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- 2021-05-10 发布
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四川省达州市2015年中考数学试卷
一、选择题(共10小题,每小题3分,满分30分在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求)
1. 2015的相反数是( )
A.
B.
﹣
C.
2015
D.
﹣2015
考点:
相反数..
分析:
根据只有符号不同的两个数互为相反数,可得一个数的相反数.
解答:
解:2015的相反数是:﹣2015,
故选:D.
点评:
本题考查了相反数,在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数.
2.(3分)(2015•达州)一个几何体由大小相同的小方块搭成,从上面看到的几何体的形状图如图所示,其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数,则从正面看到几何体的形状图是( )
A.
B.
C.
D.
考点:
由三视图判断几何体;作图-三视图..
分析:
由已知条件可知,主视图有3列,每列小正方形数目分别为3,2,3,据此可得出图形.
解答:
解:根据所给出的图形和数字可得:
主视图有3列,每列小正方形数目分别为3,2,3,
则符合题意的是D;
故选D.
点评:
本题考查几何体的三视图.由几何体的俯视图及小正方形中的数字,可知主视图有3列,且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字.左视图有3列,且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字.
3.(3分)(2015•达州)下列运算正确的是( )
A.
a•a2=a2
B.
(a2)3=a6
C.
a2+a3=a6
D.
a6÷a2=a3
考点:
同底数幂的除法;合并同类项;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方..
专题:
计算题.
分析:
A、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果,即可做出判断;
B、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果,即可做出判断;
C、原式不能合并,错误;
D、原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果,即可做出判断.
解答:
解:A、原式=a3,错误;
B、原式=a6,正确;
C、原式不能合并,错误;
D、原式=a4,错误,
故选B.
点评:
此题考查了同底数幂的乘除法,合并同类项,以及幂的乘方与积的乘方,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
4.(3分)(2015•达州)2015年某中学举行的春季田径径运动会上,参加男子跳高的15名运动员的成绩如表所示:
成绩(m)
1.80
1.50
1.60
1.65
1.70
1.75
人数
1
2
4
3
3
2
这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是( )
A.
1.70m,1.65m
B.
1.70m,1.70m
C.
1.65m,1.60m
D.
3,4
考点:
众数;中位数..
分析:
首先根据这组数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数,判断出这些运动员跳高成绩的中位数即可;然后找出这组数据中出现次数最多的数,则它就是这些运动员跳高成绩的众数,据此解答即可.
解答:
解:∵15÷2=7…1,第8名的成绩处于中间位置,
∴男子跳高的15名运动员的成绩处于中间位置的数是1.65m,
∴这些运动员跳高成绩的中位数是1.65m;
∵男子跳高的15名运动员的成绩出现次数最多的是1.60m,
∴这些运动员跳高成绩的众数是1.60m;
综上,可得
这些运动员跳高成绩的中位数是1.65m,众数是1.60m.
故选:C.
点评:
(1)此题主要考查了众数的含义和求法,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:①一组数据中出现次数最多的数据叫做众数.②求一组数据的众数的方法:找出频数最多的那个数据,若几个数据频数都是最多且相同,此时众数就是这多个数据.
(2)此题还考查了中位数的含义和求法,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,①如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数.②如果这组数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.
5.(3分)(2015•达州)下列命题正确的是( )
A.
矩形的对角线互相垂直
B.
两边和一角对应相等的两个三角形全等
C.
分式方程+1=可化为一元一次力程x﹣2+(2x﹣1)=﹣1.5
D.
多项式t2﹣16+3t因式分解为(t+4)(t﹣4)+3t
考点:
命题与定理..
分析:
根据矩形的性质,全等三角形的判定,分式方程的解法以及因式分解对各选项分析判断即可得解.
解答:
解:A、矩形的对角线互相垂直是假命题,故本选项错误;
B、两边和一角对应相等的两个三角形全等是假命题,故本选项错误;
C、分式方程+1=两边都乘以(2x﹣1),可化为一元一次力程x﹣2+(2x﹣1)=﹣1.5是真命题,故本选项正确;
D、多项式t2﹣16+3t因式分解为(t+4)(t﹣4)+3t错误,故本选项错误.
故选C.
点评:
本题主要考查命题的真假判断,正确的命题叫真命题,错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.
6.(3分)(2015•达州)如图,△ABC中,BD平分∠ABC,BC的中垂线交BC于点E,交BD于点F,连接CF.若∠A=60°,∠ABD=24°,则∠ACF的度数为( )
A.
48°
B.
36°
C.
30°
D.
24°
考点:
线段垂直平分线的性质..
分析:
根据角平分线的性质可得∠DBC=∠ABD=24°,然后再计算出∠ACB的度数,再根据线段垂直平分线的性质可得BF=CF,进而可得∠FCB=24°,然后可算出∠ACF的度数.
解答:
解:∵BD平分∠ABC,
∴∠DBC=∠ABD=24°,
∵∠A=60°,
∴∠ACB=180°﹣60°﹣24°×2=72°,
∵BC的中垂线交BC于点E,
∴BF=CF,
∴∠FCB=24°,
∴∠ACF=72°﹣24°=48°,
故选:A.
点评:
此题主要考查了线段垂直平分线的性质,以及三角形内角和定理,关键是掌握线段垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等.
7.(3分)(2015•达州)如图,直径AB为12的半圆,绕A点逆时针旋转60°,此时点B旋转到点B′,则图中阴影部分的面积是( )
A.
12π
B.
24π
C.
6π
D.
36π
考点:
扇形面积的计算;旋转的性质..
分析:
根据题意得出AB=AB′=12,∠BAB′=60°,根据图形得出图中阴影部分的面积S=+π×122﹣π×122,求出即可.
解答:
解:∵AB=AB′=12,∠BAB′=60°
∴图中阴影部分的面积是:
S=S扇形B′AB+S半圆O′﹣S半圆O
=+π×122﹣π×122
=24π.
故选B.
点评:
本题考查的是扇形的面积及旋转的性质,通过做此题培养了学生的计算能力和观察图形的能力,题目比较好,难度适中.
8.(3分)(2015•达州)方程(m﹣2)x2﹣x+=0有两个实数根,则m的取值范围( )
A.
m>
B.
m≤且m≠2
C.
m≥3
D.
m≤3且m≠2
考点:
根的判别式;一元二次方程的定义..
专题:
计算题.
分析:
根据一元二次方程的定义、二次根式有意义的条件和判别式的意义得到
,然后解不等式组即可.
解答:
解:根据题意得,
解得m≤且m≠2.
故选B.
点评:
本题考查了根的判别式:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2﹣4ac有如下关系:当△>0时,方程有两个不相等的两个实数根;当△=0时,方程有两个相等的两个实数根;当△<0时,方程无实数根.
9.(3分)(2015•达州)若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴有两个交点,坐标分别为(x1,0)、(x2,0),且x1<x2,图象上有一点M(x0,y0),在x轴下方,则下列判断正确的是( )
A.
a(x0﹣x1)(x0﹣x2)<0
B.
a>0
C.
b2﹣4ac≥0
D.
x1<x0<x2
考点:
抛物线与x轴的交点..
分析:
由于a的符号不能确定,故应分a>0与a<0进行分类讨论.
解答:
解:A、当a>0时,
∵点M(x0,y0),在x轴下方,
∴x1<x0<x2,
∴x0﹣x1>0,x0﹣x2<0,
∴a(x0﹣x1)(x0﹣x2)<0;
当a<0时,若点M在对称轴的左侧,则x0<x1<x2,
∴x0﹣x1<0,x0﹣x2<0,
∴a(x0﹣x1)(x0﹣x2)<0;
若点M在对称轴的右侧,则x1<x2<x0,
∴x0﹣x1>0,x0﹣x2>0,
∴a(x0﹣x1)(x0﹣x2)<0;
综上所述,a(x0﹣x1)(x0﹣x2)<0,故本选项正确;
B、a的符号不能确定,故本选项错误;
C、∵函数图象与x轴有两个交点,∴△>0,故本选项错误;
D、x1、x0、x2的大小无法确定,故本选项错误.
故选A.
点评:
本题考查的是抛物线与x轴的交点,在解答此题时要注意进行分类讨论.
10.(3分)(2015•达州)如图,AB为半圆O的在直径,AD、BC分别切⊙O于A、B两点,CD切⊙O于点E,连接OD、OC,下列结论:①∠DOC=90°,②AD+BC=CD,③S△AOD:S△BOC=AD2:AO2,④OD:OC=DE:EC,⑤OD2=DE•CD,正确的有( )
A.
2个
B.
3个
C.
4个
D.
5个
考点:
切线的性质;切线长定理;相似三角形的判定与性质..
分析:
连接OE,由AD,DC,BC都为圆的切线,根据切线的性质得到三个角为直角,且利用切线长定理得到DE=DA,CE=CB,由CD=DE+EC,等量代换可得出CD=AD+BC,选项②正确;由AD=ED,OD为公共边,利用HL可得出直角三角形ADO与直角三角形EDO全等,可得出∠AOD=∠EOD,同理得到∠EOC=∠BOC,而这四个角之和为平角,可得出∠DOC为直角,选项⑤正确;由∠DOC与∠DEO都为直角,再由一对公共角相等,利用两对对应角相等的两三角形相似,可得出三角形DEO与三角形DOC相似,由相似得比例可得出OD2=DE•CD,选项①正确;由△AOD∽△BOC,可得===,选项③正确;由△ODE∽△OEC,可得,选项④正确.
解答:
解:连接OE,如图所示:
∵AD与圆O相切,DC与圆O相切,BC与圆O相切,
∴∠DAO=∠DEO=∠OBC=90°,
∴DA=DE,CE=CB,AD∥BC,
∴CD=DE+EC=AD+BC,选项②正确;
在Rt△ADO和Rt△EDO中,,
∴Rt△ADO≌Rt△EDO(HL),
∴∠AOD=∠EOD,
同理Rt△CEO≌Rt△CBO,
∴∠EOC=∠BOC,
又∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB=180°,
∴2(∠DOE+∠EOC)=180°,即∠DOC=90°,选项⑤正确;
∴∠DOC=∠DEO=90°,又∠EDO=∠ODC,
∴△EDO∽△ODC,
∴=,即OD2=DC•DE,选项①正确;
∵∠AOD+∠COB=∠AOD+∠ADO=90°,
∠A=∠B=90°,
∴△AOD∽△BOC,
∴===,选项③正确;
同理△ODE∽△OEC,
∴,选项④正确;
故选D.
点评:
此题考查了切线的性质,切线长定理,相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,利用了转化的数学思想,熟练掌握定理及性质是解本题的关键.
二、填空题(本题6个小题,每小题3分,為18分.把最后答案直接填在题中的横线上)
11.(3分)(2015•达州)在实数﹣2、0、﹣1、2、﹣中,最小的是 ﹣2 .
考点:
实数大小比较..
分析:
利用任意两个实数都可以比较大小.正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数,两个负实数绝对值大的反而小,即可得出结果.
解答:
解:在实数﹣2、0、﹣1、2、﹣中,最小的是﹣2,
故答案为:﹣2.
点评:
本题考查了实数的大小比较,属于基础题,掌握实数的大小比较法则是关键.
12.(3分)(2015•达州)已知正六边形ABCDEF的边心距为cm,则正六边形的半径为 2 cm.
考点:
正多边形和圆..
分析:
根据题意画出图形,连接OA、OB,过O作OD⊥AB,再根据正六边形的性质及锐角三角函数的定义求解即可.
解答:
解:如图所示,
连接OA、OB,过O作OD⊥AB,
∵多边形ABCDEF是正六边形,
∴∠OAD=60°,
∴OD=OA•sin∠OAB=AO=,
解得:AO=2..
故答案为:2.
点评:
本题考查的是正六边形的性质,根据题意画出图形,利用数形结合求解是解答此题的关键.
13.(3分)(2015•达州)新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了迎接“六一”儿童节,商场决定采取适当的降价措施.经调査,如果每件童装降价1元,那么平均每天就可多售出2件.要想平均每天销售这种童装盈利1200元,则每件童装应降价多少元?设每件童裝应降价x元,可列方程为 (40﹣x)(20+2x)=1200 .
考点:
由实际问题抽象出一元二次方程..
专题:
销售问题.
分析:
根据题意表示出降价x元后的销量以及每件衣服的利润,由平均每天销售这种童装盈利1200元,进而得出答案.
解答:
解:设每件童裝应降价x元,可列方程为:
(40﹣x)(20+2x)=1200.
故答案为:(40﹣x)(20+2x)=1200.
点评:
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程,正确表示出销量与每件童装的利润是解题关键.
14.(3分)(2015•达州)如图,将矩形ABCD沿EF折叠,使顶点C恰好落在AB边的中点C′上,点D落在D′处,C′D′交AE于点M.若AB=6,BC=9,则AM的长为 .
考点:
翻折变换(折叠问题)..
分析:
先根据勾股定理求出BF,再根据△AMC′∽△BC′F求出AM即可.
解答:
解:根据折叠的性质可知,FC=FC′,∠C=∠FC′M=90°,
设BF=x,则FC=FC′=9﹣x,
∵BF2+BC′2=FC′2,
∴x2+32=(9﹣x)2,
解得:x=4,
∵∠FC′M=90°,
∴∠AC′M+∠BC′F=90°,
又∵∠BFC′+BC′F=90°,
∴∠AC′M=∠BFC′
∵∠A=∠B=90°
∴△AMC′∽△BC′F
∴
∵BC′=AC′=3,
∴AM=.
故答案为:.
点评:
本题主要考查了折叠的性质和相似三角形的判定与性质,能够发现△AMC′∽△BC′F是解决问题的关键.
15.(3分)(2015•达州)对于任意实数m、n,定义一种运运算m※n=mn﹣m﹣n+3,等式的右边是通常的加减和乘法运算,例如:3※5=3×5﹣3﹣5+3=10.请根据上述定义解决问题:若a<2※x<7,且解集中有两个整数解,则a的取值范围是 4≤a<5 .
考点:
一元一次不等式组的整数解..
专题:
新定义.
分析:
利用题中的新定义化简所求不等式,求出a的范围即可.
解答:
解:根据题意得:2※x=2x﹣2﹣x+3=x+1,
∵a<x+1<7,即a﹣1<x<6解集中有两个整数解,
∴a的范围为4≤a<5,
故答案为:4≤a<5
点评:
此题考查了一元一次不等式组的整数解,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
16.(3分)(2015•达州)在直角坐标系中,直线y=x+1与y轴交于点A,按如图方式作正方形A1B1C1O、A2B2C2C1、A3B3C1C2…,A1、A2、A3…在直线y=x+1上,点C1、C2、C3…在x轴上,图中阴影部分三角形的面积从左导游依次记为S1、S2、S3、…Sn,则Sn的值为 22n﹣3 (用含n的代数式表示,n为正整数).
考点:
一次函数图象上点的坐标特征;正方形的性质..
专题:
规律型.
分析:
根据直线解析式先求出OA1=1,得出第一个正方形的边长为1,求得A2B1=A1B1=1,再求出第一个正方形的边长为2,求得A3B2=A2B2=2,第三个正方形的边长为22,求得A4B3=A3B3=22,得出规律,根据三角形的面积公式即可求出Sn的值.
解答:
解:∵直线y=x+1,当x=0时,y=1,当y=0时,x=﹣1,
∴OA1=1,OD=1,
∴∠ODA1=45°,
∴∠A2A1B1=45°,
∴A2B1=A1B1=1,
∴S1=×1×1=,
∵A2B1=A1B1=1,
∴A2C1=2=21,
∴S2=×(21)2=21
同理得:A3C2=4=22,…,
S3=×(22)2=23
∴Sn=×(2n﹣1)2=22n﹣3
故答案为:22n﹣3.
点评:
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质;通过求出第一个正方形、第二个正方形和第三个正方形的边长得出规律是解决问题的关键.
三、解答题,解答对应必要的文字说明,证明过程及盐酸步骤
17.(6分)(2015•达州)计算:(﹣1)2015+20150+2﹣1﹣|﹣|
考点:
实数的运算;零指数幂;负整数指数幂..
专题:
计算题.
分析:
原式第一项利用乘方的意义计算,第二项利用零指数幂法则计算,第三项利用负整数指数幂法则计算,最后一项利用绝对值的代数意义化简,计算即可得到结果.
解答:
解:原式=﹣1+1+﹣+=1﹣.
点评:
此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
18.(7分)(2015•达州)化简•﹣,并求值,其中a与2、3构成△ABC的三边,且a为整数.
考点:
分式的化简求值;三角形三边关系..
专题:
计算题.
分析:
原式第一项约分后,两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果,把a的值代入计算即可求出值.
解答:
解:原式=•+=+===,
∵a与2、3构成△ABC的三边,且a为整数,
∴1<a<5,即a=2,3,4,
当a=2或a=3时,原式没有意义,
则a=4时,原式=1.
点评:
此题考查了分式的化简求值,以及三角形三边关系,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
四、解答题(共2小题,满分15分)
19.(7分)(2015•达州)达州市某中学举行了“中国梦,中国好少年”演讲比赛,菲菲同学将选手成绩划分为A、B、C、D四个等级,绘制了两种不完整统计图.
根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)参加演讲比赛的学生共有 40 人,扇形统计图中m= 20 ,n= 30 ,并把条形统计图补充完整.
(2)学校欲从A等级2名男生2名女生中随机选取两人,参加达州市举办的演讲比赛,请利用列表法或树状图,求A等级中一男一女参加比赛的概率.(男生分别用代码 A1、A2表示,女生分别用代码B1、B2表示)
考点:
列表法与树状图法;扇形统计图;条形统计图..
分析:
(1)根据题意得:参加演讲比赛的学生共有:4÷10%=40(人),然后由扇形统计图的知识,可求得m,n的值,继而补全统计图;
(2)首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与A等级中一男一女参加比赛的情况,再利用概率公式即可求得答案.
解答:
解:(1)根据题意得:参加演讲比赛的学生共有:4÷10%=40(人),
∵n%=×100%=30%,
∴m%=1﹣40%﹣10%﹣30%=20%,
∴m=20,n=30;
如图:
故答案为:40,20,30;
(2)画树状图得:
∵共有12种等可能的结果,A等级中一男一女参加比赛的有8种情况,
∴A等级中一男一女参加比赛的概率为:=.
点评:
此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
20.(8分)(2015•达州)学校为了奖励初三优秀毕业生,计划购买一批平板电脑和一批学习机,经投标,购买1台平板电脑比购买3台学习机多600元,购买2台平板电脑和3台学习机共需8400元.
(1)求购买1台平板电脑和1台学习机各需多少元?
(2)学校根据实际情况,决定购买平板电脑和学习机共100台,要求购买的总费用不超过168000元,且购买学习机的台数不超过购买平板电脑台数的1.7倍.请问有哪几种购买方案?哪种方案最省钱?
考点:
一元一次不等式组的应用;二元一次方程组的应用..
专题:
应用题.
分析:
(1)设购买1台平板电脑和1台学习机各需x元,y元,根据题意列出方程组,求出方程组的解得到x与y的值,即可得到结果;
(2)设购买平板电脑x台,学习机(100﹣x)台,根据“购买的总费用不超过168000元,且购买学习机的台数不超过购买平板电脑台数的1.7倍”列出不等式组,求出不等式组的解集,即可得出购买方案,进而得出最省钱的方案.
解答:
解:(1)设购买1台平板电脑和1台学习机各需x元,y元,
根据题意得:,
解得:,
则购买1台平板电脑和1台学习机各需3000元,800元;
(2)设购买平板电脑x台,学习机(100﹣x)台,
根据题意得:,
解得:37.03≤x≤40,
正整数x的值为38,39,40,
当x=38时,y=62;x=39时,y=61;x=40时,y=60,
方案1:购买平板电脑38台,学习机62台,费用为114000+49600=163600(元);
方案2:购买平板电脑39台,学习机61台,费用为117000+48800=165800(元);
方案3:购买平板电脑40台,学习机60台,费用为120000+48000=168000(元),
则方案1最省钱.
点评:
此题考查了一元一次不等式组的应用,以及二元一次方程组的应用,找出题中的等量关系是解本题的关键.
五、解答题(共2小题,满分15分)
21.(7分)(2015•达州)学习“利用三角函数测高”后,某综合实践活动小组实地测量了凤凰山与中心广场的相对高度AB,其测量步骤如下:
(1)在中心广场测点C处安置测倾器,测得此时山顶A的仰角∠AFH=30°;
(2)在测点C与山脚B之间的D处安置测倾器(C、D与B在同一直线上,且C、D之间的距离可以直接测得),测得此时山顶上红军亭顶部E的仰角∠EGH=45°;
(3)测得测倾器的高度CF=DG=1.5米,并测得CD之间的距离为288米;
已知红军亭高度为12米,请根据测量数据求出凤凰山与中心广场的相对高度AB.(取1.732,结果保留整数)
考点:
解直角三角形的应用-仰角俯角问题..
分析:
首先分析图形,根据题意构造直角三角形.本题涉及多个直角三角形,应利用其公共边构造边角关系,进而可求出答案.
解答:
解:设AH=x米,
在RT△EHG中,∵∠EGH=45°,
∴GH=EH=AE+AH=x+12,
∵GF=CD=288米,
∴HF=GH+GF=x+12+288=x+300,
在RT△AHF中,∵∠AFH=30°,
∴AH=HF•tan∠AFH,即x=(x+300)•,
解得x=150(+1).
∴AB=AH+BH≈409.8+1.5=411(米)
答:凤凰山与中心广场的相对高度AB大约是411米.
点评:
此题主要考查了解直角三角形的应用,本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形,并结合图形利用三角函数解直角三角形.
22.(8分)(2015•达州)如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是菱形,B、O在x轴负半轴上,AO=,tan∠AOB=,一次函数y=k1x+b的图象过A、B两点,反比例函数y=的图象过OA的中点D.
(1)求一次函数和反比例函数的表达式;
(2)平移一次函数y=k1x+b的图象,当一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=的图象无交点时,求b的取值范围.
考点:
反比例函数综合题..
分析:
(1)连接AC,交OB于E,由菱形的性质得出BE=OE=OB,OB⊥AC,由三角函数tan∠AOB==,得出OE=2AE,设AE=x,则OE=2x,根据勾股定理得出OA=
x=,解方程求出AE=1,OE=2,得出OB=2OE=4,得出A、B的坐标,由待定系数法即可求出一次函数的解析式;再求出点D的坐标,代入反比例函数y=,求出k2的值即可;
(3)由题意得出方程组 无解,消去y化成一元二次方程,由判别式△<0,即可求出b的取值范围.
解答:
解:(1)连接AC,交OB于E,如图所示:
∵四边形ABCO是菱形,
∴BE=OE=OB,OB⊥AC,
∴∠AEO=90°,
∴tan∠AOB==,
∴OE=2AE,
设AE=x,则OE=2x,
根据勾股定理得:OA=x=,
∴x=1,
∴AE=1,OE=2,
∴OB=2OE=4,
∴A(﹣2,1),B(﹣4,0),
把点A(﹣2,1),B(﹣4,0)代入一次函数y=k1x+b得:,
解得:k1=,b=2,
∴一次函数的解析式为:y=x+2;
∵D是OA的中点,A(﹣2,1),
∴D(﹣1,),
把点D(﹣1,)代入反比例函数y=得:k2=﹣,
∴反比例函数的解析式为:y=﹣;
(2)根据题意得:一次函数的解析式为:y=x+b,
∵一次函数y=x+b的图象与反比例函数y=﹣的图象无交点,
∴方程组 无解,
即x+b=﹣无解,
整理得:x2+2bx+1=0,
∴△=(2b)2﹣4×1×1<0,b2<1,
解得:﹣1<b<1,
∴当一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=的图象无交点时,b的取值范围是﹣1<b<1.
点评:
本题是反比例函数综合题目,考查了菱形的性质、坐标与图形性质、用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式、勾股定理、解方程组等知识;本题难度较大,综合性强,需要通过作辅助线求出点的坐标和解方程组才能得出结果.
六、解答题(共2小题,满分17分)
23.(8分)(2015•达州)阅读与应用:
阅读1:a、b为实数,且a>0,b>0,因为(﹣)2≥0,所以a﹣2+b≥0从而a+b≥2(当a=b时取等号).
阅读2:若函数y=x+;(m>0,x>0,m为常数),由阅读1结论可知:x+≥2,所以当x=,即x=时,函数y=x+的最小值为2.
阅读理解上述内容,解答下列问题:
问题1:已知一个矩形的面积为4,其中一边长为x,则另一边长为,周长为2(x+),求当x= 2 时,周长的最小值为 8 ;
问题2:已知函数y1=x+1(x>﹣1)与函数y2=x2+2x+10(x>﹣1),
当x= 2 时,的最小值为 6 ;
问题3:某民办学校每天的支出总费用包含以下三个部分:一是教职工工资4900元;二是学生生活费成本每人10元;三是其他费用.其中,其他费用与学生人数的平方成正比,比例系数为0.01.当学校学生人数为多少时,该校每天生均投入最低?最低费用是多少元?(生均投入=支出总费用÷学生人数)
考点:
二次函数的应用..
分析:
问题1:根据阅读2得到x+的范围,进一步得到周长的最小值;
问题2:将变形为(x+1)+,根据阅读2得到(x+1)+,的范围,进一步即可求解;
问题3:可设学校学生人数为x人,根据生均投入=支出总费用÷学生人数,列出代数式,再根据阅读2得到范围,从而求解.
解答:
解:问题1:x=(x>0),解得x=2,
x=2时,x+有最小值为2×=4.
故当x=2时,周长的最小值为2×4=8.
问题2:∵函数y1=x+1(x>﹣1),函数y2=x2+2x+10(x>﹣1),
∴=(x+1)+,
x+1=,解得x=2,
x=2时,(x+1)+有最小值为2×=6.
问题3:设学校学生人数为x人,
则生均投入==10+0.01x+=10+0.01(x+),
x=(x>0),解得x=700,
x=700时,x+有最小值为2×=1400,
故当x=700时,生均投入的最小值为10+0.01×1400=24元.
答:当学校学生人数为700时,该校每天生均投入最低,最低费用是24元.
故答案为:2,8;2,6.
点评:
考查了二次函数的应用,本题关键是理解阅读1和阅读2的知识点:当x=,即x=时,函数y=x+的最小值为2.
24.(9分)(2015•达州)在△ABC的外接圆⊙O中,△ABC的外角平分线CD交⊙O于点D,F为上﹣
点,且= 连接DF,并延长DF交BA的延长线于点E.
(1)判断DB与DA的数量关系,并说明理由;
(2)求证:△BCD≌△AFD;
(3)若∠ACM=120°,⊙O的半径为5,DC=6,求DE的长.
考点:
圆的综合题..
分析:
(1)由CD是△ABC的外角平分线,可得∠MCD=∠ACD,又由∠MCD+∠BCD=180°,∠BCD+∠BAD=180°,可得∠MCD=∠BAD,继而证得∠ABD=∠BAD,即可得DB=DA;
(2)由DB=DA,可得=,即可得=,则可证得CD=FD,BC=AF,然后由SSS判定△BCD≌△AFD;
(3)首先连接DO并延长,交AB于点N,连接OB,由∠ACM=120°,易证得△ABD是等边三角形,并可求得边长,易证得△ACD∽△EBD,然后由相似三角形的对应边成比例,求得DE的长.
解答:
解:(1)DB=DA.
理由:∵CD是△ABC的外角平分线,
∴∠MCD=∠ACD,
∵∠MCD+∠BCD=180°,∠BCD+∠BAD=180°,
∴∠MCD=∠BAD,
∴∠ACD=∠BAD,
∵∠ACD=∠ABD,
∴∠ABD=∠BAD,
∴DB=DA;
(2)证明:∵DB=DA,
∴=,
∵=,
∴AF=BC,=,
∴CD=FD,
在△BCD和△AFD中,
,
∴△BCD≌△AFD(SSS);
(3)连接DO并延长,交AB于点N,连接OB,
∵DB=DA,
∴=,
∴DN⊥AB,
∵∠ACM=120°,
∴∠ABD=∠ACD=60°,
∵DB=DA,
∴△ABD是等边三角形,
∴∠OBA=30°,
∴ON=OB=×5=2.5,
∴DN=ON+OD=7.5,
∴BD==5,
∴AD=BD=5,
∵=,
∴=,
∴∠ADC=∠BDF,
∵∠ABD=∠ACD,
∴△ACD∽△EBD,
∴,
∴,
∴DE=12.5.
点评:
此题属于圆的综合题,考查了圆周角定理、弧与弦的关系、等边三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质.注意准确作出辅助线是解此题的关键.
七、解答题(共1小题,满分12分)
25.(12分)(2015•达州)如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,∠AOC的平分线交AB于点D,E为BC的中点,已知A(0,4)、C(5,0),二次函数y=x2+bx+c的图象抛物线经过A,C两点.
(1)求该二次函数的表达式;
(2)F、G分别为x轴,y轴上的动点,顺次连接D、E、F、G构成四边形DEFG,求四边形DEFG周长的最小值;
(3)抛物线上是否在点P,使△ODP的面积为12?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
考点:
二次函数综合题..
分析:
(1)根据待定系数法,可得函数解析式;
(2)分别作A关于x轴的对称点E,作B关于y轴的对称点F,连接EF交x轴于D,交y轴于C,连接AD、BC,则此时AD+DC+BC的值最小,根据A、B的坐标求出AB,求出E、F的坐标,求出EF的长,即可求出答案;
(3)根据三角形的面积,首先求得点P到OD的距离,然后过点O作OF⊥OD,使OF等于点P到OD的距离,过点F作FG∥OD,求得FG的解析式,然后再求直线FG与抛物线交点的坐标即可得到点P的坐标.
解答:
解:(1)将A(0,4)、C(5,0)代入二次函数y=x2+bx+c,得
,
解得.
故二次函数的表达式y=x2﹣x+4;
(2)如图:
延长EC至E′,使E′C=EC,延长DA至D′,使D′A=DA,连接D′E′,交x轴于F点,交y轴于G点,
GD=GD′EF=E′F,
(DG+GF+EF+ED)最小=D′E′+DE,
由E点坐标为(5,2),D(4,4),得D′(﹣4,4),E(5,﹣2).
由勾股定理,得
DE==,D′E′==,
(DG+GF+EF+ED)最小=D′E′+DE=+;
(3)如下图:
OD=.
∵S△ODP的面积=12,
∴点P到OD的距离==3.
过点O作OF⊥OD,取OF=3,过点F作直线FG∥OD,交抛物线与点P1,P2,
在Et△OGF中,OG===6,
∴直线GF的解析式为y=x﹣6.
将y=x﹣6代入y=得:x﹣6=,
解得:,,
将x1、x2的值代入y=x﹣6得:y1=,y2=
∴点P1(,),P2(,)
如下图所示:
过点O作OF⊥OD,取OF=3,过点F作直线FG交抛物线与P3,P4,
在Rt△PFO中,OG==6
∴直线FG的解析式为y=x+6,
将y=x+6代入y=得:x+6=
解得:,
y1=x1+6=,y2=x2+6=
∴p3(,),p4(,)
综上所述:点P的坐标为:(,)或(,)或(,)或(,).
点评:
本题主要考查的是二次函数的综合应用,求得点P到OD的距离是解题的关键,解得此类问题通常可以将函数问题转化为方程或方程组的问题.