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  • 2021-05-10 发布

北京区中考数学二模分类汇编及答案——代几综合新定义

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‎(东城)‎ ‎29.定义:如果一条直线能够将一个封闭图形的周长和面积平分,那么就把这条直线称作这 个封闭图形的等分线。‎ ‎(1)请在如下的三个图形中,分别作一条等分线.‎ ‎ 圆 平行四边形 等腰三角形 ‎(2)请在图中用尺规作图作一条直线,使它即是矩形的等分线,也是圆的等分线.(保留作图痕迹,不写作法)‎ ‎ ‎ ‎(西城)‎ ‎29.对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形G,给出如下定义:在图形G上若存在两点M,N,使△PMN为正三角形,则称图形G为点P的τ型线,点P为图形G的τ型点,‎ ‎△PMN为图形G关于点P的τ型三角形.‎ ‎(1)如图1,已知点,,以原点O为圆心的⊙O的半径为1.在A,B两点中,⊙O的τ型点是____,画出并回答⊙O关于该τ型点的τ型三角形;(画出一个即可)‎ ‎(2)如图2,已知点,点(其中m>0).若线段EF为原点O的τ型线,‎ 且线段EF关于原点O的τ型三角形的面积为,求m的值;‎ ‎(3)若是抛物线的τ型点,直接写出n的取值范围.‎ ‎(海淀)‎ ‎29. 如图1,在平面直角坐标系内,已知点,,,,记线段为,线段为,点是坐标系内一点.给出如下定义:若存在过点的直线l与,都有公共点,则称点是联络点.例如,点是联络点.‎ ‎(1)以下各点中,__________________是联络点(填出所有正确的序号);‎ ①;②;③.‎ ‎ ‎ ‎ 图1 备用图 ‎(2)直接在图1中画出所有联络点所组成的区域,用阴影部分表示;‎ ‎(3)已知点M在y轴上,以M为圆心,r为半径画圆,⊙M上只有一个点为联络点,‎ ‎①若,求点M的纵坐标;‎ ‎②求r的取值范围.‎ ‎(朝阳)‎ ‎29.如图,顶点为A(-4,4)的二次函数图象经过原点(0,0),点P在该图象上,OP交其对称轴l于点M,点M、N关于点A对称,连接PN,ON.‎ ‎(1)求该二次函数的表达式;‎ ‎(2)若点P的坐标是(-6,3),求△OPN的面积;‎ ‎(3)当点P在对称轴l左侧的二次函数图象上运动时,‎ 请解答下面问题:‎ ‎ ① 求证:∠PNM=∠ONM;‎ ‎② 若△OPN为直角三角形,请直接写出所有符合 条件的点P的坐标.‎ ‎(丰台)‎ ‎29.对某一个函数给出如下定义:如果存在实数,对于任意的函数值,都满足,那么称这个函数是有上界函数,在所有满足条件的中,其最小值称为这个函数的上确界.例如,图中的函数是有上界函数,其上确界是2. ‎ ‎1)分别判断函数 ()和()是不是有上界函数?如果是有上界函数,求其上确界;‎ ‎2)如果函数 ()的上确界是,且这个函数的最小值不超过,求的取值范围;‎ ‎3)如果函数()是以3为上确界的 有上界函数,求实数的值.‎ ‎(顺义)‎ ‎29.如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线与x轴交于A,B两点,其中B(6,0),与y轴交于点C(0,8),点P是x轴上方的抛物线上一动点(不与点C重合).‎ ‎(1)求抛物线的表达式;‎ ‎(2)过点P作PD⊥x轴于点D,交直线BC于点E,点E关于直线PC的对称点为,若点落在y轴上(不与点C重合),请判断以P,C,E,为顶点的四边形的形状, 并说明理由;‎ ‎(3)在(2)的条件下直接写出点P的坐标.‎ ‎(昌平)‎ ‎29. 在平面直角坐标系中,给出如下定义:形如与的两个二次函数的图象叫做“兄弟抛物线”.‎ ‎(1)试写出一对兄弟抛物线的解析式 与 ;‎ ‎(2)判断二次函数与的图象是否为兄弟抛物线,如果是,求出与的值,如果不是,请说明理由;‎ ‎(3)若一对兄弟抛物线各自与轴的两个交点和其顶点构成直角三角形,其中一个抛物线的对称轴为直线且开口向上,请直接写出这对兄弟抛物线的解析式.‎ ‎ ‎ ‎(石景山)‎ ‎29.对于平面直角坐标系中的点,定义一种变换:作点关于轴对称的点,再将向左平移个单位得到点,叫做对点的阶“”变换.‎ ‎(1)求的阶“”变换后的坐标;‎ ‎(2)若直线与轴,轴分别交于两点,点的阶“”变换后得到点,求过三点的抛物线的解析式;‎ ‎(3)在(2)的条件下,抛物线的对称轴与轴交于,若在抛物线对称轴上存在一点,使得以为顶点的三角形是等腰三角形,求点的坐标.‎ ‎(门头沟)‎ ‎29.我们给出如下定义:在平面直角坐标系xOy中,如果一条抛物线平移后得到的抛物线经过原抛物线的顶点,那么这条抛物线叫做原抛物线的过顶抛物线.‎ 如下图,抛物线F2都是抛物线F1的过顶抛物线,设F1的顶点为A,F2的对称轴分别 交F1、F2于点D、B,点C是点A关于直线BD的对称点.‎ 图1 图2‎ ‎(1)如图1,如果抛物线y=x 2的过顶抛物线为y=ax2+bx,C(2,0),那么 ‎① a= ,b= .‎ ‎② 如果顺次连接A、B、C、D四点,那么四边形ABCD为( )‎ A 平行四边形 B 矩形 C 菱形 D 正方形 ‎(2)如图2,抛物线y=ax2+c的过顶抛物线为F2,B(2,c-1).‎ 求四边形ABCD的面积.‎ ‎(3)如果抛物线的过顶抛物线是F2,四边形ABCD的面积为,‎ 请直接写出点B的坐标.‎ ‎(平谷)‎ ‎29.定义:如图1,平面上两条直线AB、CD相交于点O,对于平面内任意一点M,点M到直线AB、CD的距离分别为p、q,则称有序实数对(p,q)是点M的“距离坐标”.根据上述定义,“距离坐标”为(0,0)点有1个,即点O.‎ ‎(1)“距离坐标”为(1,0)点有 个;‎ 图1‎ 图3‎ 图2‎ ‎[来源:Zxxk.Com]‎ ‎(2)如图2,若点M在过点O且与直线CD垂直的直线l上时,点M的“距离坐标”为 ‎(p,q),且∠BOD=120°.请画出图形,并直接写出p,q的关系式;‎ ‎(3)如图3,点M的“距离坐标”为(1,),且∠AOB=30°,求OM的长.‎ 房山 ‎29.如图1,若抛物线L1的顶点A在抛物线L2上,抛物线L2的顶点B也在抛物线L1上(点A与点B不重合),我们把这样的两抛物线L1、L2互称为“友好”抛物线.‎ ‎(1)一条抛物线的“友好”抛物线有_______条.‎ ‎ A . 1 B. 2 C. 3 D. 无数 ‎(2)如图2,已知抛物线L3:与y轴交于点C,点C关于该抛物线对称轴的对称点为D,请求出以点D为顶点的L3的“友好”抛物线L4的表达式;‎ 图2‎ ‎(3)若抛物线的“友好”抛物线的解析式为,请直接写出与的关系式为 .‎ 图1‎ 怀柔 ‎29. 阅读理解:‎ 学习了三角形全等的判定方法:“SAS”,“ASA”,“AAS”,“SSS”和直角三角形全等的判定方法“HL”后,我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”即“SSA”的情形进行研究.‎ 我们不妨将问题用符号语言表示为:在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠A=∠D.‎ 初步探究:‎ 如图1,已知AC=DF, ∠A=∠D,过C作CH⊥射线AM于点H,对△ABC 的CB边进行分类,可分为“CBr,F(0,).‎ 在Rt△AOF中,∠AOF=90°,AO=1,,‎ ‎∴,.‎ 在Rt△FEM中,∠FEM=90°,FM=FO+OM=r+,,‎ ‎∴.‎ ‎∴.又∵,‎ ‎∴.……………………………………………………………………………………8分 ‎ 朝阳 ‎29.(1)解:设二次函数的表达式为,‎ ‎ 把点(0,0)代入表达式,解得. ………………………………………1分 ‎ ∴二次函数的表达式为,‎ 即. ……………………………………………………………2分 ‎(2)解:设直线OP为,‎ 将P(-6,3)代入,解得,‎ ‎∴.‎ 当时,.‎ ‎∴M(-4,2). ……………………………………………………………………3分 ‎∵点M、N关于点A对称,‎ ‎∴N(-4,6).‎ ‎∴MN=4.‎ ‎∴. ……………………………………………………4分 ‎(3)①证明:设点P的坐标为,‎ 其中,‎ ‎ 设直线OP为,‎ ‎ 将P代入,解得.‎ ‎∴.‎ 当时,.‎ ‎∴M(-4,).‎ ‎∴AN=AM==.‎ 设对称轴l交x轴于点B,作PC⊥l于点C,‎ 则B(-4,0),C.‎ ‎∴OB=4,NB==,PC=,‎ NC==.‎ 则,.‎ ‎∴.‎ 又∵∠NCP=∠NBO=90°,‎ ‎∴△NCP∽△NBO.‎ ‎∴∠PNM=∠ONM. …………………………………………………………………6分 ‎② (). ………………………………………………………………8分 丰台 ‎29. 解:(1) ()不是有上界函数;…….1分 ‎ ()是有上界函数,上确界是1. …….2分 ‎(2)∵在y=-x+2中,y随x的增大而减小,∴上确界为,即. 3分 又,所以,解得. …….4分 ‎ ‎∵函数的最小值是,∴,得,解得.‎ 综上所述:.…….5分 ‎(3)函数的对称轴为.…….6分 ‎①当时,函数的上确界是.‎ ‎∴,解得,符合题意. …….7分 ‎②当时,函数的上确界是.‎ ‎∴,解得,不符合题意.‎ 综上所述:.…….8分 顺义 ‎29.解:‎ ‎(1)∵点C(0,8)在抛物线上,‎ ‎∴,................................................................................................................................1分 又∵B(6,0)在抛物线上,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴抛物线的表达式为.......................................................................2分 ‎(2) 结论:以P,C,E,为顶点的四边形为菱形...............................................3分 证明:∵E和关于直线PC对称,‎ ‎∴∠=∠ECP,,,‎ 又∵PE∥y轴,‎ ‎∴∠EPC=∠=∠ECP,‎ ‎∴EP=EC,..........................................................................................................................5分 ‎∴, ‎ ‎∴四边形为菱形.................................................................................................6分 ‎(3)∵B(6,0),C(0,8),‎ ‎∴BC的表达式为.‎ 设,则,‎ ‎∴PE的长为=,‎ 过点E作EF⊥y轴于点F,‎ ‎∴△CFE∽△COB,‎ ‎∴,∴,即.‎ 由PE=EC得,解得,‎ ‎∴点P的坐标为.................................................8分(不需要过程,结论正确给2分)‎ 昌平 ‎29.解:(1)答案不唯一,只要两个解析式给出相同的a值和相同的m值即可(每空各1分)…… 2分 ‎(2)是兄弟抛物线,理由如下. ………………………………………………………… 3分 ‎∵ , ……………………………………………………… 4分 ‎, …………………………………………………… 5分 ‎∴ 二次函数与的图象是兄弟抛物线.‎ 此时 ,. …………………………………………………………………… 6分 ‎(3) , ;    ………………………………… 7分 或 ,. ………………………………………… 8分 ‎ ‎ 石景山 ‎29.解:(1)由阶“”变换定义:‎ 将于轴对称的点为:…………………………………………1分 再将向左平移个单位得的坐标 ‎……………………………………………………………………2分 ‎(2)直线:,令∴‎ 令∴‎ ‎……………………………………………………………………3分 由阶“”变换定义:………………………………………4分 设:过三点的抛物线的解析式 将代入:‎ ‎∴抛物线的解析式为:‎ ‎……………………………………………………………………5分 ‎(3),‎ ‎(I)若顶角顶点,为腰,‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎,……………………………6分 ‎(II)若为顶角顶点,为腰,‎ ‎∴‎ ‎……………………………………………………7分 ‎(III)若为底,‎ 过点作轴交抛物线对称轴于 设,,,‎ 在中,由勾股定理 解得:∴‎ 综上所述:点的坐标是:,,,……8分 门头沟 ‎29.(本小题满分8分)‎ 解:(1)① a=1,b=2.…………………………………………………………2分 ‎② D.……………………………………………………………………3分 ‎(2)∵ B(2,c-1),‎ ‎ ∴ AC=2×2=4.………………………………………………………4分 ‎∵ 当x=0,y= c,‎ ‎∴ A(0,c).‎ ‎∵ F1:y=ax2+c,B(2,c-1).‎ ‎∴ 设F2:y=a(x-2)2+c-1.‎ ‎∵ 点A(0,c)在F2上,‎ ‎∴ 4a+c-1=c,‎ ‎∴ .‎ ‎∴ BD=(4a+c)-(c-1)=2.……………………………………………5分 ‎∴ S四边形ABCD=4.……………………………………………………6分 ‎(3)(,1),(,1).………………………………………8分 说明:‎ 若考生的解法与给出的解法不同,正确者可参照评分参考相应给分。 ‎ 平谷 ‎29.答案:(1)2;……………………………………………………………………………………1‎ ‎(2)‎ ‎…………………………………………………………2‎ 过M作MN⊥AB于N ‎∵直线l⊥CD于O,∠BOD=120°,‎ ‎∴∠MON=30°.‎ ‎∵ON=p,OM=q,‎ ‎∴…………………………………………………………………………………………3‎ ‎(3)分别作点M关于OA、OB的对称点E、F,连接EF、OE、OF、EM、FM……………………4‎ ‎∴△OEC≌△OMC,△OFD≌△OMD.‎ ‎∴∠AOM=∠AOE,∠BOM=∠BOF,‎ OM=OE=OF.‎ ‎∴∠EOF=60°.……………………………………………………5‎ ‎∴OM=OE=OF=EF.‎ ‎∵MD=1,MC=,‎ ‎∴MF=2,ME=.‎ ‎∵∠AOB=30°,‎ ‎∴∠CMD=150°.…………………………………………………6‎ 过F做FG⊥CM,交CM延长线于G,‎ ‎∴∠FMG=30°.‎ 房山 ‎29. (1) D……………………………………………………………………………………2分 ‎(2) 由L3:=2(x-2)2-4‎ ‎∴C(0,4) ,对称轴为x=2,顶点坐标(2,-4)………………………………3分 ‎∴点C关于对称轴x=2的对称点D(4,4)……………………………………4分 设L4:‎ 将顶点D(4,4)代入得,‎ 再将点(2,-4)代入得,-4=4a+4‎ 解得:a= -2‎ L3的友好抛物线L4的解析式为:…………………………6分 ‎ (3) (或)………………………………………………………8分 怀柔 ‎29. 解:(1)解:HL或AAS;……………………………1分 ‎(2)如图:……………………………3分 ‎(3)当BC≥CA时,也能使△ABC≌△DEF.……………………………4分 证明:‎ 当BC=CA时,△ABC和△DEF是有一个底角相等的等腰三角形,根据AAS易证两三角形全等,当BC>CA时,在射线AM上取点B,使BC>CA,连接BC,以F为圆心,CB长为半径画弧交射线DN于点E,连接FE,则BC=EF,过点F作FG⊥DE于点G,‎ 在△CAH和△FDG中,‎ ‎∴△CAH≌△FDG(AAS),∴CH=FG,……………………………5分 在Rt△CBH和Rt△FEG中,‎ ‎∴Rt△CBH≌Rt△FEG(HL),∴∠CBA=∠FED,……………………………6分 在△ABC和△EFD中,‎ ‎∴△ABC≌△DEF(AAS). ……………………………8分 ‎[来源:Z&xx&k.Com]‎