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  • 2021-05-10 发布

四川省达州市中考数学试题及答案解析

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四川省达州市2015年中考数学试卷 一、选择题(共10小题,每小题3分,满分30分在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求)‎ ‎1. 2015的相反数是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ ‎﹣‎ C.‎ ‎2015‎ D.‎ ‎﹣2015‎ 考点:‎ 相反数.. ‎ 分析:‎ 根据只有符号不同的两个数互为相反数,可得一个数的相反数.‎ 解答:‎ 解:2015的相反数是:﹣2015,‎ 故选:D.‎ 点评:‎ 本题考查了相反数,在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数.‎ ‎ ‎ ‎2.(3分)(2015•达州)一个几何体由大小相同的小方块搭成,从上面看到的几何体的形状图如图所示,其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数,则从正面看到几何体的形状图是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 考点:‎ 由三视图判断几何体;作图-三视图.. ‎ 分析:‎ 由已知条件可知,主视图有3列,每列小正方形数目分别为3,2,3,据此可得出图形.‎ 解答:‎ 解:根据所给出的图形和数字可得:‎ 主视图有3列,每列小正方形数目分别为3,2,3,‎ 则符合题意的是D;‎ 故选D.‎ 点评:‎ 本题考查几何体的三视图.由几何体的俯视图及小正方形中的数字,可知主视图有3列,且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字.左视图有3列,且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字.‎ ‎ ‎ ‎3.(3分)(2015•达州)下列运算正确的是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ a•a2=a2‎ B.‎ ‎(a2)3=a6‎ C.‎ a2+a3=a6‎ D.‎ a6÷a2=a3‎ 考点:‎ 同底数幂的除法;合并同类项;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方.. ‎ 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ A、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果,即可做出判断;‎ B、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果,即可做出判断;‎ C、原式不能合并,错误;‎ D、原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果,即可做出判断.‎ 解答:‎ 解:A、原式=a3,错误;‎ B、原式=a6,正确;‎ C、原式不能合并,错误;‎ D、原式=a4,错误,‎ 故选B.‎ 点评:‎ 此题考查了同底数幂的乘除法,合并同类项,以及幂的乘方与积的乘方,熟练掌握运算法则是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎4.(3分)(2015•达州)2015年某中学举行的春季田径径运动会上,参加男子跳高的15名运动员的成绩如表所示:‎ 成绩(m)‎ ‎1.80‎ ‎1.50‎ ‎1.60‎ ‎1.65‎ ‎1.70‎ ‎1.75‎ 人数 ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎2‎ 这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎1.70m,1.65m B.‎ ‎1.70m,1.70m C.‎ ‎1.65m,1.60m D.‎ ‎3,4‎ 考点:‎ 众数;中位数.. ‎ 分析:‎ 首先根据这组数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数,判断出这些运动员跳高成绩的中位数即可;然后找出这组数据中出现次数最多的数,则它就是这些运动员跳高成绩的众数,据此解答即可.‎ 解答:‎ 解:∵15÷2=7…1,第8名的成绩处于中间位置,‎ ‎∴男子跳高的15名运动员的成绩处于中间位置的数是1.65m,‎ ‎∴这些运动员跳高成绩的中位数是1.65m;‎ ‎∵男子跳高的15名运动员的成绩出现次数最多的是1.60m,‎ ‎∴这些运动员跳高成绩的众数是1.60m;‎ 综上,可得 这些运动员跳高成绩的中位数是1.65m,众数是1.60m.‎ 故选:C.‎ 点评:‎ ‎(1)此题主要考查了众数的含义和求法,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:①一组数据中出现次数最多的数据叫做众数.②求一组数据的众数的方法:找出频数最多的那个数据,若几个数据频数都是最多且相同,此时众数就是这多个数据.‎ ‎(2)此题还考查了中位数的含义和求法,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,①如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数.②如果这组数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.‎ ‎ ‎ ‎5.(3分)(2015•达州)下列命题正确的是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ 矩形的对角线互相垂直 ‎ ‎ B.‎ 两边和一角对应相等的两个三角形全等 ‎ ‎ C.‎ 分式方程+1=可化为一元一次力程x﹣2+(2x﹣1)=﹣1.5‎ ‎ ‎ D.‎ 多项式t2﹣16+3t因式分解为(t+4)(t﹣4)+3t 考点:‎ 命题与定理.. ‎ 分析:‎ 根据矩形的性质,全等三角形的判定,分式方程的解法以及因式分解对各选项分析判断即可得解.‎ 解答:‎ 解:A、矩形的对角线互相垂直是假命题,故本选项错误;‎ B、两边和一角对应相等的两个三角形全等是假命题,故本选项错误;‎ C、分式方程+1=两边都乘以(2x﹣1),可化为一元一次力程x﹣2+(2x﹣1)=﹣1.5是真命题,故本选项正确;‎ D、多项式t2﹣16+3t因式分解为(t+4)(t﹣4)+3t错误,故本选项错误.‎ 故选C.‎ 点评:‎ 本题主要考查命题的真假判断,正确的命题叫真命题,错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.‎ ‎ ‎ ‎6.(3分)(2015•达州)如图,△ABC中,BD平分∠ABC,BC的中垂线交BC于点E,交BD于点F,连接CF.若∠A=60°,∠ABD=24°,则∠ACF的度数为(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎48°‎ B.‎ ‎36°‎ C.‎ ‎30°‎ D.‎ ‎24°‎ 考点:‎ 线段垂直平分线的性质.. ‎ 分析:‎ 根据角平分线的性质可得∠DBC=∠ABD=24°,然后再计算出∠ACB的度数,再根据线段垂直平分线的性质可得BF=CF,进而可得∠FCB=24°,然后可算出∠ACF的度数.‎ 解答:‎ 解:∵BD平分∠ABC,‎ ‎∴∠DBC=∠ABD=24°,‎ ‎∵∠A=60°,‎ ‎∴∠ACB=180°﹣60°﹣24°×2=72°,‎ ‎∵BC的中垂线交BC于点E,‎ ‎∴BF=CF,‎ ‎∴∠FCB=24°,‎ ‎∴∠ACF=72°﹣24°=48°,‎ 故选:A.‎ 点评:‎ 此题主要考查了线段垂直平分线的性质,以及三角形内角和定理,关键是掌握线段垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等.‎ ‎ ‎ ‎7.(3分)(2015•达州)如图,直径AB为12的半圆,绕A点逆时针旋转60°,此时点B旋转到点B′,则图中阴影部分的面积是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎12π B.‎ ‎24π C.‎ ‎6π D.‎ ‎36π 考点:‎ 扇形面积的计算;旋转的性质.. ‎ 分析:‎ 根据题意得出AB=AB′=12,∠BAB′=60°,根据图形得出图中阴影部分的面积S=+π×122﹣π×122,求出即可.‎ 解答:‎ 解:∵AB=AB′=12,∠BAB′=60°‎ ‎∴图中阴影部分的面积是:‎ S=S扇形B′AB+S半圆O′﹣S半圆O ‎=+π×122﹣π×122‎ ‎=24π.‎ 故选B.‎ 点评:‎ 本题考查的是扇形的面积及旋转的性质,通过做此题培养了学生的计算能力和观察图形的能力,题目比较好,难度适中.‎ ‎ ‎ ‎8.(3分)(2015•达州)方程(m﹣2)x2﹣x+=0有两个实数根,则m的取值范围(  )‎ ‎ ‎ A.‎ m>‎ B.‎ m≤且m≠2‎ C.‎ m≥3‎ D.‎ m≤3且m≠2‎ 考点:‎ 根的判别式;一元二次方程的定义.. ‎ 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ 根据一元二次方程的定义、二次根式有意义的条件和判别式的意义得到 ‎,然后解不等式组即可.‎ 解答:‎ 解:根据题意得,‎ 解得m≤且m≠2.‎ 故选B.‎ 点评:‎ 本题考查了根的判别式:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2﹣4ac有如下关系:当△>0时,方程有两个不相等的两个实数根;当△=0时,方程有两个相等的两个实数根;当△<0时,方程无实数根.‎ ‎ ‎ ‎9.(3分)(2015•达州)若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴有两个交点,坐标分别为(x1,0)、(x2,0),且x1<x2,图象上有一点M(x0,y0),在x轴下方,则下列判断正确的是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ a(x0﹣x1)(x0﹣x2)<0‎ B.‎ a>0‎ ‎ ‎ C.‎ b2﹣4ac≥0‎ D.‎ x1<x0<x2‎ 考点:‎ 抛物线与x轴的交点.. ‎ 分析:‎ 由于a的符号不能确定,故应分a>0与a<0进行分类讨论.‎ 解答:‎ 解:A、当a>0时,‎ ‎∵点M(x0,y0),在x轴下方,‎ ‎∴x1<x0<x2,‎ ‎∴x0﹣x1>0,x0﹣x2<0,‎ ‎∴a(x0﹣x1)(x0﹣x2)<0;‎ 当a<0时,若点M在对称轴的左侧,则x0<x1<x2,‎ ‎∴x0﹣x1<0,x0﹣x2<0,‎ ‎∴a(x0﹣x1)(x0﹣x2)<0;‎ 若点M在对称轴的右侧,则x1<x2<x0,‎ ‎∴x0﹣x1>0,x0﹣x2>0,‎ ‎∴a(x0﹣x1)(x0﹣x2)<0;‎ 综上所述,a(x0﹣x1)(x0﹣x2)<0,故本选项正确;‎ B、a的符号不能确定,故本选项错误;‎ C、∵函数图象与x轴有两个交点,∴△>0,故本选项错误;‎ D、x1、x0、x2的大小无法确定,故本选项错误.‎ 故选A.‎ 点评:‎ 本题考查的是抛物线与x轴的交点,在解答此题时要注意进行分类讨论.‎ ‎ ‎ ‎10.(3分)(2015•达州)如图,AB为半圆O的在直径,AD、BC分别切⊙O于A、B两点,CD切⊙O于点E,连接OD、OC,下列结论:①∠DOC=90°,②AD+BC=CD,③S△AOD:S△BOC=AD2:AO2,④OD:OC=DE:EC,⑤OD2=DE•CD,正确的有(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎2个 B.‎ ‎3个 C.‎ ‎4个 D.‎ ‎5个 考点:‎ 切线的性质;切线长定理;相似三角形的判定与性质.. ‎ 分析:‎ 连接OE,由AD,DC,BC都为圆的切线,根据切线的性质得到三个角为直角,且利用切线长定理得到DE=DA,CE=CB,由CD=DE+EC,等量代换可得出CD=AD+BC,选项②正确;由AD=ED,OD为公共边,利用HL可得出直角三角形ADO与直角三角形EDO全等,可得出∠AOD=∠EOD,同理得到∠EOC=∠BOC,而这四个角之和为平角,可得出∠DOC为直角,选项⑤正确;由∠DOC与∠DEO都为直角,再由一对公共角相等,利用两对对应角相等的两三角形相似,可得出三角形DEO与三角形DOC相似,由相似得比例可得出OD2=DE•CD,选项①正确;由△AOD∽△BOC,可得===,选项③正确;由△ODE∽△OEC,可得,选项④正确.‎ 解答:‎ 解:连接OE,如图所示:‎ ‎∵AD与圆O相切,DC与圆O相切,BC与圆O相切,‎ ‎∴∠DAO=∠DEO=∠OBC=90°,‎ ‎∴DA=DE,CE=CB,AD∥BC,‎ ‎∴CD=DE+EC=AD+BC,选项②正确;‎ 在Rt△ADO和Rt△EDO中,,‎ ‎∴Rt△ADO≌Rt△EDO(HL),‎ ‎∴∠AOD=∠EOD,‎ 同理Rt△CEO≌Rt△CBO,‎ ‎∴∠EOC=∠BOC,‎ 又∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB=180°,‎ ‎∴2(∠DOE+∠EOC)=180°,即∠DOC=90°,选项⑤正确;‎ ‎∴∠DOC=∠DEO=90°,又∠EDO=∠ODC,‎ ‎∴△EDO∽△ODC,‎ ‎∴=,即OD2=DC•DE,选项①正确;‎ ‎∵∠AOD+∠COB=∠AOD+∠ADO=90°,‎ ‎∠A=∠B=90°,‎ ‎∴△AOD∽△BOC,‎ ‎∴===,选项③正确;‎ 同理△ODE∽△OEC,‎ ‎∴,选项④正确;‎ 故选D.‎ 点评:‎ 此题考查了切线的性质,切线长定理,相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,利用了转化的数学思想,熟练掌握定理及性质是解本题的关键.‎ ‎ ‎ 二、填空题(本题6个小题,每小题3分,為18分.把最后答案直接填在题中的横线上)‎ ‎11.(3分)(2015•达州)在实数﹣2、0、﹣1、2、﹣中,最小的是 ﹣2 .‎ 考点:‎ 实数大小比较.. ‎ 分析:‎ 利用任意两个实数都可以比较大小.正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数,两个负实数绝对值大的反而小,即可得出结果.‎ 解答:‎ 解:在实数﹣2、0、﹣1、2、﹣中,最小的是﹣2,‎ 故答案为:﹣2.‎ 点评:‎ 本题考查了实数的大小比较,属于基础题,掌握实数的大小比较法则是关键.‎ ‎ ‎ ‎12.(3分)(2015•达州)已知正六边形ABCDEF的边心距为cm,则正六边形的半径为 2 cm.‎ 考点:‎ 正多边形和圆.. ‎ 分析:‎ 根据题意画出图形,连接OA、OB,过O作OD⊥AB,再根据正六边形的性质及锐角三角函数的定义求解即可.‎ 解答:‎ 解:如图所示,‎ 连接OA、OB,过O作OD⊥AB,‎ ‎∵多边形ABCDEF是正六边形,‎ ‎∴∠OAD=60°,‎ ‎∴OD=OA•sin∠OAB=AO=,‎ 解得:AO=2..‎ 故答案为:2.‎ 点评:‎ 本题考查的是正六边形的性质,根据题意画出图形,利用数形结合求解是解答此题的关键.‎ ‎ ‎ ‎13.(3分)(2015•达州)新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了迎接“六一”儿童节,商场决定采取适当的降价措施.经调査,如果每件童装降价1元,那么平均每天就可多售出2件.要想平均每天销售这种童装盈利1200元,则每件童装应降价多少元?设每件童裝应降价x元,可列方程为 (40﹣x)(20+2x)=1200 .‎ 考点:‎ 由实际问题抽象出一元二次方程.. ‎ 专题:‎ 销售问题.‎ 分析:‎ 根据题意表示出降价x元后的销量以及每件衣服的利润,由平均每天销售这种童装盈利1200元,进而得出答案.‎ 解答:‎ 解:设每件童裝应降价x元,可列方程为:‎ ‎(40﹣x)(20+2x)=1200.‎ 故答案为:(40﹣x)(20+2x)=1200.‎ 点评:‎ 此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程,正确表示出销量与每件童装的利润是解题关键.‎ ‎ ‎ ‎14.(3分)(2015•达州)如图,将矩形ABCD沿EF折叠,使顶点C恰好落在AB边的中点C′上,点D落在D′处,C′D′交AE于点M.若AB=6,BC=9,则AM的长为  .‎ 考点:‎ 翻折变换(折叠问题).. ‎ 分析:‎ 先根据勾股定理求出BF,再根据△AMC′∽△BC′F求出AM即可.‎ 解答:‎ 解:根据折叠的性质可知,FC=FC′,∠C=∠FC′M=90°,‎ 设BF=x,则FC=FC′=9﹣x,‎ ‎∵BF2+BC′2=FC′2,‎ ‎∴x2+32=(9﹣x)2,‎ 解得:x=4,‎ ‎∵∠FC′M=90°,‎ ‎∴∠AC′M+∠BC′F=90°,‎ 又∵∠BFC′+BC′F=90°,‎ ‎∴∠AC′M=∠BFC′‎ ‎∵∠A=∠B=90°‎ ‎∴△AMC′∽△BC′F ‎∴‎ ‎∵BC′=AC′=3,‎ ‎∴AM=.‎ 故答案为:.‎ 点评:‎ 本题主要考查了折叠的性质和相似三角形的判定与性质,能够发现△AMC′∽△BC′F是解决问题的关键.‎ ‎ ‎ ‎15.(3分)(2015•达州)对于任意实数m、n,定义一种运运算m※n=mn﹣m﹣n+3,等式的右边是通常的加减和乘法运算,例如:3※5=3×5﹣3﹣5+3=10.请根据上述定义解决问题:若a<2※x<7,且解集中有两个整数解,则a的取值范围是 4≤a<5 .‎ 考点:‎ 一元一次不等式组的整数解.. ‎ 专题:‎ 新定义.‎ 分析:‎ 利用题中的新定义化简所求不等式,求出a的范围即可.‎ 解答:‎ 解:根据题意得:2※x=2x﹣2﹣x+3=x+1,‎ ‎∵a<x+1<7,即a﹣1<x<6解集中有两个整数解,‎ ‎∴a的范围为4≤a<5,‎ 故答案为:4≤a<5‎ 点评:‎ 此题考查了一元一次不等式组的整数解,熟练掌握运算法则是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎16.(3分)(2015•达州)在直角坐标系中,直线y=x+1与y轴交于点A,按如图方式作正方形A1B1C1O、A2B2C2C1、A3B3C1C2…,A1、A2、A3…在直线y=x+1上,点C1、C2、C3…在x轴上,图中阴影部分三角形的面积从左导游依次记为S1、S2、S3、…Sn,则Sn的值为 22n﹣3 (用含n的代数式表示,n为正整数).‎ 考点:‎ 一次函数图象上点的坐标特征;正方形的性质.. ‎ 专题:‎ 规律型.‎ 分析:‎ 根据直线解析式先求出OA1=1,得出第一个正方形的边长为1,求得A2B1=A1B1=1,再求出第一个正方形的边长为2,求得A3B2=A2B2=2,第三个正方形的边长为22,求得A4B3=A3B3=22,得出规律,根据三角形的面积公式即可求出Sn的值.‎ 解答:‎ 解:∵直线y=x+1,当x=0时,y=1,当y=0时,x=﹣1,‎ ‎∴OA1=1,OD=1,‎ ‎∴∠ODA1=45°,‎ ‎∴∠A2A1B1=45°,‎ ‎∴A2B1=A1B1=1,‎ ‎∴S1=×1×1=,‎ ‎∵A2B1=A1B1=1,‎ ‎∴A2C1=2=21,‎ ‎∴S2=×(21)2=21‎ 同理得:A3C2=4=22,…,‎ S3=×(22)2=23‎ ‎∴Sn=×(2n﹣1)2=22n﹣3‎ 故答案为:22n﹣3.‎ 点评:‎ 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质;通过求出第一个正方形、第二个正方形和第三个正方形的边长得出规律是解决问题的关键.‎ ‎ ‎ 三、解答题,解答对应必要的文字说明,证明过程及盐酸步骤 ‎17.(6分)(2015•达州)计算:(﹣1)2015+20150+2﹣1﹣|﹣|‎ 考点:‎ 实数的运算;零指数幂;负整数指数幂.. ‎ 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ 原式第一项利用乘方的意义计算,第二项利用零指数幂法则计算,第三项利用负整数指数幂法则计算,最后一项利用绝对值的代数意义化简,计算即可得到结果.‎ 解答:‎ 解:原式=﹣1+1+﹣+=1﹣.‎ 点评:‎ 此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎18.(7分)(2015•达州)化简•﹣,并求值,其中a与2、3构成△ABC的三边,且a为整数.‎ 考点:‎ 分式的化简求值;三角形三边关系.. ‎ 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ 原式第一项约分后,两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果,把a的值代入计算即可求出值.‎ 解答:‎ 解:原式=•+=+===,‎ ‎∵a与2、3构成△ABC的三边,且a为整数,‎ ‎∴1<a<5,即a=2,3,4,‎ 当a=2或a=3时,原式没有意义,‎ 则a=4时,原式=1.‎ 点评:‎ 此题考查了分式的化简求值,以及三角形三边关系,熟练掌握运算法则是解本题的关键.‎ ‎ ‎ 四、解答题(共2小题,满分15分)‎ ‎19.(7分)(2015•达州)达州市某中学举行了“中国梦,中国好少年”演讲比赛,菲菲同学将选手成绩划分为A、B、C、D四个等级,绘制了两种不完整统计图.‎ 根据图中提供的信息,解答下列问题:‎ ‎(1)参加演讲比赛的学生共有 40 人,扇形统计图中m= 20 ,n= 30 ,并把条形统计图补充完整.‎ ‎(2)学校欲从A等级2名男生2名女生中随机选取两人,参加达州市举办的演讲比赛,请利用列表法或树状图,求A等级中一男一女参加比赛的概率.(男生分别用代码 A1、A2表示,女生分别用代码B1、B2表示)‎ 考点:‎ 列表法与树状图法;扇形统计图;条形统计图.. ‎ 分析:‎ ‎(1)根据题意得:参加演讲比赛的学生共有:4÷10%=40(人),然后由扇形统计图的知识,可求得m,n的值,继而补全统计图;‎ ‎(2)首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与A等级中一男一女参加比赛的情况,再利用概率公式即可求得答案.‎ 解答:‎ 解:(1)根据题意得:参加演讲比赛的学生共有:4÷10%=40(人),‎ ‎∵n%=×100%=30%,‎ ‎∴m%=1﹣40%﹣10%﹣30%=20%,‎ ‎∴m=20,n=30;‎ 如图:‎ 故答案为:40,20,30;‎ ‎(2)画树状图得:‎ ‎∵共有12种等可能的结果,A等级中一男一女参加比赛的有8种情况,‎ ‎∴A等级中一男一女参加比赛的概率为:=.‎ 点评:‎ 此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.‎ ‎ ‎ ‎20.(8分)(2015•达州)学校为了奖励初三优秀毕业生,计划购买一批平板电脑和一批学习机,经投标,购买1台平板电脑比购买3台学习机多600元,购买2台平板电脑和3台学习机共需8400元.‎ ‎(1)求购买1台平板电脑和1台学习机各需多少元?‎ ‎(2)学校根据实际情况,决定购买平板电脑和学习机共100台,要求购买的总费用不超过168000元,且购买学习机的台数不超过购买平板电脑台数的1.7倍.请问有哪几种购买方案?哪种方案最省钱?‎ 考点:‎ 一元一次不等式组的应用;二元一次方程组的应用.. ‎ 专题:‎ 应用题.‎ 分析:‎ ‎(1)设购买1台平板电脑和1台学习机各需x元,y元,根据题意列出方程组,求出方程组的解得到x与y的值,即可得到结果;‎ ‎(2)设购买平板电脑x台,学习机(100﹣x)台,根据“购买的总费用不超过168000元,且购买学习机的台数不超过购买平板电脑台数的1.7倍”列出不等式组,求出不等式组的解集,即可得出购买方案,进而得出最省钱的方案.‎ 解答:‎ 解:(1)设购买1台平板电脑和1台学习机各需x元,y元,‎ 根据题意得:,‎ 解得:,‎ 则购买1台平板电脑和1台学习机各需3000元,800元;‎ ‎(2)设购买平板电脑x台,学习机(100﹣x)台,‎ 根据题意得:,‎ 解得:37.03≤x≤40,‎ 正整数x的值为38,39,40,‎ 当x=38时,y=62;x=39时,y=61;x=40时,y=60,‎ 方案1:购买平板电脑38台,学习机62台,费用为114000+49600=163600(元);‎ 方案2:购买平板电脑39台,学习机61台,费用为117000+48800=165800(元);‎ 方案3:购买平板电脑40台,学习机60台,费用为120000+48000=168000(元),‎ 则方案1最省钱.‎ 点评:‎ 此题考查了一元一次不等式组的应用,以及二元一次方程组的应用,找出题中的等量关系是解本题的关键.‎ ‎ ‎ 五、解答题(共2小题,满分15分)‎ ‎21.(7分)(2015•达州)学习“利用三角函数测高”后,某综合实践活动小组实地测量了凤凰山与中心广场的相对高度AB,其测量步骤如下:‎ ‎(1)在中心广场测点C处安置测倾器,测得此时山顶A的仰角∠AFH=30°;‎ ‎(2)在测点C与山脚B之间的D处安置测倾器(C、D与B在同一直线上,且C、D之间的距离可以直接测得),测得此时山顶上红军亭顶部E的仰角∠EGH=45°;‎ ‎(3)测得测倾器的高度CF=DG=1.5米,并测得CD之间的距离为288米;‎ 已知红军亭高度为12米,请根据测量数据求出凤凰山与中心广场的相对高度AB.(取1.732,结果保留整数)‎ 考点:‎ 解直角三角形的应用-仰角俯角问题.. ‎ 分析:‎ 首先分析图形,根据题意构造直角三角形.本题涉及多个直角三角形,应利用其公共边构造边角关系,进而可求出答案.‎ 解答:‎ 解:设AH=x米,‎ 在RT△EHG中,∵∠EGH=45°,‎ ‎∴GH=EH=AE+AH=x+12,‎ ‎∵GF=CD=288米,‎ ‎∴HF=GH+GF=x+12+288=x+300,‎ 在RT△AHF中,∵∠AFH=30°,‎ ‎∴AH=HF•tan∠AFH,即x=(x+300)•,‎ 解得x=150(+1).‎ ‎∴AB=AH+BH≈409.8+1.5=411(米)‎ 答:凤凰山与中心广场的相对高度AB大约是411米.‎ 点评:‎ 此题主要考查了解直角三角形的应用,本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形,并结合图形利用三角函数解直角三角形.‎ ‎ ‎ ‎22.(8分)(2015•达州)如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是菱形,B、O在x轴负半轴上,AO=,tan∠AOB=,一次函数y=k1x+b的图象过A、B两点,反比例函数y=的图象过OA的中点D.‎ ‎(1)求一次函数和反比例函数的表达式;‎ ‎(2)平移一次函数y=k1x+b的图象,当一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=的图象无交点时,求b的取值范围.‎ 考点:‎ 反比例函数综合题.. ‎ 分析:‎ ‎(1)连接AC,交OB于E,由菱形的性质得出BE=OE=OB,OB⊥AC,由三角函数tan∠AOB==,得出OE=2AE,设AE=x,则OE=2x,根据勾股定理得出OA=‎ x=,解方程求出AE=1,OE=2,得出OB=2OE=4,得出A、B的坐标,由待定系数法即可求出一次函数的解析式;再求出点D的坐标,代入反比例函数y=,求出k2的值即可;‎ ‎(3)由题意得出方程组 无解,消去y化成一元二次方程,由判别式△<0,即可求出b的取值范围.‎ 解答:‎ 解:(1)连接AC,交OB于E,如图所示:‎ ‎∵四边形ABCO是菱形,‎ ‎∴BE=OE=OB,OB⊥AC,‎ ‎∴∠AEO=90°,‎ ‎∴tan∠AOB==,‎ ‎∴OE=2AE,‎ 设AE=x,则OE=2x,‎ 根据勾股定理得:OA=x=,‎ ‎∴x=1,‎ ‎∴AE=1,OE=2,‎ ‎∴OB=2OE=4,‎ ‎∴A(﹣2,1),B(﹣4,0),‎ 把点A(﹣2,1),B(﹣4,0)代入一次函数y=k1x+b得:,‎ 解得:k1=,b=2,‎ ‎∴一次函数的解析式为:y=x+2;‎ ‎∵D是OA的中点,A(﹣2,1),‎ ‎∴D(﹣1,),‎ 把点D(﹣1,)代入反比例函数y=得:k2=﹣,‎ ‎∴反比例函数的解析式为:y=﹣;‎ ‎(2)根据题意得:一次函数的解析式为:y=x+b,‎ ‎∵一次函数y=x+b的图象与反比例函数y=﹣的图象无交点,‎ ‎∴方程组 无解,‎ 即x+b=﹣无解,‎ 整理得:x2+2bx+1=0,‎ ‎∴△=(2b)2﹣4×1×1<0,b2<1,‎ 解得:﹣1<b<1,‎ ‎∴当一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=的图象无交点时,b的取值范围是﹣1<b<1.‎ 点评:‎ 本题是反比例函数综合题目,考查了菱形的性质、坐标与图形性质、用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式、勾股定理、解方程组等知识;本题难度较大,综合性强,需要通过作辅助线求出点的坐标和解方程组才能得出结果.‎ ‎ ‎ 六、解答题(共2小题,满分17分)‎ ‎23.(8分)(2015•达州)阅读与应用:‎ 阅读1:a、b为实数,且a>0,b>0,因为(﹣)2≥0,所以a﹣2+b≥0从而a+b≥2(当a=b时取等号).‎ 阅读2:若函数y=x+;(m>0,x>0,m为常数),由阅读1结论可知:x+≥2,所以当x=,即x=时,函数y=x+的最小值为2.‎ 阅读理解上述内容,解答下列问题:‎ 问题1:已知一个矩形的面积为4,其中一边长为x,则另一边长为,周长为2(x+),求当x= 2 时,周长的最小值为 8 ;‎ 问题2:已知函数y1=x+1(x>﹣1)与函数y2=x2+2x+10(x>﹣1),‎ 当x= 2 时,的最小值为 6 ;‎ 问题3:某民办学校每天的支出总费用包含以下三个部分:一是教职工工资4900元;二是学生生活费成本每人10元;三是其他费用.其中,其他费用与学生人数的平方成正比,比例系数为0.01.当学校学生人数为多少时,该校每天生均投入最低?最低费用是多少元?(生均投入=支出总费用÷学生人数)‎ 考点:‎ 二次函数的应用.. ‎ 分析:‎ 问题1:根据阅读2得到x+的范围,进一步得到周长的最小值;‎ 问题2:将变形为(x+1)+,根据阅读2得到(x+1)+,的范围,进一步即可求解;‎ 问题3:可设学校学生人数为x人,根据生均投入=支出总费用÷学生人数,列出代数式,再根据阅读2得到范围,从而求解.‎ 解答:‎ 解:问题1:x=(x>0),解得x=2,‎ x=2时,x+有最小值为2×=4.‎ 故当x=2时,周长的最小值为2×4=8.‎ 问题2:∵函数y1=x+1(x>﹣1),函数y2=x2+2x+10(x>﹣1),‎ ‎∴=(x+1)+,‎ x+1=,解得x=2,‎ x=2时,(x+1)+有最小值为2×=6.‎ 问题3:设学校学生人数为x人,‎ 则生均投入==10+0.01x+=10+0.01(x+),‎ x=(x>0),解得x=700,‎ x=700时,x+有最小值为2×=1400,‎ 故当x=700时,生均投入的最小值为10+0.01×1400=24元.‎ 答:当学校学生人数为700时,该校每天生均投入最低,最低费用是24元.‎ 故答案为:2,8;2,6.‎ 点评:‎ 考查了二次函数的应用,本题关键是理解阅读1和阅读2的知识点:当x=,即x=时,函数y=x+的最小值为2.‎ ‎ ‎ ‎24.(9分)(2015•达州)在△ABC的外接圆⊙O中,△ABC的外角平分线CD交⊙O于点D,F为上﹣‎ 点,且= 连接DF,并延长DF交BA的延长线于点E.‎ ‎(1)判断DB与DA的数量关系,并说明理由;‎ ‎(2)求证:△BCD≌△AFD;‎ ‎(3)若∠ACM=120°,⊙O的半径为5,DC=6,求DE的长.‎ 考点:‎ 圆的综合题.. ‎ 分析:‎ ‎(1)由CD是△ABC的外角平分线,可得∠MCD=∠ACD,又由∠MCD+∠BCD=180°,∠BCD+∠BAD=180°,可得∠MCD=∠BAD,继而证得∠ABD=∠BAD,即可得DB=DA;‎ ‎(2)由DB=DA,可得=,即可得=,则可证得CD=FD,BC=AF,然后由SSS判定△BCD≌△AFD;‎ ‎(3)首先连接DO并延长,交AB于点N,连接OB,由∠ACM=120°,易证得△ABD是等边三角形,并可求得边长,易证得△ACD∽△EBD,然后由相似三角形的对应边成比例,求得DE的长.‎ 解答:‎ 解:(1)DB=DA.‎ 理由:∵CD是△ABC的外角平分线,‎ ‎∴∠MCD=∠ACD,‎ ‎∵∠MCD+∠BCD=180°,∠BCD+∠BAD=180°,‎ ‎∴∠MCD=∠BAD,‎ ‎∴∠ACD=∠BAD,‎ ‎∵∠ACD=∠ABD,‎ ‎∴∠ABD=∠BAD,‎ ‎∴DB=DA;‎ ‎(2)证明:∵DB=DA,‎ ‎∴=,‎ ‎∵=,‎ ‎∴AF=BC,=,‎ ‎∴CD=FD,‎ 在△BCD和△AFD中,‎ ‎,‎ ‎∴△BCD≌△AFD(SSS);‎ ‎(3)连接DO并延长,交AB于点N,连接OB,‎ ‎∵DB=DA,‎ ‎∴=,‎ ‎∴DN⊥AB,‎ ‎∵∠ACM=120°,‎ ‎∴∠ABD=∠ACD=60°,‎ ‎∵DB=DA,‎ ‎∴△ABD是等边三角形,‎ ‎∴∠OBA=30°,‎ ‎∴ON=OB=×5=2.5,‎ ‎∴DN=ON+OD=7.5,‎ ‎∴BD==5,‎ ‎∴AD=BD=5,‎ ‎∵=,‎ ‎∴=,‎ ‎∴∠ADC=∠BDF,‎ ‎∵∠ABD=∠ACD,‎ ‎∴△ACD∽△EBD,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴DE=12.5.‎ 点评:‎ 此题属于圆的综合题,考查了圆周角定理、弧与弦的关系、等边三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质.注意准确作出辅助线是解此题的关键.‎ ‎ ‎ 七、解答题(共1小题,满分12分)‎ ‎25.(12分)(2015•达州)如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,∠AOC的平分线交AB于点D,E为BC的中点,已知A(0,4)、C(5,0),二次函数y=x2+bx+c的图象抛物线经过A,C两点.‎ ‎(1)求该二次函数的表达式;‎ ‎(2)F、G分别为x轴,y轴上的动点,顺次连接D、E、F、G构成四边形DEFG,求四边形DEFG周长的最小值;‎ ‎(3)抛物线上是否在点P,使△ODP的面积为12?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.‎ 考点:‎ 二次函数综合题.. ‎ 分析:‎ ‎(1)根据待定系数法,可得函数解析式;‎ ‎(2)分别作A关于x轴的对称点E,作B关于y轴的对称点F,连接EF交x轴于D,交y轴于C,连接AD、BC,则此时AD+DC+BC的值最小,根据A、B的坐标求出AB,求出E、F的坐标,求出EF的长,即可求出答案;‎ ‎(3)根据三角形的面积,首先求得点P到OD的距离,然后过点O作OF⊥OD,使OF等于点P到OD的距离,过点F作FG∥OD,求得FG的解析式,然后再求直线FG与抛物线交点的坐标即可得到点P的坐标.‎ 解答:‎ 解:(1)将A(0,4)、C(5,0)代入二次函数y=x2+bx+c,得 ‎,‎ 解得.‎ 故二次函数的表达式y=x2﹣x+4;‎ ‎(2)如图:‎ 延长EC至E′,使E′C=EC,延长DA至D′,使D′A=DA,连接D′E′,交x轴于F点,交y轴于G点,‎ GD=GD′EF=E′F,‎ ‎(DG+GF+EF+ED)最小=D′E′+DE,‎ 由E点坐标为(5,2),D(4,4),得D′(﹣4,4),E(5,﹣2).‎ 由勾股定理,得 DE==,D′E′==,‎ ‎(DG+GF+EF+ED)最小=D′E′+DE=+;‎ ‎(3)如下图:‎ OD=.‎ ‎∵S△ODP的面积=12,‎ ‎∴点P到OD的距离==3.‎ 过点O作OF⊥OD,取OF=3,过点F作直线FG∥OD,交抛物线与点P1,P2,‎ 在Et△OGF中,OG===6,‎ ‎∴直线GF的解析式为y=x﹣6.‎ 将y=x﹣6代入y=得:x﹣6=,‎ 解得:,,‎ 将x1、x2的值代入y=x﹣6得:y1=,y2=‎ ‎∴点P1(,),P2(,)‎ 如下图所示:‎ 过点O作OF⊥OD,取OF=3,过点F作直线FG交抛物线与P3,P4,‎ 在Rt△PFO中,OG==6‎ ‎∴直线FG的解析式为y=x+6,‎ 将y=x+6代入y=得:x+6=‎ 解得:,‎ y1=x1+6=,y2=x2+6=‎ ‎∴p3(,),p4(,)‎ 综上所述:点P的坐标为:(,)或(,)或(,)或(,).‎ 点评:‎ 本题主要考查的是二次函数的综合应用,求得点P到OD的距离是解题的关键,解得此类问题通常可以将函数问题转化为方程或方程组的问题.‎