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- 2021-05-10 发布
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全等到相似的转化[中%国教*~育^出版网@]
知识互联网
[来源:~z*zs&tep.c#om^]
[来&源~:*zzstep.co@m%]
题型一:全等到相似的转化(对称型)
[来~#源%*:^中国教育出版网]
典题精练
已知正方形的边长为,点是射线上的一个动点,连接交射线于点,将沿直线翻折,点落在点处.
⑴ 当时,______,[w~ww.z#zs^te%p@.com]
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⑵ 当时,求的值;
⑶ 当时(点与点不重合),请写出翻折后与正方形公共部分的面积与的关系式,(只要写出结论,不要解题过程).
⑴ 6 ;
⑵ ① 如图1,当点在上时,延长交于点,
∵,∴,∴.
∵,∴.
∵,∴.
又,∴.∴.[w#ww.zzs%t*ep^.co@m]
设,则,.[来~源:zz*^ste%@p.com]
在中,由勾股定理得:
,解得.∴.
∴;
② 如图2,当点在延长线上时,延长交于点,
同①可得.
设,则.
在中,由勾股定理,得
,解得.∴.
∴.
⑶ ① 当点在上时,;[来源&:中教网@*#^]
(所求的面积即为的面积,再由相似表示出边长)
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② 当点在延长线上时,.
[中国#&教育出*版网@~]
题型二:全等到相似的转化(旋转型)
典题精练
在和中,,,,、交于点.
⑴ 如图1,,则 ,与的数量关系是 ;
[来源:zzs%t&ep~.#co@m]
⑵ 如图2,,则的度数为____(用含的式子表示),与之间的数量关系是_____;填写你的结论,并给出你的证明;
⑶ 请你继续完成下面探索:
如图3,在和中,,,,则的度数为 ________(用含的式子表示),与之间的数量关系是______;填写你的结论,并给予证明.
此题考察学生对共顶点的三角形的全等与相似.解决这里夹角的主要思路是我们常见的模型“八字角”.
⑴ ,相等;
⑵,相等;[中国教育出%版网^@*&]
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∵,∴[中~国&^教育出#*版网]
∴,∴,
∵,∴
∵,∴,∴.
⑶ ,.
易证,∴,
∵,∴,∴,[来#^源:@中国教育出版~网*]
∴.[www&.z~z*st%ep.com#]
[来源:^zzste~p.%com@&]
如图,直线与线段相交于点, 点和点在直线上,且.
⑴ 如图1所示,当点与点重合时 ,且,请写出与的数量关系和位置关系;
⑵ 将图1中的绕点顺时针旋转到如图2所示的位置,,⑴中的与的数量关系和位置关系是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由;
⑶ 将图2中的拉长为的倍得到如图3,求的值.
【答案】⑴ ;
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⑵ 仍然成立.
证明: 过点作于,过点作于
∴
∵,
∴≌
∴[来源:*中@教#&网~]
∵
∴
∴
延长与的延长线相交点
∴
又∵
∴
∴
⑶ 过点作于,过点作于
易证[来源:中&*国^教育出#版网@]
∴ .
∵ ,
∴ .
由⑵知 .
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.
如图,是由绕点顺时针旋转得到的,连结交斜边于点,的延长线交于点.
⑴ 证明:;
⑵ 设,,试探索、满足什么关系时,与是全等三角形,并说明理由.
[ww&w^.zzstep*#.co@m]
⑴ 证明:∵是由绕点顺时针旋转得到的,
∴,,[www.#zzst&*e~p.c@om]
∴
∴[来源:中@#国教*育出版~网^]
又
∴
⑵ 解:当时,[来~源*:中国教育出版^&@网]
在¢中,∵
∴
在中,
,即,
∴.
∵,
∴
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∴
由⑴知:,
∴.[中国教育&出^*@版网#]
如图,正方形的对角线与相交于点,正方形与正方形全等,射线与不过、、、四点且分别交BC.CD的边于、两点.[来#%&源*:@中教网]
⑴ 求证:;
⑵ 若将原题中的正方形改为矩形,且,其他条件不变,探索线段与[中国教育出%~*#版网^]
线段的数量关系.[w#ww.zz@s^tep%~.com]
[www.z%#z&ste^p@.com]
⑴ 证明:过点作于点,于点.
∴.
∵为正方形对角线、的交点,
∴.
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又∵
∴
在和中
[来源:中~^&国#教育出版网@]
∴.
∴.
⑵ 解:当交于点,交于点时.
过点作于点,于点H.
∴∠MGE=∠MHF=.[来源:@~&中#教网^]
∵M为矩形对角线AC.BD的交点,
∴∠EMG+∠GMQ =∠HMF +∠GMQ=.
∴∠EMG =∠HMF.
在△MGE和△MHF中,
∴△MGE∽△MHF.
∴.
∵M为矩形对角线AC.BD的交点,∴MB=MD=MC
又∵MG⊥BC,MH⊥CD,∴点G、H分别是BC.DC的中点.
∵,
∴.
∴.[来%~源:中教*^网&]
如图,是两个全等的等腰直角三角形,,的顶点
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与的斜边的中点重合.将绕点旋转,旋转过程中,线段与线段相交于点,线段与射线相交于点.
(1)如图①,当点在线段上,且时,求证:;
(2)如图②,当点在线段的延长线上时,求证:;并求当,时,两点间的距离 (用含的代数式表示).
【解析】(1)证明:∵是等腰直角三角形,
∴,
∵,
∴,
∵的中点,
∴,[来&源:#中教^%网~]
在中,
∴
∴;
(2)解:连接,
∵是两个全等的等腰直角三角形,
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∴,
∵,
即,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵,,,
∴,
∴,
∴,
∴,
在中,.
复习巩固
题型一 全等到相似的转化(对称型)
如右图,在正方形ABCD中,AB=1,BE⊥AP于E,DF⊥AP于F,
若= m(m为常数),则= .
如图,已知,,,以为边作矩形ABCD,使
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,过点D作DE垂直OA的延长线交于点E.[ww#w~.z%zst@ep^.com]
O
B
C
A
E
D
⑴ 当a为何值时,?请说明理由,并求此时点C到OE的距离.
⑵ 当a为何值时,C到OE的距离是15?[中国^*教育#&~出版网]
⑴ 当时,
∵,,∴,当时,,∵
,∴
过作,过作.
∵为矩形.
又∵,∴为正方形
∴,,[中国^教@&育出版%网*]
∴,∴
∴,∴
⑵ 当时,到的距离是15;
∵,∴,
∴,∴,
∴,∴,∴
[中*国教%@育~出版^网]
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题型二 全等到相似的转化(旋转型)
现有一副直角三角板,按下列要求摆放:
⑴ 如图1,固定等腰直角三角板,于,另一个直角三角板的直角顶点与重合,现让三角板绕点旋转,保证、分别交、于点、.试探求的值;
⑵ 如图2,交换两块三角板的位置,固定直角三角板,于,另一个等腰直角三角板的直角顶点与点重合,、分别交、于点,,试问的值又将如何变化?
⑴ ,,,得,.[来#%源:^~中教网&]
⑵由,得,又由,得,故.
如图1,在中,,,是边上一点,是边上
的一个动点(与点、不重合),,与射线相交于点.
⑴如图2,如果点是边的中点,求证:;
⑵如果,求的值.
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⑴ 如图,连结,那么是等腰直角三角形的斜边上的高.
根据“角边角”可以证明,从而得到.
⑵ 如图,作,,垂足分别为点、,
那么与都是等腰直角三角形,.
因为与都是的余角,
所以.[来源~%:zzs#t*ep.co&m]
又因为,
所以.
因此.
填空或解答:点B.C.E在同一直线上,点A.D在直线CE的同侧,,,
,直线AE.BD交于点F.
⑴ 如图1,若,则_________;如图2,若,则
_________;
⑵ 如图3,若,则_________(用含的式子表示);
⑶ 将图3中的△ABC绕点C旋转(点F不与点A.B重合),得图4或图5.在图4中,
与的数量关系是___________;在图5中,与的数量关系是___________.请你任选其中一个结论证明.
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A
A
A
B
B
B
C
C
C
D
D
D
E
E
E
F
F
F
图1
图2
图3
[中^国教#育出~版&*网]
A
A
B
B
C
C
D
D
E
E
F
F
图4
图5
Q
⑴ ,;
⑵ ;[来#源:~中国%教*育@出版网]
⑶ 图4中:;
图5中:.
的证明如下:
如图4,设与的交点为[中国教育%出版网@~#*]
∵,,.
∴,
∴,,
∴,得[来%@源&:^中~教网]
∵
∴.[来&源@:~中教^#网]
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