广东省深圳市宝安区中考数学一模试卷含答案解析 31页

‎2015年广东省深圳市宝安区中考数学一模试卷 ‎　‎ 一、选择题 ‎1．如图，某地夏季中午，当太阳移至房顶上方偏南时，光线与地面成80°角，房屋朝南的窗子高AB=1.8m，要在窗子外面上方安装水平挡光板AC，使午间光线不能直接射入室内，那么挡光板的宽度AC为（　　）‎ A．1.8tan80°m B．1.8cos80°m C． m D． m ‎　‎ ‎2．如图，某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要（　　）‎ A．450a元 B．225a元 C．150a元 D．300a元 ‎　‎ ‎3．在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，则∠EAF等于（　　）‎ A．60° B．55° C．45° D．30°‎ ‎　‎ ‎4．如图所示，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则AE的长是（　　）‎ A． B． C．1 D．1.5‎ ‎　‎ ‎5．如图，M，N分别是平行四边形ABCD的对边AD，BC的中点，且AD=2AB，连接AN，BM，交于点P，连接DN，CM，交于点Q，则以下结论错误的是（　　）‎ A．AP=PN B．NQ=QD C．四边形PQNM是矩形 D．△ABN是等边三角形 ‎　‎ ‎6．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2的值为（　　）‎ A．16 B．17 C．18 D．19‎ ‎　‎ ‎7．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF=45°，且AE+AF=2，则平行四边形ABCD的周长是（　　）‎ A．2 B．4 C．4 D．8‎ ‎　‎ ‎8．已知，如上右图，动点P在函数y=（x＞0）的图象上运动，PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，线段PM、PN分别与直线AB：y=﹣x+1相交于点E，F，则AF•BE的值是（　　）‎ A．4 B．2 C．1 D．‎ ‎　‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）‎ ‎9．如图，一次函数y=ax+b的图象与x轴，y轴交于A，B两点，与反比例函数的图象相交于C，D两点，分别过C，D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E，F，连接CF，DE．有下列四个结论：‎ ‎①△CEF与△DEF的面积相等；‎ ‎②△AOB∽△FOE；‎ ‎③△DCE≌△CDF；‎ ‎④AC=BD．‎ 其中正确的结论是　　　　　　．（把你认为正确结论的序号都填上）．‎ ‎　‎ ‎10．如图，平面直角坐标系中正方形ABCD，已知A（1，0），B（0，3），则sin∠COA=　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎11．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点0，过点O作OE⊥AC交AB于E．若BC=8，△AOE的面积为20，则sin∠BOE的值为　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎12．（1）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF=1，FD=2，则BC的长为　　　　　　．‎ ‎（2）如图，矩形ABCD中，E．F分别是AD和CD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF=1，则BC的长为　　　　　　．‎ ‎（3）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF=1，BC=4，则DF的长为　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分39分）‎ ‎13．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，‎ ‎（1）求证：四边形ADCE为矩形；‎ ‎（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．‎ ‎　‎ ‎14．如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上．‎ ‎（1）求证：CE=CF；‎ ‎（2）若等边三角形AEF的边长为2，求正方形ABCD的周长．‎ ‎　‎ ‎15．在矩形ABCD中，DC=2，CF⊥BD分别交BD、AD于点E、F，连接BF．‎ ‎（1）求证：△DEC∽△FDC；‎ ‎（2）当F为AD的中点时，求sin∠FBD的值及BC的长度．‎ ‎　‎ ‎16．（2011•随州）如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡AB的坡比i=1：（指坡面的铅直高度与水平宽度的比），且AB=20m．身高为1.7m的小明站在大堤A点，测得髙压电线杆顶端点D的仰角为30°．已知地面CB宽30m，求髙压电线杆CD的髙度（结果保留三个有效数字，≈1.732）．‎ ‎　‎ ‎18．（2012•巴中）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=30°，∠A=45°，AC=12，试求CD的长．‎ ‎　‎ ‎19．如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，并且OA、OC的长满足：|OA﹣2|+（OC﹣6）2=0．‎ ‎（1）求A、B、C三点的坐标．‎ ‎（2）把△ABC沿AC对折，点B落在点B1处，AB1与x轴交于点D，求直线BB1的解析式．‎ ‎（3）在直线AC上是否存在点P使PB1+PD的值最小？若存在，请找出点P的位置，并求出PB1+PD的最小值；若不存在，请说明理由．‎ ‎（4）在直线AC上是否存在点P使|PD﹣PB|的值最大？若存在，请找出点P的位置，并求出|PD﹣PB|最大值．‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎2015年广东省深圳市宝安区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题 ‎1．如图，某地夏季中午，当太阳移至房顶上方偏南时，光线与地面成80°角，房屋朝南的窗子高AB=1.8m，要在窗子外面上方安装水平挡光板AC，使午间光线不能直接射入室内，那么挡光板的宽度AC为（　　）‎ A．1.8tan80°m B．1.8cos80°m C． m D． m ‎【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．‎ ‎【专题】计算题；压轴题．‎ ‎【分析】在光线、遮阳板和窗户构成的直角三角形中，80°角的正切值=窗户高：遮阳板的宽，据此即可解答．‎ ‎【解答】解：∵光线与地面成80°角，∴∠ACB=80°．‎ 又∵tan∠ACB=，‎ ‎∴AC=．‎ 故选D．‎ ‎【点评】此题考查三角函数定义的应用．‎ ‎　‎ ‎2．如图，某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要（　　）‎ A．450a元 B．225a元 C．150a元 D．300a元 ‎【考点】解直角三角形的应用．‎ ‎【专题】压轴题．‎ ‎【分析】求出三角形地的面积即可求解．‎ 如图所示，作BD⊥CA于D点．在Rt△ABD中，利用正弦函数定义求BD，即△ABC的高．运用三角形面积公式计算面积求解．‎ ‎【解答】解：如图所示，作BD⊥CA于D点．‎ ‎∵∠BAC=150°，‎ ‎∴∠DAB=30°，‎ ‎∵AB=20米，‎ ‎∴BD=20sin30°=10米，‎ ‎∴S△ABC=×30×10=150（米2）．‎ 已知这种草皮每平方米a元，‎ 所以一共需要150a元．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查了通过作辅助线构建直角三角形，从而解斜三角形的能力．‎ ‎　‎ ‎3．在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，则∠EAF等于（　　）‎ A．60° B．55° C．45° D．30°‎ ‎【考点】菱形的性质．‎ ‎【分析】连接AC，根据线段垂直平分线上的点到线段两端段的可得AB=AC，然后求出△ABC是等边三角形，再根据等边三角形的性质求出∠CAE=30°，同理可得∠CAF=30°，然后根据∠EAF=∠CAE+∠CAF计算即可得解．‎ ‎【解答】解：如图，连接AC，‎ ‎∵AE⊥BC，点E是BC的中点，‎ ‎∴AB=AC，‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AB=BC，‎ ‎∴△ABC是等边三角形，‎ ‎∴∠CAE=30°，‎ 同理可得∠CAF=30°，‎ ‎∴∠EAF=∠CAE+∠CAF=30°+30°=60°．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记各性质并作辅助线构造出等边三角形是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎4．如图所示，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则AE的长是（　　）‎ A． B． C．1 D．1.5‎ ‎【考点】矩形的性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理．‎ ‎【分析】由矩形的性质得出∠ABC=∠ADC=90°，AD=BC=2，CD=AB=，OA=OC=AC，根据勾股定理求出AC，得出OA，再证明△AOE∽△ADC，得出比例式，即可求出AE的长．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠ABC=∠ADC=90°，AD=BC=2，CD=AB=，OA=OC=AC，‎ ‎∴AC==，‎ ‎∴OA=，‎ ‎∵OE⊥AC，‎ ‎∴∠AOE=90°，‎ ‎∴∠AOE=∠ADC，‎ 又∵∠OAE=∠DAC，‎ ‎∴△AOE∽△ADC，‎ ‎∴，‎ 即，‎ ‎∴AE=1.5；‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线、勾股定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎5．如图，M，N分别是平行四边形ABCD的对边AD，BC的中点，且AD=2AB，连接AN，BM，交于点P，连接DN，CM，交于点Q，则以下结论错误的是（　　）‎ A．AP=PN B．NQ=QD C．四边形PQNM是矩形 D．△ABN是等边三角形 ‎【考点】平行四边形的性质；等边三角形的判定；矩形的判定．‎ ‎【分析】连接MN，由平行四边形的性质得出AD=BC，AD∥BC，再证出AM=AD，BN=BC，得出AM∥BN，AM=BN，证出四边形ABNM是平行四边形，即可得出AP=PN．‎ ‎【解答】解：连接MN，如图所示：‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD=BC，AD∥BC，‎ ‎∵M，N分别是平行四边形ABCD的对边AD，BC的中点，‎ ‎∴AM=AD，BN=BC，‎ ‎∴AM∥BN，AM=BN，‎ ‎∴四边形ABNM是平行四边形，‎ ‎∴AP=PN；‎ 同理NQ=QD；‎ ‎∴A、B正确；‎ ‎∵AM∥CN，AM=CN，‎ ‎∴四边形ANCM是平行四边形，‎ ‎∴AN∥MC，‎ 同理：BM∥ND，‎ ‎∴四边形MPNQ是平行四边形，‎ ‎∵AD=2AB，‎ ‎∴AB=AM，‎ ‎∴四边形ABNM是菱形，‎ ‎∴AN⊥BM，‎ ‎∴∠MPN=90°，‎ ‎∴四边形MPNQ是矩形；‎ ‎∴C正确，D不正确；‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、菱形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎6．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2的值为（　　）‎ A．16 B．17 C．18 D．19‎ ‎【考点】勾股定理．‎ ‎【分析】由图可得，S2的边长为3，由AC=BC，BC=CE=CD，可得AC=2CD，CD=2，EC=2；然后，分别算出S1、S2的面积，即可解答．‎ ‎【解答】解：如图，‎ 设正方形S1的边长为x，‎ ‎∵△ABC和△CDE都为等腰直角三角形，‎ ‎∴AB=BC，DE=DC，∠ABC=∠D=90°，‎ ‎∴sin∠CAB=sin45°==，即AC=BC，同理可得：BC=CE=CD，‎ ‎∴AC=BC=2CD，‎ 又∵AD=AC+CD=6，‎ ‎∴CD==2，‎ ‎∴EC2=22+22，即EC=2；‎ ‎∴S1的面积为EC2=2×2=8；‎ ‎∵∠MAO=∠MOA=45°，‎ ‎∴AM=MO，‎ ‎∵MO=MN，‎ ‎∴AM=MN，‎ ‎∴M为AN的中点，‎ ‎∴S2的边长为3，‎ ‎∴S2的面积为3×3=9，‎ ‎∴S1+S2=8+9=17．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了勾股定理，要充分利用正方形的性质，找到相等的量，再结合三角函数进行解答．‎ ‎　‎ ‎7．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF=45°，且AE+AF=2，则平行四边形ABCD的周长是（　　）‎ A．2 B．4 C．4 D．8‎ ‎【考点】平行四边形的性质．‎ ‎【分析】由AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF=45°，易求得∠C的度数，又由在平行四边形ABCD中，证得△ABE与△ADF是等腰直角三角形，继而求得答案．‎ ‎【解答】解：∵AE⊥BC，AF⊥CD，∠EAF=45°，‎ ‎∴∠C=180°﹣90°﹣90°﹣45°=135°，‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴∠B=∠D=180°﹣∠C=45°，‎ ‎∴AB=AE，AD=AF，‎ ‎∴AB+AD=（AE+AF）=×2=4，‎ ‎∴平行四边形ABCD的周长是：4×2=8．‎ 故选D．‎ ‎【点评】此题考查了平行四边形的性质以及等腰直角三角形性质．注意证得△ABE与△ADF是等腰直角三角形是关键．‎ ‎　‎ ‎8．已知，如上右图，动点P在函数y=（x＞0）的图象上运动，PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，线段PM、PN分别与直线AB：y=﹣x+1相交于点E，F，则AF•BE的值是（　　）‎ A．4 B．2 C．1 D．‎ ‎【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．‎ ‎【分析】设P的坐标为（a，），且PN⊥OB，PM⊥OA，那么N的坐标和M点的坐标都可以a表示，那么BN、NF、BN的长度也可以用a表示，接着F点、E点的也可以a表示，然后利用勾股定理可以分别用a表示AF，BE，最后即可求出AF•BE．‎ ‎【解答】解：作FG⊥x轴，‎ ‎∵P的坐标为（a，），且PN⊥OB，PM⊥OA，‎ ‎∴N的坐标为（0，），M点的坐标为（a，0），‎ ‎∴BN=1﹣，‎ 在直角三角形BNF中，∠NBF=45°（OB=OA=1，三角形OAB是等腰直角三角形），‎ ‎∴NF=BN=1﹣，‎ ‎∴F点的坐标为（1﹣，），‎ 同理可得出E点的坐标为（a，1﹣a），‎ ‎∴AF2=（1﹣1+）2+（）2=，BE2=（a）2+（﹣a）2=2a2，‎ ‎∴AF2•BE2=•2a2=1，即AF•BE=1．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查了反比例函数的性质，关键是通过反比例函数上的点P来确定E、F两点的坐标，进而通过坐标系中两点的距离公式得出所求的值．‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）‎ ‎9．如图，一次函数y=ax+b的图象与x轴，y轴交于A，B两点，与反比例函数的图象相交于C，D两点，分别过C，D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E，F，连接CF，DE．有下列四个结论：‎ ‎①△CEF与△DEF的面积相等；‎ ‎②△AOB∽△FOE；‎ ‎③△DCE≌△CDF；‎ ‎④AC=BD．‎ 其中正确的结论是　①②④　．（把你认为正确结论的序号都填上）．‎ ‎【考点】反比例函数综合题．‎ ‎【专题】代数几何综合题；压轴题．‎ ‎【分析】此题要根据反比例函数的性质进行求解，解决此题的关键是要证出CD∥EF，可从①问的面积相等入手；△DFE中，以DF为底，OF为高，可得S△DFE=|xD|•|yD|=k，同理可求得△CEF的面积也是k，因此两者的面积相等；若两个三角形都以EF为底，那么它们的高相同，即E、F到AD的距离相等，由此可证得CD∥EF，然后根据这个条件来逐一判断各选项的正误．‎ ‎【解答】解：设点D的坐标为（x，），则F（x，0）．‎ 由函数的图象可知：x＞0，k＞0．‎ ‎∴S△DFE=DF•OF=|xD|•||=k，‎ 同理可得S△CEF=k，‎ 故S△DEF=S△CEF．‎ 若两个三角形以EF为底，则EF边上的高相等，故CD∥EF．‎ ‎①由上面的解题过程可知：①正确；‎ ‎②∵CD∥EF，即AB∥EF，∴△AOB∽△FOE，故②正确；‎ ‎③条件不足，无法得到判定两三角形全等的条件，故③错误；‎ ‎④法一：∵CD∥EF，DF∥BE，‎ ‎∴四边形DBEF是平行四边形，‎ ‎∴S△DEF=S△BED，‎ 同理可得S△ACF=S△ECF；‎ 由①得：S△DBE=S△ACF．‎ 又∵CD∥EF，BD、AC边上的高相等，‎ ‎∴BD=AC，④正确；‎ 法2：∵四边形ACEF，四边形BDEF都是平行四边形，‎ 而且EF是公共边，‎ 即AC=EF=BD，‎ ‎∴BD=AC，④正确；‎ 因此正确的结论有3个：①②④．‎ ‎【点评】此题通过反比例函数的性质来证图形的面积相等，根据面积相等来证线段的平行或相等，设计巧妙，难度较大．‎ ‎　‎ ‎10．如图，平面直角坐标系中正方形ABCD，已知A（1，0），B（0，3），则sin∠COA=　　．‎ ‎【考点】正方形的性质；坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．‎ ‎【分析】过点C作CE⊥y轴于E，根据点A、B的坐标求出OA、OB的长，再根据正方形的性质可得AB=BC，∠ABC=90°，再根据同角的余角相等求出∠ABO=∠BCE，然后利用“角角边”证明△ABO和△BCE全等，根据全等三角形对应边相等可得OA=BE，CE=OB，然后求出OE的长，再利用勾股定理列式求出OC，然后根据两直线平行，内错角相等求出∠OCE=∠COA，再根据锐角的正切等于对边比斜边解答即可．‎ ‎【解答】解：如图，过点C作CE⊥y轴于E，‎ ‎∵A（1，0），B（0，3），‎ ‎∴OA=1，OB=3，‎ 在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90°，‎ ‎∵∠ABO+∠CBE=90°，∠BCE+∠CBE=90°，‎ ‎∴∠ABO=∠BCE，‎ 在△ABO和△BCE中，，‎ ‎∴△ABO≌△BCE（AAS），‎ ‎∴OA=BE=1，CE=OB=3，‎ ‎∴OE=OB+BE=3+1=4，‎ 在Rt△OCE中，OC===5，‎ ‎∵CE⊥y轴，x轴⊥y轴，‎ ‎∴CE∥x轴，‎ ‎∴∠OCE=∠COA，‎ ‎∴sin∠COA=sin∠OCE==．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎11．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点0，过点O作OE⊥AC交AB于E．若BC=8，△AOE的面积为20，则sin∠BOE的值为　　．‎ ‎【考点】矩形的性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义．‎ ‎【分析】由题意可知，OE为对角线AC的中垂线，则CE=AE，S△AEC=2S△AOE=40，由S△AEC求出线段AE的长度，进而在Rt△BCE中，由勾股定理求出线段BE的长度；然后证明∠BOE=∠BCE，从而可求得结果．‎ ‎【解答】解：如图，‎ 连接EC．‎ 由题意可得，OE为对角线AC的垂直平分线，‎ ‎∴CE=AE，S△AOE=S△COE=5，‎ ‎∴S△AEC=2S△AOE=20．‎ ‎∴AE•BC=20，又BC=8，‎ ‎∴AE=5，‎ ‎∴EC=5．‎ 在Rt△BCE中，由勾股定理得：BE==3．‎ ‎∵∠AEO+∠EAO=90°，∠AEO=∠BOE+∠ABO，‎ ‎∴∠BOE+∠ABO+∠EAO=90°，又∠ABO=90°﹣∠OBC=90°﹣（∠BCE+∠ECO）‎ ‎∴∠BOE+[90°﹣（∠BCE+∠ECO）]+∠EAO=90°，‎ 化简得：∠BOE﹣∠BCE﹣∠ECO+∠EAO=0，‎ ‎∵OE为AC中垂线，‎ ‎∴∠EAO=∠ECO．‎ 代入上式得：∠BOE=∠BCE．‎ ‎∴sin∠BOE=sin∠BCE==．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】此题考查矩形性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理、三角函数的定义等知识点；解题要抓住两个关键：（1）求出线段AE的长度；（2）证明∠BOE=∠BCE．‎ ‎　‎ ‎12．（1）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF=1，FD=2，则BC的长为　2　．‎ ‎（2）如图，矩形ABCD中，E．F分别是AD和CD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF=1，则BC的长为　2　．‎ ‎（3）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF=1，BC=4，则DF的长为　　．‎ ‎【考点】翻折变换（折叠问题）．‎ ‎【分析】（1）首先过点E作EM⊥BC于M，交BF于N，易证得△ENG≌△BNM（AAS），MN是△BCF的中位线，根据全等三角形的性质，即可求得GN=MN，由折叠的性质，可得BG=3，继而求得BF的值，又由勾股定理，即可求得BC的长．‎ ‎（2）连接EF，则可证明△EA′F≌△EDF，从而根据BF=BA′+A′F，得出BF的长，在Rt△BCF中，利用勾股定理可求出BC；‎ ‎（3）根据点E是AD的中点以及翻折的性质可以求出AE=DE=EG，然后利用“HL”证明△EDF和△EGF全等，根据全等三角形对应边相等可证得DF=GF；设FD=x，表示出CD、BF，列方程求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）如图1，过点E作EM⊥BC于M，交BF于N，‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠A=∠ABC=90°，AD=BC，‎ ‎∵∠EMB=90°，‎ ‎∴四边形ABME是矩形，‎ ‎∴AE=BM，‎ 由折叠的性质得：AE=GE，∠EGN=∠A=90°，‎ ‎∴EG=BM，‎ ‎∵∠ENG=∠BNM，‎ 在△ENG与△BNM中，‎ ‎，‎ ‎∴△ENG≌△BNM（AAS），‎ ‎∴NG=NM，‎ ‎∴CM=DE，‎ ‎∵E是AD的中点，‎ ‎∴AE=ED=BM=CM，‎ ‎∵EM∥CD，‎ ‎∴BN：NF=BM：CM，‎ ‎∴BN=NF，‎ ‎∴NM=CF=，‎ ‎∴NG=，‎ ‎∵BG=AB=CD=CF+DF=3，‎ ‎∴BN=BG﹣NG=3﹣=，‎ ‎∴BF=2BN=5‎ ‎∴BC==2．‎ 故答案为：=2．‎ ‎（2）解：如图2，连接EF，‎ ‎∵点E、点F是AD、DC的中点，‎ ‎∴AE=ED，CF=DF=CD=AB=1，‎ 由折叠的性质可得AE=GE，‎ ‎∴GE=DE，‎ 在Rt△EGF和Rt△EDF中，‎ ‎∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL），‎ ‎∴GF=DF=1，‎ ‎∴BF=BG+GF=AB+DF=2+1=3，‎ 在Rt△BCF中，‎ BC==2．‎ 故答案为：2．‎ ‎（3）解：∵E是AD的中点，‎ ‎∴AE=DE，‎ ‎∵△ABE沿BE折叠后得到△GBE，‎ ‎∴AE=EG，AB=BG，‎ ‎∴ED=EG，‎ ‎∵在矩形ABCD中，‎ ‎∴∠A=∠D=90°，‎ ‎∴∠EGF=90°，‎ 在Rt△EDF和Rt△EGF中，‎ ‎，‎ ‎∴Rt△EDF≌Rt△EGF（HL），‎ ‎∴DF=FG，‎ 设DF=x，则CD=AB=x+1，BF=2x+1，‎ ‎∴12+42=（2x+1）2，‎ 解得：x=；‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】此题考查了矩形的判定与性质、折叠的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分39分）‎ ‎13．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，‎ ‎（1）求证：四边形ADCE为矩形；‎ ‎（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．‎ ‎【考点】矩形的判定；角平分线的性质；等腰三角形的性质；正方形的判定．‎ ‎【专题】证明题；开放型．‎ ‎【分析】（1）根据矩形的有三个角是直角的四边形是矩形，已知CE⊥AN，AD⊥BC，所以求证∠DAE=90°，可以证明四边形ADCE为矩形．‎ ‎（2）根据正方形的判定，我们可以假设当AD=BC，由已知可得，DC=BC，由（1）的结论可知四边形ADCE为矩形，所以证得，四边形ADCE为正方形．‎ ‎【解答】（1）证明：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，‎ ‎∴∠BAD=∠DAC，‎ ‎∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，‎ ‎∴∠MAE=∠CAE，‎ ‎∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=180°=90°，‎ 又∵AD⊥BC，CE⊥AN，‎ ‎∴∠ADC=∠CEA=90°，‎ ‎∴四边形ADCE为矩形．‎ ‎（2）当△ABC满足∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．‎ 理由：∵AB=AC，‎ ‎∴∠ACB=∠B=45°，‎ ‎∵AD⊥BC，‎ ‎∴∠CAD=∠ACD=45°，‎ ‎∴DC=AD，‎ ‎∵四边形ADCE为矩形，‎ ‎∴矩形ADCE是正方形．‎ ‎∴当∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．‎ ‎【点评】本题是以开放型试题，主要考查了对矩形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性质，及角平分线的性质等知识点的综合运用．‎ ‎　‎ ‎14．如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上．‎ ‎（1）求证：CE=CF；‎ ‎（2）若等边三角形AEF的边长为2，求正方形ABCD的周长．‎ ‎【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等腰直角三角形．‎ ‎【分析】（1）根据正方形可知AB=AD，由等边三角形可知AE=AF，于是可以证明出△ABE≌△ADF，即可得出CE=CF；‎ ‎（2）连接AC，交EF与G点，由三角形AEF是等边三角形，三角形ECF是等腰直角三角形，于是可知AC⊥EF，求出EG=1，设BE=x，利用勾股定理求出x，即可求出BC的上，进而求出正方形的周长．‎ ‎【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AB=AD，‎ ‎∵△AEF是等边三角形，‎ ‎∴AE=AF，‎ 在Rt△ABE和Rt△ADF中，‎ ‎∵，‎ ‎∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），‎ ‎∴BE=DF．‎ 又BC=DC，‎ ‎∴BC﹣BE=DC﹣DF，即EC=FC ‎∴CE=CF，‎ ‎（2）解：连接AC，交EF于G点，‎ ‎∵△AEF是等边三角形，△ECF是等腰直角三角形，‎ ‎∴AC⊥EF，‎ 在Rt△AGE中，EG=sin30°AE=×2=1，‎ ‎∴EC=，‎ 设BE=x，则AB=x+，‎ 在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即（x+）2+x2=4，‎ 解得x=，‎ ‎∴AB=+=，‎ ‎∴正方形ABCD的周长为4AB=2+2．‎ ‎【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质和等腰三角形的性质，解答本题的关键是对正方形和三角形的性质的熟练运用，此题难度不大，是一道比较不错的试题．‎ ‎　‎ ‎15．在矩形ABCD中，DC=2，CF⊥BD分别交BD、AD于点E、F，连接BF．‎ ‎（1）求证：△DEC∽△FDC；‎ ‎（2）当F为AD的中点时，求sin∠FBD的值及BC的长度．‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形．‎ ‎【专题】压轴题．‎ ‎【分析】（1）根据题意可得∠DEC=∠FDC，利用两角法即可进行相似的判定；‎ ‎（2）根据F为AD的中点，可得FB=FC，根据AD∥BC，可得FE：EC=FD：BC=1：2，再由sin∠FBD=EF：BF=EF：FC，即可得出答案，设EF=x，则EC=2x，利用（1）的结论求出x，在Rt△CFD中求出FD，继而得出BC．‎ ‎【解答】解：（1）∵∠DEC=∠FDC=90°，∠DCE=∠FCD，‎ ‎∴△DEC∽△FDC．‎ ‎（2）∵F为AD的中点，AD∥BC，‎ ‎∴FE：EC=FD：BC=1：2，FB=FC，‎ ‎∴FE：FC=1：3，‎ ‎∴sin∠FBD=EF：BF=EF：FC=；‎ 设EF=x，则FC=3x，‎ ‎∵△DEC∽△FDC，‎ ‎∴=，即可得：6x2=12，‎ 解得：x=，‎ 则CF=3，‎ 在Rt△CFD中，DF==，‎ ‎∴BC=2DF=2．‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握相似三角形的判定定理及相似三角形的性质：对应边成比例．‎ ‎　‎ ‎16．（2011•随州）如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡AB的坡比i=1：（指坡面的铅直高度与水平宽度的比），且AB=20m．身高为1.7m的小明站在大堤A点，测得髙压电线杆顶端点D的仰角为30°．已知地面CB宽30m，求髙压电线杆CD的髙度（结果保留三个有效数字，≈1.732）．‎ ‎【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题；解直角三角形的应用-仰角俯角问题．‎ ‎【分析】由i的值求得大堤的高度h，点A到点B的水平距离a，从而求得MN的长度，由仰角求得DN的高度，从而由DN，AM，h求得高度CD．‎ ‎【解答】解：作AE⊥CE于E，设大堤的高度为h，点A到点B的水平距离为a，‎ ‎∵i=1： =，‎ ‎∴坡AB与水平的角度为30°，‎ ‎∴，即得h==10m，‎ ‎，即得a=，‎ ‎∴MN=BC+a=（30+10）m，‎ ‎∵测得髙压电线杆顶端点D的仰角为30°，‎ ‎∴，‎ 解得：DN=MN•tan30°=（30+10）×=10+10≈27.32（m），‎ ‎∴CD=DN+AM+h=27.32+1.7+10=39.02≈39.0（m）．‎ 答：髙压电线杆CD的髙度约为39.0米．‎ ‎【点评】本题考查了直角三角形在坡度上的应用，由i的值求得大堤的高度和点A到点B的水平距离，求得MN，由仰角求得DN高度，进而求得总高度．‎ ‎　‎ ‎18．（2012•巴中）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=30°，∠A=45°，AC=12，试求CD的长．‎ ‎【考点】解直角三角形．‎ ‎【专题】压轴题．‎ ‎【分析】过点B作BM⊥FD于点M，根据题意可求出BC的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF=60°，进而可得出答案．‎ ‎【解答】解：过点B作BM⊥FD于点M，‎ 在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=45°，AC=12，‎ ‎∴BC=AC=12‎ ‎∵AB∥CF，‎ ‎∴BM=BC×sin45°=12×=12‎ CM=BM=12，‎ 在△EFD中，∠F=90°，∠E=30°，‎ ‎∴∠EDF=60°，‎ ‎∴MD=BM÷tan60°=4，‎ ‎∴CD=CM﹣MD=12﹣4．‎ ‎【点评】本题考查了解直角三角形的性质及平行线的性质，难度较大，解答此类题目的关键根据题意建立三角形利用所学的三角函数的关系进行解答．‎ ‎　‎ ‎19．如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，并且OA、OC的长满足：|OA﹣2|+（OC﹣6）2=0．‎ ‎（1）求A、B、C三点的坐标．‎ ‎（2）把△ABC沿AC对折，点B落在点B1处，AB1与x轴交于点D，求直线BB1的解析式．‎ ‎（3）在直线AC上是否存在点P使PB1+PD的值最小？若存在，请找出点P的位置，并求出PB1+PD的最小值；若不存在，请说明理由．‎ ‎（4）在直线AC上是否存在点P使|PD﹣PB|的值最大？若存在，请找出点P的位置，并求出|PD﹣PB|最大值．‎ ‎【考点】一次函数综合题．‎ ‎【分析】（1）由非负数的性质可求得OA和OC的长，则可得到A、C的坐标，再由矩形的性质可求得B点坐标；‎ ‎（2）由轴对称的性质可知AC⊥BB1，由（1）可知A、C点的坐标，可求得直线AC的解析式，则可求得直线BB1的解析式；‎ ‎（3）由B和B1关于直线AC对称可知，连接BD与直线AC交于点P，则此时PD+PB=PD+PB1，满足条件；再由折叠的性质可证明△AOD≌△CB1D，在Rt△AOD中可求得OD，则可求得CD长，在Rt△BCD中由勾股定理可求得BD的长；‎ ‎（4）由三角形三边关系可知|PD﹣PB|＜BD，只有当P点在线段BD的延长线或反延长线上时，才有|PD﹣PB|=BD，显然不存在这样的点．‎ ‎【解答】解：（1）∵|OA﹣2|+（OC﹣6）2=0．‎ ‎∴OA=2，OC=6，‎ ‎∴A（0，2），C（6，0），‎ ‎∵四边形OABC为矩形，‎ ‎∴BC=OA=2，‎ ‎∴B（6，2）；‎ ‎（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，‎ 把A、C坐标代入可得，‎ 解得，‎ ‎∴直线AC的解析式为y=﹣x+2，‎ 由折叠的性质可知AC⊥BB1，‎ ‎∴可设直线BB1的解析式为y=x+m，‎ 把B点坐标代入可得2=6+m，‎ 解得m=﹣4，‎ ‎∴直线BB1的解析式为y=x﹣4；‎ ‎（3）由（2）可知B和B1关于直线AC对称，‎ 如图1，连接BD交AC于点P，‎ 则PB=PB1，‎ ‎∴PD+PB=PD+PB1=BD，‎ ‎∴此时PD+PB1最小，‎ 由折叠的性质可知B1C=BC=OA=2，∠AOD=∠CB1D=90°，‎ 在△AOD和△CB1D中，‎ ‎，‎ ‎∴△AOD≌△CB1D（AAS），‎ ‎∴AD=DC，OD=DB1，‎ 设OD=x，则DC=AD=6﹣x，且OA=2，‎ 在Rt△AOD中，由勾股定理可得AO2+OD2=AD2，即（2）2+x2=（6﹣x）2，解得x=2，‎ ‎∴CD=AD=6﹣2=4，‎ 在Rt△BCD中，由勾股定理可得BD===2，‎ 综上可知存在使PB1+PD的值最小的点P，PB1+PD的最小值为2；‎ ‎（4）如图2，连接PB、PD、BD，‎ 当p在点A时|PD﹣PB|最大，B与B1对称，|PD﹣PB|=|PD﹣PB1|，根据三角形三边关系|PD﹣PB1|小于或等于DB1，故|PD﹣PB1|的最大值等于DB1．‎ ‎∵AB1=AB=6，‎ AD==4，‎ ‎∴DB1=2，‎ ‎∴在直线AC上，存在点P使|PD﹣PB|的值最大，最大值为：2．‎ ‎【点评】‎ 本题主要考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法、矩形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定和性质等知识．在（1）中注意非负数的性质的应用，在（2）中掌握相互垂直的两直线的解析式的关系是解题的关键，在（3）中确定出P点的位置是解题的关键，在（4）中注意三角形三边关系的应用．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．‎ ‎　‎