中考数学试题分类汇编专题——综合问题解答题 84页

‎2010年中考数学试题分类汇编专题——综合问题(解答题)‎ ‎1．（2010安徽芜湖）（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO，其顶点为A（0，1）、B（－3，1）、C（－3，0）、O（0，0）．将此矩形沿着过E（－，1）、F（－，0）的直线EF向右下方翻折，B、C的对应点分别为B′、C′．‎ ‎（1）求折痕所在直线EF的解析式；‎ ‎（2）一抛物线经过B、E、B′三点，求此二次函数解析式；‎ ‎（3）能否在直线EF上求一点P，使得△PBC周长最小？如能，求出点P的坐标；若不能，说明理由．‎ ‎【答案】‎ ‎2．（2010广东广州，24，14分）如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是上任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．‎ ‎（1）求弦AB的长；‎ ‎（2）判断∠ACB是否为定值，若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由；‎ ‎（3）记△ABC的面积为S，若＝4，求△ABC的周长.‎ ‎【答案】解：（1）连接OA，取OP与AB的交点为F，则有OA＝1．‎ ‎∵弦AB垂直平分线段OP，∴OF＝OP＝，AF＝BF．‎ 在Rt△OAF中，∵AF＝＝＝，∴AB＝2AF＝．‎ ‎（2）∠ACB是定值.‎ 理由：由（1）易知，∠AOB＝120°，‎ 因为点D为△ABC的内心，所以，连结AD、BD，则∠CAB＝2∠DAE，∠CBA＝2∠DBA，‎ 因为∠DAE＋∠DBA＝∠AOB＝60°，所以∠CAB＋∠CBA＝120°，所以∠ACB＝60°；‎ ‎（3）记△ABC的周长为l，取AC，BC与⊙D的切点分别为G，H，连接DG，DC，DH，则有DG＝DH＝DE，DG⊥AC，DH⊥BC.‎ ‎∴‎ ‎＝AB•DE＋BC•DH＋AC•DG＝(AB＋BC＋AC) •DE＝l•DE．‎ ‎∵＝4，∴＝4，∴l＝8DE.‎ ‎∵CG，CH是⊙D的切线，∴∠GCD＝∠ACB＝30°，‎ ‎∴在Rt△CGD中，CG＝＝＝DE，∴CH＝CG＝DE．‎ 又由切线长定理可知AG＝AE，BH＝BE，‎ ‎∴l＝AB＋BC＋AC＝2＋2DE＝8DE，解得DE＝，‎ ‎∴△ABC的周长为．‎ ‎ ‎ ‎3．（2010江苏南京）（8分）如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点，点E从点A出发，沿AB运动到点B停止，连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连结EG、FG。‎ ‎（1）设AE=时，△EGF的面积为，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；‎ ‎（2）P是MG的中点，请直接写出点P的运动路线的长。‎ ‎【答案】‎ ‎4．（2010江苏南通）（本小题满分12分）‎ 如图，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常数），BC=8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE=x，BF=y．‎ ‎（1）求y关于x的函数关系式； ‎ ‎（2）若m=8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？‎ ‎（3）若，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？‎ ‎【答案】⑴在矩形ABCD中，∠B=∠C=Rt∠，‎ ‎∴在Rt△BFE中， ∠1+∠BFE=90°，‎ 又∵EF⊥DE ∴∠1+∠2=90°，∴∠2=∠BFE，∴Rt△BFE∽Rt△CED ‎∴即∴‎ ‎⑵当=8时， ，化成顶点式: ，‎ ‎∴当=4时，的值最大，最大值是2.‎ ‎⑶由，及得的方程: ，得， ，‎ ‎∵△DEF中∠FED是直角，‎ ‎∴要使△DEF是等腰三角形，则只能是EF=ED，‎ 此时， Rt△BFE≌Rt△CED，‎ ‎∴当EC=2时，=CD=BE=6;‎ ‎ 当EC=6时，=CD=BE=2.‎ 即的值应为6或2时， △DEF是等腰三角形.‎ ‎5．（2010江苏南通）（本小题满分14分）‎ 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（－4，3）、B（2，0）两点，当x=3和x=－3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等．经过点C（0，－2）的直线l与 x轴平行，O为坐标原点．‎ ‎（1）求直线AB和这条抛物线的解析式；‎ ‎（2）以A为圆心，AO为半径的圆记为⊙A，判断直线l与⊙A的位置关系，并说明理由；‎ ‎（3）设直线AB上的点D的横坐标为－1，P（m，n）是抛物线y＝ax2＋bx＋c上的动点，当 ‎△PDO的周长最小时，求四边形CODP的面积．‎ ‎【答案】（1）因为当x=3和x=－3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等，故b=0.‎ 设直线AB的解析式为y=kx+b，把A（－4，3）、B（2，0）代入到y＝ax2＋bx＋c，得 ‎ 解得 ‎∴这条抛物线的解析式为y＝x2-1.‎ 设直线AB的解析式为y=kx+b，把A（－4，3）、B（2，0）代入到y=kx+b，得 ‎ 解得 ‎∴这条直线的解析式为y＝-x+1.‎ ‎（2）依题意，OA=即⊙A的半径为5.‎ 而圆心到直线l的距离为3+2=5.‎ 即圆心到直线l的距离=⊙A的半径，‎ ‎∴直线l与⊙A相切.‎ ‎（3）由题意，把x=-1代入y=-x+1，得y=，即D（-1，）.‎ 由（2）中点A到原点距离跟到直线y=-2的距离相等，且当点A成为抛物线上一个动点时，仍然具有这样的性质，于是过点D作DH⊥直线l于H，交抛物线于点P，此时易得DH是D点到l最短距离，点P坐标（-1，-）此时四边形PDOC为梯形，面积为.‎ ‎6．（2010江苏盐城）（本题满分12分）如图1所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，∠DCB=75º，以CD为一边的等边△DCE的另一顶点E在腰AB上．‎ ‎（1）求∠AED的度数；‎ ‎（2）求证：AB=BC；‎ ‎（3）如图2所示，若F为线段CD上一点，∠FBC=30º．‎ 求 的值．‎ ‎【答案】‎ ‎7．（2010山东烟台）（本题满分14分）‎ 如图，已知抛物线y=x2+bx-3a过点A（1,0），B(0,-3),与x轴交于另一点C。‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）若在第三象限的抛物线上存在点P，使△PBC为以点B为直角顶点的直角三角形，求点P的坐标；‎ ‎（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在一点Q，使以P,Q,B,C为顶点的四边形为直角梯形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。‎ ‎【答案】‎ ‎8．（2010四川凉山）已知：抛物线，顶点，与轴交于A、‎ B两点，。‎ （1） 求这条抛物线的解析式；‎ （2） 如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线的对称轴交于点F，依次连接A、D、B、E，点Q为线段AB上一个动点（Q与A、B两点不重合），过点Q作于，于，请判断是否为定值；若是，请求出此定值，若不是，请说明理由；‎ （3） 在（2）的条件下，若点H是线段EQ上一点，过点H作，分别与边、相交于、，（与、不重合，与、不重合），请判断是否成立；若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由。‎ 第26题图 A B x G F M H E N Q O D C ‎ y ‎【答案】‎ ‎9．（2010四川眉山）如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（，0）、（0，4），抛物线经过B点，且顶点在直线上．‎ ‎（1）求抛物线对应的函数关系式；‎ ‎（2）若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；‎ ‎（3）若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴交CD于点N．设点M的横坐标为t，MN的长度为l．求l与t之间的函数关系式，并求l取最大值时，点M的坐标．‎ ‎【答案】‎ 解：（1）由题意，可设所求抛物线对应的函数关系式为 …（1分）‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴ ……………………………………………………………（3分）‎ ‎ ∴所求函数关系式为： …………（4分）‎ ‎ （2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，‎ ‎∴‎ ‎∵四边形ABCD是菱形 ‎∴BC=CD=DA=AB=5 ……………………………………（5分）‎ ‎∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）． …………（6分）‎ 当时，‎ 当时，‎ ‎∴点C和点D在所求抛物线上． …………………………（7分）‎ ‎（3）设直线CD对应的函数关系式为，则 解得：．‎ ‎∴ ………（9分）‎ ‎∵MN∥y轴，M点的横坐标为t，‎ ‎∴N点的横坐标也为t．‎ 则， ，……………………（10分）‎ ‎∴‎ ‎∵， ∴当时，，‎ 此时点M的坐标为（，）． ………………………………（12分）‎ ‎10．（2010浙江杭州） (本小题满分12分) ‎ ‎（第24题）‎ 在平面直角坐标系xOy中，抛物线的解析式是y =+1，‎ 点C的坐标为(–4，0)，平行四边形OABC的顶点A，B在抛物 线上，AB与y轴交于点M，已知点Q(x，y)在抛物线上，点 P(t，0)在x轴上. ‎ ‎ (1) 写出点M的坐标； ‎ ‎ (2) 当四边形CMQP是以MQ，PC为腰的梯形时.‎ ‎① 求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围；‎ ‎② 当梯形CMQP的两底的长度之比为1：2时，求t的值.‎ ‎【答案】‎ ‎(本小题满分12分)‎ ‎（第24题）‎ ‎(1) ∵OABC是平行四边形，∴AB∥OC，且AB = OC = 4，‎ ‎∵A，B在抛物线上，y轴是抛物线的对称轴，‎ ‎∴ A，B的横坐标分别是2和– 2， ‎ 代入y =+1得， A(2, 2 )，B(– 2，2)，‎ ‎∴M (0，2)， ---2分 ‎ (2) ① 过点Q作QH ^ x轴，设垂足为H， 则HQ = y ，HP = x–t ，‎ 由△HQP∽△OMC，得：, 即： t = x – 2y ,‎ ‎ ∵ Q(x,y) 在y = +1上， ∴ t = –+ x –2. ---2分 当点P与点C重合时，梯形不存在，此时，t = – 4，解得x = 1±,‎ 当Q与B或A重合时，四边形为平行四边形，此时，x = ± 2‎ ‎∴x的取值范围是x ¹ 1±, 且x¹± 2的所有实数. ---2分 ‎② 分两种情况讨论： ‎ ‎1）当CM > PQ时，则点P在线段OC上， ‎ ‎ ∵ CM∥PQ，CM = 2PQ ，‎ ‎∴点M纵坐标为点Q纵坐标的2倍，即2 = 2(+1)，解得x = 0 ，‎ ‎∴t = –+ 0 –2 = –2 . --- 2分 ‎2）当CM < PQ时，则点P在OC的延长线上，‎ ‎ ∵CM∥PQ，CM = PQ，‎ ‎∴点Q纵坐标为点M纵坐标的2倍，即+1=2´2，解得： x = ±. ---2分 ‎ 当x = –时，得t = –––2 = –8 –, ‎ 当x=时， 得t =–8. ---2分 ‎ ‎11．（2010浙江宁波）如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，□ABCD的顶点A的坐标为(-2，0)，点 ‎ D的坐标为 (0，)，点B在轴的正半轴上，点E为线段AD的中点，过点E的直 ‎ 线与轴交于点F，与射线DC交于点G.‎ ‎ (1)求∠DCB的度数；‎ ‎ (2)当点F的坐标为(-4，0)时，求点G的坐标；‎ ‎ (3)连结OE，以OE所在直线为对称轴，△OEF经轴对称变换后得到△OEF’，记直线EF’与射线DC的交点为H.‎ ‎ ①如图2，当点G在点H的左侧时，求证：△DEG∽△DHE； ‎ ‎ ②若△EHG的面积为，请直接写出点F的坐标.‎ ‎ ‎ ‎（图2）‎ ‎（图1）‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ 解：(1) 在Rt△AOD中， ‎ ‎∵tan∠DAO=， ‎ ‎∴ ∠DAB=60°. 2分 ‎∵四边形ABCD是平行四边形 ‎ ‎∴∠DCB=∠DAB=60° 3分 ‎ ‎ (2) ∵四边形ABCD是平行四边形 ‎ ∴CD∥AB ‎ ‎∴∠DGE=∠AFE 又∵∠DEG=∠AEF，DE=AE ‎∴△DEG≌△AEF 4分 ‎∴DG=AF ‎∵AF=OF-OA=4-2=2‎ ‎∴DG=2‎ ‎∴点G的坐标为(2，) 6分 ‎ (3)①∵CD∥AB ‎∴∠DGE=∠OFE ‎∵△OEF经轴对称变换后得到△OEF’‎ ‎∴∠OFE=∠OF’E 7分 ‎∴∠DGE=∠OF’E ‎ 在Rt△AOD中，∵E是AD的中点 ∴OE=AD=AE ‎ 又∵∠EAO=60° ‎ ‎∴∠EOA=60°， ∠AEO=60°‎ 又∵∠EOF’=∠EOA=60° ‎ ‎∴∠EOF’=∠OEA ‎∴AD∥OF’ 8分 ‎∴∠OF′E=∠DEH ‎∴∠DEH=∠DGE 又∵∠HDE=∠EDG ‎∴△DHE∽△DEG 9分 ‎②点F的坐标是F1(，0)，F2(，0). 12分 ‎ (给出一个得2分)‎ ‎ ‎ ‎ 对于此小题，我们提供如下详细解答，对学生无此要求.‎ ‎ 过点E作EM⊥直线CD于点M，‎ M ‎∵CD∥AB ‎ ‎∴∠EDM=∠DAB=60°‎ ‎ ∴ ‎ ‎ ∵‎ ‎∴‎ ‎∵△DHE∽△DEG ‎ ‎∴ 即 当点在点的右侧时，设，‎ ‎　　　　　　∴ ‎ 解得：（舍）‎ ‎　 ∵△DEG≌△AEF ‎ ‎∴AF=DG=‎ ‎∵OF=AO+AF=‎ ‎∴点F的坐标为(，0)‎ 当点在点的左侧时，设，‎ ‎　　　　 ∴　 ‎ 解得：（舍）‎ ‎　 ∵△DEG≌△AEF ‎ ‎∴AF=DG=‎ ‎∵OF=AO+AF=‎ ‎∴点F的坐标为(，0)‎ 综上可知， 点F的坐标有两个，分别是F1(，0)，F2(，0).‎ ‎ 12．（2010浙江绍兴）如图,设抛物线C1:, C2:,C1与C2的交点为A, B,点A的坐标是,点B的横坐标是－2.‎ 第24题图 ‎ （1）求的值及点B的坐标； ‎ ‎（2）点D在线段AB上,过D作x轴的垂线,垂足为点H,‎ 在DH的右侧作正三角形DHG. 记过C2顶点Ｍ的 直线为,且与x轴交于点N.‎ ‎① 若过△DHG的顶点G,点D的坐标为 ‎(1, 2)，求点N的横坐标；‎ ‎② 若与△DHG的边DG相交,求点N的横 坐标的取值范围.‎ ‎【答案】‎ 解：（1）∵ 点A在抛物线C1上，∴ 把点A坐标代入得 =1. ‎ ‎∴ 抛物线C1的解析式为,‎ ‎ 设B(－2,b)， ∴ b＝－4, ∴ B(－2,－4) . ‎ ‎（2）①如图1，‎ ‎∵ M(1, 5)，D(1, 2), 且DH⊥x轴，∴ 点M在DH上，MH=5. ‎ 过点G作GE⊥DH,垂足为E,‎ 第24题图1‎ 由△DHG是正三角形,可得EG=, EH=1，‎ ‎∴ ME＝4. ‎ 设N ( x, 0 ), 则 NH＝x－1,‎ 由△MEG∽△MHN,得 ,‎ ‎∴ , ∴ ,‎ ‎∴ 点N的横坐标为． ‎ 第24题图2‎ ‎② 当点Ｄ移到与点A重合时,如图2，‎ 直线与DG交于点G,此时点Ｎ的横坐标最大．‎ 过点Ｇ,Ｍ作x轴的垂线,垂足分别为点Ｑ,F,‎ 设Ｎ（x，0），‎ ‎∵ A (2, 4), ∴ G (, 2),‎ ‎∴ NQ=，ＮF =, GQ=2, MF =5.‎ ‎∵ △NGQ∽△NMF，‎ ‎∴ ,‎ 第24题图3‎ 图4‎ ‎∴ ,‎ ‎∴ . ‎ 当点D移到与点B重合时,如图3，‎ 直线与DG交于点D,即点B, ‎ 此时点N的横坐标最小.‎ ‎ ∵ B(－2, －4), ∴ H(－2, 0), D(－2, －4),‎ 设N（x，0）， ‎ ‎∵ △BHN∽△MFN， ∴ ，‎ ‎∴ , ∴ . ‎ ‎∴ 点N横坐标的范围为 ≤x≤. ‎ ‎13．（2010山东聊城）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，且抛物线经过A（－1，0）、C（0，－3）两点，与x轴交于另一点B．‎ ‎（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；‎ ‎（2）在抛物线的对称轴x＝1上求一点M，使点M到点A 的距离与到点C的距离之和最小，并求此时点M的坐标；‎ ‎（3）设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点，求使∠PCB＝90º的点P的坐标．‎ ‎【答案】解：（1）∵抛物线经过点C（0，－3）∴C＝－3，∴y＝ax2+bx-3，又抛物线经过点A（－1，0），对称轴为x=1，所以 ‎∴抛物线的函数关系式为y＝x2－2x-3‎ ‎（2）∵点A（－1,0），对称轴为x=1，∴点B（2，0）．‎ 设直线BC的函数关系式为y=kx+b，根据题意得　‎ ‎∴直线BC的函数关系式为y=－3x－3，当x=1时，y＝－6，∴点P的坐标为（1，－6）．‎ ‎（3）如图，过点P作PD⊥OC，设P（1，y），则PE＝|y|，DC＝｜－3－y｜，‎ 在Rt△PEB中，PB2＝22+|y|2＝4+y2，在Rt△PCD中PC2＝12+|－3－y|2＝10+6y+y2,在Rt△OBC中，BC2＝32+32＝18，∵∠PCD＝90º，∴PB2+PC2＝BC2，∴4+y2+10+6y+y2＝18，整理得y2+3y-2＝0解得y1＝，y2＝．‎ ‎14．（2010 福建晋江）（13分）已知：如图，把矩形放置于直角坐标系中，，，取的中点，连结，把沿轴的负方向平移的长度后得到.‎ ‎(1)试直接写出点的坐标；‎ ‎(2)已知点与点在经过原点的抛物线上，点在第一象限内的该抛物线上移动，过点作轴于点，连结.‎ ‎①若以、、为顶点的三角形与相似，试求出点的坐标；‎ ‎②试问在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的值最大.‎ ‎【答案】‎ A O x D B C M y E P T Q 解：(1)依题意得：；…………………………………………………（3分）‎ ‎(2) ① ∵，，∴.‎ ‎ ∵抛物线经过原点，‎ ‎∴设抛物线的解析式为 又抛物线经过点与点 ‎∴ 解得：‎ ‎∴抛物线的解析式为.…………………（5分）‎ ‎∵点在抛物线上，‎ ‎∴设点.‎ ‎1)若∽，则， ，解得：(舍去)或 ‎，‎ ‎∴点.………………………………………………………………（7分）‎ ‎2)若∽，则， ，解得：(舍去)或，‎ ‎∴点.……………………………………………………………………（9分）‎ ‎②存在点，使得的值最大.‎ 抛物线的对称轴为直线，设抛物线与轴的另一个交点为，则点.………………………………………………………………………（10分）‎ ‎∵点、点关于直线对称，‎ ‎∴……………………………………………………………………（11分）‎ 要使得的值最大，即是使得的值最大，‎ 根据三角形两边之差小于第三边可知，当、、三点在同一直线上时，的值最大. ……………………………………………………………………………（12分）‎ 设过、两点的直线解析式为，‎ ‎∴ 解得：‎ ‎∴直线的解析式为.‎ 当时，.‎ ‎∴存在一点使得最大.………………………（13分）‎ ‎15．（2010 四川南充）已知抛物线上有不同的两点E和F．‎ ‎（1）求抛物线的解析式．‎ ‎（2）如图，抛物线与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B，M为AB的中点，∠PMQ在AB的同侧以M为中心旋转，且∠PMQ＝45°，MP交y轴于点C，MQ交x轴于点D．设AD的长为m（m＞0），BC的长为n，求n和m之间的函数关系式．‎ ‎（3）当m，n为何值时，∠PMQ的边过点F．‎ ‎【答案】‎ 11. 解：（1）抛物线的对称轴为．　……..（1分） ∵　抛物线上不同两个点E和F的纵坐标相同， ∴　点E和点F关于抛物线对称轴对称，则　，且k≠－2． ∴　抛物线的解析式为．　　　　　　　　　　　　……..（2分） （2）抛物线与x轴的交点为A（4，0），与y轴的交点为B（0，4）， ∴　AB＝，AM＝BM＝．　　　　　　　　　　　　　　　　……..（3分） 在∠PMQ绕点M在AB同侧旋转过程中，∠MBC＝∠DAM＝∠PMQ＝45°， 在△BCM中，∠BMC＋∠BCM＋∠MBC＝180°，即∠BMC＋∠BCM＝135°， 在直线AB上，∠BMC＋∠PMQ＋∠AMD＝180°，即∠BMC＋∠AMD＝135°． ∴　∠BCM＝∠AMD． 故　△BCM∽△AMD．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……..（4分） ∴　，即　，． 故n和m 之间的函数关系式为（m＞0）．　　　　　　　　　　……..（5分） （3）∵　F在上， 　　 ∴　， 　　化简得，，∴　k1＝1，k2＝3．　　　　 　　即F1（－2，0）或F2（－4，－8）．　　　　　　　　　　　　　……..（6分） 　　①MF过M（2，2）和F1（－2，0），设MF为， 　　则　　　解得，　∴　直线MF的解析式为． 　　直线MF与x轴交点为（－2，0），与y轴交点为（0，1）． 　　若MP过点F（－2，0），则n＝4－1＝3，m＝； 　　若MQ过点F（－2，0），则m＝4－（－2）＝6，n＝．　　　……..（7分） 　　②MF过M（2，2）和F1（－4，－8），设MF为， 　　则　　解得，　∴　直线MF的解析式为． 　　直线MF与x轴交点为（，0），与y轴交点为（0，）． 　　若MP过点F（－4，－8），则n＝4－（）＝，m＝； 　　若MQ过点F（－4，－8），则m＝4－＝，n＝．　　……..（8分） 　故当　　或时，∠PMQ的边过点F．‎ ‎16．（2010 四川南充）如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC，OE⊥BC， OE＝BC． （1）求∠BAC的度数．‎ ‎ （2）将△ACD沿AC折叠为△ACF，将△ABD沿AB折叠为△ABG，延长FC和GB相交于点H．求证：四边形AFHG是正方形． （3）若BD＝6，CD＝4，求AD的长．‎ ‎　　　‎ ‎【答案】（1）解：连结OB和OC． ‎ ‎∵　OE⊥BC，∴　BE＝CE． ∵　OE＝BC，∴　∠BOC＝90°，∴　∠BAC＝45°．　　　　　　　‎ ‎（2）证明：∵　AD⊥BC，∴　∠ADB＝∠ADC＝90°． 由折叠可知，AG＝AF＝AD，∠AGH＝∠AFH＝90°， 　　　　　　∠BAG＝∠BAD，∠CAF＝∠CAD，　　　　　　　　　 ∴　∠BAG＋∠CAF＝∠BAD＋∠CAD＝∠BAC＝45°． ∴　∠GAF＝∠BAG＋∠CAF＋∠BAC＝90°． ∴　四边形AFHG是正方形．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （3）解：由（2）得，∠BHC＝90°，GH＝HF＝AD，GB＝BD＝6，CF＝CD＝4． 设AD的长为x，则　BH＝GH－GB＝x－6，CH＝HF－CF＝x－4．　　 在Rt△BCH中，BH2＋CH2＝BC2，∴　（x－6）2＋（x－4）2＝102． 解得，x1=12，x2＝－2（不合题意，舍去）． ∴　AD＝12．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎17．（2010 山东济南）如图,已知直线与双曲线交于A，B两点，且点A的横坐标为4. ‎ ‎（1）求k的值；‎ ‎（2）若双曲线上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积；‎ ‎（3）过原点O的另一条直线l交双曲线于P，Q两点（P点在第一象限），若由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标．‎ ‎【答案】(1）∵点A横坐标为4 ， ‎ ‎∴当 x = 4时，y = 2 ‎ ‎∴ 点A的坐标为（4，2 ） …………2’ ‎ ‎∵点A是直线与双曲线（k>0）的交点，‎ ‎∴ k = 4×2 = 8 ………….3’ ‎ ‎(2)解法一：‎ ‎∵ 点C在双曲线上，当y = 8时，x = 1‎ ‎∴ 点C的坐标为（1，8）………..4’ ‎ 过点A、C分别做x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，得矩形DMON ‎ S矩形ONDM= 32 ， S△ONC = 4 ， S△CDA = 9， S△OAM = 4 ‎ S△AOC= S矩形ONDM－S△ONC－S△CDA－S△OAM ‎ ‎= 32－4－9－4 = 15 ………..6’ ‎ 解法二：‎ 过点 C、A分别做轴的垂线，垂足为E、F，‎ ‎∵ 点C在双曲线上，当y = 8时，x = 1。‎ ‎∴ 点C的坐标为（1，8） ‎ ‎∵ 点C、A都在双曲线上，‎ ‎∴ S△COE = S△AOF = 4 ‎ ‎∴ S△COE + S梯形CEFA = S△COA + S△AOF .‎ ‎∴ S△COA = S梯形CEFA ‎ ‎∵ S梯形CEFA =×（2+8）×3 = 15， ‎ ‎∴ S△COA = 15 ‎ ‎（3）∵ 反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形 ，‎ ‎∴ OP=OQ，OA=OB ‎∴ 四边形APBQ是平行四边形 ‎∴ S△POA = S平行四边形APBQ =×24 = 6‎ 设点P的横坐标为m（m > 0且），‎ 得P（m，） …………..7’‎ 过点P、A分别做轴的垂线，垂足为E、F，‎ ‎∵ 点P、A在双曲线上，∴S△POE = S△AOF = 4‎ 若0＜m＜4，‎ ‎∵ S△POE + S梯形PEFA = S△POA + S△AOF，‎ ‎∴ S梯形PEFA = S△POA = 6 ‎ ‎∴ ‎ 解得m= 2，m= － 8（舍去） ‎ ‎∴ P（2，4） ……………8’ ‎ 若 m＞ 4，‎ ‎∵ S△AOF+ S梯形AFEP = S△AOP + S△POE，‎ ‎∴ S梯形PEFA = S△POA = 6 ‎ ‎ ∴，‎ 解得m= 8，m =－2 （舍去）‎ ‎∴ P（8，1）‎ ‎∴ 点P的坐标是P（2，4）或P（8，1）………….9’‎ ‎18．（2010江苏泰州）在平面直角坐标系中，直线（k为常数且k≠0）分别交x轴、y轴于点A、B，⊙O半径为个单位长度．‎ ‎⑴如图甲，若点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，且OA=OB．‎ ‎①求k的值；‎ ‎②若b=4，点P为直线上的动点，过点P作⊙O的切线PC、PD，切点分别为C、D，当PC⊥PD时，求点P的坐标．‎ ‎⑵若，直线将圆周分成两段弧长之比为1∶2，求b的值．（图乙供选用）‎ ‎ ‎ ‎【答案】⑴①根据题意得：B的坐标为（0，b），∴OA=OB=b，∴A的坐标为（b，0），代入y＝kx＋b得k＝－1.‎ ‎②过P作x轴的垂线，垂足为F，连结OD.‎ ‎∵PC、PD是⊙O的两条切线，∠CPD=90°，‎ ‎∴∠OPD=∠OPC=∠CPD=45°，‎ ‎∵∠PDO=90°，，∠POD=∠OPD＝45°，‎ ‎∴OD＝PD＝，OP=.‎ ‎∵P在直线y＝－x＋4上，设P（m，－m＋4），则OF=m，PF=－m＋4，‎ ‎∵∠PFO=90°， OF2＋PF2＝PO2，‎ ‎∴ m2＋ (－m＋4)2＝（）2， 全品中考网 解得m=1或3，‎ ‎∴P的坐标为（1，3）或（3，1）‎ ‎⑵分两种情形，y＝－x＋，或y＝－x－。‎ 直线将圆周分成两段弧长之比为1∶2，可知其所对圆心角为120°，如图，画出弦心距OC，可得弦心距OC=，又∵直线中∴直线与x轴交角的正切值为，即，∴AC=，进而可得AO=，即直线与与x轴交于点（，0）．所以直线与y轴交于点（，0），所以b的值为．‎ 当直线与x轴、y轴的负半轴相交，同理可求得b的值为．‎ 综合以上得：b的值为或．‎ ‎19．（2010湖南邵阳）如图（十四），抛物线y＝与x轴交于点A、B，与y轴相交于点C，顶点为点D，对称轴l与直线BC相交于点E，与x轴交于点F。‎ ‎（1）求直线BC的解析式；‎ ‎（2）设点P为该抛物线上的一个动点，以点P为圆心，r为半径作⊙P。‎ ‎①当点P运动到点D时，若⊙P与直线BC相交 ，求r的取值范围；‎ ‎②若r=，是否存在点P使⊙P与直线BC相切，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 提示：抛物线y＝的顶点坐标，对称轴x＝.‎ ‎ 图（十四）‎ ‎【答案】解（1）令y=0，求得A点坐标为（－2，0），B点坐标为（6，0）；‎ 令x＝0，求得C点的坐标为（0，3）‎ 设BC直线为y＝kx＋b，把B、C点的坐标代入得： 解得k＝，b=3‎ 故BC的解析式为：y=x＋3‎ ‎（2）①过点D（2，4）作DG⊥BC于点G，因为抛物线的对称轴是直线x=2，所以点E的坐标为（2，2），所以有EF＝2，FB＝4，EB＝2，DE＝2，从图中可知，，所以有： 解得DG＝ 故当r＞，点P 运动到点D时，⊙P与直线BC相交 ‎②由①知，直线BC上方的点D符合要求。设过点D并与直线BC平行的直线为y＝x＋n，把点D的坐标代入，求得n＝5，所以联立： 解得两点（2，4）为D点，（4，3）也符合条件。‎ 设在直线BC下方到直线BC的距离为的直线m与x轴交于点M，过点M作MN⊥BC于点N，所以MN=，又tan∠NBM＝　所以NB=，BM＝4，所以点M与点F重合。设直线m为y=x＋b 把点F的坐标，代入得：0＝×2＋b 得b=1，所以直线m的解析式为：y＝ｘ+１‎ 联立方程组：　　　解得：ｘ＝ ‎ 所以适合要求的点还有两点即（3－，）与（3＋，）‎ 故当r=，存在点P使⊙P与直线BC相切，符合条件的点P有四个，即是D ‎（2，4），（4，3）和（3－，），（3＋，）的坐标．‎ ‎20．（2010年上海）如图8，已知平面直角坐标系xOy，抛物线y＝－x2＋bx＋c过点A(4,0)、B(1,3) .‎ ‎（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；‎ ‎（2）记该抛物线的对称轴为直线l，设抛物线上的点P(m,n)在第四象限，点P关于直线l的对称点为E，点E关于y轴的对称点为F，若四边形OAPF的面积为20，求m、n的值.‎ 图8‎ ‎【答案】解：(1) 抛物线y＝－x2＋bx＋c过点 A(4,0)B(1,3).∴‎ ‎∴，，对称轴为直线，顶点坐标为 ‎（2）∵直线EP∥OA,E与P两点关于直线对称，∴OE=AP,∴梯形OEPA为等腰梯形，‎ ‎∴∠OEP=∠APE,∵OE=OF, ∴∠OEP=∠AFE,∴∠OFP=∠APE,∴OF∥AP,‎ ‎∴四边形OAPF为平行四边形，∵四边形OAPF的面积为20，∴，‎ ‎∴，∴.‎ ‎21．（2010年上海）如图9，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连结DE并延长，与线段BC的延长线交于点P.‎ ‎（1）当∠B＝30°时，连结AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长；‎ ‎（2）若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值；‎ ‎（3）若，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式.‎ 图9 图10(备用) 图11(备用)‎ ‎【答案】解：（1）如图1，∵∠ACB=90°, ∠B=30°,∴∠BAC=60°,∵AD=AE=1∴ΔADE为等边三角形，∴∠ADE=∠AED=60°,∴∠BDE=∠AEP=120°,∠CEP=60°,∴∠EPC=30°=∠B,‎ ‎∴ΔBDP为等腰三角形，∵ΔAPE与ΔBPD相似，∴ΔAPE为等腰三角形，AE=EP=1,‎ ‎∴CE=EP=．‎ ‎（2）设BC=BD=，∠ACB=90°,∴，∴=4 ，BC=BD=4，‎ 过D作DH⊥BC交BC于H,如图2，∴DH∥AC,∴,∴,∴,‎ 同理可得,∵DH∥AC,∴,,∴CP=4, ∵∠ECP=90°,∴=．‎ ‎（3）如图3，当时，设CE=，∴CP=3,由（2），‎ ‎∴设BD=，∴，，，，‎ ‎∴，∴，∴=m＋1＋x＋1＋3m－3x=3x＋3．‎ ‎22．（2010 江苏连云港）（本题满分14分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，⊙C的圆心坐标为（－2，－2），半径为．函数y＝－x＋2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为AB上一动点 ‎（1）连接CO，求证：CO⊥AB；‎ ‎（2）若△POA是等腰三角形，求点P的坐标；‎ ‎（3）当直线PO与⊙C相切时，求∠POA的度数；当直线PO与⊙C相交时，设交点为E、F，点M为线段EF的中点，令PO＝t，MO＝s，求s与t 之间的函数关系，并写出t的取值范围．‎ AD BAD x P O ‎·‎ ‎·‎ CFEBAD y ‎【答案】‎ ‎23．（2010 山东莱芜）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于两点，交轴于点.‎ ‎（1）求此抛物线的解析式；‎ ‎（2）若此抛物线的对称轴与直线交于点D，作⊙D与x轴相切，⊙D交轴于点E、F两点，求劣弧EF的长；‎ ‎（3）P为此抛物线在第二象限图像上的一点，PG垂直于轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得△PGA的面积被直线AC分为1︰2两部分.‎ ‎【答案】解：（1）∵抛物线经过点，，．‎ ‎∴， 解得.‎ ‎∴抛物线的解析式为：. ‎ ‎（2）易知抛物线的对称轴是.把x=4代入y=2x得y=8，∴点D的坐标为（4,8）．∵⊙D与x轴相切，∴⊙D的半径为8． ‎ 连结DE、DF，作DM⊥y轴，垂足为点M．‎ 在Rt△MFD中，FD=8，MD=4．∴cos∠MDF=．‎ ‎∴∠MDF=60°，∴∠EDF=120°． ‎ ‎∴劣弧EF的长为：． ‎ ‎（3）设直线AC的解析式为y=kx+b. ∵直线AC经过点.‎ ‎∴，解得.∴直线AC的解析式为：. ‎ 设点，PG交直线AC于N，‎ 则点N坐标为.∵.‎ ‎∴①若PN︰GN=1︰2，则PG︰GN=3︰2，PG=GN.‎ 即=.‎ 解得：m1=－3， m2=2（舍去）.当m=－3时，=.‎ ‎∴此时点P的坐标为. ……………………………10分 ‎②若PN︰GN=2︰1，则PG︰GN=3︰1， PG=3GN.‎ 即=.‎ 解得：，（舍去）.当时，=.‎ ‎∴此时点P的坐标为.‎ 综上所述，当点P坐标为或时，‎ ‎△PGA的面积被直线AC分成1︰2两部分．‎ ‎24．（2010 广东珠海）如图，平面直角坐标系中有一矩形ABCD（O为原点），点A、C分别在x轴、y轴上，且C点坐标为（0,6）；将BCD沿BD折叠（D点在OC边上），使C点落在OA边的E点上，并将BAE沿BE折叠，恰好使点A落在BD的点F上.‎ ‎(1)直接写出∠ABE、∠CBD的度数，并求折痕BD所在直线的函数解析式；‎ ‎(2)过F点作FG⊥x轴，垂足为G，FG的中点为H，若抛物线经过B、H、D三点，求抛物线的函数解析式；‎ ‎ (3)若点P是矩形内部的点，且点P在（2）中的抛物线上运动（不含B、D点），过点P作PN⊥BC分别交BC和BD于点N、M，设h=PM-MN，试求出h与P点横坐标x的函数解析式，并画出该函数的简图，分别写出使PMMN成立的x的取值范围。‎ ‎【答案】解：（1）∠ABE＝∠CBD=30° ‎ 在△ABE中，AB＝6‎ BC=BE=‎ CD=BCtan30°=4‎ ‎∴OD=OC-CD=2‎ ‎∴B(，6) D(0,2)‎ 设BD所在直线的函数解析式是y=kx+b ‎ ∴ ‎ 所以BD所在直线的函数解析式是 ‎(2)∵EF=EA=ABtan30°= ∠FEG=180°-∠FEB-∠AEB=60°‎ 又∵FG⊥OA ‎ ‎∴FG＝EFsin60°=3 GE=EFcos60°= OG=OA-AE-GE=‎ 又H为FG中点 ‎∴H（，） …………4分 ‎∵B(，6) 、 D(0,2)、 H（，）在抛物线图象上 ‎ ‎ ∴ ‎ ‎∴抛物线的解析式是 ‎(2)∵MP=‎ MN=6-‎ H=MP-MN=‎ 由得 该函数简图如图所示：‎ 当00，即HP>MN ‎25．（2010浙江湖州）如图，已知在直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA＝AB＝2，OC＝3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D，将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴于E和F．‎ ‎（1）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；‎ ‎（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；‎ ‎（3）连接EF，设△BEF与△BFC的面积之差为S，问：当CF为何值时 S最小，并求出这个最小值.‎ ‎ ‎ ‎．‎ ‎【答案】由题意得：A（0，2）、B（2，2）、C（3，0），设经过A，B，C三点的抛物线的解析式为，则，解得：，所以．‎ ‎（2）由＝，所以顶点坐标为G（1，），过G作GH⊥AB，垂足为H，则AH＝BH＝1，GH＝－2＝，∵EA⊥AB，GH⊥AB，∴EA∥GH，∴GH是△BEA的中位线，∴EA＝3GH＝，过B作BM⊥OC，垂足为M，则MB＝OA＝AB，∵∠EBF＝∠ABM＝90°，∴∠EBA＝∠FBM＝90°－∠ABF，∴R t△EBA≌R t△FBM，∴FM＝EA＝，∵CM＝OC－OM＝3－2＝1，∴CF＝FM＋CM＝．‎ ‎（3）设CF＝a，则FM＝ a－1或1－ a，∴BF2＝FM2＋BM2＝(a－1)2＋22＝a2－2a＋5，又∵△EBA≌△FBM，∴BM＝BF，‎ 则，又，‎ ‎∴S＝ ，即S＝，∴当a＝2（在2＜a＜3）时，．‎ ‎26．（2010 湖南株洲）（本题满分10分）在平面直角坐标系中，抛物线过原点O，且与轴交于另一点，其顶点为．孔明同学用一把宽为带刻度的矩形直尺对抛物线进行如下测量：‎ ‎① 量得；‎ ‎② ‎ 把直尺的左边与抛物线的对称轴重合，使得直尺左下端点与抛物线的顶点重合（如图1），测得抛物线与直尺右边的交点的刻度读数为．‎ 请完成下列问题：‎ ‎（1）写出抛物线的对称轴；‎ ‎（2）求抛物线的解析式；‎ ‎（3）将图中的直尺（足够长）沿水平方向向右平移到点的右边（如图2），直尺的两边交轴于点、，交抛物线于点、．求证：．‎ ‎【答案】（1）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎（2）设抛物线的解析式为：，当时，，即；当时，，即，依题意得：，解得：．‎ ‎∴抛物线的解析式为：． ‎ ‎（3）方法一：过点作，垂足为，设， ，得： ①‎ ‎ ②‎ 又，得，分别代入①、②得：，‎ ‎∴‎ 得：‎ 又 ‎∴ ‎ 方法二：过点作，垂足为，设，则，得：‎ ‎ ∵ ‎ ‎∴‎ ‎27．（2010 四川成都）已知：如图，内接于⊙O，为直径，弦于，是AD的中点，连结并延长交的延长线于点，连结，分别交、于点、．‎ ‎ （1）求证：是的外心；‎ ‎ （2）若,求的长；‎ ‎ （3）求证：．‎ ‎【答案】（1）证明：∵C是AD的中点，∴AC=CD，‎ ‎∴∠CAD=∠ABC‎⌒‎ ‎∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°。‎ ‎∴∠CAD+∠AQC=90°‎ 又CE⊥AB，∴∠ABC+∠PCQ=90°‎ ‎∴∠AQC=∠PCQ ‎⌒‎ ‎⌒‎ ‎∴在△PCQ中，PC=PQ，‎ ‎⌒‎ ‎⌒‎ ‎∵CE⊥直径AB，∴AC=AE ‎∴AE=CD ‎∴∠CAD=∠ACE。‎ ‎∴在△APC中，有PA=PC，‎ ‎∴PA=PC=PQ ‎∴P是△ACQ的外心。‎ ‎（2）解：∵CE⊥直径AB于F，‎ ‎∴在Rt△BCF中，由tan∠ABC=，CF=8，‎ 得。‎ ‎∴由勾股定理，得 ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴在Rt△ACB中，由tan∠ABC=，‎ ‎ 得。‎ 易知Rt△ACB∽Rt△QCA，∴‎ ‎∴。‎ ‎（3）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°‎ ‎∴∠DAB+∠ABD=90°‎ 又CF⊥AB，∴∠ABG+∠G=90°‎ ‎∴∠DAB=∠G；‎ ‎∴Rt△AFP∽Rt△GFB，‎ ‎∴，即 易知Rt△ACF∽Rt△CBF，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 由（1），知PC=PQ，∴FP+PQ=FP+PC=FC ‎∴。‎ ‎28．（2010山东潍坊）如图所示，抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于C（0，－3）．以AB为直径做⊙M，过抛物线上的一点P作⊙M的切线PD，切点为D，并与⊙M的切线AE相交于点E．连接DM并延长交⊙M于点N，连接AN．‎ ‎（1）求抛物线所对应的函数的解析式及抛物线的顶点坐标；‎ ‎（2）若四边形EAMD的面积为4，求直线PD的函数关系式；‎ ‎（3）抛物线上是否存在点P，使得四边形EAMD的面积等于△DAN的面积？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】解：（1）因为抛物线与x轴交于点A（－1，0）、B（3，0）两点，设抛物线的函数关系式为y＝a（x＋1）（x－3），∵抛物线与y轴交于C（0，－3），∴－3＝ a（0＋1）（0－3），解得a＝1，所以抛物线的解析式为y＝x2－2x－3＝（x－1）2－4，因此抛物线的顶点坐标为（1，－4）；‎ ‎（2）连接EM，∵EA、ED是⊙M的切线，∴EA＝ED，EA⊥AM，ED⊥MD，∴△EAM≌△EDM，又四边形EAMD的面积为4，∴S△EAM＝2，∴AM·AE＝2，又AM＝2，∴AE＝2，因此E1（－1，2）或者E2（－1，－2），当点E在第二象限时，切点D在第一象限，在 Rt△EAM中，tan∠EMA＝，故∠EMA＝60°，∴∠DMB＝60°，过切点D作DF⊥AB于F点，∴MF＝1，DF＝，则直线PD过E（－1，2）、D（2， ）的坐标代入，则函数PD的解析式为y＝－．当点E在第三象限时，切点D在第四象限，同理可求直线PD的解析式为y＝，因此直线PD的函数关系式为y＝－或y＝；‎ ‎（3）若四边形EAMD的面积等于△DAN的面积，又S四边形EAMD＝2S△EAM，S△DAN＝2S△AMD，则S△EAM＝ S△AMD，∴E、D两点到x轴的距离相等，∵PD与⊙M相切，∴点D与点E在x轴同侧，∴切线PD与x轴平行，此时切线PD的函数关系式为y＝2或y ‎＝－2，当y＝2时，由y＝ x2－2x－3得，x＝1±，当y＝－2时，由y＝ x2－2x－3得，x＝1±，故满足条件点P的位置有4个，分别是P1（1＋，2）、P2（1－，2）、P3（1＋，－2）、P4（1－，－2）．‎ ‎29．（2010湖南怀化）图9是二次函数的图象，其顶点坐标为M(1,-4).‎ ‎（1）求出图象与轴的交点A,B的坐标； ‎ ‎（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使,若存在，求出P点的 坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）将二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，‎ 得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线与此 图象有两个公共点时，的取值范围.‎ ‎【答案】解;(1) 因为M(1,-4) 是二次函数的顶点坐标，‎ 所以 ‎ 令解之得.‎ ‎∴A，B两点的坐标分别为A（-1，0），B（3,0）‎ ‎(2) 在二次函数的图象上存在点P，使 设则，又,‎ ‎∴‎ ‎∵二次函数的最小值为-4，∴.当时，.故P点坐标为（-2，5）或（4，5）‎ ‎（3）如图1，当直线经过A点时，可得当直线经过B点时，可得由图可知符合题意的的取值范围为 ‎30．（2010河南）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(4，0)，B(0，一4)，C(2，0)三点.‎ ‎(1)求抛物线的解析式；‎ ‎(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；‎ ‎ (3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=－x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、0为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标.‎ ‎【答案】（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，则有 ‎ 解得 ‎ ∴抛物线的解析式y=x2+x﹣4‎ ‎ （2）过点M作MD⊥x轴于点D.设M点的坐标为（m，n）.‎ ‎ 则AD=m+4，MD=﹣n，n=m2＋m－4 .‎ ‎ ∴S = S△AMD+S梯形DMBO－S△ABO ‎ = ( m+4) (﹣n)＋(﹣n＋4) (﹣m) －×4×4‎ ‎ = ﹣2n‎-2m-8‎ ‎ = ﹣2(m2＋m－4) ‎-2m-8‎ ‎ = ﹣m2‎-4m (－4< m < 0)‎ ‎∴S最大值 = 4 ‎ ‎ （3）满足题意的Q点的坐标有四个，分别是：（-4 ，4 ），（4 ，-4），‎ ‎（-2+，2－），（-2－，2＋）‎ ‎31．（2010黑龙江哈尔滨） 已知：在△ABC中AB＝AC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，∠BAE＝∠BDF，点M在线段DF上，∠ABE＝∠DBM．‎ ‎ （1）如图1，当∠ABC＝45°时，求证：AE＝MD；‎ ‎ （2）如图2，当∠ABC＝60°时，则线段AE、MD之间的数量关系为： 。‎ ‎（3）在（2）的条件下延长BM到P，使MP＝BM，连接CP，若AB＝7，AE＝，‎ 求tan∠ACP的值．‎ ‎【答案】（1）证明：如图1 连接AD ‎∵AB=AC BD=CD ∴AD⊥BC 又∵∠ABC=45°‎ ‎∠ABE=∠DBM ∴△ABE∽△DBM ‎ ‎ ‎ ‎ （2）AE=2MD ‎ ‎ （3）解：如图2 连接AD、EP ∵AB=AC ‎∠ABC=60°D ∴△ABC为等边三角形 又∵D为BC中点 ∴AD⊥BC ∠DAC=30‎ ‎ BD=DC=AB ‎∵∠BAE=∠BDM ∠ABE=∠DBM ‎∴△ABE∽△DBM ‎ ‎∠AEB=∠DMB ∴EB=EBM 又∵BM=MP ‎∴EB=BP 又∵∠EBM=∠ABC=60°‎ ‎∴△BEP为等边三角形 ‎ ‎∴EM⊥BP ∴∠BMD=90° ∴∠AEB=90°‎ ‎∵D为BC中点 M为PB中点 ∴DM//PC ‎∴∠MDB=∠PCB ∴∠EAB=∠PCB ‎ ‎ ‎ 过N作NH⊥AC，垂足为H 在 ‎ ‎ ‎ ‎32．（2010江苏徐州）如图①，将边长为‎4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上)，使点B落在AD边上的点 M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P， 连接EP．‎ ‎ (1)如图②，若M为AD边的中点，‎ ‎ ①,△AEM的周长=_____cm；‎ ‎ ②求证：EP=AE+DP；‎ ‎ (2)随着落点M在AD边上取遍所有的位置(点M不与A、D重合)，△PDM的周长是否发生变化?请说明理由．‎ ‎【答案】‎ ‎33．（2010 四川绵阳）如图，抛物线y = ax2 + bx + 4与x轴的两个交点分别为A（－4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为D．E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G．‎ ‎（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；‎ ‎（2）在直线EF上求一点H，使△CDH的周长最小，并求出最小周长；‎ ‎（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，‎ ‎△EFK的面积最大？并求出最大面积．‎ ‎【答案】（1）由题意，得 解得，b =－1．‎ 所以抛物线的解析式为，顶点D的坐标为（－1，）．‎ ‎（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M．因为EF垂直平分BC，即C关于直线EG的对称点为B，连结BD交于EF于一点，则这一点为所求点H，使DH + CH最小，即最小为 DH + CH = DH + HB = BD =． 而 ．‎ ‎∴ △CDH的周长最小值为CD + DR + CH =．‎ 设直线BD的解析式为y = k1x + b，则 解得 ，b1 = 3．‎ 所以直线BD的解析式为y =x + 3．‎ 由于BC = 2，CE = BC∕2 =，Rt△CEG∽△COB，‎ 得 CE : CO = CG : CB，所以 CG = 2.5，GO = 1.5．G（0，1.5）．‎ 同理可求得直线EF的解析式为y =x +．‎ 联立直线BD与EF的方程，解得使△CDH的周长最小的点H（，）．‎ ‎（3）设K（t，），xF＜t＜xE．过K作x轴的垂线交EF于N．‎ 则 KN = yK－yN =－（t +）=．‎ 所以 S△EFK = S△KFN + S△KNE =KN（t + 3）+KN（1－t）= 2KN = －t2－3t + 5 =－（t +）2 +．‎ 即当t =－时，△EFK的面积最大，最大面积为，此时K（－，）．‎ ‎51．（2010江苏 镇江）探索发现（本小题满分9分）‎ ‎ 如图，在直角坐标系的直角顶点A，C始终在x轴的正半轴上，B，D在第一象限内，点B在直线OD上方，OC=CD，OD=2，M为OD的中点，AB与OD相交于E，当点B位置变化时，‎ ‎ 试解决下列问题：‎ ‎ （1）填空：点D坐标为 ；‎ ‎ （2）设点B横坐标为t，请把BD长表示成关于t的函数关系式，并化简；‎ ‎ （3）等式BO=BD能否成立？为什么？‎ ‎ （4）设CM与AB相交于F，当△BDE为直角三角形时，判断四边形BDCF的形状，并证明你的结论.‎ ‎【答案】‎ ‎（1）；（1分）‎ ‎ （2）‎ ‎ ① （2分）‎ ‎ （3分）‎ ‎ ② （4分）（注：不去绝 对值符号不扣分）‎ ‎ （3）[法一]若OB=BD，则 由①得 （5分）‎ ‎[法二]若OB=BD，则B点在OD的中垂线CM上.‎ ‎∴直线CM的函数关系式为， ③ （5分）‎ ‎ ④‎ 联立③，④得：，‎ ‎[法三]若OB=BD，则B点在OD的中垂线CM上，如图27 – 1 ‎ 过点B作 ‎ （4）如果，‎ ‎①当，如图27 – 2 ‎ ‎∴此时四边形BDCF为直角梯形.（7分）‎ ‎②当如图27 – 3 ‎ ‎∴此时四边形BDCF为平行四边形.（8分）‎ 下证平行四边形BDCF为菱形：‎ ‎[法一]在，‎ ‎[方法①]上方 ‎（舍去）.‎ 得 ‎[方法②]由②得：‎ 此时 ‎∴此时四边形BDCF为菱形（9分）‎ ‎[法二]在等腰中 ‎52．（2010 四川泸州）已知二次函数及一次函数.‎ (1) 求该二次函数图象的顶点坐标以及它与轴的交点坐标;‎ (2) 将该二次函数图象在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方,图象的其余部分不变,得到一个新图象.请你在图10中画出这个新图象,并求出新图象与直线 有三个不同公共点时的值;‎ (1) 当0≤≤2时,函数的图象与轴有两个不同公共点,求的取值范围.‎ ‎【答案】解: (1), ‎ 则抛物线的顶点坐标为(1,) ‎ ‎∵的图象与轴相交,∴, ‎ ‎∴,∴,或,‎ ‎∴抛物线与轴相交于A(,0)、B（3,0）. ‎ ‎（2）翻折后所得新图象如图所示，平移直线知：直线位于和时，它与新图象有三个不同公共点，如图所示，‎ ‎. ‎ ‎①当直线位于时，此时过点A（,0），‎ ‎∴，即，‎ ‎②当直线位于时，‎ 此时与函数（≤≤3）的图象有一个公共点，‎ ‎∴方程，即有一个根，‎ 故△＝＝0,即，‎ 当时，满足≤≤3,‎ 由①②知，，或 ‎ ‎（3）∵，‎ ‎ ∵当0≤≤2时，函数的图象与轴有两个不同交点，‎ ‎ ∴应同时满足下列三个方面的条件：‎ ‎ 方程的判别式△＞0， ‎ ‎ 抛物线的对称轴满足＜＜2， ‎ ‎ 当时，函数值≥0，‎ ‎ 当时，函数值≥0， ‎ 即 ‎ ＞0‎ ‎ 0＜＜2‎ ‎ ≥0‎ ‎ ≥0‎ ‎ 解得 ≤＜1，‎ ‎∴当≤＜1时，函数图象（0≤≤2）‎ 与轴有两个不同交点. ‎ ‎53．（2010 山东淄博）已知直角坐标系中有一点A（—4，3），点B在x轴上，△AOB是等腰三角形．‎ ‎　　（1）求满足条件的所有点B的坐标；‎ ‎（2）求过O，A，B三点且开口向下的抛物线的函数表达式（只需求出满足条件的一条即可）；‎ ‎（3）在（2）中求出的抛物线上存在点P，使得以O，A，B，P四点为顶点的四边形是梯形，求满足条件的所有点P的坐标及相应梯形的面积．‎ ‎【答案】解：作AC⊥x轴，由已知得OC＝4，AC＝3，OA＝＝5．‎ ‎（1）当OA＝OB＝5时，‎ 如果点B在x轴的负半轴上，如图（1），点B的坐标为（－5，0）．‎ 如果点B在x轴的正半轴上，如图（2），点B的坐标为（5，0）．‎ 当OA＝AB时，点B在x轴的负半轴上，如图（3），BC＝OC，则OB＝8，点B的坐标为（－8，0）． ‎ 当AB＝OB时，点B在x轴的负半轴上，如图（4），在x轴上取点D，使AD＝OA，可知OD＝8．由∠AOB＝∠OAB＝∠ODA，可知△AOB∽△ODA，则，解得OB＝，点B的坐标为（－，0）．‎ ‎（2）当AB＝OA时，抛物线过O（0，0），A（－4，3），B（－8，0）三点，设抛物线的函数表达式为，可得方程组，解得a＝，，．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ‎ ‎（当OA＝OB时，同理得．‎ ‎（3）当OA＝AB时，若BP∥OA，如图（5），作PE⊥x轴，则∠AOC＝∠PBE，∠ACO＝∠PEB＝90°，△AOC∽△PBE，．设BE＝4m，PE＝3m，则点P的坐标为（4m－8，－3m），代入，解得m＝3．‎ 则点P的坐标为（4，－9），‎ S梯形ABPO＝S△ABO＋S△BPO＝48．‎ 若OP∥AB（图略），根据抛物线的对称性可得点P的坐标为（－12，－9），‎ S梯形AOPB＝S△ABO＋S△BPO＝48．‎ ‎（当OA＝OB时，若BP∥OA，如图（6），作PF⊥x轴，则∠AOC＝∠PBF，∠ACO＝∠PFB＝90°，△AOC∽△PBF，．设BF＝4m，PF＝3m，则点P的坐标为（4m－5，－3m），代入，解得m＝．‎ 则点P的坐标为（1，－），‎ S梯形ABPO＝S△ABO＋S△BPO＝．‎ 若OP∥AB（图略），作PF⊥x轴，则∠ABC＝∠POF，∠ACB＝∠PFO＝90°，△ABC∽△POF，．设点P的坐标为（－n，－3n），代入，解得n＝9．则点P的坐标为（－9，－27），S梯形AOPB＝S△ABO＋S△BPO＝75．‎ ‎54．（2010 天津） 在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴的正半轴交于点，顶点为.‎ ‎（Ⅰ）若，，求此时抛物线顶点的坐标；‎ ‎（Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，若平移后，在四边形ABEC中满足 S△BCE = S△ABC，求此时直线的解析式；‎ ‎（Ⅲ）将（Ⅰ）中的抛物线作适当的平移，若平移后，在四边形ABEC中满足 S△BCE = 2S△AOC，且顶点恰好落在直线上，求此时抛物线的解析式.‎ ‎【答案】解：（Ⅰ）当，时，抛物线的解析式为，即.‎ ‎∴ 抛物线顶点的坐标为（1，4）． ．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 ‎（Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，则顶点在对称轴上，有，‎ ‎∴ 抛物线的解析式为（）．‎ ‎∴ 此时，抛物线与轴的交点为，顶点为．‎ ‎∵ 方程的两个根为，，‎ ‎∴ 此时，抛物线与轴的交点为，．‎ E y x F B D A O C 如图，过点作EF∥CB与轴交于点，连接，则S△BCE = S△BCF．‎ ‎∵ S△BCE = S△ABC，‎ ‎∴ S△BCF = S△ABC．‎ ‎∴ ．‎ 设对称轴与轴交于点，‎ 则．‎ 由EF∥CB，得．‎ ‎∴ Rt△EDF∽Rt△COB．有．‎ ‎∴ ．结合题意，解得 ．‎ ‎∴ 点，．‎ 设直线的解析式为，则 ‎ 解得 ‎ ‎∴ 直线的解析式为. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ‎（Ⅲ）根据题意，设抛物线的顶点为，（，）‎ 则抛物线的解析式为，‎ 此时，抛物线与轴的交点为，‎ 与轴的交点为，.（）‎ 过点作EF∥CB与轴交于点，连接，‎ 则S△BCE = S△BCF.‎ 由S△BCE = 2S△AOC，‎ ‎∴ S△BCF = 2S△AOC. 得.‎ 设该抛物线的对称轴与轴交于点.‎ 则 .‎ 于是，由Rt△EDF∽Rt△COB，有．‎ ‎∴ ，即．‎ 结合题意，解得 ． ① ‎ ‎∵ 点在直线上，有． ② ‎ ‎∴ 由①②，结合题意，解得．‎ 有，．‎ ‎∴ 抛物线的解析式为． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 ‎55．（2010广西桂林）如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O 的切线，切点为F，‎ FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF．‎ H ‎（1）证明：AF平分∠BAC；‎ ‎（2）证明：BF＝FD；‎ ‎（3）若EF＝4，DE＝3，求AD的长．[来源:Zxxk.Com]‎ ‎【答案】证明（1）连结OF ‎∵FH是⊙O的切线 ‎∴OF⊥FH ……………1分 ‎∵FH∥BC ，‎ ‎∴OF垂直平分BC ………2分 ‎∴‎ ‎∴AF平分∠BAC …………3分 ‎（2）证明：由（1）及题设条件可知 ‎∠1=∠2，∠4=∠3，∠5=∠2 ……………4分 ‎∴∠1+∠4=∠2+∠3‎ ‎∴∠1+∠4=∠5+∠3 ……………5分 ‎∠FDB=∠FBD ‎∴BF=FD ………………6分 ‎ （3）解： 在△BFE和△AFB中 ‎∵∠5=∠2=∠1，∠F=∠F ‎∴△BFE∽△AFB ………………7分 ‎∴， ……………8分 ‎∴‎ ‎∴ ……………………9分 ‎ ‎ ∴‎ ‎∴AD== …………………10分 ‎56．（2010湖北十堰）（本小题满分10分）已知关于x的方程mx2-(‎3m－1)x+‎2m－2=0‎ ‎（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根.‎ ‎（2）若关于x的二次函数y= mx2-(3m－1)x+2m－2的图象与x轴两交点间的距离为2时，求抛物线的解析式.‎ ‎（3）在直角坐标系xoy中，画出（2）中的函数图象，结合图象回答问题：当直线y=x+b与（2）中的函数图象只有两个交点时，求b的取值范围.‎ ‎【答案】解：（1）分两种情况讨论：‎ ‎①当m=0 时，方程为x－2=0，∴x=2 方程有实数根 ‎②当m≠0时，则一元二次方程的根的判别式 ‎△=[－（3m－1）]2－4m（2m－2）=m2+2m+1=（m+1）2≥0‎ 不论m为何实数，△≥0成立，∴方程恒有实数根 综合①②，可知m取任何实数，方程mx2-(3m－1)x+2m－2=0恒有实数根.‎ ‎（2）设x1，x2为抛物线y= mx2-(3m－1)x+2m－2与x轴交点的横坐标.‎ 则有x1+x2=，x1·x2=‎ 由| x1－x2|====，‎ 由| x1－x2|=2得=2，∴或 ‎∴m=1或m=‎ ‎∴所求抛物线的解析式为：y1=x2－2x或y2=x2+2x－ 即y1= x（x－2）或y2=（x－2）（x－4）其图象如右图所示.‎ ‎（3）在（2）的条件下，直线y=x+b与抛物线y1，y2组成的图象只有两个交点，结合图象，求b的取值范围.‎ ‎，当y1=y时，得x2－3x－b=0，△=9+4b=0，解得b=－；‎ 同理，可得△=9－4（8+3b）=0，得b=－.‎ 观察函数图象可知当b<－或b>－时，直线y=x+b与（2）中的图象只有两个交点.‎ 由 当y1=y2时，有x=2或x=1‎ 当x=1时，y=－1‎ 所以过两抛物线交点（1，－1），（2，0）的直线y=x－2，‎ 综上所述可知：当b<－或b>－或b=－2时，直线y=x+b与（2）中的图象只有两个交点.‎ ‎57．（2010 四川自贡）如图，在直角坐标平面内，O为坐标原点，A点的坐标为（1，0），B点在x轴上且在点A的右侧，AB＝OA，过点A和B作x轴的垂线分别交二次函数y＝x2的图象于点C和D，直线OC交BD于M，直线CD交y轴于点H。记C、D的横坐标分别为xC，xD，点H的纵坐标yH。‎ ‎（1）证明：①S△CMD∶S梯形ABMC＝2∶3‎ ‎②xC·xD＝－yH ‎（2）若将上述A点坐标（1，0）改为A点坐标（t，0），t＞0，其他条件不变，结论S△CMD：S梯形ABMC＝2∶3是否仍成立？请说明理由。‎ ‎（3）若A的坐标（t，0）（t＞0），又将条件y＝x2改为y＝ax2（a＞0），其他条件不变，那么XC、XD和yH又有怎样的数量关系？写出关系式，并证明。‎ ‎【答案】 全品中考网 ‎58．（2010宁夏回族自治区）在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于D，将△ABD沿AB所在的直线折叠，使点D落在点E处；将△ACD沿AC所在的直线折叠，使点D落在点F处，分别延长EB、FC使其交于点M．‎ ‎(1)判断四边形AEMF的形状，并给予证明．‎ ‎(2)若BD=1，CD=2，试求四边形AEMF的面积．‎ ‎【答案】解：（1）∵ADBC ‎△AEB是由△ADB折叠所得 ‎∴∠1=∠3，∠E=∠ADB=，BE=BD, AE=AD 又∵△AFC是由△ADC折叠所得 ‎∴∠2=∠4，∠F=∠ADC=，FC=CD，AF=AD ‎∴AE=AF---------------------------------------------2分 ‎ 又∵∠1+∠2=， ‎ ‎ ∴∠3+∠4=‎ ‎∴∠EAF=--------------------------------------3分 ‎∴四边形AEMF是正方形。---------------------5分 ‎（2）方法一：设正方形AEMF的边长为x 根据题意知：BE=BD, CF=CD ‎∴BM=x－1; CM=x－2-------------------------------------------------------------------7分 在Rt△BMC中,由勾股定理得：‎ ‎ ‎ ‎ ∴‎ 解之得： (舍去)‎ ‎∴------------------------------------------10分 方法二：设：AD=x ‎∴= ‎ ‎ ∴-----------------------------------------------------------7分 ‎∵ ‎ 且 ‎∴ 即 解之得： (舍去)‎ ‎∴---------------------------------------------10分 ‎59．（2010吉林长春）如图①，在平面直角坐标系中，等腰直角△A0B的斜边OB在x轴上，顶点A的坐标为（3,3），AD为斜边上的高．抛物线与直线交于点O、C，点C的横坐标为6。点P在x轴的正半轴上，过点P作PE//y轴，交射线OA于点E．设点P的横坐标为m，以A、B、D、E为顶点的四边形的面积为S．‎ ‎ (1)求OA所在直线的解析式．(1分)‎ ‎ (2)求a的值．(2分)‎ ‎ (3)当m≠3时．求S与m的函数关系式．(4分)‎ ‎ (4)如图②．设直线PE交射线‎0C于点R，交抛物线于点Q．以RQ为一边，在RQ的右侧作矩形RQMN，其中RN ．直接写出矩形RQMN与△AOB重叠部分为轴对称图形时m的取值范围．(3分) ‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎60．（2010广东茂名）已知⊙O1的半径为R，周长为C．‎ ‎（1）在⊙O1内任意作三条弦，其长分别是、、．求证：++< C； （3分）‎ ‎（2）如图，在直角坐标系O中，设⊙O1的圆心为O1．‎ ‎①当直线：与⊙O1相切时，求的值；（2分）‎ ‎②当反比例函数的图象与⊙O1有两个交点时，‎ 求的取值范围． （3分）‎ ‎：‎ ‎【答案】（1）证明：，，．++，‎ 因此，++< C．‎ ‎（2）解：①如图，根据题意可知⊙O1与轴、轴分别相切，设直线与⊙O1相切于点M，则O‎1M⊥l，过点O1作直线NH⊥轴，与交于点N，与轴交于点H，又∵直线与轴、轴分别交于点E（，0）、F（0，），∴OE＝OF＝，∴∠NEO＝45o，∴∠ENO1＝45o，在Rt△O1MN中，O1N＝O‎1Msin45o＝，‎ ‎∴点N的坐标为N（R，），‎ 把点N坐标代入得：，解得：，‎ ‎②如图，设经过点O、O1的直线交⊙O1于点A、D，则由已知，直线OO1：是圆与反比例函数图象的对称轴，当反比例函数的图象与⊙O1‎ 直径AD相交时（点A、D除外），则反比例函数的图象与⊙O1有两个交点．‎ 过点A作AB⊥轴交轴于点B，过O1作O1C⊥轴于点C，OO1＝O1Csin45o＝，OA＝，所以OB＝AB＝sin45o＝，‎ 因此点A的坐标是A，将点A的坐标 代入，解得：．‎ 同理可求得点D的坐标为D，‎ 将点D的坐标代入，解得： ‎ 所以当反比例函数的图象与⊙O1有两个交点时，的取值范围是：‎ ‎61．（2010辽宁大连）如图17，抛物线F：与轴相交于点C，直线经过点C且平行于轴，将向上平移t个单位得到直线，设与抛物线F的交点为C、D，与抛物线F的交点为A、B，连接AC、BC ‎（1）当，，，时，探究△ABC的形状，并说明理由；‎ ‎（2）若△ABC为直角三角形，求t的值（用含a的式子表示）；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若点A关于轴的对称点A’恰好在抛物线F的对称轴上，连接A’C，BD，求四边形A’CDB的面积（用含a的式子表示）‎ ‎【答案】‎ ‎62．（2010贵州遵义）如图，在⊿ABC，∠C= 90°，AC+BC=8，点O是斜边AB上一点，以O为圆心的⊙O分别与AC、BC相切于点D、E.‎ ‎(1)当AC=2时，求⊙O的半径；‎ ‎(2)设AC=χ，⊙O的半径为y,求y与χ的函数关系式。‎ ‎【答案】【答案】解法一：连接OD、OE、OC……………………………………1分 ‎ ∵D、E为切点，‎ ‎∴OD⊥AC，OE⊥BC，OD=OE…………………………………2分 ‎∵S△ABC=S△AOC+S△BOC ‎∴AC×BC=AC×OD+BC×OE ……………………3分 ‎∵AC+BC=8,AC =2,∴BC=6‎ ‎∴×2×6=×2×OD+×2×OE ……………………4分 而OD=OE，∴OD=，即⊙O的半径为 ………………5分 解法二：连接OD、OE ………………………………………1分 ‎∵D、E为切点，‎ ‎∴OD⊥AC，OE⊥BC，OD=OE ……………………………2分 ‎∴∠C＝90°，∴OECD为正方形 ‎∴OD＝OE＝EC＝CD＝t ………………………3分 而△AOD∽△ABC，∴ ………………………4分 ‎∵AC+BC=8,AC =2,∴BC=6，AD=2－t ‎∴，r=，即⊙O的半径为………………………5分 ‎(2)(7分)连接OD、OE、OC ……………………………………1分 ‎∵D、E为切点，‎ ‎∴OD⊥AC，OE⊥BC，OD=OE=y ………………………2分 S△ABC=S△AOC+S△BOC ‎∴AC×BC=AC×OD+BC×OE ……………………3分 ‎∵AC+BC=8,AC =x,∴BC=8－x ………………………………4分 x(8－x)=xy+(8－x)y ………………………………5分 化简：8x－x2=xy+8y－xy………………………………………6分 即：y=－x2+x ………………………………………………7分 解法二：连接OD、OE ………………………………………1分 ‎∵D、E为切点，‎ ‎∴OD⊥AC，OE⊥BC，OD=OE ………………………2分 ‎∴∠C＝90°，∴OECD为正方形 ‎∴OD＝OE＝EC＝CD＝y ………………………………3分 由OD∥BC，∴△AOD∽△ABC，‎ ‎（或者：OD∥AC，∴△OBE∽△ABC）‎ ‎∴.‎ ‎∵AC+BC==8，AC=x，‎ ‎∴BC=8-x，AD=AC-CD=x-y.‎ ‎∴.‎ 化简得：xy=（x-y）（8-x），‎ xy=8x-x2-8y+xy.‎ 所以.‎ 解法三：连接OD、OE.‎ ‎∵D，E是切点，‎ ‎∴OD⊥AC，OE⊥BC，OD=OE.‎ ‎∵∠C=90°，∴OECD是正方形.‎ ‎∴OD=OE=EC=CD=y.‎ 由OD∥BC得：△AOD∽△ABC，‎ ‎∴，即 ①.‎ 由OE∥AC得：△BOE∽△BAC，‎ ‎∴，即 ②.‎ ‎①+②得：，‎ 即.‎ ‎∴.‎ ‎63．（2010湖北宜昌）如图①，P是△ABC边AC上的动点，以P为顶点作矩形PDEF，顶点D,E在边BC上，顶点F在边AB上；△ABC的底边BC及BC上的高的长分别为a , h,且是关于x的一元二次方程的两个实数根，设过D,E,F三点的⊙O的面积为,矩形PDEF的面积为。‎ ‎（1）求证：以a+h为边长的正方形面积与以a、h为边长的矩形面积之比不小于4；‎ ‎（2）求的最小值；‎ ‎（3）当的值最小时，过点A作BC的平行线交直线BP与Q，这时线段AQ的长与m , n , k的取值是否有关？请说明理由。（11分）‎ A C B ‎(第23题)‎ 解：解法一：‎ ‎（1）据题意，∵a+h=.‎ ‎∴所求正方形与矩形的面积之比： ‎ ‎ 1分 由知同号, ‎ ‎ 2分 ‎（说明:此处未得出只扣1分, 不再影响下面评分）‎ ‎ 3分 即正方形与矩形的面积之比不小于4.‎ ‎（2）∵∠FED=90º,∴DF为⊙O的直径.‎ ‎⊙‎ ‎∴⊙O的面积为：． 4分 矩形PDEF的面积：．‎ ‎⊙‎ ‎∴面积之比： 设 ‎⊙‎ ‎……………………………………………………………6分 ‎, ‎ ‎⊙‎ ‎，即时（EF=DE）, 的最小值为 7分 ‎⊙‎ ‎（3）当的值最小时，这时矩形PDEF的四边相等为正方形．‎ 过B点过BM⊥AQ，M为垂足，BM交直线PF于N点，设FP＝ e，‎ ‎∵BN∥FE，NF∥BE,∴BN=EF,∴BN =FP =e.‎ 由BC∥MQ,得：BM =AG =h.‎ ‎∵AQ∥BC, PF∥BC, ∴AQ∥FP,‎ ‎∴△FBP∽△ABQ. 8分 M N ‎（说明：此处有多种相似关系可用，要同等分步骤评分）‎ ‎∴,……9分 ‎∴.∴……10分 ‎……11分 ‎∴线段AQ的长与m，n，k的取值有关. ‎ ‎（解题过程叙述基本清楚即可）‎ 解法二：‎ ‎（1）∵a，h为线段长，即a，h都大于0，‎ ‎　∴ah＞０…………1分（说明:此处未得出只扣1分,再不影响下面评分）‎ ‎ ∵（a-h）２≥０，当a＝h时等号成立.‎ ‎　　　　 故，（a-h）２＝（a＋h）２－４a h≥０． 2分 ‎　　　　∴（a＋h）２≥４a h，‎ ‎　　　　∴≥４．（﹡） 3分 ‎　　　　　　这就证得≥４．（叙述基本明晰即可）‎ ‎（2）设矩形PDEF的边PD=x，DE=y，则⊙O的直径为 .‎ ‎ S⊙O=…………4分, S矩形PDEF=xy ‎⊙‎ ‎= ‎ ‎= 6分 由（1）（*）， .‎ ‎.‎ ‎⊙‎ ‎∴的最小值是 7分 ‎⊙‎ ‎（3）当的值最小时，‎ 这时矩形PDEF的四边相等为正方形. ‎ ‎∴EF=PF．作AG⊥BC，G为垂足.‎ ‎∵△AGB∽△FEB，∴.……8分 ‎∵△AQB∽△FPB, ，……9分 ‎∴=．‎ 而 EF=PF，∴AG=AQ=h, ……………10分 ‎∴AG=h＝,‎ 或者AG=h＝ 11分 ‎∴线段AQ的长与m，n，k的取值有关.‎ ‎64．（2010湖北宜昌）如图，直线y=hx+d与x轴和y轴分别相交于点A(-1,0),B(0,1),与双曲线y=在第一象限相交于点C；以AC为斜边、为内角的直角三角形，与以CO为对角线、一边在x轴上的矩形面积相等；点C,P在以B为顶点的抛物线y=上；直线y=hx+d、双曲线y=和抛物线同时经过两个不同的点C，D。‎ ‎（1）确定t的值 ‎（2）确定m , n , k的值 ‎（3）若无论a , b , c取何值，抛物线都不经过点P，请确定P的坐标 ‎（12分）‎ ‎（第24题）‎ ‎【答案】（1）直线过点A，B，则0=－h+d和1=d,即y=x+1. 1分 双曲线y=经过点C（x1，y1），x1y1=t．‎ ‎ 以AC为斜边，∠CAO为内角的直角三角形的面积为×y1×(1+x1);‎ 以CO为对角线的矩形面积为x1y1，‎ ‎×y1×(1+x1)＝x1y1，因为x1，y1都不等于0，故得x1＝1，所以y1=2.‎ 故有，，即t=2. 2分 ‎（2）∵B是抛物线y＝mx2＋nx＋k的顶点，∴有－ ，‎ 得到n=0，k=1. 3分 ‎∵C是抛物线y＝mx2＋nx＋k上的点，∴有2＝m(1)2+1,得m=1． 4分 ‎（3）设点P的横坐标为p，则纵坐标为p2+1.‎ ‎∵抛物线y=ax2+bx+c经过两个不同的点C，D，‎ 其中求得D点坐标为（－2，－1）． 5分.‎ 解法一：‎ 故 2＝a＋b＋c，‎ ‎－1＝4a－2b＋c． ‎ 解之得，b＝a＋1, c＝1－2a. 6分 ‎（说明：如用b表示a，c，或用c表示a，b，均可，后续参照得分）‎ ‎∴y=ax2＋( a＋1)x＋（1－‎2a ） ‎ 于是： p2+1≠a p2＋（a＋1）p＋（1－2a） 7分 ‎∴无论a取什么值都有p2－p≠（p2＋p－2）a． 8分[来源:学+科+网Z+X+X+K]‎ ‎（或者，令p2-p=(p2+p-2)a 7分 ‎∵抛物线y=ax2+bx+c不经过P点，‎ ‎∴此方程无解，或有解但不合题意 8分） ‎ ‎．‎ 故∵a≠０，∴①‎ 解之p＝0，p＝1，并且p≠1，p≠－2.得p＝0. 9分 ‎∴符合题意的P点为（0，1）. …………10分 ‎②，解之p＝1，p＝－2，并且p≠0，p≠1.‎ 得p＝－2. 11分 符合题意的P点为（－2，5）． 12分 ‎∴符合题意的P点有两个（0，1）和（－2，5）.‎ 解法二：‎ 则有（a－1）p2+(a+1) p－2a=0 7分 即〔（a－1）p+2a〕(p－1)=0‎ 有p－1=0时，得p=1，为（1，2）此即C点，在y=ax2+bx+c上. 8分 或（a－1）p+2a=0，即（p+2）a=p 当p=0时a=0与a≠0矛盾 9分 得点P（0，1） 10分 或者p=－2时，无解 11分[来源:学科网]‎ 得点P（－2，5） 12分 故对任意a，b，c，抛物线y=ax2+bx+c都不经过（0，1）和（－2，5）‎ 解法三：‎ 如图, 抛物线y=ax2+bx+c不经过直线CD上除C，D外的其他点．‎ ‎(只经过直线CD上的C，D点). 6分 由 7分 解得交点为C（1，2），B（0，1）．‎ 故符合题意的点P为（0，1）. 8分 抛物线y=ax2+bx+c不经过直线x＝－2上除D外的其他点. 9分 ‎65．（2010 福建莆田）如图1，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=1,OC=2,点D在边OC上且OD= 。‎ ‎（1）.求直线AC的解析式；‎ ‎（2）.在y轴上是否存在点p，直线PD与矩形对角线AC交于点M，使得△DMC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点p的坐标；若不存在，请说明理由。‎ ‎（3）.抛物线y= 经过怎样平移，才能使得平移后的抛物线过点D和点E（点E在y轴正半轴上），且△ODE沿DE折叠后点O落在边AB上 处？ ‎ ‎【答案】【答案】‎ ‎【答案】‎ ‎66．（2010广西河池）如图11，在直角梯形中，∥，，点为坐标原点，点在轴的正半轴上，对角线，相交于点，，．‎ ‎（1）线段的长为 ，点的坐标为 ；‎ ‎（2）求△的面积；‎ ‎（3）求过，，三点的抛物线的解析式；‎ ‎（4）若点在（3）的抛物线的对称轴上，点为该 抛物线上的点，且以，，，四点为顶点的四边形 为平行四边形，求点的坐标．‎ ‎【答案】解：（1）4 ；.‎ ‎（2）在直角梯形OABC中，OA=AB=4，‎ ‎ ∵ ∥ ∴ △OAM∽△BCM 又 ∵ OA=2BC ‎ ∴ AM＝‎2CM ，CM＝AC 所以 ‎ ‎（注：另有其它解法同样可得结果，正确得本小题满分.）‎ ‎（3）设抛物线的解析式为 ‎　　　由抛物线的图象经过点,,.所以 ‎　　　　　 ‎ ‎　　　解这个方程组，得，， ‎ 所以抛物线的解析式为 ‎ ‎ （4）∵ 抛物线的对称轴是CD，‎ ‎ ① 当点E在轴的下方时，CE和OA互相平分则可知四边形OEAC为平行四边形，此时点F和点C重合，点F的坐标即为点； ‎ ‎② 当点E在轴的下方，点F在对称轴的右侧，存在平行四边形，∥，且，此时点F的横坐标为6，将代入，可得.所以. ‎ ‎ 同理，点F在对称轴的左侧，存在平行四边形，∥，且，此时点F的横坐标为，将代入，可得.所以.（12分）‎ 综上所述，点F的坐标为，. ‎ ‎67．（2010广东肇庆）已知二次函数的图象过点（2，1）‎ ‎（1）求证：‎ ‎（2）求的最大值 ‎（3）若二次函数的图象与轴交于点，，，，的面积是，求 ‎【答案】解：（1）∵的图象过点（2，1）‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎（2）‎ 当时，‎ 此时，‎ ‎∴当时，有最大值，最大值为2。‎ ‎（3）由根与系数关系可知：，‎ ‎，‎ 当或时，‎ ‎∴的面积是时，或 ‎68．（2010内蒙呼和浩特）在平面直角坐标系中，函数y＝（x＞0，m是常数）的图像经过点A（1，4）、点B（a，b），其中a＞1.过点A作x中的垂线，垂足为C，过点B作y轴的垂线，垂足为D，AC与BD相交于点M，连结AD、DC、CB与AB.‎ ‎（1）求m的值；‎ ‎（2）求证：DC∥AB；‎ ‎（3）当AD＝BC时，求直线AB的函数解析式. ‎ ‎【答案】解：（1）∵点A（1，4）在函数y＝的图像上，‎ ‎∴4＝，得m＝4.……………………………2分 ‎（2）∵点B（a，b）在函数y＝的图像上，∴ab＝4.‎ 又∵AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D交AC于M，∴AC⊥BD于M ‎∴M（1，b），D（0，b），C（1，0）‎ ‎∴tan∠BAC＝＝＝＝，tan∠DCM＝＝……………4分 ‎∴tan∠BAC ＝tan∠DCM，‎ 所以锐角∠BAC＝∠DCM，DC∥AB………………………………………………6分 说明：利用两边对应成比例且夹角相等的三角形相似，易证△ABM∽△CDM，易得∠BAC＝∠DCM.评分标准为证出相似得到4分，证出平行得到6分.‎ ‎（3）设直线AB的解析式为y＝kx＋b ‎∵AB∥CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形.‎ ① 四边形ABCD是平行四边形时，AC与BD互相平分，‎ 又∵AC⊥BD，∴B（2，2）‎ ‎∴，解得 ‎∴直线AB的解析式为：y＝－2x＋6.………………8分 ‎②当四边形ABCD是等腰梯形时，‎ BD与AC相等且垂直，∵AC＝BD＝4，‎ ‎∴B（4，1）‎ ‎∴同理可求直线AB的解析式为y＝－x＋5.…………………10分 ‎69．（2010四川攀枝花）如图12，在矩形ABCD中，AB=6,AD=2,点P是边BC上的动点（点P不与点B、C重合），过点P作直线PQ∥BD,交CD边于Q点，再把△PQC沿着动直线PQ对折，点C的对应点是R点。设CP=x, △PQR与矩形ABCD重叠部分的面积为y。‎ ‎（1）求∠CPQ的度数。‎ ‎（2）当x取何值时，点R落在矩形ABCD的边AB上？‎ ‎（3）当点R在矩形ABCD外部时，求y与x的函数关系式。并求此时函数值y的取值范围。‎ ‎【答案】解：‎ ‎（1）∵四边形ABCD是矩形 ∴AB=CD,AD=BC 又AB=6,AD=2,∠C=90° ‎ ‎∴CD=6,BC=2 ∴tan∠CBD＝= ∴∠CBD=60°‎ ‎∵PQ∥BD ∴∠CPQ=∠CBD=60°………………………2分 ‎（2）如题图12（1）由轴对称的性质可知△RPQ≌△CPQ ‎∴∠RPQ=∠CPQ,RP=CP.由（1）知∠RPQ=∠CPQ=60° ∴∠RPB=60°,∴RP=2BP ‎∵CP=x ∴RP=x ,PB=2-x. ………………………4分 ‎ ∴在△RPB中，有2（2-x）= x ∴x=………………6分 ‎（3）当R点在矩形ABCD的外部时（如题图12（2）），﹤x﹤2‎ ‎ 在Rt△PBF中，由（2）知PF=2BP=2（2-x）‎ ‎ ∴RP=CP=x ∴ER=RF-PF=3x-4………………………7分 ‎ 在Rt△ERF中 ∵∠EFR=∠PFB=30° ∴ER=RF·tan30°=x-4‎ ‎ ∴Ｓ△ERF=ER×FR=(x-4)( 3x-4)=-12x+8………8分 ‎ 又Ｓ△PQR=Ｓ△CPQ=x×x=‎ ‎ ∵y=Ｓ△PQR-Ｓ△ERF ∴当﹤x﹤2时，函数的解析式为 y=-（-12x+8）‎ ‎=-+12x-8 （﹤x﹤2）…………10分 ‎∵y=-+12x-8 =-(x-2)+4‎ ‎∴当﹤x﹤2时，y随x的增大而增大 ‎∴函数值y的取值范围是﹤y﹤4…………12分 ‎70．（2010湖北黄石）在△ABC中，分别以AB、BC为直径⊙O、⊙O，交于另一点D.‎ ‎⑴证明：交点D必在AC上；‎ ‎⑵如图甲，当⊙O与⊙O半径之比为4︰3，且DO与⊙O相切时，判断△ABC的形状，并求tan∠ODB的值；‎ ‎⑶如图乙，当⊙O经过点O，AB、DO的延长线交于E，且BE＝BD时，求∠A的度数.‎ ‎【答案】‎ y x 由 10分 解得交点P为（－2，5）．……11分 抛物线y=ax2+bx+c不经过直线x＝1上除C外的其他点,‎ 而解得交点为C（1，2）. ……12分