∠ABM ∴∠BCM=∠ABM ‎ ‎ ∵∠BMC=∠BMN ‎ ∴△MBN∽△MCB ‎ ‎ ∴ ‎ ‎∴BM2=MC·MN ……………………8分 ‎ ∵AB是⊙O的直径，弧AM=弧BM ‎ ‎ ∴∠AMB=90°,AM=BM ‎ ∵AB=4 ∴BM= ………………………………………………………9分 ‎ ∴MC·MN=BM2=8 ……………………………………………………10分 ‎（2010宁波市）6．两圆的半径分别为3和5，圆心距为7，则两圆的位置关系是 ‎ ‎ A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 ‎13. （2010年金华） 如果半径为3cm的⊙O1与半径为4cm的⊙O2内切，那么两圆的圆心距O1O2＝ ▲ cm.‎ 答案：1；‎ ‎6．（2010年长沙）已知⊙O1、⊙O2的半径分别是、，若两圆相交，则圆心距O1O2可能取的值是 B A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎（2010年成都）8．已知两圆的半径分别是4和6，圆心距为7，则这两圆的位置关系是（ ）‎ ‎（A）相交 （B）外切 （C）外离 （D）内含 答案：A ‎ ‎（2010年眉山）4．⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为5cm，圆心距O1O2=2cm，这两圆的位置关系是 A．外切 B．相交 C．内切 D．内含 答案：C ‎ 毕节24．（本题12分）如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的⊙O分别交CA、CB于点E、F，点G是AD的中点．求证：GE是⊙O的切线．‎ ‎24．证明：（证法一）连接． 1分 ‎∵是⊙O的直径，‎ ‎． 2分 ‎∵是的中点，‎ ‎． 4分 ‎． 6分 ‎∵． 8分 ‎．即． 10分 ‎ 是⊙O的切线． 12分 ‎（证法二）连接． 1分 ‎∵，‎ ‎． 2分 ‎． 4分 ‎∵OC=OE．‎ ‎∴∠2=∠4． ‎ ‎∴∠1=∠3． 6分 又，‎ ‎． 8分 ‎． 10分 是⊙O的切线． 12分 ‎15．(10重庆潼南县)如图，在矩形ABCD中，AB=6 ，BC=4，⊙O是以AB为直径的圆，则直线DC与⊙O的位置关系是______．相离 ‎1、（2010年杭州市）如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移 动的速度为30千米/时，受影响区域的半径为200千米，B市位 于点P的北偏东75°方向上，距离点P 320千米处. ‎ ‎(1) 说明本次台风会影响B市；‎ ‎（2）求这次台风影响B市的时间. ‎ 答案：(1) 作BH⊥PQ于点H, 在Rt△BHP中,‎ 由条件知, PB = 320, ÐBPQ = 30°, 得 BH = 320sin30° = 160 < 200, ‎ ‎∴ 本次台风会影响B市. ‎ ‎(2) 如图, 若台风中心移动到P1时, 台风开始影响B市, 台风中心移动到P2时, 台风影响结束.‎ 由（1）得BH = 160, 由条件得BP1=BP2 = 200, ‎ ‎∴所以P1P2 = 2=240, ‎ ‎∴台风影响的时间t = = 8(小时). ‎ ‎（2010陕西省）23．如图，在RT△ABC中∠ABC=90°，斜边AC的垂直平分线交BC与D点，交AC与E点，连接BE ‎（1）若BE是△DEC的外接圆的切线，求∠C的大小？‎ ‎（2）当AB=1,BC=2是求△DEC外界圆的半径 解：（1）∵ DE 垂直平分AC ‎∴∠DEC=90°‎ ‎∴DC 为△DEC外接圆的直径 ‎∴DC的中点 O即为圆心 连结OE又知BE是圆O的切线 ‎∴∠EBO+∠BOE=90°‎ ‎ 在RT△ABC 中 E 斜边AC 的中点 ‎∴BE=EC ‎∴∠EBC=∠C 又∵∠BOE=2∠C ‎∴∠C+2∠C=90°‎ ‎∴∠C=30°‎ ‎ （2）在RT△ABC中AC= ∴EC=AC=‎ ‎ ∵∠ABC=∠DEC=90° ∴△ABC∽△DEC ‎ ∴ ∴DC=‎ （1） DEC 外接圆半径为 ‎（2010年天津市）（22）（本小题8分）‎ 已知是⊙的直径，是⊙的切线，是切点，与⊙交于点.‎ ‎（Ⅰ）如图①，若，，求的长（结果保留根号）；‎ A B C O P 图①‎ A B C O P D 图②‎ 第（22）题 ‎（Ⅱ）如图②，若为的中点，求证直线是⊙的切线.‎ 解：（Ⅰ）∵ 是⊙的直径，是切线，‎ ‎∴ .‎ 在Rt△中，，，‎ ‎∴ .‎ 由勾股定理，得. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 ‎(Ⅱ)如图，连接、，‎ A B C O P D ‎∵ 是⊙的直径， ‎ ‎∴ ，有.‎ 在Rt△中，为的中点，‎ ‎∴ .‎ ‎∴ .‎ 又 ∵， ‎ ‎∴.‎ ‎∵ ，‎ ‎∴ .‎ 即 .‎ ‎∴ 直线是⊙的切线. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 ‎（2010山西22．（本题8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED＝45º．‎ ‎ （1）试判断CD与⊙O的关系，并说明理由．‎ ‎（2）若⊙O的半径为3cm，AE＝5 cm．求∠ADE的正弦值．‎ A B C D E ‎（第22题）‎ O ‎1.（2010宁德）．如图，在8×4的方格（每个方格的边长为1个单位长）中，⊙A的 半径为1，⊙B的半径为2，将⊙A由图示位置向右平移1个单位长后，‎ 第9题图 A B ‎⊙A与静止的⊙B的位置关系是（ ）．D A.内含 B.内切 C.相交 D.外切 ‎2.（2010黄冈）6分）如图，点P为△ABC的内心，延长AP交△ABC的外接圆于D，在AC延长线上有一点E，满足AD＝AB·AE，求证：DE是⊙O的切线.‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第20题图 证明：连结DC，DO并延长交⊙O于F，连结AF.∵AD＝AB·AE，∠BAD＝∠DAE，∴△BAD∽△DAE，∴∠ADB＝∠E.　又∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ACB＝∠E，BC∥DE，∴∠CDE＝∠BCD＝∠BAD＝∠DAC，又∵∠CAF＝∠CDF，∴∠FDE＝∠CDE+∠CDF＝∠DAC+∠CDF＝∠DAF＝90°，故DE是⊙O的切线 ‎1．（2010山东济南）‎ 如图所示，菱形ABCD的顶点A、B在x轴上，点A在点B的左侧，点D在y轴的正半轴上，∠BAD=60°，点A的坐标为(－2，0)． ‎ ‎⑴求线段AD所在直线的函数表达式．‎ O 第22题图 x y A B P C D ‎⑵动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，按照A→D→C→B→A的顺序在菱形的边上匀速运动一周，设运动时间为t秒．求t为何值时，以点P为圆心、以1为半径的圆与对角线AC相切？‎ 答案：1 解：⑴∵点A的坐标为(－2，0)，∠BAD=60°，∠AOD=90°，‎ ‎∴OD=OA·tan60°=，‎ ‎∴点D的坐标为（0，）， 1分 设直线AD的函数表达式为，‎ ‎，解得，‎ ‎∴直线AD的函数表达式为. 3分 ‎⑵∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴∠DCB=∠BAD=60°，‎ ‎∴∠1=∠2=∠3=∠4=30°，‎ ‎ AD=DC=CB=BA=4， 5分 如图所示：‎ ‎①点P在AD上与AC相切时，‎ AP1=2r=2，‎ ‎∴t1=2. 6分 O x y B C D P1‎ P2‎ P3‎ P4‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ A 第22题图 ‎②点P在DC上与AC相切时，‎ CP2=2r=2，‎ ‎∴AD+DP2=6，‎ ‎∴t2=6. 7分 ‎③点P在BC上与AC相切时，‎ CP3=2r=2，‎ ‎∴AD+DC+CP3=10，‎ ‎∴t3=10. 8分 ‎④点P在AB上与AC相切时，‎ AP4=2r=2，‎ ‎∴AD+DC+CB+BP4=14，‎ ‎∴t4=14，‎ ‎∴当t=2、6、10、14时，以点P为圆心、以1为半径的圆与对角线AC相切.‎ ‎ 9分 ‎1．（2010四川宜宾）若⊙O的半径为4cm，点A到圆心O的距离为3cm，那么点A与⊙O的位置关系是( )‎ A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．不能确定 ‎2．（2010山东德州）已知三角形的三边长分别为3,4,5，则它的边与半径为1的圆的公共点个数所有可能的情 况是 ‎(A)0，1，2，3 (B)0，1，2，4 (C)0，1，2，3，4 (D)0，1，2，4，5 ‎ ‎3．（2010山东德州）‎ B A C D E G O F 第20题图 如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC中点，AE平分∠BAD交BC于点E，点O是AB上一点，⊙O过A、E两点, 交AD于点G，交AB于点F．‎ ‎（1）求证：BC与⊙O相切；‎ ‎（2）当∠BAC=120°时，求∠EFG的度数．‎ 答案：1．A ‎2、C ‎3B A C D E G O F ．（1）证明：连接OE，------------------------------1分 ‎∵AB=AC且D是BC中点，‎ ‎∴AD⊥BC．‎ ‎∵AE平分∠BAD，‎ ‎∴∠BAE=∠DAE．------------------------------3分 ‎∵OA=OE，‎ ‎∴∠OAE=∠OEA．‎ ‎∴∠OEA=∠DAE．‎ ‎∴OE∥AD．‎ ‎∴OE⊥BC．‎ ‎∴BC是⊙O的切线．---------------------------6分 ‎（2）∵AB=AC，∠BAC=120°，‎ ‎∴∠B=∠C=30°．----------------------------7分 ‎∴∠EOB =60°．------------------------------8分 ‎∴∠EAO =∠EAG =30°．-------------------9分 ‎∴∠EFG =30°．------------------------------10分 ‎（2010年常州）6.若两圆的半径分别为2和3，圆心距为5，则两圆的位置关系为 A.外离 B.外切 C.相交 D.内切 ‎（2010株洲市）15．两圆的圆心距，它们的半径分别是一元二次方程的两个根，这两圆的位置关系是 外切 .‎ ‎（2010河北省）23．（本小题满分10分）‎ 图14-1‎ 连杆 滑块 滑道 观察思考 某种在同一平面进行传动的机械装置如图14-1，图14-2‎ 是它的示意图．其工作原理是：滑块Q在平直滑道l上可以 左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆PQ也随之运动，并且 PQ带动连杆OP绕固定点O摆动．在摆动过程中，两连杆的接点P在以OP为半径的⊙O上运动．数学兴趣小组为进一步研 究其中所蕴含的数学知识，过点O作OH ⊥l于点H，并测得 OH = 4分米，PQ = 3分米，OP = 2分米．‎ 解决问题 H l O P Q 图14-2‎ ‎（1）点Q与点O间的最小距离是 分米；‎ 点Q与点O间的最大距离是 分米；‎ 点Q在l上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间 的距离是 分米．‎ ‎（2）如图14-3，小明同学说：“当点Q滑动到点H的位 置时，PQ与⊙O是相切的．”你认为他的判断对吗？‎ 为什么？‎ ‎（3）①小丽同学发现：“当点P运动到OH上时，点P到l 的距离最小．”事实上，还存在着点P到l距离最大 的位置，此时，点P到l的距离是 分米；‎ H l O 图14-3‎ P ‎（Q）‎ ‎②当OP绕点O左右摆动时，所扫过的区域为扇形，‎ 求这个扇形面积最大时圆心角的度数．‎ 解：（1）4 5 6； ‎ ‎（2）不对． ‎ ‎∵OP = 2，PQ = 3，OQ = 4，且42≠32 + 22，即OQ2≠PQ2 + OP2，‎ ‎∴OP与PQ不垂直．∴PQ与⊙O不相切．‎ ‎（3）① 3； ‎ D H l O 图3‎ P Q ‎②由①知，在⊙O上存在点P，到l的距离为3，此时，OP将不能再向下转动，如图3．OP在绕点O左右摆动过程中所扫过的最大扇形就是OP．‎ 连结P，交OH于点D．‎ ‎∵PQ，均与l垂直，且PQ =，‎ ‎∴四边形PQ是矩形．∴OH⊥P，PD =D．‎ 由OP = 2，OD = OHHD = 1，得∠DOP = 60°．‎ ‎∴∠PO = 120°．‎ ‎∴ 所求最大圆心角的度数为120°．‎ ‎（第11题）‎ ‎（2010河南）11．如图，AB切⊙O于点A，BO交⊙O于点C，点D是上异于点C、A的一点，若∠ABO=32°，则∠ADC的度数是______________．‎ ‎29°‎ 第14题图 C B P D A O ‎（2010广东中山）14．如图，PA与⊙O相切于A点，弦AB⊥OP，垂足为C，OP与⊙O相交于D点，已知OA=2，OP=4。‎ ‎（1）求∠POA的度数；‎ ‎（2）计算弦AB的长。‎ ‎14、（1）60° （2）‎ ‎1．（2010山东青岛市）如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠B = 30°，BC = 4 cm，以点C为圆心，以2 cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（ ）．‎ A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 答案：B ‎2.（2010山东青岛市）如图，有一块三角形材料（△ABC），请你画出一个圆，使其与△ABC的各边都相切.‎ A B C 解：‎ 结论：‎ 答案：正确画出两条角平分线，确定圆心； 2分 确定半径； 3分 正确画出圆并写出结论． 4分 ‎3.（2010山东烟台）如图以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点D恰好为BC的中点，过点D作⊙O的切线交AC边于点E。‎ ‎（1）求证：DE⊥AC；‎ ‎（2）若∠ABC=30°，求tan∠BCO的值。‎ 答案：‎ ‎（2010·珠海）5.如图，PA、PB是O的切线，切点分别是A、B，如果∠P＝60°,‎ 那么∠AOB等于（ ） D ‎ A.60° B.90° C.120° D.150°‎ ‎（2010·浙江温州）9．如图，在AABC中，AB=BC=2，以AB为直径的⊙0与BC相切于点B，则AC等于(C)‎ A． B． c．2 D．2‎ ‎（益阳市2010年中考题12）.如图，分别以A、B为圆心，‎ 线段AB的长为半径的两个圆相交于C、D两点，则∠CAD的度数为　　　．‎ 益阳第12题图 答案：‎ ‎6. （上海）已知圆O1、圆O2的半径不相等，圆O1的半径长为3，若圆O2上的点A满足AO1 = 3，则圆O1与圆O2的位置关系是（ A ）‎ A.相交或相切 B.相切或相离 C.相交或内含 D.相切或内含 ‎21. （莱芜）在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以BC为直径作⊙O交AB于点D.‎ ‎（1）求线段AD的长度；‎ O D C B A ‎（第21题图）‎ ‎（2）点E是线段AC上的一点，试问当点E在什么位置时，直线ED与⊙O相切？请说明理由.‎ ‎21.（本小题满分9分）‎ 解：（1）在Rt△ACB中，∵AC=3cm，BC=4cm，∠ACB=90°，∴AB=5cm． ……1分 连结CD，∵BC为直径，∴∠ADC =∠BDC =90°．‎ ‎∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，∴Rt△ADC ∽Rt△ACB． ‎ O D C B A E ‎∴，∴． …………………………4分 ‎（2）当点E是AC的中点时，ED与⊙O相切． ………………5分 证明：连结OD，∵DE是Rt△ADC的中线．‎ ‎∴ED=EC，∴∠EDC=∠ECD．‎ ‎∵OC=OD，∴∠ODC =∠OCD． …………………7分 ‎∴∠EDO=∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD =∠ACB =90°．‎ ‎∴ED与⊙O相切． …………………………9分 ‎1．（2010，安徽芜湖）若两圆相切，圆心距是7，其中一圆的半径为10，则另一圆的半径为_______．‎ ‎【答案】3或17‎ ‎2．（2010，浙江义乌）已知直线与⊙O相切，若圆心O到直线的距离是5，则⊙O的半径是 ▲ ．‎ ‎【答案】5‎ ‎3．（2010，安徽芜湖）如图，BD是⊙O的直径，OA⊥OB,M是劣弧上一点，过点M作⊙O的切线MP交OA的延长线于P点，MD与OA交于点N。‎ ‎（1）求证：PM=PN；‎ ‎（2）若BD=4,PA=AO,过B点作BC∥MP交⊙O于C点，求BC的长．‎ ‎【答案】（1）证明：连结OM,∵ MP是⊙O的切线，∴OM⊥MP ‎ ‎∴∠OMD +∠DMP=90°‎ ‎∵OA⊥OB，∠OND +∠ODM=90°‎ ‎∵∠MNP=∠OND, ∠ODN=∠OMD ∴∠DMP=∠MNP ‎∴PM=PN ‎（2）解：设BC交OM于E, ∵BD=4, ∴OA=OB=2, ∴PA=OA=3‎ ‎∴PO=5‎ ‎∵BC∥MP, OM⊥MP, ∴OM⊥BC, ∴BE=BC ‎∵∠BOM +∠MOP=90°,在Rt△OMP中，∠MPO +∠MOP=90°‎ ‎∴∠BOM=∠MPO.又∵∠BEO=∠OMP=90°‎ ‎∴△OMP∽△BEO ∴ ∴,∴BE= ∴BC=‎ ‎4．（2010，浙江义乌） 如图，以线段为直径的⊙交线段于点，点是弧AE的中点，交于点，°，，．‎ ‎（1）求的度数；‎ ‎（2）求证：BC是⊙的切线；‎ ‎ （3）求MD的长度．‎ O B A C E M D ‎【答案】解：（1）∵∠BOE＝60°‎ ‎∴∠A ＝∠BOE ＝ 30°‎ ‎（2） 在△ABC中 ‎ ‎∵ ∴∠C＝60° ‎ 又∵∠A ＝30°‎ ‎ ∴∠ABC＝90°∴ ∴BC是⊙的切线 ‎ （3）∵点M是弧AE的中点 ∴OM⊥AE 　　‎ 在Rt△ABC中 ∵ ∴AB＝‎ ‎∴OA＝ ‎ ‎ ∴OD＝ ∴MD＝‎ B D F A O G E C l ‎（2010·绵阳）24．如图，△ABC内接于⊙O，且∠B = 60°．过点C作圆的切线l与直径AD的延长线交于点E，AF⊥l，垂足为F，CG⊥AD，垂足为G．（1）求证：△ACF≌△ACG；（2）若AF = 4，求图中阴影部分的面积．‎ 答案：（1）如图，连结CD，OC，则∠ADC =∠B = 60°．‎ ‎∵ AC⊥CD，CG⊥AD，∴ ∠ACG =∠ADC = 60°．‎ 由于 ∠ODC = 60°，OC = OD，∴ △OCD为正三角形，得 ∠DCO = 60°．‎ B D F A O G E C l 由OC⊥l，得 ∠ECD = 30°，∴ ∠ECG = 30° + 30° = 60°．‎ 进而 ∠ACF = 180°－2×60° = 60°，∴ △ACF≌△ACG．‎ ‎（2）在Rt△ACF中，∠ACF = 60°，AF = 4，得 CF = 4．‎ 在Rt△OCG中，∠COG = 60°，CG = CF = 4，得 OC =．‎ 在Rt△CEO中，OE =．‎ 于是 S阴影 = S△CEO－S扇形COD ==．‎ ‎（2010·浙江湖州）第22题 F A D E B C O ‎·‎ 22．（本小题10分）如图，已知△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，D是的中点，过点D作直线BC的垂线，分别交CB、CA的延长线E、F ‎（1）求证：EF⊙是O的切线；‎ ‎（2）若EF＝8，EC＝6，求⊙O的半径．‎ ‎（此题没有给答案）‎