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  • 2021-05-10 发布

挑战中考数学压轴题教师版

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目 录 第一部分 函数图象中点的存在性问题 2‎ 1.1 因动点产生的相似三角形问题 2‎ 1.2 因动点产生的等腰三角形问题 11‎ 1.3 因动点产生的直角三角形问题 19‎ 1.4 因动点产生的平行四边形问题 31‎ 1.5 因动点产生的面积问题 41‎ 1.6 因动点产生的线段和差问题 51‎ 第二部分 函数图象中点的存在性问题 56‎ 2.1 由比例线段产生的函数关系问题 56‎ 2.2 由面积产生的函数关系问题 58‎ 第三部分图形运动中的计算说理问题 67‎ 3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题 67‎ 3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题 71‎ 第四部分 图形的平移翻折与旋转 75‎ 第一部分 函数图象中点的存在性问题 ‎1.1 因动点产生的相似三角形问题 ‎ 例1 2015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第24题 如图1,在平面直角坐标系中,双曲线(k≠0)与直线y=x+2都经过点A(2, m). ‎ ‎(1)求k与m的值;‎ ‎(2)此双曲线又经过点B(n, 2),过点B的直线BC与直线y=x+2平行交y轴于点C,联结AB、AC,求△ABC的面积;‎ ‎(3)在(2)的条件下,设直线y=x+2与y轴交于点D,在射线CB上有一点E,如果以点A、C、E所组成的三角形与△ACD相似,且相似比不为1,求点E的坐标.‎ 图1 ‎ 满分解答 ‎(1)将点A(2, m)代入y=x+2,得m=4.所以点A的坐标为(2, 4).‎ 将点A(2, 4)代入,得k=8.‎ ‎(2)将点B(n, 2),代入,得n=4.‎ 所以点B的坐标为(4, 2).‎ 设直线BC为y=x+b,代入点B(4, 2),得b=-2.‎ 所以点C的坐标为(0,-2).‎ 由A(2, 4) 、B(4, 2) 、C (0,-2),可知A、B两点间的水平距离和竖直距离都是2,B、C两点间的水平距离和竖直距离都是4.‎ 所以AB=,BC=,∠ABC=90°. 图2‎ 所以S△ABC===8. ‎ ‎(3)由A(2, 4) 、D(0, 2) 、C (0,-2),得AD=,AC=.‎ 由于∠DAC+∠ACD=45°,∠ACE+∠ACD=45°,所以∠DAC=∠ACE.‎ 所以△ACE与△ACD相似,分两种情况:‎ ‎①如图3,当时,CE=AD=.‎ 此时△ACD≌△CAE,相似比为1.‎ ‎②如图4,当时,.解得CE=.此时C、E两点间的水平距离和竖直距离都是10,所以E(10, 8).‎ 图3 图4‎ 考点伸展 第(2)题我们在计算△ABC的面积时,恰好△ABC是直角三角形.‎ 一般情况下,在坐标平面内计算图形的面积,用割补法.‎ 如图5,作△ABC的外接矩形HCNM,MN//y轴.‎ 由S矩形HCNM=24,S△AHC=6,S△AMB=2,S△BCN=8,得S△ABC=8.‎ 图5‎ 例2 2014年武汉市中考第24题 如图1,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=‎6 cm,BC=‎8 cm,动点P从点B出发,在BA边上以每秒‎5 cm的速度向点A匀速运动,同时动点Q从点C出发,在CB边上以每秒‎4 cm的速度向点B匀速运动,运动时间为t秒(0<t<2),连接PQ.‎ ‎(1)若△BPQ与△ABC相似,求t的值;‎ ‎(2)如图2,连接AQ、CP,若AQ⊥CP,求t的值;‎ ‎(3)试证明:PQ的中点在△ABC的一条中位线上.‎ 图1 图2‎ 满分解答 ‎(1)Rt△ABC中,AC=6,BC=8,所以AB=10.‎ ‎△BPQ与△ABC相似,存在两种情况:‎ ‎① 如果,那么.解得t=1.‎ ‎② 如果,那么.解得.‎ 图3 图4‎ ‎(2)作PD⊥BC,垂足为D.‎ 在Rt△BPD中,BP=5t,cosB=,所以BD=BPcosB=4t,PD=3t.‎ 当AQ⊥CP时,△ACQ∽△CDP.‎ 所以,即.解得.‎ 图5 图6‎ ‎(3)如图4,过PQ的中点H作BC的垂线,垂足为F,交AB于E.‎ 由于H是PQ的中点,HF//PD,所以F是QD的中点.‎ 又因为BD=CQ=4t,所以BF=CF.‎ 因此F是BC的中点,E是AB的中点.‎ 所以PQ的中点H在△ABC的中位线EF上.‎ 考点伸展 本题情景下,如果以PQ为直径的⊙H与△ABC的边相切,求t的值.‎ 如图7,当⊙H与AB相切时,QP⊥AB,就是,.‎ 如图8,当⊙H与BC相切时,PQ⊥BC,就是,t=1.‎ 如图9,当⊙H与AC相切时,直径,‎ 半径等于FC=4.所以.‎ 解得,或t=0(如图10,但是与已知0<t<2矛盾).‎ 图7 图 8 图9 图10‎ 例3 2012年苏州市中考第29题 如图1,已知抛物线(b是实数且b>2)与x轴的正半轴分别交于点A、B(点A位于点B是左侧),与y轴的正半轴交于点C.‎ ‎(1)点B的坐标为______,点C的坐标为__________(用含b的代数式表示);‎ ‎(2)请你探索在第一象限内是否存在点P,使得四边形PCOB的面积等于2b,且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由;‎ ‎(3)请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q,使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似(全等可看作相似的特殊情况)?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.‎ 图1‎ 满分解答 ‎(1)B的坐标为(b, 0),点C的坐标为(0, ).‎ ‎(2)如图2,过点P作PD⊥x轴,PE⊥y轴,垂足分别为D、E,那么△PDB≌△PEC.‎ 因此PD=PE.设点P的坐标为(x, x).如图3,联结OP.‎ 所以S四边形PCOB=S△PCO+S△PBO==2b.‎ 解得.所以点P的坐标为().‎ 图2 图3‎ ‎(3)由,得A(1, 0),OA=1.‎ ‎①如图4,以OA、OC为邻边构造矩形OAQC,那么△OQC≌△QOA.‎ 当,即时,△BQA∽△QOA.‎ 所以.解得.所以符合题意的点Q为().‎ ‎②如图5,以OC为直径的圆与直线x=1交于点Q,那么∠OQC=90°。‎ 因此△OCQ∽△QOA.‎ 当时,△BQA∽△QOA.此时∠OQB=90°.‎ 所以C、Q、B三点共线.因此,即.解得.此时Q(1,4).‎ 图4 图5‎ 考点伸展 第(3)题的思路是,A、C、O三点是确定的,B是x轴正半轴上待定的点,而∠QOA与∠QOC是互余的,那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况.‎ 这样,先根据△QOA与△QOC相似把点Q的位置确定下来,再根据两直角边对应成比例确定点B的位置.‎ 如图中,圆与直线x=1的另一个交点会不会是符合题意的点Q呢?‎ 如果符合题意的话,那么点B的位置距离点A很近,这与OB=4OC矛盾.‎ 例4 2012年黄冈市中考模拟第25题 如图1,已知抛物线的方程C1: (m>0)与x轴交于点B、C,与y轴交于点E,且点B在点C的左侧.‎ ‎(1)若抛物线C1过点M(2, 2),求实数m的值;‎ ‎(2)在(1)的条件下,求△BCE的面积;‎ ‎(3)在(1)的条件下,在抛物线的对称轴上找一点H,使得BH+EH最小,求出点H的坐标;‎ ‎(4)在第四象限内,抛物线C1上是否存在点F,使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由.‎ 图1‎ 满分解答 ‎(1)将M(2, 2)代入,得.解得m=4.‎ ‎(2)当m=4时,.所以C(4, 0),E(0, 2).‎ 所以S△BCE=.‎ ‎(3)如图2,抛物线的对称轴是直线x=1,当H落在线段EC上时,BH+EH最小.‎ 设对称轴与x轴的交点为P,那么.‎ 因此.解得.所以点H的坐标为.‎ ‎(4)①如图3,过点B作EC的平行线交抛物线于F,过点F作FF′⊥x轴于F′.‎ 由于∠BCE=∠FBC,所以当,即时,△BCE∽△FBC.‎ 设点F的坐标为,由,得.‎ 解得x=m+2.所以F′(m+2, 0).‎ 由,得.所以.‎ 由,得.‎ 整理,得0=16.此方程无解.‎ 图2 图3 图4‎ ‎②如图4,作∠CBF=45°交抛物线于F,过点F作FF′⊥x轴于F′,‎ 由于∠EBC=∠CBF,所以,即时,△BCE∽△BFC.‎ 在Rt△BFF′中,由FF′=BF′,得.‎ 解得x=‎2m.所以F′.所以BF′=‎2m+2,.‎ 由,得.解得.‎ 综合①、②,符合题意的m为.‎ 考点伸展 第(4)题也可以这样求BF的长:在求得点F′、F的坐标后,根据两点间的距离公式求BF的长.‎ 例5 2010年义乌市中考第24题 如图1,已知梯形OABC,抛物线分别过点O(0,0)、A(2,0)、B(6,3).‎ ‎(1)直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标;‎ ‎(2)将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移,分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1,得到如图2的梯形O‎1A1B‎1C1.设梯形O‎1A1B‎1C1的面积为S,A1、 B1的坐标分别为 (x1,y1)、(x2,y2).用含S的代数式表示x2-x1,并求出当S ‎=36时点A1的坐标;‎ ‎(3)在图1中,设点D的坐标为(1,3),动点P从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动,动点Q从点D出发,以与点P相同的速度沿着线段DM运动.P、Q两点同时出发,当点Q到达点M时,P、Q两点同时停止运动.设P、Q两点的运动时间为t,是否存在某一时刻t,使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎ ‎ 图1 图2‎ 满分解答 ‎(1)抛物线的对称轴为直线,解析式为,顶点为M(1,).‎ ‎(2) 梯形O‎1A1B‎1C1的面积,由此得到.由于,所以.整理,得.因此得到.‎ 当S=36时, 解得 此时点A1的坐标为(6,3).‎ ‎(3)设直线AB与PQ交于点G,直线AB与抛物线的对称轴交于点E,直线PQ与x轴交于点F,那么要探求相似的△GAF与△GQE,有一个公共角∠G.‎ 在△GEQ中,∠GEQ是直线AB与抛物线对称轴的夹角,为定值.‎ 在△GAF中,∠GAF是直线AB与x轴的夹角,也为定值,而且∠GEQ≠∠GAF.‎ 因此只存在∠GQE=∠GAF的可能,△GQE∽△GAF.这时∠GAF=∠GQE=∠PQD.‎ 由于,,所以.解得.‎ ‎ ‎ 图3 图4‎ 考点伸展 第(3)题是否存在点G在x轴上方的情况?如图4,假如存在,说理过程相同,求得的t的值也是相同的.事实上,图3和图4都是假设存在的示意图,实际的图形更接近图3.‎ 例6 2009年临沂市中考第26题 如图1,抛物线经过点A(4,0)、B(1,0)、C(0,-2)三点.‎ ‎(1)求此抛物线的解析式;‎ ‎(2)P是抛物线上的一个动点,过P作PM⊥x轴,垂足为M,是否存在点P,使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似?若存在,请求出符合条件的 点P的坐标;若不存在,请说明理由;‎ ‎(3)在直线AC上方的抛物线是有一点D,使得△DCA的面积最大,求出点D的坐标.‎ ‎,‎ 图1‎ 满分解答 ‎ ‎(1)因为抛物线与x轴交于A(4,0)、B(1,0)两点,设抛物线的解析式为,代入点C的 坐标(0,-2),解得.所以抛物线的解析式为.‎ ‎(2)设点P的坐标为.‎ ‎①如图2,当点P在x轴上方时,1<x<4,,.‎ 如果,那么.解得不合题意.‎ 如果,那么.解得.‎ 此时点P的坐标为(2,1).‎ ‎②如图3,当点P在点A的右侧时,x>4,,.‎ 解方程,得.此时点P的坐标为.‎ 解方程,得不合题意.‎ ‎③如图4,当点P在点B的左侧时,x<1,,.‎ 解方程,得.此时点P的坐标为.‎ 解方程,得.此时点P与点O重合,不合题意.‎ 综上所述,符合条件的 点P的坐标为(2,1)或或.‎ ‎ ‎ 图2 图3 图4‎ ‎(3)如图5,过点D作x轴的垂线交AC于E.直线AC的解析式为.‎ 设点D的横坐标为m,那么点D的坐标为,点E的坐标为.所以.‎ 因此.‎ 当时,△DCA的面积最大,此时点D的坐标为(2,1).‎ ‎ ‎ 图5 图6‎ 考点伸展 第(3)题也可以这样解:‎ 如图6,过D点构造矩形OAMN,那么△DCA的面积等于直角梯形CAMN的面积减去△CDN和△ADM的面积.‎ 设点D的横坐标为(m,n),那么 ‎.‎ 由于,所以.‎ ‎1.2 因动点产生的等腰三角形问题 例1 2015年重庆市中考第25题 如图1,在△ABC中,ACB=90°,∠BAC=60°,点E是∠BAC的平分线上一点,过点E作AE的垂线,过点A作AB的垂线,两垂线交于点D,连接DB,点F是BD的中点,DH⊥AC,垂足为H,连接EF,HF.‎ ‎(1)如图1,若点H是AC的中点,AC=,求AB、BD的长;‎ ‎(2)如图1,求证:HF=EF.‎ ‎(3)如图2,连接CF、CE,猜想:△CEF是否是等边三角形?若是,请证明;若不是,请说明理由.‎ 图1 图2‎ 满分解答 ‎(1)如图3,在Rt△ABC中,∠BAC=60°,AC=,所以AB=.‎ 在Rt△ADH中,∠DAH=30°,AH=,所以DH=1,AD=2.‎ 在Rt△ADB中,AD=2,AB=,由勾股定理,得BD=.‎ ‎(2)如图4,由∠DAB=90°,∠BAC=60°,AE平分∠BAC,得∠DAE=60°,‎ ‎∠DAH=30°.‎ 在Rt△ADE中,AE=.在Rt△ADH中,DH=.所以AE=DH.‎ 因为点F是Rt△ABD的斜边上的中线,所以FA=FD,∠FAD=∠FDA.‎ 所以∠FAE=∠FDH.所以△FAE≌△FDH.所以EF=HF.‎ 图3 图4 图5‎ ‎(3)如图5,作FM⊥AB于M,联结CM.‎ 由FM//DA,F是DB的中点,得M是AB的中点.‎ 因此FM=,△ACM是等边三角形.‎ 又因为AE=,所以FM=EA.‎ 又因为CM=CA,∠CMF=∠CAE=30°,所以△CMF≌△CAE.‎ 所以∠MCF=∠ACE,CF=CE.‎ 所以∠ECF=∠ACM=60°.所以△CEF是等边三角形.‎ 考点伸展 我们再看几个特殊位置时的效果图,看看有没有熟悉的感觉.‎ 如图6,如图7,当点F落在BC边上时,点H与点C重合.‎ 图6 图7‎ 如图8,图9,点E落在BC边上.如图10,图11,等腰梯形ABEC.‎ 图8 图9 图10 图11‎ 例2 2014年长沙市中考第26题 如图1,抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的对称轴为y轴,且经过(0,0)和两点,点P在该抛物线上运动,以点P为圆心的⊙P总经过定点A(0, 2).‎ ‎(1)求a、b、c的值;‎ ‎(2)求证:在点P运动的过程中,⊙P始终与x轴相交;‎ ‎(3)设⊙P与x轴相交于M(x1, 0)、N(x2, 0)两点,当△AMN为等腰三角形时,求圆心P的纵坐标.‎ 图1‎ 满分解答 ‎(1)已知抛物线的顶点为(0,0),所以y=ax2.所以b=0,c=0.‎ 将代入y=ax2,得.解得(舍去了负值).‎ ‎(2)抛物线的解析式为,设点P的坐标为.‎ 已知A(0, 2),所以>.‎ 而圆心P到x轴的距离为,所以半径PA>圆心P到x轴的距离.‎ 所以在点P运动的过程中,⊙P始终与x轴相交.‎ ‎(3)如图2,设MN的中点为H,那么PH垂直平分MN.‎ 在Rt△PMH中,,,所以MH2=4.‎ 所以MH=2.因此MN=4,为定值.‎ 等腰△AMN存在三种情况:‎ ‎①如图3,当AM=AN时,点P为原点O重合,此时点P的纵坐标为0.‎ 图2 图3‎ ‎②如图4,当MA=MN时,在Rt△AOM中,OA=2,AM=4,所以OM=2.‎ 此时x=OH=2.所以点P的纵坐标为.‎ ‎③如图5,当NA=NM时,点P的纵坐标为也为.‎ 图4 图5‎ 考点伸展 如果点P在抛物线上运动,以点P为圆心的⊙P总经过定点B(0, 1),那么在点P运动的过程中,⊙P始终与直线y=-1相切.这是因为:‎ 设点P的坐标为.‎ 已知B(0, 1),所以.‎ 而圆心P到直线y=-1的距离也为,所以半径PB=圆心P到直线y=-1的距离.所以在点P运动的过程中,⊙P始终与直线y=-1相切.‎ 例3 2013年上海市虹口区中考模拟第25题 如图1,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=6,AC=8,点D为边BC的中点,DE⊥BC交边AC于点E,点P为射线AB上的一动点,点Q为边AC上的一动点,且∠PDQ=90°.‎ ‎(1)求ED、EC的长;‎ ‎(2)若BP=2,求CQ的长;‎ ‎(3)记线段PQ与线段DE的交点为F,若△PDF为等腰三角形,求BP的长.‎ 图1 备用图 满分解答 ‎(1)在Rt△ABC中, AB=6,AC=8,所以BC=10.‎ 在Rt△CDE中,CD=5,所以,.‎ ‎(2)如图2,过点D作DM⊥AB,DN⊥AC,垂足分别为M、N,那么DM、DN是 ‎△ABC的两条中位线,DM=4,DN=3.‎ 由∠PDQ=90°,∠MDN=90°,可得∠PDM=∠QDN.‎ 因此△PDM∽△QDN.‎ 所以.所以,.‎ 图2 图3 图4‎ ‎①如图3,当BP=2,P在BM上时,PM=1.‎ 此时.所以.‎ ‎②如图4,当BP=2,P在MB的延长线上时,PM=5.‎ 此时.所以.‎ ‎(3)如图5,如图2,在Rt△PDQ中,.‎ 在Rt△ABC中,.所以∠QPD=∠C.‎ 由∠PDQ=90°,∠CDE=90°,可得∠PDF=∠CDQ.‎ 因此△PDF∽△CDQ.‎ 当△PDF是等腰三角形时,△CDQ也是等腰三角形.‎ ‎①如图5,当CQ=CD=5时,QN=CQ-CN=5-4=1(如图3所示).‎ 此时.所以.‎ ‎②如图6,当QC=QD时,由,可得.‎ 所以QN=CN-CQ=(如图2所示).‎ 此时.所以.‎ ‎③不存在DP=DF的情况.这是因为∠DFP≥∠DQP>∠DPQ(如图5,图6所示).‎ 图5 图6‎ 考点伸展 如图6,当△CDQ是等腰三角形时,根据等角的余角相等,可以得到△BDP也是等腰三角形,PB=PD.在△BDP中可以直接求解.‎ 例4 2012年扬州市中考第27题 如图1,抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点,直线l是抛物线的对称轴.‎ ‎(1)求抛物线的函数关系式;‎ ‎(2)设点P是直线l上的一个动点,当△PAC的周长最小时,求点P的坐标;‎ ‎(3)在直线l上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形,若存在,直接写出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.‎ 图1 ‎ 满分解答 ‎(1)因为抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3, 0)两点,设y=a(x+1)(x-3),‎ 代入点C(0 ,3),得-‎3a=3.解得a=-1.‎ 所以抛物线的函数关系式是y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3.‎ ‎(2)如图2,抛物线的对称轴是直线x=1.‎ 当点P落在线段BC上时,PA+PC最小,△PAC的周长最小.‎ 设抛物线的对称轴与x轴的交点为H.‎ 由,BO=CO,得PH=BH=2.‎ 所以点P的坐标为(1, 2).‎ 图2‎ ‎(3)点M的坐标为(1, 1)、(1,)、(1,)或(1,0).‎ 考点伸展 第(3)题的解题过程是这样的:‎ 设点M的坐标为(1,m).‎ 在△MAC中,AC2=10,MC2=1+(m-3)2,MA2=4+m2.‎ ‎①如图3,当MA=MC时,MA2=MC2.解方程4+m2=1+(m-3)2,得m=1.‎ 此时点M的坐标为(1, 1).‎ ‎②如图4,当AM=AC时,AM2=AC2.解方程4+m2=10,得.‎ 此时点M的坐标为(1,)或(1,).‎ ‎③如图5,当CM=CA时,CM2=CA2.解方程1+(m-3)2=10,得m=0或6.‎ 当M(1, 6)时,M、A、C三点共线,所以此时符合条件的点M的坐标为(1,0).‎ 图3 图4 图5‎ 例5 2012年临沂市中考第26题 如图1,点A在x轴上,OA=4,将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置.‎ ‎(1)求点B的坐标;‎ ‎(2)求经过A、O、B的抛物线的解析式;‎ ‎(3)在此抛物线的对称轴上,是否存在点P,使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.‎ 图1‎ 满分解答 ‎(1)如图2,过点B作BC⊥y轴,垂足为C.‎ 在Rt△OBC中,∠BOC=30°,OB=4,所以BC=2,.‎ 所以点B的坐标为.‎ ‎(2)因为抛物线与x轴交于O、A(4, 0),设抛物线的解析式为y=ax(x-4),‎ 代入点B,.解得.‎ 所以抛物线的解析式为.‎ ‎(3)抛物线的对称轴是直线x=2,设点P的坐标为(2, y).‎ ‎①当OP=OB=4时,OP2=16.所以4+y2=16.解得.‎ 当P在时,B、O、P三点共线(如图2).‎ ‎②当BP=BO=4时,BP2=16.所以.解得.‎ ‎③当PB=PO时,PB2=PO2.所以.解得.‎ 综合①、②、③,点P的坐标为,如图2所示.‎ 图2 图3‎ 考点伸展 如图3,在本题中,设抛物线的顶点为D,那么△DOA与△OAB是两个相似的等腰三角形.‎ 由,得抛物线的顶点为.‎ 因此.所以∠DOA=30°,∠ODA=120°.‎ 例6 2011年盐城市中考第28题 如图1,已知一次函数y=-x+7与正比例函数 的图象交于点A,且与x轴交于点B.‎ ‎(1)求点A和点B的坐标;‎ ‎(2)过点A作AC⊥y轴于点C,过点B作直线l//y轴.动点P从点O出发,以每秒1个单位长的速度,沿O—C—A的路线向点A运动;同时直线l从点B出发,以相同速度向左平移,在平移过程中,直线l交x轴于点R,交线段BA或线段AO于点Q.当点P到达点A时,点P和直线l都停止运动.在运动过程中,设动点P运动的时间为t秒.‎ ‎①当t为何值时,以A、P、R为顶点的三角形的面积为8?‎ ‎②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求t的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎ 图1 ‎ 满分解答 ‎(1)解方程组 得 所以点A的坐标是(3,4).‎ 令,得.所以点B的坐标是(7,0).‎ ‎(2)①如图2,当P在OC上运动时,0≤t<4.由,得.整理,得.解得t=2或t=6(舍去).如图3,当P在CA上运动时,△APR的最大面积为6.‎ 因此,当t=2时,以A、P、R为顶点的三角形的面积为8.‎ 图2 图3 图4‎ ‎②我们先讨论P在OC上运动时的情形,0≤t<4.‎ 如图1,在△AOB中,∠B=45°,∠AOB>45°,OB=7,,所以OB>AB.因此∠OAB>∠AOB>∠B.‎ 如图4,点P由O向C运动的过程中,OP=BR=RQ,所以PQ//x轴.‎ 因此∠AQP=45°保持不变,∠PAQ越来越大,所以只存在∠APQ=∠AQP的情况.‎ 此时点A在PQ的垂直平分线上,OR=2CA=6.所以BR=1,t=1.‎ 我们再来讨论P在CA上运动时的情形,4≤t<7.‎ 在△APQ中, 为定值,,.‎ 如图5,当AP=AQ时,解方程,得.‎ 如图6,当QP=QA时,点Q在PA的垂直平分线上,AP=2(OR-OP).解方程,得.‎ 如7,当PA=PQ时,那么.因此.解方程,得.‎ 综上所述,t=1或或5或时,△APQ是等腰三角形. ‎ 图5 图6 图7‎ 考点伸展 当P在CA上,QP=QA时,也可以用来求解.‎ ‎1.3 因动点产生的直角三角形问题 例1 2015年上海市虹口区中考模拟第25题 如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=13,CD//AB,点E为射线CD上一动点(不与点C重合),联结AE交边BC于F,∠BAE的平分线交BC于点G. ‎ ‎(1)当CE=3时,求S△CEF∶S△CAF的值;‎ ‎(2)设CE=x,AE=y,当CG=2GB时,求y与x之间的函数关系式;‎ ‎(3)当AC=5时,联结EG,若△AEG为直角三角形,求BG的长.‎ 图1 ‎ 满分解答 ‎(1)如图2,由CE//AB,得.‎ 由于△CEF与△CAF是同高三角形,‎ 所以S△CEF∶S△CAF=3∶13.‎ ‎(2)如图3,延长AG交射线CD于M. 图2‎ 由CM//AB,得.所以CM=2AB=26.‎ 由CM//AB,得∠EMA=∠BAM.‎ 又因为AM平分∠BAE,所以∠BAM=∠EAM.‎ 所以∠EMA=∠EAM.所以y=EA=EM=26-x.‎ 图3 图4‎ ‎(3)在Rt△ABC中, AB=13,AC=5,所以BC=12.‎ ‎①如图 4,当∠AGE=90°时,延长EG交AB于N,那么△AGE≌△AGN.‎ 所以G是EN的中点.‎ 所以G是BC的中点,BG=6.‎ ‎②如图5,当∠AEG=90°时,由△CAF∽△EGF,得.‎ 由CE//AB,得.‎ 所以.又因为∠AFG=∠BFA,所以△AFG∽△BFA.‎ 所以∠FAG=∠B.所以∠GAB=∠B.所以GA=GB.‎ 作GH⊥AH,那么BH=AH=.‎ 在Rt△GBH中,由cos∠B=,得BG=÷=.‎ 图5 图6‎ 考点伸展 第(3)题的第②种情况,当∠AEG=90°时的核心问题是说理GA=GB.‎ 如果用四点共圆,那么很容易.‎ 如图6,由A、C、E、G四点共圆,直接得到∠2=∠4.‎ 上海版教材不学习四点共圆,比较麻烦一点的思路还有:‎ 如图7,当∠AEG=90°时,设AG的中点为P,那么PC和PE分别是Rt△ACG和Rt△AEG斜边上的中线,所以PC=PE=PA=PG.‎ 所以∠1=2∠2,∠3=2∠5.‎ 如图8,在等腰△PCE中,∠CPE=180°-2(∠4+∠5),‎ 又因为∠CPE=180°-(∠1+∠3),所以∠1+∠3=2(∠4+∠5).所以∠1=2∠4.‎ 所以∠2=∠4=∠B.所以∠GAB=∠B.所以GA=GB.‎ 图7 图8‎ 例2 2014年苏州市中考第29题 如图1,二次函数y=a(x2-2mx-‎3m2‎)(其中a、m是常数,且a>0,m>0)的图像与x轴分别交于A、B(点A位于点B的左侧),与y轴交于点C(0,-3),点D在二次函数的图像上,CD//AB,联结AD.过点A作射线AE交二次函数的图像于点E,AB平分∠DAE.‎ ‎(1)用含m的式子表示a;‎ ‎(2)求证:为定值;‎ ‎(3)设该二次函数的图像的顶点为F.探索:在x轴的负半轴上是否存在点G,联结GF,以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形?如果存在,只要找出一个满足要求的点G即可,并用含m的代数式表示该点的横坐标;如果不存在,请说明理由.‎ 图1‎ 满分解答 ‎(1)将C(0,-3)代入y=a(x2-2mx-‎3m2‎),得-3=-3am2.因此.‎ ‎(2)由y=a(x2-2mx-‎3m2‎)=a(x+m)(x-‎3m)=a(x-m)2-4axm2=a(x-m)2-4,‎ 得A(-m, 0),B(‎3m, 0),F(m, -4),对称轴为直线x=m.‎ 所以点D的坐标为(‎2m,-3).‎ 设点E的坐标为(x, a(x+m)(x-‎3m)).‎ 如图2,过点D、E分别作x轴的垂线,垂足分别为D′、E′.‎ 由于∠EAE′=∠DAD′,所以.因此.‎ 所以am(x-‎3m)=1.结合,于是得到x=‎4m.‎ 当x=‎4m时,y=a(x+m)(x-‎3m)=5am2=5.所以点E的坐标为(‎4m, 5).‎ 所以.‎ 图2 图3‎ ‎(3)如图3,由E(‎4m, 5)、D(‎2m,-3)、F(m,-4),‎ 可知点E、D、F到x轴的距离分别为5、4、3.‎ 那么过点F作AD的平行线与x轴的负半轴的交点,就是符合条件的点G.‎ 证明如下:作FF′⊥x轴于F′,那么.‎ 因此.所以线段GF、AD、AE的长围成一个直角三角形.‎ 此时GF′=‎4m.所以GO=‎3m,点G的坐标为(-‎3m, 0).‎ 考点伸展 第(3)题中的点G的另一种情况,就是GF为直角三角形的斜边.‎ 此时.因此.‎ 所以.此时. ‎ 例3 2013年山西省中考第26题 如图1,抛物线与x轴交于A、B两点(点B在点A的右侧),与y轴交于点C,连结BC,以BC为一边,点O为对称中心作菱形BDEC,点P是x轴上的一个动点,设点P的坐标为(m, 0),过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q.‎ ‎(1)求点A、B、C的坐标;‎ ‎(2)当点P在线段OB上运动时,直线l分别交BD、BC于点M、N.试探究m为何值时,四边形CQMD是平行四边形,此时,请判断四边形CQBM的形状,并说明理由;‎ ‎(3)当点P在线段EB上运动时,是否存在点Q,使△BDQ为直角三角形,若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.‎ 图1 ‎ 满分解答 ‎(1)由,得A(-2,0),B(8,0),C(0,-4).‎ ‎(2)直线DB的解析式为.‎ 由点P的坐标为(m, 0),可得,.‎ 所以MQ=.‎ 当MQ=DC=8时,四边形CQMD是平行四边形.‎ 解方程,得m=4,或m=0(舍去).‎ 此时点P是OB的中点,N是BC的中点,N(4,-2),Q(4,-6).‎ 所以MN=NQ=4.所以BC与MQ互相平分.‎ 所以四边形CQBM是平行四边形.‎ 图2 图3‎ ‎(3)存在两个符合题意的点Q,分别是(-2,0),(6,-4).‎ 考点伸展 第(3)题可以这样解:设点Q的坐标为.‎ ‎①如图3,当∠DBQ=90°时, .所以.‎ 解得x=6.此时Q(6,-4).‎ ‎②如图4,当∠BDQ=90°时, .所以.‎ 解得x=-2.此时Q(-2,0).‎ 图3 图4‎ 例4 2012年广州市中考第24题 如图1,抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.‎ ‎(1)求点A、B的坐标;‎ ‎(2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点,当△ACD的面积等于△ACB的面积时,求点D的坐标;‎ ‎(3)若直线l过点E(4, 0),M为直线l上的动点,当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时,求直线l的解析式.‎ 图1 ‎ 满分解答 ‎(1)由,‎ 得抛物线与x轴的交点坐标为A(-4, 0)、B(2, 0).对称轴是直线x=-1.‎ ‎(2)△ACD与△ACB有公共的底边AC,当△ACD的面积等于△ACB的面积时,点B、D到直线AC的距离相等.‎ 过点B作AC的平行线交抛物线的对称轴于点D,在AC的另一侧有对应的点D′.‎ 设抛物线的对称轴与x轴的交点为G,与AC交于点H.‎ 由BD//AC,得∠DBG=∠CAO.所以.‎ 所以,点D的坐标为.‎ 因为AC//BD,AG=BG,所以HG=DG.‎ 而D′H=DH,所以D′G=3DG.所以D′的坐标为.‎ 图2 图3‎ ‎(3)过点A、B分别作x轴的垂线,这两条垂线与直线l总是有交点的,即2个点M.‎ 以AB为直径的⊙G如果与直线l相交,那么就有2个点M;如果圆与直线l相切,就只有1个点M了.‎ 联结GM,那么GM⊥l.‎ 在Rt△EGM中,GM=3,GE=5,所以EM=4.‎ 在Rt△EM‎1A中,AE=8,,所以M‎1A=6.‎ 所以点M1的坐标为(-4, 6),过M1、E的直线l为.‎ 根据对称性,直线l还可以是.‎ 考点伸展 第(3)题中的直线l恰好经过点C,因此可以过点C、E求直线l的解析式.‎ 在Rt△EGM中,GM=3,GE=5,所以EM=4.‎ 在Rt△ECO中,CO=3,EO=4,所以CE=5.‎ 因此三角形△EGM≌△ECO,∠GEM=∠CEO.所以直线CM过点C.‎ 例5 2012年杭州市中考第22题 在平面直角坐标系中,反比例函数与二次函数y=k(x2+x-1)的图象交于点A(1,k)和点B(-1,-k).‎ ‎(1)当k=-2时,求反比例函数的解析式;‎ ‎(2)要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大,求k应满足的条件以及x的取值范围;‎ ‎(3)设二次函数的图象的顶点为Q,当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时,求k的值.‎ 满分解答 ‎(1)因为反比例函数的图象过点A(1,k),所以反比例函数的解析式是.‎ 当k=-2时,反比例函数的解析式是.‎ ‎(2)在反比例函数中,如果y随x增大而增大,那么k<0.‎ 当k<0时,抛物线的开口向下,在对称轴左侧,y随x增大而增大.‎ 抛物线y=k(x2+x+1)=的对称轴是直线. 图1‎ 所以当k<0且时,反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大.‎ ‎(3)抛物线的顶点Q的坐标是,A、B关于原点O中心对称,‎ 当OQ=OA=OB时,△ABQ是以AB为直径的直角三角形.‎ 由OQ2=OA2,得.‎ 解得(如图2),(如图3).‎ 图2 图3‎ 考点伸展 如图4,已知经过原点O的两条直线AB与CD分别与双曲线(k>0)交于A、B和C、D,那么AB与CD互相平分,所以四边形ACBD是平行四边形.‎ 问平行四边形ABCD能否成为矩形?能否成为正方形?‎ 如图5,当A、C关于直线y=x对称时,AB与CD互相平分且相等,四边形ABCD是矩形.‎ 因为A、C可以无限接近坐标系但是不能落在坐标轴上,所以OA与OC无法垂直,因此四边形ABCD不能成为正方形.‎ 图4 图5‎ 例6 2011年浙江省中考第23题 设直线l1:y=k1x+b1与l2:y=k2x+b2,若l1⊥l2,垂足为H ‎,则称直线l1与l2是点H的直角线.‎ ‎(1)已知直线①;②;③;④和点C(0,2),则直线_______和_______是点C的直角线(填序号即可);‎ ‎(2)如图,在平面直角坐标系中,直角梯形OABC的顶点A(3,0)、B(2,7)、C(0,7),P为线段OC上一点,设过B、P两点的直线为l1,过A、P两点的直线为l2,若l1与l2是点P的直角线,求直线l1与l2的解析式. ‎ ‎ ‎ 图1‎ 答案 ‎(1)直线①和③是点C的直角线.‎ ‎(2)当∠APB=90°时,△BCP∽△POA.那么,即.解得OP=6或OP=1.‎ 如图2,当OP=6时,l1:, l2:y=-2x+6.‎ 如图3,当OP=1时,l1:y=3x+1, l2:.‎ 图2 图3‎ 例7 2010年北京市中考第24题 在平面直角坐标系xOy中,抛物线与x轴的交点分别为原点O和点A,点B(2,n)在这条抛物线上.‎ ‎(1)求点B的坐标;‎ ‎(2)点P在线段OA上,从点O出发向点A运动,过点P作x轴的垂线,与直线OB交于点E,延长PE到点D,使得ED=PE,以PD为斜边,在PD右侧作等腰直角三角形PCD(当点P运动时,点C、D也随之运动).‎ ‎①当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时,求OP的长;‎ ‎②若点P从点O出发向点A作匀速运动,速度为每秒1个单位,同时线段OA上另一个点Q从点A出发向点O作匀速运动,速度为每秒2个单位(当点Q到达点O时停止运动,点P也停止运动).过Q作x轴的垂线,与直线AB交于点F,延长QF到点M,使得FM=QF,以QM为斜边,在QM的左侧作等腰直角三角形QMN(当点Q运动时,点M、N也随之运动).若点P运动到t秒时,两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上,求此刻t的值.‎ 图1‎ 满分解答 ‎(1) 因为抛物线经过原点,所以. 解得,(舍去).因此.所以点B的坐标为(2,4).‎ ‎(2) ①如图4,设OP的长为t,那么PE=2t,EC=2t,点C的坐标为(3t, 2t).当点C落在抛物线上时,.解得.‎ ‎②如图1,当两条斜边PD与QM在同一条直线上时,点P、Q重合.此时3t=10.解得.‎ 如图2,当两条直角边PC与MN在同一条直线上,△PQN是等腰直角三角形,PQ=PE.此时.解得.‎ 如图3,当两条直角边DC与QN在同一条直线上,△PQC是等腰直角三角形,PQ=PD.此时.解得.‎ ‎ ‎ 图1 图2 图3‎ 例8 2009年嘉兴市中考第24题 如图1,已知A、B是线段MN上的两点,,,.以A 为中心顺时针旋转点M,以B为中心逆时针旋转点N,使M、N两点重合成一点C,构成△ABC,设.‎ ‎(1)求x的取值范围;‎ ‎(2)若△ABC为直角三角形,求x的值;‎ ‎(3)探究:△ABC的最大面积?‎ 图1‎ 满分解答 ‎(1)在△ABC中,,,,所以 解得.‎ ‎(2)①若AC为斜边,则,即,此方程无实根.‎ ‎②若AB为斜边,则,解得,满足.‎ ‎③若BC为斜边,则,解得,满足.‎ 因此当或时,△ABC是直角三角形.‎ ‎(3)在△ABC中,作于D,设,△ABC的面积为S,则.‎ ‎①如图2,若点D在线段AB上,则.移项,得.两边平方,得.整理,得.两边平方,得.整理,得 所以().‎ 当时(满足),取最大值,从而S取最大值.‎ ‎ ‎ 图2 图3‎ ‎②如图3,若点D在线段MA上,则.‎ 同理可得,().‎ 易知此时.‎ 综合①②得,△ABC的最大面积为.‎ 考点伸展 第(3)题解无理方程比较烦琐,迂回一下可以避免烦琐的运算:设,‎ 例如在图2中,由列方程.‎ 整理,得.所以.‎ 因此.‎ ‎1.4 因动点产生的平行四边形问题 例1 2015年成都市中考第28题 如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2-2ax-3a(a<0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),经过点A的直线l:y=kx+b与y轴负半轴交于点C,与抛物线的另一个交点为D,且CD=4AC.‎ ‎(1)直接写出点A的坐标,并求直线l的函数表达式(其中k、b用含a的式子表示);‎ ‎(2)点E是直线l上方的抛物线上的动点,若△ACE的面积的最大值为 ,求a的值;‎ ‎(3)设P是抛物线的对称轴上的一点,点Q在抛物线上,以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形?若能,求出点P的坐标;若不能,请说明理由.‎ 图1 备用图 满分解答 ‎(1)由y=ax2-2ax-3a=a(x+1)(x-3),得A(-1, 0).‎ 由CD=4AC,得xD=4.所以D(4, 5a).‎ 由A(-1, 0)、D(4, 5a),得直线l的函数表达式为y=ax+a.‎ ‎(2)如图1,过点E作x轴的垂线交AD于F.‎ 设E(x, ax2-2ax-3a),F(x, ax+a),那么EF=yE-yF=ax2-3ax-4a.‎ 由S△ACE=S△AEF-S△CEF=‎ ‎===,‎ 得△ACE的面积的最大值为.解方程,得.‎ ‎(3)已知A(-1, 0)、D(4, 5a),xP=1,以AD为分类标准,分两种情况讨论:‎ ‎①如图2,如果AD为矩形的边,那么AD//QP,AD=QP,对角线AP=QD.‎ 由xD-xA=xP-xQ,得xQ=-4.‎ 当x=-4时,y=a(x+1)(x-3)=21a.所以Q(-4, 21a).‎ 由yD-yA=yP-yQ,得yP=26a.所以P(1, 26a).‎ 由AP2=QD2,得22+(26a)2=82+(16a)2.‎ 整理,得7a2=1.所以.此时P.‎ ‎②如图3,如果AD为矩形的对角线,那么AD与PQ互相平分且相等.‎ 由xD+xA=xP+xQ,得xQ=2.所以Q(2,-3a).‎ 由yD+yA=yP+yQ,得yP=8a.所以P(1, 8a).‎ 由AD2=PQ2,得52+(5a)2=12+(11a)2.‎ 整理,得4a2=1.所以.此时P.‎ 图1 图2 图3‎ 考点伸展 第(3)题也可以这样解.设P(1,n).‎ ‎①如图2,当AD时矩形的边时,∠QPD=90°,所以,即.‎ 解得.所以P.所以Q.‎ 将Q代入y=a(x+1)(x-3),得.所以.‎ ‎②如图3,当AD为矩形的对角线时,先求得Q(2,-3a).‎ 由∠AQD=90°,得,即.解得.‎ 例2 2014年陕西省中考第24题 如图1,已知抛物线C:y=-x2+bx+c经过A(-3,0)和B(0, 3)两点.将这条抛物线的顶点记为M,它的对称轴与x轴的交点记为N.‎ ‎(1)求抛物线C的表达式;‎ ‎(2)求点M的坐标;‎ ‎(3)将抛物线C平移到抛物线C′,抛物线C′的顶点记为M′,它的对称轴与x轴的交点记为N′.如果以点M、N、M′、N′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形,那么应将抛物线C怎样平移?为什么?‎ 图1‎ 满分解答 ‎(1)将A(-3,0)、B(0, 3)分别代入y=-x2+bx+c,得 ‎ 解得b=-2,c=3.‎ 所以抛物线C的表达式为y=-x2-2x+3.‎ ‎(2)由y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,得顶点M的坐标为(-1,4).‎ ‎(3)抛物线在平移过程中,M′N′与MN保持平行,当M′N′=MN=4时,以点M、N、M′、N′为顶点的四边形就是平行四边形.‎ 因为平行四边形的面积为16,所以MN边对应的高NN′=4.‎ 那么以点M、N、M′、N′为顶点的平行四边形有4种情况:‎ 抛物线C直接向右平移4个单位得到平行四边形MNN′M′(如图2);‎ 抛物线C直接向左平移4个单位得到平行四边形MNN′M′(如图2);‎ 抛物线C先向右平移4个单位,再向下平移8个单位得到平行四边形MNM′N′(如图3);‎ 抛物线C先向左平移4个单位,再向下平移8个单位得到平行四边形MNM′N′(如图3).‎ 图2 图3‎ 考点伸展 本题的抛物线C向右平移m个单位,两条抛物线的交点为D,那么△MM′D的面积S关于m有怎样的函数关系?‎ 如图4,△MM′D是等腰三角形,由M(-1,4)、M′(-1+m, 4),可得点D的横坐标为.‎ 将代入y=-(x+1)2+4,得.所以DH=.‎ 所以S=.‎ 图4‎ 例3 2013年上海市松江区中考模拟第24题 如图1,已知抛物线y=-x2+bx+c经过A(0, 1)、B(4, 3)两点. ‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)求tan∠ABO的值;‎ ‎(3)过点B作BC⊥x轴,垂足为C,在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N,交抛物线于点M,若四边形MNCB为平行四边形,求点M的坐标.‎ 图1 ‎ 满分解答 ‎(1)将A(0, 1)、B(4, 3)分别代入y=-x2+bx+c,得 ‎ 解得,c=1.‎ 所以抛物线的解析式是.‎ ‎(2)在Rt△BOC中,OC=4,BC=3,所以OB=5.‎ 如图2,过点A作AH⊥OB,垂足为H.‎ 在Rt△AOH中,OA=1,,‎ 所以. 图2‎ 所以,. ‎ 在Rt△ABH中,.‎ ‎(3)直线AB的解析式为.‎ 设点M的坐标为,点N的坐标为,‎ 那么.‎ 当四边形MNCB是平行四边形时,MN=BC=3.‎ 解方程-x2+4x=3,得x=1或x=3.‎ 因为x=3在对称轴的右侧(如图4),所以符合题意的点M的坐标为(如图3).‎ 图3 图4‎ 考点伸展 第(3)题如果改为:点M是抛物线上的一个点,直线MN平行于y轴交直线AB于N,如果M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形,求点M的坐标.‎ 那么求点M的坐标要考虑两种情况:MN=yM-yN或MN=yN-yM.‎ 由yN-yM=4x-x2,解方程x2-4x=3,得(如图5).‎ 所以符合题意的点M有4个:,,,.‎ 图5‎ 例4 2012年福州市中考第21题 如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动,动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动,过点P作PD//BC,交AB于点D,联结PQ.点P、Q分别从点A、C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动,设运动的时间为t秒(t≥0).‎ ‎(1)直接用含t的代数式分别表示:QB=_______,PD=_______;‎ ‎(2)是否存在t的值,使四边形PDBQ为菱形?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由,并探究如何改变点Q的速度(匀速运动),使四边形PDBQ在某一时刻为菱形,求点Q的速度;‎ ‎(3)如图2,在整个运动过程中,求出线段PQ的中点M所经过的路径长.‎ 图1   图2‎ 满分解答 ‎(1)QB=8-2t,PD=.‎ ‎(2)如图3,作∠ABC的平分线交CA于P,过点P作PQ//AB交BC于Q,那么四边形PDBQ是菱形.‎ 过点P作PE⊥AB,垂足为E,那么BE=BC=8.‎ 在Rt△ABC中,AC=6,BC=8,所以AB=10. 图3‎ 在Rt△APE中,,所以. ‎ 当PQ//AB时,,即.解得.‎ 所以点Q的运动速度为.‎ ‎(3)以C为原点建立直角坐标系.‎ 如图4,当t=0时,PQ的中点就是AC的中点E(3,0).‎ 如图5,当t=4时,PQ的中点就是PB的中点F(1,4).‎ 直线EF的解析式是y=-2x+6.‎ 如图6,PQ的中点M的坐标可以表示为(,t).经验证,点M(,t)在直线EF上.‎ 所以PQ的中点M的运动路径长就是线段EF的长,EF=.‎ 图4 图5 图6‎ 考点伸展 第(3)题求点M的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数:‎ 当t=2时,PQ的中点为(2,2).‎ 设点M的运动路径的解析式为y=ax2+bx+c,代入E(3,0)、F(1,4)和(2,2),‎ 得 解得a=0,b=-2,c=6.‎ 所以点M的运动路径的解析式为y=-2x+6.‎ 例5 2012年烟台市中考第26题 如图1,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4).以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C.动点P从点A出发,沿线段AB向点B运动,同时动点Q从点C出发,沿线段CD向点D运动.点P、Q的运动速度均为每秒1个单位,运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E.‎ ‎(1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;‎ ‎(2)过点E作EF⊥AD于F,交抛物线于点G,当t为何值时,△ACG的面积最大?最大值为多少?‎ ‎(3)在动点P、Q运动的过程中,当t为何值时,在矩形ABCD内(包括边界)存在点H,使以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形?请直接写出t的值.‎ 图1‎ 满分解答 ‎(1)A(1, 4).因为抛物线的顶点为A,设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+4,‎ 代入点C(3, 0),可得a=-1.‎ 所以抛物线的解析式为y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3.‎ ‎(2)因为PE//BC,所以.因此.‎ 所以点E的横坐标为.‎ 将代入抛物线的解析式,y=-(x-1)2+4=.‎ 所以点G的纵坐标为.于是得到.‎ 因此.‎ 所以当t=1时,△ACG面积的最大值为1.‎ ‎(3)或.‎ 考点伸展 第(3)题的解题思路是这样的:‎ 因为FE//QC,FE=QC,所以四边形FECQ是平行四边形.再构造点F关于PE轴对称的点H′,那么四边形EH′CQ也是平行四边形.‎ 再根据FQ=CQ列关于t的方程,检验四边形FECQ是否为菱形,根据EQ=CQ列关于t的方程,检验四边形EH′CQ是否为菱形.‎ ‎,,,.‎ 如图2,当FQ=CQ时,FQ2=CQ2,因此.‎ 整理,得.解得,(舍去).‎ 如图3,当EQ=CQ时,EQ2=CQ2,因此.‎ 整理,得..所以,(舍去).‎ 图2 图3‎ 例6 2011年上海市中考第24题 已知平面直角坐标系xOy(如图1),一次函数的图象与y轴交于点A,点M在正比例函数的图象上,且MO=MA.二次函数 y=x2+bx+c的图象经过点A、M.‎ ‎(1)求线段AM的长;‎ ‎(2)求这个二次函数的解析式;‎ ‎(3)如果点B在y轴上,且位于点A下方,点C在上述二次函数的图象上,点D在一次函数的图象上,且四边形ABCD是菱形,求点C的坐标.‎ 图1‎ 满分解答 ‎(1)当x=0时,,所以点A的坐标为(0,3),OA=3.‎ 如图2,因为MO=MA,所以点M在OA的垂直平分线上,点M的纵坐标为.将代入,得x=1.所以点M的坐标为.因此.‎ ‎(2)因为抛物线y=x2+bx+c经过A(0,3)、M,所以解得,.所以二次函数的解析式为.‎ ‎(3)如图3,设四边形ABCD为菱形,过点A作AE⊥CD,垂足为E.‎ 在Rt△ADE中,设AE=‎4m,DE=‎3m,那么AD=‎5m.‎ 因此点C的坐标可以表示为(‎4m,3-‎2m).将点C(‎4m,3-‎2m)代入,得.解得或者m=0(舍去).‎ 因此点C的坐标为(2,2).‎ ‎ ‎ ‎ 图2 图3‎ 考点伸展 如果第(3)题中,把“四边形ABCD是菱形”改为“以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形”,那么还存在另一种情况:‎ 如图4,点C的坐标为.‎ 图4 ‎ 例7 2011年江西省中考第24题 将抛物线c1:沿x轴翻折,得到抛物线c2,如图1所示.‎ ‎(1)请直接写出抛物线c2的表达式;‎ ‎(2)现将抛物线c1向左平移m个单位长度,平移后得到新抛物线的顶点为M,与x轴的交点从左到右依次为A、B;将抛物线c2向右也平移m个单位长度,平移后得到新抛物线的顶点为N,与x轴的交点从左到右依次为D、E.‎ ‎①当B、D是线段AE的三等分点时,求m的值;‎ ‎②在平移过程中,是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形?若存在,请求出此时m的值;若不存在,请说明理由.‎ 图1‎ 满分解答 ‎(1)抛物线c2的表达式为.‎ ‎(2)抛物线c1:与x轴的两个交点为(-1,0)、(1,0),顶点为.‎ 抛物线c2:与x轴的两个交点也为(-1,0)、(1,0),顶点为.‎ 抛物线c1向左平移m个单位长度后,顶点M的坐标为,与x轴的两个交点为、,AB=2.‎ 抛物线c2向右平移m个单位长度后,顶点N的坐标为,与x轴的两个交点为、.所以AE=(1+m)-(-1-m)=2(1+m).‎ ‎①B、D是线段AE的三等分点,存在两种情况:‎ 情形一,如图2,B在D的左侧,此时,AE=6.所以2(1+m)=6.解得m=2.‎ 情形二,如图3,B在D的右侧,此时,AE=3.所以2(1+m)=3.解得.‎ 图2 图3 图4‎ ‎②如果以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形,那么AE=MN=2OM.而OM2=m2+3,所以4(1+m)2=4(m2+3).解得m=1(如图4).‎ 考点伸展 第(2)题②,探求矩形ANEM,也可以用几何说理的方法:‎ 在等腰三角形ABM中,因为AB=2,AB边上的高为,所以△ABM是等边三角形.‎ 同理△DEN是等边三角形.当四边形ANEM是矩形时,B、D两点重合.‎ 因为起始位置时BD=2,所以平移的距离m=1.‎ ‎1.5 因动点产生的面积问题 例1 2015年河南省中考第23题 如图1,边长为8的正方形ABCD的两边在坐标轴上,以点C为顶点的抛物线经过点A,点P是抛物线上A、C两点间的一个动点(含端点),过点P作PF⊥BC于点F.点D、E的坐标分别为(0, 6)、(-4, 0),联结PD、PE、DE.‎ ‎(1)直接写出抛物线的解析式;‎ ‎(2)小明探究点P的位置发现:当点P与点A或点C重合时,PD与PF的差为定值.进而猜想:对于任意一点P,PD与PF的差为定值.请你判断该猜想是否正确,并说明理由;‎ ‎(3)小明进一步探究得出结论:若将“使△PDE的面积为整数” 的点P记作“好点”,则存在多个“好点”,且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”.‎ 请直接写出所有“好点”的个数,并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标.‎ 图1 备用图 满分解答 ‎(1)抛物线的解析式为.‎ ‎(2)小明的判断正确,对于任意一点P,PD-PF=2.说理如下:‎ 设点P的坐标为,那么PF=yF-yP=.‎ 而FD2=,所以FD=.‎ 因此PD-PF=2为定值.‎ ‎(3)“好点”共有11个.‎ 在△PDE中,DE为定值,因此周长的最小值取决于FD+PE的最小值.‎ 而PD+PE=(PF+2)+PE=(PF+PE)+2,因此当P、E、F三点共线时,△PDE的周长最小(如图2).‎ 此时EF⊥x轴,点P的横坐标为-4.‎ 所以△PDE周长最小时,“好点”P的坐标为(-4, 6).‎ 图2 图3‎ 考点伸展 第(3)题的11个“好点”是这样求的:‎ 如图3,联结OP,那么S△PDE=S△POD+S△POE-S△DOE.‎ 因为S△POD=,S△POE=,S△DOE=12,所以 S△PDE===.‎ 因此S是x的二次函数,抛物线的开口向下,对称轴为直线x=-6.‎ 如图4,当-8≤x≤0时,4≤S≤13.所以面积的值为整数的个数为10.‎ 当S=12时,方程的两个解-8, -4都在-8≤x≤0范围内.‎ 所以“使△PDE的面积为整数” 的 “好点”P共有11个.‎ 图4‎ 例2 2014年昆明市中考第23题 如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx-3(a≠0)与x轴交于A(-2, 0)、B(4, 0)两点,与y轴交于点C.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)点P从点A出发,在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向点B运动,同时点Q从点B出发,在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动.其中一个点到达终点时,另一个点也停止运动.当△PBQ存在时,求运动多少秒时△PBQ的面积最大,最大面积是多少?‎ ‎(3)当△PBQ的面积最大时,在BC下方的抛物线上存在点K,使S△CBK∶S△PBQ=5∶2,求点K的坐标.‎ 图1‎ 满分解答 ‎(1)因为抛物线与x轴交于A(-2, 0)、B(4, 0)两点,所以y=a(x+2)(x-4).‎ 所以-‎8a=-3.解得.‎ 所以抛物线的解析式为.‎ ‎(2)如图2,过点Q作QH⊥x轴,垂足为H.‎ 在Rt△BCO中,OB=4,OC=3,所以BC=5,sinB=.‎ 在Rt△BQH中,BQ=t,所以QH=BQsinB=t.‎ 所以S△PBQ=.‎ 因为0≤t≤2,所以当t=1时,△PBQ的面积最大,最大面积是。‎ ‎(3)当△PBQ的面积最大时,t=1,此时P是AB的中点,P(1, 0),BQ=1。‎ 如图3,因为△PBC与△PBQ是同高三角形,S△PBC∶S△PBQ=BC∶BQ=5∶1。‎ 当S△CBK∶S△PBQ=5∶2时,S△PBC∶S△CBK=2∶1。‎ 因为△PBC与△CBK是同底三角形,所以对应高的比为2∶1。‎ 如图4,过x轴上的点D画CB的平行线交抛物线于K,那么PB∶DB=2∶1。‎ 因为点K在BC的下方,所以点D在点B的右侧,点D的坐标为.‎ 过点K作KE⊥x轴于E.设点K的坐标为.‎ 由,得.整理,得x2-4x+3=0.‎ 解得x=1,或x=3.所以点K的坐标为或.‎ 图2 图3 图4‎ 考点伸展 第(3)题也可以这样思考:‎ 由S△CBK∶S△PBQ=5∶2,S△PBQ=,得S△CBK=.‎ 如图5,过点K作x轴的垂线交BC于F.设点K的坐标为.‎ 由于点F在直线BC:上.所以点F的坐标为.‎ 所以KF=.‎ ‎△CBK被KF分割为△CKF和△BKF,他们的高的和为OB=4.‎ 所以S△CBK=.解得x=1,或x=3.‎ 图5‎ 例3 2013年苏州市中考第29题 如图1,已知抛物线(b、c是常数,且c<0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴的负半轴交于点C,点A的坐标为(-1,0).‎ ‎(1)b=______,点B的横坐标为_______(上述结果均用含c的代数式表示);‎ ‎(2)连结BC,过点A作直线AE//BC,与抛物线交于点E.点D是x轴上一点,坐标为(2,0),当C、D、E三点在同一直线上时,求抛物线的解析式;‎ ‎(3)在(2)的条件下,点P是x轴下方的抛物线上的一动点,连结PB、PC.设△PBC的面积为S.‎ ‎①求S的取值范围;‎ ‎②若△PBC的面积S为正整数,则这样的△PBC共有_____个.‎ 图1 ‎ 满分解答 ‎(1)b=,点B的横坐标为-‎2c.‎ ‎(2)由,设E.‎ 过点E作EH⊥x轴于H.‎ 由于OB=2OC,当AE//BC时,AH=2EH.‎ 所以.因此.所以.‎ 当C、D、E三点在同一直线上时,.所以.‎ 整理,得‎2c2+‎3c-2=0.解得c=-2或(舍去).‎ 所以抛物线的解析式为.‎ ‎(3)①当P在BC下方时,过点P作x轴的垂线交BC于F.‎ 直线BC的解析式为.‎ 设,那么,.‎ 所以S△PBC=S△PBF+S△PCF=.‎ 因此当P在BC下方时,△PBC的最大值为4.‎ 当P在BC上方时,因为S△ABC=5,所以S△PBC<5.‎ 综上所述,0<S<5.‎ ‎②若△PBC的面积S为正整数,则这样的△PBC共有11个.‎ 考点伸展 点P沿抛物线从A经过C到达B的过程中,△PBC的面积为整数,依次为(5),4,3,2,1,(0),1,2,3,4,3,2,1,(0).‎ 当P在BC下方,S=4时,点P在BC的中点的正下方,F是BC的中点.‎ 例4 2012年菏泽市中考第21题 如图1,在平面直角坐标系中放置一直角三角板,其顶点为A(0, 1)、B(2, 0)、O(0, 0),将此三角板绕原点O逆时针旋转90°,得到三角形A′B′O.‎ ‎(1)一抛物线经过点A′、B′、B,求该抛物线的解析式;‎ ‎(2)设点P是第一象限内抛物线上的一个动点,是否存在点P,使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;‎ ‎(3)在(2)的条件下,试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形?并写出它的两条性质.‎ 图1‎ 满分解答 ‎(1)△AOB绕着原点O逆时针旋转90°,点A′、B′的坐标分别为(-1, 0) 、(0, 2).‎ 因为抛物线与x轴交于A′(-1, 0)、B(2, 0),设解析式为y=a(x+1)(x-2),‎ 代入B′(0, 2),得a=1.‎ 所以该抛物线的解析式为y=-(x+1)(x-2) =-x2+x+2.‎ ‎(2)S△A′B′O=1.‎ 如果S四边形PB′A′B=4 S△A′B′O=4,那么S四边形PB′OB=3 S△A′B′O=3.‎ 如图2,作PD⊥OB,垂足为D.‎ 设点P的坐标为 (x,-x2+x+2).‎ ‎.‎ ‎.‎ 所以.‎ 解方程-x2+2x+2=3,得x1=x2=1.‎ 所以点P的坐标为(1,2).‎ 图2 图3 图4‎ ‎(3)如图3,四边形PB′A′B是等腰梯形,它的性质有:等腰梯形的对角线相等;等腰梯形同以底上的两个内角相等;等腰梯形是轴对称图形,对称轴是经过两底中点的直线.‎ 考点伸展 第(2)题求四边形PB′OB的面积,也可以如图4那样分割图形,这样运算过程更简单.‎ ‎.‎ ‎.‎ 所以.‎ 甚至我们可以更大胆地根据抛物线的对称性直接得到点P:‎ 作△A′OB′关于抛物线的对称轴对称的△BOE,那么点E的坐标为(1,2).‎ 而矩形EB′OD与△A′OB′、△BOP是等底等高的,所以四边形EB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍.因此点E就是要探求的点P.‎ 例 5 2012年河南省中考第23题 如图1,在平面直角坐标系中,直线与抛物线y=ax2+bx-3交于A、B两点,点A在x轴上,点B的纵坐标为3.点P是直线AB下方的抛物线上的一动点(不与点A、B重合),过点P作x轴的垂线交直线AB于点C,作PD⊥AB于点D.‎ ‎(1)求a、b及sin∠ACP的值;‎ ‎(2)设点P的横坐标为m.‎ ‎①用含m的代数式表示线段PD的长,并求出线段PD长的最大值;‎ ‎②连结PB,线段PC把△PDB分成两个三角形,是否存在适合的m的值,使这两个三角形的面积比为9∶10?若存在,直接写出m的值;若不存在,请说明理由.‎ 图1‎ 思路点拨 ‎1.第(1)题由于CP//y轴,把∠ACP转化为它的同位角.‎ ‎2.第(2)题中,PD=PCsin∠ACP,第(1)题已经做好了铺垫.‎ ‎3.△PCD与△PCB是同底边PC的两个三角形,面积比等于对应高DN与BM的比.‎ ‎4.两个三角形的面积比为9∶10,要分两种情况讨论.‎ 满分解答 ‎(1)设直线与y轴交于点E,那么A(-2,0),B(4,3),E(0,1).‎ 在Rt△AEO中,OA=2,OE=1,所以.所以.‎ 因为PC//EO,所以∠ACP=∠AEO.因此.‎ 将A(-2,0)、B(4,3)分别代入y=ax2+bx-3,得 解得,.‎ ‎(2)由,,‎ 得.‎ 所以.‎ 所以PD的最大值为.‎ ‎(3)当S△PCD∶S△PCB=9∶10时,;‎ 当S△PCD∶S△PCB=10∶9时,.‎ 图2‎ 考点伸展 第(3)题的思路是:△PCD与△PCB是同底边PC的两个三角形,面积比等于对应高DN与BM的比.‎ 而,‎ BM=4-m.‎ ‎①当S△PCD∶S△PCB=9∶10时,.解得.‎ ‎②当S△PCD∶S△PCB=10∶9时,.解得.‎ 例 6 2011年南通市中考第28题 如图1,直线l经过点A(1,0),且与双曲线(x>0)交于点B(2,1).过点(p>1)作x轴的平行线分别交曲线(x>0)和(x<0)于M、N两点.‎ ‎(1)求m的值及直线l的解析式;‎ ‎(2)若点P在直线y=2上,求证:△PMB∽△PNA;‎ ‎(3)是否存在实数p,使得S△AMN=4S△AMP?若存在,请求出所有满足条件的p的值;若不存在,请说明理由.‎ 图1‎ 满分解答 ‎(1)因为点B(2,1)在双曲线上,所以m=2.设直线l的解析式为,代入点A(1,0)和点B(2,1),得 解得 所以直线l的解析式为.‎ ‎(2)由点(p>1)的坐标可知,点P在直线上x轴的上方.如图2,当y=2时,点P的坐标为(3,2).此时点M的坐标为(1,2),点N的坐标为(-1,2).‎ 由P(3,2)、M(1,2)、B(2,1)三点的位置关系,可知△PMB为等腰直角三角形.‎ 由P(3,2)、N(-1,2)、A(1,0)三点的位置关系,可知△PNA为等腰直角三角形.‎ 所以△PMB∽△PNA.‎ 图2 图3 图4‎ ‎(3)△AMN和△AMP是两个同高的三角形,底边MN和MP在同一条直线上.‎ 当S△AMN=4S△AMP时,MN=4MP.‎ ‎①如图3,当M在NP上时,xM-xN=4(xP-xM).因此.解得或(此时点P在x轴下方,舍去).此时.‎ ‎②如图4,当M在NP的延长线上时,xM-xN=4(xM-xP).因此.解得或(此时点P在x轴下方,舍去).此时.‎ 考点伸展 在本题情景下,△AMN能否成为直角三角形?‎ 情形一,如图5,∠AMN=90°,此时点M的坐标为(1,2),点P的坐标为(3,2).‎ 情形二,如图6,∠MAN=90°,此时斜边MN上的中线等于斜边的一半.‎ 不存在∠ANM=90°的情况.‎ 图5 图6‎ 例7 2010年广州市中考第25题 如图1,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为(3,0),(0,1).点D是线段BC上的动点(与端点B、C不重合),过点D作直线交折线OAB于点E.‎ ‎(1)记△ODE的面积为S,求S与b的函数关系式;‎ ‎(2)当点E在线段OA上时,若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O‎1A1B‎1C1,试探究四边形O‎1A1B‎1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化?若不变,求出重叠部分的面积;若改变,请说明理由.‎ 图1‎ 动感体验 请打开几何画板文件名“10广州‎25”‎,拖动点D由C向B运动,观察S随b变化的函数图象,可以体验到,E在OA上时,S随b的增大而增大;E在AB上时,S随b的增大而减小.双击按钮“第(3)题”,拖动点D由C向B运动,可以观察到,E在OA上时,重叠部分的形状是菱形,面积不变.双击按钮“第(2)题”可以切换.‎ 满分解答 ‎(1)①如图2,当E在OA上时,由可知,点E的坐标为(2b,0),OE=2b.此时S=S△ODE=.‎ ‎②如图3,当E在AB上时,把y=1代入可知,点D的坐标为(2b-2,1),CD=2b-2,BD=5-2b.把x=3代入可知,点E的坐标为,AE=,BE=.此时 S=S矩形OABC-S△OAE- S△BDE -S△OCD ‎ ‎=.‎ ‎(2)如图4,因为四边形O‎1A1B‎1C1与矩形OABC关于直线DE对称,因此DM=DN,那么重叠部分是邻边相等的平行四边形,即四边形DMEN是菱形.‎ 作DH⊥OA,垂足为H.由于CD=2b-2,OE=2b,所以EH=2.‎ 设菱形DMEN的边长为m.在Rt△DEH中,DH=1,NH=2-m,DN=m,所以12+(2-m)2=m2.解得.所以重叠部分菱形DMEN的面积为.‎ ‎ ‎ 图2 图3 图4‎ 考点伸展 把本题中的矩形OABC 绕着它的对称中心旋转,如果重叠部分的形状是菱形(如图5),那么这个菱形的最小面积为1,如图6所示;最大面积为,如图7所示.‎ ‎ ‎ 图5 图6 图7‎ ‎1.6 因动点产生的线段和差问题 ‎ 例 1 2015年福州市中考第26题 如图1,抛物线y=x2-4x与x轴交于O、A两点,P为抛物线上一点,过点P的直线 y=x+m与抛物线的对称轴交于点Q.‎ ‎(1)这条抛物线的对称轴是_________,直线PQ与x轴所夹锐角的度数是______;‎ ‎(2)若两个三角形的面积满足S△OQP=S△PAQ,求m的值;‎ ‎(3)当点P在x轴下方的抛物线上时,过点C(2, 2)的直线AC与直线PQ交于点D,求:‎ ‎①PD+DQ的最大值;②PD·DQ的最大值.‎ 图 满分解答 ‎(1)抛物线的对称轴为直线x=2,直线PQ与x轴的夹角为45°.‎ ‎(2)因为△OQP与△PAQ有公共边PQ,所以它们的面积比等于对应高的比.‎ 如图2,作OM⊥PQ于M,AN⊥PQ于N.‎ 当S△OQP=S△PAQ时,.‎ 设直线PQ与x轴交于点H,那么.‎ 由y=x2-4x=x(x-4),得A(4, 0).所以OA=4.‎ ‎①如图2,当点H在线段OA上时,OH=1,H(1, 0).此时m=-1.‎ ‎②如图3,当点H在AO的延长线上时,OH=2,H(-2, 0).此时m=2.‎ ‎(3)①如图4,由A(4, 0)、C(2, 2),得直线AC与x轴的夹角为45°,点C在抛物线的对称轴上.‎ 又因为直线PQ与x轴的夹角为45°,所以△CDQ是等腰直角三角形.‎ 作点Q关于直线AC的对称点Q′,那么△CQQ′是等腰直角三角形,CQ′//x轴.‎ 所以DQ=DQ′.因此PD+DQ=PD+DQ′=PQ′.‎ 作PP′⊥CQ′,垂足为P′,那么△PP′Q′是等腰直角三角形.‎ 因此当PP′最大时,PQ′也最大.‎ 当点P运动到抛物线的顶点(2,-4)时,PP′最大,最大值PP′=6.‎ 此时PQ′的最大值为,即PD+DQ的最大值为.‎ 图2 图3 图4‎ ‎②由于PD+DQ≤,设PD=a,那么DQ≤.‎ 因此PD·QD≤. 所以当a=时,PD·QD的最大值为18.此时PD=DQ=,P、Q两点重合于抛物线的顶点.‎ 考点伸展 第(3)①题可以用代数法来解:‎ 因为点P在抛物线y=x2-4x上,设P(n, n2-4n).‎ 将P(n, n2-4n)代入直线y=x+m,可得m=n2-5n.‎ 所以直线PQ可以表示为y=x+n2-5n,那么Q(2, 2+n2-5n).‎ 联立直线AC:y=-x+4和直线PQ:y=x+n2-5n,可得2xD=4-n2+5n.‎ 于是PD+DQ==‎ ‎=.‎ 所以当n=2时,PD+DQ的最大值为.当n=2时点P在抛物线的顶点.‎ ‎ 例2 2014年广州市中考第24题 已知平面直角坐标系中两定点A(-1, 0)、B(4, 0),抛物线y=ax2+bx-2(a≠0)过点A、B,顶点为C,点P(m, n)(n<0)为抛物线上一点.‎ ‎(1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标;‎ ‎(2)当∠APB为钝角时,求m的取值范围;‎ ‎(3)若m>,当∠APB为直角时,将该抛物线向左或向右平移t(0<t<)个单位,点C、P平移后对应的点分别记为C′、P′,是否存在t,使得顺次首尾连接A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短?若存在,求t的值并说明抛物线平移的方向;若不存在,请说明理由.‎ 满分解答 ‎(1)因为抛物线y=ax2+bx-2与x轴交于A(-1, 0)、B(4, 0)两点,‎ 所以y=a(x+1)(x-4)=ax2-3ax-‎4a.‎ 所以-‎4a=-2,b=-‎3a.所以,.‎ 所以。‎ 顶点为.‎ ‎(2)如图1,设抛物线与y轴的交点为D.‎ 由A(-1, 0)、B(4, 0)、D(0,-2),可知.‎ 所以△AOD∽△DOB.因此∠ADO=∠DBO.‎ 由于∠DBO与∠BDO互余,所以∠ADO与∠BDO也互余. ‎ 于是可得∠ADB=90°.因此以AB为直径的圆经过点D.‎ 当点P在x轴下方圆的内部时,∠APB为钝角,此时-1<m<0,或3<m<4.‎ ‎(3)若m>,当∠APB为直角时,点P与点D关于抛物线的对称轴对称,因此点P的坐标为(3,-2).‎ 如图2,由于点A、B、P、C是确定的,BB′、P′C′、PC平行且相等,所以A、B、P′、C′四点所构成的四边形中,AB和P′C′的长是确定的.‎ 如图3,以P′C′、P′B为邻边构造平行四边形C′P′BB′,以直线为对称轴作点B′的对称点B′′,联结AB′′,那么AC′+P′B的长最小值就是线段AB′′。‎ 如图4,线段AB′′与直线的交点,就是四边形周长最小时点C′的位置.‎ 如图2,点P(3,-2)先向左平移个单位,再向下平移个单位得到点,‎ 如图3,点B(4, 0) 先向左平移个单位,再向下平移个单位得到点.‎ 所以点B′′的坐标为.‎ 如图4,由,得.解得.‎ 由于,所以抛物线向左平移了个单位.‎ 图2 图3 图4‎ 考点伸展 第(2)题不可回避要证明∠ADB=90°,也可以根据勾股定理的逆定理证明.‎ 由A(-1, 0)、B(4, 0)、D(0,-2),得AB2=25,AD2=5, BD2=20.‎ 所以AB2=AD2+BD2.所以∠ADB=90°.‎ 第(3)题的运算量实在是太大了,很容易折磨同学们的自信.‎ 求点B′的坐标,我们用了坐标平移的方法,比较简便.‎ 求点C′的坐标,我们用了相似比的方法,回避了待定系数法更为繁琐的计算过程.‎ 例3 2013年天津市中考第25题 在平面直角坐标系中,已知点A(-2,0),B(0,4),点E在OB上,且∠OAE=∠OBA.‎ ‎(1)如图1,求点E的坐标;‎ ‎(2)如图2,将△AEO沿x轴向右平移得到△AE′O′,连结A′B、BE′.‎ ‎①设AA′=m,其中0<m<2,使用含m的式子表示A′B2+BE′2,并求出使A′B2+BE′2取得最小值时点E′的坐标;‎ ‎②当A′B+BE′取得最小值时,求点E′的坐标(直接写出结果即可).‎ 图1 图2‎ 满分解答 ‎(1)由∠OAE=∠OBA,∠AOE=∠BOA,得△AOE∽△BOA.‎ 所以.因此.‎ 解得OE=1.所以E(0,1).‎ ‎(2)①如图3,在Rt△A′OB中,OB=4,OA′=2-m,所以A′B2=16+(2-m)2.‎ 在Rt△BEE′中,BE=3,EE′=m,所以BE′2=9+m2.‎ 所以A′B2+BE′2=16+(2-m)2+9+m2=2(m-1)2+27.‎ 所以当m=1时,A′B2+BE′2取得最小值,最小值为27.‎ 此时点A′是AO的中点,点E′向右平移了1个单位,所以E′(1,1).‎ ‎②如图4,当A′B+BE′取得最小值时,求点E′的坐标为.‎ 图3 图4‎ 考点伸展 第(2)②题这样解:如图4,过点B作y轴的垂线l,作点E′关于直线l的对称点E′′,‎ 所以A′B+BE′=A′B+BE′′.‎ 当A′、B、E′′三点共线时,A′B+BE′′取得最小值,最小值为线段A′E′′.‎ 在Rt△A′O′E′′中,A′O′=2,O′E′′=7,所以A′E′′=.‎ 当A′、B、E′′三点共线时,.所以.‎ 解得.此时.‎ 例4 2012年滨州市中考第24题 如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c经过A(-2, -4 )、O(0, 0)、‎ B(2, 0)三点.‎ ‎(1)求抛物线y=ax2+bx+c的解析式;‎ ‎(2)若点M是该抛物线对称轴上的一点,求AM+OM的最小值.‎ 图1‎ 答案 (1)。 (2)AM+OM的最小值为.‎ 图2 图3‎ 第二部分 函数图象中点的存在性问题 ‎2.1 由比例线段产生的函数关系问题 ‎ 例1 2015年呼和浩特市中考第25题 已知抛物线y=x2+(2m-1)x+m2-1经过坐标原点,且当<0时,y随x的增大而减小。‎ ‎(1)求抛物线的解析式,并写出y < 0时,对应x的取值范围;‎ ‎(2)设点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点,过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D,再作AB⊥x轴于点B, DC⊥x轴于点C. ‎ ‎①当BC=1时,直接写出矩形ABCD的周长;‎ ‎②设动点A的坐标为(a, b),将矩形ABCD的周长L表示为a的函数并写出自变量的取值范围,判断周长是否存在最大值,如果存在,求出这个最大值,并求出此时点A的坐标;如果不存在,请说明理由.‎ 满分解答 ‎(1)因为抛物线y=x2+(2m-1)x+m2-1经过原点,所以m2-1=0.解得m=±1。‎ 如图1,当m=1时,抛物线y=x2+x的对称轴在y轴左侧,不符合当x<0时,y随x的增大而减小。‎ 当m=-1时,抛物线y=x2-3x符合条件。‎ 图1 图2 图3‎ ‎(2)①当BC=1时,矩形ABCD的周长为6。‎ ‎②如图2,抛物线y=x2-3x的对称轴为直线,如果点A在对称轴的左侧,那么。解得。所以AD=3-2a。‎ 当x=a时,y=x2-3x=a2-3a。所以AB=3a-a2。‎ 所以L=矩形ABCD的周长=2(AB+AD)=2(3a-a2+3-2a)=。‎ 因此当时,L的最大值为。此时点A的坐标为。‎ 如图3,根据对称性,点A的坐标也可以是。‎ 考点伸展 第(2)①题的思路是:如图2,抛物线的对称轴是直线,当BC=1时,点B的坐标为(1, 0),此时点A的横坐标为1,可以求得AB=2。‎ 第(2)②题中,L随a变化的图像如图4所示。‎ 图4‎ 例2 2013年宁波市中考第26题 如图1,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为(0,4),点B的坐标为(4,0),点C的坐标为(-4,0),点P在射线AB上运动,连结CP与y轴交于点D,连结BD.过P、D、B三点作⊙Q,与y轴的另一个交点为E,延长DQ交⊙Q于F,连结EF、BF.‎ ‎(1)求直线AB的函数解析式;‎ ‎(2)当点P在线段AB(不包括A、B两点)上时.‎ ‎①求证:∠BDE=∠ADP;‎ ‎②设DE=x,DF=y,请求出y关于x的函数解析式;‎ ‎(3)请你探究:点P在运动过程中,是否存在以B、D、F为顶点的直角三角形,满足两条直角边之比为2∶1?如果存在,求出此时点P的坐标;如果不存在,请说明理由. 图1 ‎ ‎(1)直线AB的函数解析式为y=-x+4.‎ ‎(2)①如图2,∠BDE=∠CDE=∠ADP;‎ ‎②如图3,∠ADP=∠DEP+∠DPE,如图4,∠BDE=∠DBP+∠A,‎ 因为∠DEP=∠DBP,所以∠DPE=∠A=45°.‎ 所以∠DFE=∠DPE=45°.因此△DEF是等腰直角三角形.于是得到.‎ 图2 图3 图4‎ ‎(3)①如图5,当BD∶BF=2∶1时,P(2,2).思路如下:‎ 由△DMB∽△BNF,知.‎ 设OD=‎2m,FN=m,由DE=EF,可得‎2m+2=4-m.解得.‎ 因此.再由直线CD与直线AB求得交点P(2,2).‎ ‎②如图6,当BD∶BF=1∶2时,P(8,-4).思路同上.‎ 图5 图6‎ ‎2.2 由面积产生的函数关系问题 ‎ 例1 2015年上海市徐汇区中考模拟第25题 如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,cosA=,点P是边AB上的动点,以PA为半径作⊙P. ‎ ‎(1)若⊙P与AC边的另一个交点为D,设AP=x,△PCD的面积为y,求y关于x的函数解析式,并直接写出函数的定义域;‎ ‎(2)若⊙P被直线BC和直线AC截得的弦长相等,求AP的长;‎ ‎(3)若⊙C的半径等于1,且⊙P与⊙C的公共弦长为,求AP的长.‎ 图1 备用图 满分解答 ‎(1)如图2,在Rt△ABC中, AC=4,cosA=,所以AB=16,BC=.‎ 设弦AD对应的弦心距为PE,那么AE=AP=x,PE=AP=x.‎ 所以y=S△PCD===.‎ 定义域是0<x<8.‎ ‎(2)若⊙P被直线BC和直线AC截得的弦长相等,那么对应的弦心距PF=PE.‎ 因此四边形AEPF是正方形(如图3),设正方形的边长为m.‎ 由S△ABC=S△ACP+S△BCP,得AC·BC=m(AC+BC).所以m==.‎ 此时AE==,AP=4AE=.‎ 图2 图3‎ ‎(3)如图4,设⊙C与⊙P的公共弦为MN,MN与CP交于点G.‎ 由于CM=CN=1,MN=,所以△CMN是等腰直角三角形,CG=NG=.‎ 如图5,作CH⊥AB于H,由AC=4,那么AH=1,CH2=15.‎ 所以CP==.因此PG=(如图4).‎ 如图4,在Rt△PNG中,由勾股定理,得.‎ 整理,得2x2-64x+257=0.解得,(舍去).‎ 图4 图5‎ 考点伸展 第(2)题也可以这样计算:由于PF=BP=,由PE=PF,得.解得.‎ 例2 2014年黄冈市中考第25题 如图1,在四边形OABC中,AB//OC,BC⊥x轴于点C,A(1,-1),B(3,-1),动点P从O出发,沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动.过点P作PQ垂直于直线OA,垂足为Q.设点P移动的时间为t秒(0<t<2),△OPQ与四边形OABC重叠部分的面积为S.‎ ‎(1)求经过O、A、B三点的抛物线的解析式,并确定顶点M的坐标;‎ ‎(2)用含t的代数式表示点P、Q的坐标;‎ ‎(3)如果将△OPQ绕着点P按逆时针方向旋转90°,是否存在t,使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由;‎ ‎(4)求出S与t的函数关系式.‎ 图1‎ 满分解答 ‎(1)由A(1,-1)、B(3,-1),可知抛物线的对称轴为直线x=1,点O关于直线x=1的对称点为(4,0).‎ 于是可设抛物线的解析式为y=ax(x-4),代入点A(1,-1),得-‎3a=-1.‎ 解得.所以.顶点M的坐标为.‎ ‎(2)△OPQ是等腰直角三角形,P(2t, 0),Q(t,-t).‎ ‎(3)旋转后,点O′的坐标为(2t,-2t),点Q′的坐标为(3t,-t).‎ 将O′(2t,-2t)代入,得.解得.‎ 将Q′(3t,-t)代入,得.解得t=1.‎ 因此,当时,点O′落在抛物线上(如图2);当t=1时,点Q′落在抛物线上(如图3).‎ 图2 图3‎ ‎(4)①如图4,当0<t≤1时,重叠部分是等腰直角三角形OPQ.此时S=t2.‎ ‎②如图5,当1<t≤1.5时,重叠部分是等腰梯形OPFA.此时AF=2t-2.‎ 此时S=.‎ 图4 图5‎ ‎③如图6,当1.5<t<2时,重叠部分是五边形OCEFA.‎ 此时CE=CP=2t-3.所以BE=BF=1-(2t-3)=4-2t.‎ 所以S=.‎ 图6‎ 考点伸展 在本题情景下,重叠部分的周长l与t之间有怎样的函数关系?‎ 如图4,.如图5,.‎ 如图6,.‎ 例3 2013年菏泽市中考第21题 如图1, △ABC是以BC为底边的等腰三角形,点A、C分别是一次函数的图像与y轴、x轴的交点,点B在二次函数的图像上,且该二次函数图像上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形.‎ ‎(1)试求b、c的值,并写出该二次函数的解析式;‎ ‎(2)动点P从A到D,同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动,问:‎ ‎①当P运动到何处时,由PQ⊥AC?‎ ‎②当P运动到何处时,四边形PDCQ的面积最小?此时四边形PDCQ的面积是多少?‎ 图1 ‎ 思路点拨 ‎1.求抛物线的解析式需要代入B、D两点的坐标,点B的坐标由点C的坐标得到,点D的坐标由AD=BC可以得到.‎ ‎2.设点P、Q运动的时间为t,用含有t的式子把线段AP、CQ、AQ的长表示出来.‎ ‎3.四边形PDCQ的面积最小,就是△APQ的面积最大.‎ 满分解答 ‎(1)由,得A(0,3),C(4,0).‎ 由于B、C关于OA对称,所以B(-4,0),BC=8.‎ 因为AD//BC,AD=BC,所以D(8,3).‎ 将B(-4,0)、D(8,3)分别代入,得 解得,c=-3.所以该二次函数的解析式为.‎ ‎(2)①设点P、Q运动的时间为t.‎ 如图2,在△APQ中,AP=t,AQ=AC-CQ=5-t,cos∠PAQ=cos∠ACO=.‎ 当PQ⊥AC时,.所以.解得.‎ 图2 图3‎ ‎②如图3,过点Q作QH⊥AD,垂足为H.‎ 由于S△APQ=,‎ S△ACD=,‎ 所以S四边形PDCQ=S△ACD-S△APQ=.‎ 所以当AP=时,四边形PDCQ的最小值是.‎ 考点伸展 如果把第(2)①题改为“当P运动到何处时,△APQ是直角三角形?”‎ 除了PQ⊥AC这种情况,还有QP⊥AD的情况.‎ 这时,所以.解得(如图4所示).‎ 图4‎ 例4 2012年广东省中考第22题 如图1,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,联结BC、AC.‎ ‎(1)求AB和OC的长;‎ ‎(2)点E从点A出发,沿x轴向点B运动(点E与点A、B不重合),过点E作BC的平行线交AC于点D.设AE的长为m,△ADE的面积为s,求s关于m的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;‎ ‎(3)在(2)的条件下,联结CE,求△CDE面积的最大值;此时,求出以点E为圆心,与BC相切的圆的面积(结果保留π).‎ 图1‎ 满分解答 ‎(1)由,得A(-3,0)、B(6,0)、C(0,-9).‎ 所以AB=9,OC=9.‎ ‎(2)如图2,因为DE//CB,所以△ADE∽△ACB.所以.‎ 而,AE=m,所以. ‎ m的取值范围是0<m<9.‎ 图2 图3‎ ‎(3)如图2,因为DE//CB,所以.‎ 因为△CDE与△ADE是同高三角形,所以.‎ 所以.‎ 当时,△CDE的面积最大,最大值为.‎ 此时E是AB的中点,.如图3,作EH⊥CB,垂足为H.‎ 在Rt△BOC中,OB=6,OC=9,所以.‎ 在Rt△BEH中,.‎ 当⊙E与BC相切时,.所以.‎ 考点伸展 在本题中,△CDE与△BEC能否相似?‎ 如图2,虽然∠CED=∠BCE,但是∠B>∠BCA≥∠ECD,所以△CDE与△BEC不能相似.‎ 例5 2012年河北省中考第26题 如图1,图2,在△ABC中,AB=13,BC=14,.‎ 探究 如图1,AH⊥BC于点H,则AH=_____,AC=______,△ABC的面积S△ABC=________.‎ 拓展 如图2,点D在AC上(可与点A、C重合),分别过点A、C作直线BD的垂线,垂足为E、F.设BD=x,AE=m,CF=n.(当点D与点A重合时,我们认为S△ABD=0)‎ ‎(1)用含x,m或n的代数式表示S△ABD及S△CBD;‎ ‎(2)求(m+n)与x的函数关系式,并求(m+n)的最大值和最小值;‎ ‎(3)对给定的一个x值,有时只能确定唯一的点D,指出这样的x的取值范围.‎ 发现 请你确定一条直线,使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小(不必写出过程),并写出这个最小值.‎ 图1 图2‎ 答案 探究 AH=12,AC=15,S△ABC=84.‎ 拓展 (1)S△ABD=,S△CBD=.‎ ‎(2)由S△ABC=S△ABD+S△CBD,得.所以.‎ 由于AC边上的高,所以x的取值范围是≤x≤14.‎ 所以(m+n)的最大值为15,最小值为12.‎ ‎(3)x的取值范围是x=或13<x≤14.‎ 发现 A、B、C三点到直线AC的距离之和最小,最小值为.‎ 例6 2011年淮安市中考第28题 如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,点P在AB上,AP=2.点E、F同时从点P出发,分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动,点E到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动,点F运动到点B时停止,点E也随之停止.在点E、F运动过程中,以EF为边作正方形EFGH,使它与△ABC在线段AB的同侧.设E、F运动的时间为t秒(t>0),正方形EFGH与△ABC重叠部分的面积为S. ‎ ‎(1)当t=1时,正方形EFGH的边长是________;当t=3时,正方形EFGH的边长是________;‎ ‎(2)当1<t≤2时,求S与t的函数关系式;‎ ‎(3)直接答出:在整个运动过程中,当t为何值时,S最大?最大面积是多少?‎ 图1‎ 满分解答 ‎(1)当t=1时,EF=2;当t=3时,EF=4.‎ ‎(2)①如图1,当时,.所以.‎ ‎②如图2,当时,,,.‎ 于是,‎ ‎.‎ 所以.‎ ‎③如图3,当时,,,.‎ 所以.‎ 图2 图3 图4‎ ‎(3)如图4,图5,图6,图7,重叠部分的最大面积是图6所示的六边形EFNDQN,‎ S的最大值为,此时.‎ 图5 图6 图7‎ 考点伸展 第(2)题中t的临界时刻是这样求的:‎ 如图8,当H落在AC上时,,,由,得.‎ 如图9,当G落在AC上时,,,由,得.‎ 图8 图9‎ 第三部分图形运动中的计算说理问题 ‎3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题 例 1 2015年北京市中考第29题 在平面直角坐标系中,⊙C的半径为r,P是与圆心C不重合的点,点P关于⊙C的反称点的定义如下:若在射线CP上存在一点P′,满足CP+CP′=2r,则称点P′为点P关于⊙C的反称点.如图1为点P及其关于⊙C的反称点P′的示意图.‎ 特别地,当点P′与圆心C重合时,规定CP′=0.‎ ‎(1)当⊙O的半径为1时,‎ ‎①分别判断点M(2, 1),N,T 关于⊙O的反称点是否存在?若存在,求其坐标;‎ ‎②点P在直线y=-x+2上,若点P关于⊙O的反称点P′存在,且点P′不在x轴上,求点P的横坐标的取值范围; ‎ ‎(2)⊙C的圆心在x轴上,半径为1,直线与x轴、y轴分别交于点A、B,若线段AB上存在点P,使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部,求圆心C的横坐标的取值范围.‎ 满分解答 ‎(1)①对于M(2, 1),OM=.因为OM′=<0,所以点M不存在反称点(如图2).‎ 如图3,对于N,ON=.因为ON′=,所以点N′的坐标为.‎ 如图4,对于T ,OT=2.因为OT′=0,所以点T关于⊙O的反称点T′是(0,0).‎ 图2 图3 图4‎ ‎②如图5,如果点P′存在,那么OP′=2-OP≥0.所以OP≤2.‎ 设直线y=-x+2与x轴、y轴的交点分别为A、B,那么OA=OB=2.‎ 如果点P在线段AB上,那么OP≤2.‎ 所以满足OP≤2且点P′不在x轴上的点P的横坐标的取值范围是0≤x<2.‎ ‎(2)由,得A(6, 0),B.所以tan∠A=.‎ 所以∠A=30°.‎ 因为点P′在⊙C的内部,所以0≤CP′<1.‎ 解不等式组0≤2-CP<1,得1<CP≤2.‎ 过点C作CP⊥AB于P,那么CP=AC.所以2<AC≤4.‎ 所以2≤OC<4.因此圆心C的横坐标的取值范围是2≤x<4(如图6,图7所示).‎ 图5 图6 图7‎ 考点伸展 第(2)题如果把条件“反称点P′在⊙C的内部”改为“反称点P′存在”,那么圆心C的横坐标的取值范围是什么呢?‎ 如果点P′存在,那么CP′≥0.‎ 解不等式2-CP≥0,得CP≤2.‎ 所以AC≤4.因此圆心C的横坐标的取值范围是2≤x<6.‎ 例2 2014年福州市中考第22题 如图1,抛物线与x轴交于 A、B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,顶点为D.‎ ‎(1)求点A、B、C的坐标;‎ ‎(2)联结CD,过原点O作OE⊥CD,垂足为H,OE与抛物线的对称轴交于点E,联结AE、AD.求证:∠AEO=∠ADC;‎ ‎(3)以(2)中的点E为圆心,1为半径画圆,在对称轴右侧的抛物线上有一动点P,过P作⊙E的切线,切点为Q,当PQ的长最小时,求点P的坐标,并直接写出点Q的坐标. ‎ 满分解答 ‎(1)由,得,.‎ 由,‎ 得,.‎ ‎(2)设CD与AE交于点F,对称轴与x轴交于点M,作DN⊥y轴于N.‎ 如图2,由,,得DN=3,.因此.‎ 如图3,由OE⊥CD,得∠EOM=∠DCN.因此.‎ 所以EM=2,E(3, 2).‎ 由,,得.‎ 因此,.‎ 所以∠AEM=∠DAM.于是可得∠AED=90°.‎ 如图4,在Rt△EHF与Rt△DAF中,因为∠EFH=∠DFA,‎ 所以∠HEF=∠ADF,即∠AEO=∠ADC.‎ 图2 图3 图4‎ ‎(3)如图5,在Rt△EPQ中,EQ为定值,因此当PE最小时,PQ也最小.‎ 设点P的坐标为(x, y),那么PE2=(x-3)2+(y-2)2.‎ 已知,所以.‎ 因此.‎ 所以当y=1时,PE取得最小值.‎ 解方程,得x=5,或x=1(在对称轴左侧,舍去).‎ 因此点P的坐标为(5, 1).此时点Q的坐标为(3, 1)或(如图6所示).‎ 图5 图6 图7‎ 考点伸展 第(3)题可以这样求点Q的坐标:设点Q的坐标为(m, n).‎ 由E(3, 2)、P(5, 1),可得PE2=5.又已知EQ2=1,所以PQ2=4.‎ 列方程组 解得 ‎ 还可以如图7那样求点Q的坐标:‎ 对于Q(m, n),根据两个阴影三角形相似,可以列方程组.‎ 同样地,对于Q′(m, n),可以列方程组.‎ 例3 2013年南京市中考第26题 已知二次函数y=a(x-m)2-a(x-m)(a、m为常数,且a≠0).‎ ‎(1)求证:不论a与m为何值,该函数的图像与x轴总有两个公共点;‎ ‎(2)设该函数的图像的顶点为C,与x轴相交于A、B两点,与y轴交于点D.‎ ‎①当△ABC的面积等于1时,求a的值 ‎②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时,求m的值.‎ 思路点拨 ‎1.第(1)题判断抛物线与x轴有两个交点,容易想到用判别式.事实上,抛物线与x轴的交点A、B的坐标分别为 (m,0)、 (m+1,0),AB=1.‎ ‎2.当△ABC的面积等于1时,点C到x轴的距离为2.‎ ‎3.当△ABC的面积与△ABD的面积相等时,C、D到x轴的距离相等.‎ ‎4.本题大量的工作是代入计算,运算比较繁琐,一定要仔细.‎ 满分解答 ‎(1)由y=a(x-m)2-a(x-m)=a(x-m)( x-m-1),‎ 得抛物线与x轴的交点坐标为A(m,0)、B(m+1,0).‎ 因此不论a与m为何值,该函数的图像与x轴总有两个公共点.‎ ‎(2)①由y=a(x-m)2-a(x-m) ,‎ 得抛物线的顶点坐标为.‎ 因为AB=1,S△ABC=,所以a=±8.‎ ‎②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时,点C与点D到x轴的距离相等.‎ 第一种情况:如图1,C、D重合,此时点D的坐标可以表示为,‎ 将代入,得.‎ 解得.‎ 图1‎ 第二种情况:如图2,图3,C、D在x轴两侧,此时点D的坐标可以表示为,‎ 将代入,得.‎ 解得.‎ 图2 图3‎ 考点伸展 第(1)题也可以这样说理:‎ 由于由,抛物线的顶点坐标为.‎ 当a>0时,抛物线的开口向上,而顶点在x轴下方,所以抛物线与x轴由两个交点;‎ 当a<0时,抛物线的开口向下,而顶点在x轴上方,所以抛物线与x轴由两个交点.‎ 因此不论a与m为何值,该函数的图像与x轴总有两个公共点.‎ 第(1)题也可以用根的判别式Δ说理:‎ 由y=a(x-m)2-a(x-m)=a[x2-(‎2m+1)x+m2+m],‎ 得>0.‎ 因此不论a与m为何值,该函数的图像与x轴总有两个公共点.‎ 这种方法是同学们最容易想到的,但是这种方法的运算量很大,一定要仔细.‎ ‎3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题 例1 2015年杭州市中考第22题 如图1,在△ABC中,BC>AC,∠ACB=90°,点D在AB边上,DE⊥AC于点E.‎ ‎(1)若,AE=2,求EC的长;‎ ‎(2)设点F在线段EC上,点G在射线CB上,以F、C、G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等,FG交CD于点P.问:线段CP可能是△CFG的高还是中线?或两者都有可能?请说明理由.‎ 图1 ‎ 满分解答 ‎(1)由∠ACB=90°,DE⊥AC,得DE//BC.‎ 所以.所以.解得EC=6.‎ ‎(2)△CFG与△EDC都是直角三角形,有一个锐角相等,分两种情况:‎ ‎①如图2,当∠1=∠2时,由于∠2与∠3互余,所以∠2与∠3也互余.‎ 因此∠CPF=90°.所以CP是△CFG的高.‎ ‎②如图3,当∠1=∠3时,PF=PC.‎ 又因为∠1与∠4互余,∠3与∠2互余,所以∠4=∠2.所以PC=PG.‎ 所以PF=PC=PG.所以CP是△CFG的中线.‎ 综合①、②,当CD是∠ACB的平分线时,CP既是△CFG的高,也是中线(如图4).‎ 图2 图 3 图4‎ 考点伸展 这道条件变换的题目,不由得勾起了我们的记忆:‎ 如图5,在△ABC中,点D是AB边上的一个动点,DE//BC交AC于E,DF//AC交BC 于F,那么四边形CEDF是平行四边形.‎ 如图6,当CD平分∠ACB时,四边形CEDF是菱形.‎ 图5 图6‎ 如图7,当∠ACB=90°,四边形CEDF是矩形.‎ 如图8,当∠ACB=90°,CD平分∠ACB时,四边形CEDF是正方形.‎ 图7 图8‎ 例2 2014年安徽省中考第23题 如图1,正六边形ABCDEF的边长为a,P是BC边上的一动点,过P作PM//AB交AF于M,作PN//CD交DE于N.‎ ‎(1)①∠MPN=_______°;‎ ‎②求证:PM+PN=‎3a;‎ ‎(2)如图2,点O是AD的中点,联结OM、ON.求证:OM=ON.‎ ‎(3)如图3,点O是AD的中点,OG平分∠MON,判断四边形OMGN是否为特殊的四边形,并说明理由.‎ 图1 图2 图3‎ 动感体验 请打开几何画板文件名“14安徽23”,拖动点P运动,可以体验到,PM+PN等于正六边形的3条边长.△AOM≌△BOP,△COP≌△DON,所以OM=OP=ON.还可以体验到,△MOG与△NOG是两个全等的等边三角形,四边形OMGN是菱形.‎ 思路点拨 ‎1.第(1)题的思路是,把PM+PN转化到同一条直线上.‎ ‎2.第(2)题的思路是,以O为圆心,OM为半径画圆,这个圆经过点N、P.于是想到联结OP,这样就出现了两对全等三角形.‎ ‎3.第(3)题直觉告诉我们,四边形OMGN是菱形.如果你直觉△MOG与△NOG是等边三角形,那么矛盾就是如何证明∠MON=120°.‎ 满分解答 ‎(1)①∠MPN=60°.‎ ‎②如图4,延长FA、ED交直线BC与M′、N′,那么△ABM′、△MPM′、△DCN′、‎ ‎△EPN′都是等边三角形.‎ 所以PM+PN=M′N′=M′B+BC+CN′=‎3a.‎ 图4 图5 图6‎ ‎(2)如图5,联结OP.‎ 由(1)知,AM=BP,DN=CP.‎ 由AM=BP,∠OAM=∠OBP=60°,OA=OB,‎ 得△AOM≌△BOP.所以OM=OP.‎ 同理△COP≌△DON,得ON=OP.‎ 所以OM=ON.‎ ‎(3)四边形OMGN是菱形.说理如下:‎ 由(2)知,∠AOM=∠BOP,∠DON=∠COP(如图5).‎ 所以∠AOM+∠DON=∠BOP+∠COP=60°.所以∠MON=120°.‎ 如图6,当OG平分∠MON时,∠MOG=∠NOG=60°.‎ 又因为∠AOF=∠FOE=∠EOD=60°,于是可得∠AOM=∠FOG=∠EON.‎ 于是可得△AOM≌△FOG≌△EON.‎ 所以OM=OG=ON.‎ 所以△MOG与△NOG是两个全等的等边三角形.‎ 所以四边形OMGN的四条边都相等,四边形OMGN是菱形.‎ 考点伸展 在本题情景下,菱形OMGN的面积的最大值和最小值各是多少?‎ 因为△MOG与△NOG是全等的等边三角形,所以OG最大时菱形的面积最大,OG最小时菱形的面积最小.‎ OG的最大值等于OA,此时正三角形的边长为a,菱形的最大面积为.‎ OG与EF垂直时最小,此时正三角形的边长为,菱形的最小面积为.‎ 例3 2013年上海市黄浦区中考模拟第24题 已知二次函数y=-x2+bx+c的图像经过点P(0, 1)与Q(2, -3).‎ ‎(1)求此二次函数的解析式;‎ ‎(2)若点A是第一象限内该二次函数图像上一点,过点A作x 轴的平行线交二次函数图像于点B,分别过点B、A作x轴的垂线,垂足分别为C、D,且所得四边形ABCD恰为正方形.‎ ‎①求正方形的ABCD的面积;‎ ‎②联结PA、PD,PD交AB于点E,求证:△PAD∽△PEA.‎ 满分解答 ‎(1)将点P(0, 1)、Q(2, -3)分别代入y=-x2+bx+c,得 ‎ 解得 所以该二次函数的解析式为y=-x2+1.‎ ‎(2)①如图1,设点A的坐标为(x, -x2+1),当四边形ABCD恰为正方形时,AD=AB.‎ 此时yA=2xA.‎ 解方程-x2+1=2x,得.‎ 所以点A的横坐标为.‎ 因此正方形ABCD的面积等于.‎ ‎②设OP与AB交于点F,那么.‎ 所以.‎ 又因为,‎ 所以∠PAE=∠PDA.‎ 又因为∠P公用,所以△PAD∽△PEA.‎ 图1 图2‎ 考点伸展 事实上,对于矩形ABCD,总有结论△PAD∽△PEA.证明如下:‎ 如图2,设点A的坐标为(x, -x2+1),那么PF=OP-OF=1-(-x2+1)=x2.‎ 所以.‎ 又因为,‎ 所以∠PAE=∠PDA.因此△PAD∽△PEA.‎ 第四部分 图形的平移翻折与旋转 ‎4.1图形的平移 例1 2015年泰安市中考第15题 如图1,在平面直角坐标系中,正三角形OAB的顶点B的坐标为(2, 0),点A在第一象限内,将△OAB沿直线OA的方向平移至△O′B′A′的位置,此时点A′的横坐标为3,则点B′的坐标为( ).‎ A.(4,) B.(3,) C.(4,) D.(3,)‎ 图1 图2‎ 动感体验 请打开几何画板文件名“15泰安15”,拖动点A'运动的过程中,可以体验到,△A′OC保持等边三角形的形状.‎ 答案 A.思路如下:‎ 如图2,当点B的坐标为(2, 0),点A的横坐标为1.‎ 当点A'的横坐标为3时,等边三角形A′OC的边长为6.‎ 在Rt△B′CD中,B′C=4,所以DC=2,B′D=.此时B′.‎ 例2 2014年江西省中考第11题 如图,在△ABC中,AB=4,BC=6,∠B=60°,将△ABC沿射线BC方向平移2个单位后,得到△A′B′C′,联结A′C,则△A′B′C的周长为_______.‎ 答案 12.‎ ‎4.2图形的翻折 例1 2015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第18题 如图1,在矩形ABCD中,AD=15,点E在边DC上,联结AE,△ADE沿直线AE翻折后点D落到点F,过点F作FG⊥AD,垂足为G.如果AD=3GD,那么DE=_____.‎ 图1‎ 答案 .思路如下:‎ 如图2,过点F作AD的平行线交AB于M,交DC于N.‎ 因为AD=15,当AD=3GD时,MF=AG=10,FN=GD=5.‎ 在Rt△AMF中,AF=AD=15,MF=10,所以AM=.‎ 设DE=m,那么NE=.‎ 由△AMF∽△FNE,得,即.解得m=.‎ 例2 2014年上海市中考第18题 如图,已知在矩形ABCD中,点E在边BC上,BE=2CE,将矩形沿着过点E的直线翻折后,点C、D分别落在边BC下方的点C′、D′处,且点C′、D′、B在同一条直线上,折痕与边AD交于点F,D′F与BE交于点G.设AB=t,那么△EFG的周长为______________‎ ‎(用含t的代数式表示).‎ 图1‎ 答案 .思路如下:如图2,等边三角形EFG的高=AB=t,计算得边长为.‎ 图2‎ ‎ ‎ ‎4.3图形的旋转 例1 2015年扬州市中考第17题 如图1,已知Rt△ABC中,∠ABC=90°,AC=6,BC=4,将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC,若点F是DE的中点,连接AF,则AF= .‎ 图1 图2‎ 答案 5.思路如下:‎ 如图2,作FH⊥AC于H.‎ 由于F是ED的中点,所以HF是△ECD的中位线,所以HF=3.‎ 由于AE=AC-EC=6-4=2,EH=2,所以AH=4.所以AF=5.‎ 例2 2014年上海市黄浦区中考模拟第18题 如图1,在△ABC中,AB=AC=5,BC=4,D为边AC上一点,且AD=3,如果△ABD绕点A逆时针旋转,使点B与点C重合,点D旋转至D',那么线段DD'的长为 .‎ 图1‎ 答案 .思路如下:如图3,由△ABC∽△ADD',可得.5∶4=3∶DD'.‎ 图2 图3‎ ‎4.4三角形 例1 2015年上海市长宁区中考模拟第18题 如图1,△ABC≌△DEF(点A、B分别与点D、E对应),AB=AC=5,BC=6.△ABC固定不动,△DEF运动,并满足点E在BC边从B向C移动(点E不与B、C重合),DE始终经过点A,EF与AC边交于点M,当△AEM是等腰三角形时,BE=_________.‎ 图1 ‎ 答案 或1.思路如下:‎ 设BE=x.‎ 由△ABE∽△ECM,得,即.‎ 等腰三角形AEM分三种情况讨论:‎ ‎①如图2,如果AE=AM,那么△AEM∽△ABC.‎ 所以.解得x=0,此时E、B重合,舍去.‎ ‎②如图3,当EA=EM时,.解得x=1.‎ ‎③如图4,当MA=ME时,△MEA∽△ABC.所以.解得x=.‎ 图2 图3 图4‎ 例2 2014年泰州市中考第16题 如图1,正方形ABCD的边长为‎3cm,E为CD边上一点,∠DAE=30°,M为AE的中点,过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q.若PQ=AE,则AP的长等于__________cm.‎ 图1‎ 答案 1或2.思路如下:如图2,当PQ=AE时,可证PQ与AE互相垂直.‎ 在Rt△ADE中,由∠DAE=30°,AD=3,可得AE=.‎ 在Rt△APM中,由∠PAM=30°,AM=,可得AP=2.‎ 在图3中,∠ADF=30°,当PQ=DF时,DP=2,所以AP=1.‎ 图2 图3‎ ‎4.5四边形 例1 2015年安徽省中考第9题 如图1,矩形ABCD中,AB=8,BC=4.点E在边AB上,点F在边CD上,点G、H在对角线AC上.若四边形EGFH是菱形,则AE的长是( ).‎ A. B. C.5 D.6‎ 图1‎ 答案 C.思路如下:‎ 如图3,在Rt△ABC中,AB=8,BC=4,所以AC=.‎ 由cos∠BAC=,得.所以AE=5.‎ 图2 图3‎ 例2 2014年广州市中考第8题 将四根长度相等的细木条首尾相接,用钉子钉成四边形ABCD,转动这个四边形,使它形状改变.当∠B=90°时,如图1,测得AC=2.当∠B=60°时,如图2,AC等于( ).‎ ‎(A); (B)2; (C) ; (D) 2.‎ 图1 图2‎ 答案 (A).思路如下:‎ ‎4.6圆 例1 2015年兰州市中考第15题 如图1,⊙O的半径为2,AB,CD是互相垂直的两条直径,点P是⊙O上任意一点(P与A,B,C,D不重合),过点P作PM⊥AB于点M,PN⊥CD于点N,点Q是MN的中点,当点P沿着圆周转过45°时,点Q走过的路径长为__________.‎ A. B. C. D. ‎ 图1 ‎ 答案 A.思路如下:‎ 如图2,四边形PMON是矩形,对角线MN与OP互相平分且相等,因此点Q是OP的中点.‎ 如图3,当∠DOP=45°时,的长为.‎ 图2 图3‎ 例2 2014年温州市中考第16题 如图1,在矩形ABCD中,AD=8,E是AB边上一点,且AE=AB,⊙O经过点E,与边CD所在直线相切于点G(∠GEB为锐角),与边AB所在直线相交于另一点F,且EG∶EF=∶2.当边AD或BC所在的直线与⊙O相切时,AB的长是________.‎ 图1‎ 答案 12或4.思路如下:‎ 如图2,在Rt△GEH中,由GH=8,EG∶EF=∶2,可以得到EH=4.‎ 在Rt△OEH中,设⊙O的半径为r,由勾股定理,得r2=42+(8-r)2.解得r=5.‎ 设AE=x,那么AB=4x.‎ 如图3,当⊙O与BC相切时,HB=r=5.‎ 由AB=AE+EH+HB,得4x=x+4+5.解得x=3.此时AB=12.‎ 如图4,当⊙O与AD相切时,HA=r=5.‎ 由AE=AH-EH,得x=5-4=1.此时AB=4.‎ 图2 图3 图4‎ ‎4.7函数图像的性质 例1 2015年青岛市中考第8题 如图1,正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于A、B两点,其中点A的横坐标为2,当y1>y2时,x的取值范围是( ).‎ A.x<-2或x>2 B. x<-2或0<x<2‎ C.-2<x<0或0<x<2 D.-2<x<0或x>2‎ 图1‎ 答案 D.如图2所示.‎ 图2‎ 例2 2014年苏州市中考第18题 如图1,直线l与半径为4的⊙O相切于点A,P是⊙O上一个动点(不与点A重合),过点P作PB⊥l,垂足为B,联结PA.设PA=x,PB=y,则(x-y)的最大值是_____.‎ 图1‎ 答案 2.思路如下:如图3,AC为⊙O的直径,联结PC.‎ 由△ACP∽△PAB,得,即.所以.‎ 因此.‎ 所以当x=4时,x-y最大,最大值为2.‎