2020年陕西省中考数学试卷(含解析） 23页

‎2020年陕西省中考数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题意的）‎ ‎1．（3分）﹣18的相反数是（　　）‎ A．18 B．﹣18 C．‎1‎‎18‎ D．‎‎-‎‎1‎‎18‎ ‎2．（3分）若∠A＝23°，则∠A余角的大小是（　　）‎ A．57° B．67° C．77° D．157°‎ ‎3．（3分）2019年，我国国内生产总值约为990870亿元，将数字990870用科学记数法表示为（　　）‎ A．9.9087×105 B．9.9087×104 C．99.087×104 D．99.087×103‎ ‎4．（3分）如图，是A市某一天的气温随时间变化的情况，则这天的日温差（最高气温与最低气温的差）是（　　）‎ A．4℃ B．8℃ C．12℃ D．16℃‎ ‎5．（3分）计算：（‎-‎‎2‎‎3‎x2y）3＝（　　）‎ A．﹣2x6y3 B．‎8‎‎27‎x6y3 C．‎-‎‎8‎‎27‎x6y3 D．‎-‎‎8‎‎27‎x5y4‎ ‎6．（3分）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（　　）‎ A．‎10‎‎13‎‎13‎ B．‎9‎‎13‎‎13‎ C．‎8‎‎13‎‎13‎ D．‎‎7‎‎13‎‎13‎ ‎7．（3分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线y＝x+3分别与x轴、直线y＝﹣2x交于点A、B，则△AOB的面积为（　　）‎ 第23页（共23页）‎ A．2 B．3 C．4 D．6‎ ‎8．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝8．E是边BC的中点，F是▱ABCD内一点，且∠BFC＝90°．连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为（　　）‎ A．‎5‎‎2‎ B．‎3‎‎2‎ C．3 D．2‎ ‎9．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（　　）‎ A．55° B．65° C．60° D．75°‎ ‎10．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x+m（m＞1）沿y轴向下平移3个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）‎ ‎11．（3分）计算：（2‎+‎‎3‎）（2‎-‎‎3‎）＝　 　．‎ ‎12．（3分）如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是　 　．‎ ‎13．（3分）在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1），B（3，2），C（﹣6，m）分别在三个不同的象限．若反比例函数y‎=‎kx（k≠0）的图象经过其中两点，则m的值为　 　．‎ ‎14．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E在边AD上，且AE＝2．若 第23页（共23页）‎ 直线l经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，则线段EF的长为　 　．‎ 三、解答题（共11小题，计78分．解答应写出过程）‎ ‎15．（5分）解不等式组：‎‎3x＞6，‎‎2(5-x)＞4．‎ ‎16．（5分）解分式方程：x-2‎x‎-‎3‎x-2‎=‎1．‎ ‎17．（5分）如图，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°．请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°．（保留作图痕迹．不写作法）‎ ‎18．（5分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC．求证：AD＝BE．‎ ‎19．（7分）王大伯承包了一个鱼塘，投放了2000条某种鱼苗，经过一段时间的精心喂养，存活率大致达到了90%．他近期想出售鱼塘里的这种鱼．为了估计鱼塘里这种鱼的总质量，王大伯随机捕捞了20条鱼，分别称得其质量后放回鱼塘．现将这20条鱼的质量作为样本，统计结果如图所示：‎ ‎（1）这20条鱼质量的中位数是　 　，众数是　 　．‎ ‎（2）求这20条鱼质量的平均数；‎ ‎（3）经了解，近期市场上这种鱼的售价为每千克18元，请利用这个样本的平均数．估计王大伯近期售完鱼塘里的这种鱼可收入多少元？‎ 第23页（共23页）‎ ‎20．（7分）如图所示，小明家与小华家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算所住楼对面商业大厦的高MN．他俩在小明家的窗台B处，测得商业大厦顶部N的仰角∠1的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在B处测得商业大厦底部M的俯角的度数．于是，他俩上楼来到小华家，在窗台C处测得大厦底部M的俯角∠2的度数，竟然发现∠1与∠2恰好相等．已知A，B，C三点共线，CA⊥AM，NM⊥AM，AB＝31m，BC＝18m，试求商业大厦的高MN．‎ ‎21．（7分）某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术．这种瓜苗早期在农科所的温室中生长，长到大约20cm时，移至该村的大棚内，沿插杆继续向上生长．研究表明，60天内，这种瓜苗生长的高度y（cm）与生长时间x（天）之间的关系大致如图所示．‎ ‎（1）求y与x之间的函数关系式；‎ ‎（2）当这种瓜苗长到大约80cm时，开始开花结果，试求这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约多少天，开始开花结果？‎ 第23页（共23页）‎ ‎22．（7分）小亮和小丽进行摸球试验．他们在一个不透明的空布袋内，放入两个红球，一个白球和一个黄球，共四个小球．这些小球除颜色外其它都相同．试验规则：先将布袋内的小球摇匀，再从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，称为摸球一次．‎ ‎（1）小亮随机摸球10次，其中6次摸出的是红球，求这10次中摸出红球的频率；‎ ‎（2）若小丽随机摸球两次，请利用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率．‎ ‎23．（8分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°．连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD．过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E．‎ ‎（1）求证：AD∥EC；‎ ‎（2）若AB＝12，求线段EC的长．‎ ‎24．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l．‎ ‎（1）求该抛物线的表达式；‎ ‎（2）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．‎ 第23页（共23页）‎ ‎25．（12分）问题提出 ‎（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分线交AB于点D．过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC．垂足分别为E，F，则图1中与线段CE相等的线段是　 　．‎ 问题探究 ‎（2）如图2，AB是半圆O的直径，AB＝8．P是AB上一点，且PB‎=‎2PA，连接AP，BP．∠APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为E，F，求线段CF的长．‎ 问题解决 ‎（3）如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图．已知⊙O的直径AB＝70m，点C在⊙O上，且CA＝CB．P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D．连接AD，BD．过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，重足分别为E，F．按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设AP的长为x（m），阴影部分的面积为y（m2）．‎ ‎①求y与x之间的函数关系式；‎ ‎②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理．试求当AP＝30m时．室内活动区（四边形PEDF）的面积．‎ 第23页（共23页）‎ 第23页（共23页）‎ ‎2020年陕西省中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题意的）‎ ‎1．（3分）﹣18的相反数是（　　）‎ A．18 B．﹣18 C．‎1‎‎18‎ D．‎‎-‎‎1‎‎18‎ ‎【解答】解：﹣18的相反数是：18．‎ 故选：A．‎ ‎2．（3分）若∠A＝23°，则∠A余角的大小是（　　）‎ A．57° B．67° C．77° D．157°‎ ‎【解答】解：∵∠A＝23°，‎ ‎∴∠A的余角是90°﹣23°＝67°．‎ 故选：B．‎ ‎3．（3分）2019年，我国国内生产总值约为990870亿元，将数字990870用科学记数法表示为（　　）‎ A．9.9087×105 B．9.9087×104 C．99.087×104 D．99.087×103‎ ‎【解答】解：990870＝9.9087×105，‎ 故选：A．‎ ‎4．（3分）如图，是A市某一天的气温随时间变化的情况，则这天的日温差（最高气温与最低气温的差）是（　　）‎ A．4℃ B．8℃ C．12℃ D．16℃‎ ‎【解答】解：从折线统计图中可以看出，这一天中最高气温8℃，最低气温是﹣4℃，这一天中最高气温与最低气温的差为12℃，‎ 故选：C．‎ ‎5．（3分）计算：（‎-‎‎2‎‎3‎x2y）3＝（　　）‎ 第23页（共23页）‎ A．﹣2x6y3 B．‎8‎‎27‎x6y3 C．‎-‎‎8‎‎27‎x6y3 D．‎-‎‎8‎‎27‎x5y4‎ ‎【解答】解：（‎-‎‎2‎‎3‎x2y）3‎=(-‎2‎‎3‎‎)‎‎3‎⋅(x‎2‎‎)‎‎3‎⋅y‎3‎=-‎‎8‎‎27‎x‎6‎y‎3‎．‎ 故选：C．‎ ‎6．（3分）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（　　）‎ A．‎10‎‎13‎‎13‎ B．‎9‎‎13‎‎13‎ C．‎8‎‎13‎‎13‎ D．‎‎7‎‎13‎‎13‎ ‎【解答】解：由勾股定理得：AC‎=‎2‎‎2‎‎+‎‎3‎‎2‎=‎‎13‎，‎ ‎∵S△ABC＝3×3‎-‎1‎‎2‎×1×2-‎1‎‎2‎×1×3-‎1‎‎2‎×2×3=‎3.5，‎ ‎∴‎1‎‎2‎AC⋅BD=‎‎7‎‎2‎，‎ ‎∴‎13‎‎⋅BD=7‎，‎ ‎∴BD‎=‎‎7‎‎13‎‎13‎，‎ 故选：D．‎ ‎7．（3分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线y＝x+3分别与x轴、直线y＝﹣2x交于点A、B，则△AOB的面积为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．6‎ ‎【解答】解：在y＝x+3中，令y＝0，得x＝﹣3，‎ 解y=x+3‎y=-2x得，x=-1‎y=2‎，‎ ‎∴A（﹣3，0），B（﹣1，2），‎ ‎∴△AOB的面积‎=‎1‎‎2‎×‎3×2＝3，‎ 故选：B．‎ ‎8．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝8．E是边BC的中点，F是▱ABCD内一点，且∠BFC＝90°．连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为（　　）‎ 第23页（共23页）‎ A．‎5‎‎2‎ B．‎3‎‎2‎ C．3 D．2‎ ‎【解答】解：∵E是边BC的中点，且∠BFC＝90°，‎ ‎∴Rt△BCF中，EF‎=‎‎1‎‎2‎BC＝4，‎ ‎∵EF∥AB，AB∥CG，E是边BC的中点，‎ ‎∴F是AG的中点，‎ ‎∴EF是梯形ABCG的中位线，‎ ‎∴CG＝2EF﹣AB＝3，‎ 又∵CD＝AB＝5，‎ ‎∴DG＝5﹣3＝2，‎ 故选：D．‎ ‎9．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（　　）‎ A．55° B．65° C．60° D．75°‎ ‎【解答】解：连接CD，‎ ‎∵∠A＝50°，‎ ‎∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，‎ ‎∵E是边BC的中点，‎ ‎∴OD⊥BC，‎ ‎∴BD＝CD，‎ ‎∴∠ODB＝∠ODC‎=‎1‎‎2‎∠‎BDC＝65°，‎ 故选：B．‎ 第23页（共23页）‎ ‎10．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x+m（m＞1）沿y轴向下平移3个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【解答】解：∵y＝x2﹣（m﹣1）x+m＝（x‎-‎m-1‎‎2‎）2+m‎-‎‎(m-1‎‎)‎‎2‎‎4‎，‎ ‎∴该抛物线顶点坐标是（m-1‎‎2‎，m‎-‎‎(m-1‎‎)‎‎2‎‎4‎），‎ ‎∴将其沿y轴向下平移3个单位后得到的抛物线的顶点坐标是（m-1‎‎2‎，m‎-‎(m-1‎‎)‎‎2‎‎4‎-‎3），‎ ‎∵m＞1，‎ ‎∴m﹣1＞0，‎ ‎∴m-1‎‎2‎‎＞‎0，‎ ‎∵m‎-‎(m-1‎‎)‎‎2‎‎4‎-‎3‎=‎4m-(m‎2‎-2m+1)-12‎‎4‎=‎-(m-3‎)‎‎2‎-4‎‎4‎=-‎(m-3‎‎)‎‎2‎‎4‎-‎1＜0，‎ ‎∴点（m-1‎‎2‎，m‎-‎(m-1‎‎)‎‎2‎‎4‎-‎3）在第四象限；‎ 故选：D．‎ 二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）‎ ‎11．（3分）计算：（2‎+‎‎3‎）（2‎-‎‎3‎）＝　1　．‎ ‎【解答】解：原式＝22﹣（‎3‎）2‎ ‎＝4﹣3‎ ‎＝1．‎ ‎12．（3分）如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是　144°　．‎ 第23页（共23页）‎ ‎【解答】解：因为五边形ABCDE是正五边形，‎ 所以∠C‎=‎(5-2)⋅180°‎‎5‎=‎108°，BC＝DC，‎ 所以∠BDC‎=‎180°-108°‎‎2‎=‎36°，‎ 所以∠BDM＝180°﹣36°＝144°，‎ 故答案为：144°．‎ ‎13．（3分）在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1），B（3，2），C（﹣6，m）分别在三个不同的象限．若反比例函数y‎=‎kx（k≠0）的图象经过其中两点，则m的值为　﹣1　．‎ ‎【解答】解：∵点A（﹣2，1），B（3，2），C（﹣6，m）分别在三个不同的象限，点A（﹣2，1）在第二象限，‎ ‎∴点C（﹣6，m）一定在第三象限，‎ ‎∵B（3，2）在第一象限，反比例函数y‎=‎kx（k≠0）的图象经过其中两点，‎ ‎∴反比例函数y‎=‎kx（k≠0）的图象经过B（3，2），C（﹣6，m），‎ ‎∴3×2＝﹣6m，‎ ‎∴m＝﹣1，‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎14．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E在边AD上，且AE＝2．若直线l经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，则线段EF的长为　2‎7‎　．‎ ‎【解答】解：如图，过点A和点E作AG⊥BC，EH⊥BC于点G和H，‎ 得矩形AGHE，‎ ‎∴GH＝AE＝2，‎ 第23页（共23页）‎ ‎∵在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，‎ ‎∴BG＝3，AG＝3‎3‎‎=‎EH，‎ ‎∴HC＝BC﹣BG﹣GH＝6﹣3﹣2＝1，‎ ‎∵EF平分菱形面积，‎ ‎∴FC＝AE＝2，‎ ‎∴FH＝FC﹣HC＝2﹣1＝1，‎ 在Rt△EFH中，根据勾股定理，得 EF‎=EH‎2‎+FH‎2‎=‎27+1‎=‎2‎7‎．‎ 故答案为：2‎7‎．‎ 三、解答题（共11小题，计78分．解答应写出过程）‎ ‎15．（5分）解不等式组：‎‎3x＞6，‎‎2(5-x)＞4．‎ ‎【解答】解：‎3x＞6①‎‎2(5-x)＞4②‎，‎ 由①得：x＞2，‎ 由②得：x＜3，‎ 则不等式组的解集为2＜x＜3．‎ ‎16．（5分）解分式方程：x-2‎x‎-‎3‎x-2‎=‎1．‎ ‎【解答】解：方程x-2‎x‎-‎3‎x-2‎=‎1，‎ 去分母得：x2﹣4x+4﹣3x＝x2﹣2x，‎ 解得：x‎=‎‎4‎‎5‎，‎ 经检验x‎=‎‎4‎‎5‎是分式方程的解．‎ ‎17．（5分）如图，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°．请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°．（保留作图痕迹．不写作法）‎ 第23页（共23页）‎ ‎【解答】解：如图，点P即为所求．‎ ‎18．（5分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC．求证：AD＝BE．‎ ‎【解答】证明：∵DE＝DC，‎ ‎∴∠DEC＝∠C．‎ ‎∵∠B＝∠C，‎ ‎∴∠B＝∠DEC，‎ ‎∴AB∥DE，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴四边形ABED是平行四边形．‎ ‎∴AD＝BE．‎ ‎19．（7分）王大伯承包了一个鱼塘，投放了2000条某种鱼苗，经过一段时间的精心喂养，存活率大致达到了90%．他近期想出售鱼塘里的这种鱼．为了估计鱼塘里这种鱼的总质量，王大伯随机捕捞了20条鱼，分别称得其质量后放回鱼塘．现将这20条鱼的质量作为样本，统计结果如图所示：‎ ‎（1）这20条鱼质量的中位数是　1.45kg　，众数是　1.5kg　．‎ 第23页（共23页）‎ ‎（2）求这20条鱼质量的平均数；‎ ‎（3）经了解，近期市场上这种鱼的售价为每千克18元，请利用这个样本的平均数．估计王大伯近期售完鱼塘里的这种鱼可收入多少元？‎ ‎【解答】解：（1）∵这20条鱼质量的中位数是第10、11个数据的平均数，且第10、11个数据分别为1.4、1.5，‎ ‎∴这20条鱼质量的中位数是‎1.4+1.5‎‎2‎‎=‎1.45（kg），众数是1.5kg，‎ 故答案为：1.45kg，1.5kg．‎ ‎（2）x‎=‎1.2×1+1.3×4+1.4×5+1.5×6+1.6×2+1.7×2‎‎20‎=‎1.45（kg），‎ ‎∴这20条鱼质量的平均数为1.45kg；‎ ‎（3）18×1.45×2000×90%＝46980（元），‎ 答：估计王大伯近期售完鱼塘里的这种鱼可收入46980元．‎ ‎20．（7分）如图所示，小明家与小华家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算所住楼对面商业大厦的高MN．他俩在小明家的窗台B处，测得商业大厦顶部N的仰角∠1的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在B处测得商业大厦底部M的俯角的度数．于是，他俩上楼来到小华家，在窗台C处测得大厦底部M的俯角∠2的度数，竟然发现∠1与∠2恰好相等．已知A，B，C三点共线，CA⊥AM，NM⊥AM，AB＝31m，BC＝18m，试求商业大厦的高MN．‎ 第23页（共23页）‎ ‎【解答】解：如图，过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F，‎ ‎∴∠CEF＝∠BFE＝90°，‎ ‎∵CA⊥AM，NM⊥AM，‎ ‎∴四边形AMEC和四边形AMFB均为矩形，‎ ‎∴CE＝BF，ME＝AC，‎ ‎∠1＝∠2，‎ ‎∴△BFN≌△CEM（ASA），‎ ‎∴NF＝EM＝31+18＝49，‎ 由矩形性质可知：EF＝CB＝18，‎ ‎∴MN＝NF+EM﹣EF＝49+49﹣18＝80（m）．‎ 答：商业大厦的高MN为80m．‎ ‎21．（7分）某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术．这种瓜苗早期在农科所的温室中生长，长到大约20cm时，移至该村的大棚内，沿插杆继续向上生长．研究表明，60天内，这种瓜苗生长的高度y（cm）与生长时间x（天）之间的关系大致如图所示．‎ ‎（1）求y与x之间的函数关系式；‎ ‎（2）当这种瓜苗长到大约80cm 第23页（共23页）‎ 时，开始开花结果，试求这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约多少天，开始开花结果？‎ ‎【解答】解：（1）当0≤x≤15时，设y＝kx（k≠0），‎ 则：20＝15k，‎ 解得k‎=‎‎4‎‎3‎，‎ ‎∴y‎=‎4‎‎3‎x；‎ 当15＜x≤60时，设y＝k′x+b（k≠0），‎ 则：‎20=15k'+b‎170=60k'+b，‎ 解得k'=‎‎10‎‎3‎b=-30‎，‎ ‎∴y‎=‎10‎‎3‎x-30‎，‎ ‎∴y=‎‎4‎‎3‎x(0≤x≤15)‎‎10‎‎3‎x-30(15＜x≤60)‎；‎ ‎（2）当y＝80时，80‎=‎10‎‎3‎x-30‎，解得x＝33，‎ ‎33﹣15＝18（天），‎ ‎∴这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约18天，开始开花结果．‎ ‎22．（7分）小亮和小丽进行摸球试验．他们在一个不透明的空布袋内，放入两个红球，一个白球和一个黄球，共四个小球．这些小球除颜色外其它都相同．试验规则：先将布袋内的小球摇匀，再从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，称为摸球一次．‎ ‎（1）小亮随机摸球10次，其中6次摸出的是红球，求这10次中摸出红球的频率；‎ ‎（2）若小丽随机摸球两次，请利用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率．‎ ‎【解答】解：（1）小亮随机摸球10次，其中6次摸出的是红球，这10‎ 第23页（共23页）‎ 次中摸出红球的频率‎=‎6‎‎10‎=‎‎3‎‎5‎；‎ ‎（2）画树状图得：‎ ‎∵共有16种等可能的结果，两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的有2种情况，‎ ‎∴两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率‎=‎2‎‎16‎=‎‎1‎‎8‎．‎ ‎23．（8分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°．连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD．过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E．‎ ‎（1）求证：AD∥EC；‎ ‎（2）若AB＝12，求线段EC的长．‎ ‎【解答】证明：（1）连接OC，‎ 第23页（共23页）‎ ‎∵CE与⊙O相切于点C，‎ ‎∴∠OCE＝90°，‎ ‎∵∠ABC＝45°，‎ ‎∴∠AOC＝90°，‎ ‎∵∠AOC+∠OCE＝180°，‎ ‎∴∴AD∥EC ‎（2）如图，过点A作AF⊥EC交EC于F，‎ ‎∵∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，‎ ‎∴∠ACB＝60°，‎ ‎∴∠D＝∠ACB＝60°，‎ ‎∴sin∠ADB‎=ABAD=‎‎3‎‎2‎，‎ ‎∴AD‎=‎12×2‎‎3‎=‎8‎3‎，‎ ‎∴OA＝OC＝4‎3‎，‎ ‎∵AF⊥EC，∠OCE＝90°，∠AOC＝90°，‎ ‎∴四边形OAFC是矩形，‎ 又∵OA＝OC，‎ ‎∴四边形OAFC是正方形，‎ ‎∴CF＝AF＝4‎3‎，‎ ‎∵∠BAD＝90°﹣∠D＝30°，‎ ‎∴∠EAF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，‎ 第23页（共23页）‎ ‎∵tan∠EAF‎=EFAF=‎‎3‎，‎ ‎∴EF‎=‎‎3‎AF＝12，‎ ‎∴CE＝CF+EF＝12+4‎3‎．‎ ‎24．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l．‎ ‎（1）求该抛物线的表达式；‎ ‎（2）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）将点（3，12）和（﹣2，﹣3）代入抛物线表达式得‎12=9+3b+c‎-3=4-2b+c，解得b=2‎c=-3‎，‎ 故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3；‎ ‎（2）抛物线的对称轴为x＝﹣1，令y＝0，则x＝﹣3或1，令x＝0，则y＝﹣3，‎ 故点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（1，0）；点C（0，﹣3），‎ 故OA＝OC＝3，‎ ‎∵∠PDE＝∠AOC＝90°，‎ ‎∴当PD＝DE＝3时，以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，‎ 设点P（m，n），当点P在抛物线对称轴右侧时，m﹣（﹣1）＝3，解得：m＝2，‎ 故n＝22+2×2﹣5＝5，故点P（2，5），‎ 故点E（﹣1，2）或（﹣1，8）；‎ 当点P在抛物线对称轴的左侧时，由抛物线的对称性可得，点P（﹣4，5），此时点E坐标同上，‎ 第23页（共23页）‎ 综上，点P的坐标为（2，5）或（﹣4，5）；点E的坐标为（﹣1，2）或（﹣1，8）．‎ ‎25．（12分）问题提出 ‎（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分线交AB于点D．过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC．垂足分别为E，F，则图1中与线段CE相等的线段是　CF、DE、DF　．‎ 问题探究 ‎（2）如图2，AB是半圆O的直径，AB＝8．P是AB上一点，且PB‎=‎2PA，连接AP，BP．∠APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为E，F，求线段CF的长．‎ 问题解决 ‎（3）如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图．已知⊙O的直径AB＝70m，点C在⊙O上，且CA＝CB．P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D．连接AD，BD．过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，重足分别为E，F．按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设AP的长为x（m），阴影部分的面积为y（m2）．‎ ‎①求y与x之间的函数关系式；‎ ‎②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理．试求当AP＝30m时．室内活动区（四边形PEDF）的面积．‎ ‎【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC，‎ ‎∴四边形CEDF是矩形，‎ ‎∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，‎ ‎∴DE＝DF，‎ ‎∴四边形CEDF是正方形，‎ ‎∴CE＝CF＝DE＝DF，‎ 第23页（共23页）‎ 故答案为：CF、DE、DF；‎ ‎（2）连接OP，如图2所示：‎ ‎∵AB是半圆O的直径，PB‎=‎2PA，‎ ‎∴∠APB＝90°，∠AOP‎=‎1‎‎3‎×‎180°＝60°，‎ ‎∴∠ABP＝30°，‎ 同（1）得：四边形PECF是正方形，‎ ‎∴PF＝CF，‎ 在Rt△APB中，PB＝AB•cos∠ABP＝8×cos30°＝8‎×‎3‎‎2‎=‎4‎3‎，‎ 在Rt△CFB中，BF‎=CFtan∠ABC=CFtan30°‎=CF‎3‎‎3‎=‎‎3‎CF，‎ ‎∵PB＝PF+BF，‎ ‎∴PB＝CF+BF，‎ 即：4‎3‎‎=‎CF‎+‎‎3‎CF，‎ 解得：CF＝6﹣2‎3‎；‎ ‎（3）①∵AB为⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB＝∠ADB＝90°，‎ ‎∵CA＝CB，‎ ‎∴∠ADC＝∠BDC，‎ 同（1）得：四边形DEPF是正方形，‎ ‎∴PE＝PF，∠APE+∠BPF＝90°，∠PEA＝∠PFB＝90°，‎ ‎∴将△APE绕点P逆时针旋转90°，得到△A′PF，PA′＝PA，如图3所示：‎ 则A′、F、B三点共线，∠APE＝∠A′PF，‎ ‎∴∠A′PF+∠BPF＝90°，即∠A′PB＝90°，‎ ‎∴S△PAE+S△PBF＝S△PA′B‎=‎‎1‎‎2‎PA′•PB‎=‎‎1‎‎2‎x（70﹣x），‎ 在Rt△ACB中，AC＝BC‎=‎‎2‎‎2‎AB‎=‎2‎‎2‎×‎70＝35‎2‎，‎ ‎∴S△ACB‎=‎‎1‎‎2‎AC2‎=‎1‎‎2‎×‎（35‎2‎）2＝1225，‎ ‎∴y＝S△PA′B+S△ACB‎=‎‎1‎‎2‎x（70﹣x）+1225‎=-‎‎1‎‎2‎x2+35x+1225；‎ ‎②当AP＝30时，A′P＝30，PB＝AB﹣AP＝70﹣30＝40，‎ 第23页（共23页）‎ 在Rt△A′PB中，由勾股定理得：A′B‎=A'P‎2‎+PB‎2‎=‎3‎0‎‎2‎+4‎‎0‎‎2‎=‎50，‎ ‎∵S△A′PB‎=‎‎1‎‎2‎A′B•PF‎=‎‎1‎‎2‎PB•A′P，‎ ‎∴‎1‎‎2‎‎×‎50×PF‎=‎1‎‎2‎×‎40×30，‎ 解得：PF＝24，‎ ‎∴S四边形PEDF＝PF2＝242＝576（m2），‎ ‎∴当AP＝30m时．室内活动区（四边形PEDF）的面积为576m2．‎ 第23页（共23页）‎