2020年湖南省岳阳市中考数学试卷(含解析） 22页

‎2020年湖南省岳阳市中考数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分，在每道小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项）‎ ‎1．（3分）（2020•岳阳）﹣2020的相反数是（　　）‎ A．﹣2020 B．2020 C．‎-‎‎1‎‎2020‎ D．‎‎1‎‎2020‎ ‎2．（3分）（2020•岳阳）2019年以来，我国扶贫攻坚取得关键进展，农村贫困人口减少11090000人，数据11090000用科学记数法表示为（　　）‎ A．0.1109×108 B．11.09×106 C．1.109×108 D．1.109×107‎ ‎3．（3分）（2020•岳阳）如图，由4个相同正方体组成的几何体，它的左视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（3分）（2020•岳阳）下列运算结果正确的是（　　）‎ A．（﹣a）3＝a3 B．a9÷a3＝a3 C．a+2a＝3a D．a•a2＝a2‎ ‎5．（3分）（2020•岳阳）如图，DA⊥AB，CD⊥DA，∠B＝56°，则∠C的度数是（　　）‎ A．154° B．144° C．134° D．124°‎ ‎6．（3分）（2020•岳阳）今年端午小长假复课第一天，学校根据疫情防控要求，对所有进入校园的师生进行体温检测，其中7名学生的体温（单位：℃）如下：36.5，36.3，36.8，36.3，36.5，36.7，36.5，这组数据的众数和中位数分别是（　　）‎ A．36.3，36.5 B．36.5，36.5 C．36.5，36.3 D．36.3，36.7‎ ‎7．（3分）（2020•岳阳）下列命题是真命题的是（　　）‎ A．一个角的补角一定大于这个角 ‎ B．平行于同一条直线的两条直线平行 ‎ C．等边三角形是中心对称图形 ‎ D．旋转改变图形的形状和大小 第22页（共22页）‎ ‎8．（3分）（2020•岳阳）对于一个函数，自变量x取c时，函数值y等于0，则称c为这个函数的零点．若关于x的二次函数y＝﹣x2﹣10x+m（m≠0）有两个不相等的零点x1，x2（x1＜x2），关于x的方程x2+10x﹣m﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x3，x4（x3＜x4），则下列关系式一定正确的是（　　）‎ A．0‎＜x‎1‎x‎3‎＜‎1 B．x‎1‎x‎3‎‎＞‎1 C．0‎＜x‎2‎x‎4‎＜‎1 D．x‎2‎x‎4‎‎＞‎1‎ 二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，满分32分）‎ ‎9．（4分）（2020•岳阳）因式分解：a2﹣9＝　 　．‎ ‎10．（4分）（2020•襄阳）函数y‎=‎x-2‎中自变量x的取值范围是　 　．‎ ‎11．（4分）（2020•岳阳）不等式组x+3≥0，‎x-1＜0‎的解集是　 　．‎ ‎12．（4分）（2020•岳阳）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠A＝20°，则∠BCD＝　 　°．‎ ‎13．（4分）（2020•岳阳）在﹣3，﹣2，1，2，3五个数中随机选取一个数作为二次函数y＝ax2+4x﹣2中a的值，则该二次函数图象开口向上的概率是　 　．‎ ‎14．（4分）（2020•岳阳）已知x2+2x＝﹣1，则代数式5+x（x+2）的值为　 　．‎ ‎15．（4分）（2020•岳阳）我国古代数学名著《九章算术》上有这样一个问题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其大意是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现用30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为x斗，行酒为y斗，根据题意，可列方程组为　 　．‎ ‎16．（4分）（2020•岳阳）如图，AB为半圆O的直径，M，C是半圆上的三等分点，AB＝8，BD与半圆O相切于点B．点P为AM上一动点（不与点A，M重合），直线PC交BD于点D，BE⊥OC于点E，延长BE交PC于点F，则下列结论正确的是　 　．（写出所有正确结论的序号）‎ ‎①PB＝PD；②BC的长为‎4‎‎3‎π；③∠DBE＝45°；④△BCF∽△PFB；⑤CF•CP为定值．‎ 第22页（共22页）‎ 三、解答题（本大题共8小题，满分64分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（6分）（2020•岳阳）计算：（‎1‎‎2‎）﹣1+2cos60°﹣（4﹣π）0+|‎-‎‎3‎|．‎ ‎18．（6分）（2020•岳阳）如图，点E，F在▱ABCD的边BC，AD上，BE‎=‎‎1‎‎3‎BC，FD‎=‎‎1‎‎3‎AD，连接BF，DE．‎ 求证：四边形BEDF是平行四边形．‎ ‎19．（8分）（2020•岳阳）如图，一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y‎=‎kx（k为常数且k≠0）的图象相交于A（﹣1，m），B两点．‎ ‎（1）求反比例函数的表达式；‎ ‎（2）将一次函数y＝x+5的图象沿y轴向下平移b个单位（b＞0），使平移后的图象与反比例函数y‎=‎kx的图象有且只有一个交点，求b的值．‎ ‎20．（8分）（2020•岳阳）我市某学校落实立德树人根本任务，构建“五育并举”教育体系，开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程．为了解七年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了七年级若干名学生进行调查（每人只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：‎ 第22页（共22页）‎ ‎（1）本次随机调查的学生人数为　 　人；‎ ‎（2）补全条形统计图；‎ ‎（3）若该校七年级共有800名学生，请估计该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数；‎ ‎（4）七（1）班计划在“园艺、电工、木工、编织”四大类劳动课程中任选两类参加学校期末展示活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的概率．‎ ‎21．（8分）（2020•岳阳）为做好复工复产，某工厂用A、B两种型号机器人搬运原料，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运20kg，且A型机器人搬运1200kg所用时间与B型机器人搬运1000kg所用时间相等，求这两种机器人每小时分别搬运多少原料．‎ ‎22．（8分）（2020•岳阳）共抓长江大保护，建设水墨丹青新岳阳，推进市中心城区污水系统综合治理项目，需要从如图A，B两地向C地新建AC，BC两条笔直的污水收集管道，现测得C地在A地北偏东45°方向上，在B地北偏西68°向上，AB的距离为7km，求新建管道的总长度．（结果精确到0.1km，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，‎2‎‎≈‎1.41）‎ ‎23．（10分）（2020•岳阳）如图1，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点P，Q分别从C 第22页（共22页）‎ 点，A点同时以每秒1个单位长度的速度出发，且分别在边CA，AB上沿C→A，A→B的方向运动，当点Q运动到点B时，P，Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为t（s），连接PQ，过点P作PE⊥PQ，PE与边BC相交于点E，连接QE．‎ ‎（1）如图2，当t＝5s时，延长EP交边AD于点F．求证：AF＝CE；‎ ‎（2）在（1）的条件下，试探究线段AQ，QE，CE三者之间的等量关系，并加以证明；‎ ‎（3）如图3，当t‎＞‎‎9‎‎4‎s时，延长EP交边AD于点F，连接FQ，若FQ平分∠AFP，求AFCE的值．‎ ‎24．（10分）（2020•岳阳）如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线F1：y＝a（x‎-‎‎2‎‎5‎）2‎+‎‎64‎‎15‎与x轴交于点A（‎-‎‎6‎‎5‎，0）和点B，与y轴交于点C．‎ ‎（1）求抛物线F1的表达式；‎ ‎（2）如图2，将抛物线F1先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线F2，若抛物线F1与抛物线F2相交于点D，连接BD，CD，BC．‎ ‎①求点D的坐标；‎ ‎②判断△BCD的形状，并说明理由；‎ ‎（3）在（2）的条件下，抛物线F2上是否存在点P，使得△BDP为等腰直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 第22页（共22页）‎ 第22页（共22页）‎ ‎2020年湖南省岳阳市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分，在每道小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项）‎ ‎1．（3分）（2020•岳阳）﹣2020的相反数是（　　）‎ A．﹣2020 B．2020 C．‎-‎‎1‎‎2020‎ D．‎‎1‎‎2020‎ ‎【解答】解：﹣2020的相反数是：2020．‎ 故选：B．‎ ‎2．（3分）（2020•岳阳）2019年以来，我国扶贫攻坚取得关键进展，农村贫困人口减少11090000人，数据11090000用科学记数法表示为（　　）‎ A．0.1109×108 B．11.09×106 C．1.109×108 D．1.109×107‎ ‎【解答】解：11090000＝1.109×107，‎ 故选：D．‎ ‎3．（3分）（2020•岳阳）如图，由4个相同正方体组成的几何体，它的左视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：从该几何体的左侧看到的是一列两层，因此选项A的图形符合题意，‎ 故选：A．‎ ‎4．（3分）（2020•岳阳）下列运算结果正确的是（　　）‎ A．（﹣a）3＝a3 B．a9÷a3＝a3 C．a+2a＝3a D．a•a2＝a2‎ ‎【解答】解：（﹣a）3＝﹣a3，因此选项A不符合题意；‎ a9÷a3＝a9﹣3＝a6，因此选项B不符合题意；‎ a+2a＝（1+2）a＝3a，因此选项C符合题意；‎ a•a2＝a1+2＝a3，因此选项D不符合题意；‎ 故选：C．‎ ‎5．（3分）（2020•岳阳）如图，DA⊥AB，CD⊥DA，∠B＝56°，则∠C的度数是（　　）‎ 第22页（共22页）‎ A．154° B．144° C．134° D．124°‎ ‎【解答】解：∵DA⊥AB，CD⊥DA，‎ ‎∴∠A＝∠D＝90°，‎ ‎∴∠A+∠D＝180°，‎ ‎∴AB∥CD，‎ ‎∴∠B+∠C＝180°，‎ ‎∵∠B＝56°，‎ ‎∴∠C＝180°﹣∠B＝124°，‎ 故选：D．‎ ‎6．（3分）（2020•岳阳）今年端午小长假复课第一天，学校根据疫情防控要求，对所有进入校园的师生进行体温检测，其中7名学生的体温（单位：℃）如下：36.5，36.3，36.8，36.3，36.5，36.7，36.5，这组数据的众数和中位数分别是（　　）‎ A．36.3，36.5 B．36.5，36.5 C．36.5，36.3 D．36.3，36.7‎ ‎【解答】解：将这组数据重新排列为36.3，36.3，36.5，36.5，36.5，36.7，36.8，‎ 所以这组数据的众数为36.5，中位数为36.5，‎ 故选：B．‎ ‎7．（3分）（2020•岳阳）下列命题是真命题的是（　　）‎ A．一个角的补角一定大于这个角 ‎ B．平行于同一条直线的两条直线平行 ‎ C．等边三角形是中心对称图形 ‎ D．旋转改变图形的形状和大小 ‎【解答】解：A、一个角的补角不一定大于这个角，如直角的补角等于它，原命题是假命题；‎ B、平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题；‎ C、等边三角形不是中心对称图形，原命题是假命题；‎ D、旋转不改变图形的形状和大小，原命题是假命题；‎ 故选：B．‎ 第22页（共22页）‎ ‎8．（3分）（2020•岳阳）对于一个函数，自变量x取c时，函数值y等于0，则称c为这个函数的零点．若关于x的二次函数y＝﹣x2﹣10x+m（m≠0）有两个不相等的零点x1，x2（x1＜x2），关于x的方程x2+10x﹣m﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x3，x4（x3＜x4），则下列关系式一定正确的是（　　）‎ A．0‎＜x‎1‎x‎3‎＜‎1 B．x‎1‎x‎3‎‎＞‎1 C．0‎＜x‎2‎x‎4‎＜‎1 D．x‎2‎x‎4‎‎＞‎1‎ ‎【解答】解：由题意关于x的方程x2+10x﹣m﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x3，x4（x3＜x4），就是关于x的二次函数y＝﹣x2﹣10x+m（m≠0）与直线y＝﹣2的交点的横坐标，‎ 画出函数的图象草图如下：‎ ‎∵抛物线的对称轴为直线x‎=-‎-10‎‎2×(-1)‎=-‎5，‎ ‎∴x3＜x1＜﹣5，‎ 由图象可知：0‎＜x‎1‎x‎3‎＜‎1一定成立，‎ 故选：A．‎ 二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，满分32分）‎ ‎9．（4分）（2020•岳阳）因式分解：a2﹣9＝　（a+3）（a﹣3）　．‎ ‎【解答】解：a2﹣9＝（a+3）（a﹣3）．‎ ‎10．（4分）（2020•襄阳）函数y‎=‎x-2‎中自变量x的取值范围是　x≥2　．‎ ‎【解答】解：依题意，得x﹣2≥0，‎ 解得：x≥2，‎ 故答案为：x≥2．‎ ‎11．（4分）（2020•岳阳）不等式组x+3≥0，‎x-1＜0‎的解集是　﹣3≤x＜1　．‎ ‎【解答】解：解不等式x+3≥0，得：x≥﹣3，‎ 第22页（共22页）‎ 解不等式x﹣1＜0，得：x＜1，‎ 则不等式组的解集为﹣3≤x＜11，‎ 故答案为：﹣3≤x＜1．‎ ‎12．（4分）（2020•岳阳）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠A＝20°，则∠BCD＝　70　°．‎ ‎【解答】解：在Rt△ABC中，∠A＝20°，则∠B＝70°，‎ ‎∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，‎ ‎∴BD＝CD＝AD，‎ ‎∴∠BCD＝∠B＝70°，‎ 故答案为70．‎ ‎13．（4分）（2020•岳阳）在﹣3，﹣2，1，2，3五个数中随机选取一个数作为二次函数y＝ax2+4x﹣2中a的值，则该二次函数图象开口向上的概率是　‎3‎‎5‎　．‎ ‎【解答】解：∵从﹣3，﹣2，1，2，3五个数中随机选取一个数，共有5种等可能结果，其中使该二次函数图象开口向上的有1、2、3这3种结果，‎ ‎∴该二次函数图象开口向上的概率是‎3‎‎5‎，‎ 故答案为：‎3‎‎5‎．‎ ‎14．（4分）（2020•岳阳）已知x2+2x＝﹣1，则代数式5+x（x+2）的值为　4　．‎ ‎【解答】解：∵x2+2x＝﹣1，‎ ‎∴5+x（x+2）＝5+x2+2x＝5﹣1＝4．‎ 故答案为：4．‎ ‎15．（4分）（2020•岳阳）我国古代数学名著《九章算术》上有这样一个问题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其大意是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现用30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为x斗，行酒为y斗，根据题意，可列方程组为　x+y=2‎‎50x+10y=30‎　．‎ 第22页（共22页）‎ ‎【解答】解：依题意，得：x+y=2‎‎50x+10y=30‎．‎ 故答案为：x+y=2‎‎50x+10y=30‎．‎ ‎16．（4分）（2020•岳阳）如图，AB为半圆O的直径，M，C是半圆上的三等分点，AB＝8，BD与半圆O相切于点B．点P为AM上一动点（不与点A，M重合），直线PC交BD于点D，BE⊥OC于点E，延长BE交PC于点F，则下列结论正确的是　②⑤　．（写出所有正确结论的序号）‎ ‎①PB＝PD；②BC的长为‎4‎‎3‎π；③∠DBE＝45°；④△BCF∽△PFB；⑤CF•CP为定值．‎ ‎【解答】解：①连接AC，并延长AC，与BD的延长线交于点H，如图1，‎ ‎∵M，C是半圆上的三等分点，‎ ‎∴∠BAH＝30°，‎ ‎∵BD与半圆O相切于点B．‎ ‎∴∠ABD＝90°，‎ ‎∴∠H＝60°，‎ ‎∵∠ACP＝∠ABP，∠ACP＝∠DCH，‎ ‎∴∠PDB＝∠H+∠DCH＝∠ABP+60°，‎ ‎∵∠PBD＝90°﹣∠ABP，‎ 若∠PDB＝∠PBD，则∠ABP+60°＝90°﹣∠ABP，‎ ‎∴∠ABP＝15°，‎ ‎∴P点为AM的中点，这与P为AM上的一动点不完全吻合，‎ ‎∴∠PDB不一定等于∠ABD，‎ ‎∴PB不一定等于PD，‎ 故①错误；‎ ‎②∵M，C是半圆上的三等分点，‎ ‎∴∠BOC‎=‎1‎‎3‎×180°=60°‎，‎ 第22页（共22页）‎ ‎∵直径AB＝8，‎ ‎∴OB＝OC＝4，‎ ‎∴BC的长度‎=‎60π×4‎‎180‎=‎4‎‎3‎π，‎ 故②正确；‎ ‎③∵∠BOC＝60°，OB＝OC，‎ ‎∴∠ABC＝60°，OB＝OC＝BC，‎ ‎∵BE⊥OC，‎ ‎∴∠OBE＝∠CBE＝30°，‎ ‎∵∠ABD＝90°，‎ ‎∴∠DBE＝60°，‎ 故③错误；‎ ‎④∵M、N是AB的三等分点，‎ ‎∴∠BPC＝30°，‎ ‎∵∠CBF＝30°，‎ 但∠BFP＝∠FCB，‎ ‎∠PBF＜∠BFC，‎ ‎∴△BCF∽△PFB不成立，‎ 故④错误；‎ ‎⑤∵△BCF∽△PCB，‎ ‎∴CBCP‎=‎CFCB，‎ ‎∴CF•CP＝CB2，‎ ‎∵CB=OB=OC=‎1‎‎2‎AB=4‎，‎ ‎∴CF•CP＝16，‎ 故⑤正确．‎ 第22页（共22页）‎ 故答案为：②⑤．‎ 三、解答题（本大题共8小题，满分64分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（6分）（2020•岳阳）计算：（‎1‎‎2‎）﹣1+2cos60°﹣（4﹣π）0+|‎-‎‎3‎|．‎ ‎【解答】解：原式＝2+2‎×‎1‎‎2‎-‎1‎‎+‎‎3‎ ‎＝2+1﹣1‎‎+‎‎3‎ ‎＝2‎+‎‎3‎．‎ ‎18．（6分）（2020•岳阳）如图，点E，F在▱ABCD的边BC，AD上，BE‎=‎‎1‎‎3‎BC，FD‎=‎‎1‎‎3‎AD，连接BF，DE．‎ 求证：四边形BEDF是平行四边形．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD＝BC，AD∥BC，‎ ‎∵BE‎=‎‎1‎‎3‎BC，FD‎=‎‎1‎‎3‎AD，‎ ‎∴BE＝DF，‎ ‎∵DF∥BE，‎ ‎∴四边形BEDF是平行四边形．‎ ‎19．（8分）（2020•岳阳）如图，一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y‎=‎kx（k为常数且k≠0）的图象相交于A（﹣1，m），B两点．‎ ‎（1）求反比例函数的表达式；‎ ‎（2）将一次函数y＝x+5的图象沿y轴向下平移b个单位（b＞0），使平移后的图象与反比例函数y‎=‎kx的图象有且只有一个交点，求b的值．‎ 第22页（共22页）‎ ‎【解答】解：（1）∵一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y‎=‎kx（k为常数且k≠0）的图象相交于A（﹣1，m），‎ ‎∴m＝4，‎ ‎∴k＝﹣1×4＝﹣4，‎ ‎∴反比例函数解析式为：y‎=-‎‎4‎x；‎ ‎（2）∵一次函数y＝x+5的图象沿y轴向下平移b个单位（b＞0），‎ ‎∴y＝x+5﹣b，‎ ‎∵平移后的图象与反比例函数y‎=‎kx的图象有且只有一个交点，‎ ‎∴x+5﹣b‎=-‎‎4‎x，‎ ‎∴x2+（5﹣b）x+4＝0，‎ ‎∵△＝（5﹣b）2﹣16＝0，‎ 解得b＝9或1，‎ 答：b的值为9或1．‎ ‎20．（8分）（2020•岳阳）我市某学校落实立德树人根本任务，构建“五育并举”教育体系，开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程．为了解七年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了七年级若干名学生进行调查（每人只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：‎ 第22页（共22页）‎ ‎（1）本次随机调查的学生人数为　60　人；‎ ‎（2）补全条形统计图；‎ ‎（3）若该校七年级共有800名学生，请估计该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数；‎ ‎（4）七（1）班计划在“园艺、电工、木工、编织”四大类劳动课程中任选两类参加学校期末展示活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的概率．‎ ‎【解答】解：（1）18÷30%＝60（人），‎ 故答案为：60；‎ ‎（2）60﹣15﹣18﹣9﹣6＝12（人），补全条形统计图如图所示：‎ ‎（3）800‎×‎15‎‎60‎=‎200（人），‎ 答：该校七年级800名学生中选择“厨艺”劳动课程的有200人；‎ ‎（4）用列表法表示所有可能出现的结果如下：‎ 共有12种可能出现的结果，其中选中“园艺、编织”的有2种，‎ ‎∴P（园艺、编织）‎=‎2‎‎12‎=‎‎1‎‎6‎．‎ ‎21．（8分）（2020•岳阳）为做好复工复产，某工厂用A、B两种型号机器人搬运原料，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运20kg，且A型机器人搬运1200kg所用时间与B型机器人搬运1000kg所用时间相等，求这两种机器人每小时分别搬运多少原料．‎ 第22页（共22页）‎ ‎【解答】解：设B型机器人每小时搬运xkg原料，则A型机器人每小时搬运（x+20）kg原料，‎ 依题意，得：‎1200‎x+20‎‎=‎‎1000‎x，‎ 解得：x＝100，‎ 经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意，‎ ‎∴x+20＝120．‎ 答：A型机器人每小时搬运120kg原料，B型机器人每小时搬运100kg原料．‎ ‎22．（8分）（2020•岳阳）共抓长江大保护，建设水墨丹青新岳阳，推进市中心城区污水系统综合治理项目，需要从如图A，B两地向C地新建AC，BC两条笔直的污水收集管道，现测得C地在A地北偏东45°方向上，在B地北偏西68°向上，AB的距离为7km，求新建管道的总长度．（结果精确到0.1km，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，‎2‎‎≈‎1.41）‎ ‎【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，‎ 根据题意可知：‎ AB＝7，∠ACD＝45°，∠CBD＝90°﹣68°＝22°，‎ ‎∴AD＝CD，‎ ‎∴BD＝AB﹣AD＝7﹣CD，‎ 第22页（共22页）‎ 在Rt△BCD中，‎ ‎∵tan∠CBD‎=‎CDBD，‎ ‎∴CD‎7-CD‎≈‎0.40，‎ ‎∴CD＝2，‎ ‎∴AD＝CD＝2，‎ BD＝7﹣2＝5，‎ ‎∴AC＝2‎2‎‎≈‎2.83，‎ BC‎=CDsin22°‎≈‎2‎‎0.37‎≈‎5.41，‎ ‎∴AC+BC≈2.83+5.41≈8.2（km）．‎ 答：新建管道的总长度约为8.2km．‎ ‎23．（10分）（2020•岳阳）如图1，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点P，Q分别从C点，A点同时以每秒1个单位长度的速度出发，且分别在边CA，AB上沿C→A，A→B的方向运动，当点Q运动到点B时，P，Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为t（s），连接PQ，过点P作PE⊥PQ，PE与边BC相交于点E，连接QE．‎ ‎（1）如图2，当t＝5s时，延长EP交边AD于点F．求证：AF＝CE；‎ ‎（2）在（1）的条件下，试探究线段AQ，QE，CE三者之间的等量关系，并加以证明；‎ ‎（3）如图3，当t‎＞‎‎9‎‎4‎s时，延长EP交边AD于点F，连接FQ，若FQ平分∠AFP，求AFCE的值．‎ ‎【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AD∥BC，∠ABC＝90°，‎ 在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，根据勾股定理得，AC＝10，‎ 由运动知，CP＝t＝5，‎ ‎∴AP＝AC﹣CP＝5，‎ 第22页（共22页）‎ ‎∴AP＝CP，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠PAF＝∠PCE，∠AFP＝∠CEP，‎ ‎∴△APF≌△CPE（AAS），‎ ‎∴AF＝CE；‎ ‎（2）结论：AQ2+CE2＝QE2，‎ 理由：如图2，‎ 连接FQ，由（1）知，△APF≌△CPE，‎ ‎∴AF＝CE，PE＝PF，‎ ‎∵EF⊥PQ，‎ ‎∴QE＝QF，‎ 在Rt△QAF中，根据勾股定理得，AQ2+AF2＝QF2，‎ ‎∴AQ2+CE2＝QE2；‎ ‎（3）如图3，‎ 由运动知，AQ＝t，CP＝t，‎ ‎∴AP＝AC﹣CP＝10﹣t，‎ ‎∵FQ平分∠AFE，‎ ‎∴∠AFC＝∠PFQ，‎ ‎∵∠FAQ＝∠FPQ＝90°，FQ＝FQ，‎ ‎∴△FAQ≌△FPQ（AAS），‎ ‎∴AQ＝PQ＝t，AF＝PF，‎ ‎∴BQ＝AB﹣AQ＝6﹣t，∠FAC＝∠FPA，‎ ‎∵∠DAC＝∠ACB，∠APF＝∠CPE，‎ ‎∴∠ACB＝∠CPE，‎ ‎∴PE＝CE，过点E作EN⊥AC于N，‎ ‎∴CN‎=‎‎1‎‎2‎CP‎=‎‎1‎‎2‎t，∠CNE＝90°＝∠ABC，‎ ‎∵∠NCE＝∠BCA，‎ 第22页（共22页）‎ ‎∴△CNE∽△CBA，‎ ‎∴CEAC‎=‎CNCB，‎ ‎∴CE‎10‎‎=‎‎1‎‎2‎t‎8‎，‎ ‎∴CE‎=‎‎5‎‎8‎t，‎ ‎∴PE‎=‎‎5‎‎8‎t，BE＝BC﹣CE＝8‎-‎‎5‎‎8‎t，‎ 在Rt△QPE中，QE2＝PQ2+PE2，‎ 在Rt△BQE中，QE2＝BQ2+BE2，‎ ‎∴PQ2+PE2＝BQ2+BE2，‎ ‎∴t2+（‎5‎‎8‎t）2＝（6﹣t）2+（8‎-‎‎5‎‎8‎t）2，‎ ‎∴t‎=‎‎50‎‎11‎，‎ ‎∴CP＝t‎=‎‎50‎‎11‎，‎ ‎∴AP＝10﹣CP‎=‎‎60‎‎11‎，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴△APF∽△CPE，‎ ‎∴AFCE‎=APCP=‎60‎‎11‎‎50‎‎11‎=‎‎6‎‎5‎．‎ 第22页（共22页）‎ ‎24．（10分）（2020•岳阳）如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线F1：y＝a（x‎-‎‎2‎‎5‎）2‎+‎‎64‎‎15‎与x轴交于点A（‎-‎‎6‎‎5‎，0）和点B，与y轴交于点C．‎ ‎（1）求抛物线F1的表达式；‎ ‎（2）如图2，将抛物线F1先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线F2，若抛物线F1与抛物线F2相交于点D，连接BD，CD，BC．‎ ‎①求点D的坐标；‎ ‎②判断△BCD的形状，并说明理由；‎ ‎（3）在（2）的条件下，抛物线F2上是否存在点P，使得△BDP为等腰直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【解答】解：（1）把点A（‎-‎‎6‎‎5‎，0）代入抛物线F1：y＝a（x‎-‎‎2‎‎5‎）2‎+‎‎64‎‎15‎中得：‎ ‎0＝a（‎-‎6‎‎5‎-‎‎2‎‎5‎）2‎+‎‎64‎‎15‎，‎ 解得：a‎=-‎‎5‎‎3‎，‎ ‎∴抛物线F1：y‎=-‎‎5‎‎3‎（x‎-‎‎2‎‎5‎）2‎+‎‎64‎‎15‎；‎ ‎（2）①由平移得：抛物线F2：y‎=-‎‎5‎‎3‎（x‎-‎2‎‎5‎+‎1）2‎+‎64‎‎15‎-‎3，‎ ‎∴y‎=-‎‎5‎‎3‎（x‎+‎‎3‎‎5‎）2‎+‎‎19‎‎15‎，‎ ‎∴‎5‎‎3‎（x‎+‎‎3‎‎5‎）2‎+‎19‎‎15‎=-‎‎5‎‎3‎（x‎-‎‎2‎‎5‎）2‎+‎‎64‎‎15‎，‎ ‎-‎‎10‎‎3‎x‎=‎‎10‎‎3‎，‎ 解得：x＝﹣1，‎ 第22页（共22页）‎ ‎∴D（﹣1，1）；‎ ‎②当x＝0时，y‎=-‎5‎‎3‎×‎4‎‎25‎+‎64‎‎15‎=‎4，‎ ‎∴C（0，4），‎ 当y＝0时，‎-‎‎5‎‎3‎（x‎-‎‎2‎‎5‎）2‎+‎64‎‎15‎=‎0，‎ 解得：x‎=-‎‎6‎‎5‎或2，‎ ‎∴B（2，0），‎ ‎∵D（﹣1，1），‎ ‎∴BD2＝（2+1）2+（1﹣0）2＝10，‎ CD2＝（0+1）2+（4﹣1）2＝10，‎ BC2＝22+42＝20，‎ ‎∴BD2+CD2＝BC2且BD＝CD，‎ ‎∴△BDC是等腰直角三角形；‎ ‎（3）存在，‎ 设P[m，‎-‎5‎‎3‎(m+‎3‎‎5‎‎)‎‎2‎+‎‎19‎‎15‎]，‎ ‎∵B（2，0），D（﹣1，1），‎ ‎∴BD2＝（2+1）2+12＝10，PB‎2‎=(m-2‎)‎‎2‎+[-‎5‎‎3‎(m+‎3‎‎5‎‎)‎‎2‎+‎‎19‎‎15‎‎]‎‎2‎，PD‎2‎=(m+1‎)‎‎2‎+[-‎5‎‎3‎(m+‎3‎‎5‎‎)‎‎2‎+‎19‎‎15‎-1‎‎]‎‎2‎，‎ 分三种情况：‎ ‎①当∠DBP＝90°时，BD2+PB2＝PD2，‎ 即10+（m﹣2）2+[‎-‎5‎‎3‎(m+‎3‎‎5‎‎)‎‎2‎+‎‎19‎‎15‎]2＝（m+1）2+[‎-‎‎5‎‎3‎（m‎+‎‎3‎‎5‎）2‎+‎19‎‎15‎-‎1]2，‎ 解得：m＝﹣4或1，‎ 当m＝﹣4时，BD‎=‎‎10‎，PB‎=‎36+324‎=‎6‎10‎，即△BDP不是等腰直角三角形，不符合题意，‎ 当m＝1时，BD‎=‎‎10‎，PB‎=‎1+9‎=‎‎10‎，‎ ‎∴BD＝PB，即△BDP是等腰直角三角形，符合题意，‎ ‎∴P（1，﹣3）；‎ ‎②当∠BDP＝90°时，BD2+PD2＝PB2，‎ 第22页（共22页）‎ 即10+[‎-‎‎5‎‎3‎（m‎+‎‎3‎‎5‎）2‎+‎19‎‎15‎-‎1]2＝（m﹣2）2+[‎-‎5‎‎3‎(m+‎3‎‎5‎‎)‎‎2‎+‎‎19‎‎15‎]2，‎ 解得：m＝﹣1（舍）或﹣2，‎ 当m＝﹣2时，BD‎=‎‎10‎，PD‎=‎1+9‎=‎‎10‎，‎ ‎∴BD＝PD，即此时△BDP为等腰直角三角形，‎ ‎∴P（﹣2，﹣2）；‎ ‎③当∠BPD＝90°时，且BP＝DP，有BD2＝PD2+PB2，如图3，‎ 当△BDP为等腰直角三角形时，点P1和P2不在抛物线上，此种情况不存在这样的点P；‎ 综上，点P的坐标（1，﹣3）或（﹣2，﹣2）．‎ 第22页（共22页）‎