2019年中考数学提分训练 图形的相似（含解析） 新版新人教版 26页

‎2019年中考数学提分训练: 图形的相似 一、选择题 ‎1.如图，△ABC中，∠BCD＝∠A，DE∥BC，与△ABC相似的三角形（△ABC自身除外）的个数是（    ） ‎ A. 1个                                       B. 2个                                       C. 3个                                       D. 4个 ‎2.在△ABC中，点D,E分别为边AB,AC的中点，则△ADE与△ABC的面积之比为（   ） ‎ A.                                           B.                                           C.                                           D. ‎ ‎3.如图，△ABC∽△DEF，相似比为1∶2，若BC＝1，则EF的长是（   ） ‎ A. 1                                           B. 2                                           C. 3                                           D. 4‎ 26‎ ‎4.如图，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是（   ） ‎ A. 1∶2                                    B. 1∶4                                    C. 1∶5                                    D. 1∶6‎ ‎5.如图，将矩形ABCD沿AE折叠，点D的对应点落在BC上点F处，过点F作FG∥CD，连接EF，DG，下列结论中正确的有（   ） ①∠ADG=∠AFG；②四边形DEFG是菱形；③DG2= AE•EG；④若AB=4，AD=5，则CE=1． ‎ A. ①②③④                                B. ①②③                                C. ①③④                                D. ①②‎ ‎6.如图， 与 中， 交 于 ．给出下列结论： ①∠C=∠E；②△ADE∽△FDB；③∠AFE=∠AFC；④FD=FB．其中正确的结论是（    ）． ‎ A. ①③                                     B. ②③                                     C. ①④                                     D. ②④‎ 26‎ ‎7.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，BG＝4 ，则△EFC的周长为（   ） ‎ A. 11                                          B. 10                                          C. 9                                          D. 8‎ ‎8.如图，已知在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，AD：BD=2：1，点F在AC上，AF：FC=1：2，联结BF，交DE于点G，那么DG：GE等于（   ） ‎ A. 1：2                                   B. 1：3                                   C. 2：3                                   D. 2：5．‎ ‎9.如图，△ABC中，D，E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM等于（      ） ‎ A. 4：2：1                         B. 5：3：1                         C. 25：12：5                         D. 51：24：10‎ 26‎ ‎10.如图，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，且点F与点C是一对对应点，点F的坐标是（1，1），点C的坐标是（4，2）；则它们的位似中心的坐标是（   ） ‎ A. （0，0）                       B. （﹣1，0）                       C. （﹣2，0）                       D. （﹣3，0）‎ ‎11.已知点C在线段AB上，且点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论正确的是（   ） ‎ A. AB2=AC•BC                 B. BC2=AC•BC                 C. AC= BC                 D. BC= AB ‎12.如图， 是等边三角形， 是等腰直角三角形， ， 于点 ，连 分别交 ， 于点 ， ，过点 作 交 于点 ，则下列结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ . ‎ A. 5                                           B. 4                                           C. 3                                           D. 2‎ 二、填空题（共8题；共8分）‎ 26‎ ‎13.已知 ，则 =________ ‎ ‎14.已知点 在线段 上，且 ,那么 ________． ‎ ‎15.如图，直线l1∥l2∥l3 ， 直线AC交l1 ， l2 ， l3 ， 于点A，B，C；直线DF交l1 ， l2 ， l3于点D，E，F，已知 ，则 =________。‎ ‎16.如图，矩形ABCD中， ，点E在AB上，点F在CD上，点G、H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形，且EH∥BC，则AG∶GH∶HC=________． ‎ ‎17.如图，等腰直角三角形ABC的顶点A ， C在x轴上，∠BCA=90°，AC=BC= ，反比例函数y= （k>0）的图象过BC中点E ， 交AB于点D ， 连接DE ， 当△BDE∽△BCA时，k的值为________.‎ 26‎ ‎18.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB＝4，BC＝8，过点O作OE⊥AC交AD于点E，则AE的长为________． ‎ ‎19.如图所示，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于________米． ‎ ‎20.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？” 用今天的话说，大意是：如图， 是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门 位于 的中点，南门 位于 的中点，出东门15步的 处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于 处的树木（即点 在直线 上）？请你计算 的长为________步． ‎ 三、解答题 ‎ ‎21.已知：如图，在△ABC的中，AD是角平分线，E是AD上一点，且AB ：AC = AE ：AD．求证：BE=BD． ‎ 26‎ ‎22.如图，已知菱形BEDF，内接于△ABC，点E，D，F分别在AB，AC和BC上．若AB=15cm，BC=12cm，求菱形边长． ‎ ‎23.一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=12cm，高AD=8cm，把它加工成矩形零件如图，要使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．且矩形的长与宽的比为3：2，求这个矩形零件的边长． ‎ ‎24.周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线． 已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m 26‎ ‎．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB． ‎ ‎25.如图1，一副直角三角板满足AB＝BC，AC＝DE，∠ABC＝∠DEF＝90°，∠EDF＝30° 【操作】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q ‎ ‎（1）【探究一】在旋转过程中， ①如图2，当 时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明.________ ②如图3，当 时E P与EQ满足怎样的数量关系？，并说明理由.________ ③根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当 时，EP与EQ满足的数量关系式 为________,其中 的取值范围是________(直接写出结论，不必证明) ‎ ‎（2）【探究二】若 且AC＝30cm，连续PQ，设△EPQ的面积为S(cm2)，在旋转过程中： ①S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由. ②随着S取不同的值，对应△EPQ的个数有哪些变化？不出相应S值的取值范围. ‎ 26‎ 答案解析 ‎ 一、选择题 ‎1.【答案】B ‎ ‎【解析】 ∵DE∥BC ∴     ∴△BCD∽△ABC ∴有两个与△ABC相似的三角形 故答案为：B. 【分析】根据平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截得的三角形与原三角形相似得出△ADE ∽ △ABC,  由有两个角对应相等的三角形三角形相似得出△BCD∽△ABC，从而得出有两个与△ABC相似的三角形。‎ ‎2.【答案】C ‎ ‎【解析】 ：如图， ∵点D、E分别为边AB、AC的中点， ∴DE为△ABC的中位线， ∴DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴ =（ ）2= ． 故答案为：C． 【分析】根据三角形的中位线定理得出DE∥BC，根据平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截得的三角形与原三角形相似得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得出答案。‎ ‎3.【答案】B ‎ ‎【解析】 ：∵△ABC∽△DEF，相似比为1∶2 ∴ ‎ 26‎ ‎∴ ∴EF=2 故答案为：B 【分析】根据相似三角形的性质及相似比，得出，即可求解。‎ ‎4.【答案】B ‎ ‎【解析】 ：∵D、F分别是OA、OC的中点， ∴DF是△AOC的中位线。 ∴DF=AC， ∵△DEF是由△ABC经过位似变换得到的 ∴△DEF与△ABC的相似比是1:2， ∴△DEF与△ABC的面积比是1:4  故答案为：B 【分析】根据D、F分别是OA、OC的中点，可证得DF是△AOC的中位线。可证得DF和AC的数量关系，再根据△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，即可求得结果。‎ ‎5.【答案】B ‎ ‎【解析】 ①由折叠的性质可得：∠ADG=∠AFG（故①正确）； ②由折叠的性质可知：∠DGE=∠FGE，∠DEG=∠FEG，DE=FE， ∵FG∥CD， ∴∠FGE=∠DEG， ∴∠DGE=∠FEG， ∴DG∥FE， ∴四边形DEFG是平行四边形， 又∵DE=FE， ∴四边形DEFG是菱形（故②正确）； ③如图所示，连接DF交AE于O， ∵四边形DEFG为菱形， ∴GE⊥DF，OG=OE= GE， ∵∠DOE=∠ADE=90°，∠OED=∠DEA， ‎ 26‎ ‎∴△DOE∽△ADE， ∴ ，即DE2=EO•AE， ∵EO= GE，DE=DG， ∴DG2= AE•EG，故③正确； ④由折叠的性质可知，AF=AD=5，DE=FE， ∵AB=4，∠B=90°， ∴BF= ， ∴FC=BC-BF=2， 设CE=x，则FE=DE=4-x， 在Rt△CEF中，由勾股定理可得： ，解得： . 故④错误； 综上所述，正确的结论是①②③. 故答案为：B. 【分析】①由折叠的性质可得：∠ADG=∠AFG（故①正确）；②由折叠的性质可知：∠DGE=∠FGE，∠DEG=∠FEG，DE=FE，根据平行线的性质得出∠FGE=∠DEG，根据等量代换得出∠DGE=∠FEG，根据平行线的判定得出DG∥FE，进而根据平行四边形的判定得出四边形DEFG是平行四边形，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形得出四边形DEFG是菱形（故②正确）；③如图所示，连接DF交AE于O，根据菱形的性质得出GE⊥DF，OG=OE= GE，然后判定出△DOE∽△ADE，根据相似三角形的对应边成比例得出DE2=EO•AE，又EO= GE，DE=DG，从而得出结论DG2= 1 2 AE•EG，故③正确；④由折叠的性质可知，AF=AD=5，DE=FE，根据勾股定理得出BF的长度，由FC=BC-BF得出FC的长，设CE=x，则FE=DE=4-x，在Rt△CEF中，由勾股定理可得关于x的方程，求解得出x的值，进而判断出④错误。‎ ‎6.【答案】B ‎ ‎【解析】 证明：在△ABC和△AEF中， ∴△ABC≌△AEF（SAS） ∴∠C=∠AFE， 故①错误； ∵∠B=∠E，∠ADE=∠FDB ‎ 26‎ ‎∴△ADE∽△FDB 故②正确； ∵△ABC≌△AEF ∴AF=AC，∠AFE=∠C ∴∠AFC=∠C ∴∠AFE=∠AFC 故③正确； ∵AB=AE≠AD ∴∠E≠∠ADE ∵∠B=∠E，∠ADE=∠BDF ∴∠B≠∠BDF， ∴FD≠FB 故④错误 故答案为：B 【分析】根据全等三角形的判定和性质及等腰三角形的判定和性质，可对①③④作出判断；根据相似三角形的判定，可对②作出判断；即可得出答案。‎ ‎7.【答案】D ‎ ‎【解析】 ：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD,AD∥BC， ∴∠BAE=∠AFD，∠DAF=∠AEB， ∵AF为∠BAD的角平分线， ∴∠BAE=∠EAD， ∴∠AFD=∠EAD，∠BAE=∠AEB，∠CEF=∠CFE， ∴△ABE，△ADF，△CEF都是等腰三角形， 又∵AB=6，AD=9， ∴AB=BE=6，AD=DF=9， ∴CE=CF=3. ∵BG⊥AE,BG=4， 由勾股定理可得：AG2=AB2−BG2 AG2=62-（4） ‎ 26‎ 解之：AG=2 ∴AE=2AG=4， ∵AB∥CD， ∴△ABE∽△FCE. ∴= ∴AE=2EF即4=2EF ∴EF=2， △EFC的周长为：CE+CF+EF=3+3+2=8 故答案为：D【分析】根据平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定，可证△ABE，△ADF，△CEF都是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，求出CE、CF的长度，然后利用勾股定理求得AG的长度，继而可得出AE的长度，根据相似三角形的性质求出EF的长度，然后可求出△EFC的周长。‎ ‎8.【答案】B ‎ ‎【解析】 ∵DE∥BC， ∴ =2， ∴CE：CA=1：3，  = = ， ∵AF：FC=1：2， ∴AF：AC=1：3， ∴AF=EF=EC， ∴EG：BC=1：2，设EG=m，则BC=2m， ∴DE= m，DG= m﹣m= m， ∴DG：GE= m：m=1：3， 故答案为：B． 【分析】由平行线分线段成比例定理可得,所以CE：CA=1：3，,由已知可得AF：AC=1：3，所以AF=EF=EC，EG：BC=1：2，设EG=m，则BC=2m，则DE= m，DG= m﹣m=m，所以DG：GE= m：m=1：3。‎ ‎9.【答案】D ‎ 26‎ ‎【解析】 连接EM， ∵CE：CD=CM：CA=1：3 ∴EM平行于AD ∴△BHD∽△BME，△CEM∽△CDA ∴HD：ME=BD：BE=3：5，ME：AD=CM：AC=1：3 ∴AH=（3﹣ ）ME， ∴AH：ME=12：5 ∴HG：GM=AH：EM=12：5 设GM=5k，GH=12k， ∵BH：HM=3：2=BH：17k ∴BH= K， ∴BH：HG：GM= k：12k：5k=51：24：10， 故答案为：D． 【分析】连接EM，根据平行线分线段成比例定理可得EM平行于AD，由相似三角形的判定可得△BHD∽△BME，△CEM∽△CDA，所以可得比例式HD：ME=BD：BE=3：5，ME：AD=CM：AC=1：3，则AH=AD-DH=3ME-ME=（3-）ME=ME，所以AH：ME=12：5，则HG：GM=AH：EM=12：5，设GM=5k，GH=12k，由EM平行于AD可得比例式BH：HM=BD：DE=3：2=BH：17k，解得BH=K，所以BH：HG：GM=k：12k：5k=51：24：10。‎ ‎10.【答案】C ‎ ‎【解析】 ∵点F与点C是一对对应点，可知两个位似图形在位似中心同旁，位似中心就是CF与x轴的交点， 设直线CF解析式为y=kx+b， ‎ 26‎ 将C（4，2），F（1，1）代入， 得 ， 解得 ， 即y=  x+ ， 令y=0得x=﹣2， ∴O′坐标是（﹣2，0）； 故答案为：C． 【分析】由位似图形的性质可得位似中心在直线CF上，已知点F与点C是一对对应点，所以两个位似图形在位似中心同旁，由图形所在位置可得位似中心就是CF与x轴的交点，所以设直线CF解析式为y=kx+b，将C（4，2），F（1，1）代入解析式可得关于k、b的方程组，解得k=,b=,则直线CF解析式为y=x+,因为CF与x轴相交，所以y=0，即x+=0,解得x=﹣2，所以O′坐标是（﹣2，0）。‎ ‎11.【答案】D ‎ ‎【解析】 ∵点C是线段AB的黄金分割点且AC＞BC， ∴ ，即AC2=BC•AB，故A、B不符合题意； ∴AC== AB，故C不符合题意； ∴BC== = AB，故D符合题意； 故答案为：D． 【分析】点C是线段AB的黄金分割点且AC＞BC，从而得出BC∶AC=AC∶AB=,根据等比性质即可一一作出判断。‎ ‎12.【答案】B ‎ ‎【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形，△ABD为等腰直角三角形， ∴∠BAC=60°、∠BAD=90°、AC=AB=AD，∠ADB=∠ABD=45°， ∴△CAD是等腰三角形，且顶角∠CAD=150°， ∴∠ADC=15°，故①正确； ∵AE⊥BD，即∠AED=90°， ∴∠DAE=45°， ∴∠AFG=∠ADC+∠DAE=60°，∠FAG=45°， ‎ 26‎ ‎∴∠AGF=75°， 由∠AFG≠∠AGF知AF≠AG，故②错误； 记AH与CD的交点为P， 由AH⊥CD且∠AFG=60°知∠FAP=30°， 则∠BAH=∠ADC=15°， 在△ADF和△BAH中， ∵ ， ∴△ADF≌△BAH（ASA）， ∴DF=AH，故③正确； ∵∠AFG=∠CBG=60°，∠AGF=∠CGB， ∴△AFG∽△CBG，故④正确； 在Rt△APF中，设PF=x，则AF=2x、AP= x， 设EF=a， ∵△ADF≌△BAH， ∴BH=AF=2x， △ABE中，∵∠AEB=90°、∠ABE=45°， ∴BE=AE=AF+EF=a+2x， ∴EH=BE-BH=a+2x-2x=a， ∵∠APF=∠AEH=90°，∠FAP=∠HAE， ∴△PAF∽△EAH， ∴ ，即 ， 整理，得：2x2=（ -1）ax， ‎ 26‎ 由x≠0得2x=（ -1）a，即AF=（ -1）EF，故⑤正确； 故答案为：B． 【分析】根据等腰直角三角形及等边三角形的性质，及它们有一条公共边得出∠BAC=60°、∠BAD=90°、AC=AB=AD，∠ADB=∠ABD=45°，从而得出△CAD是等腰三角形，且顶角∠CAD=150°，从而判断出∠ADC=15°，故①正确；根据三角形的内角和得出∠DAE=45°，根据三角形的外角定理得出∠AFG，∠AGF的度数，由∠AFG≠∠AGF知AF≠AG，故②错误；记AH与CD的交点为P，由三角形的内角和得出∠FAP=30°，根据角的和差及等量代换得出∠BAH=∠ADC=15°，由ASA判断出△ADF≌△BAH根据全等三角形对应边相等得出DF=AH，故③正确；由∠AFG=∠CBG=60°，∠AGF=∠CGB，判断出△AFG∽△CBG，故④正确；在Rt△APF中，设PF=x，则AF=2x，根据勾股定理表示出AP，设EF=a，由△ADF≌△BAH，得出BH=AF=2x，根据等腰直角三角形的性质得出BE=AE=AF+EF=a+2x，进而得出EH=BE-BH=a+2x-2x=a，然后判断出△PAF∽△EAH，根据相似三角形对应边成比例得出PF∶EH＝AP∶AE，从而得出关于x的方程，求解得出结论2x=（ -1）a，即AF=（ -1）EF，故⑤正确。‎ 二、填空题 ‎13.【答案】‎ ‎【解析】 ：∵ 设a=2x，b=3x ∴= 故答案为： 【分析】根据a与b的比值，可设a=2x，b=3x，代入计算即可求解，或利用合比性质求解即可。‎ ‎14.【答案】5:3 ‎ ‎【解析】 由题意AP：BP=2：3， 设AP=2x,BP=3X ∴AB=5X AB：PB=5：3. 故答案为：5:3. 【分析】根据AP：BP=2：3，从而说明AP占两份，BP占三份，从而得出AB占5份，进一步得出答案。‎ ‎15.【答案】2 ‎ 26‎ ‎【解析】 ：由和BC=AC-AB， 则, 因为直线l1∥l2∥l3 ， 所以=2 故答案为2 【分析】由和BC=AC-AB，可得的值；由平行线间所夹线段对应成比例可得 ‎16.【答案】3∶2∶3 ‎ ‎【解析】 连接EF交AC于O， ∵四边形EGFH是菱形， ∴EF⊥AC，OE=OF，OG=OH， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B=∠D=90°,AB∥CD， ∴∠ACD=∠CAB， 在△CFO与△AOE中， ∴△CFO≌△AOE， ∴AO=CO， ∴AG=CH， ∵∠CAB=∠CAB,∠AOE=∠B=90°，      ∴△AOE∽△ABC， ∴ = =tan∠BAC= ， ∵HE∥BC， ∴∠AEH=90°， ∴∠HEO=∠GEO=∠BAC， ‎ 26‎ ‎∴ = ， ∴AO=4OG， ∴AG═CH=3OG， ∵CH=2OG， ∴AG:GH:HC=3:2:3， 故答案为：3:2:3. 【分析】连接EF交AC于O，根据菱形的性质得出EF⊥AC，OE=OF，OG=OH，根据矩形的性质得出∠B=∠D=90°,AB∥CD，根据二直线平行，内错角相等得出∠ACD=∠CAB，然后利用AAS判断出△CFO≌△AOE，根据全等三角形对应边相等得出AO=CO，根据等式的性质得出AG=CH，然后判断出△AOE∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例得出∶OA＝BC∶AB=tan∠BAC= ，根据平行线的性质及等量代换得出∠HEO=∠GEO=∠BAC，根据等角的同名三角函数值相等得出AO=4OG，进而得出AG═CH=3OG，从而得出答案。‎ ‎17.【答案】3 ‎ ‎【解析】 ：如图，过点D作DF⊥BC于点F， ∵△ABC中，∠BCA=90°，AC=BC= ， 反比例函数y= （k>0）的图象过BC中点E， ∴∠BAC=∠ABC=45°，且可设E（， ）， ∵△BDE∽△BCA ∴三角形BDE也是等腰直角三角形， ∴DF=EF ∴F（， ） ∴D（-， ） ∴ 解 得：k=3 ‎ 26‎ ‎【分析】过点D作DF⊥BC于点F，△ABC中，∠BCA=90°，AC=BC= 2 ， 反比例函数y= （k>0）的图象过BC中点E，∠BAC=∠ABC=45°，且可设E（ ， ），由△BDE∽△BCA得出三角形BDE也是等腰直角三角形，，根据等腰三角形的三线合一得出DF=EF，进而得出F,D的坐标，根据反比例函数的比例系数的性质得出关于k的方程，求解得出k的值。‎ ‎18.【答案】5 ‎ ‎【解析】 ：∵矩形ABCD，OE⊥AC ∴∠ADC=∠AOE=90°,AB=CD AO=AC 在Rt△AOD中，AB=4，AD=8 ∴AC=BD= ∵∠EAO=∠DAO，∠ADC=∠AOE ∴△AEO∽△ACO ∴ 8AE=4×2 解之：AE=5 故答案为：5 【分析】根据矩形的性质得出∠ADC=∠AOE=90°,AB=CD，求出AO的长，再根据勾股定理求出AC的长，然后证明△AEO∽△ACO，利用相似三角形的性质，建立方程求解即可。‎ ‎19.【答案】6 ‎ ‎【解析】 ： ∵FH∥AB ∴ ∴ ∵CG∥AB ‎ 26‎ ‎∴ ∴ ∴2（1+BC）=5+BC 解之：BC=3 ∴AB=1.5（1+BC）=1.5（1+3）=6 故答案为：6【分析】抓住题中的隐含条件：FH∥AB，CG∥AB，得出对应线段成比例，从而得出方程2（1+BC）=5+BC，解方程求出BC的长，继而可求出AB的长。‎ ‎20.【答案】‎ ‎【解析】 ：∵DEFG是正方形，∴∠EDG=90°，∴∠KDC+∠HDA=90°． ∵∠C+∠KDC=90°，∴∠C=∠HDA． ∵∠CKD=∠DHA=90°，∴△CKD∽△DHA， ∴CK：KD=HD：HA，∴CK：100=100：15， 解得：CK= ． 故答案为： ． 【分析】根据正方形的性质及已知证明∠C=∠HDA，∠CKD=∠DHA，再证明△CKD∽△DHA，得出对应边成比例，就可求出CK的长。‎ 三、解答题 ‎21.【答案】解：如图所示： ∵AD是角平分线， ∴∠1=∠2， 又∵AB AD = AE AC， ∴△ABE∽△ACD， ∴∠3=∠4， ‎ 26‎ ‎∴∠BED=∠BDE， ∴BE=BD． ‎ ‎【解析】【分析】利用角平分线的定义得出∠1=∠2，根据AB：AD = AE：AC，可证得△ABE∽△ACD，得对应角相等即∠3=∠4，再根据等角的补角相等证出∠BED=∠BDE，然后根据等角对等边证得结论。‎ ‎22.【答案】解：设菱形的边长为xcm， 则DE=DF=BF=BE=xcm， ∵四边形BEDF是菱形， ∴DE∥BC，DF∥AB， ∴∠ADE=∠C，∠A=∠CDF， ∴△AED∽△DFC， ∴ ， ∴ = ， x= ， 即菱形的边长是 cm ‎ ‎【解析】【分析】设菱形的边长为xcm，根据菱形的性质得出DE=DF=BF=BE=xcm，DE∥BC，DF∥AB，根据二直线平行同位角相等得出∠ADE=∠C，∠A=∠CDF，进而判断出△AED∽△DFC，根据相似三角形对应边成比例列出方程，求解即可得出答案。‎ ‎23.【答案】解：∵四边形PQMN是矩形， ∴BC∥PQ， ∴△APQ∽△ABC， ∴ ， 由于矩形长与宽的比为3：2， ∴分两种情况： ①若PQ为长，PN为宽， 设PQ=3k，PN=2k， 则 ， 解得：k=2， ∴PQ=6cm，PN=4cm； ②PN为6，PQ为宽， ‎ 26‎ 设PN=3k，PQ=2k， 则 ， 解得：k= ， ∴PN= cm，PQ= cm； 综上所述：矩形的长为6cm，宽为4cm；或长为 cm，宽为 cm． ‎ ‎【解析】【分析】先利用“平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似”证得△APQ∽△ABC，即可得到，再分两种情况①若PQ为长，PN为宽与②PN为6，PQ为宽，求得k的值即可求得矩形的长与宽.‎ ‎24.【答案】解：∵CB⊥AD，ED⊥AD， ∴∠CBA＝∠EDA＝90°， ∵∠CAB＝∠EAD， ∴∆ABC∽∆ADE， ∴ ， 又∵AD=AB+BD，BD=8.5，BC＝1，DE＝1.5， ∴ ， ∴AB＝17， 即河宽为17米 ‎ ‎【解析】【分析】首先很容易判断出∆ABC∽∆ADE，根据相似三角形对应边成比例即可得出 AD∶AB=DE∶BC，从而即可求出河的宽度。‎ ‎25.【答案】（1）解：当 时，PE=QE.即E为AC中点，理由如下： 连接BE， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴BE=CE， ∠PBE=∠C=45°， ‎ 26‎ 又∵∠PEB+∠BEQ=90°，∠CEQ+∠BEQ=90°， ∴∠PEB=∠CEQ， 在△PEB和△QEC中， ∵ , ∴△PEB≌△QEC（ASA）， ∴PE=QE.；EP：EQ=EA:EC=1:2；理由如下： 作EM⊥AB，EN⊥BC，∴∠EMP=∠ENQ=90°， 又∵∠PEN+∠MEP=∠PEN+∠NEQ=90°， ∴∠MEP=∠NEQ, ∴△MEP∽△NEQ， ∴EP：EQ=ME:NE, 又∵∠EMA=∠ENC=90°，∠A=∠C， ∴△MEA∽△NEC， ∴ME:NE=EA:EC， ∵ , ∴EP：EQ=EA:EC=1:2.；EP：EQ=1:m；02+ 时，EF与BC不会相交）. 【分析】【探究一】①根据已知条件得E为AC中点，连接BE，根据等腰直角三角形的性质可BE=CE，∠PBE=∠C=45°，由同角的余角相等得∠PEB=∠CEQ，由全等三角形的判定ASA可得△PEB≌△QEC 26‎ ‎，再由全等三角形的性质得PE=QE. ②作EM⊥AB，EN⊥BC，由相似三角形的判定分别证△MEP∽△NEQ，△MEA∽△NEC，再由相似三角形的性质得EP：EQ=ME:NE=EA:EC，从而求得答案. ③作EM⊥AB，EN⊥BC，由相似三角形的判定分别证△MEP∽△NEQ，△MEA∽△NEC，再由相似三角形的性质得EP：EQ=ME:NE=EA:EC，从而求得答案. 【探究二】①设EQ=x，根据【探究一】（2）中的结论可知则EP= x，根据三角形面积公式得出S的函数关系式，再根据当EQ⊥BC时，EQ与EN重合时，面积取最小；当EQ=EF时，S取得最大；代入数值计算即可得出答案. ②根据（1）中数据求得当EQ与BE重合时，△EPQ的面积，再来分情况讨论即可.‎ 26‎