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  • 2021-05-10 发布

2020年陕西省中考数学试卷(含解析)

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‎2020年陕西省中考数学试卷 一、选择题(共10小题,每小题3分,计30分.每小题只有一个选项是符合题意的)‎ ‎1.(3分)﹣18的相反数是(  )‎ A.18 B.﹣18 C.‎1‎‎18‎ D.‎‎-‎‎1‎‎18‎ ‎2.(3分)若∠A=23°,则∠A余角的大小是(  )‎ A.57° B.67° C.77° D.157°‎ ‎3.(3分)2019年,我国国内生产总值约为990870亿元,将数字990870用科学记数法表示为(  )‎ A.9.9087×105 B.9.9087×104 C.99.087×104 D.99.087×103‎ ‎4.(3分)如图,是A市某一天的气温随时间变化的情况,则这天的日温差(最高气温与最低气温的差)是(  )‎ A.4℃ B.8℃ C.12℃ D.16℃‎ ‎5.(3分)计算:(‎-‎‎2‎‎3‎x2y)3=(  )‎ A.﹣2x6y3 B.‎8‎‎27‎x6y3 C.‎-‎‎8‎‎27‎x6y3 D.‎-‎‎8‎‎27‎x5y4‎ ‎6.(3分)如图,在3×3的网格中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,若BD是△ABC的高,则BD的长为(  )‎ A.‎10‎‎13‎‎13‎ B.‎9‎‎13‎‎13‎ C.‎8‎‎13‎‎13‎ D.‎‎7‎‎13‎‎13‎ ‎7.(3分)在平面直角坐标系中,O为坐标原点.若直线y=x+3分别与x轴、直线y=﹣2x交于点A、B,则△AOB的面积为(  )‎ 第23页(共23页)‎ A.2 B.3 C.4 D.6‎ ‎8.(3分)如图,在▱ABCD中,AB=5,BC=8.E是边BC的中点,F是▱ABCD内一点,且∠BFC=90°.连接AF并延长,交CD于点G.若EF∥AB,则DG的长为(  )‎ A.‎5‎‎2‎ B.‎3‎‎2‎ C.3 D.2‎ ‎9.(3分)如图,△ABC内接于⊙O,∠A=50°.E是边BC的中点,连接OE并延长,交⊙O于点D,连接BD,则∠D的大小为(  )‎ A.55° B.65° C.60° D.75°‎ ‎10.(3分)在平面直角坐标系中,将抛物线y=x2﹣(m﹣1)x+m(m>1)沿y轴向下平移3个单位.则平移后得到的抛物线的顶点一定在(  )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 二、填空题(共4小题,每小题3分,计12分)‎ ‎11.(3分)计算:(2‎+‎‎3‎)(2‎-‎‎3‎)=   .‎ ‎12.(3分)如图,在正五边形ABCDE中,DM是边CD的延长线,连接BD,则∠BDM的度数是   .‎ ‎13.(3分)在平面直角坐标系中,点A(﹣2,1),B(3,2),C(﹣6,m)分别在三个不同的象限.若反比例函数y‎=‎kx(k≠0)的图象经过其中两点,则m的值为   .‎ ‎14.(3分)如图,在菱形ABCD中,AB=6,∠B=60°,点E在边AD上,且AE=2.若 第23页(共23页)‎ 直线l经过点E,将该菱形的面积平分,并与菱形的另一边交于点F,则线段EF的长为   .‎ 三、解答题(共11小题,计78分.解答应写出过程)‎ ‎15.(5分)解不等式组:‎‎3x>6,‎‎2(5-x)>4.‎ ‎16.(5分)解分式方程:x-2‎x‎-‎3‎x-2‎=‎1.‎ ‎17.(5分)如图,已知△ABC,AC>AB,∠C=45°.请用尺规作图法,在AC边上求作一点P,使∠PBC=45°.(保留作图痕迹.不写作法)‎ ‎18.(5分)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠C.E是边BC上一点,且DE=DC.求证:AD=BE.‎ ‎19.(7分)王大伯承包了一个鱼塘,投放了2000条某种鱼苗,经过一段时间的精心喂养,存活率大致达到了90%.他近期想出售鱼塘里的这种鱼.为了估计鱼塘里这种鱼的总质量,王大伯随机捕捞了20条鱼,分别称得其质量后放回鱼塘.现将这20条鱼的质量作为样本,统计结果如图所示:‎ ‎(1)这20条鱼质量的中位数是   ,众数是   .‎ ‎(2)求这20条鱼质量的平均数;‎ ‎(3)经了解,近期市场上这种鱼的售价为每千克18元,请利用这个样本的平均数.估计王大伯近期售完鱼塘里的这种鱼可收入多少元?‎ 第23页(共23页)‎ ‎20.(7分)如图所示,小明家与小华家住在同一栋楼的同一单元,他俩想测算所住楼对面商业大厦的高MN.他俩在小明家的窗台B处,测得商业大厦顶部N的仰角∠1的度数,由于楼下植物的遮挡,不能在B处测得商业大厦底部M的俯角的度数.于是,他俩上楼来到小华家,在窗台C处测得大厦底部M的俯角∠2的度数,竟然发现∠1与∠2恰好相等.已知A,B,C三点共线,CA⊥AM,NM⊥AM,AB=31m,BC=18m,试求商业大厦的高MN.‎ ‎21.(7分)某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术.这种瓜苗早期在农科所的温室中生长,长到大约20cm时,移至该村的大棚内,沿插杆继续向上生长.研究表明,60天内,这种瓜苗生长的高度y(cm)与生长时间x(天)之间的关系大致如图所示.‎ ‎(1)求y与x之间的函数关系式;‎ ‎(2)当这种瓜苗长到大约80cm时,开始开花结果,试求这种瓜苗移至大棚后.继续生长大约多少天,开始开花结果?‎ 第23页(共23页)‎ ‎22.(7分)小亮和小丽进行摸球试验.他们在一个不透明的空布袋内,放入两个红球,一个白球和一个黄球,共四个小球.这些小球除颜色外其它都相同.试验规则:先将布袋内的小球摇匀,再从中随机摸出一个小球,记下颜色后放回,称为摸球一次.‎ ‎(1)小亮随机摸球10次,其中6次摸出的是红球,求这10次中摸出红球的频率;‎ ‎(2)若小丽随机摸球两次,请利用画树状图或列表的方法,求这两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率.‎ ‎23.(8分)如图,△ABC是⊙O的内接三角形,∠BAC=75°,∠ABC=45°.连接AO并延长,交⊙O于点D,连接BD.过点C作⊙O的切线,与BA的延长线相交于点E.‎ ‎(1)求证:AD∥EC;‎ ‎(2)若AB=12,求线段EC的长.‎ ‎24.(10分)如图,抛物线y=x2+bx+c经过点(3,12)和(﹣2,﹣3),与两坐标轴的交点分别为A,B,C,它的对称轴为直线l.‎ ‎(1)求该抛物线的表达式;‎ ‎(2)P是该抛物线上的点,过点P作l的垂线,垂足为D,E是l上的点.要使以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等,求满足条件的点P,点E的坐标.‎ 第23页(共23页)‎ ‎25.(12分)问题提出 ‎(1)如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC>BC,∠ACB的平分线交AB于点D.过点D分别作DE⊥AC,DF⊥BC.垂足分别为E,F,则图1中与线段CE相等的线段是   .‎ 问题探究 ‎(2)如图2,AB是半圆O的直径,AB=8.P是AB上一点,且PB‎=‎2PA,连接AP,BP.∠APB的平分线交AB于点C,过点C分别作CE⊥AP,CF⊥BP,垂足分别为E,F,求线段CF的长.‎ 问题解决 ‎(3)如图3,是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图.已知⊙O的直径AB=70m,点C在⊙O上,且CA=CB.P为AB上一点,连接CP并延长,交⊙O于点D.连接AD,BD.过点P分别作PE⊥AD,PF⊥BD,重足分别为E,F.按设计要求,四边形PEDF内部为室内活动区,阴影部分是户外活动区,圆内其余部分为绿化区.设AP的长为x(m),阴影部分的面积为y(m2).‎ ‎①求y与x之间的函数关系式;‎ ‎②按照“少儿活动中心”的设计要求,发现当AP的长度为30m时,整体布局比较合理.试求当AP=30m时.室内活动区(四边形PEDF)的面积.‎ 第23页(共23页)‎ 第23页(共23页)‎ ‎2020年陕西省中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(共10小题,每小题3分,计30分.每小题只有一个选项是符合题意的)‎ ‎1.(3分)﹣18的相反数是(  )‎ A.18 B.﹣18 C.‎1‎‎18‎ D.‎‎-‎‎1‎‎18‎ ‎【解答】解:﹣18的相反数是:18.‎ 故选:A.‎ ‎2.(3分)若∠A=23°,则∠A余角的大小是(  )‎ A.57° B.67° C.77° D.157°‎ ‎【解答】解:∵∠A=23°,‎ ‎∴∠A的余角是90°﹣23°=67°.‎ 故选:B.‎ ‎3.(3分)2019年,我国国内生产总值约为990870亿元,将数字990870用科学记数法表示为(  )‎ A.9.9087×105 B.9.9087×104 C.99.087×104 D.99.087×103‎ ‎【解答】解:990870=9.9087×105,‎ 故选:A.‎ ‎4.(3分)如图,是A市某一天的气温随时间变化的情况,则这天的日温差(最高气温与最低气温的差)是(  )‎ A.4℃ B.8℃ C.12℃ D.16℃‎ ‎【解答】解:从折线统计图中可以看出,这一天中最高气温8℃,最低气温是﹣4℃,这一天中最高气温与最低气温的差为12℃,‎ 故选:C.‎ ‎5.(3分)计算:(‎-‎‎2‎‎3‎x2y)3=(  )‎ 第23页(共23页)‎ A.﹣2x6y3 B.‎8‎‎27‎x6y3 C.‎-‎‎8‎‎27‎x6y3 D.‎-‎‎8‎‎27‎x5y4‎ ‎【解答】解:(‎-‎‎2‎‎3‎x2y)3‎=(-‎2‎‎3‎‎)‎‎3‎⋅(x‎2‎‎)‎‎3‎⋅y‎3‎=-‎‎8‎‎27‎x‎6‎y‎3‎.‎ 故选:C.‎ ‎6.(3分)如图,在3×3的网格中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,若BD是△ABC的高,则BD的长为(  )‎ A.‎10‎‎13‎‎13‎ B.‎9‎‎13‎‎13‎ C.‎8‎‎13‎‎13‎ D.‎‎7‎‎13‎‎13‎ ‎【解答】解:由勾股定理得:AC‎=‎2‎‎2‎‎+‎‎3‎‎2‎=‎‎13‎,‎ ‎∵S△ABC=3×3‎-‎1‎‎2‎×1×2-‎1‎‎2‎×1×3-‎1‎‎2‎×2×3=‎3.5,‎ ‎∴‎1‎‎2‎AC⋅BD=‎‎7‎‎2‎,‎ ‎∴‎13‎‎⋅BD=7‎,‎ ‎∴BD‎=‎‎7‎‎13‎‎13‎,‎ 故选:D.‎ ‎7.(3分)在平面直角坐标系中,O为坐标原点.若直线y=x+3分别与x轴、直线y=﹣2x交于点A、B,则△AOB的面积为(  )‎ A.2 B.3 C.4 D.6‎ ‎【解答】解:在y=x+3中,令y=0,得x=﹣3,‎ 解y=x+3‎y=-2x得,x=-1‎y=2‎,‎ ‎∴A(﹣3,0),B(﹣1,2),‎ ‎∴△AOB的面积‎=‎1‎‎2‎×‎3×2=3,‎ 故选:B.‎ ‎8.(3分)如图,在▱ABCD中,AB=5,BC=8.E是边BC的中点,F是▱ABCD内一点,且∠BFC=90°.连接AF并延长,交CD于点G.若EF∥AB,则DG的长为(  )‎ 第23页(共23页)‎ A.‎5‎‎2‎ B.‎3‎‎2‎ C.3 D.2‎ ‎【解答】解:∵E是边BC的中点,且∠BFC=90°,‎ ‎∴Rt△BCF中,EF‎=‎‎1‎‎2‎BC=4,‎ ‎∵EF∥AB,AB∥CG,E是边BC的中点,‎ ‎∴F是AG的中点,‎ ‎∴EF是梯形ABCG的中位线,‎ ‎∴CG=2EF﹣AB=3,‎ 又∵CD=AB=5,‎ ‎∴DG=5﹣3=2,‎ 故选:D.‎ ‎9.(3分)如图,△ABC内接于⊙O,∠A=50°.E是边BC的中点,连接OE并延长,交⊙O于点D,连接BD,则∠D的大小为(  )‎ A.55° B.65° C.60° D.75°‎ ‎【解答】解:连接CD,‎ ‎∵∠A=50°,‎ ‎∴∠CDB=180°﹣∠A=130°,‎ ‎∵E是边BC的中点,‎ ‎∴OD⊥BC,‎ ‎∴BD=CD,‎ ‎∴∠ODB=∠ODC‎=‎1‎‎2‎∠‎BDC=65°,‎ 故选:B.‎ 第23页(共23页)‎ ‎10.(3分)在平面直角坐标系中,将抛物线y=x2﹣(m﹣1)x+m(m>1)沿y轴向下平移3个单位.则平移后得到的抛物线的顶点一定在(  )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎【解答】解:∵y=x2﹣(m﹣1)x+m=(x‎-‎m-1‎‎2‎)2+m‎-‎‎(m-1‎‎)‎‎2‎‎4‎,‎ ‎∴该抛物线顶点坐标是(m-1‎‎2‎,m‎-‎‎(m-1‎‎)‎‎2‎‎4‎),‎ ‎∴将其沿y轴向下平移3个单位后得到的抛物线的顶点坐标是(m-1‎‎2‎,m‎-‎(m-1‎‎)‎‎2‎‎4‎-‎3),‎ ‎∵m>1,‎ ‎∴m﹣1>0,‎ ‎∴m-1‎‎2‎‎>‎0,‎ ‎∵m‎-‎(m-1‎‎)‎‎2‎‎4‎-‎3‎=‎4m-(m‎2‎-2m+1)-12‎‎4‎=‎-(m-3‎)‎‎2‎-4‎‎4‎=-‎(m-3‎‎)‎‎2‎‎4‎-‎1<0,‎ ‎∴点(m-1‎‎2‎,m‎-‎(m-1‎‎)‎‎2‎‎4‎-‎3)在第四象限;‎ 故选:D.‎ 二、填空题(共4小题,每小题3分,计12分)‎ ‎11.(3分)计算:(2‎+‎‎3‎)(2‎-‎‎3‎)= 1 .‎ ‎【解答】解:原式=22﹣(‎3‎)2‎ ‎=4﹣3‎ ‎=1.‎ ‎12.(3分)如图,在正五边形ABCDE中,DM是边CD的延长线,连接BD,则∠BDM的度数是 144° .‎ 第23页(共23页)‎ ‎【解答】解:因为五边形ABCDE是正五边形,‎ 所以∠C‎=‎(5-2)⋅180°‎‎5‎=‎108°,BC=DC,‎ 所以∠BDC‎=‎180°-108°‎‎2‎=‎36°,‎ 所以∠BDM=180°﹣36°=144°,‎ 故答案为:144°.‎ ‎13.(3分)在平面直角坐标系中,点A(﹣2,1),B(3,2),C(﹣6,m)分别在三个不同的象限.若反比例函数y‎=‎kx(k≠0)的图象经过其中两点,则m的值为 ﹣1 .‎ ‎【解答】解:∵点A(﹣2,1),B(3,2),C(﹣6,m)分别在三个不同的象限,点A(﹣2,1)在第二象限,‎ ‎∴点C(﹣6,m)一定在第三象限,‎ ‎∵B(3,2)在第一象限,反比例函数y‎=‎kx(k≠0)的图象经过其中两点,‎ ‎∴反比例函数y‎=‎kx(k≠0)的图象经过B(3,2),C(﹣6,m),‎ ‎∴3×2=﹣6m,‎ ‎∴m=﹣1,‎ 故答案为:﹣1.‎ ‎14.(3分)如图,在菱形ABCD中,AB=6,∠B=60°,点E在边AD上,且AE=2.若直线l经过点E,将该菱形的面积平分,并与菱形的另一边交于点F,则线段EF的长为 2‎7‎ .‎ ‎【解答】解:如图,过点A和点E作AG⊥BC,EH⊥BC于点G和H,‎ 得矩形AGHE,‎ ‎∴GH=AE=2,‎ 第23页(共23页)‎ ‎∵在菱形ABCD中,AB=6,∠B=60°,‎ ‎∴BG=3,AG=3‎3‎‎=‎EH,‎ ‎∴HC=BC﹣BG﹣GH=6﹣3﹣2=1,‎ ‎∵EF平分菱形面积,‎ ‎∴FC=AE=2,‎ ‎∴FH=FC﹣HC=2﹣1=1,‎ 在Rt△EFH中,根据勾股定理,得 EF‎=EH‎2‎+FH‎2‎=‎27+1‎=‎2‎7‎.‎ 故答案为:2‎7‎.‎ 三、解答题(共11小题,计78分.解答应写出过程)‎ ‎15.(5分)解不等式组:‎‎3x>6,‎‎2(5-x)>4.‎ ‎【解答】解:‎3x>6①‎‎2(5-x)>4②‎,‎ 由①得:x>2,‎ 由②得:x<3,‎ 则不等式组的解集为2<x<3.‎ ‎16.(5分)解分式方程:x-2‎x‎-‎3‎x-2‎=‎1.‎ ‎【解答】解:方程x-2‎x‎-‎3‎x-2‎=‎1,‎ 去分母得:x2﹣4x+4﹣3x=x2﹣2x,‎ 解得:x‎=‎‎4‎‎5‎,‎ 经检验x‎=‎‎4‎‎5‎是分式方程的解.‎ ‎17.(5分)如图,已知△ABC,AC>AB,∠C=45°.请用尺规作图法,在AC边上求作一点P,使∠PBC=45°.(保留作图痕迹.不写作法)‎ 第23页(共23页)‎ ‎【解答】解:如图,点P即为所求.‎ ‎18.(5分)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠C.E是边BC上一点,且DE=DC.求证:AD=BE.‎ ‎【解答】证明:∵DE=DC,‎ ‎∴∠DEC=∠C.‎ ‎∵∠B=∠C,‎ ‎∴∠B=∠DEC,‎ ‎∴AB∥DE,‎ ‎∵AD∥BC,‎ ‎∴四边形ABED是平行四边形.‎ ‎∴AD=BE.‎ ‎19.(7分)王大伯承包了一个鱼塘,投放了2000条某种鱼苗,经过一段时间的精心喂养,存活率大致达到了90%.他近期想出售鱼塘里的这种鱼.为了估计鱼塘里这种鱼的总质量,王大伯随机捕捞了20条鱼,分别称得其质量后放回鱼塘.现将这20条鱼的质量作为样本,统计结果如图所示:‎ ‎(1)这20条鱼质量的中位数是 1.45kg ,众数是 1.5kg .‎ 第23页(共23页)‎ ‎(2)求这20条鱼质量的平均数;‎ ‎(3)经了解,近期市场上这种鱼的售价为每千克18元,请利用这个样本的平均数.估计王大伯近期售完鱼塘里的这种鱼可收入多少元?‎ ‎【解答】解:(1)∵这20条鱼质量的中位数是第10、11个数据的平均数,且第10、11个数据分别为1.4、1.5,‎ ‎∴这20条鱼质量的中位数是‎1.4+1.5‎‎2‎‎=‎1.45(kg),众数是1.5kg,‎ 故答案为:1.45kg,1.5kg.‎ ‎(2)x‎=‎1.2×1+1.3×4+1.4×5+1.5×6+1.6×2+1.7×2‎‎20‎=‎1.45(kg),‎ ‎∴这20条鱼质量的平均数为1.45kg;‎ ‎(3)18×1.45×2000×90%=46980(元),‎ 答:估计王大伯近期售完鱼塘里的这种鱼可收入46980元.‎ ‎20.(7分)如图所示,小明家与小华家住在同一栋楼的同一单元,他俩想测算所住楼对面商业大厦的高MN.他俩在小明家的窗台B处,测得商业大厦顶部N的仰角∠1的度数,由于楼下植物的遮挡,不能在B处测得商业大厦底部M的俯角的度数.于是,他俩上楼来到小华家,在窗台C处测得大厦底部M的俯角∠2的度数,竟然发现∠1与∠2恰好相等.已知A,B,C三点共线,CA⊥AM,NM⊥AM,AB=31m,BC=18m,试求商业大厦的高MN.‎ 第23页(共23页)‎ ‎【解答】解:如图,过点C作CE⊥MN于点E,过点B作BF⊥MN于点F,‎ ‎∴∠CEF=∠BFE=90°,‎ ‎∵CA⊥AM,NM⊥AM,‎ ‎∴四边形AMEC和四边形AMFB均为矩形,‎ ‎∴CE=BF,ME=AC,‎ ‎∠1=∠2,‎ ‎∴△BFN≌△CEM(ASA),‎ ‎∴NF=EM=31+18=49,‎ 由矩形性质可知:EF=CB=18,‎ ‎∴MN=NF+EM﹣EF=49+49﹣18=80(m).‎ 答:商业大厦的高MN为80m.‎ ‎21.(7分)某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术.这种瓜苗早期在农科所的温室中生长,长到大约20cm时,移至该村的大棚内,沿插杆继续向上生长.研究表明,60天内,这种瓜苗生长的高度y(cm)与生长时间x(天)之间的关系大致如图所示.‎ ‎(1)求y与x之间的函数关系式;‎ ‎(2)当这种瓜苗长到大约80cm 第23页(共23页)‎ 时,开始开花结果,试求这种瓜苗移至大棚后.继续生长大约多少天,开始开花结果?‎ ‎【解答】解:(1)当0≤x≤15时,设y=kx(k≠0),‎ 则:20=15k,‎ 解得k‎=‎‎4‎‎3‎,‎ ‎∴y‎=‎4‎‎3‎x;‎ 当15<x≤60时,设y=k′x+b(k≠0),‎ 则:‎20=15k'+b‎170=60k'+b,‎ 解得k'=‎‎10‎‎3‎b=-30‎,‎ ‎∴y‎=‎10‎‎3‎x-30‎,‎ ‎∴y=‎‎4‎‎3‎x(0≤x≤15)‎‎10‎‎3‎x-30(15<x≤60)‎;‎ ‎(2)当y=80时,80‎=‎10‎‎3‎x-30‎,解得x=33,‎ ‎33﹣15=18(天),‎ ‎∴这种瓜苗移至大棚后.继续生长大约18天,开始开花结果.‎ ‎22.(7分)小亮和小丽进行摸球试验.他们在一个不透明的空布袋内,放入两个红球,一个白球和一个黄球,共四个小球.这些小球除颜色外其它都相同.试验规则:先将布袋内的小球摇匀,再从中随机摸出一个小球,记下颜色后放回,称为摸球一次.‎ ‎(1)小亮随机摸球10次,其中6次摸出的是红球,求这10次中摸出红球的频率;‎ ‎(2)若小丽随机摸球两次,请利用画树状图或列表的方法,求这两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率.‎ ‎【解答】解:(1)小亮随机摸球10次,其中6次摸出的是红球,这10‎ 第23页(共23页)‎ 次中摸出红球的频率‎=‎6‎‎10‎=‎‎3‎‎5‎;‎ ‎(2)画树状图得:‎ ‎∵共有16种等可能的结果,两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的有2种情况,‎ ‎∴两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率‎=‎2‎‎16‎=‎‎1‎‎8‎.‎ ‎23.(8分)如图,△ABC是⊙O的内接三角形,∠BAC=75°,∠ABC=45°.连接AO并延长,交⊙O于点D,连接BD.过点C作⊙O的切线,与BA的延长线相交于点E.‎ ‎(1)求证:AD∥EC;‎ ‎(2)若AB=12,求线段EC的长.‎ ‎【解答】证明:(1)连接OC,‎ 第23页(共23页)‎ ‎∵CE与⊙O相切于点C,‎ ‎∴∠OCE=90°,‎ ‎∵∠ABC=45°,‎ ‎∴∠AOC=90°,‎ ‎∵∠AOC+∠OCE=180°,‎ ‎∴∴AD∥EC ‎(2)如图,过点A作AF⊥EC交EC于F,‎ ‎∵∠BAC=75°,∠ABC=45°,‎ ‎∴∠ACB=60°,‎ ‎∴∠D=∠ACB=60°,‎ ‎∴sin∠ADB‎=ABAD=‎‎3‎‎2‎,‎ ‎∴AD‎=‎12×2‎‎3‎=‎8‎3‎,‎ ‎∴OA=OC=4‎3‎,‎ ‎∵AF⊥EC,∠OCE=90°,∠AOC=90°,‎ ‎∴四边形OAFC是矩形,‎ 又∵OA=OC,‎ ‎∴四边形OAFC是正方形,‎ ‎∴CF=AF=4‎3‎,‎ ‎∵∠BAD=90°﹣∠D=30°,‎ ‎∴∠EAF=180°﹣90°﹣30°=60°,‎ 第23页(共23页)‎ ‎∵tan∠EAF‎=EFAF=‎‎3‎,‎ ‎∴EF‎=‎‎3‎AF=12,‎ ‎∴CE=CF+EF=12+4‎3‎.‎ ‎24.(10分)如图,抛物线y=x2+bx+c经过点(3,12)和(﹣2,﹣3),与两坐标轴的交点分别为A,B,C,它的对称轴为直线l.‎ ‎(1)求该抛物线的表达式;‎ ‎(2)P是该抛物线上的点,过点P作l的垂线,垂足为D,E是l上的点.要使以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等,求满足条件的点P,点E的坐标.‎ ‎【解答】解:(1)将点(3,12)和(﹣2,﹣3)代入抛物线表达式得‎12=9+3b+c‎-3=4-2b+c,解得b=2‎c=-3‎,‎ 故抛物线的表达式为:y=x2+2x﹣3;‎ ‎(2)抛物线的对称轴为x=﹣1,令y=0,则x=﹣3或1,令x=0,则y=﹣3,‎ 故点A、B的坐标分别为(﹣3,0)、(1,0);点C(0,﹣3),‎ 故OA=OC=3,‎ ‎∵∠PDE=∠AOC=90°,‎ ‎∴当PD=DE=3时,以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等,‎ 设点P(m,n),当点P在抛物线对称轴右侧时,m﹣(﹣1)=3,解得:m=2,‎ 故n=22+2×2﹣5=5,故点P(2,5),‎ 故点E(﹣1,2)或(﹣1,8);‎ 当点P在抛物线对称轴的左侧时,由抛物线的对称性可得,点P(﹣4,5),此时点E坐标同上,‎ 第23页(共23页)‎ 综上,点P的坐标为(2,5)或(﹣4,5);点E的坐标为(﹣1,2)或(﹣1,8).‎ ‎25.(12分)问题提出 ‎(1)如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC>BC,∠ACB的平分线交AB于点D.过点D分别作DE⊥AC,DF⊥BC.垂足分别为E,F,则图1中与线段CE相等的线段是 CF、DE、DF .‎ 问题探究 ‎(2)如图2,AB是半圆O的直径,AB=8.P是AB上一点,且PB‎=‎2PA,连接AP,BP.∠APB的平分线交AB于点C,过点C分别作CE⊥AP,CF⊥BP,垂足分别为E,F,求线段CF的长.‎ 问题解决 ‎(3)如图3,是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图.已知⊙O的直径AB=70m,点C在⊙O上,且CA=CB.P为AB上一点,连接CP并延长,交⊙O于点D.连接AD,BD.过点P分别作PE⊥AD,PF⊥BD,重足分别为E,F.按设计要求,四边形PEDF内部为室内活动区,阴影部分是户外活动区,圆内其余部分为绿化区.设AP的长为x(m),阴影部分的面积为y(m2).‎ ‎①求y与x之间的函数关系式;‎ ‎②按照“少儿活动中心”的设计要求,发现当AP的长度为30m时,整体布局比较合理.试求当AP=30m时.室内活动区(四边形PEDF)的面积.‎ ‎【解答】解:(1)∵∠ACB=90°,DE⊥AC,DF⊥BC,‎ ‎∴四边形CEDF是矩形,‎ ‎∵CD平分∠ACB,DE⊥AC,DF⊥BC,‎ ‎∴DE=DF,‎ ‎∴四边形CEDF是正方形,‎ ‎∴CE=CF=DE=DF,‎ 第23页(共23页)‎ 故答案为:CF、DE、DF;‎ ‎(2)连接OP,如图2所示:‎ ‎∵AB是半圆O的直径,PB‎=‎2PA,‎ ‎∴∠APB=90°,∠AOP‎=‎1‎‎3‎×‎180°=60°,‎ ‎∴∠ABP=30°,‎ 同(1)得:四边形PECF是正方形,‎ ‎∴PF=CF,‎ 在Rt△APB中,PB=AB•cos∠ABP=8×cos30°=8‎×‎3‎‎2‎=‎4‎3‎,‎ 在Rt△CFB中,BF‎=CFtan∠ABC=CFtan30°‎=CF‎3‎‎3‎=‎‎3‎CF,‎ ‎∵PB=PF+BF,‎ ‎∴PB=CF+BF,‎ 即:4‎3‎‎=‎CF‎+‎‎3‎CF,‎ 解得:CF=6﹣2‎3‎;‎ ‎(3)①∵AB为⊙O的直径,‎ ‎∴∠ACB=∠ADB=90°,‎ ‎∵CA=CB,‎ ‎∴∠ADC=∠BDC,‎ 同(1)得:四边形DEPF是正方形,‎ ‎∴PE=PF,∠APE+∠BPF=90°,∠PEA=∠PFB=90°,‎ ‎∴将△APE绕点P逆时针旋转90°,得到△A′PF,PA′=PA,如图3所示:‎ 则A′、F、B三点共线,∠APE=∠A′PF,‎ ‎∴∠A′PF+∠BPF=90°,即∠A′PB=90°,‎ ‎∴S△PAE+S△PBF=S△PA′B‎=‎‎1‎‎2‎PA′•PB‎=‎‎1‎‎2‎x(70﹣x),‎ 在Rt△ACB中,AC=BC‎=‎‎2‎‎2‎AB‎=‎2‎‎2‎×‎70=35‎2‎,‎ ‎∴S△ACB‎=‎‎1‎‎2‎AC2‎=‎1‎‎2‎×‎(35‎2‎)2=1225,‎ ‎∴y=S△PA′B+S△ACB‎=‎‎1‎‎2‎x(70﹣x)+1225‎=-‎‎1‎‎2‎x2+35x+1225;‎ ‎②当AP=30时,A′P=30,PB=AB﹣AP=70﹣30=40,‎ 第23页(共23页)‎ 在Rt△A′PB中,由勾股定理得:A′B‎=A'P‎2‎+PB‎2‎=‎3‎0‎‎2‎+4‎‎0‎‎2‎=‎50,‎ ‎∵S△A′PB‎=‎‎1‎‎2‎A′B•PF‎=‎‎1‎‎2‎PB•A′P,‎ ‎∴‎1‎‎2‎‎×‎50×PF‎=‎1‎‎2‎×‎40×30,‎ 解得:PF=24,‎ ‎∴S四边形PEDF=PF2=242=576(m2),‎ ‎∴当AP=30m时.室内活动区(四边形PEDF)的面积为576m2.‎ 第23页(共23页)‎