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  • 2021-05-10 发布

江苏省苏州市中考数学试卷含解析

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‎2014年江苏省苏州市中考数学试卷 ‎ ‎ 一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)‎ ‎1.(3分)(2014•苏州)(﹣3)×3的结果是(  )‎ A.﹣9B.0C.9D.﹣6‎ ‎2.(3分)(2014•苏州)已知∠α和∠β是对顶角,若∠α=30°,则∠β的度数为(  )‎ A.30°B.60°C.70°D.150°‎ ‎3.(3分)(2014•苏州)有一组数据:1,3,3,4,5,这组数据的众数为(  )‎ A.1B.3C.4D.5‎ ‎4.(3分)(2014•苏州)若式子在实数范围内有意义,则x的取值范围是(  )‎ A.x≤﹣4B.x≥﹣4C.x≤4D.x≥4‎ ‎5.(3分)(2014•苏州)如图,一个圆形转盘被分成6个圆心角都为60°的扇形,任意转动这个转盘1次,当转盘停止转动时,指针指向阴影区域的概率是(  )‎ A.B.C.D.‎ ‎6.(3分)(2014•苏州)如图,在△ABC中,点D在BC上,AB=AD=DC,∠B=80°,则∠C的度数为(  )‎ A.30°B.40°C.45°D.60°‎ ‎7.(3分)(2014•苏州)下列关于x的方程有实数根的是(  )‎ A.x2﹣x+1=0B.x2+x+1=0C.(x﹣1)(x+2)=0D.(x﹣1)2+1=0‎ ‎8.(3分)(2014•苏州)二次函数y=ax2+bx﹣1(a≠0)的图象经过点(1,1),则代数式1﹣a﹣b的值为(  )‎ A.﹣3B.﹣1C.2D.5‎ ‎9.(3分)(2014•苏州)如图,港口A在观测站O的正东方向,OA=4km,某船从港口A出发,沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处,此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向,则该船航行的距离(即AB的长)为(  )‎ A.4kmB.2kmC.2kmD.(+1)km ‎10.(3分)(2014•苏州)如图,△AOB为等腰三角形,顶点A的坐标(2,),底边OB在x轴上.将△AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A′O′B,点A的对应点A′在x轴上,则点O′的坐标为(  )‎ A.(,)B.(,)C.(,)D.(,4)‎ ‎ ‎ 二、填空题(共8小题,每小题3分,共24分)‎ ‎11.(3分)(2014•苏州)的倒数是      .‎ ‎12.(3分)(2014•苏州)已知地球的表面积约为510000000km2,数510000000用科学记数法可表示为      .‎ ‎13.(3分)(2014•苏州)已知正方形ABCD的对角线AC=,则正方形ABCD的周长为      .‎ ‎14.(3分)(2014•苏州)某学校计划开设A、B、C、D四门校本课程供全体学生选修,规定每人必须并且只能选修其中一门,为了了解各门课程的选修人数.现从全体学生中随机抽取了部分学生进行调查,并把调查结果绘制成如图所示的条形统计图.已知该校全体学生人数为1200名,由此可以估计选修C课程的学生有      人.‎ ‎15.(3分)(2014•苏州)如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8.若∠BPC=∠BAC,则tan∠BPC=      .‎ ‎16.(3分)(2014•苏州)某地准备对一段长120m的河道进行清淤疏通.若甲工程队先用4天单独完成其中一部分河道的疏通任务,则余下的任务由乙工程队单独完成需要9天;若甲工程队先单独工作8天,则余下的任务由乙工程队单独完成需要3天.设甲工程队平均每天疏通河道xm,乙工程队平均每天疏通河道ym,则(x+y)的值为      .‎ ‎17.(3分)(2014•苏州)如图,在矩形ABCD中,=,以点B为圆心,BC长为半径画弧,交边AD于点E.若AE•ED=,则矩形ABCD的面积为      .‎ ‎18.(3分)(2014•苏州)如图,直线l与半径为4的⊙O相切于点A,P是⊙O上的一个动点(不与点A重合),过点P作PB⊥l,垂足为B,连接PA.设PA=x,PB=y,则(x﹣y)的最大值是      .‎ ‎ ‎ 三、解答题(共11小题,共76分)‎ ‎19.(5分)(2014•苏州)计算:22+|﹣1|﹣.‎ ‎20.(5分)(2014•苏州)解不等式组:.‎ ‎21.(5分)(2015•东莞)先化简,再求值:÷(1+),其中x=﹣1.‎ ‎22.(6分)(2014•苏州)解分式方程:+=3.‎ ‎23.(6分)(2014•苏州)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D、F分别在AB、AC上,CF=CB,连接CD,将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE,连接EF.‎ ‎(1)求证:△BCD≌△FCE;‎ ‎(2)若EF∥CD,求∠BDC的度数.‎ ‎24.(7分)(2014•苏州)如图,已知函数y=﹣x+b的图象与x轴、y轴分别交于点A、B,与函数y=x的图象交于点M,点M的横坐标为2,在x轴上有一点P(a,0)(其中a>2),过点P作x轴的垂线,分别交函数y=﹣x+b和y=x的图象于点C、D.‎ ‎(1)求点A的坐标;‎ ‎(2)若OB=CD,求a的值.‎ ‎25.(7分)(2014•苏州)如图,用红、蓝两种颜色随机地对A、B、C三个区域分别进行涂色,每个区域必须涂色并且只能涂一种颜色,请用列举法(画树状图或列表)求A、C两个区域所涂颜色不相同的概率.‎ ‎26.(8分)(2014•苏州)如图,已知函数y=(x>0)的图象经过点A、B,点A的坐标为(1,2),过点A作AC∥y轴,AC=1(点C位于点A的下方),过点C作CD∥x轴,与函数的图象交于点D,过点B作BE⊥CD,垂足E在线段CD上,连接OC、OD.‎ ‎(1)求△OCD的面积;‎ ‎(2)当BE=AC时,求CE的长.‎ ‎27.(8分)(2014•苏州)如图,已知⊙O上依次有A、B、C、D四个点,=,连接AB、AD、BD,弦AB不经过圆心O,延长AB到E,使BE=AB,连接EC,F是EC的中点,连接BF.‎ ‎(1)若⊙O的半径为3,∠DAB=120°,求劣弧的长;‎ ‎(2)求证:BF=BD;‎ ‎(3)设G是BD的中点,探索:在⊙O上是否存在点P(不同于点B),使得PG=PF?并说明PB与AE的位置关系.‎ ‎28.(9分)(2014•苏州)如图,已知l1⊥l2,⊙O与l1,l2都相切,⊙O的半径为2cm,矩形ABCD的边AD、AB分别与l1,l2重合,AB=4cm,AD=4cm,若⊙O与矩形ABCD沿l1同时向右移动,⊙O的移动速度为3cm/s,矩形ABCD的移动速度为4cm/s,设移动时间为t(s)‎ ‎(1)如图①,连接OA、AC,则∠OAC的度数为      °;‎ ‎(2)如图②,两个图形移动一段时间后,⊙O到达⊙O1的位置,矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置,此时点O1,A1,C1恰好在同一直线上,求圆心O移动的距离(即OO1的长);‎ ‎(3)在移动过程中,圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化,设该距离为d(cm),当d<2时,求t的取值范围(解答时可以利用备用图画出相关示意图).‎ ‎29.(10分)(2014•苏州)如图,二次函数y=a(x2﹣2mx﹣3m2)(其中a,m是常数,且a>0,m>0)的图象与x轴分别交于点A、B(点A位于点B的左侧),与y轴交于C(0,﹣3),点D在二次函数的图象上,CD∥AB,连接AD,过点A作射线AE交二次函数的图象于点E,AB平分∠DAE.‎ ‎(1)用含m的代数式表示a;‎ ‎(2)求证:为定值;‎ ‎(3)设该二次函数图象的顶点为F,探索:在x轴的负半轴上是否存在点G,连接GF,以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形?如果存在,只要找出一个满足要求的点G即可,并用含m的代数式表示该点的横坐标;如果不存在,请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎2014年江苏省苏州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)‎ ‎1.(3分)(2014•苏州)(﹣3)×3的结果是(  )‎ A.﹣9B.0C.9D.﹣6‎ ‎【解答】解:原式=﹣3×3=﹣9,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎2.(3分)(2014•苏州)已知∠α和∠β是对顶角,若∠α=30°,则∠β的度数为(  )‎ A.30°B.60°C.70°D.150°‎ ‎【解答】解:∵∠α和∠β是对顶角,∠α=30°,‎ ‎∴根据对顶角相等可得∠β=∠α=30°.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎3.(3分)(2014•苏州)有一组数据:1,3,3,4,5,这组数据的众数为(  )‎ A.1B.3C.4D.5‎ ‎【解答】解:这组数据中3出现的次数最多,‎ 故众数为3.‎ 故选:B ‎ ‎ ‎4.(3分)(2014•苏州)若式子在实数范围内有意义,则x的取值范围是(  )‎ A.x≤﹣4B.x≥﹣4C.x≤4D.x≥4‎ ‎【解答】解:依题意知,x﹣4≥0,‎ 解得x≥4.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎5.(3分)(2014•苏州)如图,一个圆形转盘被分成6个圆心角都为60°的扇形,任意转动这个转盘1次,当转盘停止转动时,指针指向阴影区域的概率是(  )‎ A.B.C.D.‎ ‎【解答】解:设圆的面积为6,‎ ‎∵圆被分成6个相同扇形,‎ ‎∴每个扇形的面积为1,‎ ‎∴阴影区域的面积为4,‎ ‎∴指针指向阴影区域的概率==.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎6.(3分)(2014•苏州)如图,在△ABC中,点D在BC上,AB=AD=DC,∠B=80°,则∠C的度数为(  )‎ A.30°B.40°C.45°D.60°‎ ‎【解答】解:∵△ABD中,AB=AD,∠B=80°,‎ ‎∴∠B=∠ADB=80°,‎ ‎∴∠ADC=180°﹣∠ADB=100°,‎ ‎∵AD=CD,‎ ‎∴∠C===40°.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎7.(3分)(2014•苏州)下列关于x的方程有实数根的是(  )‎ A.x2﹣x+1=0B.x2+x+1=0C.(x﹣1)(x+2)=0D.(x﹣1)2+1=0‎ ‎【解答】解:A、△=(﹣1)2﹣4×1×1=﹣3<0,方程没有实数根,所以A选项错误;‎ B、△=12﹣4×1×1=﹣3<0,方程没有实数根,所以B选项错误;‎ C、x﹣1=0或x+2=0,则x1=1,x2=﹣2,所以C选项正确;‎ D、(x﹣1)2=﹣1,方程左边为非负数,方程右边为0,所以方程没有实数根,所以D选项错误.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎8.(3分)(2014•苏州)二次函数y=ax2+bx﹣1(a≠0)的图象经过点(1,1),则代数式1﹣a﹣b的值为(  )‎ A.﹣3B.﹣1C.2D.5‎ ‎【解答】解:∵二次函数y=ax2+bx﹣1(a≠0)的图象经过点(1,1),‎ ‎∴a+b﹣1=1,‎ ‎∴a+b=2,‎ ‎∴1﹣a﹣b=1﹣(a+b)=1﹣2=﹣1.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎9.(3分)(2014•苏州)如图,港口A在观测站O的正东方向,OA=4km,某船从港口A出发,沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处,此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向,则该船航行的距离(即AB的长)为(  )‎ A.4kmB.2kmC.2kmD.(+1)km ‎【解答】解:如图,过点A作AD⊥OB于D.‎ 在Rt△AOD中,∵∠ADO=90°,∠AOD=30°,OA=4,‎ ‎∴AD=OA=2.‎ 在Rt△ABD中,∵∠ADB=90°,∠B=∠CAB﹣∠AOB=75°﹣30°=45°,‎ ‎∴BD=AD=2,‎ ‎∴AB=AD=2.‎ 即该船航行的距离(即AB的长)为2km.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎10.(3分)(2014•苏州)如图,△AOB为等腰三角形,顶点A的坐标(2,),底边OB在x轴上.将△AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A′O′B,点A的对应点A′在x轴上,则点O′的坐标为(  )‎ A.(,)B.(,)C.(,)D.(,4)‎ ‎【解答】解:如图,过点A作AC⊥OB于C,过点O′作O′D⊥A′B于D,‎ ‎∵A(2,),‎ ‎∴OC=2,AC=,‎ 由勾股定理得,OA===3,‎ ‎∵△AOB为等腰三角形,OB是底边,‎ ‎∴OB=2OC=2×2=4,‎ 由旋转的性质得,BO′=OB=4,∠A′BO′=∠ABO,‎ ‎∴O′D=4×=,‎ BD=4×=,‎ ‎∴OD=OB+BD=4+=,‎ ‎∴点O′的坐标为(,).‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ 二、填空题(共8小题,每小题3分,共24分)‎ ‎11.(3分)(2014•苏州)的倒数是  .‎ ‎【解答】解:的倒数是,‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎12.(3分)(2014•苏州)已知地球的表面积约为510000000km2,数510000000用科学记数法可表示为 5.1×108 .‎ ‎【解答】解:510 000 000=5.1×108.‎ 故答案为:5.1×108.‎ ‎ ‎ ‎13.(3分)(2014•苏州)已知正方形ABCD的对角线AC=,则正方形ABCD的周长为 4 .‎ ‎【解答】解:∵正方形ABCD的对角线AC=,‎ ‎∴边长AB=÷=1,‎ ‎∴正方形ABCD的周长=4×1=4.‎ 故答案为:4.‎ ‎ ‎ ‎14.(3分)(2014•苏州)某学校计划开设A、B、C、D四门校本课程供全体学生选修,规定每人必须并且只能选修其中一门,为了了解各门课程的选修人数.现从全体学生中随机抽取了部分学生进行调查,并把调查结果绘制成如图所示的条形统计图.已知该校全体学生人数为1200名,由此可以估计选修C课程的学生有 240 人.‎ ‎【解答】解:C占样本的比例,‎ C占总体的比例是,‎ 选修C课程的学生有1200×=240(人),‎ 故答案为:240.‎ ‎ ‎ ‎15.(3分)(2014•苏州)如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8.若∠BPC=∠BAC,则tan∠BPC=  .‎ ‎【解答】解:过点A作AE⊥BC于点E,‎ ‎∵AB=AC=5,‎ ‎∴BE=BC=×8=4,∠BAE=∠BAC,‎ ‎∵∠BPC=∠BAC,‎ ‎∴∠BPC=∠BAE.‎ 在Rt△BAE中,由勾股定理得 AE=,‎ ‎∴tan∠BPC=tan∠BAE=.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎16.(3分)(2014•苏州)某地准备对一段长120m的河道进行清淤疏通.若甲工程队先用4天单独完成其中一部分河道的疏通任务,则余下的任务由乙工程队单独完成需要9天;若甲工程队先单独工作8天,则余下的任务由乙工程队单独完成需要3天.设甲工程队平均每天疏通河道xm,乙工程队平均每天疏通河道ym,则(x+y)的值为 20 .‎ ‎【解答】解:设甲工程队平均每天疏通河道xm,乙工程队平均每天疏通河道ym,由题意,得 ‎,‎ 解得:.‎ ‎∴x+y=20.‎ 故答案为:20.‎ ‎ ‎ ‎17.(3分)(2014•苏州)如图,在矩形ABCD中,=,以点B为圆心,BC长为半径画弧,交边AD于点E.若AE•ED=,则矩形ABCD的面积为 5 .‎ ‎【解答】解:如图,连接BE,则BE=BC.‎ 设AB=3x,BC=5x,‎ ‎∵四边形ABCD是矩形,‎ ‎∴AB=CD=3x,AD=BC=5x,∠A=90°,‎ 由勾股定理得:AE=4x,‎ 则DE=5x﹣4x=x,‎ ‎∵AE•ED=,‎ ‎∴4x•x=,‎ 解得:x=(负数舍去),‎ 则AB=3x=,BC=5x=,‎ ‎∴矩形ABCD的面积是AB×BC=×=5,‎ 故答案为:5.‎ ‎ ‎ ‎18.(3分)(2014•苏州)如图,直线l与半径为4的⊙O相切于点A,P是⊙O上的一个动点(不与点A重合),过点P作PB⊥l,垂足为B,连接PA.设PA=x,PB=y,则(x﹣y)的最大值是 2 .‎ ‎【解答】解:如图,作直径AC,连接CP,‎ ‎∴∠CPA=90°,‎ ‎∵AB是切线,‎ ‎∴CA⊥AB,‎ ‎∵PB⊥l,‎ ‎∴AC∥PB,‎ ‎∴∠CAP=∠APB,‎ ‎∴△APC∽△PBA,‎ ‎∴,‎ ‎∵PA=x,PB=y,半径为4,‎ ‎∴=,‎ ‎∴y=x2,‎ ‎∴x﹣y=x﹣x2=﹣x2+x=﹣(x﹣4)2+2,‎ 当x=4时,x﹣y有最大值是2,‎ 故答案为:2.‎ ‎ ‎ 三、解答题(共11小题,共76分)‎ ‎19.(5分)(2014•苏州)计算:22+|﹣1|﹣.‎ ‎【解答】解:原式=4+1﹣2=3.‎ ‎ ‎ ‎20.(5分)(2014•苏州)解不等式组:.‎ ‎【解答】解:,‎ 由①得:x>3;由②得:x≤4,‎ 则不等式组的解集为3<x≤4.‎ ‎ ‎ ‎21.(5分)(2015•东莞)先化简,再求值:÷(1+),其中x=﹣1.‎ ‎【解答】解:‎ ‎=÷(+)‎ ‎=÷‎ ‎=×‎ ‎=,‎ 把,代入原式====.‎ ‎ ‎ ‎22.(6分)(2014•苏州)解分式方程:+=3.‎ ‎【解答】解:去分母得:x﹣2=3x﹣3,‎ 解得:x=,‎ 经检验x=是分式方程的解.‎ ‎ ‎ ‎23.(6分)(2014•苏州)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D、F分别在AB、AC上,CF=CB,连接CD,将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE,连接EF.‎ ‎(1)求证:△BCD≌△FCE;‎ ‎(2)若EF∥CD,求∠BDC的度数.‎ ‎【解答】(1)证明:∵将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE,‎ ‎∴CD=CE,∠DCE=90°,‎ ‎∵∠ACB=90°,‎ ‎∴∠BCD=90°﹣∠ACD=∠FCE,‎ 在△BCD和△FCE中,‎ ‎,‎ ‎∴△BCD≌△FCE(SAS).‎ ‎(2)解:由(1)可知△BCD≌△FCE,‎ ‎∴∠BDC=∠E,∠BCD=∠FCE,‎ ‎∴∠DCE=∠DCA+∠FCE=∠DCA+∠BCD=∠ACB=90°,‎ ‎∵EF∥CD,‎ ‎∴∠E=180°﹣∠DCE=90°,‎ ‎∴∠BDC=90°.‎ ‎ ‎ ‎24.(7分)(2014•苏州)如图,已知函数y=﹣x+b的图象与x轴、y轴分别交于点A、B,与函数y=x的图象交于点M,点M的横坐标为2,在x轴上有一点P(a,0)(其中a>2),过点P作x轴的垂线,分别交函数y=﹣x+b和y=x的图象于点C、D.‎ ‎(1)求点A的坐标;‎ ‎(2)若OB=CD,求a的值.‎ ‎【解答】解:(1)∵点M在直线y=x的图象上,且点M的横坐标为2,‎ ‎∴点M的坐标为(2,2),‎ 把M(2,2)代入y=﹣x+b得﹣1+b=2,解得b=3,‎ ‎∴一次函数的解析式为y=﹣x+3,‎ 把y=0代入y=﹣x+3得﹣x+3=0,解得x=6,‎ ‎∴A点坐标为(6,0);‎ ‎(2)把x=0代入y=﹣x+3得y=3,‎ ‎∴B点坐标为(0,3),‎ ‎∵CD=OB,‎ ‎∴CD=3,‎ ‎∵PC⊥x轴,‎ ‎∴C点坐标为(a,﹣a+3),D点坐标为(a,a)‎ ‎∴a﹣(﹣a+3)=3,‎ ‎∴a=4.‎ ‎ ‎ ‎25.(7分)(2014•苏州)如图,用红、蓝两种颜色随机地对A、B、C三个区域分别进行涂色,每个区域必须涂色并且只能涂一种颜色,请用列举法(画树状图或列表)求A、C两个区域所涂颜色不相同的概率.‎ ‎【解答】解:画树状图,如图所示:‎ 所有等可能的情况8种,其中A、C两个区域所涂颜色不相同的有4种,‎ 则P=.‎ ‎ ‎ ‎26.(8分)(2014•苏州)如图,已知函数y=(x>0)的图象经过点A、B,点A的坐标为(1,2),过点A作AC∥y轴,AC=1(点C位于点A的下方),过点C作CD∥x轴,与函数的图象交于点D,过点B作BE⊥CD,垂足E在线段CD上,连接OC、OD.‎ ‎(1)求△OCD的面积;‎ ‎(2)当BE=AC时,求CE的长.‎ ‎【解答】解;(1)y=(x>0)的图象经过点A(1,2),‎ ‎∴k=2.‎ ‎∵AC∥y轴,AC=1,‎ ‎∴点C的坐标为(1,1).‎ ‎∵CD∥x轴,点D在函数图象上,‎ ‎∴点D的坐标为(2,1).‎ ‎∴.‎ ‎(2)∵BE=,‎ ‎∴.‎ ‎∵BE⊥CD,‎ 点B的纵坐标=2﹣=,‎ 由反比例函数y=,‎ 点B的横坐标x=2÷=,‎ ‎∴点B的横坐标是,纵坐标是.‎ ‎∴CE=.‎ ‎ ‎ ‎27.(8分)(2014•苏州)如图,已知⊙O上依次有A、B、C、D四个点,=,连接AB、AD、BD,弦AB不经过圆心O,延长AB到E,使BE=AB,连接EC,F是EC的中点,连接BF.‎ ‎(1)若⊙O的半径为3,∠DAB=120°,求劣弧的长;‎ ‎(2)求证:BF=BD;‎ ‎(3)设G是BD的中点,探索:在⊙O上是否存在点P(不同于点B),使得PG=PF?并说明PB与AE的位置关系.‎ ‎【解答】(1)解:连接OB,OD,‎ ‎∵∠DAB=120°,∴所对圆心角的度数为240°,‎ ‎∴∠BOD=360°﹣240°=120°,‎ ‎∵⊙O的半径为3,‎ ‎∴劣弧的长为:×π×3=2π;‎ ‎(2)证明:连接AC,‎ ‎∵AB=BE,∴点B为AE的中点,‎ ‎∵F是EC的中点,∴BF为△EAC的中位线,‎ ‎∴BF=AC,‎ ‎∵=,‎ ‎∴+=+,‎ ‎∴=,‎ ‎∴BD=AC,‎ ‎∴BF=BD;‎ ‎(3)解:过点B作AE的垂线,与⊙O的交点即为所求的点P,‎ ‎∵BF为△EAC的中位线,‎ ‎∴BF∥AC,‎ ‎∴∠FBE=∠CAE,‎ ‎∵=,‎ ‎∴∠CAB=∠DBA,‎ ‎∵由作法可知BP⊥AE,‎ ‎∴∠GBP=∠FBP,‎ ‎∵G为BD的中点,‎ ‎∴BG=BD,‎ ‎∴BG=BF,‎ 在△PBG和△PBF中,‎ ‎,‎ ‎∴△PBG≌△PBF(SAS),‎ ‎∴PG=PF.‎ ‎ ‎ ‎28.(9分)(2014•苏州)如图,已知l1⊥l2,⊙O与l1,l2都相切,⊙O的半径为2cm,矩形ABCD的边AD、AB分别与l1,l2重合,AB=4cm,AD=4cm,若⊙O与矩形ABCD沿l1同时向右移动,⊙O的移动速度为3cm/s,矩形ABCD的移动速度为4cm/s,设移动时间为t(s)‎ ‎(1)如图①,连接OA、AC,则∠OAC的度数为 105 °;‎ ‎(2)如图②,两个图形移动一段时间后,⊙O到达⊙O1的位置,矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置,此时点O1,A1,C1恰好在同一直线上,求圆心O移动的距离(即OO1的长);‎ ‎(3)在移动过程中,圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化,设该距离为d(cm),当d<2时,求t的取值范围(解答时可以利用备用图画出相关示意图).‎ ‎【解答】解:(1)∵l1⊥l2,⊙O与l1,l2都相切,‎ ‎∴∠OAD=45°,‎ ‎∵AB=4cm,AD=4cm,‎ ‎∴CD=4cm,‎ ‎∴tan∠DAC===,‎ ‎∴∠DAC=60°,‎ ‎∴∠OAC的度数为:∠OAD+∠DAC=105°,‎ 故答案为:105;‎ ‎(2)如图位置二,当O1,A1,C1恰好在同一直线上时,设⊙O1与l1的切点为E,‎ 连接O1E,可得O1E=2,O1E⊥l1,‎ 在Rt△A1D1C1中,∵A1D1=4,C1D1=4,‎ ‎∴tan∠C1A1D1=,∴∠C1A1D1=60°,‎ 在Rt△A1O1E中,∠O1A1E=∠C1A1D1=60°,‎ ‎∴A1E==,‎ ‎∵A1E=AA1﹣OO1﹣2=t﹣2,‎ ‎∴t﹣2=,‎ ‎∴t=+2,‎ ‎∴OO1=3t=2+6;‎ ‎(3)①当直线AC与⊙O第一次相切时,设移动时间为t1,‎ 如图位置一,此时⊙O移动到⊙O2的位置,矩形ABCD移动到A2B2C2D2的位置,‎ 设⊙O2与直线l1,A2C2分别相切于点F,G,连接O2F,O2G,O2A2,‎ ‎∴O2F⊥l1,O2G⊥A2C2,‎ 由(2)得,∠C2A2D2=60°,∴∠GA2F=120°,‎ ‎∴∠O2A2F=60°,‎ 在Rt△A2O2F中,O2F=2,∴A2F=,‎ ‎∵OO2=3t1,AF=AA2+A2F=4t1+,‎ ‎∴4t1+﹣3t1=2,‎ ‎∴t1=2﹣,‎ ‎②当直线AC与⊙O第二次相切时,设移动时间为t2,‎ 记第一次相切时为位置一,点O1,A1,C1共线时位置二,第二次相切时为位置三,‎ 由题意知,从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等,‎ ‎∴+2﹣(2﹣)=t2﹣(+2),‎ 解得:t2=2+2,‎ 综上所述,当d<2时,t的取值范围是:2﹣<t<2+2.‎ ‎ ‎ ‎29.(10分)(2014•苏州)如图,二次函数y=a(x2﹣2mx﹣3m2)(其中a,m是常数,且a>0,m>0)的图象与x轴分别交于点A、B(点A位于点B的左侧),与y轴交于C(0,﹣3),点D在二次函数的图象上,CD∥AB,连接AD,过点A作射线AE交二次函数的图象于点E,AB平分∠DAE.‎ ‎(1)用含m的代数式表示a;‎ ‎(2)求证:为定值;‎ ‎(3)设该二次函数图象的顶点为F,探索:在x轴的负半轴上是否存在点G,连接GF,以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形?如果存在,只要找出一个满足要求的点G即可,并用含m的代数式表示该点的横坐标;如果不存在,请说明理由.‎ ‎【解答】(1)解:将C(0,﹣3)代入二次函数y=a(x2﹣2mx﹣3m2),‎ 则﹣3=a(0﹣0﹣3m2),‎ 解得 a=.‎ ‎(2)方法一:‎ 证明:如图1,过点D、E分别作x轴的垂线,垂足为M、N.‎ 由a(x2﹣2mx﹣3m2)=0,‎ 解得 x1=﹣m,x2=3m,‎ 则 A(﹣m,0),B(3m,0).‎ ‎∵CD∥AB,‎ ‎∴D点的纵坐标为﹣3,‎ 又∵D点在抛物线上,‎ ‎∴将D点纵坐标代入抛物线方程得D点的坐标为(2m,﹣3).‎ ‎∵AB平分∠DAE,‎ ‎∴∠DAM=∠EAN,‎ ‎∵∠DMA=∠ENA=90°,‎ ‎∴△ADM∽△AEN.‎ ‎∴==.‎ 设E坐标为(x,),‎ ‎∴=,‎ ‎∴x=4m,‎ ‎∴E(4m,5),‎ ‎∵AM=AO+OM=m+2m=3m,AN=AO+ON=m+4m=5m,‎ ‎∴==,即为定值.‎ 方法二:‎ 过点D、E分别作x轴的垂线,垂足为M、N,‎ ‎∵a(x2﹣2mx﹣3m2)=0,‎ ‎∴x1=﹣m,x2=3m,‎ 则A(﹣m,0),B(3m,0),‎ ‎∵CD∥AB,∴D点的纵坐标为﹣3,∴D(2m,﹣3),‎ ‎∵AB平分∠DAE,∴KAD+KAE=0,‎ ‎∵A(﹣m,0),D(2m,﹣3),‎ ‎∴KAD==﹣,∴KAE=,‎ ‎∴⇒x2﹣3mx﹣4m2=0,‎ ‎∴x1=﹣m(舍),x2=4m,∴E(4m,5),‎ ‎∵∠DAM=∠EAN=90°‎ ‎∴△ADM∽△AEN,‎ ‎∴,‎ ‎∵DM=3,EN=5,‎ ‎∴.‎ ‎(3)解:如图2,记二次函数图象顶点为F,则F的坐标为(m,﹣4),过点F作FH⊥x轴于点H.‎ 连接FC并延长,与x轴负半轴交于一点,此点即为所求的点G.‎ ‎∵tan∠CGO=,tan∠FGH=,‎ ‎∴=,‎ ‎∴,‎ ‎∵OC=3,HF=4,OH=m,‎ ‎∴OG=3m.‎ ‎∵GF===4,‎ ‎ AD===3,‎ ‎∴=.‎ ‎∵=,‎ ‎∴AD:GF:AE=3:4:5,‎ ‎∴以线段GF,AD,AE的长度为三边长的三角形是直角三角形,此时G点的横坐标为﹣3m.‎ ‎ ‎ 参与本试卷答题和审题的老师有:2300680618;wdzyzlhx;caicl;dbz1018;sjzx;CJX;gsls;星期八;HJJ;hdq123;zjx111;wkd;sks;gbl210;wd1899;sd2011;SPIDER(排名不分先后)‎ 菁优网 ‎2016年7月19日