中考专题数学二次函数综合应用培优试题 5页

‎1.如图1,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(−1,0)、B(4,0)两点，与y轴交于点C，且OC=3OA.点P是抛物线上的一个动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点D，连接PC.‎ ‎(1)求抛物线的解析式；‎ ‎(2)如图2，当动点P只在第一象限的抛物线上运动时，过点P作PF⊥BC于点F，试问△PDF的周长是否有最大值?如果有，请求出其最大值，如果没有，请说明理由；‎ ‎(3)当点P在抛物线上运动时，将△CPD沿直线CP翻折，点D的对应点为点Q，四边形CDPQ能否成为菱形?如果能，请直接写出此时点P的坐标，如果不能，请说明理由.‎ ‎2.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OB=8，OC=6.‎ ‎(1)求抛物线的解析式；‎ ‎(2)点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时，点N从B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△MBN存在时，求运动多少秒使△MBN的面积最大，最大面积是多少?‎ ‎(3)在(2)的条件下，△MBN面积最大时，在BC上方的抛物线上是否存在点P，使△BPC的面积是△MBN面积的9倍?若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎3.如图,二次函数y=x2+bx+c的图象过点B(0,1)、C(4,3)两点,与x轴交于点D、点E，过点B、C的直线与x轴交于点A.‎ ‎(1)求二次函数的解析式；‎ ‎(2)在x轴上有一动点P，随着点P的移动，存在点P使△PBC是直角三角形，请求出点P的坐标.‎ ‎(3)若动点P在x轴上，动点Q在射线AC上，同时从A点出发，点P沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，点Q以每秒a个单位的速度沿射线AC运动，是否存在以A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似，若存在，求a的值，若不存在，说明理由。‎ ‎4.如图(1),直线y=−x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C,经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P.‎ ‎(1)求该抛物线的解析式；‎ ‎(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C、P、M为顶点的三角形为等腰三角形?若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎(3)连结AC,在x轴上是否存在点Q,使以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎5.在平面直角坐标系中,我们定义直线y=ax−a为抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”.‎ 已知抛物线y=−x2−x+与其“梦想直线”交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与x轴负半轴交于点C.‎ ‎(1)填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为 ，‎ 点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；‎ ‎(2)如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；‎ ‎(3)当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形?若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由.‎