重庆中考数学第题专题训练 17页

证明题 ‎1.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E．在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC．‎ ‎（1）求证：BE=CF；‎ ‎（2）在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME．‎ 求证：①ME⊥BC；②DE=DN．‎ ‎2.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF＝∠CBG。‎ 求证：（1）AF＝CG；‎ ‎（2）CF＝2DE ‎3.如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE=CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于O点，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC。‎ ‎（1）求证：OE=OF； ‎ ‎（2）若BC=，求AB的长。‎ ‎4.已知，如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE=CD，点F为CE的中点，点G为CD上的一点，连接DF、EG、AG，∠1=∠2．‎ ‎（1）若CF=2，AE=3，求BE的长；‎ ‎（2）求证：∠CEG=∠AGE．‎ ‎5.如图1，在△ABC中，ACB=90°，BAC=60°，点E角平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的线段，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点，DH⊥AC，垂足为H，连接EF，HF。‎ ‎（1）如图1，若点H是AC的中点，AC=，求AB，BD的长。‎ ‎（2）如图1，求证：HF=EF。‎ ‎（3）如图2，连接CF，CE，猜想：△CEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由。‎ ‎6.如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于点D，点E在AC边上，连结BE．‎ ‎（1）若AF是△ABE的中线，且AF＝5，AE＝6，连结DF，求DF的长；‎ ‎（2）若AF是△ABE的高，延长AF交BC于点G．‎ ‎①如图2，若点E是AC边的中点，连结EG，求证：AG＋EG＝BE；‎ ‎②如图3，若点E是AC边上的动点，连结DF．当点E在AC边上(不含端点)运动时，∠DFG的大小是否改变，如果不变，请求出∠DFG的度数；如果要变，请说明理由．‎ B A F D C E G ‎25题图2‎ A B F D C E G ‎25题图3‎ A B F D C E ‎25题图1‎ ‎ 7.在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，DE与线段AB相交于点E，DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F.‎ ‎（1）如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB=4，求BE的长；‎ ‎（2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF扔与线段AC相交于点F.求证：；‎ ‎（3）如图3，将（2）中的∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC的延长线交与点F，作DN⊥AC于点N，若DN=FN，求证：.‎ ‎8.已知在四边形ABCD中，，AB=BC.‎ ‎（1）如图1，若，AD=2，求CD的长度；‎ ‎（2） 如图2，点P、Q分别在线段AD、DC上，满足PQ=AP+CQ，求证：；‎ ‎（3）如图3，若点Q运动到DC的延长线上，点P也运动到DA的延长线上时，仍然满足PQ=AP+CQ ‎，则（2）中的结论是否成立？若成立，请给出证明过程，若不成立，请写出与的数量关系，并给出证明过程.‎ 图1‎ 图3‎ 图2‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎9.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF．‎ ‎（1）如图1，当E是线段AC的中点，且AB=2时，求△ABC的面积；‎ ‎（2）如图2，当点E不是线段AC的中点时，求证：BE=EF；‎ 图1 图2 图3‎ ‎（3）如图3，当点E是线段AC延长线上的任意一点时，（2）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．‎ ‎10.如图1，在菱形ABCD中，ABC=60°，若点E在AB的延长线上，EF∥AD，EF=BE，点P是DE的中点，连接FP并延长交AD于点G．‎ ‎（1）过D作DHAB,垂足为H，若DH=，BE=AB,求DG的长；‎ ‎（2）连接CP，求证：CPFP；‎ E A B C D H P F G 第25题图1‎ A B C D P F 第25题图2‎ E G’‎ ‎（3）如图2，在菱形ABCD中，ABC=60°，若点E在CB的延长线上运动，点F在AB的延长线上运动，且BE=BF，连接DE,点P为DE的中点，连接FP、CP，那么第（2）问的结论成立吗？若成立，求出的值；若不成立，请说明理由．‎ ‎11.如图1，中，于点，于点，连接.‎ ‎（1）若，，，求的周长；‎ ‎（2）如图2，若，，的角平分线交于点，求证：；‎ ‎（3）如图3，若，，将沿着翻折得到，连接、，请猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的结论。‎ ‎12.如图，在等腰Rt△ABC中，为斜边AC的中点，连接BO，以AB为斜边向三角形内部作Rt△ABE,‎ 且∠AEB=90°，连接EO.‎ 求证：（1）∠OAE=∠OBE; （2）AE=BE+OE. ‎ ‎13.张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=AC，点P为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．‎ 求证：PD+PE=CF．‎ 小军的证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF．‎ 小俊的证明思路是：如图2，过点P作PG⊥CF，垂足为G，可以证得：PD=GF，PE=CG，则PD+PE=CF．‎ ‎【变式探究】如图3，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，求证：PD﹣PE=CF；‎ 请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：‎ ‎【结论运用】如图4，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD=8，CF=3，求PG+PH的值；‎ ‎【迁移拓展】图5是一个航模的截面示意图．在四边形ABCD中，E为AB边上的一点，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D、C，且AD•CE=DE•BC，AB=dm，AD=3dm，BD=dm．M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN，求△DEM与△CEN的周长之和．‎ ‎14.‎ ‎15.如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、AB上两点，且BE=BF，过点B作AE的垂线交AC于点G，过点G作CF的垂线交BC于点H，延长线段AE、GH交于点M.‎ ‎（1）求证：∠BFC=∠BEA；‎ ‎（2）求证：AM=BG+GM.‎ ‎16.某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程： ‎ （1） 如图1所示，在等腰△ABC中，AB＝AC，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连结MD和ME， 求证： ‎ ‎①AF＝AG＝ AB；②MD＝ME；‎ （2） 在任意△ABC中，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连结MD和ME，试判断△MDE的形状（直接写答案，不需要写过程） ‎ （3） 在任意△ABC中，仍分别以AB、AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连结MD和ME，则MD与ME有怎样的数量关系？‎ ‎17.‎ ‎18.‎ ‎19.如图，在等腰Rt△ABC中，O为斜边AC的中点，连接BO，以AB为斜边向三角形内部作Rt△ABE,‎ 且∠AEB=90°，连接EO.‎ 求证：（1）∠OAE=∠OBE;（2）AE=BE+OE. ‎ ‎2o.如图，已知，∠BAC＝90º，AB＝AC，BD是∠ABC的平分线，且CE⊥BD交BD延长线于点E。‎ ‎ （1），若AD＝1，求DC；‎ ‎ （2）求证：BD＝2CE ‎21.如图所示，△中，,∠=90°, ⊥，⊥，△沿直线翻折到△，连结交、、分别于点、、.‎ ‎（1）求证：⊥；‎ ‎（2）求证：.‎ ‎22.已知平行四边形ABCD中，G为BC中点，点E在AD边上，且．‎ ‎(1)求证：E是AD中点；‎ ‎(2)若F为CD延长线上一点，连接BF，且满足，求证：CD=BF+DF．‎ ‎23.‎ ‎ ‎ ‎24.如图1，中，于点，于点，连接.‎ ‎（1）若，，，求的周长；‎ ‎（2）如图2，若，，的角平分线交于点，求证：；‎ ‎（3）如图3，若，，将沿着翻折得到，连接、，请猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的结论。‎ ‎25.我们知道平行四边形有很多性质。现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折。会发现这其中还有更多的结论，如图，已知平行四边形ABCD中，∠B＝30º，‎ ‎，将△ABC沿AC翻折至，连接。 【发现与证明】：如图1：求证：①△AGC是等腰三角形；‎ ‎②（只选一个证明哟，4分）‎ ‎【应用与解答】：如图2：如果AB＝，BC＝1，与CD相交于点E，求△AEC的面积 【拓展与探索】如果AB＝，当BC的长为多少时，△AB′D是直角三角形？（4分）‎ ‎ ‎ ‎26.在菱形ABCD和正三角形BGF中，∠ABC=60°，P是DF的中点，连接PG、PC．‎ ‎（1）如图1，当点G在BC边上时，若AB=10，BF=4，求PG的长；‎ ‎（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，线段PC、PG有怎样的数量关系，写出你的猜想；并给予证明.‎ ‎（3）如图3，当点F在CB的延长线上时，(2)问中关系还成立吗？写出你的猜想，并给予证明.‎ D D C C D C P G P F P G F G B A B A B A 图1‎ 图2‎ 图3‎ F 在菱形ABCD中，=60°，以D为顶点作等边三角形DEF，连接，点分别为、的中点，连接.‎ ‎ （1）如图1，若点E在DP上，EF与CD交于点M，连接MN，,求MN的长；‎ ‎ （2）如图2，若为中点，求证：；‎ 第25题图 ‎ （3）如图3，若四边形ABCD为平行四边形,且≠60°,以D为顶点作三角形，满足且,仍分别为EF、EC、BC的中点，请探究与 的和是否为一个定值，并证明你的结论.‎ ‎27.‎ ‎28.如图1，正方菜ABCD中，AC是对角线，等腰RtΔCMN中，∠CMN=900，CM=MN，点M在CD边上；连接AN，点E是AN的中点，连接BE。‎ ‎（1）若CM=2，AB=6，求AE的值；‎ ‎（2）求证：2BE=AC+CN；‎ ‎（3）当等腰RtΔCMN的点M落在正方形ABCD的BC边上，如图2，连接AN，点E是AN的中点，连接BE，延长NM交AC于点F。请探究线段BE、AC、CN的数量关系，并证明你的结论。‎ ‎24题图 A B C D E F G H ‎29.如图，正方形ABCD的边长为6, 点E在边AB上，过点D作FD⊥DE，并与BC的延长线相交于点F，EF与边CD相交于点G、与对角线BD相交于点H．‎ ‎ (1)若BF＝BD，求BE的长；‎ ‎(2)若∠ADE＝2∠BFE,求证：HF＝HE＋HD．‎ ‎30.如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，点F在AD边上，且AE=DF，AF=CD，连接线段CE、EF、CF．点G是线段CE的中点，点M是线段EF上一点，过点G作GN⊥GM，将CF于点N．‎ ‎（1）求证：△AEF≌△DFC；‎ ‎（2）求证：ME=NF．‎ ‎31.如图，在矩形ABCD中，点E是AD边上一点，点F是CB延长线上一点，连接EF交AB于点G，且DE=BF．AE的垂直平分线MN交AE于点N、交EF于点M．若∠AFG=2∠BFG=45°，AF=2．‎ ‎（1）求证：AF=CE；‎ ‎（2）求△CEF的面积．‎ ‎　32.‎ ‎33.如图，△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，D为△ABC外一点，且AD⊥BD，BD交AC于E，G为BC上一点，且∠BCG＝∠‎ DCA，过G点作GH⊥CG交CB于H．‎ ‎（1）求证：CD＝CG；‎ ‎（2）若AD＝CG，求证：AB＝AC＋BH．‎ ‎34.已知如图，在菱形ABCD中，CO⊥BD，垂足为点O，E为BC上一点，F为AD延长线上一点，EF交CD于点G，EG＝FG＝DG，连接OE、OF。‎ ‎(1)若DG＝5，OC＝8，求BD的长；‎ ‎(2)求证： ‎ ‎35.已知，如图，在中，，点D为AB中点，连接CD。点E为边AC上一点，过点E作，交CD于点F，连接EB，取EB的中点G，连接DG、FG。‎ ‎（1）求证：；（2）求证：。‎ ‎36.‎ ‎37.‎ ‎38.‎ ‎25.‎ ‎ ‎ ‎26. 如图1，在正方形中，点为边上一点，将沿翻折得，延长交边于，连接。‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若的中点，求的值；‎ ‎（3）如图2，射线、分别交正方形两个外角的平分线于、，连接，若以、、为三边围成三角形，试猜想三角形的形状，并证明你的结论。‎ 25. ‎27. 如图1，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，把矩形沿直线AC折叠，使 ‎ 点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．‎ ‎（1）求证：△ADF ≌ △CEF；‎ ‎（2）求DF的值；‎ ‎（3）如图2，若P为线段EC上一动点，过点P作△AEC的内接矩形，使其定点Q落在线段AE上，定点M、N落在线段AC上，当线段PE的长为何值时，矩形PQMN的面积最大？‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎26.如图，点E为正方形ABCD的边BC所在直线上的一点，连接AE，过点C作CF⊥AE于F．‎ 连接BF.‎ ‎(1)如图l，当点E在CB的延长线上，且AC=EC时，求证：BF=AE；‎ ‎(2)如图2，当点E在线段BC上。且AE平分时，求证：AB+BE=AC；‎ ‎(3)如图3，当点E继续往右运动到BC中点时，过点D作DH⊥AE于H，连接BH，‎ 求证：．‎ ‎27. 在中，，点，点在边上不同的两点，且。‎ ‎（1）如图1，若，，求的长。‎ ‎（2）如图2，若，，求证：‎ ‎（3）如图3，若，，请问（2）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎ 图1 图2 图3 ‎ ‎ ‎ ‎28. 如图1，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC，∠ACB=90°，直线l经过点C，AF⊥l于点F， AE⊥l于点E，点D是AB的中点，连接ED．重·庆※名-校—资.源~库编辑 ‎(1) 求证：△ACF≌△CBE ‎(2) 求证：AF=BE+DE ‎(3) 如图2，将直线l旋转到△ABC的外部，其他条件不变，（2）中的结论是否仍然成立，如果成立请说明理由，如果不成立AF、BE、DE又满足怎样的关系？并说明理由．‎ 已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点做EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG。‎ ‎(1)求证：EG=CG; (2)将图(1)中△BEF绕B点逆时针旋转45°,如图2所示,取DF中点G,连接EG,CG,问1中的结论是否仍然成立？请证明；若不成立，请说明理由。 （3）.将图1中△BEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应线段，问1中结论是否成立？EG是否垂直于CG？（不要证明） ‎