中考数学一轮复习 图形的性质一 三角形与全等三角形 20页

第18讲　三角形与全等三角形 第五章　图形的性质 ( 一 ) 知识盘点 1 、三角形及其分类 2 、三角形的三边关系 3 、三角形中角的关系 4 、三角形中几条重要线段 5 、三角形的中位线 6 、全等三角形的性质和判定 1 ． 证明三角形全等的三种基本思路 (1) 有两 边对应 相等 时 ， 找 夹 角相等或第三 边对应 相等； (2) 有一 边 和一角 对应 相等 时 ， 找另一角相等或 夹 等角的另一 边 相等； (3) 有两个角 对应 相等 时 ， 找一 对边对应 相等． 另外 ， 在 寻 求全等条件 时 ， 要善于挖掘 图 形中公共 边 、公共角、 对顶 角等 隐 含条件． 2 ． 证明几何题的四种思考方法 (1) 顺 推分析：从已知条件出 发 ， 运用相 应 的定理 ， 分 别 或 联 合几个已 知条件加以 发 展 ， 一步一步地去靠近欲 证 目 标 ； (2) 逆推分析：从欲 证结论 入手 ， 分析达到欲 证 的可能 途径 ， 逐步沟通它与已知条件的 联 系 ， 从而找到 证 明 方法； (3) 顺 推分析与逆推分析相 结 合； (4) 联 想分析： 对 于一道与 证 明 过 的 题 目有 类 似之 处 的新 题 目 ， 分析它 们 之 间 的相同点与不同点 ， 尝试 把 对 前 一道 题 的思考 转 用于 现 在的 题 目中 ， 从而找到它的解法． 难点与易错点 D A 夯实基础 D D 5 ． ( 2015 · 泰安 ) 如图 ， AD 是 △ ABC 的角平分线 ， DE ⊥ AC ， 垂足为点 E ， BF ∥ AC 交 ED 的延长线于点 F ， 若 BC 恰好平分 ∠ ABF ， AE ＝ 2BF. 给出下列四个结论： ① DE ＝ DF ； ② DB ＝ DC ； ③ AD ⊥ BC ； ④ AC ＝ 3BF ， 其中正确的结论共有 ( ) A ． 4 个 B ． 3 个 C ． 2 个 D ． 1 个 A B 1 ＜ c ＜ 5 【 点评 】 　三角形三 边 关系性 质 的 实质 是 “ 两点之 间 ， 线 段最短 ” ． 根据三角形的三 边 关系 ， 已知三角形的两 边 a ， b ， 可确定三角形第三 边长 c 的取 值 范 围 | a － b | ＜ c ＜ a ＋ b . 典例探究 [ 对应训练 ] 1 ． (1) ( 2014 · 宜昌 ) 已知三角形两边长分别为 3 和 8 ， 则该三角形第三边的长可能是 ( ) A ． 5 B ． 10 C ． 11 D ． 12 (2) ( 2014 · 淮安 ) 若一个三角形三边长分别为 2 ， 3 ， x ， 则 x 的值可以为 ____ ． ( 只需填一个整数 ) B 4 【 例 2 】 　 (1)( 2014 · 赤峰 ) 如图 ， 把一块含有 30° 角 ( ∠ A ＝ 30°) 的直角三角板 ABC 的直角顶点放在矩形桌面 CDEF 的一个顶点 C 处 ， 桌面的另一个顶点 F 与三角板斜边相交于点 F ， 如果 ∠ 1 ＝ 40° ， 那么 ∠ AFE ＝ ( ) A ． 50° B ． 40° C ． 20° D ． 10° (2) 一个零件的形状如图所示 ， 按规定 ∠ A ＝ 90° ， ∠ B 和 ∠ C 分别是 32° 和 21° ， 检验工人量得 ∠ BDC ＝ 148° ， 就断定这个零件不合格 ， 请说明理由． D 解：延长 BD 交 AC 于 E. ∵∠ DEC 是 △ ABE 的外角 ， ∴∠ DEC ＝ ∠ A ＋ ∠ B ＝ 90 ° ＋ 32 ° ＝ 122 ° . 同理 ∠ BDC ＝ ∠ C ＋ ∠ DEC ＝ 21 ° ＋ 122 ° ＝ 143 ° ≠ 148 ° ， ∴ 这个零件不合格 【 点评 】 　有关求三角形角的度数的 问题 ， 首先要明确所求的角和哪些三角形有密切 联 系 ， 若没有直接 联 系 ， 可添加 辅 助 线 构建 “ 桥 梁 ” ． C 解： ∵∠ BPC 是 △ PCD 的外角 ， ∴∠ BPC ＞ ∠ BDC ， 同理 ∠ BDC ＞ ∠ BAC ， ∴∠ BPC ＞ ∠ BDC ＞ ∠ BAC 【 例 3 】 　 (1)( 2015 · 莆田 ) 如图 ， AE ∥ DF ， AE ＝ DF ， 要使 △ EAC ≌△ FDB ， 需要添加下列选项中的 ( ) A ． AB ＝ CD B ． EC ＝ BF C ． ∠ A ＝ ∠ D D ． AB ＝ BC A 【 点评 】 　判定两个三角形全等的一般方法有： SSS ， SAS ， ASA ， AAS ， HL. 注意： AAA ， SSA 不能判定两个三角形全等 ， 判定两个三角形全等 时 ， 必 须 有 边 的参与 ， 若有两 边 一角 对应 相等 时 ， 角必 须 是两 边 的 夹 角． [ 对应训练 ] 3 ． (1) ( 2015 · 泰州 ) 如图 ， △ ABC 中 ， AB ＝ AC ， D 是 BC 的中点 ， AC 的垂直平分线分别交 AC ， AD ， AB 于点 E ， O ， F ， 则图中全等三角形的对数是 ( ) A ． 1 对 B ． 2 对 C ． 3 对 D ． 4 对 D (2) ( 2014 · 邵阳 ) 如图 ， 已知点 A ， F ， E ， C 在同一直线上 ， AB ∥ CD ， ∠ ABE ＝ ∠ CDF ， AF ＝ CE. ① 从图中任找两组全等三角形； ② 从 ① 中任选一组进行证明． [ 对应训练 ] 4 ． ( 2015 · 黑龙江 ) 如图 ， 四边形 ABCD 是正方形 ， 点 E 在直线 BC 上 ， 连接 AE. 将 △ ABE 沿 AE 所在直线折叠 ， 点 B 的对应点是点 B′ ， 连接 AB′ 并延长交直线 DC 于点 F. (1) 当点 F 与点 C 重合时如图 ① ， 易证： DF ＋ BE ＝ AF( 不需证明 ) ； (2) 当点 F 在 DC 的延长线上时如图 ② ， 当点 F 在 CD 的延长线上时如图 ③ ， 线段 DF ， BE ， AF 有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想 ， 并选择一种情况给予证明． 解： ( 1 ) 由折叠可得 AB ＝ AB′ ， BE ＝ B′E ， ∵ 四边形 ABCD 是正方形 ， ∴ AB ＝ DC ＝ DF ， ∠ B ′ CE ＝ 45 ° ， ∴ B ′ E ＝ B′F ， ∴ AF ＝ AB′ ＋ B′F ， 即 DF ＋ BE ＝ AF 　 ( 2 ) 图 ② 的结论： DF ＋ BE ＝ AF ；图 ③ 的结论： BE － DF ＝ AF ；图 ② 的证明：延长 CD 到点 G ， 使 DG ＝ BE ， 连接 AG ， 需证 △ ABE ≌△ ADG ， ∵ CB ∥ AD ， ∴∠ AEB ＝ ∠ EAD ， ∵∠ BAE ＝ ∠ B′AE ， ∴∠ B ′ AE ＝ ∠ DAG ， ∴∠ GAF ＝ ∠ DAE ， ∴∠ AGD ＝ ∠ GAF ， ∴ GF ＝ AF ， ∴ BE ＋ DF ＝ AF ；图 ③ 的证明：在 BC 上取点 M ， 使 BM ＝ DF ， 连接 AM ， 需证 △ ABM ≌△ ADF ， ∵∠ BAM ＝ ∠ FAD ， AF ＝ AM ∵△ ABE ≌ AB′E ∴∠ BAE ＝ ∠ EAB′ ， ∴∠ MAE ＝ ∠ DAE ， ∵ AD ∥ BE ， ∴∠ AEM ＝ ∠ DAE ， ∴∠ MAE ＝ ∠ AEM ， ∴ ME ＝ MA ＝ AF ， ∴ BE － DF ＝ AF 正解　 证明： ∵ EB ＝ EC ， ∴∠ 3 ＝ ∠ 4. 又 ∵∠ 1 ＝ ∠ 2 ， ∴∠ 1 ＋ ∠ 3 ＝ ∠ 2 ＋ ∠ 4 ， 即 ∠ ABC ＝ ∠ ACB ， ∴ AB ＝ AC. 在 △ AEB 和 △ AEC 中 ， ∵ EB ＝ EC ， ∠ 1 ＝ ∠ 2 ， AB ＝ AC ， ∴△ AEB ≌△ AEC ( SAS ) ， ∴∠ BAE ＝ ∠ CAE