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备战 2012 中考：圆的有关性质（100 套）
一、选择题
1. （2011 广东湛江 16,4 分）如图， , ,A B C 是 O 上的三点， 30BAC ，则 BOC
度．
【答案】60
2. （2011 安徽，7，4 分）如图，⊙O 的半径是 1，A、B、C 是圆周上的三点，∠BAC=36°，
则劣弧 ⌒BC 的长是（ ）
A．π
5
B．2
5
π C．3
5
π D．4
5
π
【答案】B
3. （2011 福建福州，9，4 分）如图 2,以 O 为圆心的两个同心圆中,大圆的弦 AB 切小圆于
点 C ,若 120AOB ,则大圆半径 R 与小圆半径 r 之间满足（ ）
A． 3R r B． 3R r C． 2R r D． 2 2R r
A B
O
C
图 2
【答案】C
4. （2011 山东泰安，10 ，3 分）如图，⊙O 的弦 AB 垂直平分半径 OC，若 AB= 6，则⊙O
的半径为（ ）
A. 2 B.2 2 C. 2
2 D. 6
2
【答案】A
5. （2011 四川南充市，9，3 分）在圆柱形油槽内装有一些油。截面如图，油面宽 AB 为 6
分米，如果再注入一些油 后，油面 AB 上升 1 分米，油面宽变为 8 分米，圆柱形油槽直径
MN 为（ ）
（A）6 分米 （B）8 分米 （C）10 分米 （D）12 分米
【答案】C
6. （2011 浙江衢州，1,3 分）一个圆形人工湖如图所示，弦 AB 是湖上的一座桥，已知桥 AB
长 100m，测得圆周角 45ACB ，则这个人工湖的直径 AD 为（ ）
A. 50 2m B.100 2m C.150 2m D. 200 2m
【答案】B
7. （2011 浙江绍兴，4，4 分）如图， AB O为 的直径，点 C 在 O 上，若 16C ,
则 BOC 的度数是（ ）
A. 74 B. 48 C. 32 D. 16
(第 5 题图)
【答案】C
8.（2011浙江绍兴，6，4分）一条排水管的截面如图所示.已知排水管的截面圆半径 10OB ，
截面圆圆心O 到水面的距离 OC 是 6，则水面宽 AB 是（ ）
A.16 B.10 C.8 D.6
(第 8 题)
(第 6 题图)
【答案】A
9. （2011 浙江省，5，3 分）如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子
OA、OB 在 O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把 O 点靠在圆周上，读得刻度
OE=8 个单位，OF=6 个单位，则圆的直径为（ ）
A. 12 个单位 B. 10 个单位 C.4 个单位 D. 15 个单位
【答案】B
10．（2011 四川重庆，6，4 分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠OCB＝40°则∠A 的度数等
于( )
A． 60° B． 50° C． 40° D． 30°
【答案】B
11. （2011 浙江省嘉兴，6，4 分）如图，半径为 10 的⊙O 中，弦 AB 的长为 16，则这条弦
的弦心距为（ ）
（A）6 （B）8 （C）10 （D）12
（第 6 题）
A B
O
【答案】A
12. （2011 台湾台北，16）如图(六)， BD 为圆 O 的直径，直线 ED 为圆 O 的切线，A、C
两点在圆上， AC 平分∠BAD 且交 BD 于 F 点。若∠ADE＝ 19 ，则∠AFB 的度
数为何？
A．97 B．104 C．116 D．142
【答案】C
13. （2011 台湾全区，24）如图(六)，△ABC 的外接圆上，AB、BC、CA 三弧的度数比为
12：13：11．
自 BC 上取一点 D，过 D 分别作直线 AC、直线 AB 的并行线，且交 BC 于 E、F 两点，则
∠EDF 的度数
为何？
A． 55 B． 60 C． 65 D． 70
【答案】Ｃ
14. （2011 甘肃兰州，12，4 分）如图，⊙O 过点 B、C，圆心 O 在等腰 Rt△ABC 的内部，
∠BAC=90°，OA=1，BC=6。则⊙O 的半径为
A．6 B．13 C． 13 D． 2 13
A
B C
O
【答案】C
15. （2011 四川成都，7,3 分）如图，若 AB 是⊙0 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD=58°，
则∠BCD=（ B ）
(A)116° (B)32° (C)58° （D)64°
【答案】B
16. （2011 四川内江，9，3 分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠BAC=60°,若⊙O 的半径
OC 为 2，则弦 BC 的长为
A．1 B． 3 C．2 D．2 3
【答案】D
17. (2011 江苏南京，6，2 分)如图，在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心是（2，a）(a＞2)，半
径为 2，函数 y=x 的图象被⊙P 的弦 AB 的长为 2 3 ，则 a 的值是
A． 2 3 B． 2 2 2 C． 2 3 D． 2 3
(第 6 题)
A
B
O
P
x
y
y=x
【答案】B
1. 18. （2011 江苏南通，8，3 分）如图，⊙O 的弦 AB＝8，M 是 AB 的中点，且 OM＝3，
则⊙O
的半径等于
A. 8 B. 2 C. 10 D. 5
【答案】D
19. （2011 山东临沂，6，3 分）如图，⊙O 的直径 CD＝5cm，AB 是⊙O 的弦，AB⊥CD，垂
足为 M，OM：OD＝3：5，则 AB 的长是（ ）
A．2cm B．3cmC．4cm D．2 21 cm
【答案】C
20．（2011 上海，6，4 分）矩形 ABCD 中，AB＝8， 3 5BC ，点 P 在边 AB 上，且 BP＝
3AP，如果圆 P 是以点 P 为圆心，PD 为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）．
(A) 点 B、C 均在圆 P 外； (B) 点 B 在圆 P 外、点 C 在圆 P 内；
(C) 点 B 在圆 P 内、点 C 在圆 P 外； (D) 点 B、C 均在圆 P 内．
【答案】C
21.（2011 四川乐山 6，3 分）如图（3），CD 是⊙O 的弦，直径 AB 过 CD 的中点 M，若∠BOC=40°，
则∠ABD=
A．40° B．60° C．70° D．80°
【答案】 C
22. （2011 四川凉山州，9，4 分）如图， 100AOB ，点 C 在 O 上，且点 C 不与 A、
B 重合，则 ACB 的度数为（ ）
A．50 B．80 或50 C．130 D．50 或130
【答案】D
23. （2011 广东肇庆，7，3 分）如图，四边形 ABCD 是圆内接四边形，E 是 BC 延长线上一
点，若∠BAD ＝105°，
则∠DCE 的大小是
A
B C
D
E
A． 115° B． 105° C． 100° D． 95°
【答案】B
24. （2011 内蒙古乌兰察布，9，3 分）如图， AB 为 ⊙ O 的直径， CD 为弦， AB ⊥ CD ，
如果∠BOC = 70 0 ，那么∠A 的度数为（ ）
A . 70 B . 35 C . 30 D . 20
【答案】B
25. （2011 重庆市潼南,3,4 分）如图，AB 为⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上,∠A=30°,则∠B 的
度数为
A．15° B. 30° C. 45° D. 60°
C
A BO
3题图
【答案】D
26. （2011 浙江省舟山，6，3 分）如图，半径为 10 的⊙O 中，弦 AB 的长为 16，则这条弦
的弦心距为（ ）
（A）6 （B）8 （C）10 （D）12
（第 6 题）
A B
O
【答案】A
二、填空题
1. （2011 浙江省舟山，15，4 分）如图，AB 是半圆直径，半径 OC⊥AB 于点 O，AD 平分
∠CAB 交弧 BC 于点 D，连结 CD、OD，给出以下四个结论：①AC∥OD；② OECE ；
③△ODE∽△ADO；④ ABCECD 22 ．其中正确结论的序号是 ．
（第 16 题）
A B
D
C
O
E
【答案】①④
2. （2011 安徽，13，5 分）如图，⊙O 的两条弦 AB、CD 互相垂直，垂足为 E，且 AB=CD，
已知 CE=1，ED=3，则⊙O 的半径是 ．
【答案】 5
3. （2011 江苏扬州，15,3 分）如图，⊙O 的弦 CD 与直径 AB 相交，若∠BAD=50°，则∠ACD=
【答案】40°
4. （2011 山东日照，14，4 分）如图，在以 AB 为直径的半圆中，有一个边长为 1 的内接正
方形 CDEF，则以 AC 和 BC 的长为两根的一元二次方程是 ．
【答案】如：x2- 5 x+1=0；
5. （2011 山东泰安，23 ，3 分）如图，PA 与⊙O 相切，切点为 A，PO 交⊙O 于点 C，点 B
是优弧 CBA 上一点，若∠ABC==320，则∠P 的度数为 。
【答案】260
6. （ 2011 山 东 威 海 ， 15 ， 3 分 ） 如 图 ， ⊙ O 的 直 径 AB 与 弦 CD 相 交 于 点 E ， 若
AE=5,BE=1, 4 2CD ,则∠AED= .
【答案】 30°
7. （2011 山东烟台，16,4 分）如图，△ABC 的外心坐标是__________.
O x
y
B
C
A
【答案】（－2，－1）
8. （2011 浙江杭州，14，4）如图，点 A，B，C，D 都在⊙O 上， 的度数等于 84°，CA
是∠OCD 的平分线，则∠ABD 十∠CAO= °．
【答案】53°
9. （2011 浙江温州，14，5 分）如图，AB 是⊙O 的直径，点 C，D 都在⊙O 上，连结 CA，
CB，DC，DB．已知∠D=30°，BC＝3，则 AB 的长是 ．
【答案】6
10．（2011 浙江省嘉兴，16，5 分）如图，AB 是半圆直径，半径 OC⊥AB 于点 O，AD 平分
∠CAB 分别交 OC 于点 E，交弧 BC 于点 D，连结 CD、OD，给出以下四个结论：①S△AEC=2S△DEO；
②AC=2CD；③线段 OD 是DE 与 DA 的比例中项；④ ABCECD 22 ．其中正确结论的
序号是 ．
（第 16 题）
A B
D
C
O
E
【答案】①④
11. （2011 福建泉州，16，4 分）已知三角形的三边长分别为 3，4，5，则它的边与半径为
1 的圆的公共点个数所有可能的情况是 .（写出符合的一种情况即
可）
【答案】 2（符合答案即可）
12. （2011 甘肃兰州，16，4 分）如图，OB 是⊙O 的半径，点 C、D 在⊙O 上，∠DCB=27°，
则∠OBD=
度。
O
D
B
C
【答案】63°
13. （2011 湖南常德，7，3 分）如图 2，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，且∠C =70°，则∠OAB
=__________.
图 2
O
B
C
A
【答案】20°
14. （2011 江苏连云港，15，3 分）如图，点 D 为边 AC 上一点，点 O 为边 AB 上一点，AD=DO.
以 O 为圆心，OD 长为半径作半圆，交 AC 于另一点 E，交 AB 于点 F，G，连接 EF.若∠BAC=22º，
则∠EFG=_____.
【答案】 1
2
15. （2011 四川广安，19，3 分）如图 3 所示，若⊙O 的半径为 13cm，点 p 是弦 AB 上一
动点，且到圆心的最短距离为 5 cm，则弦 AB 的长为________cm
【答案】24
16. （ 2011 重庆江津， 16，4 分）已知如图,在圆内接四边形 ABCD 中,∠B=30º,则∠
D=____________.
A
B
C
D
第 16 题图
【答案】150°
17. (2011 重庆綦江，13，4 分) 如图,已知 AB 为⊙O 的直径，∠CAB＝30°,则∠D＝ .
图 3
【答案】：60°
18.（2011 江西南昌，13，3 分）如图，在△ABC 中，点 P 是△ABC 的内心，则∠PBC+∠PCA+∠PAB
= 度.
第 13 题图
【答案】90
19. (2011 江苏南京，13，2 分)如图，海边有两座灯塔 A、B，暗礁分布在经过 A、B 两点的
弓形（弓形的弧是⊙O 的一部分）区域内，∠AOB=80°，为了避免触礁，轮船 P 与 A、B
的张角∠APB 的最大值为______°．
A B
O
P
(第 13 题)
【答案】40
20．（2011 上海，17，4 分）如图，AB、AC 都是圆 O 的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别
为 M、N，如果 MN＝3，那么 BC＝_________．
【答案】6
21. （2011 江苏无锡，18，2 分）如图，以原点 O 为圆心的圆交 x 轴于点 A、B 两点，交 y
轴的正半轴于点 C，D 为第一象限内⊙O 上的一点，若∠DAB = 20°，则∠OCD =
_____________．
y
xOA B
D
C
（第 18 题）
【答案】65
22. （2011 湖北黄石，14，3 分）如图（5），△ABC 内接于圆 O，若∠B＝300.AC＝ 3 ，则
⊙O 的直径为 。
【答案】2 3
23. （2011 湖南衡阳，16，3 分）如图，⊙O 的直径CD 过弦 EF 的中点 G，∠EOD=40°，
则∠FCD 的度数为 ．
【答案】 20
24. （2011 湖南永州，8，3 分）如图，在⊙O 中，直径 CD 垂直弦 AB 于点 E，连接 OB,CB，
已知⊙O 的半径为 2，AB= 32 ,则∠BCD=________度．
（第 8 题）
E
O
C
D
B
A
【答案】30
25. (20011 江苏镇江,15,2 分)如图,DE 是⊙O 的直径,弦 AB⊥DE,垂足为 C,若 AB=6,CE=1,则
OC=_____,CD=_____.
答案：4，9
26. （2011 内蒙古乌兰察布，14，4 分）如图，BE 是半径为 6 的⊙D 的
4
1 圆周，C 点是 BE
上的任意一点， △ABD 是等边三角形,则四边形 ABCD 的周长 P 的取值范围是
【答案】18 18 6 2p
27. （2011 河北，16，3 分）如图 7，点 O 为优弧 ACB 所在圆的圆心，∠AOC=108°，点 D
在 AB 的延长线上，BD=BC,则∠D=__°．
【答案】27
28. （2011 湖北荆州，12，4 分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，CD 是直径，∠B＝40°，
则∠ACD 的度数是 .
第 12 题图
【答案】50°
29.
30.
三、解答题
1. （2011 浙江金华，21，8 分）如图，射线 PG 平分∠EPF，O 为射线 PG 上一点，以 O 为
圆心，10 为半径作⊙O，分别与∠EPF 两边相交于 A、B 和 C、D，连结 OA，此时有 OA∥PE.
（1）求证：AP＝AO；
（2）若弦 AB＝12，求 tan∠OPB 的值；
（3）若以图中已标明的点（即 P、A、B、C、D、O）构造四边形，则能构成菱形的四个点
为 ，能构成等腰梯形的四个点为 或 或 .
证明：（1）∵PG 平分∠EPF，
∴∠DPO=∠BPO ，
∵OA//PE，
∴∠DPO=∠POA ，
∴∠BPO=∠POA，
∴PA=OA； ……2 分
解：（2）过点 O 作 OH⊥AB 于点 H，则 AH=HB= 1
2
AB，……1 分
∵ tan∠OPB= 1
2
OH
PH
，∴PH=2OH， ……1 分
设 OH= x ，则 PH=2 x ，
由（1）可知 PA=OA= 10 ，∴AH=PH－PA=2 x －10，
∵ 2 2 2AH OH OA ， ∴ 2 2 2(2 10) 10x x ， ……1 分
解得 1 0x （不合题意，舍去）， 2 8x ，
∴AH=6， ∴AB=2AH=12； ……1 分
（3）P、A、O、C；A、B、D、C 或 P、A、O、D 或 P、C、O、B.……2 分(写对 1 个、2 个、
3 个得 1 分，写对 4 个得 2 分)
H
P
A
B
C
O
D E
F
G
2.（2011 浙江金华，24，12 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A（10，0），以 OA 为直径
在第一象限内作半圆 C，点 B 是该半圆周上的一动点，连结 OB、AB，并延长 AB 至点 D，使
DB＝AB，过点 D 作 x 轴垂线，分别交 x 轴、直线 OB 于点 E、F，点 E 为垂足，连结 CF.
（1）当∠AOB＝30°时，求弧 AB 的长；
（2）当 DE＝8 时，求线段 EF 的长；
（3）在点 B 运动过程中，是否存在以点 E、C、F 为顶点的三角形与△AOB 相似，若存在，
请求出此时点 E 的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（1）连结 BC,
∵A（10，0）, ∴OA=10 ,CA=5,
∵∠AOB=30°,
∴∠ACB=2∠AOB=60°,
∴弧 AB 的长=
3
5
180
560 ; ……4 分
O
B
D
EC
F
x
y
A
（2）连结 OD,
∵OA 是⊙C 直径, ∴∠OBA=90°,
又∵AB=BD,
∴OB 是 AD 的垂直平分线,
∴OD=OA=10,
在 Rt△ODE 中，
OE= 22 DEOD 6810 22 ,
∴AE=AO－OE=10-6=4,
由 ∠AOB=∠ADE=90°-∠OAB，∠OEF=∠DEA，
得△OEF∽△DEA,
∴
OE
EF
DE
AE ,即
68
4 EF ，∴EF=3；……4 分
（3）设 OE=x，
①当交点 E 在 O，C 之间时，由以点 E、C、F 为顶点的三角形与△AOB 相似，有∠ECF=∠BOA
或∠ECF=∠OAB，当∠ECF=∠BOA 时，此时△OCF 为等腰三角形，点 E 为 OC 中点，即
OE=
2
5 ，
∴E1（
2
5 ，0）；
当∠ECF=∠OAB 时，有 CE=5-x, AE=10-x，
∴CF∥AB,有 CF= 1
2 AB ,
∵△ECF∽△EAD,
∴
AD
CF
AE
CE ,即 5 1
10 4
x
x
,解得：
3
10x ,
∴E2（
3
10 ，0）;
O
B
D
F
CE A x
y
O
B
D
F
CE A x
y
②当交点 E 在点 C 的右侧时，
∵∠ECF＞∠BOA，
∴要使△ECF 与△BAO 相似，只能使∠ECF=∠BAO，
连结 BE，
∵BE 为 Rt△ADE 斜边上的中线，
∴BE=AB=BD,
∴∠BEA=∠BAO,
∴∠BEA=∠ECF,
∴CF∥BE, ∴
OE
OC
BE
CF ,
∵∠ECF=∠BAO, ∠FEC=∠DEA=Rt∠，
∴△CEF∽△AED, ∴ CF CE
AD AE
,
而 AD=2BE, ∴
2
OC CE
OE AE
,
即 5 5
2 10
x
x x
, 解得
4
1755
1
x ,
4
1755
2
x ＜0（舍去），
∴E3（
4
1755 ，0）;
O
B
D
F
C E A x
y
③当交点 E 在点 O 的左侧时，
∵∠BOA=∠EOF＞∠ECF .
∴要使△ECF 与△BAO 相似，只能使∠ECF=∠BAO
连结 BE，得 BE= AD2
1 =AB，∠BEA=∠BAO
∴∠ECF=∠BEA,
∴CF∥BE,
∴
OE
OC
BE
CF ,
又∵∠ECF=∠BAO, ∠FEC=∠DEA=Rt∠，
∴△CEF∽△AED, ∴
AD
CF
AE
CE ，
而 AD=2BE, ∴
2
OC CE
OE AE
,
∴ 5 +5
2 10+
x
x x
, 解得
4
1755
1
x ,
4
1755
2
x ＜0（舍去）,
∵点 E 在 x 轴负半轴上, ∴E4（
4
1755 ，0）,
综上所述：存在以点 E、C、F 为顶点的三角形与△AOB 相似,此时点 E 坐标为：
1E （
2
5 ，0）、 2E （
3
10 ，0）、 3E （
4
1755 ，0）、 4E （
4
1755 ，0）．……4 分
O
B
D
F
CE A x
y
3. （2011 山东德州 22,10 分）●观察计算
当 5a ， 3b 时，
2
a b 与 ab 的大小关系是_________________．
当 4a ， 4b 时，
2
a b 与 ab 的大小关系是_________________．
●探究证明
如图所示， ABC 为圆 O 的内接三角形，AB 为直径，过 C 作CD AB 于 D，设 AD a ，
BD=b．
（1）分别用 ,a b 表示线段 OC，CD；
（2）探求 OC 与 CD 表达式之间存在的关系
（用含 a，b 的式子表示）．
A B
C
O D
●归纳结论
根 据 上 面 的 观 察 计 算 、 探 究 证 明 ， 你 能 得 出
2
a b 与 ab 的 大 小 关 系 是 ：
_________________________．
●实践应用
要制作面积为 1 平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值．
【答案】●观察计算:
2
a b > ab ，
2
a b = ab . …………………2 分
●探究证明：
（1） 2AB AD BD OC ，
∴
2
a bOC …………………3 分
AB 为⊙O 直径,
∴ 90ACB .
90A ACD ， 90ACD BCD ，
∴∠A=∠BCD.
∴△ ACD ∽△CBD . …………………4 分
∴ AD CD
CD BD
.
即 2CD AD BD ab ,
∴CD ab . …………………5 分
（2）当 a b 时,OC CD ,
2
a b = ab ；
a b 时,OC CD ,
2
a b > ab ．…………………6 分
A B
C
O D
●结论归纳:
2
a b ab ． ………………7 分
●实践应用
设长方形一边长为 x 米,则另一边长为 1
x
米,设镜框周长为 l 米，则
12( )l x x
≥ 14 4x x
． ……………9 分
当 1x x
,即 1x （米）时,镜框周长最小．
此时四边形为正方形时,周长最小为 4 米. ………………10 分
4. （2011 山东济宁，19，6 分）如图， AD 为 ABC 外接圆的直径， AD BC ，垂足为点
F ， ABC 的平分线交 AD 于点 E ，连接 BD ， CD .
(1) 求证： BD CD ；
(2) 请判断 B ， E ，C 三点是否在以 D 为圆心，以 DB 为半径的圆上？并说明理由.
A
B C
E
F
D
(第 19 题)
【答案】（1）证明：∵ AD 为直径， AD BC ，
∴ BD CD .∴ BD CD . ························································· 3 分
（2）答： B ， E ，C 三点在以 D 为圆心，以 DB 为半径的圆上. ························ 4 分
理由：由（1）知： BD CD ，∴ BAD CBD .
∵ DBE CBD CBE ， DEB BAD ABE ， CBE ABE ，
∴ DBE DEB .∴ DB DE .·························································· 6 分
由（1）知： BD CD .∴ DB DE DC .
∴ B ， E ，C 三点在以 D 为圆心，以 DB 为半径的圆上. …………………7 分
5. （2011 山东烟台，25,12 分）已知：AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 G，E 是直线
AB 上一动点（不与点 A、B、G 重合），直线 DE 交⊙O 于点 F，直线 CF 交直线 AB 于点 P.设
⊙O 的半径为 r.
（1）如图 1，当点 E 在直径 AB 上时，试证明：OE·OP＝r2
（2）当点 E 在 AB（或 BA）的延长线上时，以如图 2 点 E 的位置为例，请你画出符合
题意的图形，标注上字母，（1）中的结论是否成立？请说明理由.
A B
C
D
E
F
P.OG
（图 1）
.A B
C
D
E.OG
（图 2）
【答案】（1）证明：连接 FO 并延长交⊙O 于 Q，连接 DQ.
∵FQ 是⊙O 直径，∴∠FDQ＝90°.
∴∠QFD＋∠Q＝90°.
∵CD⊥AB，∴∠P＋∠C＝90°.
∵∠Q＝∠C，∴∠QFD＝∠P.
∵∠FOE＝∠POF，∴△FOE∽△POF.
∴ OE OF
OF OP
.∴OE·OP＝OF2＝r2.
（2）解：（1）中的结论成立.
理由：如图 2，依题意画出图形，连接 FO 并延长交⊙O 于
M，连接 CM.
∵FM 是⊙O 直径，∴∠FCM＝90°，∴∠M＋∠CFM＝90°.
∵CD⊥AB，∴∠E＋∠D＝90°.
∵∠M＝∠D，∴∠CFM＝∠E.
∵∠POF＝∠FOE，∴△POF∽△FOE.
∴ OP OF
OF OE
，∴OE·OP＝OF2＝r2.
6. （2011 宁波市，25，10 分）阅读下面的情境对话，然后解答问题
（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角
形”是真命题还是假命题？
（2）在 Rt ABC 中， ∠ACB＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且 b＞a，若 Rt AB C 是奇
异三角形，求 a：b：c；
（3）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是上一点（不与点 A、B 重合），D 是半圆 ⌒ABD的中点，CD
在直径 AB 的两侧，若在⊙O 内存在点 E 使得 AE＝AD，CB＝CE．
○1 求证： ACE 是奇异三角形；
○2 当 ACE 是直角三角形时，求∠AOC 的度数．
【答案】解：（1）真命题
（2）在 Rt ABC 中 a2＋b2＝ c2，
∵c＞b＞a＞0
∴2c2＞a2＋b2，2a2＜c2＋b2
∴若 Rt ABC 是奇异三角形，一定有 2b2＝c2＋ a2
∴2b2＝a2＋（a2＋b2）
∴b2＝2a2 得：b＝ 2a
∵c2＝b2＋ a2＝3a2
∴c＝ 3a
∴a：b：c＝1： 2： 3
(3)○1 ∵AB 是⊙O 的直径 ACBADB＝90°
在 Rt ABC 中，AC2＋BC2＝AB2
在 Rt ADB 中，AD2＋BD2＝AB2
∵点 D 是半圆 ⌒ABD的中点
∴ ⌒AD ＝ ⌒BD
∴AD＝BD
∴AB2＝AD2＋BD2＝2AD2
∴AC2＋CB2＝2AD2
又∵CB＝CE，AE＝AD
∴AC2＝CE2＝2AE2
∴ ACE 是奇异三角形
○2 由○1 可得 ACE 是奇异三角形
∴AC2＝CE2＝2AE2
当 ACE 是直角三角形时
由（2）可得 AC：AE：CE＝1： 2： 3或 AC：AE：CE＝ 3： 2： 1
（Ⅰ）当 AC：AE：CE＝1： 2： 3时
AC：CE＝1： 3即 AC：CB＝1： 3
∵∠ACB＝90°
∴∠ABC＝30°
∴∠AOC＝2∠ABC ＝60°
(Ⅱ)当 AC：AE：CE＝ 3： 2： 1 时
AC：CE＝ 3： 1 即 AC：CB＝ 3： 1
∵∠ACB＝90°
∴∠ABC＝60°
∴∠AOC＝2∠ABC ＝120°
∴∠AOC＝2∠ABC ＝120°
∴∠AOC 的度数为 60°或 120°
7. （2011 浙江丽水，21，8 分）如图，射线 PG 平分∠EPF，O 为射线 PG 上一点，以 O 为
圆心，10 为半径作⊙O，分别与∠EPF 两边相交于 A、B 和 C、D，连结 OA，此时有 OA∥PE.
（1）求证：AP＝AO；
（2）若弦 AB＝12，求 tan∠OPB 的值；
（3）若以图中已标明的点(即 P、A、B、C、D、O)构造四边形，则能构成菱形的四个点为
，能构成等腰梯形的四个点为 或 或 .
【解】（1）∵PG 平分∠EPF，
∴∠DPO=∠BPO，
∵OA//PE，
∴∠DPO=∠POA，
∴∠BPO=∠POA，
∴PA=OA；
（2）过点 O 作 OH⊥AB 于点 H，则 AH=HB，
∵AB=12，
∴AH=6，
由（1）可知 PA=OA=10，
∴PH=PA+AH=16，
OH= 102－62=8，
∴tan∠OPB=OH
PH=1
2
；
（3）P、A、O、C；A、B、D、C 或 P、A、O、D 或 P、C、O、B.
8. （2011 广东广州市，25，14 分）
如图 7，⊙O 中 AB 是直径，C 是⊙O 上一点，∠ABC=45°，等腰直角三角形 DCE 中
∠DCE 是直角，点 D 在线段 AC 上．
（1）证明：B、C、E 三点共线；
（2）若 M 是线段 BE 的中点，N 是线段 AD 的中点，证明：MN= 2OM；
（3）将△DCE 绕点 C 逆时针旋转α（0°＜α＜90°）后，记为△D1CE1（图8），若 M1 是线段
BE1 的中点，N1 是线段 AD1 的中点，M1N1= 2OM1 是否成立？若是，请证明；若不是，说明
理由．
A
B
C
D
E
M
N
O
图 7
A
B
C
D1 E1
M1
O
N1
图 8
【答案】（1）∵AB 为⊙O 直径
∴∠ACB=90°
∵△DCE 为等腰直角三角形
∴∠ACE=90°
∴∠BCE=90°+90°=180°
∴B、C、E 三点共线．
（2）连接 BD，AE，ON．
∵∠ACB=90°，∠ABC=45°
∴AB=AC
∵DC=DE
∠ACB=∠ACE=90°
∴△BCD≌△ACE
∴AE=BD，∠DBE=∠EAC
∴∠DBE+∠BEA=90°
∴BD⊥AE
∵O，N 为中点
∴ON∥BD，ON=1
2
BD
同理 OM∥AE，OM=1
2
AE
∴OM⊥ON，OM=ON
∴MN= 2OM
（3）成立
证明：同（2）旋转后∠BCD1=∠BCE1=90°－∠ACD1
所以仍有△BCD1≌△ACE1，
所以△ACE1 是由△BCD1 绕点 C 顺时针旋转 90°而得到的，故 BD1⊥AE1
其余证明过程与（2）完全相同．
9. （2011 浙江丽水，24，12 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A(10，0)，以 OA 为直径
在第一象限内作半圆 C，点 B 是该半圆周上的一动点，连结 OB、AB，并延长 AB 至点 D，使
DB＝AB，过点 D 作 x 轴垂线，分别交 x 轴、直线 OB 于点 E、F，点 E 为垂足，连结 CF.
（1）当∠AOB＝30°时，求弧 AB 的长；
（2）当 DE＝8 时，求线段 EF 的长；
（3）在点 B 运动过程中，是否存在以点 E、C、F 为顶点的三角形与△AOB 相似，若存在，
请求出此时点 E 的坐标；若不存在，请说明理由.
【解】(1)连结 BC，
∵A(10，0)，∴OA=10，CA=5，
∵∠AOB=30°，
∴∠ACB=2∠AOB=60°，
∴⌒AB的长=60×π×5
180
=5π
3
；
（2）连结 OD，
∵OA 是⊙C 的直径，∴∠OBA=90°，
又∵AB= BD，
∴OB 是 AD 的垂直平分线，
∴OD= OA=10，
在 Rt△ODE 中，
OE= OD2－DE2= 102－82=6，
∴AE= AO－OE =10－6=4，
由∠AOB=∠ADE= 90°－∠OAB，
∠OEF=∠DEA，
得△OEF∽△DEA，
∴AE
DE=EF
OE
，即4
8=EF
6
，∴EF=3；
(3)设 OE=x，
①当交点 E 在 O，C 之间时，由以点 E、C、F 为顶点的三角形与△AOB 相似，
有∠ECF=∠BOA 或∠ECF=∠OAB，当∠ECF=∠BOA 时，此时△OCF 为等腰三
角形，
点 E 为 OC 的中点，即 OE=5
2
，
∴E1(5
2
，0)；
当∠ECF=∠OAB 时，有 CE=5－x，AE=10－x，
∴CF//AB，有 CF=1
2AB，
∵△ECF∽△EAD，
∴CE
AE=CF
AD
，即 5－x
10－x
=1
4
，解得 x=10
3
，
∴E2(10
3
，0)；
②当交点 E 在 C 的右侧时，
∵∠ECF>∠BOA
∴要使△ECF 与△BAO 相似，只能使∠ECF=∠BAO，
连结 BE，
∵BE 为 Rt△ADE 斜边上的中线，
∴BE=AB=BD，
∴∠BEA=∠BAO，
∴∠BEA=∠ECF，
∵CF//BE，∴CF
BE=OC
OE
，
∵∠ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA=Rt∠，
∴△CEF∽△AED，∴CF
AD=CE
AE
，
而 AD=2BE，∴ OC
2OE=CE
AE
，
即 5
2x= x－5
10－x
，
解得 x1=5+5 17
4
，x2=5－5 17
4
<0（舍去），
∴E3(5+5 17
4
，0)；
③当交点 E 在 O 的左侧时，
∵∠BOA=∠EOF>∠ECF
∴要使△ECF 与△BAO 相似，只能使∠ECF=∠BAO，
连结 BE，得 BE=1
2AD=AB，
∠BEA=∠BAO，
∴∠ECF=∠BEA，
∴CF//BE，
∴CF
BE=OC
OE
，
又∵∠ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA=Rt∠，
∴△CEF∽△AED，∴CE
AE=CF
AD
，
而 AD=2BE，∴ OC
2OE=CE
AE
，
∴ 5
2x= x+5
10+x
，解得 x1=－5+5 17
4
，x2=－5－5 17
4
<0（舍去），
∵点 E 在 x 轴负半轴上，∴E4(5－5 17
4
，0)，
综上所述：存在以点 E、C、F 为顶点的三角形与△AOB 相似，此时点 E 坐标为：
∴E1(5
2
，0)、E2(10
3
，0)、E3(5+5 17
4
，0)、E4(5－5 17
4
，0).
10．（2011 江西，21，8 分）如图，已知⊙O 的半径为 2，弦 BC 的长为 2 3 ，点 A 为弦 BC
所对优弧上任意一点（B，C 两点除外）。
⑴求∠BAC 的度数；
⑵求△ABC 面积的最大值.
（参考数据：sin60°=
2
3 ，cos30°=
2
3 ，tan30°=
3
3 .）
【答案】（1）过点 O 作 OD⊥BC 于点 D, 连接 OA.
因为 BC= 2 3 ，所以 CD= 1
2 BC = 3 .
又 OC=2，所以 sin DOC∠ = CD
OC
，即 sin DOC∠ = 3
2
，
所以∠DOC=60°.
又 OD⊥BC，所以∠BAC=∠DOC=60°.
（2）因为△ABC 中的边 BC 的长不变，所以底边上的高最大时，△ABC 面积的最大值,即点 A
是 BAC 的中点时，△ABC 面积的最大值.
因为∠BAC=60°，所以△ABC 是等边三角形，
在 Rt△ADC 中，AC= 2 3 ，DC= 3 ,
所以 AD= 2 2AC DC- = 22(2 3) 3- =3.
所以△ABC 面积的最大值为 2 3 ×3× 1
2 =3 3 .
11. （2011 湖南常德，25，10 分）已知 △ABC，分别以 AC 和 BC 为直径作半圆 1O 、 2 ,O P
是 AB 的中点.
（1）如图 8，若△ABC 是等腰三角形，且 AC=BC，在 ,AC BC 上分别取点 E、F，使
1 2 ,AO E BO F 则有结论① 1 2 ,PO E FO P ②四边形 1 2PO CO 是菱形.请给出结论
②的证明；
（2）如图 9，若（1）中△ABC 是任意三角形，其它条件不变，则（1）中的两个结论还成
立吗？若成立，请给出证明；
（3）如图 10，若 PC 是 1O 的切线，求证： 2 2 23AB BC AC
图8
O2O1
PA D
C
E
F
B
D
【答案】
（1） 证明：∵BC 是⊙O2 直径，则 O2 是 BC 的中点
又 P 是 AB 的中点.
∴P O2 是△ABC 的中位线
∴P O2 = 1
2 AC
又 AC 是⊙O1 直径
∴P O2= O1C= 1
2 AC
同理 P O1= O2C = 1
2 BC
∵AC =BC
∴P O2= O1C=P O1= O2C
∴四边形 1 2PO CO 是菱形
（2） 结论① 1 2 ,PO E FO P 成立，结论②不成立
证明：在（1）中已证 PO2= 1
2
AC，又 O1E= 1
2 AC
∴PO2=O1E
同理可得 PO1=O2F
∵PO2 是△ABC 的中位线
∴PO2∥AC
∴∠PO2B=∠ACB
同理∠P O1A=∠ACB
∴∠PO2B=∠P O1A
∵∠AO1E =∠BO2F
∴∠P O1A+∠AO1E =∠PO2B+∠BO2F
即∠P O1E =∠F O2 P
∴
（3） 证明：延长 AC 交⊙O2 于点 D，连接 BD.
∵BC 是⊙O2 的直径，则∠D=90°，
又 PC 是 1O 的切线，则∠ACP=90°，
∴∠ACP=∠D
又∠PAC=∠BAD，
∴△APC∽△BAD
又 P 是 AB 的中点
∴ 1
2
AC AP
AD AB
∴AC=CD
∴在 Rt△BCD 中， 2 2 2 2²BC CD BD AC BD
在 Rt△ABD 中， 2 2 2AB AD BD
∴ 2 2 2 2 2 24 3AB AC BD AC BD AC
∴ 2 2 23AB BC AC
12. （2011 江苏苏州，26,8 分）如图，已知 AB 是⊙O 的弦，OB=2，∠B=30°，C 是弦 AB 上
任意一点（不与点 A、B 重合），连接 CO 并延长 CO 交⊙O 于点 D，连接 AD.
（1）弦长 AB=________（结果保留根号）；
（2）当∠D=20°时，求∠BOD 的度数；
（3）当 AC 的长度为多少时，以点 A、C、D 为顶点的三角形与以 B、C、O 为顶点的三角形相
似？请写出解答过程.
【答案】解：（1）2 3 .
（2）解法一：∵∠BOD 是△BOC 的外角，∠BCO 是△ACD 的外角，
∴∠BOD=∠B+∠BCO，∠BCO=∠A+∠D.
∴∠BOD=∠B+∠A+∠D.
又∵∠BOD=2∠A，∠B=30°，∠D=20°，
∴2∠A=∠B+∠A+∠D=∠A+50°，∠A=50°，
∴∠BOD=2∠A=100°.
解法二：如图，连接 OA.
∵OA=OB，OA=OD，∴∠BAO=∠B，∠DAO=∠D，
∴∠DAB=∠BAO+∠DAO=∠B+∠D.
又∵∠B=30°，∠D=20°，∴∠DAB=50°，
∴∠BOD=2∠DAB=100°.
（3）∵∠BCO=∠A+∠D，∴∠BCO＞∠A，∠BCO＞∠D.
∴要使△DAC 与△BOC 相似，只能∠DCA=∠BCO=90°.
此时，∠BOC=60°，∠BOD=120°，∴∠DAC=60°.
∴△DAC∽△BOC.
∵∠BCO=90°，即 OC⊥AB，∴AC=
2
1 AB= 3 .
13. （2011 江苏苏州，27,8 分）已知四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形，以 AB 为直径在正
方形内作半圆，P 是半圆上的动点（不与点 A、B 重合），连接 PA、PB、PC、PD.
（1）如图①，当 PA 的长度等于______时，∠PAB=60°；
当 PA 的长度等于______时，△PAD 是等腰三角形；
（2）如图②，以 AB 边所在的直线为 x 轴，AD 边所在的直线为 y 轴，建立如图所示的直角
坐标系（点 A 即为原点 O），把△PAD、△PAB、△PBC 的面积分别记为 S1、S2、S3.设 P 点坐标
为（a，b），试求 2S1S3-S2
2 的最大值，并求出此时 a、b 的值.
【答案】解：（1）2；2 2 或
5
58 .
（2）如图，过点 P 分别作 PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为 E、F，延长 FP 交BC 于点 G，则 PG
⊥BC.
∵P 点坐标为（a，b），∴PE=b，PF=a，PG=4-a.
在△PAD、△PAB 及△PBC 中，
S1=2a，S2=2b，S3=8-2a，
∵AB 是直径，∴∠APB=90°.
∴PE2=AE·BE，即 b2=a（4-a）.
∴2S1S3-S2
2=4a（8-2a）-4b2=-4a2+16a=-4（a-2）2+16.
∴当 a=2 时，b=2，2S1S3-S2
2 有最大值 16.
14. （2011 江苏泰州，26，10 分）如图，以点 O 为圆心的两个同心圆中，矩形 ABCD 的边
BC 为大圆的弦，边 AD 与小圆相切于点 M，OM 的延长线与 BC 相交于点 N．
（1）点 N 是线段 BC 的中点吗？为什么？
（2）若圆环的宽度（两圆半径之差）为 6cm，AB=5cm，BC=10cm，求小圆的半径．
【答案】解：(1)N 是 BC 的中点。原因：∵AD 与小圆相切于点 M，
∴OM⊥AD，又 AD∥BC，∴ON⊥BC，∴在大圆 O 中，由垂径定理可得 N 是 BC 的中点．
(2)连接 OB，设小圆半径为 r，则有 ON=r+5,OB=r+6,BN=5cm,
在 Rt△OBN 中，由勾股定理得 OB2=BN2+ON2 ，即：（r+6）2=(r+5)2+52 ，解得 r=7cm.
∴小圆的半径为 7cm.
15. （2011 四川成都，27,10 分）已知：如图，以矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点 O 为圆心，
OA 长为半径作⊙0，⊙O 经过 B、D 两点，过点 B 作 BK⊥AC，垂足为 K．过 D 作 DH∥KB，
DH 分别与 AC、AB、⊙O 及 CB 的延长线相交于点 E、F、G、H．
(1)求证：AE=CK；
(2)如果 AB= a ，AD= 1
3 a ( a 为大于零的常数)，求 BK 的长；
(3)若 F 是 EG 的中点，且 DE=6，求⊙O 的半径和 GH 的长．
【答案】
解：（1）∵DH∥KB，BK⊥AC，∴DE⊥AC，
∵四边形 ABCD 是矩形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠EAD=∠KCB，
∴Rt△ADE≌Rt△CBK，∴AE=CK.
（2）在 Rt△ABC 中，AB= a ，AD=BC= 1
3 a ，∴ 22 BCABAC = 22 )3
1( aa =
3
10a ，
∵S△ABC=
2
1 AB×BC=
2
1 AC×BK，∴BK=
AC
BCAB =
3
10
3
1
a
aa
= a10
10 .
（3）连线 OG，∵AC⊥DG，AC 是⊙O 的直接，DE=6，∴DE=EG=6，又
∵EF=FG，∴EF=3；∵Rt△ADE≌Rt△CBK，∴DE=BK=6，AE=CK，
在△ABK 中，EF=3，BK=6，EF∥BK，∴EF 是△ABK 的中位线，∴AF=BF，AE=EK=KC；在 Rt
△OEG 中，设 OG= r ，则 OE= rrAC 3
126
1
6
1 ，EG=6， 222 OGEGOE ，∴
222 6)3
1( rr ，∴
2
29r .
在 Rt△ADF≌Rt△BHF 中，AF=BF，
∵AD=BC，BF∥CD，∴HF=DF，
∵FG=EF，∴HF-FG=DF-EF，∴HG=DE=6.
16. （2011 四川宜宾,23，10 分）已知：在△ABC 中，以 AC 边为直径的⊙O 交 BC 于点 D，
在劣弧 ⌒
AD上到一点 E 使∠EBC=∠DEC，延长 BE 依次交 AC 于 G，交⊙O 于 H．
（1）求证：AC⊥BH；
（2）若∠ABC=45°，⊙O 的直径等于 10，BD=8，求 CE 的长．
（23 题图）
【答案】证明：⑴连接 AD
∵∠DAC=∠DEC ∠EBC=∠DEC
∴∠DAC=∠EBC
又∵AC 是⊙O 的直径
∴∠ADC=90°
∴∠DCA+∠DAC=90°
∴∠EBC+∠DCA=90°
∴∠BGC=180°-(∠EBC+∠DCA)=180°-90°=90°
∴AC⊥BH
⑵∵∠BDA=180°-∠ADC=90°∠ABC=45°
∴∠BAD=45°
∴BD=AD
∵BD=8
∴AD=8
又∵∠ADC=90° AC=10
（第 23 题解答图）
∴由勾股定理，得 6810 2222 ADACDC .
∴BC=BD+DC=8+6=14
又∵∠BGC=∠ADC=90° ∠BCG=∠ACD
∴△BCG∽△ACD
∴
AC
BC
DC
CG
∴
10
14
6
CG ∴
5
42CG
连接 AE，∵AC 是直径 ∴∠AEC=90°
又∵EG⊥AC
∴△CEG∽△CAE ∴
CE
CG
AC
CE ∴ 84105
422 CGACCE
∴ 21284 CE .
17. （2011 江西南昌，21，8 分）如图，已知⊙O 的半径为 2，弦 BC 的长为 2 3 ，点 A 为
弦 BC 所对优弧上任意一点（B，C 两点除外）。
⑴求∠BAC 的度数；
⑵求△ABC 面积的最大值.
（参考数据：sin60°=
2
3 ，cos30°=
2
3 ，tan30°=
3
3 .）
【答案】（1）过点 O 作 OD⊥BC 于点 D, 连接 OA.
因为 BC= 2 3 ，所以 CD= 1
2 BC = 3 .
又 OC=2，所以 sin DOC∠ = CD
OC
，即 sin DOC∠ = 3
2
，
所以∠DOC=60°.
又 OD⊥BC，所以∠BAC=∠DOC=60°.
（2）因为△ABC 中的边 BC 的长不变，所以底边上的高最大时，△ABC 面积的最大值,即点 A
是 BAC 的中点时，△ABC 面积的最大值.
因为∠BAC=60°，所以△ABC 是等边三角形，
在 Rt△ADC 中，AC= 2 3 ，DC= 3 ,
所以 AD= 2 2AC DC- = 22(2 3) 3- =3.
所以△ABC 面积的最大值为 2 3 ×3× 1
2 =3 3 .
18. （2011 上海，21，10 分）如图，点 C、D 分别在扇形 AOB 的半径 OA、OB 的延长
线上，且 OA＝3，AC＝2，CD 平行于 AB，并与弧 AB 相交于点 M、N．
（1）求线段 OD 的长；
（2）若 1tan 2C ，求弦 MN 的长．
O
A B
DC M N
【答案】（1）∵CD∥AB，
∴∠OAB=∠C，∠OBA=∠D．
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA．
∴∠C=∠D．
∴OC=OD．
∵OA=3，AC=2，
∴OC=5．
∴OD=5．
（2）过点 O 作 OE⊥CD，E 为垂足，连接 OM．
在 Rt△OCE 中，OC=5， 1tan 2C ，设 OE=x，则 CE=2x．由勾股定理得 2 2 2(2 ) 5x x ，
解得 x1= 5 ，x2= 5 （舍去）．∴OE= 5 ．
在 Rt△OME 中，OM=OA=3，ME= 2 2OM OE = 2 23 ( 5) =2。∴MN=2ME=4．
19. （2011 湖北黄冈，22，8 分）在圆内接四边形 ABCD 中，CD 为∠BCA 外角的平分线，F
为弧 AD 上一点，BC=AF，延长 DF 与 BA 的延长线交于 E．
⑴求证△ABD 为等腰三角形．
⑵求证 AC•AF=DF•FE
第 22 题图
B A
F
E
D
C
M
【答案】⑴由圆的性质知∠MCD=∠DAB、∠DCA=∠DBA，而∠MCD=∠DCA，所以∠DBA=
∠DAB，故△ABD 为等腰三角形．
⑵∵∠DBA=∠DAB
∴弧 AD=弧 BD
又∵BC=AF
∴弧 BC=弧 AF、∠CDB=∠FDA
∴弧 CD=弧 DF
∴CD=DF
再由“圆的内接四边形外角等于它的内对角”知
∠AFE=∠DBA=∠DCA①，∠FAE=∠BDE
∴∠CDA=∠CDB＋∠BDA=∠FDA＋∠BDA=∠BDE=∠FAE② 由①②得△DCA∽△FAE
∴AC：FE=CD：AF
∴AC•AF= CD •FE
而 CD=DF，
∴AC•AF=DF•FE
20．（2011 广东茂名，24，8 分）如图，⊙P 与 y 轴相切于坐标原点 O(0，0)，与 x 轴相交于
点 A(5，0)，过点 A 的直线 AB 与 y 轴的正半轴交于点 B，与⊙P 交于点 C．
(1)已知 AC＝3，求点Ｂ的坐标； (4 分)
(2)若 AC＝ a , D 是 OＢ的中点．问：点 O、P、C、D 四点是否在同一圆上？请说明理由．
如果这四点在同一圆上，记这个圆的圆心为 1O ，函数
x
ky 的图象经过点 1O ，求
k 的值(用含 a 的代数式表示)． (4 分)
χ
y
备用图
χ
y
【答案】解：(1)解法一：连接 OC，∵OA 是⊙P 的直径，∴OC⊥AB，
在 Rt△AOC 中， 492522 ACOAOC
在 Rt△AOC 和 Rt△ABO 中，∵∠CAO＝∠OAB
∴Rt△AOC∽Rt△ABO，·
∴
OB
AO
CO
AC ，即
OB
5
4
3 ，
∴
3
20OB ， ∴ )3
20,0(B
解法二：连接 OC，因为 OA 是⊙P 的直径， ∴∠ACO＝90°
在 Rt△AOC 中，AO＝5，AC＝3，∴OC＝4，
过 C 作 CE⊥OA 于点 E，则： OCCACEOA
2
1
2
1 ，
即： 432
152
1 CE ，∴
5
12CE ，
∴
5
16)5
12(4 2222 CEOCOE ∴ )5
12,5
16(C ，
设经过 A、C 两点的直线解析式为： bkxy ．
把点 A(5，0)、 )5
12,5
16(C 代入上式得：
5
12
5
16
05
bk
bk
， 解得：
3
20
3
4
b
k
，
∴
3
20
3
4 xy ， ∴点 )3
20,(OB ．
(2)点 O、P、C、D 四点在同一个圆上，理由如下：
连接 CP、CD、DP，∵OC⊥AB，D 为 OB 上的中点，
∴ ODOBCD
2
1 ，
∴∠3＝∠4，又∵OP＝CP，∴∠1＝∠2，∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，
∴PC ⊥CD，又∵DO⊥OP，∴Rt△PDO 和 Rt△PDC 是同以 PD 为斜边的直角三角形，∴
PD 上的中点到点 O、P、C、D 四点的距离相等，
∴点 O、P、C、D 在以 DP 为直径的同一个圆上；
由上可知，经过点 O、P、C、D 的圆心 1O 是 DP 的中点，圆心 )2,2(1
ODOPO ，
由(1)知：Rt△AOC∽Rt△ABO，∴
AB
OA
OA
AC ，求得：AB＝
a
25 ，在 Rt△ABO 中，
a
aOAABOB
2
22 255 ，OD＝
a
aOB 2
255
2
1 2 ，
2
5
2
OAOP
∴ )4
255,4
5(
2
1 a
aO ，点 1O 在函数
x
ky 的图象上，
∴
5
4
4
255 2 k
a
a ， ∴
a
ak 16
2525 2 ．
21. （2011 广东肇庆，24，10 分）已知：如图，ABC 内接于⊙O，AB 为直径，∠CBA 的平
分线交 AC 于点 F，交
⊙O 于点 D，DE⊥AB 于点 E，且交 AC 于点 P，连结 AD．
（1）求证：∠DAC ＝∠DBA；
（2）求证： P 是线段 AF 的中点；
（3）若⊙O 的半径为 5，AF ＝
2
15 ，求 tan∠ABF 的值．
A B
C
D
E O
F
P
【答案】(1）∵BD 平分∠CBA，∴∠CBD＝∠DBA
∵∠DAC 与∠CBD 都是弧 CD 所对的圆周角，∴ ∠DAC＝∠CBD
∴ ∠DAC ＝∠DBA
(2）∵AB 为直径，∴∠ADB＝90°
又∵DE⊥AB 于点 E，∴∠DEB＝90° ∴∠ADE +∠EDB＝∠ABD +∠EDB＝90°
∴∠ADE＝∠ABD＝∠DAP
∴PD＝PA
又∵∠DFA +∠DAC＝∠ADE +∠PD F＝90°且∠ADE＝∠DAC
∴∠PDF＝∠PFD
∴PD＝PF ∴PA＝ PF 即 P 是线段 AF 的中点
(3）∵∠DAF ＝∠DBA，∠ADB＝∠FDA＝90°∴△FDA ∽△ADB
∴
AB
AF
DB
AD
∴在 Rt△ABD 中，tan∠ABD＝
4
3
10
2
15
AB
AF
DB
AD ，即 tan∠ABF＝
4
3
22. （2011 内蒙古乌兰察布，21，10 分）
如图，在 Rt△ABC 中,∠ACB＝90°，D 是 AB 边上的一点，以 BD 为直径的 ⊙0 与边 AC 相
切于点 E，连结 DE 并延长，与 BC 的延长线交于点 F .
( 1 ）求证： BD = BF ;
( 2 ）若 BC = 12 , AD = 8 ，求 BF 的长．
【答案】⑴连结 OE，
则 OE⊥AC,
所以∠AEO=90°，
∠AED=∠CEF,
∠ACB＝90°
∠CEF+∠F＝90°
∠AED +∠OED＝90°
∠OED=∠F
又因为 OD=OE
所以∠OED=∠ODE
∠ODE=∠F
BD=BF
⑵Rt△ABC 和 Rt△AOE 中，∠A 是公共角
所以 Rt△ABC ∽Rt△AOE
OE AO
BC AB
，设⊙0 的半径是 r，则有 8
12 8 2
r r
r
求出 r=8,所以 BF=BD=16
23. （2011 湖北鄂州，22，8 分）在圆内接四边形 ABCD 中，CD 为∠BCA 外角的平分线，F
为弧 AD 上一点，BC=AF，延长 DF 与 BA 的延长线交于 E．
⑴求证△ABD 为等腰三角形．
⑵求证 AC•AF=DF•FE
第 22 题图
B A
F
E
D
C
M
【答案】⑴由圆的性质知∠MCD=∠DAB、∠DCA=∠DBA，而∠MCD=∠DCA，所以∠DBA=
∠DAB，故△ABD 为等腰三角形．
⑵∵∠DBA=∠DAB
∴弧 AD=弧 BD
又∵BC=AF
∴弧 BC=弧 AF、∠CDB=∠FDA
∴弧 CD=弧 DF
∴CD=DF
再由“圆的内接四边形外角等于它的内对角”知
∠AFE=∠DBA=∠DCA①，∠FAE=∠BDE
∴∠CDA=∠CDB＋∠BDA=∠FDA＋∠BDA=∠BDE=∠FAE② 由①②得△DCA∽△FAE
∴AC：FE=CD：AF
∴AC•AF= CD •FE
而 CD=DF，
∴AC•AF=DF•FE
24. （2010 湖北孝感，23，10 分）如图，等边△ABC 内接于⊙O，P 是 AB 上任一点（点 P
不与点 A、B 重合）.连 AP、BP，过点 C 作 CM∥BP 交 PA 的延长线于点 M.
（1）填空：∠APC＝ 度，∠BPC＝ 度；（2 分）
（2）求证：△ACM∽△BCP；（4 分）
（3）若 PA=1，PB=2，求梯形 PBCM 的面积. （4 分）
【答案】解：（1）60,60；
（2）∵CM∥BP，∴∠BPM+∠M=180°，∠PCM=∠BPC=60.
∴∠M=180°－∠BPM=180－（∠APC+∠BPC）=180°－120°=60°.
∴∠M=∠BPC=60°.
（3）∵ACM≌BCP，∴CM=CP，AM=BP.
又∠M=60°，∴△PCM 为等边三角形.
∴CM=CP=PM=1+2=3.
作 PH⊥CM 于 H.
在 Rt
△
PMH 中，∠MPH=30°.
∴PH= 3 32 .
∴S 梯形 PBCM= 1 1 3 15( ) (2 3) 3 32 2 2 4PB CM PH .
25. （2011 湖北宜昌，21，8 分）如图 D 是△ABC 的边 BC 的中点，过 AD 延长线上的点 E
作 AD 的垂线 EF，E 为垂足，EF 与 AB 的延长线相交于点 F，点 0 在 AD 上，AO = CO，BC//EF.
(1)证明:AB=AC；
(2)证明:点 0 是 AABC 的外接圆的圆心；
(3)当 AB=5,BC=6 时，连接 BE 若∠ABE=90°，求 AE 的长.
（第 21 题图）
【答案】解:(1)∵AE⊥EF， EF∥BC，∴AD⊥BC．(1 分)在△ABD 和△ACD 中，∵BD＝CD，
∠ADB＝∠ADC，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD．(或者：又∵BD＝CD，∴AE 是 BC 的中垂线．)
(2 分)∴AB＝AC． (3 分)
(2)连 BO，∵AD 是 BC 的中垂线，∴BO＝CO．(或者：证全等也可得到 BO＝CO．)又 AO
＝CO，∴AO＝BO＝CO．(4 分)∴点 O 是△ABC 外接圆的圆心． (5 分)
（3）解法 1：∵∠ABE＝∠ADB=90°，∴∠ABD+∠BAD=∠AEB+∠BAE=90°，∴∠ABD=∠
AEB． 又∵∠BAD=∠EAB，∴△ABD∽△AEB．∴
AB
AD
AE
AB （ 6 分 ） 在 Rt△ ABD 中 ，
∵ AB=5，BD=1，2BC=3，∴ AD=4．（ 7 分 ）∴ AE=
4
25 (8 分 )解 法 2：∵ AO＝ BO，∴
∠ ABO＝ ∠ BAO．∵ ∠ ABE＝ 90°，∴ ∠ ABO＋ ∠ OBE＝ ∠ BAO＋ ∠ AEB＝ 90°．∴
∠ OBE＝ ∠ OEB， ∴ OB＝ OE． (6 分 )在 Rt△ ABD 中 ， ∵ AB=5， BD=1， 2BC=3，
∴ AD=4． 设 OB＝ x， 则 OD＝ 4－ x， 由 32+（ 4-x) 2 =x 2 ,解 得 x=
8
25 (7 分 )∴ AE
＝ 2OB＝
4
25
一、选择题
1．（2010 安徽省中中考） 如图，⊙O 过点 B 、C。圆心 O 在等腰直角△ABC 的内部，∠BAC
＝90 0，OA＝1，BC＝6，则⊙O 的半径为………………（ ）
A） 10 B） 32 C） 23 D） 13
【答案】C
2．（2010 安徽蚌埠二中）以半圆的一条弦 BC （非直径）为对称轴将弧 BC 折叠后
与直径 AB 交于点 D ，若
3
2
DB
AD ，且 10AB ，则CB 的
长为
A． 54 B． 34 C． 24 D．4
【答案】A
3．（2010 安徽芜湖）如图所示，在圆⊙O 内有折线 OABC，其中 OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B
＝60°，则 BC 的长为（）
A．19 B．16 C．18 D．20
【答案】D
4．（2010 甘肃兰州） 有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角
形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有
A．4 个 B．3 个 C． 2 个 D． 1 个
【答案】B
5．（2010 甘肃兰州） 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点 C 在半圆上．点
A、B 的读数分别为 86°、30°，则∠ACB 的大小为
A．15 B．28 C．29 D．34
【答案】B
6．（2010 江苏南通） 如图，⊙O 的直径 AB=4，点 C 在⊙O 上，∠ABC=30°，则 AC 的长是
A．1 B． 2
C． 3 D．2
【答案】D
7．（2010 山东烟台）如图，△ ABC 内接于⊙O，D 为线段 AB 的中点，延长 OD 交⊙O 于点
E，连接 AE，BE，则下列五个结论①AB⊥DE,②AE=BE,③OD=DE,④∠AEO=∠C,⑤ ,
正确结论的个数是
A、2 B、3 C、4 D、5
【答案】B
8．（2010 台湾）如图(二)， AB 为圆 O 的直径，C、D 两点均在圆上，其中 OD 与 AC 交于
E 点，且 OD AC 。若 OE =4， ED =2，则 BC 长度为何？
(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9 。
A
B
C
D
E
O
图(二)
【答案】C
9．（2010 浙江嘉兴）如图，A、B、C 是⊙O 上的三点，已知 60O ，则 C （ ▲ ）
（A） 20 （B） 25
（C） 30 （D） 45
【答案】C
10．（2010 浙江台州市）如图，⊙O 的直径 CD⊥AB，∠AOC=50°，则∠CDB 大小为 (▲)
O
A B
C
（第 4 题）
（第 5 题）
A B
O
C
D
A．25° B．30° C．40° D．50°
【答案】A
11．（2010 重庆）如图，△ ABC 是⊙O 的内接三角形，若 70ABC ，
则 AOC 的度数等于（ ）
6 题图
A
O
C
B
A．140 B．130 C．120 D．110
【答案】A
12．（2010 重庆市潼南县）如图，已知 AB 为⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上,∠C=15°,
则∠BOC 的度数为（ ）
A．15° B. 30° C. 45° D．60°
A
B C
O
题图4
【答案】B
13．（2010 福建德化）如图，点 B、C 在⊙O 上，且 BO=BC，则圆周角 BAC 等于（ ）
A． 60 B．50 C． 40 D． 30
O
C
B
A
【答案】D
14．（2010 福建晋江）如图， A 、 B 、 C 是⊙ O 上的三点，且 A 是优弧BAC 上与点 B 、
点C 不同的一点，若 BOC 是直角三角形，则 BAC 必是( ) .
A
O
BC
第 6 题图
A.等腰三角形 B.锐角三角形
C.有一个角是 30 的三角形 D.有一个角是 45 的三角形
【答案】D
15．（2010 浙江金华）如图，
△
ABC 内接于⊙O，∠A=40°，则∠BOC 的度数为（ ▲ ）
A
CB
O
A. 20° B. 40° C. 60° D. 80°
【答案】D
16．（2010 四川宜宾）若⊙O 的半径为 4cm，点 A 到圆心 O 的距离为 3cm，那么点 A 与⊙O
的位置关系是( )
A．点 A 在圆内 B．点 A 在圆上 c．点 A 在圆外 D．不能确定
【答案】A
17．（2010 浙江绍兴）已知⊙O 的半径为 5,弦 AB 的弦心距为 3,则 AB 的长是( )
A.3 B.4 C.6 D.8
【答案】D
18．（2010 湖南衡阳）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，
则 3 的度数等于（ ）
A．50° B．30° C．20° D．15°
1
2
3
【答案】C
19．（2010 湖南衡阳）如图，已知⊙O 的两条弦 AC，BD 相交于点 E，∠A=70o，∠c=50o，
那么 sin∠AEB 的值为( )
A.
2
1 B.
3
3 C.
2
2 D.
2
3
【答案】D
20．（2010 河北）如图 3，在 5×5 正方形网格中，一条圆弧经过 A，B，C 三点，
那么这条圆弧所在圆的圆心是
M
RQ
图 3
A B
C
P
A．点 P B．点 Q C．点 R D．点 M
【答案】B
21．（2010 山东省德州）已知三角形的三边长分别为 3,4,5，则它的边与半径为 1 的圆的
公共点个数所有可能的情况是
(A)0，1，2，3 (B)0，1，2，4 (C)0，1，2，3，4 (D)0，1，2，4，5
【答案】C
22．（2010 福建宁德）如图，在⊙O 中，∠ACB＝34°，则∠AOB 的度数是（ ）．
第 5 题图
A
O
C
B
A.17° B.34° C.56° D.68°
【答案】D
23．（2010 年贵州毕节）如图,两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为 16cm2,
则该半圆的半径为（ ）
D C
B
A
O
A. (4 5) cm B. 9 cm C. 4 5 cm D. 6 2 cm
【答案】C.
24．（2010 湖北武汉）如图，的直径 AB 长为 10，弦 AC 长为 6，∠ACB 的平分线交⊙O 于 D，
则 CD 的长为（ ）
A、7 B、 7 2 C、8 2 D、9
【答案】B
25．（2010 浙江湖州）如图，已知⊙O 的直径 AB⊥弦 CD 于点 E，下列结论中一定正确的是
（ ）
A．AE＝OE B．CE＝DE C．OE＝ 1
2
CE D．∠AOC＝60°
．
【答案】B．
26．（2010 湖北荆门）如图，MN 是半径为 1 的⊙O 的直径，点 A 在⊙O 上，
∠AMN=30°，B 为 AN 弧的中点，点 P 是直径 MN 上一个动点，则 PA+PB 的最小值为
A．2 2 B． 2 C．1 D．2
N
M
B
A
第10题图
P
O
【答案】B
27．（2010 山东潍坊）如图，AB 是⊙O 的弦，半径 OC⊥AB 于 D 点，且 AB＝6cm，OD
＝4cm，则 DC 的长为（ ）．
A．5cm B．2．5cm C．2cm D．1cm
【答案】D
28．（2010 湖南郴州）如图， AB 是 O 的直径，CD 为弦，CD AB⊥ 于 E ，
则下列结论中不成立．．．的是
第 7 题
Ａ． A D Ｂ．CE DE
Ｃ． 90ACB Ｄ． CE BD
【答案】 D
29．（2010 湖北荆州）△ABC 中，∠A=30°，∠C=90°，作△ABC 的外接圆．如图，若 弧 A
B 的长为 12cm，那么弧 AC 的长是
A．10cm B．9cm C．8cm D．6cm
【答案】C
30．（2010 湖北鄂州）如图，已知 AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，连结 AC，过点 C
作直线 CD⊥AB 交 AB 于点Ｄ，Ｅ是 OＢ上的一点，直线 CE 与⊙O 交于点 F，连结 AF 交直线
CD 于点 G，AC= 22 ,则 AG·AF 是
Ａ．10 Ｂ．12 Ｃ．16 Ｄ．8
【答案】D
图2
E
D
C
B
A
o
31（2010 云南红河哈尼族彝族自治州）如图 2，已知 BD 是⊙O 的直径，⊙O 的弦 AC⊥BD
于点 E，若∠AOD=60°，则∠DBC 的度数为
A.30° B.40°
C.50° D.60°
【答案】A
32. （2010 四川乐山）如图，一圆弧过方格的格点 A、B、 C，试在方格中
建立平面直角坐标系，使点 A 的坐标为（－2，4），则该圆弧 所在圆的圆心
坐标是（ ）
A. （－1，2）B. （1，－1）C. （－1，1）D. （2，1）
A C
B
【答案】C
33. （2010 黑龙江哈尔滨）如图，AB 是⊙O 的弦，半径 OA=2， 120AOB ，则弦 AB
的长是 （ ）
（A） 22 （B） 32 （C） 5 （D）． 23
【答案】B
34. （2010 陕西西安）如图，点 A、B、P 在⊙O 上，且∠APB=50°若点 M 是⊙O 上的动
点，要使△ABM 为等腰三角形，则所有符合条件的点 M 有
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】D
35. （2010 福建三明）如图，在平面直角坐标系中，点 P 在第一象限，⊙P 与 x 轴相切于
点 Q，与 y 轴交于 M（0，2）， N（0，8）两点，则点 P 的坐标是 （ ）
A．（5，3） B．（3，5）
C．（5，4） D．（4，5）
【答案】D
36. （2010 湖北襄樊）已知⊙O 的半径为 13cm，弦 AB//CD，AB=24cm，CD=10cm，则 AB、
CD 之间的距离为（ ）
A．17cm B．7 cm C．12 cm D．17 cm 或 7 cm
M
O
B
O
B
A
D
C
A
D
C
N
N
M
图(1) 图(2)
【答案】D
37. （2010 四川绵阳）如图，等腰梯形 ABCD 内接于半圆 D，且 AB = 1，BC = 2，则 OA
=（ ）．
A．
2
31 B． 2 C．
3
23 D．
2
51
CB
A O D
【答案】A
38．（2010 贵州贵阳）如图 1，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，若 AC=8，
AB=10，OD⊥BC 于点 D，则 BD 的长为
（A）1.5 （B）3 （C）5 （D）6
(图 1)
【答案】B
39．（2010 湖北十堰）下列命题中，正确命题的序号是（ ）
①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
②一组邻边相等的平行四边形是正方形
③对角线相等的四边形是矩形
④对角互补的四边形内接于圆
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【答案】D
40．（2010 重庆江津）已知：点A、B、P为⊙O上的点，若∠PBO=15º,
且PA∥OB，则∠AOB=（ ）
A． 15º B． 20º C． 30º D． 45º
【答案】C
41．（2010 青海西宁）如图，在半径为 5 的⊙O 中，若弦 AB=8，则△AOB 的面积为
A. 24 B. 16 C. 12 D.8
【答案】C
42．如图，锐角△ABC 的顶点 A、B、C 均在⊙O 上，∠OAC=20°，则∠B 的度数为
A．40° B．60° C．70° D．80°
【答案】C
43．（2010 新疆维吾尔自治区新疆建设兵团）如右图，王大爷家屋后有一块长 12m，宽 8m
的矩形空地，他在以 BC 为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴在 A 处，为了不让羊
吃到菜，拴羊的绳子可以选用（ ）
A. 3m B.5m C.7m D. 9m
【答案】A
44．（2010 新疆乌鲁木齐）如图 2，在平面直角坐标系中，点 A、B、C 的坐标分别为
（1，4），（5，4），（1，-2），则 ABC 外接圆的圆心坐标是
A．（2，3） B．（3，2）
C．（1，3） D．（3，1）
【答案】D
45．（2010 广西梧州）如图 6，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，则下列结论一定正确
的个数有①CE=DE；②BE=OE；③ CB⌒= BD⌒；④∠CAB=∠DAB；⑤AC=AD。（ ）
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
图 6
B
C DE
O
A
·
【答案】A
46．（2010 广东佛山）如图，直线与两个同心圆分别交于图示的各点，则正确的是
A．MP 与 RN 的大小关系不定 B.MP=RN
C.MP＜RN D.MP＞RN
【答案】B
47．（2010 天门、潜江、仙桃）如图，半圆 O 的直径 AB=7，两弦 AB、CD 相交于点 E，弦
CD=
2
7 ，且 BD=5，则 DE 等于( )
A. 22 B. 24 C.
3
5 D.
2
5
．
【答案】C.
48．（2010 贵州铜仁）如图，MN 为⊙O 的弦，∠M＝30°，则∠MON 等于（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
【答案】D
49．（2010 黑龙江绥化）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，若⊙O 的半径为
6，sinB= 1
3
，则线段 AC 的长是（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】B
50．（2010 广东湛江）如图，已知圆心角∠BOC＝100°，则圆周角∠BAC 的大小是（ ）
A. 50° B. 100° C.130 ° D. 200°
【答案】A
51．（2010 广东清远）下列各图中，∠1=∠2 的是（ ）
【答案】D
52．（2010 内蒙呼和浩特）如图，⊙O 的直径 CD＝10cm，AB 是⊙O 的弦，AB CD，垂足为 M，
OM：OC＝3：5，则 AB 的长为( )
C
D
O
M
B
A
A．8cm B. 91 cm C.6cm D.2cm
【答案】A
53．（2010四川攀枝花）如图２，△ABC内接于⊙O，若∠OAＢ＝２８ 0 ，则∠C的大小是（ ）
A．５６ 0
B．６２ 0
C．２８ 0
D．３２ 0
B
C
A
O
图 2 全品中考网
【答案】B
二、填空题
1．1．(2010 江苏苏州)如图，已知 A、B 两点的坐标分别为 2 3 0， 、(0，2)，P 是△AOB
外接圆上的一点，且∠AOP=45°，则点 P 的坐标为 ▲ ．
【答案】
2．（2010 安徽省中中考） 如图，△ABC 内接于⊙O，AC 是⊙O 的直径，∠ACB＝500，点 D
是 BAC 上一点，则∠D＝_______________
【答案】
3．（2010 安徽芜湖）芜湖国际动漫节期间，小明进行了富有创意的形象设计．如图 1，他
在边长为 1 的正方形 ABCD 内作等边三角形 BCE，并与正方形的对角线交于 F、G 点，
制 成 如 图 2 的 图 标 ． 则 图 标 中 阴 影 部 分 图 形 AFEGD 的 面 积 ＝
__________．
【答案】
4．（10 湖南益阳）1 如图 5，分别以 A、B 为圆心，线段 AB 的长为半径的两个圆相交于 C、D
两点，则∠CAD 的度数为 ．
【答案】120°
5．（2010 山东青岛）如图，点 A、B、C 在⊙O 上，若∠BAC = 24°，则∠BOC = °．
OA
B C
第 10 题图
·
【答案】48
6．（2010 山东威海）如图，AB 为⊙O 的直径，点 C，D 在⊙O 上．若
∠AOD＝30°，则∠BCD 的度数是 ．
﹙第 14 题图﹚
A B
D
O
C
【答案】105°
7．（2010 四川眉山）如图，∠A 是⊙O 的圆周角，∠A=40°，则∠OBC 的度数为_______．
【答案】50°
8．（2010 重庆綦江县）如图所示，A、B、C、D 是圆上的点，∠1＝68°，∠A＝40°．则∠D
＝_______．
【答案】28°
9．（2010 浙江绍兴）如图,⊙O 是正三角形 ABC 的外接圆,点 P 在劣弧 AB 上,
ABP =22°,则 BCP 的度数为_____________.
第 12 题图
【答案】38°
10．（2010 浙江衢州） 如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，点 D 是 BC 的中点，
已知∠AOB=98°，∠COB=120°．则∠ABD 的度数是 ．
A
B
C
D
O
(第 16 题)
【答案】101°
11．（2010 江苏泰州）如图⊙O 的半径为 1cm，弦 AB、CD 的长度分别为 2 ,1cm cm ，则弦
AC、BD 所夹的锐角 ＝ ．
【答案】75°
12．（2010 江苏无锡）如图，AB 是 O 的直径，点 D 在 O 上∠AOD=130°，BC∥OD 交 O
于 C，则∠A= ▲ ．
（第 15 题）
【答案】40°
13．（2010 湖南邵阳）如图（八）在等边△ABC 中，以 AB 为直径的⊙O 与 BC 相交于点 D，
连结 AD，则∠DAC 的度数为 ．
A
B
D
C
图（八）
【答案】）30°
14．（2010 江苏连云港）如图，点 A、B、C 在⊙O 上，AB∥CD，∠B＝22°，则∠A＝________°．
A
B
O·
C 第 16 题
【答案】44
15．（2010 黄冈）如图，⊙O 中，
MAN 的度数为 320°，则圆周角∠MAN＝____________.
第 4 题图
【答案】20°
16．（2010 福建宁德）如图，在直径 AB＝12 的⊙O 中，弦 CD⊥AB 于 M，且 M 是半径 OB
的中点，
则弦 CD 的长是_______（结果保留根号）.
·
A
B
C D
O
M
第 17 题图
【答案】6 3
17．（2010 江西）如图，以点 P 为圆心的圆弧与 X 轴交于 A，B；两点，点 P 的坐标为（4，2）
点 A 的坐标为（2，0）则点 B 的坐标为 ．
（15 题）
【答案】 )0,6(
18．（2010 年贵州毕节）如图，AB 为⊙O 的弦，⊙O 的半径为 5，OC⊥AB 于点 D，交⊙O
于点 C，且 CD＝l，则弦 AB 的长是 ．
【答案】6．
19．（2010 四川巴中）如图 7 所示，⊙O 的两弦 AB、CD 交于点 P，连接 AC、BD，
得 S△ACP：S△DBP=16:9，则 AC：BD
【答案】4：3。
20．（2010 浙江湖州）请你在如图所示的 12×12 的网格图形中任意画一个圆，则所画的圆最
多能经过 169 个格点中的 个格点．
【答案】12．
21．（2010 江苏常州）如图，AB 是⊙O 的直径，弦 DC 与 AB 相交于点 E，若∠ACD=60°，
∠ADC=50°，则
∠ABD= ，∠CEB= 。
【答案】60°，100°
22．（2010 江苏淮安）如图，已知点 A，B，C 在⊙O 上，AC∥0B，∠BOC=40°，则∠ABO= ．
【答案】20°
23．（2010 湖北荆门）在⊙O 中直径为 4，弦 AB=2 3 ，点 C 是圆上不同于 A、B 的点，那
么∠ACB 的度数为________．
【答案】60°或 120°
24．（2010 四川成都）如图，在 ABC 中， AB 为⊙O 的直径， 60 , 70B C ，
则 BOD 的度数是_____________度．
【答案】100
25．（2010 四川成都）如图， ABC 内接于⊙O， 90 ,B AB BC ，D 是⊙O 上与
点 B 关于圆心O 成中心对称的点，P 是 BC 边上一点，连结 AD DC AP、 、 ．已知 8AB ，
2CP ，Q 是线段 AP 上一动点，连结 BQ 并延长交四边形 ABCD 的一边于点 R ，且满足
AP BR ，则
BQ
QR
的值为_______________．
【答案】1 和12
13
26．（2010 湖北鄂州）已知⊙O 的半径为 10，弦 AB 的长为10 3 ，点 C 在⊙O 上，且 C 点
到弦 AB 所在的直线的距离为 5，则以 O、A、B、C 为顶点的四边形的面积是 ．
【答案】50 3
27．（2010 江苏扬州）如图，AB 为⊙O 直径，点 C、D 在⊙O 上，已知∠BOC＝70°，AD∥OC，
则∠AOD＝__________．
A B
CD
O
第 15 题
【答案】40
28．（2010 北京）如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CD⊥ AB，垂足为点 E，连结 OC，若 OC＝5，
CD＝8，则 AE＝ ．
【答案】2
29．（2010 湖北随州）如图，⊙O 中，
MAN 的度数为 320°，则圆周角∠MAN＝____________.
第 4 题图
【答案】20°
30．（2010 江苏徐州）如图，在以 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 与小圆相切于点 C，
若大圆的半径为 5 cm，小圆的半径为 3 cm，则弦 AB 的长为_______cm．
【答案】8
31．（2010 云南昆明）半径为 r 的圆内接正三角形的边长为 .（结果可保留
根号）
【答案】 3 r
32．（2010 陕西西安）如图是一条水平铺设的直径为 2 米的通水管道横截面，其水面宽
为 1.6 米，则这条管道中此时最深为 米。
【答案】0.4
33．（2010 江西省南昌）如图.⊙O 中，AB、AC 是弦，O 在∠ABO 的内部， ABO ，
ACO ，
BOC ，则下列关系中，正确的是 （ ）
A. B. 22
C． 180 D. 360
【答案】
34．（2010 福建三明）如图，在⊙O 中，∠ACB=35°，则∠AOB= 度。
【答案】10
35．（2010 山东东营）将一直径为 17cm 的圆形纸片（图①）剪成如图②所示形状的纸片，
再将纸片沿虚线折叠得到正方体（图③）形状的纸盒，则这样的纸盒体积最大为
cm3．
（第 16 题图）
① ② ③
【答案】 1717
36．（2010 江苏镇江）如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为 E，若 AB=10，CD=8，
则线段 OE 的长为 .
【答案】3
37．（2010 山东淄博）如图，在直角坐标系中，以坐标原点为圆心、半径为 1 的⊙O
与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于 C，D 两点．E 为⊙O 上在第一象限的某一点，直线 BF
交⊙O 于点 F，且∠ABF＝∠AEC，则直线 BF 对应的函数表达式为 ．
E
BOA
y
x
(第 17 题)
C
D
【答案】 1 xy ， 1 xy
38．（2010 云南玉溪） 如图 6，在半径为 10 的⊙O 中，OC 垂直弦 AB 于点 D，
AB＝16，则 CD 的长是 ．
【答案】4
39．（2010 天津）如图，⊙O 中，弦 AB 、 CD 相交于点 P ， 若 30A ， 70APD ，
则 B 等于
（A）30
（B） 35
（C） 40
（D） 50
第（7）题
B
C
A D
P O
【答案】C
40．（2010 广西钦州市）如图，点 C 在⊙O 上，∠ACB＝50°，则∠AOB＝_▲_°．
B
C
A
O
【答案】100°
41．（2010 吉林长春）如图，⊙P 与 x 轴切与点 O，点 P 的坐标为（0,1），点 A 在⊙P 上，且
在第一象限，∠APO=120°，⊙P 沿 x 轴正方向滚动，当点 A 第一次落在 x 轴上时，点 A 的
横坐标为
（结果保留π）。
【答案】 2
3 x
42．（2010 新疆乌鲁木齐）如图 4，AB 是⊙O 的直径，C、D 为⊙O 上的两点，若 35CDB °，
则 ABC 的度数为 。
【答案】55°
43．（2010 广西南宁）如图 6, AB 为半圆O 的直径， ABOC ,OD 平分 BOC ，交半
圆于点 D , AD 交OC 于点 E ，则 AEO 的度数是 0
【答案】67.5
44．（2010 云南昭通）如图 5，⊙O 的弦 AB=8， M 是 AB 的中点，且 OM 为 3，则⊙O 的半
径为________．
图5
M
B
A
O
【答案】5
45．（2010 贵州遵义）如图，⊿ABC 内接于⊙O，∠C=40 ，则∠ABO= 度.
【答案】50
46．（2010 广西柳州）如图 8，AB 是⊙O 的直径，弦 BC=2cm，F 是弦 BC 的
中点，∠ABC=60°．若动点 E 以 2cm/s 的速度从 A 点
出发沿着 A→B→A 方向运动，设运动时间为 t(s)(0≤t＜3)，
连结 EF，当 t 值为________s 时，△BEF 是直角三角形．
F
E OA
C
B
【答案】1 或 1.75 或 2.25
47．（2010 辽宁本溪）如图所示，△ABC 内接于⊙O，∠A=40°，则∠OBC 的度数
是 .
A C
B
O
【答案】50°
48．（2010 福建南平）如图，△ABC 是⊙O 的内接等边三角形，则∠BOC=_______°.
第 14 题
A
B C
O·
答案:120
49．（2010 年福建省泉州）如图，点 A 、 B 、C 在⊙O 上， 45A ，则 BOC
.
【答案】90°
50．（2010 广东肇庆）如图 2，点 A、B、C 都在⊙O 上，若∠C＝35°，则∠AOB 的度数是
______度．
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【答案】70°
51．（2010 四川广安）如右图，在⊙O 中，点 C 是弧 AB 的中点，∠A=50°，则∠BOC 等于
度．
【答案】40°
52．（2010 吉林）如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，∠ABC=500，动点 P 在弦 BC 上，
则∠PAB 可能为________度（写出一个．．符合条件的度数即可）。
【答案】
53．（2010 四川达州）如图 6，一个宽为 2 cm 的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻
度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的
读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），那么该光盘的
直径是 cm.
图 6
【答案】10
54．（2010 湖南娄底）如图 7 在半径为 R 的⊙O 中，弦 AB 的长与半径 R 相等，C 是优弧 AB⌒
上一点，则∠ACB 的度数是_______.
图 7
A B
C
O·
【答案】30°
55．（2010 内蒙赤峰）如图，AB 是⊙O 的一条弦，OD⊥AB，垂足为 C，交
⊙O 于一点 D，点 E 在⊙O 上，∠AED=25°，则∠OBA
的度数是___________．
【答案】40o
56．（2010 湖北黄石）如图，⊙O 中，OA⊥BC,∠AOB＝60°,则 sin∠ADC＝ .
【答案】
三、解答题
1．（2010 甘肃兰州）（本题满分 6 分）小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树 A、
B、C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．
（1）（本小题满分 4 分）请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留
作图痕迹）．
（2）（本小题满分 2 分））若△ABC 中 AB=8 米，AC=6 米，∠BAC= 90 ，试求小明家圆形
花坛的面积．
【答案】(1)（本小题满分 4 分）
用尺规作出两边的垂直平分线
作出圆 ⊙O 即为所求做的花园的位置.（图略）
（2）（本小题满分 2 分）
解：∵∠BAC= 90 ,AB=8 米,AC=6 米, ∴BC=10 米
∴ △ABC 外接圆的半径为 5 米 ∴小明家圆形花坛的面积为 25 平方米 .
2．（2010 江苏南通）（本小题满分 8 分）
如图，⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD，垂足 P 是 OB 的中点，
CD＝6 cm，求直径 AB 的长．
O
B
A
D C
·
P
（第 20 题）
【答案】方法一：连结 OC，BC，则 OC=OB
∵PC 垂直平分 OB，∴OC=BC.∴OC=OB=BC.∴△BOC 为等边三角形.
∴∠BOC=60° 由垂径定理，CP= 1
2
CD=3cm
在 Rt△BOC 中， CP
OP =tan∠COP= 3 ∴OP= 3 cm.
∴AB=2OB=4OP=4 3 cm.
方法二：
解：连 OC，设 OP 为 x ，则 OC 为 2 x ，直径 AB 为 4 x ，
在 Rt△COP 中， 222 PCOPOC
即 222 32 xx ，解得 3x
所以直径 AB 为 34 cm.
3．（2010 山东济宁）如图，AD 为 ABC 外接圆的直径，AD BC ，垂足为点 F ， ABC
的平分线交 AD 于点 E ，连接 BD ， CD .
(1) 求证： BD CD ；
(2) 请判断 B ， E ，C 三点是否在以 D 为圆心，以 DB 为半径的圆上？并说明理由.
A
B C
E
F
D
(第 20 题)
【答案】
（1）证明：∵ AD 为直径， AD BC ，
∴ BD CD .∴ BD CD . ························································· 3 分
（2）答： B ， E ，C 三点在以 D 为圆心，以 DB 为半径的圆上. ························ 4 分
理由：由（1）知： BD CD ，∴ BAD CBD .
∵ DBE CBD CBE ， DEB BAD ABE ， CBE ABE ，
∴ DBE DEB .∴ DB DE .·························································· 6 分
由（1）知： BD CD .∴ DB DE DC .
∴ B ， E ，C 三点在以 D 为圆心，以 DB 为半径的圆上. ····························7 分
4．（2010 浙江嘉兴）如图，已知⊙O 的半径为 1，PQ 是⊙O 的直径，n 个相同的正三角形
沿 PQ 排成一列，所有正三角形都关于 PQ 对称，其中第一个 111 CBA△ 的顶点 1A 与点 P
重合，第二个 222 CBA△ 的顶点 2A 是 11CB 与 PQ 的交点，…，最后一个 nnn CBA△ 的顶
点 nB 、 nC 在圆上．
（1）如图 1，当 1n 时，求正三角形的边长 1a ；
（2）如图 2，当 2n 时，求正三角形的边长 2a ；
（3）如题图，求正三角形的边长 na （用含 n 的代数式表示）．
【答案】
（1）设 PQ 与 11CB 交于点 D，连结 1OB ，
Q
)( 1AP
1B 1C
（第23题 图1）
O
D
则 12
3
111 aOADAOD ，
在 DOB1Rt△ 中， 22
1
2
1 ODDBOB ，
Q
)( 1AP
1B 1C
（第23题 图1）
Q
)( 1AP
1B 1C
2A
2B 2C
（第23题 图2）
)( 1AP
Q
1B 1C
nA
nB nC
（第 23 题）
2B 2C
2A
即 2
1
2
1
2 )12
3()2
1(1 aa ，
解得 31 a ． …4 分
（2）设 PQ 与 22CB 交于点 E，连结 2OB ，
则 132 2121 aOAAAOE ，
在 EOB2Rt△ 中 22
2
2
2 OEEBOB ，
即 2
2
2
2
2 )13()2
1(1 aa ，
解得
13
38
2 a ． …4 分
（3）设 PQ 与 nnCB 交于点 F，连结 nOB ，
则 12
3 nnaOF ，
在 FOBn△Rt 中 222 OFFBOB nn ，
即 222 )12
3()2
1(1 nn naa ，
解得
13
34
2
n
nan ． …4 分
5．（2010 嵊州市）（10 分）
（1）请在图①的正方形 ABCD 内，画出使∠APB＝90°的一个点 P，并说明理由。
（2）请在图②的正方形 ABCD 内（含边），画出使∠APB＝60°的所有的点 P，并说明理由。
（3）如图③，现在一块矩形钢板 ABCD，AB＝4，BC＝3，工人师傅想用它裁出两块全等的、
面积最大的△APB 和△CP ' D 钢板，且∠APB＝∠CP ' D＝60°，请你在图③中画出符合要
求的点 P 和 P ' 。
图① 图② 图③
【答案】(1)如图①，点 P 为所求
（2）如图②，圆上实线部分弧 EF 为所求②③
Q
)( 1AP
1B 1C
2A
2B 2C
（第23题 图2）
O
E
O
F
)( 1AP
Q
1B 1C
nA
nB nC
（第 23 题）
2B 2C
2A
O
F
（3）如图③，点 p 、 'p 为所求
6．（2010 浙江金华）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是 的中点，CE⊥AB 于 E，BD 交 CE 于
点 F．
（1）求证：CF﹦BF；
（2）若 CD ﹦6， AC ﹦8，则⊙O 的半径为 ▲ ，
CE 的长是 ▲ ．
【答案】解：(1) 证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB﹦90°
又∵CE⊥AB， ∴∠CEB﹦90°
∴∠2﹦90°－∠A﹦∠1
又∵C 是弧 BD 的中点，∴∠1﹦∠A
∴∠1﹦∠2,
∴ CF﹦BF﹒
A
C
B
D
E
F
O
1
2
(2) ⊙O 的半径为 5 ， CE 的长是
5
24
7．（2010 四川南充）如图，△ABC 内接于⊙O，AD⊥BC，OE⊥BC， OE＝ 1
2
BC．
（1）求∠BAC 的度数．
（2）将△ACD 沿 AC 折叠为△ACF，将△ABD 沿 AB 折叠为△ABG，延长 FC 和 GB 相交于点 H．求
证：四边形 AFHG 是正方形．
（3）若 BD＝6，CD＝4，求 AD 的长．
A
C
B
D
E
F
O
1
2
A
F
CDE
G
H
B
O
A
F
CDE
G
H
B
O
【答案】（1）解：连结 OB 和 OC．
A
F
CDE
G
H
B
O
∵ OE⊥BC，∴ BE＝CE．
∵ OE＝ 1
2
BC，∴ ∠BOC＝90°，∴ ∠BAC＝45°．
（2）证明：∵ AD⊥BC，∴ ∠ADB＝∠ADC＝90°．
由折叠可知，AG＝AF＝AD，∠AGH＝∠AFH＝90°，
∠BAG＝∠BAD，∠CAF＝∠CAD，
∴ ∠BAG＋∠CAF＝∠BAD＋∠CAD＝∠BAC＝45°．
∴ ∠GAF＝∠BAG＋∠CAF＋∠BAC＝90°．
∴ 四边形 AFHG 是正方形．
（3）解：由（2）得，∠BHC＝90°，GH＝HF＝AD，GB＝BD＝6，CF＝CD＝4．
设 AD 的长为 x，则 BH＝GH－GB＝x－6，CH＝HF－CF＝x－4．
在 Rt△BCH 中，BH2＋CH2＝BC2，∴ （x－6）2＋（x－4）2＝102．
解得，x1=12，x2＝－2（不合题意，舍去）．
∴ AD＝12．
8．（2010 福建福州）如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，点 P 在⊙O 上，∠1＝∠C．
（1）求证：CB∥PD；
（2）若 BC＝3，sinP＝3
5
，求⊙O 的直径．
(第 19 题)
【答案】解：（1）证明：∵ BD BD ， ∴ ∠C＝∠P．
又∵ ∠1＝∠C， ∴ ∠1＝∠P．
∴ CB∥PD．
（2）连接 AC．
∵ AB 为 0D 的直径， ∴ ∠ACB=90°．
又∵ CD⊥AB， ∴ BC BD
∴ ∠A＝∠P， ∴ sinA＝sinP．
在 Rt△ABC 中， sinA＝BC
AB
，
∵ sinP＝3
5
， ∴ BC
AB
＝3
5
．
又∵ BC＝3， ∴ AB＝5．
即⊙O 的直径为 5．
9．（2010 邵阳）阅读下列材料，然后解答问题。
经过正四边形（即正方形）各顶点的圆叫作这个正四边形的外接圆。圆心是正四边形的
对称中心，这个正四边形叫作这个圆的内接正四边形。
如图（十三），已知正四边形 ABCD 的外接圆⊙O，⊙O 的面积为 S1，正四边形 ABCD 的
面积为 S 2 ，以圆心 O 为顶点作∠MON，使∠MON=90°，将∠MON 绕点 O 旋转，OM、
ON 分别与⊙O 相交于点 E、F，分别与正四边形 ABCD 的边相交于点 G、H。设 OE、OF、
EF 及正四边形 ABCD 的边围成的图形（图中阴影部分）的面积为 S
（1）当 OM 经过点 A 时（如图①），则 S、S1、S 2 之间的关系为：S＝ （用
含 S1、S 2 的代数式表示）；
（2）当 OM⊥AB 时（如图②），点 G 为垂足，则（1）中的结论仍然成立吗？请说明理
由。
（3）当∠MON 旋转到任意位置时（如图③，）则（1）中的结论仍然成立吗？请说明理
由．
图（十三）
【答案】解：（1） 1 2
4
S S
（2）成立。理由：连 OB，可证图中的两个阴影部分的面积之和等于图①的阴影部分的面积
（3）成立。过点 O 分别作 AB、BC 的垂线交 AB、BC 于点 P、Q，交圆于点 X、Y，可证直角三
角形 OPG 全等于直角三角形 OQH，可说明两阴影部分面积之和等于图①的阴影部分面积．
10．（2010 年上海）机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”，如图 5 所示，“海宝”
从圆心 O 出发，先沿北偏西 67.4°方向行走 13 米至点 A 处，再沿正南方向行走 14 米至
点 B 处，最后沿正东方向行走至点 C 处，点 B、C 都在圆 O 上.（1）求弦 BC 的长；（2）
第 19 题图
求圆 O 的半径长.
（本题参考数据：sin 67.4° = 12
13
，cos 67.4° = 5
13
，tan 67.4° = 12
5
）
67.4
A
C
北
南
B
O
N
S
图 5
【答案】(1)过 A 作 AH 垂直 NS 于点 H，∴∠AHO=90°, sin 67.4° = 12
13 = AH
AO ,
∵OA=13 米,∴AH=12 米,∵AB∥OS,记 BC 与 OS 交于点 D，
∴AH=BD=12 米,∵OS⊥BC 于点 D，∴BD=CD=12 米,∴BC=24 米.
（2）由（1）可得 OH=5 米，∵AB=14 米，∴HD=9 米，联接 OB，
∵∠ODB=90°,∴OB= 2 29 12 15
11．（2010 广东珠海）如图，△ABC 内接于⊙O，AB＝6,AC＝4,D 是 AB 边上一点，P 是优弧
BAC 的中点，连结 PA、PB、PC、PD.
(1)当 BD 的长度为多少时，△PAD 是以 AD 为底边的等腰三角形？并证明；
（2）若 cos∠PCB=
5
5 ，求 PA 的长.
【答案】解：（1）当 BD＝AC＝4 时，△PAD 是以 AD 为底边的等腰三角形
∵P 是优弧 BAC 的中点 ∴弧 PB＝弧 PC
∴PB＝PC
∵BD＝AC＝4 ∠PBD=∠PCA
∴△PBD≌△PCA
∴PA=PD 即△PAD 是以 AD 为底边的等腰三角形
（2）由（1）可知，当 BD＝4 时，PD＝PA，AD＝AB-BD＝6-4＝2
过点 P 作 PE⊥AD 于 E，则 AE＝
2
1 AD=1
∵∠PCB=∠PAD
∴cos∠PAD=cos∠PCB=
5
5
PA
AE
∴PA= 5
12．（2010 湖北荆门）如图，圆 O 的直径为 5，在圆 O 上位于直径 AB 的异侧有定点 C 和动
点 P，已知 BC：CA=4：3，点 P 在半圆弧 AB 上运动（不与 A、B 两点重合），过点 C 作
CP 的垂线 CD 交 PB 的延长线于 D 点．
（1）求证：AC·CD=PC·BC；
（2）当点 P 运动到 AB 弧中点时，求 CD 的长；
（3）当点 P 运动到什么位置时，△PCD 的面积最大？并求出这个最大面积 S。
第23题图
P
O
D
C
B
A
【答案】（1）由题意，AB 是⊙O 的直径；∴∠ACB=90。，∵CD⊥CP，∴∠PCD=90。
∴∠ACP+∠BCD=∠PCB+∠DCB=90。，∴∠ACP=∠DCB，又∵∠CBP=∠D+∠DCB，∠CBP=∠ABP+
∠ABC，∴∠ABC=∠APC，∴∠APC＝∠D，∴△PCA∽△DCB；∴
CD
CP
CB
CA ， 全品中考网
∴AC·CD=PC·BC
（2）当 P 运动到 AB 弧的中点时,连接 AP，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠APB=90。，又∵P
是弧 AB 的中点，∴弧 PA=弧 PB，∴AP=BP，∴∠PAB=∠PBA=45.,又 AB=5，∴PA=
2
25 ，过
A 作 AM⊥CP，垂足为 M，在 Rt△AMC 中，∠ACM=45 ，∴∠CAM=45，∴AM=CM=
2
23 ，
在 Rt△AMP 中，AM2+AP2=PM2 ，∴PM= 22 ，∴PC=PM+
2
23 =
2
27 。由（1）知：
AC·CD=PC·BC ，3×CD=PC×4，∴CD＝
3
214
（3）由（1）知：AC·CD=PC·BC，所以 AC：BC=CP：CD；所以 CP：CD=3：4，而△PCD 的面
积等于 CP2
1 ·CD = 2
3
2 PC ，CP 是圆 O 的弦，当 CP 最长时，△PCD 的面积最大，而此时
CP 就 是 圆 O 的 直 径 ； 所 以 CP=5 ， ∴ 3 ： 4=5 ： CD ； ∴ CD=
3
20 ， △PCD 的 面 积 等 于
CP2
1 ·CD =
3
2052
1 =
3
50 ；
P
O
D
C
B
A
13．（2010 四川成都）已知：如图， ABC 内接于⊙O，AB 为直径，弦CE AB 于 F ，
C 是 AD 的中点，连结 BD 并延长交 EC 的延长线于点G ，连结 AD ，分别交CE 、 BC 于
点 P 、Q ．
（1）求证： P 是 ACQ 的外心；
（2）若 3tan , 84ABC CF ,求CQ 的长；
（3）求证： 2( )FP PQ FP FG ．
【答案】（1）证明：∵C 是 AD 的中点，∴AC=CD，
∴∠CAD=∠ABC
∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°。
∴∠CAD+∠AQC=90°
又 CE⊥AB，∴∠ABC+∠PCQ=90°
∴∠AQC=∠PCQ
∴在△PCQ 中，PC=PQ，
∵CE⊥直径 AB，∴AC=AE
∴AE=CD
∴∠CAD=∠ACE。
∴在△APC 中，有 PA=PC，
∴PA=PC=PQ
∴P 是△ACQ 的外心。
（2）解：∵CE⊥直径 AB 于 F，
∴在 Rt△BCF 中，由 tan∠ABC= 3
4
CF
BF
，CF=8，
⌒ ⌒
⌒ ⌒
得 4 32
3 3BF CF 。
∴由勾股定理，得 2 2 40
3BC CF BF
∵AB 是⊙O 的直径，
∴在 Rt△ACB 中，由 tan∠ABC= 3
4
AC
BC
， 40
3BC
得 3 104AC BC 。
易知 Rt△ACB∽Rt△QCA，∴ 2AC CQ BC
∴
2 15
2
ACCQ BC
。
（3）证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°
∴∠DAB+∠ABD=90°
又 CF⊥AB，∴∠ABG+∠G=90°
∴∠DAB=∠G；
∴Rt△AFP∽Rt△GFB，
∴ AF FP
FG BF
，即 AF BF FP FG
易知 Rt△ACF∽Rt△CBF，
∴ 2FG AF BF
∴ 2FC PF FG
由（1），知 PC=PQ，∴FP+PQ=FP+PC=FC
∴ 2( )FP PQ FP FG 。
14．（2010 山东潍坊）如图，AB 是⊙O 的直径，C、D 是⊙O 上的两点，且 AC＝CD．
（1）求证：OC∥BD；
（2）若 BC 将四边形 OBDC 分成面积相等的两个三角形，试确定四边形 OBDC 的形状．
【答案】（1） ⊙O 中，AC＝CD，则∠ABC＝∠DBC，∵OC＝OB，则∠ABC＝∠OAB，∴
∠OCB＝∠DBC，则 OC∥BD；
（2）∵OC∥BD，不妨设平行线 OC 与 BD 之间的距离为 h，又 S△OBC＝ 1
2
OC×h，S△OBC＝ 1
2
OC
×h，∵BC 将四边形 OBDC 分成面积相等的两个三角形，即 S△OBC＝ S△DBC，则 OC＝BD，∴
四边形 OBDC 为平行四边形，因为 OC＝OB，所以四边形 OBDC 为菱形．
15．（2010 广东中山）如图，PA 与⊙O 相切于 A 点，弦 AB⊥OP，垂足为 C，OP 与⊙O 相交于
D 点，已知 OA=2，OP=4．
（1）求∠POA 的度数；
（2）计算弦 AB 的长．
【答案】解：（1）∵PA 与⊙O 相切于 A 点，
∴∠PAO= 090
在 RtΔPAO 中，OA=2，OP=4
∴∠POA= 060
（2）∵AB⊥OP
∴AC=BC，∠OCA= 090
在 RtΔAOC 中，OA=2，∠AOC= 060
∴AC= 3
∴AB=2 3
16．（2010 黑龙江哈尔滨）如图，AB、AC 为⊙O 的弦，连接 CO、BO 并延长分别交弦 AB、
AC 于点 E、F，∠B=∠C。
求证：CE=BF。
【答案】证明：∵OB、OC 是⊙O 的半径，∴OB=OC
又 COFBOECB
EOB ≌ FOC
∴OE=OF ∴CE=BF
17．（2010 四川 泸州）(本题满分 10 分)如图 9,在平行四边形 ABCD 中,E 为 BC 边上的一点,
且 AE 与 DE 分别平分∠BAD 和∠ADC.
(1) 求证:AE⊥DE;
(2) 设以 AD 为直径的半圆交 AB 于 F,连接 DF 交 AE 于 G,已知 CD=5,AE=8,求 FG
AF
的值.
【答案】(1)证明:在平行四边形 ABCD 中,AB∥CD,∴∠BAD+∠ADC=180°,
又∵AE、DE 平分∠BAD、∠ADC，
∴∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠AED＝90°，
∴AE⊥DE.
(2)解:在平行四边形 ABCD 中,AD∥BC,AB=CD=5,AD=BC,
∴∠DAE=∠BEA,
又∵∠DAE=∠BAE,∴∠BEA=∠BAE,
∴BE=AB=5,
同理 EC=CD=5,
∴AD=BC=BE+EC=10,
在 Rt AED 中,
DE= 2 2AD AE = 2 210 8 =6,
又∵AD 为半圆的直径,∴∠AFD=90°,∴∠AFD=∠AED,
∵∠DAE=∠FAG,∴ AFG∽ AED,
∴ 6 3
8 4
GF DE
AF AE
.
18．（2010 吉林长春）第 16 届亚运会将在中国广州举行。小李预定了两种价格的亚运会门
票，其中甲种门票共花费 280 元，乙种门票共花费 300 元，甲种门票比乙种门票多 2 张，乙
种门票价格是甲种门票价格的 1.5 倍，求甲种门票的价格。
【答案】
18．（2010 吉林长春）如图，将一个两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经
过圆心 O，另一边所在直线与半圆相交于点 D、E，量出半径 OC=5cm，弦 DE=8cm。求直尺的
宽。
【答案】
19．（2010 湖北宜昌）如图①，P 是△ABC 边 AC 上的动点，以 P 为顶点作矩形 PDEF，顶点
D,E 在边 BC 上，顶点 F 在边 AB 上；△ABC 的底边 BC 及 BC 上的高的长分别为 a , h,且是关于
x 的一元二次方程 2 0mx nx k 的两个实数根，设过 D,E,F 三点的⊙O 的面积为 OS ,矩形
PDEF 的面积为 PDEFS矩形 。
（1）求证：以 a+h 为边长的正方形面积与以 a、h 为边长的矩形面积之比不小于 4；
（2）求 O
PDEF
S
S矩形
的最小值；
（3）当 O
PDEF
S
S矩形
的值最小时，过点 A 作 BC 的平行线交直线 BP 与 Q，这时线段 AQ 的长与
m , n , k 的取值是否有关？请说明理由。（11 分）
解：解法一：
（1）据题意，∵a+h=
m
kham
n , .
∴所求正方形与矩形的面积之比：
ha
ha
2)(
mk
n
m
k
m
n
22)(
··················································· 1 分
,4,04 22 mknmkn 由
m
kah 知 km, 同号,
0mk ····································································2 分
（说明:此处未得出 0mk 只扣 1 分, 不再影响下面评分）
,442
mk
mk
mk
n ······································································· 3 分
即正方形与矩形的面积之比不小于 4.
（2）∵∠FED=90º,∴DF 为⊙O 的直径.
∴⊙O 的面积为： 2
2 2 2( ) ( )2 4 4O
DF DFS EF DE
．·················· 4 分
矩形 PDEF 的面积： PDEFS EF DE 矩形 ．
∴面积之比： ( ),4
OS EF DE
S DE EF
矩形PDEF
设 ,fDE
EF
1= ( )4
OS fS f
矩形PDEF
2 2
2
1 1 1= ( ) ( ) 2 24
1( ) ........54 2
f f f
f f f
f
f
分
(第 23 题)
A
CB
⊙
⊙
⊙
……………………………………………………………6 分
M
（第23题）
G
O
Q
E
D
F
B
C
A
P
N
21( ) 0f
f
, ,22)1(4
2
f
f
1f
f
，即 1f 时（EF=DE）, OS
S
矩形PDEF
的最小值为
2
···················7 分
（3）当 OS
S
矩形PDEF
的值最小时，这时矩形 PDEF 的四边相等为正方形．
过 B 点过 BM⊥AQ，M 为垂足，BM 交直线 PF 于 N 点，设 FP＝ e，
∵BN∥FE，NF∥BE,∴BN=EF,∴BN =FP =e.
由 BC∥MQ,得：BM =AG =h.
∵AQ∥BC, PF∥BC, ∴AQ∥FP,
∴△FBP∽△ABQ. ······································································8 分
（说明：此处有多种相似关系可用，要同等分步骤评
分）
∴ FP BN
AQ BM
,……9 分
∴
h
e
AQ
e .∴ hAQ ……10 分
m
mknnAQ 2
42 ……11 分
∴线段 AQ 的长与 m，n，k 的取值有关.
（解题过程叙述基本清楚即可）
解法二：
（1）∵a，h 为线段长，即 a，h 都大于 0，
∴ah＞０…………1 分（说明:此处未得出 0ah 只扣 1 分,再不影响下面评分）
∵（a-h）２≥０，当 a＝h 时等号成立.
故，（a-h）２＝（a＋h）２－４a h≥０．···································2 分
∴（a＋h）２≥４a h，
∴ 2( )a h
ah
≥４．（﹡）······························································ 3 分
这就证得
ha
ha
2)( ≥４．（叙述基本明晰即可）
（2）设矩形 PDEF 的边 PD=x，DE=y，则⊙O 的直径为 2 2x y .
S⊙O=
2 2
2( )2
x y …………4 分, S 矩形 PDEF=xy
O
PDEF
S
S
矩形
= 2 2( )
4
x y
xy
=
2)(
4
2)2(
4
222
xy
yx
xy
xyyxyx ·················6 分
由（1）（*）， .2( ) 4x y
xy
⊙
⊙
⊙
2)24(42)(
4
2
xy
yx .
∴ O
PDEF
S
S
矩形
的最小值是
2
··························································· 7 分
（3）当 OS
S
矩形PDEF
的值最小时，
这时矩形 PDEF 的四边相等为正方形.
∴EF=PF．作 AG⊥BC，G 为垂足.
∵△AGB∽△FEB，∴ AB AG
BF EF
.……8 分
∵△AQB∽△FPB, AB AQ
BF PF
，……9 分
∴ AB AG
BF EF
= AQ
PF
．
而 EF=PF，∴AG=AQ=h, ……………10 分
∴AG=h＝ 2 4
2
n n mk
m
,
或者 AG=h＝ 2 4
2
n n mk
m
·························································11 分
∴线段 AQ 的长与 m，n，k 的取值有关.
20．（2010 福建省南平）如图，⊙O 的直径 AB 长为 6，弦 AC 长为 2，∠ACB 的平分线交⊙O
于点 D，求四边形 ADBC 的面积.
·
第 21 题
A B
C
O
D
【答案】解：∵AB 是直径， ∴∠ACB=∠ADB=90°，
在 Rt△ABC 中，AB=6， AC= 2，∴BC= AB2－AC2 = 62－22 = 4 2
∵∠ACB 的平分线交⊙O 于点 D，∴∠DAC=∠BCD
∴ AD⌒= DB⌒， ∴AD=BD
∴在 Rt△ABD 中，AD=BD= 2
2 AB=3 2
∴四边形 ADBC 的面积=S△ABC+S△ABD=1
2 AC·BC+1
2 AD·BD
=1
2 ×2×4 2 +1
2 ×(3 2 )2 =9+4 2
21．（2010 广西河池）如图 10， AB 为 O 的直径，CD 为弦，且CD AB ，垂足为 H ．
（1）如果 O 的半径为 4， 4 3CD ，求 BAC 的度数；
（2）若点 E 为 ADB 的中点，连结OE ，CE ．求证：CE 平分 OCD ；
（第23题）
G
O
Q
E
D
F
B
C
A
P
⊙
⊙
A B
DE
O
C
H
（3）在（1）的条件下，圆周上到直线 AC 距离为 3 的点有多少个？并说明理由．
A B
DE
O
C
H
【答案】解：（1）∵ AB 为⊙O 的直径，CD⊥AB ∴ CH＝
2
1 CD＝2 3
在 Rt△COH 中，sin∠COH=
OC
CH =
2
3
∴ ∠COH=60°
∵ OA=OC ∴∠BAC=
2
1 ∠COH=30°
（2）∵ 点 E 是 ADB 的中点 ∴OE⊥AB ∴ OE∥CD ∴ ∠ECD=∠
OEC 又∵ ∠OEC=∠OCE
∴ ∠OCE=∠DCE
∴ CE 平分∠OCD
（3）圆周上到直线 AC 的距离为 3 的点有 2 个.
因为劣弧 AC 上的点到直线 AC 的最大距离为 2， ADC 上的点到直线 AC 的最大
距离为 6， 2 3 6 ，根据圆的轴对称性， ADC 到直线 AC 距离为 3 的点有 2 个.
22．（2010 广东清远）如下图，在⊙O 中，点 P 在直径 AB 上运动，但与 A、B 两点不重合，
过点 P 作弦 CE⊥AB，在 AB 上任取一点 D，直线 CD 与直线 AB 交于点 F，弦 DE 交直线 AB
于点 M，连接 CM.
（1）如图 10，当点 P 运动到与 O 点重合时，求∠FDM 的度数.
图 10 图 11 图 12
C
A
B
(P)
EO
M
F
D
C
A
B
P E
O
F
D M
O
C
A
B
P E
F
D
M
（2）如图 11、图 12，当点 P 运动到与 O 点不重合时，求证：FM·OB=DF·MC.
【答案】28. 解：（1）点 P 与点 O 重合时，（如图 10）
∵CE 是直径，∴∠CDE＝90°.…………（1 分）
∵∠CDE＋∠FDM＝180°，∴∠FDM＝90°.…………（2 分）
（2）当点 P 在 OA 上运动时（如图 11）
∵OP⊥CE，∴⌒
AC＝⌒
AE＝1
2
⌒
CE，CP＝EP.
∴CM＝EM. ∴∠CMP＝∠EMP.
∵∠DMO＝∠EMP， ∴∠CMP＝∠DMO.
∵∠CMP＋∠DMC＝∠DMO＋∠DMC，
∴∠DMF＝∠CMO. …………（3 分）
∵∠D 所对的弧是⌒
CE，∠COM 所对的弧是⌒
AC，
∴∠D＝∠COM. …………（4 分）
∴△DFM∽△OCM. ∴DF
OC
＝FM
MC
∴FM·OC＝DF·MC.
∵OB＝OC， ∴FM·OB＝DF·MC. …………（5 分）
当点 P 在 OB 上运动时，（如图 12）
证法一：连结 AC，AE.
∵OP⊥CE，∴⌒
BC＝⌒
BE＝1
2
⌒
CE，CP＝EP.
∴CM＝EM， ∴∠CMO＝∠EMO.
∵∠DMF＝∠EMO， ∴∠DMF＝∠CMO.………………（6 分）
∵∠CDE 所对的弧是 ⌒
CAE，∠CAE 所对的弧是⌒
CE.
∴∠CDE＋∠CAE＝180°.
∴∠CDM＋∠FDM＝180°，∴∠FDM＝∠CAE.
∵∠CAE 所对的弧是⌒
CE，∠COM 所对的弧是⌒
BC，
∴∠CAE＝∠COM.
∴∠FDM＝∠COM. ………………（7 分）
∴△DFM∽△OCM. ∴DF
OC
＝FM
MC.
∴FM·OC＝DF·MC.
∵OB＝OC， ∴FM·OB＝DF·MC. ………………（8 分）
证法二：∵OP⊥CE，
∴⌒
BC＝⌒
BE＝1
2
⌒
CE，⌒
AC＝⌒
AE＝1
2
⌒
CAE，CP＝EP.
∴CM＝EM， ∴∠CMO＝∠EMO.
∵∠DMF＝∠EMO， ∴∠DMF＝∠CMO.………………（6 分）
∵∠CDE 所对的弧是 ⌒
CAE，
∴∠CDE＝ ⌒
CAE度数的一半＝⌒
AC的度数＝180°－⌒
BC的度数.
∴∠FDM＝180°－∠CDE＝180°－（180°－⌒
BC的度数）＝⌒
BC的度数.
∵∠COM＝⌒
BC的度数.
∴∠FDM＝∠COM. ………………（7 分）
∴△DFM∽△OCM. ∴DF
OC
＝FM
MC
.
∴FM·OC＝DF·MC.
∵OB＝OC， ∴FM·OB＝DF·MC. ………………（8 分）
2009 年中考试题专题之 21、22-圆以及直线与圆的位置关系试题及答案
一、选择题
1. （2009 年娄底）如图，AB 是⊙O 的弦，OD⊥AB 于 D 交⊙O 于 E，则下列说法错误．．的是
( )
A．AD=BD B．∠ACB=∠AOE C． AE BE D．OD=DE
2.（2009 恩施市）16．如图 6， O⊙ 的直径 AB 垂直弦CD 于 P ，且 P 是半径OB 的中点，
6cmCD ，则直径 AB 的长是（ ）
A． 2 3cm B．3 2cm C． 4 2cm D． 4 3cm
3．（2009 年甘肃白银）如图 2，⊙O 的弦 AB=6，M 是 AB 上任意一点，且 OM 最小值为 4，
则⊙O 的半径为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
4．（2009 年甘肃庆阳）如图 5，⊙O 的半径为 5，弦 AB=8，M 是弦 AB 上的动点，则 OM 不
可能为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2009 年广西南宁）如图 3， AB O是⊙ 的直径，弦
30 3cmCD AB E CDB O 于点 ， °，⊙ 的半径为 ，则弦CD 的长为（ ）
A． 3 cm2 B．3cm C． 2 3cm D．9cm
图 3
C
A B
O
E
D
6．（2009 年孝感）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知∠B=60°，则∠CAO 的度数是( )
A．15° B．30° C．45° D．60°
7.（2009 泰安）如图，⊙O 的半径为 1，AB 是⊙O 的一条弦，且 AB= 3 ，则弦 AB 所对圆
周角的度数为
（A）30° （B）60°（C）30°或 150° （D）60°或 120°
8.（2009 年天津市）如图， ABC△ 内接于 O⊙ ，若 28OAB °，则 C 的大小为（ ）
A． 28° B．56° C． 60° D． 62°
C
A B
O
【关键词】圆周角和圆心角
【答案】D
9. （2009 南宁）如图， AB O是⊙ 的直径，弦
30 3cmCD AB E CDB O 于点 ， °，⊙ 的半径为 ，
则弦CD 的长为（ ）
A． 3 cm2 B．3cm C． 2 3cm D．9cm
【关键词】圆周角和圆心角
【答案】B
10.（2009 年湘西自治州）14． O⊙ 的半径为 10cm，弦 AB＝12cm，则圆心到 AB 的距离为
（ ）
A． 2cm B． 6cm C． 8cm D． 10cm
【关键词】圆的计算，弦，点到直线的距离
【答案】C
11.（2009 白银市）8．如图 2，⊙O 的弦 AB=6，M 是 AB 上任意一点，且 OM 最小值为 4，
则⊙O 的半径为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【关键词】圆的相关概念、点到直线的距离
【答案】A
12.（2009 年清远）如图，AB 是 O⊙ 的直径，弦CD AB 于点 E ，连结OC ，若 5OC ，
8CD ，则 tan COE =（ ）
A． 3
5 B． 4
5 C． 3
4 D． 4
3
13．（2009 年长春）两圆的半径分别为 2 和 5，圆心距为 7，则这两圆的位置关系为（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
14．（2009 年安徽）如图，弦 CD 垂直于⊙O 的直径 AB，垂足为 H，且 CD＝ 2 2 ，BD＝ 3 ，
则 AB 的长为【 】
A．2 B．3 C．4 D．5
15．（2009 年安徽）△ABC 中，AB＝AC，∠A 为锐角，CD 为 AB 边上的高，I 为△ACD 的内
切圆圆心，则∠AIB 的度数是【 】
A．120° B．125° C．135° D．150°
【关键词】与圆有关的综合题
【答案】C
16．（2009 年福州）如图，弧 AD 是以等边三角形 ABC 一边 AB 为半径的四分之一圆周， P
为弧 AD 上任意一点，若 AC=5，则四边形 ACBP 周长的最大值是（ ）
A． 15 B． 20 C．15+5 2 D．15+5 5
【关键词】等边三角形,勾股定理,同圆的半径相等
【答案】C
17．（2009 年重庆）如图， O⊙ 是 ABC△ 的外接圆， AB 是直径．若 80BOC °，
则 A 等于（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【关键词】圆周角和圆心角
【答案】C．
18．(2009 年甘肃定西)如图 2，⊙O 的弦 AB=6，M 是 AB 上任意一点，且 OM 最小值为 4，
则⊙O 的半径为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【关键词】垂径定理、勾股定理.
【答案】A
19.（2009 年长沙）如图， AB 是 O⊙ 的直径，C 是 O⊙ 上一点， 44BOC °，则 A 的
度数为 ．
C
BA
O
24.（2009 年长沙）如图，已知 O⊙ 的半径 6OA ， 90AOB °，则 AOB 所对的弧 AB
的长为（ ）答案：B
A． 2π B．3π C． 6π D．12π
25.（2009 肇庆）9．如图 4，⊙O 是正方形 ABCD 的外接圆，点 P 在⊙O 上，则∠APB 等
于（ ）B
A． 30° B． 45° C． 55° D． 60°
26．(2009 年南充)如图 2，AB 是 O⊙ 的直径，点 C、D 在 O⊙ 上， 110BOC °，
AD OC∥ ，则 AOD （ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
27. (2009 年温州)如图，么 AOB 是⊙0 的圆心角，∠AOB=80°，则弧 AB 所对圆周角∠ACB
的度数是( )
A．40° B．45° C．50° D．80°
28、（2009 年凉山州）如图， O⊙ 是 ABC△ 的外接圆，已知 50ABO °，则 ACB 的
大小为（ ）
A．40° B．30° C．45° D．50°
29. 4、（2009 年遂宁）如图，已知⊙O 的两条弦 AC，BD 相交于点 E，∠A=70o，∠c=50o，
那么 sin∠AEB 的值为( )
A.
2
1 B.
3
3 C.
2
2 D.
2
3
30. 2、（2009 年兰州）如图，点 A、B、C、D 为圆 O 的四等分点，动点 P 从圆心 O 出发，
沿 O-C-D-O 的路线作匀速运动.设运动时间为t 秒, ∠APB 的度数为 y 度，则下列图象中表示
y 与 t 之间函数关系最恰当的是( ).
31. （2009 年兰州）如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为 24 米，
拱的半径为 13 米，则拱高为( )
A．5 米 B．8 米 C．7 米 D．5 3 米
32.（2009 年台湾）如图(一)，在坐标平面上，ABC 为直角三角形，B=90，AB 垂直 x 轴，
M 为ABC 的外心。若 A 点坐标为(3,4)，M 点坐标为(1,1)，则 B 点坐标为何？
(A) (3,1) (B) (3,2) (C) (3,3) (D) (3,4) 。
33. （2009 年台湾）如图，圆上有 A、B、C、D 四点，其中BAD=80。若 ABC 、 ADC 的
长度分别为 7、11，则 BAD 的长度为何？
(A) 4 (B) 8 (C) 10 (D) 15 。
34.（2009 年台湾） AB 是一圆的直径，C、D 是圆周上的两点。已知 AC =7，BC =24，AD =15，
求 BD =？
(A) 16 (B) 20 (C) 8
35 (D) 5
56 。
【关键词】与圆有关的计算
【答案】B
35. （2009 年台湾）如图(十一)，长方形 ABCD 中，以 A 为圆心， AD 长为半径画弧，交 AB
于 E 点。取 BC 的中点为 F，过 F 作一直线与 AB 平行，且交 DE 于 G 点。求AGF=？
(A) 110 (B) 120 (C) 135 (D) 150 。
36．(2009 年河北)如图，四个边长为 1 的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O 是小正方
形顶点，⊙O 的半径为 1，P 是⊙O 上的点，且位于右上方的小正方形内，则∠APB 等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
37．(2009 年潍坊)已知圆 O 的半径为 R，AB 是圆 O 的直径，D 是 AB 延长线上一点，DC 是
圆 O 的切线，C 是切点，连结 AC，若 30CAB °，则 BD 的长为（ ）
A． 2R B． 3R C． R D． 3
2 R
39．(2009 年咸宁市)如图，在平面直角坐标系中， A⊙ 与 y 轴相切于原点 O ，平行于 x 轴
的直线交 A⊙ 于 M 、 N 两点，若点 M 的坐标是 ( 4 2) ， ，则点 N 的坐标为（ ）
A． ( 1 2) ， B． (1 2)， C． ( 15 2) ．， D． (1.5 2)，
40．（09 湖南邵阳）如图， AB 是圆 O 的直径， AC 是圆 O 的切线， A 为切点，连结 BC 交圆
O 于点 D ，连结 AD ，若 45ABC °，则下列结论正确的是（ ）
A． 1
2AD BC B． 1
2AD AC C． AC AB D． AD DC
41．（2009 年湖北十堰市）如图，△ABC 内接于⊙O，连结 OA、OB，若∠ABO=25°，则∠C
的度数为（ ）．
A．55° B．60° C．65° D．70°
42．（2009 年山东青岛市）一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分
水面宽 0.8 米，最深处水深 0.2 米，则此输水管道的直径是（ ）．
A．0.4 米 B．0.5 米 C．0.8 米 D．1 米
43．（2009 年山西省）如图， AB 是 O⊙ 的直径， AD 是 O⊙ 的切线，点C 在 O⊙ 上，
BC OD∥ ， 2 3AB OD ， ,则 BC 的长为（ ）
A． 2
3 B． 3
2 C． 3
2 D． 2
2
44．（2009 年邵阳市）如图 AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，，A 为切点，连结 BC 交圆 0
于点 D,连结 AD,若∠ABC=45 0 ,则下列结论正确的是（ ）
A.AD=
2
1 BC B.AD=
2
1 AC C.AC＞AB D.AD＞DC
45.（2009 黑龙江大兴安岭）如图，⊙O 是△ ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，若⊙O
的半径为
2
3 ， 2AC ， 则 Bsin 的值是 （ ）
A．
3
2 B．
2
3 C．
4
3 D．
3
4
46.(2009 年肇庆市)如图 4，⊙O 是正方形 ABCD 的外接圆，点 P 在⊙O 上，则∠APB 等于
（ ）
A． 30° B． 45° C． 55° D． 60°
47.(2009 武汉)10．如图，已知 O⊙ 的半径为 1，锐角 ABC△ 内接于 O⊙ ， BD AC⊥ 于
点 D ，OM AB⊥ 于点 M ，则sin CBD 的值等于（ ）
A．OM 的长 B． 2OM 的长 C．CD 的长 D． 2CD 的长
48.（2009 威海）已知⊙O 是△ABC 的外接圆，若 AB=AC=5，BC=6，则⊙的半径为（ ）
A．4 B．3.25 C．3.125 D．2.25
49.(2009 年安顺)如图，已知 CD 为⊙O 的直径，过点 D 的弦 DE 平行于半径 OA，若∠D 的
度数是 50°，则∠C 的度数是：
A．25° B．40° C．30° D．50°
50．（2009 山西省太原市）如图，在 Rt ABC△ 中， C =90°， AB =10，若以点C 为圆心，
CB 长为半径的圆恰好经过 AB 的中点 D ，则 AC 的长等于（ ）
A．5 3 B．5 C．5 2 D．6
B
C
DA
51. （2009 山西省太原市）如图，AB 是半圆 O 的直径，点 P 从点 O 出发，沿 OA AB BO
的路径运动一周．设 OP 为 s ，运动时间为t ，则下列图形能大致地刻画 s 与t 之间关系的
是（ ）
解析：本题考查圆的有关性质、函数图象等知识，点 P 从点 O 向点 A 运动，OP 逐渐增大，
当点 P 从点 A 向点 B 运动，OP 不变，当点 P 从点 B 向点 O 运动，OP 逐渐减小，故能大致
地刻画 s 与t 之间关系的是 C．
52. （2009 年浙江省绍兴市）如图，在平面直角坐标系中， P⊙ 与 x 轴相切于原点O ，平
行于 y 轴的直线交 P⊙ 于 M ，N 两点．若点 M 的坐标是（ 2 1， ），则点 N 的坐标是（ ）
P
A
O
B
s
tO
s
O t O
s
t O
s
t
A． B． C． D．
A． (2 4)， B. (2 4.5)， C. (2 5)， D.(2 5.5)，
53、(2009 年鄂州)如图，已知 AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，CD⊥AB 于 D ，AD=9、BD=4，
以 C 为圆心、CD 为半径的圆与⊙O 相交于 P、Q 两点，弦 PQ 交 CD 于 E，则 PE·EQ 的值是（ ）
A．24 B、9 C、6 D、27
【关键词】相似三角形与圆
【答案】D
53.（2009 年清远）已知 O⊙ 的半径 r ，圆心O 到直线l 的距离为 d ，当 d r 时，直线l 与
O⊙ 的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都不对
54．（2009 临沂）已知 1O⊙ 和 2O⊙ 相切， 1O⊙ 的直径为 9Cm， 2O⊙ 的直径为 4cm．则 1 2O O
的长是（ ）
A．5cm 或 13cm B．2.5cm C．6.5cm D．2.5cm 或 6.5cm
55. （2009 年台湾）如图，直线 AB、直线 CD 为不平行之二直线，今欲作一圆 O
同时与直线 AB、直线 CD 相切，以下是甲乙两人的作法：
(甲) 1. 过 D，作一直线 L 与直线 AB 垂直，且交直线 AB 于 E
2. 取 DE 中点 O
3. 以 O 为圆心， OE 长为半径画圆，则圆 O 即为所求
(乙) 1. 设直线 AB 与直线 CD 相交于 P
2. 作BPD 之角平分线 L
3. 过 C，作一直线 M 与直线 CD 垂直，且交直线 L 于 O
4. 以 O 为圆心， OC 长为半径画圆，则圆 O 即为所求
对于两人的作法，下列叙述何者正确？
(A) 两人皆正确 (B) 两人皆错误 (C) 甲正确，乙错误 (D) 甲错误，乙正确。
56．(2009 年宁德市)如图，直线 AB 与⊙O 相切于点 A，⊙O 的半径为 2，若∠OBA = 30°，
则 OB 的长为（ ）
A． 4 3 B．4 C． 2 3 D．2
57. （09 湖南邵阳）如图， AB 是圆 O 的直径， AC 是圆 O 的切线， A 为切点，连结 BC 交
圆 O 于点 D ，连结 AD ，若 45ABC °，则下列结论正确的是（ ）
A． 1
2AD BC B． 1
2AD AC C． AC AB D． AD DC
58.（2009 年黑龙江佳木斯）10、如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交 BC 的中点于 D,DE⊥AC 于
E,连接 AD,则下列结论正确的个数是( ）
①AD⊥BC ②∠EDA=∠B ③OA= 1
2 AC ④DE 是⊙O 的切线
A．1 个 B．2 个
C．3 个 D．4 个
59．（2009 年山西省）如图， AB 是 O⊙ 的直径， AD 是 O⊙ 的切线，点C 在 O⊙ 上，
BC OD∥ ， 2 3AB OD ， ,则 BC 的长为（ ）
A． 2
3 B． 3
2 C． 3
2 D． 2
2
60．（2009 年邵阳市）如图 AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，，A 为切点，连结 BC 交圆 0
于点 D,连结 AD,若∠ABC=45 0 ,则下列结论正确的是（ ）
A.AD=
2
1 BC B.AD=
2
1 AC C.AC＞AB D.AD＞DC
61. （2009 襄樊市）如图， AB 是 O 的直径，点 D 在 AB 的延长线上， DC 切 O 于C，
若 25A ∠ ．则 D∠ 等于（ A ）
A． 40 B．50 C． 60 D． 70
解析：本题考查圆的基本概念与性质、切线的性质，连接 OC，∵OA=OC，∴∠A=∠OCA=25°，
∴∠DOC=50°，∵ DC 切 O 于C，∴∠OCD=90°，∴∠D=40°，故选 A。
62．（2009 绵阳）一个钢管放在 V 形架内，右图是其截面图，O 为钢管的圆心．如果钢管的
半径为 25 cm，∠MPN = 60，则 OP =( )
A．50 cm B．25 3 cm C．
3
350 cm D．50 3 cm
63.如图，△ABC 是直角边长为 a 的等腰直角三角形，直角边 AB 是半圆 O1 的直径，半圆
O2 过 C 点且与半圆 O1 相切，则图中阴影部分的面积是
A． 2
36
7 a B． 2
36
5 a C． 2
36
7 a D． 2
36
5 a
64．6．(2009 年云南省)如图，A、D 是⊙O 上的两个点，BC 是直径，若∠D = 35°，则∠
OAC 的度数是（ ）
A．35°B．55° C．65°D．70°
65．（ 2009 年 枣 庄 市 ） 10．如图，AB 是⊙O 的直径，C，D 为圆上两点∠AOC =130°，
则∠D 等于（ ）
A．25° B．30°
C．35° D．50°
66．（2009 年佳木斯）如图，⊙O 与 AB 相切于点 A，BO 与⊙O 交于点 C，∠B=26°，则∠
OCA＝________________度.
67. （2009 年赤峰市）如图 PA、PB 是⊙O 的切点，AC 是⊙O 的直径，∠P=40°，则∠BAC
得度数是 （ ）
A、10° B、20° C、30° D、40°
二、填空题
1.（2009 柳州）15．如图 3， 30MAB ，P 为 AB 上的点，且 6AP ，圆 P 与 AM 相
切，则圆 P 的半径为 ．
2.（2009 年娄底）如图 6，已知 AB 是⊙O 的直径，PB 是⊙O 的切线，PA 交⊙O 于 C，AB=3cm，
PB=4cm，则 BC= .
3.（2009 丽水市）如图，在⊙O 中，∠ABC=40°，则∠AOC＝ ▲ 度．
C
B
A
O
4.(2009 年鄂州)在⊙O 中，已知⊙O 的直径 AB 为 2，弦 AC 长为 3 ，弦 AD 长为 2 ．则
DC2＝______
5.（2009 年河南）如图，AB 为半圆 O 的直径，延长 AB 到点 P，使 BP= 1
2
AB，PC 切半圆 O
于点 C，点 D 是 AC 上和点 C 不重合的一点，则 D 的度数为 .
6.（2009 年新疆）如图，在平面直角坐标系中，已知一圆弧过小正方形网格的格点 A B C， ， ，
已知 A 点的坐标是 ( 3 5) ， ，则该圆弧所在圆的圆心坐标是___________．
7. （2009 年湘西自治州）一个圆的半径是 4，则圆的面积是 ．（答案保留π）
8. （2009 白银市）17．如图，在△ABC 中， 5cmAB AC ，cosB 3
5
．如果⊙O 的半
径为 10 cm，且经过点 B、C，那么线段 AO= cm．
9．（2009 年长春）如图，点C 在以 AB 为直径的 O⊙ 上， 10 30AB A ， °，则 BC 的
长为 ．
10. （2009 年福州）如图 4，AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上 ，OD∥AC，若 BD=1，则 BC
的长为
11．（2009 年广西梧州）某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图（2）所示，已知
AB＝16m，半径 OA＝10m，则中间柱 CD 的高度为 ★ m．
12．(2009 年甘肃定西)如图 7，在△ABC 中， 5cmAB AC ，cosB 3
5
．如果⊙O 的半径
为 10 cm，且经过点 B、C，那么线段 AO= cm．
15．（2009 年哈尔滨）如图，⊙O 的直径 CD＝10，弦 AB＝8，AB⊥CD，垂足为 M，则 DM
的长为 ．
16.（2009 年中山）已知 O⊙ 的直径 8cmAB C ， 为 O⊙ 上的一点， 30BAC °，则 BC =
_ cm ．
17、（2009 年兰州）如图所示，边长为 1 的小正方形构成的网格中，半径为 1 的⊙O 的圆心
O 在格点上，则∠AED 的正切值等于 ．
18、(2009 年济南)如图， O 的半径 5cmOA ，弦 8cmAB ，点 P 为弦 AB 上一动点，则
点 P 到圆心O 的最短距离是 cm．
19. （2009 年北京市）如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，E 为 BC 上一点，若∠CEA= 28 ，
则∠ABD= °.
D
A
B
C
E
20．(2009 年宁德市)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，若∠ACO=32°，则∠COB 的度
数等于 ．
21．(2009 年咸宁市)为庆祝祖国六十华诞，某单位排练的节目需用到如图所示的扇形布扇，
布扇完全打开后，外侧两竹条 AB 、 AC 夹角为120°， AB 的长为30cm ，贴布部分 BD 的
长为 20cm ，则贴布部分的面积约为____________ 2cm ．（ π 取 3）
22．（09 湖南怀化）如图， PA 、 PB 分别切⊙ O 于点 A 、 B ，点 E 是⊙ O 上一点，且
60AEB ，则 P __ ___度．
23．（09 湖南怀化）亲爱的同学们，我们在教材中已经学习了: ①等边三角形；②等腰梯形；
③平行四边形；④等腰三角形；⑤圆．在以上五种几何图形中，既是轴对称图形， 又是中
心对称图形的是 ．
【关键词】圆的对称性
【答案】圆（或填⑤）
24.（2009 年）14．若一边长为 40 ㎝的等边三角形硬纸板刚好能不受损地从用铁丝围成的
圆形铁圈中穿过，则铁圈直径的最小值为 ㎝．(铁丝粗细忽略不计)
25．（2009 年山东青岛市）如图， AB 为 O⊙ 的直径， CD 为 O⊙ 的弦， 42ACD °，
则 BAD °．
26．（2009 年新疆乌鲁木齐市）如图 3，点 C D、 在以 AB 为直径的 O⊙ 上，且 CD 平分
ACB ，若 2 15AB CBA ， °，则CD 的长为 ．
27.（2009 年广东省）已知 O⊙ 的直径 8AB cm，C 为 O⊙ 上的一点， 30BAC °，则
BC __________cm．
28．（2009 年山西省）如图所示，A 、B 、C 、D 是圆上的点， 1 70 40A °， °，则 C
度．
29.(2009 年肇庆市)75°的圆心角所对的弧长是 2.5π ，则此弧所在圆的半径为 ．
30.(2009 年上海市) 16．在圆 O 中，弦 AB 的长为 6，它所对应的弦心距为 4，那么半径
OA ．
31.(2009 成都)如图，△ABC 内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，AD 为⊙O 的直径，AD＝6，
那么 BD＝_________．
32.(2009 年安顺)如图，⊙O 的半径 OA＝10cm，P 为 AB 上一动点，则点 P 到圆心 O 的最短
距离为___________cm。
33.(2009 成都)如图，A、B、c 是⊙0 上的三点，以 BC 为一边，作∠CBD=∠ABC，过 BC 上一
点 P，作 PE∥AB 交 BD 于点 E．若∠AOC=60°，BE=3，则点 P 到弦 AB 的距离为_______．
34．（2009 年湖南长沙）如图，AB 是 O⊙ 的直径，C 是 O⊙ 上一点， 44BOC °，则 A
的度数为 ．
36.（2009 年贵州省黔东南州）如图，⊙O 的半径为 5，P 为圆内一点，P 点到圆心 O 的距离
为 4，则过 P 点的弦长的最小值是_____________。
37.（2009 年江苏省）如图， AB 是 O⊙ 的直径，弦 CD AB∥ ．若 65ABD °，则
ADC ．
38.（2009 年泸州）如图，以 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 与小圆相切于点 C，
若大圆半径为 10cm，小圆半径为 6cm，则弦 AB 的长为 cm．
39.（2009 年杭州市）如图，AB 为半圆的直径，C 是半圆弧上一点，正方形 DEFG 的一边 DG
在直径 AB 上，另一边 DE 过ΔABC 的内切圆圆心 O，且点 E 在半圆弧上．①若正方形的顶点
F 也在半圆弧上，则半圆的半径与正方形边长的比是______________；②若正方形 DEFG 的
面积为 100，且ΔABC 的内切圆半径 r =4，则半圆的直径 AB = __________．
40．（2009 年甘肃白银）如图 7，在△ABC 中， 5cmAB AC ，cosB 3
5
．如果⊙O 的半
径为 10 cm，且经过点 B、C，那么线段 AO= cm．
4．（2009 年甘肃庆阳）如图，两个等圆⊙O 与⊙O′外切，过点 O 作⊙O′的两条切线 OA、
OB，A、B 是切点，则∠AOB= ．
4．（2009 年甘肃庆阳）如图 8，直线 AB 与⊙O 相切于点 B，BC 是⊙O 的直径，AC 交⊙O 于
点 D，连结 BD，则图中直角三角形有 个．
43.（2009 年新疆）如图， 60ACB °，半径为 1cm 的 O⊙ 切 BC 于点C ，若将 O⊙ 在CB
上向右滚动，则当滚动到 O⊙ 与CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离是__________cm．
44.（2009 年衢州）如图，DB 为半圆的直径，A 为 BD 延长线上一点，AC 切半圆于点 E，
BC⊥AC 于点 C，交半圆于点 F．已知 BD=2，设 AD=x，CF=y，则 y 关于 x 的函数解析式
是 ．
45.（2009 年益阳市）如图，AB 与⊙O 相切于点 B，线段 OA 与弦 BC 垂直于点 D，∠AO B=60°，
BC=4cm，则切线 AB= cm.
46.（2009 年济宁市）如图，⊙A 和⊙B 都与 x 轴和 y 轴相切，圆心 A 和圆心 B 都在反比例
函数 1y x
的图象上，则图中阴影部分的面积等于 .
47.（2009 年衡阳市）如图，直线 AB 切⊙O 于 C 点，D 是⊙O 上一点，∠EDC=30º，弦 EF∥
AB，连结 OC 交 EF 于 H 点，连结 CF，且 CF=2，则 HE 的长为_________．
48.（2009 年宜宾）如图，点 A、B、C 在⊙O 上，切线 CD 与 OB 的延长线交于点 D，若∠A=30°，
CD= 32 ，则⊙O 的半径长为 ．
第19题图
A
B
C D
O
49．（2009 年广西钦州）如图，PA、PB 分别与⊙O 相切于点 A、B，⊙O 的切线 EF 分别 交
PA、PB 于点 E、F，切点 C 在 AB 上，若 PA 长为 2，则△PEF 的周长是_▲_．
50.（2009 年包头）如图，在 ABC△ 中， 120 2 3AB AC A BC ， °， ， A⊙ 与 BC
相切于点 D ，且交 AB AC、 于 M N、 两点，则图中阴影部分的面积是 （保留 π ）．
51．(2009 年南充) ABC△ 中， 10cm 8cm 6cmAB AC BC ， ， ，以点 B 为圆心、6cm
为半径作 B⊙ ，则边 AC 所在的直线与 B⊙ 的位置关系是 ．
52．(2009 年温州)如图，已知正方形纸片 ABCD 的边长为 8，⊙0 的半径为 2，圆心在正方形
的中心上，将纸片按图示方式折叠，使 EA7 恰好与 6)0 相切于点 A ′(△EFA′与⊙0 除切点
外无重叠部分)，延长 FA′交 CD 边于点 G，则 A′G 的长是
53. （2009 年株洲市）如图， AC 是 O 的直径，CB 与 O 相切于点C ， AB 交 O 于
点 D ．已知 51B ，则 DOC 等于 度．
54. （2009 年重庆市江津区）如图，在 10×6 的网格图中(每个小正方形的边长均为 1 个单
位长)。⊙A 半径为 2，⊙B 半径为 1，需使⊙A 与静止的⊙B 相切，那么⊙A 由图示的位置向
左平移 个单位长.
55. （2009 山西省太原市）如图 AB 、AC 是 O⊙ 的两条弦， A =30°，过点C 的切线与OB
的延长线交于点 D ，则 D 的度数为 ．
56. （2009 湖北省荆门市）Rt△ABC 中， 90 6 8C AC BC °， ， ．则△ABC 的内切圆
半径 r ______．
57、（2009 眉山）如图 4，AB、CD 是⊙O 的两条互相垂直的弦，圆心角∠AOC＝130°，AD、
CB 的延长线相交于 P，∠P＝ °
58．(2009 年云南省)已知圆上一段弧长为 6 π ，它所对的圆心角为 120°，则该圆的半
径为___________．
59、（2009 贺州）如图，正方形 ABCD 是⊙O 的内接正方形，点 P 是劣弧 AB 上
不同于点 B 的任意一点，则∠BPC= 度．
【关键词】圆周角
【答案】45
三、解答题
1.（2009 柳州）25．（本题满分 10 分）
如图 10，AB 是⊙O 的直径，C 是弧 BD 的中点，CE⊥AB，垂足为 E，BD 交 CE 于点 F．
（1）求证：CF BF ；
（2）若 2AD ，⊙O 的半径为 3，求 BC 的长．
2.(2009 年四川省内江市)如图，四边形 ABCD 内接于圆，对角线 AC 与 BD 相交于点 E、F 在
AC 上，AB=AD，∠BFC=∠BAD=2∠DFC.
求证：（1）CD⊥DF；
（2）BC=2CD
3.（2009 桂林百色）25． （本题满分 10 分）如图，△ABC 内接于半圆，AB 是直径，过 A
作直线 MN，若∠MAC=∠ABC ．
（1）求证：MN 是半圆的切线；
（2）设 D 是弧 AC 的中点，连结 BD 交 AC 于 G，过 D 作 DE⊥AB 于 E，交 AC 于 F．
求证：FD＝FG．
（3）若△DFG 的面积为 4.5，且 DG=3，GC=4，试求△BCG 的面积．
4.（2009 河池）25． (本小题满分 10 分)
如图 1，在⊙O 中，AB 为⊙O 的直径，AC 是弦， 4OC ， 60OAC ．
（1）求∠AOC 的度数；
（2）在图 1 中，P 为直径 BA 延长线上的一点，当 CP 与⊙O 相切时，求 PO 的长；
（3） 如图 2，一动点 M 从 A 点出发，在⊙O 上按逆时针方向运动，当 MAO CAOS S△ △ 时，
求动点 M 所经过的弧长．
5. (2009 烟台市) 如图，AB，BC 分别是 O⊙ 的直径和弦，点 D 为 BC 上一点，弦 DE 交 O⊙
于点 E，交 AB 于点 F，交 BC 于点 G，过点 C 的切线交 ED 的延长线于 H，且 HC HG ，连
接 BH ，交 O⊙ 于点 M，连接 MD ME， ．
求证：（1） DE AB ；
（2） HMD MHE MEH ．
H
M
B
E
O F
GC
A
D
6．（2009 年甘肃庆阳）（10 分）如图，在边长为 2 的圆内接正方形 ABCD 中，AC 是对角线，
P 为边 CD 的中点，延长 AP 交圆于点 E．
（1）∠E= 度；
（2）写出图中现有的一对不全等的相似三角形，并说明理由；
（3）求弦 DE 的长．
7.(2009 年衢州）如图，AD 是⊙O 的直径．
(1) 如图①，垂直于 AD 的两条弦 B1C1，B2C2 把圆周 4 等分，则∠B1 的度数是 ，
∠B2 的度数是 ；
(2) 如图②，垂直于 AD 的三条弦 B1C1，B2C2，B3C3 把圆周 6 等分，分别求∠B1，∠B2，
∠B3 的度数；
(3) 如图③，垂直于 AD 的 n 条弦 B1C1，B2C2，B3 C3，…，BnCn 把圆周 2n 等分，请你用含 n
的代数式表示∠Bn 的度数(只需直接写出答案)．
23. （2009 年锦州）如图 11，AB 为⊙O 的直径，AD 平分∠BAC 交⊙O 于点 D，DE⊥AC 交 AC
的延长线于点 E，FB 是⊙O 的切线交 AD 的延长线于点 F.
(1)求证：DE 是⊙O 的切线；
(2)若 DE=3，⊙O 的半径为 5，求 BF 的长.
16．（2009 年安徽）如图，MP 切⊙O 于点 M，直线 PO 交⊙O 于点 A、B，弦 AC∥MP，求
证：MO∥BC．
17. （2009 年广州市）如图，在⊙O 中，∠ACB=∠BDC=60°，AC= cm32 ，
（1）求∠BAC 的度数； （2）求⊙O 的周长
18.（2009 年广西钦州）（2）已知：如图 2，⊙O1 与坐标轴交于 A（1， 0）、B（5，0）两点，
点 O1 的纵坐标为 5 ．求⊙O1 的半径．
19.（2009 年莆田）（1）根据下列步骤画图．．并标明相应的字母:（直接在图１中画图）
①以已知线段 AB （图 1）为直径画半圆O ；
②在半圆O 上取不同于点 A B、 的一点C ，连接 AC BC、 ；
③过点 O 画OD BC∥ 交半圆O 于点 D．
（2）尺规作图．．：（保留作图痕迹，不要求写作法、证明）
已知： AOB （图 2）．
求作： AOB 的平分线．
20.（2009 年莆田）已知，如图， BC 是以线段 AB 为直径的 O⊙ 的切线， AC 交 O⊙ 于点
D ，过点 D 作弦 DE AB ，垂足为点 F ，连接 BD BE、 ．．
（1）仔细观察图形并写出四个不同的正确结论：①________，②________ ，③________，
④____________（不添加其它字母和辅助线，不必证明）；
（2） A =30°，CD = 2 3
3
，求 O⊙ 的半径 r．
21.(2009 年本溪)22．如图所示，AB 是 O⊙ 直径，OD⊥弦 BC 于点 F ，且交 O⊙ 于点 E ，
若 AEC ODB ．
（1）判断直线 BD 和 O⊙ 的位置关系，并给出证明；
（2）当 10 8AB BC ， 时，求 BD 的长．
22.(2009 宁夏)23． 已知：如图，AB 为 O⊙ 的直径，AB AC BC ， 交 O⊙ 于点 D ，AC
交 O⊙ 于点 45E BAC ， °．
（1）求 EBC 的度数；
（2）求证： BD CD ．
23．(2009 年南充)如图 8，半圆的直径 10AB ，点 C 在半圆上， 6BC ．
（1）求弦 AC 的长；
（2）若 P 为 AB 的中点， PE AB⊥ 交 AC 于点 E，求 PE 的长．
P B
C
E
A
24．（2009 年哈尔滨）如图，在⊙O 中，D、E 分别为半径 OA、OB 上的点，且 AD＝BE．
点 C 为弧 AB 上一点，连接 CD、CE、CO，∠AOC＝∠BOC．
求证：CD＝CE．
25．（2009 年中山）（1）如图 1，圆心接 ABC△ 中，AB BC CA ，OD 、OE 为 O⊙ 的
半径，OD BC 于点 F ，OE AC 于点G，
求证：阴影部分四边形OFCG 的面积是 ABC△ 的面积的 1
3
．
（2）如图 2，若 DOE 保持120°角度不变，
求证：当 DOE 绕着O 点旋转时，由两条半径和 ABC△ 的两条边围成的图形（图中阴影
部分）面积始终是 ABC△ 的面积的 1
3
．
26.（2009 年广州市）如图，在⊙O 中，∠ACB=∠BDC=60°，AC= cm32 ，
（1）求∠BAC 的度数； （2）求⊙O 的周长
27. （2009 年株洲市）（本题满分 10 分）如图，点 A 、B 、C 是 O 上的三点， //AB OC .
（1）求证： AC 平分 OAB .
（2）过点 O 作 OE AB 于点 E ，交 AC 于点 P . 若
2AB ， 30AOE ，求 PE 的长．
28.(2009 年潍坊)如图所示，圆O 是 ABC△ 的外接圆， BAC 与 ABC 的平分线相交于点
I ，延长 AI 交圆 O 于点 D ，连结 BD DC、 ．
（1）求证： BD DC DI ；
（2）若圆O 的半径为 10cm， 120BAC °，求 BDC△ 的面积．
29.(2009 年潍坊)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，半径为 1 的圆的圆心 O 在坐标原点，且
与两坐标轴分别交于 A B C D、 、 、 四点．抛物线 2y ax bx c 与 y 轴交于点 D ，与直
线 y x 交于点 M N、 ，且 MA NC、 分别与圆O 相切于点 A 和点C ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴交 x 轴于点 E ，连结 DE ，并延长 DE 交圆 O 于 F ，求 EF 的长．
（3）过点 B 作圆O 的切线交 DC 的延长线于点 P ，判断点 P 是否在抛物线上，说明理由．
30.(2009 年咸宁市)如图， Rt ABC△ 中， 90ABC °，以 AB 为直径的 O⊙ 交 AC 于点
D ，过点 D 的切线交 BC 于 E ．
（1）求证： 1
2DE BC ；
（2）若 5tan 22C DE ， ，求 AD 的长．
31．（09 湖北宜昌）已知：如图，⊙O 的直径 AD=2， BC CD DE ，∠BAE=90°．
(1)求△CAD 的面积；
(2)如果在这个圆形区域中，随机确定一个点 P，那么点 P 落在四边形 ABCD 区域的概率是多
少？
32．（09 湖北宜昌）（09 湖北宜昌）已知：如图 1，把矩形纸片 ABCD 折叠，使得顶点 A 与
边 DC 上的动点 P 重合(P 不与点 D，C 重合)， MN 为折痕，点 M，N 分别在边 BC， AD
上，连接 AP，MP，AM， AP 与 MN 相交于点 F．⊙O 过点 M，C，P．
(1)请你在图 1 中作出⊙O(不写作法，保留作图痕迹)；
(2) AF
AN
与 AP
AD
是否相等？请你说明理由；
(3)随着点 P 的运动，若⊙O 与 AM 相切于点 M 时，⊙O 又与 AD 相切于点 H．设 AB 为 4，
请你通过计算，画出．．这时的图形．(图 2，3 供参考)
A
B
C
F
P
M
N
D
F
M
N
D
O
P
C
B
A
A
B
C
P
O
D
N
M
F
图 1 图 2 图 3
（第 2 题）
33．（09 湖南怀化）如图 10，直线 DE 经过⊙O 上的点C ，并且OE OD EC DC ， ，⊙
O 交直线OD 于 A 、B 两点，连接 BC ，AC ，OC ．求证：（1）OC DE ；（2） ACD△
∽ CBD△ ．
34．（09 湖南怀化）如图 11，已知二次函数 22)( mkmxy 的图象与 x 轴相交于两个
不同的点 1( 0)A x， 、 2( 0)B x ， ，与 y 轴的交点为C ．设 ABC△ 的外接圆的圆心为点 P ．
（1）求 P⊙ 与 y 轴的另一个交点 D 的坐标；
（2）如果 AB 恰好为 P⊙ 的直径，且 ABC△ 的面积等于 5 ，求 m 和 k 的值．
35.（2009 年茂名市）22．
已知：如图，直径为OA 的 M⊙ 与 x 轴交于点O A、 ，点 B C、 把 OA 分为三等份，连接 MC
并延长交 y 轴于点 (0 3)D ，．
（1）求证： OMD BAO△ ≌△ ；
（2）若直线l ： y kx b 把 M⊙ 的面积分为二等份，求证： 3 0k b ．
36．（2009 年山东青岛市）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
为美化校园，学校准备在如图所示的三角形（ ABC△ ）空地上修建一个面积最大的圆形花
坛，请在图中画出这个圆形花坛．
37.(2009 年达州)如图 10，⊙O 的弦 AD∥BC,过点 D 的切线交 BC 的延长线于点 E，AC∥DE
交 BD 于点 H，DO 及延长线分别交 AC、BC 于点 G、F.
(1)求证：DF 垂直平分 AC；
（2）求证：FC＝CE；
（3）若弦 AD＝5 ㎝，AC＝8 ㎝，求⊙O 的半径.
38.(2009 年黄冈市)15．如图，已知 AB 是⊙O 的直径，点 C 是⊙O 上一点，连结 BC，AC，过
点 C 作直线 CD⊥AB 于点 D，点 E 是 AB 上一点，直线 CE 交⊙O 于点 F，连结 BF，与直线 CD
交于点 G．求证： BFBGBC 2
39.(2009 年陕西省)25．
问题探究
（1）请在图①的正方形 ABCD 内，画出使∠APB＝90°的一个．．点 P，并说明理由．
（2）请在图②的正方形 ABCD 内（含边），画出使∠APB＝60°的所有．．的点 P，并说明理
由．
问题解决
如图③，现有一块矩形钢板 ABCD，AB＝4，BC＝3，工人师傅想用它裁出两块全等的、
面积最大的△APB 和△CP’D 钢板，且∠APB＝∠CP’D＝60°，请你在图③中画出符合要求
的点 P 和 P’，并求出△APB 的面积（结果保留根号）．
40.(2009 成都)已知 A、D 是一段圆弧上的两点，且在直线l 的同侧，分别过这两点作l 的垂
线，垂足为 B、C，E 是 BC 上一动点，连结 AD、AE、DE，且∠AED=90°。
（1）如图①，如果 AB=6,BC=16,且 BE:CE=1:3，求 AD 的长。
（2）如图②，若点 E 恰为这段圆弧的圆心，则线段 AB、BC、CD 之间有怎样的等量关系？请
写出你的结论并予以证明。再探究：当 A、D 分别在直线 l 两侧且 AB≠CD，而其余条件不变
时，线段 AB、BC、CD 之间又有怎样的等量关系？请直接写出结论，不必证明。
41. （2009 襄樊市）如图 12，已知：在 O 中，直径 4AB ，点 E 是OA 上任意一点，过 E
作弦CD AB ，点 F 是 BC 上一点，连接 AF 交CE 于 H，连接 AC、CF、BD、OD．
（1）求证： ACH AFC△ ∽△ ；
（2）猜想： AH AF 与 AE AB 的数量关系，并说明你的猜想；
（3）探究：当点 E 位于何处时， 1 4?AEC BODS S △ △: : 并加以说明．
42.（2009 湖北荆门市）如图，在□ABCD 中，∠BAD 为钝角，且 AE⊥BC，AF⊥CD．
（1）求证：A、E、C、F 四点共圆；
（2）设线段 BD 与（1）中的圆交于 M、N．求证：BM=ND．
A D
F
C
M
EB
N
第 20 题图
43.（2009 湖北省荆门市）如图，半径为 2 5 的⊙O 内有互相垂直的两条弦 AB、CD 相交于
P 点．
（1）求证：PA·PB=PC·PD；
（2）设 BC 中点为 F，连接 FP 并延长交 AD 于 E，求证：EF⊥AD；
（3）若 AB=8，CD=6，求 OP 的长．
44. （2009 年广西梧州）如图（8）所示，△ABC 内接于⊙O，AB 是⊙O 的直径，点 D 在⊙O
上，过点 C 的切线交 AD 的延长线于点 E，且 AE⊥CE，连接 CD．
（1）求证：DC=BC；
（2）若 AB=5，AC=4，求 tan∠DCE 的值．
45.（2009 年包头）如图，已知 AB 是 O⊙ 的直径，点C 在 O⊙ 上，过点C 的直线与 AB 的
延长线交于点 P ， AC PC ， 2COB PCB ．
（1）求证： PC 是 O⊙ 的切线；
（2）求证： 1
2BC AB ；
（3）点 M 是 AB 的中点， CM 交 AB 于点 N ，若 4AB ，求 MN MC 的值．
46.（2009 年长沙）在 Rt ABC△ 中， 90ACB °， D 是 AB 边上一点，以 BD 为直径的
O⊙ 与边 AC 相切于点 E ，连结 DE 并延长，与 BC 的延长线交于点 F ．
（1）求证： BD BF ；
（2）若 6 4BC AD ， ，求 O⊙ 的面积．
47.（2009 年莆田）已知，如图，BC 是以线段 AB 为直径的 O⊙ 的切线，AC 交 O⊙ 于点 D ，
过点 D 作弦 DE AB ，垂足为点 F ，连接 BD BE、 ．．
（1）仔细观察图形并写出四个不同的正确结论：①________，②________ ，③________，
④____________（不添加其它字母和辅助线，不必证明）；
（2） A =30°， CD = 2 3
3
，求 O⊙ 的半径 r．
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