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- 2021-05-10 发布
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内蒙古包头市、乌兰察布市2014年中考数学试卷
一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分)
1.(3分)(2014•包头)下列实数是无理数的是( )
A.
﹣2
B.
C.
D.
分析:
根据无理数是无限不循环小数,可得答案.
解答:
解;A、B、C、都是有理数,
D、是无理数,
故选:D.
点评:
本题考查了无理数,无理数是无限不循环小数.
2.(3分)(2014•包头)下列计算正确的是( )
A.
(﹣1)﹣1=1
B.
(﹣1)0=0
C.
|﹣1|=﹣1
D.
﹣(﹣1)2=﹣1
考点:
负整数指数幂;绝对值;有理数的乘方;零指数幂..
分析:
根据负整指数幂,可判断A,根据非0的0次幂,可判断B,根据负数的绝对值是正数,可判断C,根据相反数,可判断D.
解答:
解:A、(﹣1)﹣1=﹣1,故A错误;
B、(﹣1)0=1,故B错误;
C、|﹣1|=1,故C错误;
D、﹣(﹣1)2=﹣1,故D正确;
故选:D.
点评:
本题考查了负整指数幂,负整数指数为正整数指数的倒数;任何非0数的0次幂等于1.
3.(3分)(2014•包头)2013年我国GDP总值为56.9万亿元,增速达7.7%,将56.9万亿元用科学记数法表示为( )
A.
56.9×1012元
B.
5.69×1013元
C.
5.69×1012元
D.
0.569×1013元
考点:
科学记数法—表示较大的数..
分析:
科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
解答:
解:56.9万亿元=5.69×1013,
故选:B.
点评:
此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
4.(3分)(2014•包头)在一次信息技术考试中,抽得6名学生的成绩(单位:分)如下:8,8,10,8,7,9,则这6名学生成绩的中位数是( )
A.
7
B.
8
C.
9
D.
10
考点:
中位数..
分析:
根据中位数的定义,把把这组数据从小到大排列,找出最中间的数即可.
解答:
解:把这组数据从小到大排列为:7,8,8,8,9,10,
最中间两个数的平均数是(8+8)÷2=8,
则中位数是8.
故选;B.
点评:
本题考查了中位数,中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(最中间两个数的平均数).
5.(3分)(2014•包头)计算sin245°+cos30°•tan60°,其结果是( )
A.
2
B.
1
C.
D.
考点:
特殊角的三角函数值.菁优网版权所有
分析:
根据特殊角的三角函数值计算即可.
解答:
解:原式=()2+×
=+
=2.
故选:A.
点评:
此题比较简单,解答此题的关键是熟记特殊角的三角函数值.
6.(3分)(2014•包头)长为9,6,5,4的四根木条,选其中三根组成三角形,选法有( )
A.
1种
B.
2种
C.
3种
D.
4种
考点:
三角形三边关系..
分析:
要把四条线段的所有组合列出来,再根据三角形的三边关系判断能组成三角形的组数.
解答:
解:四根木条的所有组合:9,6,5和9,6,4和9,5,4和6,5,4;
根据三角形的三边关系,得能组成三角形的有9,6,5和9,6,4和6,5,4.
故选C.
点评:
本题考查了三角形的三边关系,熟记三角形的任意两边之和大于第三边,两边之差小于第三边是解题的关键.
7.(3分)(2014•包头)下列说法正确的是( )
A.
必然事件发生的概率为0
B.
一组数据1,6,3,9,8的极差为7
C.
“面积相等的两个三角形全等”这一事件是必然事件
D.
“任意一个三角形的外角和等于180°”这一事件是不可能事件
考点:
随机事件;方差;概率的意义..
分析:
根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件,可得答案.
解答:
解:A、必然事件发生的概率为1,故A错误;
B、一组数据1,6,3,9,8的级差为8,故B错误;
C、面积相等两个三角形全等,是随机事件,故C错误;
D、”任意一个三角形的外角和等于180°”是不可能事件,故D正确;
故选:D.
点评:
本题考查了随机事件,解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下,一定不发生的事件.不确定事件即随机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事.
8.(3分)(2014•包头)在平面直角坐标系中,将抛物线y=3x2先向右平移1个单位,再向上平移2个单位,得到的抛物线的解析式是( )
A.
y=3(x+1)2+2
B.
y=3(x+1)2﹣2
C.
y=3(x﹣1)2+2
D.
y=3(x﹣1)2﹣2
考点:
二次函数图象与几何变换..
分析:
先根据抛物线的顶点式得到抛物线y=3x2的对称轴为直线x=0,顶点坐标为(0,0),则抛物线y=3x2向右平移1个单位,再向上平移2个单位得到的抛物线的对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,2),然后再根据顶点式即可得到平移后抛物线的解析式.
解答:
解:∵抛物线y=3x2的对称轴为直线x=0,顶点坐标为(0,0),
∴抛物线y=3x2向右平移1个单位,再向上平移2个单位得到的抛物线的对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,2),
∴平移后抛物线的解析式为y=3(x﹣1)2+2.
故选C.
点评:
本题考查了二次函数图象与几何变换:先把抛物线的解析式化为顶点式y=a(x﹣k)2+h,其中对称轴为直线x=k,顶点坐标为(k,h),若把抛物线先右平移m个单位,向上平移n个单位,则得到的抛物线的解析式为y=a(x﹣k﹣m)2+h+n;抛物线的平移也可理解为把抛物线的顶点进行平移.
9.(3分)(2014•包头)如图,在正方形ABCD中,对角线BD的长为.若将BD绕点B旋转后,点D落在BC延长线上的点D′处,点D经过的路径为,则图中阴影部分的面积是( )
A.
﹣1
B.
﹣
C.
﹣
D.
π﹣2
考点:
扇形面积的计算;正方形的性质;旋转的性质..
分析:
首先根据正方形的性质可得∠DBD′=45°,BC=CD,然后根据勾股定理可得BC、CD长,再计算出扇形BDD′和△BCD的面积可得阴影部分面积.
解答:
解:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠DBD′=45°,BC=CD,
∵BD的长为,
∴BC=CD=1,
∴S扇形BDD′==,
S△CBD=1×1=,
∴阴影部分的面积:﹣,
故选:C.
点评:
此题主要考查了正方形的性质,扇形的面积和三角形的面积计算,关键是掌握扇形的面积公式:S=.
10.(3分)(2014•包头)如图,在△ABC中,点D,E,F分别在边AB,AC,BC上,且DE∥BC,EF∥AB.若AD=2BD,则的值为( )
A.
B.
C.
D.
考点:
平行线分线段成比例.菁优网版权所有
分析:
根据平行线分线段成比例定理得出===2,即可得出答案.
解答:
解:∵DE∥BC,EF∥AB,AD=2BD,
∴==2,==2,
∴=,
故选A.
点评:
本题考查了平行线分线段成比例定理的应用,注意:一组平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.
11.(3分)(2014•包头)已知下列命题:
①若a>b,则ac>bc;
②若a=1,则=a;
③内错角相等;
④90°的圆周角所对的弦是直径.
其中原命题与逆命题均为真命题的个数是( )
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
考点:
命题与定理..
分析:
先对原命题进行判断,再判断出逆命题的真假即可.
解答:
解;①若a>b,则ac>bc是假命题,逆命题是假命题;
②若a=1,则=a是真命题,逆命题是假命题;
③内错角相等是假命题,逆命题是假命题;
④90°的圆周角所对的弦是直径是真命题,逆命题是真命题;
其中原命题与逆命题均为真命题的个数是1个;
故选:A.
点评:
主要考查命题与定理,用到的知识点是互逆命题的知识,两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论又是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题称为另一个命题的逆命题,判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.
12.(3分)(2014•包头)关于x的一元二次方程x2+2(m﹣1)x+m2=0的两个实数根分别为x1,x2,且x1+x2>0,x1x2>0,则m的取值范围是( )
A.
m≤
B.
m≤且m≠0
C.
m<1
D.
m<1且m≠0
考点:
根的判别式;根与系数的关系.菁优网版权所有
分析:
先由根的判别式可得方程有两个实数根则△≥0,根据根与系数的关系得出x1+x2=﹣2(m﹣1),x1x2=m2,再由x1+x2>0,x1x2>0,解出不等式组即可.
解答:
解:∵△=[2(m﹣1)]2﹣4m2=﹣8m+4≥0,
∴m≤,
∵x1+x2=﹣2(m﹣1)>0,x1x2=m2>0
∴m<1,m≠0
∴m≤且m≠0.
故选:B.
点评:
此题考查了根的判别式和根与系数的关系,一元二次方程根的情况与判别式△的关系:(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;(3)△<0⇔方程没有实数根,根与系数的关系是x1+x2=﹣,x1x2=.
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)
13.(3分)(2014•包头)计算: ﹣= .
考点:
二次根式的加减法..
分析:
首先化简二次根式进而合并同类二次根式进而得出答案.
解答:
解: ﹣=×2﹣×=﹣=.
故答案为:.
点评:
此题主要考查了二次根式的加减运算,正确化简二次根式是解题关键.
14.(3分)(2014•包头)如图,已知∠1=∠2,∠3=73°,则∠4的度数为 107 度.
考点:
平行线的判定与性质..
专题:
计算题.
分析:
根据已知一对同位角相等,利用同位角相等两直线平行得到a与b平行,利用两直线平行同旁内角互补得到一对角互补,再利用对顶角相等即可确定出∠4的度数.
解答:
解:∵∠1=∠2,
∴a∥b,
∴∠5+∠3=180°,
∵∠4=∠5,∠3=73°,
∴∠4+∠3=180°,
则∠4=107°.
故答案为:107
点评:
此题考查了平行线的判定与性质,熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键.
15.(3分)(2014•包头)某学校举行演讲比赛,5位评委对某选手的打分如下(单位:分)9.5,9.4,9.4,9.5,9.2,则这5个分数的平均分为 9.4 分.
考点:
加权平均数..
分析:
根据加权平均数的计算公式列出算式,再进行计算即可.
解答:
解:这5个分数的平均分为(9.5×2+9.4×2+9.2)÷5=9.4;
故答案为:9.4.
点评:
此题考查了加权平均数,用到的知识点是加权平均数的计算公式,关键是根据公式列出算式.
16.(3分)(2014•包头)计算:(x+1)2﹣(x+2)(x﹣2)= 2x+5 .
考点:
完全平方公式;平方差公式..
专题:
计算题.
分析:
原式第一项利用完全平方公式展开,第二项利用平方差公式化简,去括号合并即可得到结果.
解答:
解:原式=x2+2x+1﹣x2+4
=2x+5.
故答案为:2x+5.
点评:
此题考查了完全平方公式,以及平方差公式,熟练掌握公式是解本题的关键.
17.(3分)(2014•包头)方程﹣=0的解为x= 2 .
考点:
解分式方程..
专题:
计算题.
分析:
分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.
解答:
解:去分母得:3x﹣3﹣x﹣1=0,
解得:x=2,
经检验x=2是分式方程的解.
故答案为:2
点评:
此题考查了解分式方程,解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根.
18.(3分)(2014•包头)如图,AB是⊙O的直径,BC是弦,点E是的中点,OE交BC于点D.连接AC,若BC=6,DE=1,则AC的长为 8 .
考点:
垂径定理;勾股定理;三角形中位线定理..
专题:
计算题.
分析:
连接OC,根据圆心角与弧之间的关系可得∠BOE=∠COE,由于OB=OC,根据等腰三角形的性质可得OD⊥BC,BD=CD.在直角三角形BDO中,根据勾股定理可求出OB,进而求出OD长,再根据三角形中位线定理可得AC的长.
解答:
解:连接OC,如图所示.
∵点E是的中点,
∴∠BOE=∠COE.
∵OB=OC,
∴OD⊥BC,BD=DC.
∵BC=6,
∴BD=3.
设⊙O的半径为r,则OB=OE=r.
∵DE=1,
∴OD=r﹣1.
∵OD⊥BC即∠BDO=90°,
∴OB2=BD2+OD2.
∵OB=r,OD=r﹣1,BD=3,
∴r2=32+(r﹣1)2.
解得:r=5.
∴OD=4.
∵AO=BO,BD=CD,
∴OD=AC.
∴AC=8.
点评:
本题考查了在同圆或等圆中等弧所对的圆心角相等、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识,有一定的综合性.
19.(3分)(2014•包头)如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABO的顶点O与原点重合,顶点B在x轴上,∠ABO=90°,OA与反比例函数y=的图象交于点D,且OD=2AD,过点D作x轴的垂线交x轴于点C.若S四边形ABCD=10,则k的值为 ﹣16 .
考点:
相似三角形的判定与性质;反比例函数系数k的几何意义..
分析:
证△DCO∽△ABO,推出===,求出=()2=,求出S△ODC=8,根据三角形面积公式得出OC×CD=8,求出OC×CD=16即可.
解答:
解:∵OD=2AD,
∴=,
∵∠ABO=90°,DC⊥OB,
∴AB∥DC,
∴△DCO∽△ABO,
∴===,
∴=()2=,
∵S四边形ABCD=10,
∴S△ODC=8,
∴OC×CD=8,
OC×CD=16,
∴k=﹣16,
故答案为:﹣16.
点评:
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,相似三角形的性质和判定的应用,解此题的关键是求出△ODC的面积.
20.(3分)(2014•包头)如图,在矩形ABCD中,点E为AB的中点,EF⊥EC交AD于点F,连接CF(AD>AE),下列结论:
①∠AEF=∠BCE;
②AF+BC>CF;
③S△CEF=S△EAF+S△CBE;
④若=,则△CEF≌△CDF.
其中正确的结论是 ①③④ .(填写所有正确结论的序号)
考点:
矩形的性质;全等三角形的判定与性质..
分析:
根据同角的余角相等可得∠AEF=∠BCE,判断出①正确,然后求出△AEF和△BCE相似,根据相似三角形对应边成比例可得=,然后根据两组边对边对应成比例,两三角形相似求出△AEF和△ECF,再根据相似三角形对应角相等可得∠AFE=∠EFC,过点E作EH⊥FC于H,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AE=DH,利用“HL”证明△AEF和△HEF,根据全等三角形对应边相等可得AF=FH,同理可得BC=CH,然后求出AF+BC=CF,判断出②错误;根据全等三角形的面积相等可得S△CEF=S△EAF+S△CBE,判断出③正确;根据锐角三角函数的定义求出∠BCE=30°,然后求出∠DCF=∠ECF=30°,再利用“角角边”证明即可.
解答:
解:∵EF⊥EC,
∴∠AEF+∠BEC=90°,
∵∠BEC+∠BCE=90°,
∴∠AEF=∠BCE,故①正确;
又∵∠A=∠B=90°,
∴△AEF∽△BCE,
∴=,
∵点E是AB的中点,
∴AE=BE,
∴=,
又∵∠A=∠CEF=90°,
∴△AEF∽△ECF,
∴∠AFE=∠EFC,
过点E作EH⊥FC于H,
则AE=DH,
在△AEF和△HEF中,,
∴△AEF≌△HEF(HL),
∴AF=FH,
同理可得△BCE≌△HCE,
∴BC=CH,
∴AF+BC=CF,故②错误;
∵△AEF≌△HEF,△BCE≌△HCE,
∴S△CEF=S△EAF+S△CBE,故③正确;
若=,则cot∠BCE=====2×=,
∴∠BCE=30°,
∴∠DCF=∠ECF=30°,
在△CEF和△CDF中,,
∴△CEF≌△CDF(AAS),故④正确,
综上所述,正确的结论是①③④.
故答案为:①③④.
点评:
本题考查了矩形的性质,全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,解直角三角形,熟记各性质是解题的关键,难点在于求出△AEF和△ECF相似并得到∠AFE=∠EFC.
三、解答题(本大题共6小题,共60分)
21.(8分)(2014•包头)有四张正面分别标有数字2,1,﹣3,﹣4的不透明卡片,它们除数字外其余全部相同,现将它们背面朝上,洗匀后从四张卡片中随机地摸取一张不放回,将该卡片上的数字记为m,再随机地摸取一张,将卡片上的数字记为n.
(1)请画出树状图并写出(m,n)所有可能的结果;
(2)求所选出的m,n能使一次函数y=mx+n的图象经过第二、三、四象限的概率.
考点:
列表法与树状图法;一次函数图象与系数的关系..
分析:
(1)首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果;
(2)首先可得所选出的m,n能使一次函数y=mx+n的图象经过第二、三四象限的有:(﹣3﹣4),(﹣4,﹣3),再利用概率公式即可求得答案.
解答:
解:(1)画树状图得:
则(m,n)共有12种等可能的结果:(2,1),(2,﹣3),(2,﹣4),(1,2),(1,﹣3),(1,﹣4),(﹣3,2),(﹣3,1),(﹣3,﹣4),(﹣4,2),(﹣4,1),(﹣4,﹣3);
(2)∵所选出的m,n能使一次函数y=mx+n的图象经过第二、三四象限的有:(﹣3﹣4),(﹣4,﹣3),
∴所选出的m,n能使一次函数y=mx+n的图象经过第二、三四象限的概率为:=.
点评:
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,列表法适合于两步完成的事件,树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
22.(8分)(2014•包头)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,∠BCD=45°,点E在BC上,且∠AEB=60°.若AB=2,AD=1,求CD和CE的长.(注意:本题中的计算过程和结果均保留根号)
考点:
梯形;勾股定理..
分析:
过点D作DF⊥BC,根据∠BCD=45°,得DF=CF,再由AB=2,可得DF=CF=2,由勾股定理得CD的长,因为AD=1,所以BC=2+1,根据∠AEB=60°,可得BE,进而得出CE的长.
解答:
解:过点D作DF⊥BC,
∵AD∥BC,∠ABC=90°,
∴四边形ABFD为矩形,
∵∠BCD=45°,
∴DF=CF,
∵AB=2,
∴DF=CF=2,
∴由勾股定理得CD=2;
∵AD=1,
∴BF=1,
∴BC=2+1,
∵∠AEB=60°,
∴tan60°=,
∴=,
∴BE=2,
∴CE=BC﹣BE=2+1﹣2=2﹣1.
点评:
本题考查了梯形的计算以及勾股定理,是基础知识要熟练掌握.
23.(10分)(2014•包头)甲、乙两个商场出售相同的某种商品,每件售价均为3000元,并且多买都有一定的优惠.甲商场的优惠条件是:第一件按原售价收费,其余每件优惠30%;乙商场的优惠条件是:每件优惠25%.设所买商品为x件时,甲商场收费为y1元,乙商场收费为y2元.
(1)分别求出y1,y2与x之间的关系式;
(2)当甲、乙两个商场的收费相同时,所买商品为多少件?
(3)当所买商品为5件时,应选择哪个商场更优惠?请说明理由.
考点:
一次函数的应用..
分析:
(1)根据两家商场的优惠方案分别列式整理即可;
(2)根据收费相同,列出方程求解即可;
(3)根据函数解析式分别求出x=5时的函数值,即可得解.
解答:
解:(1)当x=1时,y1=3000;
当x>1时,y1=3000+3000(x﹣1)×(1﹣30%)=2100x+900.
∴y1=;
y2=3000x(1﹣25%)=2250x,
∴y2=2250x;
(2)当甲、乙两个商场的收费相同时,2100x+900=2250x,
解得x=6,
答:甲、乙两个商场的收费相同时,所买商品为6件;
(3)x=5时,y1=2100x+900=2100×5+900=11400,
y2=2250x=2250×5=11250,
∵11400>11250,
∴所买商品为5件时,应选择乙商场更优惠.
点评:
本题考查了一次函数的应用,读懂题目信息,理解两家商场的优惠方案是解题的关键.
24.(10分)(2014•包头)如图,已知AB,AC分别是⊙O的直径和弦,点G为上一点,GE⊥AB,垂足为点E,交AC于点D,过点C的切线与AB的延长线交于点F,与EG的延长线交于点P,连接AG.
(1)求证:△PCD是等腰三角形;
(2)若点D为AC的中点,且∠F=30°,BF=2,求△PCD的周长和AG的长.
考点:
切线的性质;等腰三角形的判定;相似三角形的判定与性质..
专题:
证明题.
分析:
(1)连结OC,根据切线的性质得∠OCP=90°,即∠1+∠PCD=90°,由GE⊥AB得∠GEA=90°,则∠2+∠ADE=90°,利用∠1=∠2得到∠PCD=∠ADE,根据对顶角相等得∠ADE=∠PDC,所以∠PCD=∠PDC,于是根据等腰三角形的判定定理得到△PCD是等腰三角形;
(2)连结OD,BG,在Rt△COF中根据含30度的直角三角形三边的关系可计算出OC=2,由于∠FOC=90°﹣∠F=60°,根据三角形外角性质可计算出∠1=∠2=30°,则∠PCD=90°﹣∠1=60°,可判断△PCD为等边三角形;再由D为AC的中点,根据垂径定理得到OD⊥AC,AD=CD,在Rt△OCD中,可计算出OD=OC=1,CD=OD=,所以△PCD的周长为3;然后在Rt△ADE中,计算出DE=AD=,AE=DE=,根据圆周角定理由AB为直径得到∠AGB=90°,再证明Rt△AGE∽Rt△ABG,利用相似比可计算出AG.
解答:
(1)证明:连结OC,如图,
∵PC为⊙O的切线,
∴OC⊥PC,
∴∠OCP=90°,即∠1+∠PCD=90°,
∵GE⊥AB,
∴∠GEA=90°,
∴∠2+∠ADE=90°,
∵OA=OC,
∴∠1=∠2,
∴∠PCD=∠ADE,
而∠ADE=∠PDC,
∴∠PCD=∠PDC,
∴△PCD是等腰三角形;
(2)解:连结OD,BG,如图,
在Rt△COF中,∠F=30°,BF=2,
∴OF=2OC,即OB+2=2OC,
而OB=OC,
∴OC=2,
∵∠FOC=90°﹣∠F=60°,
∴∠1=∠2=30°,
∴∠PCD=90°﹣∠1=60°,
∴△PCD为等边三角形,
∵D为AC的中点,
∴OD⊥AC,
∴AD=CD,
在Rt△OCD中,OD=OC=1,
CD=OD=,
∴△PCD的周长为3;
在Rt△ADE中,AD=CD=,
∴DE=AD=,
AE=DE=,
∵AB为直径,
∴∠AGB=90°,
而∠GAE=∠BAG,
∴Rt△AGE∽Rt△ABG,
∴AG:AB=AE:AG,
∴AG2=AE•AB=×4=6,
∴AG=6.
点评:
本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了等腰三角形的判定、垂径定理、圆周角定理和三角形相似的判定与性质.
25.(12分)(2014•包头)如图,已知∠MON=90°,A是∠MON内部的一点,过点A作AB⊥ON,垂足为点B,AB=3厘米,OB=4厘米,动点E,F同时从O点出发,点E以1.5厘米/秒的速度沿ON方向运动,点F以2厘米/秒的速度沿OM方向运动,EF与OA交于点C,连接AE,当点E到达点B时,点F随之停止运动.设运动时间为t秒(t>0).
(1)当t=1秒时,△EOF与△ABO是否相似?请说明理由;
(2)在运动过程中,不论t取何值时,总有EF⊥OA.为什么?
(3)连接AF,在运动过程中,是否存在某一时刻t,使得S△AEF=S四边形ABOF?若存在,请求出此时t的值;若不存在,请说明理由.
考点:
相似形综合题..
分析:
(1)运用=和夹角相等,得出△EOF∽△ABO.
(2)证明Rt△EOF∽Rt△ABO,进而证明EF⊥OA.
(3)由已知S△AEF=S四边形ABOF.得出S△FOE+S△ABE=S梯形ABOF,求出t的值.
解答:
解:(1)∵t=1,
∴OE=1.5厘米,OF=2厘米,
∵AB=3厘米,OB=4厘米,
∴==,==
∵∠MON=∠ABE=90°,
∴△EOF∽△ABO.
(2)在运动过程中,OE=1.5t,OF=2t.
∵AB=3,OB=4.
∴.
又∵∠EOF=∠ABO=90°,
∴Rt△EOF∽Rt△ABO.
∴∠AOB=∠EOF.
∵∠AOB+∠FOC=90°,
∴∠EOF+∠FOC=90°,
∴EF⊥OA.
(3)如图,连接AF,
∵OE=1.5t,OF=2t,
∴BE=4﹣1.5t
∴S△FOE=OE•OF=×1.5t×2t=t2,S△ABE=×(4﹣1.5t)×3=6﹣t,
S梯形ABOF=(2t+3)×4=4t+6
∵S△AEF=S四边形ABOF
∴S△FOE+S△ABE=S梯形ABOF,
∴t2+6﹣t=(4t+6),即6t2﹣17t+12=0,
解得t=或t=.
∴当t=或t=时,S△AEF=S四边形ABOF.
点评:
本题主要考查了相似形综合题,解题的关键是利用S△FOE+S△ABE=S梯形ABOF求t的值.
26.(12分)(2014•包头)已知抛物线y=ax2+x+c(a≠0)经过A(﹣1,0),B(2,0)两点,与y轴相交于点C,该抛物线的顶点为点M,对称轴与BC相交于点N,与x轴交于点D.
(1)求该抛物线的解析式及点M的坐标;
(2)连接ON,AC,证明:∠NOB=∠ACB;
(3)点E是该抛物线上一动点,且位于第一象限,当点E到直线BC的距离为时,求点E的坐标;
(4)在满足(3)的条件下,连接EN,并延长EN交y轴于点F,E、F两点关于直线BC对称吗?请说明理由.
考点:
二次函数综合题..
分析:
(1)利用待定系数法即可求得解析式,把解析式转化成顶点式即可求得顶点坐标.
(2)根据有两组对应边对应成比例且夹角相等即可求得△ABC∽△NBO,由三角形相似的性质即可求得.
(3)作EF⊥BC于F,根据抛物线的解析式先设出E点的坐标,然后根据两直线垂直的性质求得F点的坐标,根据勾股定理即可求得.
(4)延长EF交y轴于Q,根据勾股定理求得FQ的长,再与EF比较即可.
解答:
解:(1)∵抛物线y=ax2+x+c(a≠0)经过A(﹣1,0),B(2,0)两点,
∴,
解得.
∴抛物线为y=﹣x2+x+2;
∴抛物线为y=﹣x2+x+2=﹣(x﹣)2+,
∴顶点M(,).
(2)如图1,∵A(﹣1,0),B(2,0),C(0,2),
∴直线BC为:y=﹣x+2,
当x=时,y=,
∴N(,),
∴AB=3,BC=2,OB=2,BN==,
∴==,==,
∵∠ABC=∠NBO,
∴△ABC∽△NBO,
∴∠NOB=∠ACB;
(3)如图2,作EF⊥BC于F,
∵直线BC为y=﹣x+2,
∴设E(m,﹣m2+m+2),直线EF的解析式为y=x+b,
则直线EF为y=x+(﹣m2+2),
解 得,
∴F(m2,﹣ m2+2),
∵EF=,
∴(m﹣m2)2+(﹣m2+2+m2﹣m﹣2)2=()2,
解得m=1,
∴﹣m2+m+2=2,
∴E(1,2),
(4)如图2,延长EF交y轴于Q,
∵m=1,
∴直线EF为y=x+1,
∴Q(0,1),
∵F(,),
∴FQ==,
∵EF=,EF⊥BC,
∴E、F两点关于直线BC对称.
点评:
本题考查了待定系数法求解析式,抛物线的顶点的求法,直线的交点问题,勾股定理的应用等.