中考真题淄博市中考数学试卷含答案解析 28页

2018 年山东省淄博市中考数学试卷 　 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（4 分）计算 的结果是（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D． 2．（4 分）下列语句描述的事件中，是随机事件的为（　　） A．水能载舟，亦能覆舟 B．只手遮天，偷天换日 C．瓜熟蒂落，水到渠成 D．心想事成，万事如意 3．（4 分）下列图形中，不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 4．（4 分）若单项式 am﹣1b2 与 的和仍是单项式，则 nm 的值是（　　） A．3 B．6 C．8 D．9 5．（4 分）与 最接近的整数是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 6．（4 分）一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了 100 米，其铅直高度上升了 15 米．在用科学计算器求坡角 α 的度数时，具体按键顺序是（　　） A． B． C． D． 7．（4 分）化简 的结果为（　　） A． B．a﹣1 C．a D．1 8．（4 分）甲、乙、丙、丁 4 人进行乒乓球单循环比赛（每两个人都要比赛一 场），结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙胜的场数相同，则丁胜的场数是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 9．（4 分）如图，⊙O 的直径 AB=6，若∠BAC=50°，则劣弧 AC 的长为（　　） A．2π B． C． D． 10．（4 分）“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了 60 万平方米的荒山绿化 任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了 25%， 结果提前 30 天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为 x 万平方米， 则下面所列方程中正确的是（　　） A． B． C． D． 11．（4 分）如图，在 Rt△ABC 中，CM 平分∠ACB 交 AB 于点 M，过点 M 作 MN ∥BC 交 AC 于点 N，且 MN 平分∠AMC，若 AN=1，则 BC 的长为（　　） A．4 B．6 C． D．8 12．（4 分）如图，P 为等边三角形 ABC 内的一点，且 P 到三个顶点 A，B，C 的 距离分别为 3，4，5，则△ABC 的面积为（　　） A． B． C． D． 　 二、填空题（每题 4 分，共 5 个小题，满分 20 分，将直接填写最后结果） 13．（4 分）如图，直线 a∥b，若∠1=140°，则∠2=　 　度． 14．（4 分）分解因式：2x3﹣6x2+4x=　 　． 15．（4 分）在如图所示的平行四边形 ABCD 中，AB=2，AD=3，将△ACD 沿对角 线 AC 折叠，点 D 落在△ABC 所在平面内的点 E 处，且 AE 过 BC 的中点 O，则△ ADE 的周长等于　 　． 16．（4 分）已知抛物线 y=x 2+2x﹣3 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左 侧），将这条抛物线向右平移 m（m＞0）个单位，平移后的抛物线于 x 轴交于 C， D 两点（点 C 在点 D 的左侧），若 B，C 是线段 AD 的三等分点，则 m 的值 为　 　． 17．（4 分）将从 1 开始的自然数按以下规律排列，例如位于第 3 行、第 4 列的 数是 12，则位于第 45 行、第 8 列的数是　 　． 　 三、解答题（本大题共 7 小题，共 52 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.） 18 ．（ 5 分 ） 先 化 简 ， 再 求 值 ： a （ a+2b ） ﹣ （ a+1 ） 2+2a ， 其 中 ． 19．（5 分）已知：如图，△ABC 是任意一个三角形，求证：∠A+∠B+∠ C=180°． 20．（8 分）“推进全科阅读，培育时代新人”．某学校为了更好地开展学生读书活 动，随机调查了八年级 50 名学生最近一周的读书时间，统计数据如下表： 时间（小时） 6 7 8 9 10 人数 5 8 12 15 10 （1）写出这 50 名学生读书时间的众数、中位数、平均数； （2）根据上述表格补全下面的条形统计图． （3）学校欲从这 50 名学生中，随机抽取 1 名学生参加上级部门组织的读书活动， 其中被抽到学生的读书时间不少于 9 小时的概率是多少？ 21．（8 分）如图，直线 y1=﹣x+4，y2= x+b 都与双曲线 y= 交于点 A（1，m）， 这两条直线分别与 x 轴交于 B，C 两点． （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）直接写出当 x＞0 时，不等式 x+b＞ 的解集； （3）若点 P 在 x 轴上，连接 AP 把△ABC 的面积分成 1：3 两部分，求此时点 P 的坐标． 22．（8 分）如图，以 AB 为直径的⊙O 外接于△ABC，过 A 点的切线 AP 与 BC 的 延长线交于点 P，∠APB 的平分线分别交 AB，AC 于点 D，E，其中 AE，BD（AE＜ BD）的长是一元二次方程 x2﹣5x+6=0 的两个实数根． （1）求证：PA•BD=PB•AE； （2）在线段 BC 上是否存在一点 M，使得四边形 ADME 是菱形？若存在，请给 予证明，并求其面积；若不存在，说明理由． 23．（9 分）（1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形 ABC，其中 AB=AC，在△ABC 的外侧分别以 AB，AC 为腰作了两个等腰直角三角形 ABD， ACE，分别取 BD，CE，BC 的中点 M，N，G，连接 GM，GN．小明发现了：线段 GM 与 GN 的数量关系是　 　；位置关系是　 　． （2）类比思考： 如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形 ABC 换为一般的锐角 三角形，其中 AB＞AC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明 理由． （3）深入研究： 如图③，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究．向△ABC 的内侧分别作 等腰直角三角形 ABD，ACE，其它条件不变，试判断△GMN 的形状，并给与证 明． 24．（9 分）如图，抛物线 y=ax2+bx 经过△OAB 的三个顶点，其中点 A（1， ）， 点 B（3，﹣ ），O 为坐标原点． （1）求这条抛物线所对应的函数表达式； （2）若 P（4，m），Q（t，n）为该抛物线上的两点，且 n＜m，求 t 的取值范围； （3）若 C 为线段 AB 上的一个动点，当点 A，点 B 到直线 OC 的距离之和最大时， 求∠BOC 的大小及点 C 的坐标． 　 2018 年山东省淄博市中考数学试卷 参考答案与试题解析 　 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（4 分）计算 的结果是（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D． 【考点】1A：有理数的减法；15：绝对值． 【分析】先计算绝对值，再计算减法即可得． 【解答】解： = ﹣ =0， 故选：A． 【点评】本题主要考查绝对值和有理数的减法，解题的关键是掌握绝对值的性质 和有理数的减法法则． 　 2．（4 分）下列语句描述的事件中，是随机事件的为（　　） A．水能载舟，亦能覆舟 B．只手遮天，偷天换日 C．瓜熟蒂落，水到渠成 D．心想事成，万事如意 【考点】X1：随机事件． 【分析】直接利用随机事件以及必然事件、不可能事件的定义分别分析得出答案． 【解答】解：A、水能载舟，亦能覆舟，是必然事件，故此选项错误； B、只手遮天，偷天换日，是不可能事件，故此选项错误； C、瓜熟蒂落，水到渠成，是必然事件，故此选项错误； D、心想事成，万事如意，是随机事件，故此选项正确． 故选：D． 【点评】此题主要考查了随机事件，正确把握相关定义是解题关键． 　 3．（4 分）下列图形中，不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【考点】P3：轴对称图形． 【分析】观察四个选项图形，根据轴对称图形的概念即可得出结论． 【解答】解：根据轴对称图形的概念，可知：选项 C 中的图形不是轴对称图 形． 故选：C． 【点评】本题考查了轴对称图形，牢记轴对称图形的概念是解题的关键． 　 4．（4 分）若单项式 am﹣1b2 与 的和仍是单项式，则 nm 的值是（　　） A．3 B．6 C．8 D．9 【考点】35：合并同类项；42：单项式． 【分析】首先可判断单项式 am﹣1b2 与 是同类项，再由同类项的定义可得 m、 n 的值，代入求解即可． 【解答】解：∵单项式 am﹣1b2 与 的和仍是单项式， ∴单项式 am﹣1b2 与 是同类项， ∴m﹣1=2，n=2， ∴m=3，n=2， ∴nm=8． 故选：C． 【点评】本题考查了合并同类项的知识，解答本题的关键是掌握同类项中的两个 相同． 　 5．（4 分）与 最接近的整数是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【考点】2B：估算无理数的大小；27：实数． 【分析】由题意可知 36 与 37 最接近，即 与 最接近，从而得出答案． 【解答】解：∵36＜37＜49， ∴ ＜ ＜ ，即 6＜ ＜7， ∵37 与 36 最接近， ∴与 最接近的是 6． 故选：B． 【点评】此题主要考查了无理数的估算能力，关键是整数与 最接近，所以 =6 最接近． 　 6．（4 分）一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了 100 米，其铅直高度上升了 15 米．在用科学计算器求坡角 α 的度数时，具体按键顺序是（　　） A． B． C． D． 【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；T6：计算器—三角函数． 【分析】先利用正弦的定义得到 sinA=0.15，然后利用计算器求锐角 α． 【解答】解：sinA= = =0.15， 所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为 故选：A． 【点评】本题考查了计算器﹣三角函数：正确使用计算器，一般情况下，三角函 数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键． 　 7．（4 分）化简 的结果为（　　） A． B．a﹣1 C．a D．1 【考点】6B：分式的加减法． 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案． 【解答】解：原式= + = =a﹣1 故选：B． 【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本 题属于基础题型． 　 8．（4 分）甲、乙、丙、丁 4 人进行乒乓球单循环比赛（每两个人都要比赛一 场），结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙胜的场数相同，则丁胜的场数是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【考点】O2：推理与论证． 【分析】四个人共有 6 场比赛，由于甲、乙、丙三人胜的场数相同，所以只有两 种可能性：甲胜 1 场或甲胜 2 场；由此进行分析即可． 【解答】解：四个人共有 6 场比赛，由于甲、乙、丙三人胜的场数相同， 所以只有两种可能性：甲胜 1 场或甲胜 2 场； 若甲只胜一场，这时乙、丙各胜一场，说明丁胜三场，这与甲胜丁矛盾， 所以甲只能是胜两场， 即：甲、乙、丙各胜 2 场，此时丁三场全败，也就是胜 0 场． 答：甲、乙、丙各胜 2 场，此时丁三场全败，丁胜 0 场． 故选：D． 【点评】此题是推理论证题目，解答此题的关键是先根据题意，通过分析，进而 得出两种可能性，继而分析即可． 　 9．（4 分）如图，⊙O 的直径 AB=6，若∠BAC=50°，则劣弧 AC 的长为（　　） A．2π B． C． D． 【考点】MN：弧长的计算；M5：圆周角定理． 【分析】先连接 CO，依据∠BAC=50°，AO=CO=3，即可得到∠AOC=80°，进而得 出劣弧 AC 的长为 = ． 【解答】解：如图，连接 CO， ∵∠BAC=50°，AO=CO=3， ∴∠ACO=50°， ∴∠AOC=80°， ∴劣弧 AC 的长为 = ， 故选：D． 【点评】本题考查了圆周角定理，弧长的计算，熟记弧长的公式是解题的关 键． 　 10．（4 分）“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了 60 万平方米的荒山绿化 任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了 25%， 结果提前 30 天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为 x 万平方米， 则下面所列方程中正确的是（　　） A． B． C． D． 【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程． 【分析】设实际工作时每天绿化的面积为 x 万平方米，根据工作时间=工作总量 ÷工作效率结合提前 30 天完成任务，即可得出关于 x 的分式方程． 【解答】解：设实际工作时每天绿化的面积为 x 万平方米，则原来每天绿化的面 积为 万平方米， 依题意得： ﹣ =30，即 ． 故选：C． 【点评】考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到合适的等量 关系是解决问题的关键． 　 11．（4 分）如图，在 Rt△ABC 中，CM 平分∠ACB 交 AB 于点 M，过点 M 作 MN ∥BC 交 AC 于点 N，且 MN 平分∠AMC，若 AN=1，则 BC 的长为（　　） A．4 B．6 C． D．8 【考点】KO：含 30 度角的直角三角形；JA：平行线的性质；KJ：等腰三角形的 判定与性质． 【分析】根据题意，可以求得∠B 的度数，然后根据解直角三角形的知识可以求 得 NC 的长，从而可以求得 BC 的长． 【解答】解：∵在 Rt△ABC 中，CM 平分∠ACB 交 AB 于点 M，过点 M 作 MN∥BC 交 AC 于点 N，且 MN 平分∠AMC， ∴∠AMB=∠NMC=∠B，∠NCM=∠BCM=∠NMC， ∴∠ACB=2∠B，NM=NC， ∴∠B=30°， ∵AN=1， ∴MN=2， ∴AC=AN+NC=3， ∴BC=6， 故选：B． 【点评】本题考查 30°角的直角三角形、平行线的性质、等腰三角形的判定与性 质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思 想解答． 　 12．（4 分）如图，P 为等边三角形 ABC 内的一点，且 P 到三个顶点 A，B，C 的 距离分别为 3，4，5，则△ABC 的面积为（　　） A． B． C． D． 【考点】R2：旋转的性质；KK：等边三角形的性质；KS：勾股定理的逆定理． 【分析】将△BPC 绕点 B 逆时针旋转 60°得△BEA，根据旋转的性质得 BE=BP=4， AE=PC=5，∠PBE=60°，则△BPE 为等边三角形，得到 PE=PB=4，∠BPE=60°，在△ AEP 中，AE=5，延长 BP，作 AF⊥BP 于点 FAP=3，PE=4，根据勾股定理的逆定理 可得到△APE 为直角三角形，且∠APE=90°，即可得到∠APB 的度数，在直角△APF 中利用三角函数求得 AF 和 PF 的长，则在直角△ABF 中利用勾股定理求得 AB 的 长，进而求得三角形 ABC 的面积． 【解答】解：∵△ABC 为等边三角形， ∴BA=BC， 可将△BPC 绕点 B 逆时针旋转 60°得△BEA，连 EP，且延长 BP，作 AF⊥BP 于点 F．如图， ∴BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°， ∴△BPE 为等边三角形， ∴PE=PB=4，∠BPE=60°， 在△AEP 中，AE=5，AP=3，PE=4， ∴AE2=PE2+PA2， ∴△APE 为直角三角形，且∠APE=90°， ∴∠APB=90°+60°=150°． ∴∠APF=30°， ∴在直角△APF 中，AF= AP= ，PF= AP= ． ∴在直角△ABF 中，AB2=BF2+AF2=（4+ ）2+（ ）2=25+12 ． 则△ABC 的面积是 •AB2= •（25+12 ）= ． 故选：A． 【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及旋转的性 质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角， 对应点到旋转中心的距离相等． 　 二、填空题（每题 4 分，共 5 个小题，满分 20 分，将直接填写最后结果） 13．（4 分）如图，直线 a∥b，若∠1=140°，则∠2=　40　度． 【考点】JA：平行线的性质． 【分析】由两直线平行同旁内角互补得出∠1+∠2=180°，根据∠1 的度数可得答 案． 【解答】解：∵a∥b， ∴∠1+∠2=180°， ∵∠1=140°， ∴∠2=180°﹣∠1=40°， 故答案为：40． 【点评】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行同旁内角互 补． 　 14．（4 分）分解因式：2x3﹣6x2+4x=　2x（x﹣1）（x﹣2）　． 【考点】57：因式分解﹣十字相乘法等；53：因式分解﹣提公因式法． 【分析】首先提取公因式 2x，再利用十字相乘法分解因式得出答案． 【解答】解：2x3﹣6x2+4x =2x（x2﹣3x+2） =2x（x﹣1）（x﹣2）． 故答案为：2x（x﹣1）（x﹣2）． 【点评】此题主要考查了提取公因式法以及十字相乘法分解因式，正确分解常数 项是解题关键． 　 15．（4 分）在如图所示的平行四边形 ABCD 中，AB=2，AD=3，将△ACD 沿对角 线 AC 折叠，点 D 落在△ABC 所在平面内的点 E 处，且 AE 过 BC 的中点 O，则△ ADE 的周长等于　10　． 【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；L5：平行四边形的性质． 【分析】要计算周长首先需要证明 E、C、D 共线，DE 可求，问题得解． 【解答】解：∵四边形 ABCD 是平行四边形 ∴AD∥BC，CD=AB=2 由折叠，∠DAC=∠EAC ∵∠DAC=∠ACB ∴∠ACB=∠EAC ∴OA=OC ∵AE 过 BC 的中点 O ∴AO= BC ∴∠BAC=90° ∴∠ACE=90° 由折叠，∠ACD=90° ∴E、C、D 共线，则 DE=4 ∴△ADE 的周长为：3+3+2+2=10 故答案为：10 【点评】本题考查了平行四边形的性质、轴对称图形性质和三点共线的证明．解 题时注意不能忽略 E、C、D 三点共线． 　 16．（4 分）已知抛物线 y=x 2+2x﹣3 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左 侧），将这条抛物线向右平移 m（m＞0）个单位，平移后的抛物线于 x 轴交于 C， D 两点（点 C 在点 D 的左侧），若 B，C 是线段 AD 的三等分点，则 m 的值为　 2　． 【考点】HA：抛物线与 x 轴的交点；H6：二次函数图象与几何变换． 【分析】先根据三等分点的定义得：AC=BC=BD，由平移 m 个单位可知： AC=BD=m，计算点 A 和 B 的坐标可得 AB 的长，从而得结论． 【解答】解：如图，∵B，C 是线段 AD 的三等分点， ∴AC=BC=BD， 由题意得：AC=BD=m， 当 y=0 时，x2+2x﹣3=0， （x﹣1）（x+3）=0， x1=1，x2=﹣3， ∴A（﹣3，0），B（1，0）， ∴AB=3+1=4， ∴AC=BC=2， ∴m=2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点问题、抛物线的平移及解一元二次方程 的问题，利用数形结合的思想和三等分点的定义解决问题是关键． 　 17．（4 分）将从 1 开始的自然数按以下规律排列，例如位于第 3 行、第 4 列的 数是 12，则位于第 45 行、第 8 列的数是　2018　． 【考点】37：规律型：数字的变化类． 【分析】观察图表可知：第 n 行第一个数是 n2，可得第 45 行第一个数是 2025， 推出第 45 行、第 8 列的数是 2025﹣7=2018； 【解答】解：观察图表可知：第 n 行第一个数是 n2， ∴第 45 行第一个数是 2025， ∴第 45 行、第 8 列的数是 2025﹣7=2018， 故答案为 2018． 【点评】本题考查规律型﹣数字问题，解题的关键是学会观察，探究规律，利用 规律解决问题． 　 三、解答题（本大题共 7 小题，共 52 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.） 18 ．（ 5 分 ） 先 化 简 ， 再 求 值 ： a （ a+2b ） ﹣ （ a+1 ） 2+2a ， 其 中 ． 【考点】4J：整式的混合运算—化简求值；76：分母有理化． 【分析】先算平方与乘法，再合并同类项，最后代入计算即可． 【解答】解：原式=a2+2ab﹣（a2+2a+1）+2a =a2+2ab﹣a2﹣2a﹣1+2a =2ab﹣1， 当 时， 原式=2（ +1）（ ）﹣1 =2﹣1 =1． 【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，能正确根据整式的运算法则进 行化简是解此题的关键． 　 19．（5 分）已知：如图，△ABC 是任意一个三角形，求证：∠A+∠B+∠ C=180°． 【考点】K7：三角形内角和定理． 【分析】过点 A 作 EF∥BC，利用 EF∥BC，可得∠1=∠B，∠2=∠C，而∠1+∠2+ ∠BAC=180°，利用等量代换可证∠BAC+∠B+∠C=180°． 【解答】证明：过点 A 作 EF∥BC， ∵EF∥BC， ∴∠1=∠B，∠2=∠C， ∵∠1+∠2+∠BAC=180°， ∴∠BAC+∠B+∠C=180°， 即∠A+∠B+∠C=180°． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理的证明，作辅助线把三角形的三个内角 转化到一个平角上是解题的关键． 　 20．（8 分）“推进全科阅读，培育时代新人”．某学校为了更好地开展学生读书活 动，随机调查了八年级 50 名学生最近一周的读书时间，统计数据如下表： 时间（小时） 6 7 8 9 10 人数 5 8 12 15 10 （1）写出这 50 名学生读书时间的众数、中位数、平均数； （2）根据上述表格补全下面的条形统计图． （3）学校欲从这 50 名学生中，随机抽取 1 名学生参加上级部门组织的读书活动， 其中被抽到学生的读书时间不少于 9 小时的概率是多少？ 【考点】X4：概率公式；VC：条形统计图；W2：加权平均数；W4：中位数； W5：众数． 【分析】（1）先根据表格提示的数据得出 50 名学生读书的时间，然后除以 50 即 可求出平均数；在这组样本数据中，9 出现的次数最多，所以求出了众数；将这 组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数是 8 和 9，从而求出 中位数是 8.5； （2）根据题意直接补全图形即可． （3）从表格中得知在 50 名学生中，读书时间不少于 9 小时的有 25 人再除以 50 即可得出结论． 【解答】解：（1）观察表格，可知这组样本数据的平均数为： （6×5+7×8+8×12+9×15+10×10）÷50=8.34， 故这组样本数据的平均数为 2； ∵这组样本数据中，9 出现了 15 次，出现的次数最多， ∴这组数据的众数是 9； ∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数是 8 和 9， ∴这组数据的中位数为 （8+9）=8.5； （2）补全图形如图所示， （3）∵读书时间是 9 小时的有 15 人，读书时间是 10 小时的有 10， ∴读书时间不少于 9 小时的有 15+10=25 人， ∴被抽到学生的读书时间不少于 9 小时的概率是 = 【点评】本题考查了加权平均数、众数以及中位数，用样本估计总体的知识，解 题的关键是牢记概念及公式． 　 21．（8 分）如图，直线 y1=﹣x+4，y2= x+b 都与双曲线 y= 交于点 A（1，m）， 这两条直线分别与 x 轴交于 B，C 两点． （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）直接写出当 x＞0 时，不等式 x+b＞ 的解集； （3）若点 P 在 x 轴上，连接 AP 把△ABC 的面积分成 1：3 两部分，求此时点 P 的坐标． 【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题． 【分析】（1）求得 A（1，3），把 A（1，3）代入双曲线 y= ，可得 y 与 x 之间的 函数关系式； （2）依据 A（1，3），可得当 x＞0 时，不等式 x+b＞ 的解集为 x＞1； （3）分两种情况进行讨论，AP 把△ABC 的面积分成 1：3 两部分，则 CP= BC= ，或 BP= BC= ，即可得到 OP=3﹣ = ，或 OP=4﹣ = ，进而得出点 P 的坐标． 【解答】解：（1）把 A（1，m）代入 y1=﹣x+4，可得 m=﹣1+4=3， ∴A（1，3）， 把 A（1，3）代入双曲线 y= ，可得 m=1×3=3， ∴y 与 x 之间的函数关系式为：y= ； （2）∵A（1，3）， ∴当 x＞0 时，不等式 x+b＞ 的解集为：x＞1； （3）y1=﹣x+4，令 y=0，则 x=4， ∴点 B 的坐标为（4，0）， 把 A（1，3）代入 y2= x+b，可得 3= +b， ∴b= ， ∴y2= x+ ， 令 y=0，则 x=﹣3，即 C（﹣3，0）， ∴BC=7， ∵AP 把△ABC 的面积分成 1：3 两部分， ∴CP= BC= ，或 BP= BC= ， ∴OP=3﹣ = ，或 OP=4﹣ = ， ∴P（﹣ ，0）或（ ，0）． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函 数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交 点，方程组无解，则两者无交点． 　 22．（8 分）如图，以 AB 为直径的⊙O 外接于△ABC，过 A 点的切线 AP 与 BC 的 延长线交于点 P，∠APB 的平分线分别交 AB，AC 于点 D，E，其中 AE，BD（AE＜ BD）的长是一元二次方程 x2﹣5x+6=0 的两个实数根． （1）求证：PA•BD=PB•AE； （2）在线段 BC 上是否存在一点 M，使得四边形 ADME 是菱形？若存在，请给 予证明，并求其面积；若不存在，说明理由． 【考点】MR：圆的综合题． 【分析】（1）易证∠APE=∠BPD，∠EAP=∠B，从而可知△PAE∽△PBD，利用相 似三角形的性质即可求出答案． （2）过点 D 作 DF⊥PB 于点 F，作 DG⊥AC 于点 G，易求得 AE=2，BD=3，由 （1）可知： ，从而可知 cos∠BDF=cos∠BAC=cos∠APC= ，从而可求出 AD 和 DG 的长度，进而证明四边形 ADFE 是菱形，此时 F 点即为 M 点，利用平行四 边形的面积即可求出菱形 ADFE 的面积． 【解答】解：（1）∵DP 平分∠APB， ∴∠APE=∠BPD， ∵AP 与⊙O 相切， ∴∠BAP=∠BAC+∠EAP=90°， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB=∠BAC+∠B=90°， ∴∠EAP=∠B， ∴△PAE∽△PBD， ∴ ， ∴PA•BD=PB•AE； （2）过点 D 作 DF⊥PB 于点 F，作 DG⊥AC 于点 G， ∵DP 平分∠APB， AD⊥AP，DF⊥PB， ∴AD=DF， ∵∠EAP=∠B， ∴∠APC=∠BAC， 易证：DF∥AC， ∴∠BDF=∠BAC， 由于 AE，BD（AE＜BD）的长是 x2﹣5x+6=0， 解得：AE=2，BD=3， ∴由（1）可知： ， ∴cos∠APC= = ， ∴cos∠BDF=cos∠APC= ， ∴ ， ∴DF=2， ∴DF=AE， ∴四边形 ADFE 是平行四边形， ∵AD=AE， ∴四边形 ADFE 是菱形， 此时点 F 即为 M 点， ∵cos∠BAC=cos∠APC= ， ∴sin∠BAC= ， ∴ ， ∴DG= ， ∴在线段 BC 上是否存在一点 M，使得四边形 ADME 是菱形 其面积为：DG•AE=2× = 【点评】本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，锐角三角函数的定义，平行 四边形的判定及其面积公式，相似三角形的判定与性质，综合程度较高，考查学 生的灵活运用知识的能力． 　 23．（9 分）（1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形 ABC，其中 AB=AC，在△ABC 的外侧分别以 AB，AC 为腰作了两个等腰直角三角形 ABD， ACE，分别取 BD，CE，BC 的中点 M，N，G，连接 GM，GN．小明发现了：线段 GM 与 GN 的数量关系是　MG=NG　；位置关系是　MG⊥NG　． （2）类比思考： 如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形 ABC 换为一般的锐角 三角形，其中 AB＞AC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明 理由． （3）深入研究： 如图③，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究．向△ABC 的内侧分别作 等腰直角三角形 ABD，ACE，其它条件不变，试判断△GMN 的形状，并给与证 明． 【考点】KY：三角形综合题． 【分析】（1）利用 SAS 判断出△ACD≌△AEB，得出 CD=BE，∠ADC=∠ABE，进而 判断出∠BDC+∠DBH=90°，即：∠BHD=90°，最后用三角形中位线定理即可得出 结论； （2）同（1）的方法即可得出结论； （3）同（1）的方法得出 MG=NG，最后利用三角形中位线定理和等量代换即可 得出结论． 【解答】解：（1）连接 BE，CD 相较于 H， ∵△ABD 和△ACE 都是等腰直角三角形， ∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90° ∴∠CAD=∠BAE， ∴△ACD≌△AEB（SAS）， ∴CD=BE，∠ADC=∠ABE， ∴∠BDC+∠DBH=∠BDC+∠ABD+∠ABE=∠BDC+∠ABD+∠ADC=∠ADB+∠ABD=90°， ∴∠BHD=90°， ∴CD⊥BE， ∵点 M，G 分别是 BD，BC 的中点， ∴MG CD， 同理：NG BE， ∴MG=NG，MG⊥NG， 故答案为：MG=NG，MG⊥NG； （2）连接 CD，BE，相较于 H， 同（1）的方法得，MG=NG，MG⊥NG； （3）连接 EB，DC，延长线相交于 H， 同（1）的方法得，MG=NG， 同（1）的方法得，△ABE≌△ADC， ∴∠AEB=∠ACD， ∴∠CEH+∠ECH=∠AEH﹣∠AEC+180°﹣∠ACD﹣∠ACE=∠ACD﹣45°+180°﹣∠ ACD﹣45°=90°， ∴∠DHE=90°， 同（1）的方法得，MG⊥NG． 【点评】此题是三角形综合题，主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的 判定和性质，平行线的判定和性质，三角形的中位线定理，正确作出辅助线用类 比的思想解决问题是解本题的关键． 　 24．（9 分）如图，抛物线 y=ax2+bx 经过△OAB 的三个顶点，其中点 A（1， ）， 点 B（3，﹣ ），O 为坐标原点． （1）求这条抛物线所对应的函数表达式； （2）若 P（4，m），Q（t，n）为该抛物线上的两点，且 n＜m，求 t 的取值范围； （3）若 C 为线段 AB 上的一个动点，当点 A，点 B 到直线 OC 的距离之和最大时， 求∠BOC 的大小及点 C 的坐标． 【考点】HF：二次函数综合题． 【分析】（1）将已知点坐标代入即可； （2）利用抛物线增减性可解问题； （3）观察图形，点 A，点 B 到直线 OC 的距离之和小于等于 AB；同时用点 A （1， ），点 B（3，﹣ ）求出相关角度． 【解答】解：（1）把点 A（1， ），点 B（3，﹣ ）分别代入 y=ax2+bx 得 解得 ∴y=﹣ （2）由（1）抛物线开口向下，对称轴为直线 x= 当 x＞ 时，y 随 x 的增大而减小 ∴当 t＞4 时，n＜m． （3）如图，设抛物线交 x 轴于点 F 分别过点 A、B 作 AD⊥OC 于点 D，BE⊥OC 于点 E ∵AC≥AD，BC≥BE ∴AD+BE≥AC+BE=AB ∴当 OC⊥AB 时，点 A，点 B 到直线 OC 的距离之和最大． ∵A（1， ），点 B（3，﹣ ） ∴∠AOF=60°，∠BOF=30° ∴∠AOB=90° ∴∠ABO=30° 当 OC⊥AB 时，∠BOC=60° 点 C 坐标为（ ， ）． 【点评】本题考查综合考查用待定系数法求二次函数解析式，抛物线的增减 性．解答问题时注意线段最值问题的转化方法．