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- 2021-05-10 发布
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目 录
第一部分 函数图象中点的存在性问题 2
1.1 因动点产生的相似三角形问题 2
1.2 因动点产生的等腰三角形问题 11
1.3 因动点产生的直角三角形问题 19
1.4 因动点产生的平行四边形问题 31
1.5 因动点产生的面积问题 41
1.6 因动点产生的线段和差问题 51
第二部分 函数图象中点的存在性问题 56
2.1 由比例线段产生的函数关系问题 56
2.2 由面积产生的函数关系问题 58
第三部分图形运动中的计算说理问题 67
3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题 67
3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题 71
第四部分 图形的平移翻折与旋转 75
第一部分 函数图象中点的存在性问题
1.1 因动点产生的相似三角形问题
例1 2015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第24题
如图1,在平面直角坐标系中,双曲线(k≠0)与直线y=x+2都经过点A(2, m).
(1)求k与m的值;
(2)此双曲线又经过点B(n, 2),过点B的直线BC与直线y=x+2平行交y轴于点C,联结AB、AC,求△ABC的面积;
(3)在(2)的条件下,设直线y=x+2与y轴交于点D,在射线CB上有一点E,如果以点A、C、E所组成的三角形与△ACD相似,且相似比不为1,求点E的坐标.
图1
满分解答
(1)将点A(2, m)代入y=x+2,得m=4.所以点A的坐标为(2, 4).
将点A(2, 4)代入,得k=8.
(2)将点B(n, 2),代入,得n=4.
所以点B的坐标为(4, 2).
设直线BC为y=x+b,代入点B(4, 2),得b=-2.
所以点C的坐标为(0,-2).
由A(2, 4) 、B(4, 2) 、C (0,-2),可知A、B两点间的水平距离和竖直距离都是2,B、C两点间的水平距离和竖直距离都是4.
所以AB=,BC=,∠ABC=90°. 图2
所以S△ABC===8.
(3)由A(2, 4) 、D(0, 2) 、C (0,-2),得AD=,AC=.
由于∠DAC+∠ACD=45°,∠ACE+∠ACD=45°,所以∠DAC=∠ACE.
所以△ACE与△ACD相似,分两种情况:
①如图3,当时,CE=AD=.
此时△ACD≌△CAE,相似比为1.
②如图4,当时,.解得CE=.此时C、E两点间的水平距离和竖直距离都是10,所以E(10, 8).
图3 图4
考点伸展
第(2)题我们在计算△ABC的面积时,恰好△ABC是直角三角形.
一般情况下,在坐标平面内计算图形的面积,用割补法.
如图5,作△ABC的外接矩形HCNM,MN//y轴.
由S矩形HCNM=24,S△AHC=6,S△AMB=2,S△BCN=8,得S△ABC=8.
图5
例2 2014年武汉市中考第24题
如图1,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6 cm,BC=8 cm,动点P从点B出发,在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动,同时动点Q从点C出发,在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动,运动时间为t秒(0<t<2),连接PQ.
(1)若△BPQ与△ABC相似,求t的值;
(2)如图2,连接AQ、CP,若AQ⊥CP,求t的值;
(3)试证明:PQ的中点在△ABC的一条中位线上.
图1 图2
满分解答
(1)Rt△ABC中,AC=6,BC=8,所以AB=10.
△BPQ与△ABC相似,存在两种情况:
① 如果,那么.解得t=1.
② 如果,那么.解得.
图3 图4
(2)作PD⊥BC,垂足为D.
在Rt△BPD中,BP=5t,cosB=,所以BD=BPcosB=4t,PD=3t.
当AQ⊥CP时,△ACQ∽△CDP.
所以,即.解得.
图5 图6
(3)如图4,过PQ的中点H作BC的垂线,垂足为F,交AB于E.
由于H是PQ的中点,HF//PD,所以F是QD的中点.
又因为BD=CQ=4t,所以BF=CF.
因此F是BC的中点,E是AB的中点.
所以PQ的中点H在△ABC的中位线EF上.
考点伸展
本题情景下,如果以PQ为直径的⊙H与△ABC的边相切,求t的值.
如图7,当⊙H与AB相切时,QP⊥AB,就是,.
如图8,当⊙H与BC相切时,PQ⊥BC,就是,t=1.
如图9,当⊙H与AC相切时,直径,
半径等于FC=4.所以.
解得,或t=0(如图10,但是与已知0<t<2矛盾).
图7 图 8 图9 图10
例3 2012年苏州市中考第29题
如图1,已知抛物线(b是实数且b>2)与x轴的正半轴分别交于点A、B(点A位于点B是左侧),与y轴的正半轴交于点C.
(1)点B的坐标为______,点C的坐标为__________(用含b的代数式表示);
(2)请你探索在第一象限内是否存在点P,使得四边形PCOB的面积等于2b,且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由;
(3)请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q,使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似(全等可看作相似的特殊情况)?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.
图1
满分解答
(1)B的坐标为(b, 0),点C的坐标为(0, ).
(2)如图2,过点P作PD⊥x轴,PE⊥y轴,垂足分别为D、E,那么△PDB≌△PEC.
因此PD=PE.设点P的坐标为(x, x).如图3,联结OP.
所以S四边形PCOB=S△PCO+S△PBO==2b.
解得.所以点P的坐标为().
图2 图3
(3)由,得A(1, 0),OA=1.
①如图4,以OA、OC为邻边构造矩形OAQC,那么△OQC≌△QOA.
当,即时,△BQA∽△QOA.
所以.解得.所以符合题意的点Q为().
②如图5,以OC为直径的圆与直线x=1交于点Q,那么∠OQC=90°。
因此△OCQ∽△QOA.
当时,△BQA∽△QOA.此时∠OQB=90°.
所以C、Q、B三点共线.因此,即.解得.此时Q(1,4).
图4 图5
考点伸展
第(3)题的思路是,A、C、O三点是确定的,B是x轴正半轴上待定的点,而∠QOA与∠QOC是互余的,那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况.
这样,先根据△QOA与△QOC相似把点Q的位置确定下来,再根据两直角边对应成比例确定点B的位置.
如图中,圆与直线x=1的另一个交点会不会是符合题意的点Q呢?
如果符合题意的话,那么点B的位置距离点A很近,这与OB=4OC矛盾.
例4 2012年黄冈市中考模拟第25题
如图1,已知抛物线的方程C1: (m>0)与x轴交于点B、C,与y轴交于点E,且点B在点C的左侧.
(1)若抛物线C1过点M(2, 2),求实数m的值;
(2)在(1)的条件下,求△BCE的面积;
(3)在(1)的条件下,在抛物线的对称轴上找一点H,使得BH+EH最小,求出点H的坐标;
(4)在第四象限内,抛物线C1上是否存在点F,使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由.
图1
满分解答
(1)将M(2, 2)代入,得.解得m=4.
(2)当m=4时,.所以C(4, 0),E(0, 2).
所以S△BCE=.
(3)如图2,抛物线的对称轴是直线x=1,当H落在线段EC上时,BH+EH最小.
设对称轴与x轴的交点为P,那么.
因此.解得.所以点H的坐标为.
(4)①如图3,过点B作EC的平行线交抛物线于F,过点F作FF′⊥x轴于F′.
由于∠BCE=∠FBC,所以当,即时,△BCE∽△FBC.
设点F的坐标为,由,得.
解得x=m+2.所以F′(m+2, 0).
由,得.所以.
由,得.
整理,得0=16.此方程无解.
图2 图3 图4
②如图4,作∠CBF=45°交抛物线于F,过点F作FF′⊥x轴于F′,
由于∠EBC=∠CBF,所以,即时,△BCE∽△BFC.
在Rt△BFF′中,由FF′=BF′,得.
解得x=2m.所以F′.所以BF′=2m+2,.
由,得.解得.
综合①、②,符合题意的m为.
考点伸展
第(4)题也可以这样求BF的长:在求得点F′、F的坐标后,根据两点间的距离公式求BF的长.
例5 2010年义乌市中考第24题
如图1,已知梯形OABC,抛物线分别过点O(0,0)、A(2,0)、B(6,3).
(1)直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标;
(2)将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移,分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1,得到如图2的梯形O1A1B1C1.设梯形O1A1B1C1的面积为S,A1、 B1的坐标分别为 (x1,y1)、(x2,y2).用含S的代数式表示x2-x1,并求出当S
=36时点A1的坐标;
(3)在图1中,设点D的坐标为(1,3),动点P从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动,动点Q从点D出发,以与点P相同的速度沿着线段DM运动.P、Q两点同时出发,当点Q到达点M时,P、Q两点同时停止运动.设P、Q两点的运动时间为t,是否存在某一时刻t,使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.
图1 图2
满分解答
(1)抛物线的对称轴为直线,解析式为,顶点为M(1,).
(2) 梯形O1A1B1C1的面积,由此得到.由于,所以.整理,得.因此得到.
当S=36时, 解得 此时点A1的坐标为(6,3).
(3)设直线AB与PQ交于点G,直线AB与抛物线的对称轴交于点E,直线PQ与x轴交于点F,那么要探求相似的△GAF与△GQE,有一个公共角∠G.
在△GEQ中,∠GEQ是直线AB与抛物线对称轴的夹角,为定值.
在△GAF中,∠GAF是直线AB与x轴的夹角,也为定值,而且∠GEQ≠∠GAF.
因此只存在∠GQE=∠GAF的可能,△GQE∽△GAF.这时∠GAF=∠GQE=∠PQD.
由于,,所以.解得.
图3 图4
考点伸展
第(3)题是否存在点G在x轴上方的情况?如图4,假如存在,说理过程相同,求得的t的值也是相同的.事实上,图3和图4都是假设存在的示意图,实际的图形更接近图3.
例6 2009年临沂市中考第26题
如图1,抛物线经过点A(4,0)、B(1,0)、C(0,-2)三点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)P是抛物线上的一个动点,过P作PM⊥x轴,垂足为M,是否存在点P,使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似?若存在,请求出符合条件的 点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)在直线AC上方的抛物线是有一点D,使得△DCA的面积最大,求出点D的坐标.
,
图1
满分解答
(1)因为抛物线与x轴交于A(4,0)、B(1,0)两点,设抛物线的解析式为,代入点C的 坐标(0,-2),解得.所以抛物线的解析式为.
(2)设点P的坐标为.
①如图2,当点P在x轴上方时,1<x<4,,.
如果,那么.解得不合题意.
如果,那么.解得.
此时点P的坐标为(2,1).
②如图3,当点P在点A的右侧时,x>4,,.
解方程,得.此时点P的坐标为.
解方程,得不合题意.
③如图4,当点P在点B的左侧时,x<1,,.
解方程,得.此时点P的坐标为.
解方程,得.此时点P与点O重合,不合题意.
综上所述,符合条件的 点P的坐标为(2,1)或或.
图2 图3 图4
(3)如图5,过点D作x轴的垂线交AC于E.直线AC的解析式为.
设点D的横坐标为m,那么点D的坐标为,点E的坐标为.所以.
因此.
当时,△DCA的面积最大,此时点D的坐标为(2,1).
图5 图6
考点伸展
第(3)题也可以这样解:
如图6,过D点构造矩形OAMN,那么△DCA的面积等于直角梯形CAMN的面积减去△CDN和△ADM的面积.
设点D的横坐标为(m,n),那么
.
由于,所以.
1.2 因动点产生的等腰三角形问题
例1 2015年重庆市中考第25题
如图1,在△ABC中,ACB=90°,∠BAC=60°,点E是∠BAC的平分线上一点,过点E作AE的垂线,过点A作AB的垂线,两垂线交于点D,连接DB,点F是BD的中点,DH⊥AC,垂足为H,连接EF,HF.
(1)如图1,若点H是AC的中点,AC=,求AB、BD的长;
(2)如图1,求证:HF=EF.
(3)如图2,连接CF、CE,猜想:△CEF是否是等边三角形?若是,请证明;若不是,请说明理由.
图1 图2
满分解答
(1)如图3,在Rt△ABC中,∠BAC=60°,AC=,所以AB=.
在Rt△ADH中,∠DAH=30°,AH=,所以DH=1,AD=2.
在Rt△ADB中,AD=2,AB=,由勾股定理,得BD=.
(2)如图4,由∠DAB=90°,∠BAC=60°,AE平分∠BAC,得∠DAE=60°,
∠DAH=30°.
在Rt△ADE中,AE=.在Rt△ADH中,DH=.所以AE=DH.
因为点F是Rt△ABD的斜边上的中线,所以FA=FD,∠FAD=∠FDA.
所以∠FAE=∠FDH.所以△FAE≌△FDH.所以EF=HF.
图3 图4 图5
(3)如图5,作FM⊥AB于M,联结CM.
由FM//DA,F是DB的中点,得M是AB的中点.
因此FM=,△ACM是等边三角形.
又因为AE=,所以FM=EA.
又因为CM=CA,∠CMF=∠CAE=30°,所以△CMF≌△CAE.
所以∠MCF=∠ACE,CF=CE.
所以∠ECF=∠ACM=60°.所以△CEF是等边三角形.
考点伸展
我们再看几个特殊位置时的效果图,看看有没有熟悉的感觉.
如图6,如图7,当点F落在BC边上时,点H与点C重合.
图6 图7
如图8,图9,点E落在BC边上.如图10,图11,等腰梯形ABEC.
图8 图9 图10 图11
例2 2014年长沙市中考第26题
如图1,抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的对称轴为y轴,且经过(0,0)和两点,点P在该抛物线上运动,以点P为圆心的⊙P总经过定点A(0, 2).
(1)求a、b、c的值;
(2)求证:在点P运动的过程中,⊙P始终与x轴相交;
(3)设⊙P与x轴相交于M(x1, 0)、N(x2, 0)两点,当△AMN为等腰三角形时,求圆心P的纵坐标.
图1
满分解答
(1)已知抛物线的顶点为(0,0),所以y=ax2.所以b=0,c=0.
将代入y=ax2,得.解得(舍去了负值).
(2)抛物线的解析式为,设点P的坐标为.
已知A(0, 2),所以>.
而圆心P到x轴的距离为,所以半径PA>圆心P到x轴的距离.
所以在点P运动的过程中,⊙P始终与x轴相交.
(3)如图2,设MN的中点为H,那么PH垂直平分MN.
在Rt△PMH中,,,所以MH2=4.
所以MH=2.因此MN=4,为定值.
等腰△AMN存在三种情况:
①如图3,当AM=AN时,点P为原点O重合,此时点P的纵坐标为0.
图2 图3
②如图4,当MA=MN时,在Rt△AOM中,OA=2,AM=4,所以OM=2.
此时x=OH=2.所以点P的纵坐标为.
③如图5,当NA=NM时,点P的纵坐标为也为.
图4 图5
考点伸展
如果点P在抛物线上运动,以点P为圆心的⊙P总经过定点B(0, 1),那么在点P运动的过程中,⊙P始终与直线y=-1相切.这是因为:
设点P的坐标为.
已知B(0, 1),所以.
而圆心P到直线y=-1的距离也为,所以半径PB=圆心P到直线y=-1的距离.所以在点P运动的过程中,⊙P始终与直线y=-1相切.
例3 2013年上海市虹口区中考模拟第25题
如图1,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=6,AC=8,点D为边BC的中点,DE⊥BC交边AC于点E,点P为射线AB上的一动点,点Q为边AC上的一动点,且∠PDQ=90°.
(1)求ED、EC的长;
(2)若BP=2,求CQ的长;
(3)记线段PQ与线段DE的交点为F,若△PDF为等腰三角形,求BP的长.
图1 备用图
满分解答
(1)在Rt△ABC中, AB=6,AC=8,所以BC=10.
在Rt△CDE中,CD=5,所以,.
(2)如图2,过点D作DM⊥AB,DN⊥AC,垂足分别为M、N,那么DM、DN是
△ABC的两条中位线,DM=4,DN=3.
由∠PDQ=90°,∠MDN=90°,可得∠PDM=∠QDN.
因此△PDM∽△QDN.
所以.所以,.
图2 图3 图4
①如图3,当BP=2,P在BM上时,PM=1.
此时.所以.
②如图4,当BP=2,P在MB的延长线上时,PM=5.
此时.所以.
(3)如图5,如图2,在Rt△PDQ中,.
在Rt△ABC中,.所以∠QPD=∠C.
由∠PDQ=90°,∠CDE=90°,可得∠PDF=∠CDQ.
因此△PDF∽△CDQ.
当△PDF是等腰三角形时,△CDQ也是等腰三角形.
①如图5,当CQ=CD=5时,QN=CQ-CN=5-4=1(如图3所示).
此时.所以.
②如图6,当QC=QD时,由,可得.
所以QN=CN-CQ=(如图2所示).
此时.所以.
③不存在DP=DF的情况.这是因为∠DFP≥∠DQP>∠DPQ(如图5,图6所示).
图5 图6
考点伸展
如图6,当△CDQ是等腰三角形时,根据等角的余角相等,可以得到△BDP也是等腰三角形,PB=PD.在△BDP中可以直接求解.
例4 2012年扬州市中考第27题
如图1,抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点,直线l是抛物线的对称轴.
(1)求抛物线的函数关系式;
(2)设点P是直线l上的一个动点,当△PAC的周长最小时,求点P的坐标;
(3)在直线l上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形,若存在,直接写出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.
图1
满分解答
(1)因为抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3, 0)两点,设y=a(x+1)(x-3),
代入点C(0 ,3),得-3a=3.解得a=-1.
所以抛物线的函数关系式是y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3.
(2)如图2,抛物线的对称轴是直线x=1.
当点P落在线段BC上时,PA+PC最小,△PAC的周长最小.
设抛物线的对称轴与x轴的交点为H.
由,BO=CO,得PH=BH=2.
所以点P的坐标为(1, 2).
图2
(3)点M的坐标为(1, 1)、(1,)、(1,)或(1,0).
考点伸展
第(3)题的解题过程是这样的:
设点M的坐标为(1,m).
在△MAC中,AC2=10,MC2=1+(m-3)2,MA2=4+m2.
①如图3,当MA=MC时,MA2=MC2.解方程4+m2=1+(m-3)2,得m=1.
此时点M的坐标为(1, 1).
②如图4,当AM=AC时,AM2=AC2.解方程4+m2=10,得.
此时点M的坐标为(1,)或(1,).
③如图5,当CM=CA时,CM2=CA2.解方程1+(m-3)2=10,得m=0或6.
当M(1, 6)时,M、A、C三点共线,所以此时符合条件的点M的坐标为(1,0).
图3 图4 图5
例5 2012年临沂市中考第26题
如图1,点A在x轴上,OA=4,将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置.
(1)求点B的坐标;
(2)求经过A、O、B的抛物线的解析式;
(3)在此抛物线的对称轴上,是否存在点P,使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.
图1
满分解答
(1)如图2,过点B作BC⊥y轴,垂足为C.
在Rt△OBC中,∠BOC=30°,OB=4,所以BC=2,.
所以点B的坐标为.
(2)因为抛物线与x轴交于O、A(4, 0),设抛物线的解析式为y=ax(x-4),
代入点B,.解得.
所以抛物线的解析式为.
(3)抛物线的对称轴是直线x=2,设点P的坐标为(2, y).
①当OP=OB=4时,OP2=16.所以4+y2=16.解得.
当P在时,B、O、P三点共线(如图2).
②当BP=BO=4时,BP2=16.所以.解得.
③当PB=PO时,PB2=PO2.所以.解得.
综合①、②、③,点P的坐标为,如图2所示.
图2 图3
考点伸展
如图3,在本题中,设抛物线的顶点为D,那么△DOA与△OAB是两个相似的等腰三角形.
由,得抛物线的顶点为.
因此.所以∠DOA=30°,∠ODA=120°.
例6 2011年盐城市中考第28题
如图1,已知一次函数y=-x+7与正比例函数 的图象交于点A,且与x轴交于点B.
(1)求点A和点B的坐标;
(2)过点A作AC⊥y轴于点C,过点B作直线l//y轴.动点P从点O出发,以每秒1个单位长的速度,沿O—C—A的路线向点A运动;同时直线l从点B出发,以相同速度向左平移,在平移过程中,直线l交x轴于点R,交线段BA或线段AO于点Q.当点P到达点A时,点P和直线l都停止运动.在运动过程中,设动点P运动的时间为t秒.
①当t为何值时,以A、P、R为顶点的三角形的面积为8?
②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求t的值;若不存在,请说明理由.
图1
满分解答
(1)解方程组 得 所以点A的坐标是(3,4).
令,得.所以点B的坐标是(7,0).
(2)①如图2,当P在OC上运动时,0≤t<4.由,得.整理,得.解得t=2或t=6(舍去).如图3,当P在CA上运动时,△APR的最大面积为6.
因此,当t=2时,以A、P、R为顶点的三角形的面积为8.
图2 图3 图4
②我们先讨论P在OC上运动时的情形,0≤t<4.
如图1,在△AOB中,∠B=45°,∠AOB>45°,OB=7,,所以OB>AB.因此∠OAB>∠AOB>∠B.
如图4,点P由O向C运动的过程中,OP=BR=RQ,所以PQ//x轴.
因此∠AQP=45°保持不变,∠PAQ越来越大,所以只存在∠APQ=∠AQP的情况.
此时点A在PQ的垂直平分线上,OR=2CA=6.所以BR=1,t=1.
我们再来讨论P在CA上运动时的情形,4≤t<7.
在△APQ中, 为定值,,.
如图5,当AP=AQ时,解方程,得.
如图6,当QP=QA时,点Q在PA的垂直平分线上,AP=2(OR-OP).解方程,得.
如7,当PA=PQ时,那么.因此.解方程,得.
综上所述,t=1或或5或时,△APQ是等腰三角形.
图5 图6 图7
考点伸展
当P在CA上,QP=QA时,也可以用来求解.
1.3 因动点产生的直角三角形问题
例1 2015年上海市虹口区中考模拟第25题
如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=13,CD//AB,点E为射线CD上一动点(不与点C重合),联结AE交边BC于F,∠BAE的平分线交BC于点G.
(1)当CE=3时,求S△CEF∶S△CAF的值;
(2)设CE=x,AE=y,当CG=2GB时,求y与x之间的函数关系式;
(3)当AC=5时,联结EG,若△AEG为直角三角形,求BG的长.
图1
满分解答
(1)如图2,由CE//AB,得.
由于△CEF与△CAF是同高三角形,
所以S△CEF∶S△CAF=3∶13.
(2)如图3,延长AG交射线CD于M. 图2
由CM//AB,得.所以CM=2AB=26.
由CM//AB,得∠EMA=∠BAM.
又因为AM平分∠BAE,所以∠BAM=∠EAM.
所以∠EMA=∠EAM.所以y=EA=EM=26-x.
图3 图4
(3)在Rt△ABC中, AB=13,AC=5,所以BC=12.
①如图 4,当∠AGE=90°时,延长EG交AB于N,那么△AGE≌△AGN.
所以G是EN的中点.
所以G是BC的中点,BG=6.
②如图5,当∠AEG=90°时,由△CAF∽△EGF,得.
由CE//AB,得.
所以.又因为∠AFG=∠BFA,所以△AFG∽△BFA.
所以∠FAG=∠B.所以∠GAB=∠B.所以GA=GB.
作GH⊥AH,那么BH=AH=.
在Rt△GBH中,由cos∠B=,得BG=÷=.
图5 图6
考点伸展
第(3)题的第②种情况,当∠AEG=90°时的核心问题是说理GA=GB.
如果用四点共圆,那么很容易.
如图6,由A、C、E、G四点共圆,直接得到∠2=∠4.
上海版教材不学习四点共圆,比较麻烦一点的思路还有:
如图7,当∠AEG=90°时,设AG的中点为P,那么PC和PE分别是Rt△ACG和Rt△AEG斜边上的中线,所以PC=PE=PA=PG.
所以∠1=2∠2,∠3=2∠5.
如图8,在等腰△PCE中,∠CPE=180°-2(∠4+∠5),
又因为∠CPE=180°-(∠1+∠3),所以∠1+∠3=2(∠4+∠5).所以∠1=2∠4.
所以∠2=∠4=∠B.所以∠GAB=∠B.所以GA=GB.
图7 图8
例2 2014年苏州市中考第29题
如图1,二次函数y=a(x2-2mx-3m2)(其中a、m是常数,且a>0,m>0)的图像与x轴分别交于A、B(点A位于点B的左侧),与y轴交于点C(0,-3),点D在二次函数的图像上,CD//AB,联结AD.过点A作射线AE交二次函数的图像于点E,AB平分∠DAE.
(1)用含m的式子表示a;
(2)求证:为定值;
(3)设该二次函数的图像的顶点为F.探索:在x轴的负半轴上是否存在点G,联结GF,以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形?如果存在,只要找出一个满足要求的点G即可,并用含m的代数式表示该点的横坐标;如果不存在,请说明理由.
图1
满分解答
(1)将C(0,-3)代入y=a(x2-2mx-3m2),得-3=-3am2.因此.
(2)由y=a(x2-2mx-3m2)=a(x+m)(x-3m)=a(x-m)2-4axm2=a(x-m)2-4,
得A(-m, 0),B(3m, 0),F(m, -4),对称轴为直线x=m.
所以点D的坐标为(2m,-3).
设点E的坐标为(x, a(x+m)(x-3m)).
如图2,过点D、E分别作x轴的垂线,垂足分别为D′、E′.
由于∠EAE′=∠DAD′,所以.因此.
所以am(x-3m)=1.结合,于是得到x=4m.
当x=4m时,y=a(x+m)(x-3m)=5am2=5.所以点E的坐标为(4m, 5).
所以.
图2 图3
(3)如图3,由E(4m, 5)、D(2m,-3)、F(m,-4),
可知点E、D、F到x轴的距离分别为5、4、3.
那么过点F作AD的平行线与x轴的负半轴的交点,就是符合条件的点G.
证明如下:作FF′⊥x轴于F′,那么.
因此.所以线段GF、AD、AE的长围成一个直角三角形.
此时GF′=4m.所以GO=3m,点G的坐标为(-3m, 0).
考点伸展
第(3)题中的点G的另一种情况,就是GF为直角三角形的斜边.
此时.因此.
所以.此时.
例3 2013年山西省中考第26题
如图1,抛物线与x轴交于A、B两点(点B在点A的右侧),与y轴交于点C,连结BC,以BC为一边,点O为对称中心作菱形BDEC,点P是x轴上的一个动点,设点P的坐标为(m, 0),过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q.
(1)求点A、B、C的坐标;
(2)当点P在线段OB上运动时,直线l分别交BD、BC于点M、N.试探究m为何值时,四边形CQMD是平行四边形,此时,请判断四边形CQBM的形状,并说明理由;
(3)当点P在线段EB上运动时,是否存在点Q,使△BDQ为直角三角形,若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
图1
满分解答
(1)由,得A(-2,0),B(8,0),C(0,-4).
(2)直线DB的解析式为.
由点P的坐标为(m, 0),可得,.
所以MQ=.
当MQ=DC=8时,四边形CQMD是平行四边形.
解方程,得m=4,或m=0(舍去).
此时点P是OB的中点,N是BC的中点,N(4,-2),Q(4,-6).
所以MN=NQ=4.所以BC与MQ互相平分.
所以四边形CQBM是平行四边形.
图2 图3
(3)存在两个符合题意的点Q,分别是(-2,0),(6,-4).
考点伸展
第(3)题可以这样解:设点Q的坐标为.
①如图3,当∠DBQ=90°时, .所以.
解得x=6.此时Q(6,-4).
②如图4,当∠BDQ=90°时, .所以.
解得x=-2.此时Q(-2,0).
图3 图4
例4 2012年广州市中考第24题
如图1,抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.
(1)求点A、B的坐标;
(2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点,当△ACD的面积等于△ACB的面积时,求点D的坐标;
(3)若直线l过点E(4, 0),M为直线l上的动点,当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时,求直线l的解析式.
图1
满分解答
(1)由,
得抛物线与x轴的交点坐标为A(-4, 0)、B(2, 0).对称轴是直线x=-1.
(2)△ACD与△ACB有公共的底边AC,当△ACD的面积等于△ACB的面积时,点B、D到直线AC的距离相等.
过点B作AC的平行线交抛物线的对称轴于点D,在AC的另一侧有对应的点D′.
设抛物线的对称轴与x轴的交点为G,与AC交于点H.
由BD//AC,得∠DBG=∠CAO.所以.
所以,点D的坐标为.
因为AC//BD,AG=BG,所以HG=DG.
而D′H=DH,所以D′G=3DG.所以D′的坐标为.
图2 图3
(3)过点A、B分别作x轴的垂线,这两条垂线与直线l总是有交点的,即2个点M.
以AB为直径的⊙G如果与直线l相交,那么就有2个点M;如果圆与直线l相切,就只有1个点M了.
联结GM,那么GM⊥l.
在Rt△EGM中,GM=3,GE=5,所以EM=4.
在Rt△EM1A中,AE=8,,所以M1A=6.
所以点M1的坐标为(-4, 6),过M1、E的直线l为.
根据对称性,直线l还可以是.
考点伸展
第(3)题中的直线l恰好经过点C,因此可以过点C、E求直线l的解析式.
在Rt△EGM中,GM=3,GE=5,所以EM=4.
在Rt△ECO中,CO=3,EO=4,所以CE=5.
因此三角形△EGM≌△ECO,∠GEM=∠CEO.所以直线CM过点C.
例5 2012年杭州市中考第22题
在平面直角坐标系中,反比例函数与二次函数y=k(x2+x-1)的图象交于点A(1,k)和点B(-1,-k).
(1)当k=-2时,求反比例函数的解析式;
(2)要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大,求k应满足的条件以及x的取值范围;
(3)设二次函数的图象的顶点为Q,当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时,求k的值.
满分解答
(1)因为反比例函数的图象过点A(1,k),所以反比例函数的解析式是.
当k=-2时,反比例函数的解析式是.
(2)在反比例函数中,如果y随x增大而增大,那么k<0.
当k<0时,抛物线的开口向下,在对称轴左侧,y随x增大而增大.
抛物线y=k(x2+x+1)=的对称轴是直线. 图1
所以当k<0且时,反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大.
(3)抛物线的顶点Q的坐标是,A、B关于原点O中心对称,
当OQ=OA=OB时,△ABQ是以AB为直径的直角三角形.
由OQ2=OA2,得.
解得(如图2),(如图3).
图2 图3
考点伸展
如图4,已知经过原点O的两条直线AB与CD分别与双曲线(k>0)交于A、B和C、D,那么AB与CD互相平分,所以四边形ACBD是平行四边形.
问平行四边形ABCD能否成为矩形?能否成为正方形?
如图5,当A、C关于直线y=x对称时,AB与CD互相平分且相等,四边形ABCD是矩形.
因为A、C可以无限接近坐标系但是不能落在坐标轴上,所以OA与OC无法垂直,因此四边形ABCD不能成为正方形.
图4 图5
例6 2011年浙江省中考第23题
设直线l1:y=k1x+b1与l2:y=k2x+b2,若l1⊥l2,垂足为H
,则称直线l1与l2是点H的直角线.
(1)已知直线①;②;③;④和点C(0,2),则直线_______和_______是点C的直角线(填序号即可);
(2)如图,在平面直角坐标系中,直角梯形OABC的顶点A(3,0)、B(2,7)、C(0,7),P为线段OC上一点,设过B、P两点的直线为l1,过A、P两点的直线为l2,若l1与l2是点P的直角线,求直线l1与l2的解析式.
图1
答案
(1)直线①和③是点C的直角线.
(2)当∠APB=90°时,△BCP∽△POA.那么,即.解得OP=6或OP=1.
如图2,当OP=6时,l1:, l2:y=-2x+6.
如图3,当OP=1时,l1:y=3x+1, l2:.
图2 图3
例7 2010年北京市中考第24题
在平面直角坐标系xOy中,抛物线与x轴的交点分别为原点O和点A,点B(2,n)在这条抛物线上.
(1)求点B的坐标;
(2)点P在线段OA上,从点O出发向点A运动,过点P作x轴的垂线,与直线OB交于点E,延长PE到点D,使得ED=PE,以PD为斜边,在PD右侧作等腰直角三角形PCD(当点P运动时,点C、D也随之运动).
①当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时,求OP的长;
②若点P从点O出发向点A作匀速运动,速度为每秒1个单位,同时线段OA上另一个点Q从点A出发向点O作匀速运动,速度为每秒2个单位(当点Q到达点O时停止运动,点P也停止运动).过Q作x轴的垂线,与直线AB交于点F,延长QF到点M,使得FM=QF,以QM为斜边,在QM的左侧作等腰直角三角形QMN(当点Q运动时,点M、N也随之运动).若点P运动到t秒时,两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上,求此刻t的值.
图1
满分解答
(1) 因为抛物线经过原点,所以. 解得,(舍去).因此.所以点B的坐标为(2,4).
(2) ①如图4,设OP的长为t,那么PE=2t,EC=2t,点C的坐标为(3t, 2t).当点C落在抛物线上时,.解得.
②如图1,当两条斜边PD与QM在同一条直线上时,点P、Q重合.此时3t=10.解得.
如图2,当两条直角边PC与MN在同一条直线上,△PQN是等腰直角三角形,PQ=PE.此时.解得.
如图3,当两条直角边DC与QN在同一条直线上,△PQC是等腰直角三角形,PQ=PD.此时.解得.
图1 图2 图3
例8 2009年嘉兴市中考第24题
如图1,已知A、B是线段MN上的两点,,,.以A
为中心顺时针旋转点M,以B为中心逆时针旋转点N,使M、N两点重合成一点C,构成△ABC,设.
(1)求x的取值范围;
(2)若△ABC为直角三角形,求x的值;
(3)探究:△ABC的最大面积?
图1
满分解答
(1)在△ABC中,,,,所以 解得.
(2)①若AC为斜边,则,即,此方程无实根.
②若AB为斜边,则,解得,满足.
③若BC为斜边,则,解得,满足.
因此当或时,△ABC是直角三角形.
(3)在△ABC中,作于D,设,△ABC的面积为S,则.
①如图2,若点D在线段AB上,则.移项,得.两边平方,得.整理,得.两边平方,得.整理,得
所以().
当时(满足),取最大值,从而S取最大值.
图2 图3
②如图3,若点D在线段MA上,则.
同理可得,().
易知此时.
综合①②得,△ABC的最大面积为.
考点伸展
第(3)题解无理方程比较烦琐,迂回一下可以避免烦琐的运算:设,
例如在图2中,由列方程.
整理,得.所以.
因此.
1.4 因动点产生的平行四边形问题
例1 2015年成都市中考第28题
如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2-2ax-3a(a<0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),经过点A的直线l:y=kx+b与y轴负半轴交于点C,与抛物线的另一个交点为D,且CD=4AC.
(1)直接写出点A的坐标,并求直线l的函数表达式(其中k、b用含a的式子表示);
(2)点E是直线l上方的抛物线上的动点,若△ACE的面积的最大值为 ,求a的值;
(3)设P是抛物线的对称轴上的一点,点Q在抛物线上,以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形?若能,求出点P的坐标;若不能,请说明理由.
图1 备用图
满分解答
(1)由y=ax2-2ax-3a=a(x+1)(x-3),得A(-1, 0).
由CD=4AC,得xD=4.所以D(4, 5a).
由A(-1, 0)、D(4, 5a),得直线l的函数表达式为y=ax+a.
(2)如图1,过点E作x轴的垂线交AD于F.
设E(x, ax2-2ax-3a),F(x, ax+a),那么EF=yE-yF=ax2-3ax-4a.
由S△ACE=S△AEF-S△CEF=
===,
得△ACE的面积的最大值为.解方程,得.
(3)已知A(-1, 0)、D(4, 5a),xP=1,以AD为分类标准,分两种情况讨论:
①如图2,如果AD为矩形的边,那么AD//QP,AD=QP,对角线AP=QD.
由xD-xA=xP-xQ,得xQ=-4.
当x=-4时,y=a(x+1)(x-3)=21a.所以Q(-4, 21a).
由yD-yA=yP-yQ,得yP=26a.所以P(1, 26a).
由AP2=QD2,得22+(26a)2=82+(16a)2.
整理,得7a2=1.所以.此时P.
②如图3,如果AD为矩形的对角线,那么AD与PQ互相平分且相等.
由xD+xA=xP+xQ,得xQ=2.所以Q(2,-3a).
由yD+yA=yP+yQ,得yP=8a.所以P(1, 8a).
由AD2=PQ2,得52+(5a)2=12+(11a)2.
整理,得4a2=1.所以.此时P.
图1 图2 图3
考点伸展
第(3)题也可以这样解.设P(1,n).
①如图2,当AD时矩形的边时,∠QPD=90°,所以,即.
解得.所以P.所以Q.
将Q代入y=a(x+1)(x-3),得.所以.
②如图3,当AD为矩形的对角线时,先求得Q(2,-3a).
由∠AQD=90°,得,即.解得.
例2 2014年陕西省中考第24题
如图1,已知抛物线C:y=-x2+bx+c经过A(-3,0)和B(0, 3)两点.将这条抛物线的顶点记为M,它的对称轴与x轴的交点记为N.
(1)求抛物线C的表达式;
(2)求点M的坐标;
(3)将抛物线C平移到抛物线C′,抛物线C′的顶点记为M′,它的对称轴与x轴的交点记为N′.如果以点M、N、M′、N′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形,那么应将抛物线C怎样平移?为什么?
图1
满分解答
(1)将A(-3,0)、B(0, 3)分别代入y=-x2+bx+c,得
解得b=-2,c=3.
所以抛物线C的表达式为y=-x2-2x+3.
(2)由y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,得顶点M的坐标为(-1,4).
(3)抛物线在平移过程中,M′N′与MN保持平行,当M′N′=MN=4时,以点M、N、M′、N′为顶点的四边形就是平行四边形.
因为平行四边形的面积为16,所以MN边对应的高NN′=4.
那么以点M、N、M′、N′为顶点的平行四边形有4种情况:
抛物线C直接向右平移4个单位得到平行四边形MNN′M′(如图2);
抛物线C直接向左平移4个单位得到平行四边形MNN′M′(如图2);
抛物线C先向右平移4个单位,再向下平移8个单位得到平行四边形MNM′N′(如图3);
抛物线C先向左平移4个单位,再向下平移8个单位得到平行四边形MNM′N′(如图3).
图2 图3
考点伸展
本题的抛物线C向右平移m个单位,两条抛物线的交点为D,那么△MM′D的面积S关于m有怎样的函数关系?
如图4,△MM′D是等腰三角形,由M(-1,4)、M′(-1+m, 4),可得点D的横坐标为.
将代入y=-(x+1)2+4,得.所以DH=.
所以S=.
图4
例3 2013年上海市松江区中考模拟第24题
如图1,已知抛物线y=-x2+bx+c经过A(0, 1)、B(4, 3)两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求tan∠ABO的值;
(3)过点B作BC⊥x轴,垂足为C,在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N,交抛物线于点M,若四边形MNCB为平行四边形,求点M的坐标.
图1
满分解答
(1)将A(0, 1)、B(4, 3)分别代入y=-x2+bx+c,得
解得,c=1.
所以抛物线的解析式是.
(2)在Rt△BOC中,OC=4,BC=3,所以OB=5.
如图2,过点A作AH⊥OB,垂足为H.
在Rt△AOH中,OA=1,,
所以. 图2
所以,.
在Rt△ABH中,.
(3)直线AB的解析式为.
设点M的坐标为,点N的坐标为,
那么.
当四边形MNCB是平行四边形时,MN=BC=3.
解方程-x2+4x=3,得x=1或x=3.
因为x=3在对称轴的右侧(如图4),所以符合题意的点M的坐标为(如图3).
图3 图4
考点伸展
第(3)题如果改为:点M是抛物线上的一个点,直线MN平行于y轴交直线AB于N,如果M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形,求点M的坐标.
那么求点M的坐标要考虑两种情况:MN=yM-yN或MN=yN-yM.
由yN-yM=4x-x2,解方程x2-4x=3,得(如图5).
所以符合题意的点M有4个:,,,.
图5
例4 2012年福州市中考第21题
如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动,动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动,过点P作PD//BC,交AB于点D,联结PQ.点P、Q分别从点A、C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动,设运动的时间为t秒(t≥0).
(1)直接用含t的代数式分别表示:QB=_______,PD=_______;
(2)是否存在t的值,使四边形PDBQ为菱形?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由,并探究如何改变点Q的速度(匀速运动),使四边形PDBQ在某一时刻为菱形,求点Q的速度;
(3)如图2,在整个运动过程中,求出线段PQ的中点M所经过的路径长.
图1 图2
满分解答
(1)QB=8-2t,PD=.
(2)如图3,作∠ABC的平分线交CA于P,过点P作PQ//AB交BC于Q,那么四边形PDBQ是菱形.
过点P作PE⊥AB,垂足为E,那么BE=BC=8.
在Rt△ABC中,AC=6,BC=8,所以AB=10. 图3
在Rt△APE中,,所以.
当PQ//AB时,,即.解得.
所以点Q的运动速度为.
(3)以C为原点建立直角坐标系.
如图4,当t=0时,PQ的中点就是AC的中点E(3,0).
如图5,当t=4时,PQ的中点就是PB的中点F(1,4).
直线EF的解析式是y=-2x+6.
如图6,PQ的中点M的坐标可以表示为(,t).经验证,点M(,t)在直线EF上.
所以PQ的中点M的运动路径长就是线段EF的长,EF=.
图4 图5 图6
考点伸展
第(3)题求点M的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数:
当t=2时,PQ的中点为(2,2).
设点M的运动路径的解析式为y=ax2+bx+c,代入E(3,0)、F(1,4)和(2,2),
得 解得a=0,b=-2,c=6.
所以点M的运动路径的解析式为y=-2x+6.
例5 2012年烟台市中考第26题
如图1,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4).以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C.动点P从点A出发,沿线段AB向点B运动,同时动点Q从点C出发,沿线段CD向点D运动.点P、Q的运动速度均为每秒1个单位,运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E.
(1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;
(2)过点E作EF⊥AD于F,交抛物线于点G,当t为何值时,△ACG的面积最大?最大值为多少?
(3)在动点P、Q运动的过程中,当t为何值时,在矩形ABCD内(包括边界)存在点H,使以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形?请直接写出t的值.
图1
满分解答
(1)A(1, 4).因为抛物线的顶点为A,设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+4,
代入点C(3, 0),可得a=-1.
所以抛物线的解析式为y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3.
(2)因为PE//BC,所以.因此.
所以点E的横坐标为.
将代入抛物线的解析式,y=-(x-1)2+4=.
所以点G的纵坐标为.于是得到.
因此.
所以当t=1时,△ACG面积的最大值为1.
(3)或.
考点伸展
第(3)题的解题思路是这样的:
因为FE//QC,FE=QC,所以四边形FECQ是平行四边形.再构造点F关于PE轴对称的点H′,那么四边形EH′CQ也是平行四边形.
再根据FQ=CQ列关于t的方程,检验四边形FECQ是否为菱形,根据EQ=CQ列关于t的方程,检验四边形EH′CQ是否为菱形.
,,,.
如图2,当FQ=CQ时,FQ2=CQ2,因此.
整理,得.解得,(舍去).
如图3,当EQ=CQ时,EQ2=CQ2,因此.
整理,得..所以,(舍去).
图2 图3
例6 2011年上海市中考第24题
已知平面直角坐标系xOy(如图1),一次函数的图象与y轴交于点A,点M在正比例函数的图象上,且MO=MA.二次函数
y=x2+bx+c的图象经过点A、M.
(1)求线段AM的长;
(2)求这个二次函数的解析式;
(3)如果点B在y轴上,且位于点A下方,点C在上述二次函数的图象上,点D在一次函数的图象上,且四边形ABCD是菱形,求点C的坐标.
图1
满分解答
(1)当x=0时,,所以点A的坐标为(0,3),OA=3.
如图2,因为MO=MA,所以点M在OA的垂直平分线上,点M的纵坐标为.将代入,得x=1.所以点M的坐标为.因此.
(2)因为抛物线y=x2+bx+c经过A(0,3)、M,所以解得,.所以二次函数的解析式为.
(3)如图3,设四边形ABCD为菱形,过点A作AE⊥CD,垂足为E.
在Rt△ADE中,设AE=4m,DE=3m,那么AD=5m.
因此点C的坐标可以表示为(4m,3-2m).将点C(4m,3-2m)代入,得.解得或者m=0(舍去).
因此点C的坐标为(2,2).
图2 图3
考点伸展
如果第(3)题中,把“四边形ABCD是菱形”改为“以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形”,那么还存在另一种情况:
如图4,点C的坐标为.
图4
例7 2011年江西省中考第24题
将抛物线c1:沿x轴翻折,得到抛物线c2,如图1所示.
(1)请直接写出抛物线c2的表达式;
(2)现将抛物线c1向左平移m个单位长度,平移后得到新抛物线的顶点为M,与x轴的交点从左到右依次为A、B;将抛物线c2向右也平移m个单位长度,平移后得到新抛物线的顶点为N,与x轴的交点从左到右依次为D、E.
①当B、D是线段AE的三等分点时,求m的值;
②在平移过程中,是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形?若存在,请求出此时m的值;若不存在,请说明理由.
图1
满分解答
(1)抛物线c2的表达式为.
(2)抛物线c1:与x轴的两个交点为(-1,0)、(1,0),顶点为.
抛物线c2:与x轴的两个交点也为(-1,0)、(1,0),顶点为.
抛物线c1向左平移m个单位长度后,顶点M的坐标为,与x轴的两个交点为、,AB=2.
抛物线c2向右平移m个单位长度后,顶点N的坐标为,与x轴的两个交点为、.所以AE=(1+m)-(-1-m)=2(1+m).
①B、D是线段AE的三等分点,存在两种情况:
情形一,如图2,B在D的左侧,此时,AE=6.所以2(1+m)=6.解得m=2.
情形二,如图3,B在D的右侧,此时,AE=3.所以2(1+m)=3.解得.
图2 图3 图4
②如果以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形,那么AE=MN=2OM.而OM2=m2+3,所以4(1+m)2=4(m2+3).解得m=1(如图4).
考点伸展
第(2)题②,探求矩形ANEM,也可以用几何说理的方法:
在等腰三角形ABM中,因为AB=2,AB边上的高为,所以△ABM是等边三角形.
同理△DEN是等边三角形.当四边形ANEM是矩形时,B、D两点重合.
因为起始位置时BD=2,所以平移的距离m=1.
1.5 因动点产生的面积问题
例1 2015年河南省中考第23题
如图1,边长为8的正方形ABCD的两边在坐标轴上,以点C为顶点的抛物线经过点A,点P是抛物线上A、C两点间的一个动点(含端点),过点P作PF⊥BC于点F.点D、E的坐标分别为(0, 6)、(-4, 0),联结PD、PE、DE.
(1)直接写出抛物线的解析式;
(2)小明探究点P的位置发现:当点P与点A或点C重合时,PD与PF的差为定值.进而猜想:对于任意一点P,PD与PF的差为定值.请你判断该猜想是否正确,并说明理由;
(3)小明进一步探究得出结论:若将“使△PDE的面积为整数” 的点P记作“好点”,则存在多个“好点”,且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”.
请直接写出所有“好点”的个数,并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标.
图1 备用图
满分解答
(1)抛物线的解析式为.
(2)小明的判断正确,对于任意一点P,PD-PF=2.说理如下:
设点P的坐标为,那么PF=yF-yP=.
而FD2=,所以FD=.
因此PD-PF=2为定值.
(3)“好点”共有11个.
在△PDE中,DE为定值,因此周长的最小值取决于FD+PE的最小值.
而PD+PE=(PF+2)+PE=(PF+PE)+2,因此当P、E、F三点共线时,△PDE的周长最小(如图2).
此时EF⊥x轴,点P的横坐标为-4.
所以△PDE周长最小时,“好点”P的坐标为(-4, 6).
图2 图3
考点伸展
第(3)题的11个“好点”是这样求的:
如图3,联结OP,那么S△PDE=S△POD+S△POE-S△DOE.
因为S△POD=,S△POE=,S△DOE=12,所以
S△PDE===.
因此S是x的二次函数,抛物线的开口向下,对称轴为直线x=-6.
如图4,当-8≤x≤0时,4≤S≤13.所以面积的值为整数的个数为10.
当S=12时,方程的两个解-8, -4都在-8≤x≤0范围内.
所以“使△PDE的面积为整数” 的 “好点”P共有11个.
图4
例2 2014年昆明市中考第23题
如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx-3(a≠0)与x轴交于A(-2, 0)、B(4, 0)两点,与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P从点A出发,在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向点B运动,同时点Q从点B出发,在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动.其中一个点到达终点时,另一个点也停止运动.当△PBQ存在时,求运动多少秒时△PBQ的面积最大,最大面积是多少?
(3)当△PBQ的面积最大时,在BC下方的抛物线上存在点K,使S△CBK∶S△PBQ=5∶2,求点K的坐标.
图1
满分解答
(1)因为抛物线与x轴交于A(-2, 0)、B(4, 0)两点,所以y=a(x+2)(x-4).
所以-8a=-3.解得.
所以抛物线的解析式为.
(2)如图2,过点Q作QH⊥x轴,垂足为H.
在Rt△BCO中,OB=4,OC=3,所以BC=5,sinB=.
在Rt△BQH中,BQ=t,所以QH=BQsinB=t.
所以S△PBQ=.
因为0≤t≤2,所以当t=1时,△PBQ的面积最大,最大面积是。
(3)当△PBQ的面积最大时,t=1,此时P是AB的中点,P(1, 0),BQ=1。
如图3,因为△PBC与△PBQ是同高三角形,S△PBC∶S△PBQ=BC∶BQ=5∶1。
当S△CBK∶S△PBQ=5∶2时,S△PBC∶S△CBK=2∶1。
因为△PBC与△CBK是同底三角形,所以对应高的比为2∶1。
如图4,过x轴上的点D画CB的平行线交抛物线于K,那么PB∶DB=2∶1。
因为点K在BC的下方,所以点D在点B的右侧,点D的坐标为.
过点K作KE⊥x轴于E.设点K的坐标为.
由,得.整理,得x2-4x+3=0.
解得x=1,或x=3.所以点K的坐标为或.
图2 图3 图4
考点伸展
第(3)题也可以这样思考:
由S△CBK∶S△PBQ=5∶2,S△PBQ=,得S△CBK=.
如图5,过点K作x轴的垂线交BC于F.设点K的坐标为.
由于点F在直线BC:上.所以点F的坐标为.
所以KF=.
△CBK被KF分割为△CKF和△BKF,他们的高的和为OB=4.
所以S△CBK=.解得x=1,或x=3.
图5
例3 2013年苏州市中考第29题
如图1,已知抛物线(b、c是常数,且c<0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴的负半轴交于点C,点A的坐标为(-1,0).
(1)b=______,点B的横坐标为_______(上述结果均用含c的代数式表示);
(2)连结BC,过点A作直线AE//BC,与抛物线交于点E.点D是x轴上一点,坐标为(2,0),当C、D、E三点在同一直线上时,求抛物线的解析式;
(3)在(2)的条件下,点P是x轴下方的抛物线上的一动点,连结PB、PC.设△PBC的面积为S.
①求S的取值范围;
②若△PBC的面积S为正整数,则这样的△PBC共有_____个.
图1
满分解答
(1)b=,点B的横坐标为-2c.
(2)由,设E.
过点E作EH⊥x轴于H.
由于OB=2OC,当AE//BC时,AH=2EH.
所以.因此.所以.
当C、D、E三点在同一直线上时,.所以.
整理,得2c2+3c-2=0.解得c=-2或(舍去).
所以抛物线的解析式为.
(3)①当P在BC下方时,过点P作x轴的垂线交BC于F.
直线BC的解析式为.
设,那么,.
所以S△PBC=S△PBF+S△PCF=.
因此当P在BC下方时,△PBC的最大值为4.
当P在BC上方时,因为S△ABC=5,所以S△PBC<5.
综上所述,0<S<5.
②若△PBC的面积S为正整数,则这样的△PBC共有11个.
考点伸展
点P沿抛物线从A经过C到达B的过程中,△PBC的面积为整数,依次为(5),4,3,2,1,(0),1,2,3,4,3,2,1,(0).
当P在BC下方,S=4时,点P在BC的中点的正下方,F是BC的中点.
例4 2012年菏泽市中考第21题
如图1,在平面直角坐标系中放置一直角三角板,其顶点为A(0, 1)、B(2, 0)、O(0, 0),将此三角板绕原点O逆时针旋转90°,得到三角形A′B′O.
(1)一抛物线经过点A′、B′、B,求该抛物线的解析式;
(2)设点P是第一象限内抛物线上的一个动点,是否存在点P,使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)在(2)的条件下,试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形?并写出它的两条性质.
图1
满分解答
(1)△AOB绕着原点O逆时针旋转90°,点A′、B′的坐标分别为(-1, 0) 、(0, 2).
因为抛物线与x轴交于A′(-1, 0)、B(2, 0),设解析式为y=a(x+1)(x-2),
代入B′(0, 2),得a=1.
所以该抛物线的解析式为y=-(x+1)(x-2) =-x2+x+2.
(2)S△A′B′O=1.
如果S四边形PB′A′B=4 S△A′B′O=4,那么S四边形PB′OB=3 S△A′B′O=3.
如图2,作PD⊥OB,垂足为D.
设点P的坐标为 (x,-x2+x+2).
.
.
所以.
解方程-x2+2x+2=3,得x1=x2=1.
所以点P的坐标为(1,2).
图2 图3 图4
(3)如图3,四边形PB′A′B是等腰梯形,它的性质有:等腰梯形的对角线相等;等腰梯形同以底上的两个内角相等;等腰梯形是轴对称图形,对称轴是经过两底中点的直线.
考点伸展
第(2)题求四边形PB′OB的面积,也可以如图4那样分割图形,这样运算过程更简单.
.
.
所以.
甚至我们可以更大胆地根据抛物线的对称性直接得到点P:
作△A′OB′关于抛物线的对称轴对称的△BOE,那么点E的坐标为(1,2).
而矩形EB′OD与△A′OB′、△BOP是等底等高的,所以四边形EB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍.因此点E就是要探求的点P.
例 5 2012年河南省中考第23题
如图1,在平面直角坐标系中,直线与抛物线y=ax2+bx-3交于A、B两点,点A在x轴上,点B的纵坐标为3.点P是直线AB下方的抛物线上的一动点(不与点A、B重合),过点P作x轴的垂线交直线AB于点C,作PD⊥AB于点D.
(1)求a、b及sin∠ACP的值;
(2)设点P的横坐标为m.
①用含m的代数式表示线段PD的长,并求出线段PD长的最大值;
②连结PB,线段PC把△PDB分成两个三角形,是否存在适合的m的值,使这两个三角形的面积比为9∶10?若存在,直接写出m的值;若不存在,请说明理由.
图1
思路点拨
1.第(1)题由于CP//y轴,把∠ACP转化为它的同位角.
2.第(2)题中,PD=PCsin∠ACP,第(1)题已经做好了铺垫.
3.△PCD与△PCB是同底边PC的两个三角形,面积比等于对应高DN与BM的比.
4.两个三角形的面积比为9∶10,要分两种情况讨论.
满分解答
(1)设直线与y轴交于点E,那么A(-2,0),B(4,3),E(0,1).
在Rt△AEO中,OA=2,OE=1,所以.所以.
因为PC//EO,所以∠ACP=∠AEO.因此.
将A(-2,0)、B(4,3)分别代入y=ax2+bx-3,得
解得,.
(2)由,,
得.
所以.
所以PD的最大值为.
(3)当S△PCD∶S△PCB=9∶10时,;
当S△PCD∶S△PCB=10∶9时,.
图2
考点伸展
第(3)题的思路是:△PCD与△PCB是同底边PC的两个三角形,面积比等于对应高DN与BM的比.
而,
BM=4-m.
①当S△PCD∶S△PCB=9∶10时,.解得.
②当S△PCD∶S△PCB=10∶9时,.解得.
例 6 2011年南通市中考第28题
如图1,直线l经过点A(1,0),且与双曲线(x>0)交于点B(2,1).过点(p>1)作x轴的平行线分别交曲线(x>0)和(x<0)于M、N两点.
(1)求m的值及直线l的解析式;
(2)若点P在直线y=2上,求证:△PMB∽△PNA;
(3)是否存在实数p,使得S△AMN=4S△AMP?若存在,请求出所有满足条件的p的值;若不存在,请说明理由.
图1
满分解答
(1)因为点B(2,1)在双曲线上,所以m=2.设直线l的解析式为,代入点A(1,0)和点B(2,1),得 解得 所以直线l的解析式为.
(2)由点(p>1)的坐标可知,点P在直线上x轴的上方.如图2,当y=2时,点P的坐标为(3,2).此时点M的坐标为(1,2),点N的坐标为(-1,2).
由P(3,2)、M(1,2)、B(2,1)三点的位置关系,可知△PMB为等腰直角三角形.
由P(3,2)、N(-1,2)、A(1,0)三点的位置关系,可知△PNA为等腰直角三角形.
所以△PMB∽△PNA.
图2 图3 图4
(3)△AMN和△AMP是两个同高的三角形,底边MN和MP在同一条直线上.
当S△AMN=4S△AMP时,MN=4MP.
①如图3,当M在NP上时,xM-xN=4(xP-xM).因此.解得或(此时点P在x轴下方,舍去).此时.
②如图4,当M在NP的延长线上时,xM-xN=4(xM-xP).因此.解得或(此时点P在x轴下方,舍去).此时.
考点伸展
在本题情景下,△AMN能否成为直角三角形?
情形一,如图5,∠AMN=90°,此时点M的坐标为(1,2),点P的坐标为(3,2).
情形二,如图6,∠MAN=90°,此时斜边MN上的中线等于斜边的一半.
不存在∠ANM=90°的情况.
图5 图6
例7 2010年广州市中考第25题
如图1,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为(3,0),(0,1).点D是线段BC上的动点(与端点B、C不重合),过点D作直线交折线OAB于点E.
(1)记△ODE的面积为S,求S与b的函数关系式;
(2)当点E在线段OA上时,若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1,试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化?若不变,求出重叠部分的面积;若改变,请说明理由.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“10广州25”,拖动点D由C向B运动,观察S随b变化的函数图象,可以体验到,E在OA上时,S随b的增大而增大;E在AB上时,S随b的增大而减小.双击按钮“第(3)题”,拖动点D由C向B运动,可以观察到,E在OA上时,重叠部分的形状是菱形,面积不变.双击按钮“第(2)题”可以切换.
满分解答
(1)①如图2,当E在OA上时,由可知,点E的坐标为(2b,0),OE=2b.此时S=S△ODE=.
②如图3,当E在AB上时,把y=1代入可知,点D的坐标为(2b-2,1),CD=2b-2,BD=5-2b.把x=3代入可知,点E的坐标为,AE=,BE=.此时
S=S矩形OABC-S△OAE- S△BDE -S△OCD
=.
(2)如图4,因为四边形O1A1B1C1与矩形OABC关于直线DE对称,因此DM=DN,那么重叠部分是邻边相等的平行四边形,即四边形DMEN是菱形.
作DH⊥OA,垂足为H.由于CD=2b-2,OE=2b,所以EH=2.
设菱形DMEN的边长为m.在Rt△DEH中,DH=1,NH=2-m,DN=m,所以12+(2-m)2=m2.解得.所以重叠部分菱形DMEN的面积为.
图2 图3 图4
考点伸展
把本题中的矩形OABC
绕着它的对称中心旋转,如果重叠部分的形状是菱形(如图5),那么这个菱形的最小面积为1,如图6所示;最大面积为,如图7所示.
图5 图6 图7
1.6 因动点产生的线段和差问题
例 1 2015年福州市中考第26题
如图1,抛物线y=x2-4x与x轴交于O、A两点,P为抛物线上一点,过点P的直线
y=x+m与抛物线的对称轴交于点Q.
(1)这条抛物线的对称轴是_________,直线PQ与x轴所夹锐角的度数是______;
(2)若两个三角形的面积满足S△OQP=S△PAQ,求m的值;
(3)当点P在x轴下方的抛物线上时,过点C(2, 2)的直线AC与直线PQ交于点D,求:
①PD+DQ的最大值;②PD·DQ的最大值.
图
满分解答
(1)抛物线的对称轴为直线x=2,直线PQ与x轴的夹角为45°.
(2)因为△OQP与△PAQ有公共边PQ,所以它们的面积比等于对应高的比.
如图2,作OM⊥PQ于M,AN⊥PQ于N.
当S△OQP=S△PAQ时,.
设直线PQ与x轴交于点H,那么.
由y=x2-4x=x(x-4),得A(4, 0).所以OA=4.
①如图2,当点H在线段OA上时,OH=1,H(1, 0).此时m=-1.
②如图3,当点H在AO的延长线上时,OH=2,H(-2, 0).此时m=2.
(3)①如图4,由A(4, 0)、C(2, 2),得直线AC与x轴的夹角为45°,点C在抛物线的对称轴上.
又因为直线PQ与x轴的夹角为45°,所以△CDQ是等腰直角三角形.
作点Q关于直线AC的对称点Q′,那么△CQQ′是等腰直角三角形,CQ′//x轴.
所以DQ=DQ′.因此PD+DQ=PD+DQ′=PQ′.
作PP′⊥CQ′,垂足为P′,那么△PP′Q′是等腰直角三角形.
因此当PP′最大时,PQ′也最大.
当点P运动到抛物线的顶点(2,-4)时,PP′最大,最大值PP′=6.
此时PQ′的最大值为,即PD+DQ的最大值为.
图2 图3 图4
②由于PD+DQ≤,设PD=a,那么DQ≤.
因此PD·QD≤. 所以当a=时,PD·QD的最大值为18.此时PD=DQ=,P、Q两点重合于抛物线的顶点.
考点伸展
第(3)①题可以用代数法来解:
因为点P在抛物线y=x2-4x上,设P(n, n2-4n).
将P(n, n2-4n)代入直线y=x+m,可得m=n2-5n.
所以直线PQ可以表示为y=x+n2-5n,那么Q(2, 2+n2-5n).
联立直线AC:y=-x+4和直线PQ:y=x+n2-5n,可得2xD=4-n2+5n.
于是PD+DQ==
=.
所以当n=2时,PD+DQ的最大值为.当n=2时点P在抛物线的顶点.
例2 2014年广州市中考第24题
已知平面直角坐标系中两定点A(-1, 0)、B(4, 0),抛物线y=ax2+bx-2(a≠0)过点A、B,顶点为C,点P(m, n)(n<0)为抛物线上一点.
(1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标;
(2)当∠APB为钝角时,求m的取值范围;
(3)若m>,当∠APB为直角时,将该抛物线向左或向右平移t(0<t<)个单位,点C、P平移后对应的点分别记为C′、P′,是否存在t,使得顺次首尾连接A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短?若存在,求t的值并说明抛物线平移的方向;若不存在,请说明理由.
满分解答
(1)因为抛物线y=ax2+bx-2与x轴交于A(-1, 0)、B(4, 0)两点,
所以y=a(x+1)(x-4)=ax2-3ax-4a.
所以-4a=-2,b=-3a.所以,.
所以。
顶点为.
(2)如图1,设抛物线与y轴的交点为D.
由A(-1, 0)、B(4, 0)、D(0,-2),可知.
所以△AOD∽△DOB.因此∠ADO=∠DBO.
由于∠DBO与∠BDO互余,所以∠ADO与∠BDO也互余.
于是可得∠ADB=90°.因此以AB为直径的圆经过点D.
当点P在x轴下方圆的内部时,∠APB为钝角,此时-1<m<0,或3<m<4.
(3)若m>,当∠APB为直角时,点P与点D关于抛物线的对称轴对称,因此点P的坐标为(3,-2).
如图2,由于点A、B、P、C是确定的,BB′、P′C′、PC平行且相等,所以A、B、P′、C′四点所构成的四边形中,AB和P′C′的长是确定的.
如图3,以P′C′、P′B为邻边构造平行四边形C′P′BB′,以直线为对称轴作点B′的对称点B′′,联结AB′′,那么AC′+P′B的长最小值就是线段AB′′。
如图4,线段AB′′与直线的交点,就是四边形周长最小时点C′的位置.
如图2,点P(3,-2)先向左平移个单位,再向下平移个单位得到点,
如图3,点B(4, 0) 先向左平移个单位,再向下平移个单位得到点.
所以点B′′的坐标为.
如图4,由,得.解得.
由于,所以抛物线向左平移了个单位.
图2 图3 图4
考点伸展
第(2)题不可回避要证明∠ADB=90°,也可以根据勾股定理的逆定理证明.
由A(-1, 0)、B(4, 0)、D(0,-2),得AB2=25,AD2=5, BD2=20.
所以AB2=AD2+BD2.所以∠ADB=90°.
第(3)题的运算量实在是太大了,很容易折磨同学们的自信.
求点B′的坐标,我们用了坐标平移的方法,比较简便.
求点C′的坐标,我们用了相似比的方法,回避了待定系数法更为繁琐的计算过程.
例3 2013年天津市中考第25题
在平面直角坐标系中,已知点A(-2,0),B(0,4),点E在OB上,且∠OAE=∠OBA.
(1)如图1,求点E的坐标;
(2)如图2,将△AEO沿x轴向右平移得到△AE′O′,连结A′B、BE′.
①设AA′=m,其中0<m<2,使用含m的式子表示A′B2+BE′2,并求出使A′B2+BE′2取得最小值时点E′的坐标;
②当A′B+BE′取得最小值时,求点E′的坐标(直接写出结果即可).
图1 图2
满分解答
(1)由∠OAE=∠OBA,∠AOE=∠BOA,得△AOE∽△BOA.
所以.因此.
解得OE=1.所以E(0,1).
(2)①如图3,在Rt△A′OB中,OB=4,OA′=2-m,所以A′B2=16+(2-m)2.
在Rt△BEE′中,BE=3,EE′=m,所以BE′2=9+m2.
所以A′B2+BE′2=16+(2-m)2+9+m2=2(m-1)2+27.
所以当m=1时,A′B2+BE′2取得最小值,最小值为27.
此时点A′是AO的中点,点E′向右平移了1个单位,所以E′(1,1).
②如图4,当A′B+BE′取得最小值时,求点E′的坐标为.
图3 图4
考点伸展
第(2)②题这样解:如图4,过点B作y轴的垂线l,作点E′关于直线l的对称点E′′,
所以A′B+BE′=A′B+BE′′.
当A′、B、E′′三点共线时,A′B+BE′′取得最小值,最小值为线段A′E′′.
在Rt△A′O′E′′中,A′O′=2,O′E′′=7,所以A′E′′=.
当A′、B、E′′三点共线时,.所以.
解得.此时.
例4 2012年滨州市中考第24题
如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c经过A(-2, -4 )、O(0, 0)、
B(2, 0)三点.
(1)求抛物线y=ax2+bx+c的解析式;
(2)若点M是该抛物线对称轴上的一点,求AM+OM的最小值.
图1
答案 (1)。 (2)AM+OM的最小值为.
图2 图3
第二部分 函数图象中点的存在性问题
2.1 由比例线段产生的函数关系问题
例1 2015年呼和浩特市中考第25题
已知抛物线y=x2+(2m-1)x+m2-1经过坐标原点,且当<0时,y随x的增大而减小。
(1)求抛物线的解析式,并写出y < 0时,对应x的取值范围;
(2)设点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点,过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D,再作AB⊥x轴于点B, DC⊥x轴于点C.
①当BC=1时,直接写出矩形ABCD的周长;
②设动点A的坐标为(a, b),将矩形ABCD的周长L表示为a的函数并写出自变量的取值范围,判断周长是否存在最大值,如果存在,求出这个最大值,并求出此时点A的坐标;如果不存在,请说明理由.
满分解答
(1)因为抛物线y=x2+(2m-1)x+m2-1经过原点,所以m2-1=0.解得m=±1。
如图1,当m=1时,抛物线y=x2+x的对称轴在y轴左侧,不符合当x<0时,y随x的增大而减小。
当m=-1时,抛物线y=x2-3x符合条件。
图1 图2 图3
(2)①当BC=1时,矩形ABCD的周长为6。
②如图2,抛物线y=x2-3x的对称轴为直线,如果点A在对称轴的左侧,那么。解得。所以AD=3-2a。
当x=a时,y=x2-3x=a2-3a。所以AB=3a-a2。
所以L=矩形ABCD的周长=2(AB+AD)=2(3a-a2+3-2a)=。
因此当时,L的最大值为。此时点A的坐标为。
如图3,根据对称性,点A的坐标也可以是。
考点伸展
第(2)①题的思路是:如图2,抛物线的对称轴是直线,当BC=1时,点B的坐标为(1, 0),此时点A的横坐标为1,可以求得AB=2。
第(2)②题中,L随a变化的图像如图4所示。
图4
例2 2013年宁波市中考第26题
如图1,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为(0,4),点B的坐标为(4,0),点C的坐标为(-4,0),点P在射线AB上运动,连结CP与y轴交于点D,连结BD.过P、D、B三点作⊙Q,与y轴的另一个交点为E,延长DQ交⊙Q于F,连结EF、BF.
(1)求直线AB的函数解析式;
(2)当点P在线段AB(不包括A、B两点)上时.
①求证:∠BDE=∠ADP;
②设DE=x,DF=y,请求出y关于x的函数解析式;
(3)请你探究:点P在运动过程中,是否存在以B、D、F为顶点的直角三角形,满足两条直角边之比为2∶1?如果存在,求出此时点P的坐标;如果不存在,请说明理由. 图1
(1)直线AB的函数解析式为y=-x+4.
(2)①如图2,∠BDE=∠CDE=∠ADP;
②如图3,∠ADP=∠DEP+∠DPE,如图4,∠BDE=∠DBP+∠A,
因为∠DEP=∠DBP,所以∠DPE=∠A=45°.
所以∠DFE=∠DPE=45°.因此△DEF是等腰直角三角形.于是得到.
图2 图3 图4
(3)①如图5,当BD∶BF=2∶1时,P(2,2).思路如下:
由△DMB∽△BNF,知.
设OD=2m,FN=m,由DE=EF,可得2m+2=4-m.解得.
因此.再由直线CD与直线AB求得交点P(2,2).
②如图6,当BD∶BF=1∶2时,P(8,-4).思路同上.
图5 图6
2.2 由面积产生的函数关系问题
例1 2015年上海市徐汇区中考模拟第25题
如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,cosA=,点P是边AB上的动点,以PA为半径作⊙P.
(1)若⊙P与AC边的另一个交点为D,设AP=x,△PCD的面积为y,求y关于x的函数解析式,并直接写出函数的定义域;
(2)若⊙P被直线BC和直线AC截得的弦长相等,求AP的长;
(3)若⊙C的半径等于1,且⊙P与⊙C的公共弦长为,求AP的长.
图1 备用图
满分解答
(1)如图2,在Rt△ABC中, AC=4,cosA=,所以AB=16,BC=.
设弦AD对应的弦心距为PE,那么AE=AP=x,PE=AP=x.
所以y=S△PCD===.
定义域是0<x<8.
(2)若⊙P被直线BC和直线AC截得的弦长相等,那么对应的弦心距PF=PE.
因此四边形AEPF是正方形(如图3),设正方形的边长为m.
由S△ABC=S△ACP+S△BCP,得AC·BC=m(AC+BC).所以m==.
此时AE==,AP=4AE=.
图2 图3
(3)如图4,设⊙C与⊙P的公共弦为MN,MN与CP交于点G.
由于CM=CN=1,MN=,所以△CMN是等腰直角三角形,CG=NG=.
如图5,作CH⊥AB于H,由AC=4,那么AH=1,CH2=15.
所以CP==.因此PG=(如图4).
如图4,在Rt△PNG中,由勾股定理,得.
整理,得2x2-64x+257=0.解得,(舍去).
图4 图5
考点伸展
第(2)题也可以这样计算:由于PF=BP=,由PE=PF,得.解得.
例2 2014年黄冈市中考第25题
如图1,在四边形OABC中,AB//OC,BC⊥x轴于点C,A(1,-1),B(3,-1),动点P从O出发,沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动.过点P作PQ垂直于直线OA,垂足为Q.设点P移动的时间为t秒(0<t<2),△OPQ与四边形OABC重叠部分的面积为S.
(1)求经过O、A、B三点的抛物线的解析式,并确定顶点M的坐标;
(2)用含t的代数式表示点P、Q的坐标;
(3)如果将△OPQ绕着点P按逆时针方向旋转90°,是否存在t,使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由;
(4)求出S与t的函数关系式.
图1
满分解答
(1)由A(1,-1)、B(3,-1),可知抛物线的对称轴为直线x=1,点O关于直线x=1的对称点为(4,0).
于是可设抛物线的解析式为y=ax(x-4),代入点A(1,-1),得-3a=-1.
解得.所以.顶点M的坐标为.
(2)△OPQ是等腰直角三角形,P(2t, 0),Q(t,-t).
(3)旋转后,点O′的坐标为(2t,-2t),点Q′的坐标为(3t,-t).
将O′(2t,-2t)代入,得.解得.
将Q′(3t,-t)代入,得.解得t=1.
因此,当时,点O′落在抛物线上(如图2);当t=1时,点Q′落在抛物线上(如图3).
图2 图3
(4)①如图4,当0<t≤1时,重叠部分是等腰直角三角形OPQ.此时S=t2.
②如图5,当1<t≤1.5时,重叠部分是等腰梯形OPFA.此时AF=2t-2.
此时S=.
图4 图5
③如图6,当1.5<t<2时,重叠部分是五边形OCEFA.
此时CE=CP=2t-3.所以BE=BF=1-(2t-3)=4-2t.
所以S=.
图6
考点伸展
在本题情景下,重叠部分的周长l与t之间有怎样的函数关系?
如图4,.如图5,.
如图6,.
例3 2013年菏泽市中考第21题
如图1, △ABC是以BC为底边的等腰三角形,点A、C分别是一次函数的图像与y轴、x轴的交点,点B在二次函数的图像上,且该二次函数图像上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形.
(1)试求b、c的值,并写出该二次函数的解析式;
(2)动点P从A到D,同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动,问:
①当P运动到何处时,由PQ⊥AC?
②当P运动到何处时,四边形PDCQ的面积最小?此时四边形PDCQ的面积是多少?
图1
思路点拨
1.求抛物线的解析式需要代入B、D两点的坐标,点B的坐标由点C的坐标得到,点D的坐标由AD=BC可以得到.
2.设点P、Q运动的时间为t,用含有t的式子把线段AP、CQ、AQ的长表示出来.
3.四边形PDCQ的面积最小,就是△APQ的面积最大.
满分解答
(1)由,得A(0,3),C(4,0).
由于B、C关于OA对称,所以B(-4,0),BC=8.
因为AD//BC,AD=BC,所以D(8,3).
将B(-4,0)、D(8,3)分别代入,得
解得,c=-3.所以该二次函数的解析式为.
(2)①设点P、Q运动的时间为t.
如图2,在△APQ中,AP=t,AQ=AC-CQ=5-t,cos∠PAQ=cos∠ACO=.
当PQ⊥AC时,.所以.解得.
图2 图3
②如图3,过点Q作QH⊥AD,垂足为H.
由于S△APQ=,
S△ACD=,
所以S四边形PDCQ=S△ACD-S△APQ=.
所以当AP=时,四边形PDCQ的最小值是.
考点伸展
如果把第(2)①题改为“当P运动到何处时,△APQ是直角三角形?”
除了PQ⊥AC这种情况,还有QP⊥AD的情况.
这时,所以.解得(如图4所示).
图4
例4 2012年广东省中考第22题
如图1,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,联结BC、AC.
(1)求AB和OC的长;
(2)点E从点A出发,沿x轴向点B运动(点E与点A、B不重合),过点E作BC的平行线交AC于点D.设AE的长为m,△ADE的面积为s,求s关于m的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;
(3)在(2)的条件下,联结CE,求△CDE面积的最大值;此时,求出以点E为圆心,与BC相切的圆的面积(结果保留π).
图1
满分解答
(1)由,得A(-3,0)、B(6,0)、C(0,-9).
所以AB=9,OC=9.
(2)如图2,因为DE//CB,所以△ADE∽△ACB.所以.
而,AE=m,所以.
m的取值范围是0<m<9.
图2 图3
(3)如图2,因为DE//CB,所以.
因为△CDE与△ADE是同高三角形,所以.
所以.
当时,△CDE的面积最大,最大值为.
此时E是AB的中点,.如图3,作EH⊥CB,垂足为H.
在Rt△BOC中,OB=6,OC=9,所以.
在Rt△BEH中,.
当⊙E与BC相切时,.所以.
考点伸展
在本题中,△CDE与△BEC能否相似?
如图2,虽然∠CED=∠BCE,但是∠B>∠BCA≥∠ECD,所以△CDE与△BEC不能相似.
例5 2012年河北省中考第26题
如图1,图2,在△ABC中,AB=13,BC=14,.
探究 如图1,AH⊥BC于点H,则AH=_____,AC=______,△ABC的面积S△ABC=________.
拓展 如图2,点D在AC上(可与点A、C重合),分别过点A、C作直线BD的垂线,垂足为E、F.设BD=x,AE=m,CF=n.(当点D与点A重合时,我们认为S△ABD=0)
(1)用含x,m或n的代数式表示S△ABD及S△CBD;
(2)求(m+n)与x的函数关系式,并求(m+n)的最大值和最小值;
(3)对给定的一个x值,有时只能确定唯一的点D,指出这样的x的取值范围.
发现 请你确定一条直线,使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小(不必写出过程),并写出这个最小值.
图1 图2
答案 探究 AH=12,AC=15,S△ABC=84.
拓展 (1)S△ABD=,S△CBD=.
(2)由S△ABC=S△ABD+S△CBD,得.所以.
由于AC边上的高,所以x的取值范围是≤x≤14.
所以(m+n)的最大值为15,最小值为12.
(3)x的取值范围是x=或13<x≤14.
发现 A、B、C三点到直线AC的距离之和最小,最小值为.
例6 2011年淮安市中考第28题
如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,点P在AB上,AP=2.点E、F同时从点P出发,分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动,点E到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动,点F运动到点B时停止,点E也随之停止.在点E、F运动过程中,以EF为边作正方形EFGH,使它与△ABC在线段AB的同侧.设E、F运动的时间为t秒(t>0),正方形EFGH与△ABC重叠部分的面积为S.
(1)当t=1时,正方形EFGH的边长是________;当t=3时,正方形EFGH的边长是________;
(2)当1<t≤2时,求S与t的函数关系式;
(3)直接答出:在整个运动过程中,当t为何值时,S最大?最大面积是多少?
图1
满分解答
(1)当t=1时,EF=2;当t=3时,EF=4.
(2)①如图1,当时,.所以.
②如图2,当时,,,.
于是,
.
所以.
③如图3,当时,,,.
所以.
图2 图3 图4
(3)如图4,图5,图6,图7,重叠部分的最大面积是图6所示的六边形EFNDQN,
S的最大值为,此时.
图5 图6 图7
考点伸展
第(2)题中t的临界时刻是这样求的:
如图8,当H落在AC上时,,,由,得.
如图9,当G落在AC上时,,,由,得.
图8 图9
第三部分图形运动中的计算说理问题
3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题
例 1 2015年北京市中考第29题
在平面直角坐标系中,⊙C的半径为r,P是与圆心C不重合的点,点P关于⊙C的反称点的定义如下:若在射线CP上存在一点P′,满足CP+CP′=2r,则称点P′为点P关于⊙C的反称点.如图1为点P及其关于⊙C的反称点P′的示意图.
特别地,当点P′与圆心C重合时,规定CP′=0.
(1)当⊙O的半径为1时,
①分别判断点M(2, 1),N,T 关于⊙O的反称点是否存在?若存在,求其坐标;
②点P在直线y=-x+2上,若点P关于⊙O的反称点P′存在,且点P′不在x轴上,求点P的横坐标的取值范围;
(2)⊙C的圆心在x轴上,半径为1,直线与x轴、y轴分别交于点A、B,若线段AB上存在点P,使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部,求圆心C的横坐标的取值范围.
满分解答
(1)①对于M(2, 1),OM=.因为OM′=<0,所以点M不存在反称点(如图2).
如图3,对于N,ON=.因为ON′=,所以点N′的坐标为.
如图4,对于T ,OT=2.因为OT′=0,所以点T关于⊙O的反称点T′是(0,0).
图2 图3 图4
②如图5,如果点P′存在,那么OP′=2-OP≥0.所以OP≤2.
设直线y=-x+2与x轴、y轴的交点分别为A、B,那么OA=OB=2.
如果点P在线段AB上,那么OP≤2.
所以满足OP≤2且点P′不在x轴上的点P的横坐标的取值范围是0≤x<2.
(2)由,得A(6, 0),B.所以tan∠A=.
所以∠A=30°.
因为点P′在⊙C的内部,所以0≤CP′<1.
解不等式组0≤2-CP<1,得1<CP≤2.
过点C作CP⊥AB于P,那么CP=AC.所以2<AC≤4.
所以2≤OC<4.因此圆心C的横坐标的取值范围是2≤x<4(如图6,图7所示).
图5 图6 图7
考点伸展
第(2)题如果把条件“反称点P′在⊙C的内部”改为“反称点P′存在”,那么圆心C的横坐标的取值范围是什么呢?
如果点P′存在,那么CP′≥0.
解不等式2-CP≥0,得CP≤2.
所以AC≤4.因此圆心C的横坐标的取值范围是2≤x<6.
例2 2014年福州市中考第22题
如图1,抛物线与x轴交于
A、B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,顶点为D.
(1)求点A、B、C的坐标;
(2)联结CD,过原点O作OE⊥CD,垂足为H,OE与抛物线的对称轴交于点E,联结AE、AD.求证:∠AEO=∠ADC;
(3)以(2)中的点E为圆心,1为半径画圆,在对称轴右侧的抛物线上有一动点P,过P作⊙E的切线,切点为Q,当PQ的长最小时,求点P的坐标,并直接写出点Q的坐标.
满分解答
(1)由,得,.
由,
得,.
(2)设CD与AE交于点F,对称轴与x轴交于点M,作DN⊥y轴于N.
如图2,由,,得DN=3,.因此.
如图3,由OE⊥CD,得∠EOM=∠DCN.因此.
所以EM=2,E(3, 2).
由,,得.
因此,.
所以∠AEM=∠DAM.于是可得∠AED=90°.
如图4,在Rt△EHF与Rt△DAF中,因为∠EFH=∠DFA,
所以∠HEF=∠ADF,即∠AEO=∠ADC.
图2 图3 图4
(3)如图5,在Rt△EPQ中,EQ为定值,因此当PE最小时,PQ也最小.
设点P的坐标为(x, y),那么PE2=(x-3)2+(y-2)2.
已知,所以.
因此.
所以当y=1时,PE取得最小值.
解方程,得x=5,或x=1(在对称轴左侧,舍去).
因此点P的坐标为(5, 1).此时点Q的坐标为(3, 1)或(如图6所示).
图5 图6 图7
考点伸展
第(3)题可以这样求点Q的坐标:设点Q的坐标为(m, n).
由E(3, 2)、P(5, 1),可得PE2=5.又已知EQ2=1,所以PQ2=4.
列方程组 解得
还可以如图7那样求点Q的坐标:
对于Q(m, n),根据两个阴影三角形相似,可以列方程组.
同样地,对于Q′(m, n),可以列方程组.
例3 2013年南京市中考第26题
已知二次函数y=a(x-m)2-a(x-m)(a、m为常数,且a≠0).
(1)求证:不论a与m为何值,该函数的图像与x轴总有两个公共点;
(2)设该函数的图像的顶点为C,与x轴相交于A、B两点,与y轴交于点D.
①当△ABC的面积等于1时,求a的值
②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时,求m的值.
思路点拨
1.第(1)题判断抛物线与x轴有两个交点,容易想到用判别式.事实上,抛物线与x轴的交点A、B的坐标分别为 (m,0)、 (m+1,0),AB=1.
2.当△ABC的面积等于1时,点C到x轴的距离为2.
3.当△ABC的面积与△ABD的面积相等时,C、D到x轴的距离相等.
4.本题大量的工作是代入计算,运算比较繁琐,一定要仔细.
满分解答
(1)由y=a(x-m)2-a(x-m)=a(x-m)( x-m-1),
得抛物线与x轴的交点坐标为A(m,0)、B(m+1,0).
因此不论a与m为何值,该函数的图像与x轴总有两个公共点.
(2)①由y=a(x-m)2-a(x-m) ,
得抛物线的顶点坐标为.
因为AB=1,S△ABC=,所以a=±8.
②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时,点C与点D到x轴的距离相等.
第一种情况:如图1,C、D重合,此时点D的坐标可以表示为,
将代入,得.
解得.
图1
第二种情况:如图2,图3,C、D在x轴两侧,此时点D的坐标可以表示为,
将代入,得.
解得.
图2 图3
考点伸展
第(1)题也可以这样说理:
由于由,抛物线的顶点坐标为.
当a>0时,抛物线的开口向上,而顶点在x轴下方,所以抛物线与x轴由两个交点;
当a<0时,抛物线的开口向下,而顶点在x轴上方,所以抛物线与x轴由两个交点.
因此不论a与m为何值,该函数的图像与x轴总有两个公共点.
第(1)题也可以用根的判别式Δ说理:
由y=a(x-m)2-a(x-m)=a[x2-(2m+1)x+m2+m],
得>0.
因此不论a与m为何值,该函数的图像与x轴总有两个公共点.
这种方法是同学们最容易想到的,但是这种方法的运算量很大,一定要仔细.
3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题
例1 2015年杭州市中考第22题
如图1,在△ABC中,BC>AC,∠ACB=90°,点D在AB边上,DE⊥AC于点E.
(1)若,AE=2,求EC的长;
(2)设点F在线段EC上,点G在射线CB上,以F、C、G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等,FG交CD于点P.问:线段CP可能是△CFG的高还是中线?或两者都有可能?请说明理由.
图1
满分解答
(1)由∠ACB=90°,DE⊥AC,得DE//BC.
所以.所以.解得EC=6.
(2)△CFG与△EDC都是直角三角形,有一个锐角相等,分两种情况:
①如图2,当∠1=∠2时,由于∠2与∠3互余,所以∠2与∠3也互余.
因此∠CPF=90°.所以CP是△CFG的高.
②如图3,当∠1=∠3时,PF=PC.
又因为∠1与∠4互余,∠3与∠2互余,所以∠4=∠2.所以PC=PG.
所以PF=PC=PG.所以CP是△CFG的中线.
综合①、②,当CD是∠ACB的平分线时,CP既是△CFG的高,也是中线(如图4).
图2 图 3 图4
考点伸展
这道条件变换的题目,不由得勾起了我们的记忆:
如图5,在△ABC中,点D是AB边上的一个动点,DE//BC交AC于E,DF//AC交BC
于F,那么四边形CEDF是平行四边形.
如图6,当CD平分∠ACB时,四边形CEDF是菱形.
图5 图6
如图7,当∠ACB=90°,四边形CEDF是矩形.
如图8,当∠ACB=90°,CD平分∠ACB时,四边形CEDF是正方形.
图7 图8
例2 2014年安徽省中考第23题
如图1,正六边形ABCDEF的边长为a,P是BC边上的一动点,过P作PM//AB交AF于M,作PN//CD交DE于N.
(1)①∠MPN=_______°;
②求证:PM+PN=3a;
(2)如图2,点O是AD的中点,联结OM、ON.求证:OM=ON.
(3)如图3,点O是AD的中点,OG平分∠MON,判断四边形OMGN是否为特殊的四边形,并说明理由.
图1 图2 图3
动感体验
请打开几何画板文件名“14安徽23”,拖动点P运动,可以体验到,PM+PN等于正六边形的3条边长.△AOM≌△BOP,△COP≌△DON,所以OM=OP=ON.还可以体验到,△MOG与△NOG是两个全等的等边三角形,四边形OMGN是菱形.
思路点拨
1.第(1)题的思路是,把PM+PN转化到同一条直线上.
2.第(2)题的思路是,以O为圆心,OM为半径画圆,这个圆经过点N、P.于是想到联结OP,这样就出现了两对全等三角形.
3.第(3)题直觉告诉我们,四边形OMGN是菱形.如果你直觉△MOG与△NOG是等边三角形,那么矛盾就是如何证明∠MON=120°.
满分解答
(1)①∠MPN=60°.
②如图4,延长FA、ED交直线BC与M′、N′,那么△ABM′、△MPM′、△DCN′、
△EPN′都是等边三角形.
所以PM+PN=M′N′=M′B+BC+CN′=3a.
图4 图5 图6
(2)如图5,联结OP.
由(1)知,AM=BP,DN=CP.
由AM=BP,∠OAM=∠OBP=60°,OA=OB,
得△AOM≌△BOP.所以OM=OP.
同理△COP≌△DON,得ON=OP.
所以OM=ON.
(3)四边形OMGN是菱形.说理如下:
由(2)知,∠AOM=∠BOP,∠DON=∠COP(如图5).
所以∠AOM+∠DON=∠BOP+∠COP=60°.所以∠MON=120°.
如图6,当OG平分∠MON时,∠MOG=∠NOG=60°.
又因为∠AOF=∠FOE=∠EOD=60°,于是可得∠AOM=∠FOG=∠EON.
于是可得△AOM≌△FOG≌△EON.
所以OM=OG=ON.
所以△MOG与△NOG是两个全等的等边三角形.
所以四边形OMGN的四条边都相等,四边形OMGN是菱形.
考点伸展
在本题情景下,菱形OMGN的面积的最大值和最小值各是多少?
因为△MOG与△NOG是全等的等边三角形,所以OG最大时菱形的面积最大,OG最小时菱形的面积最小.
OG的最大值等于OA,此时正三角形的边长为a,菱形的最大面积为.
OG与EF垂直时最小,此时正三角形的边长为,菱形的最小面积为.
例3 2013年上海市黄浦区中考模拟第24题
已知二次函数y=-x2+bx+c的图像经过点P(0, 1)与Q(2, -3).
(1)求此二次函数的解析式;
(2)若点A是第一象限内该二次函数图像上一点,过点A作x
轴的平行线交二次函数图像于点B,分别过点B、A作x轴的垂线,垂足分别为C、D,且所得四边形ABCD恰为正方形.
①求正方形的ABCD的面积;
②联结PA、PD,PD交AB于点E,求证:△PAD∽△PEA.
满分解答
(1)将点P(0, 1)、Q(2, -3)分别代入y=-x2+bx+c,得
解得
所以该二次函数的解析式为y=-x2+1.
(2)①如图1,设点A的坐标为(x, -x2+1),当四边形ABCD恰为正方形时,AD=AB.
此时yA=2xA.
解方程-x2+1=2x,得.
所以点A的横坐标为.
因此正方形ABCD的面积等于.
②设OP与AB交于点F,那么.
所以.
又因为,
所以∠PAE=∠PDA.
又因为∠P公用,所以△PAD∽△PEA.
图1 图2
考点伸展
事实上,对于矩形ABCD,总有结论△PAD∽△PEA.证明如下:
如图2,设点A的坐标为(x, -x2+1),那么PF=OP-OF=1-(-x2+1)=x2.
所以.
又因为,
所以∠PAE=∠PDA.因此△PAD∽△PEA.
第四部分 图形的平移翻折与旋转
4.1图形的平移
例1 2015年泰安市中考第15题
如图1,在平面直角坐标系中,正三角形OAB的顶点B的坐标为(2, 0),点A在第一象限内,将△OAB沿直线OA的方向平移至△O′B′A′的位置,此时点A′的横坐标为3,则点B′的坐标为( ).
A.(4,) B.(3,) C.(4,) D.(3,)
图1 图2
动感体验
请打开几何画板文件名“15泰安15”,拖动点A'运动的过程中,可以体验到,△A′OC保持等边三角形的形状.
答案 A.思路如下:
如图2,当点B的坐标为(2, 0),点A的横坐标为1.
当点A'的横坐标为3时,等边三角形A′OC的边长为6.
在Rt△B′CD中,B′C=4,所以DC=2,B′D=.此时B′.
例2 2014年江西省中考第11题
如图,在△ABC中,AB=4,BC=6,∠B=60°,将△ABC沿射线BC方向平移2个单位后,得到△A′B′C′,联结A′C,则△A′B′C的周长为_______.
答案 12.
4.2图形的翻折
例1 2015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第18题
如图1,在矩形ABCD中,AD=15,点E在边DC上,联结AE,△ADE沿直线AE翻折后点D落到点F,过点F作FG⊥AD,垂足为G.如果AD=3GD,那么DE=_____.
图1
答案 .思路如下:
如图2,过点F作AD的平行线交AB于M,交DC于N.
因为AD=15,当AD=3GD时,MF=AG=10,FN=GD=5.
在Rt△AMF中,AF=AD=15,MF=10,所以AM=.
设DE=m,那么NE=.
由△AMF∽△FNE,得,即.解得m=.
例2 2014年上海市中考第18题
如图,已知在矩形ABCD中,点E在边BC上,BE=2CE,将矩形沿着过点E的直线翻折后,点C、D分别落在边BC下方的点C′、D′处,且点C′、D′、B在同一条直线上,折痕与边AD交于点F,D′F与BE交于点G.设AB=t,那么△EFG的周长为______________
(用含t的代数式表示).
图1
答案 .思路如下:如图2,等边三角形EFG的高=AB=t,计算得边长为.
图2
4.3图形的旋转
例1 2015年扬州市中考第17题
如图1,已知Rt△ABC中,∠ABC=90°,AC=6,BC=4,将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC,若点F是DE的中点,连接AF,则AF= .
图1 图2
答案 5.思路如下:
如图2,作FH⊥AC于H.
由于F是ED的中点,所以HF是△ECD的中位线,所以HF=3.
由于AE=AC-EC=6-4=2,EH=2,所以AH=4.所以AF=5.
例2 2014年上海市黄浦区中考模拟第18题
如图1,在△ABC中,AB=AC=5,BC=4,D为边AC上一点,且AD=3,如果△ABD绕点A逆时针旋转,使点B与点C重合,点D旋转至D',那么线段DD'的长为 .
图1
答案 .思路如下:如图3,由△ABC∽△ADD',可得.5∶4=3∶DD'.
图2 图3
4.4三角形
例1 2015年上海市长宁区中考模拟第18题
如图1,△ABC≌△DEF(点A、B分别与点D、E对应),AB=AC=5,BC=6.△ABC固定不动,△DEF运动,并满足点E在BC边从B向C移动(点E不与B、C重合),DE始终经过点A,EF与AC边交于点M,当△AEM是等腰三角形时,BE=_________.
图1
答案 或1.思路如下:
设BE=x.
由△ABE∽△ECM,得,即.
等腰三角形AEM分三种情况讨论:
①如图2,如果AE=AM,那么△AEM∽△ABC.
所以.解得x=0,此时E、B重合,舍去.
②如图3,当EA=EM时,.解得x=1.
③如图4,当MA=ME时,△MEA∽△ABC.所以.解得x=.
图2 图3 图4
例2 2014年泰州市中考第16题
如图1,正方形ABCD的边长为3cm,E为CD边上一点,∠DAE=30°,M为AE的中点,过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q.若PQ=AE,则AP的长等于__________cm.
图1
答案 1或2.思路如下:如图2,当PQ=AE时,可证PQ与AE互相垂直.
在Rt△ADE中,由∠DAE=30°,AD=3,可得AE=.
在Rt△APM中,由∠PAM=30°,AM=,可得AP=2.
在图3中,∠ADF=30°,当PQ=DF时,DP=2,所以AP=1.
图2 图3
4.5四边形
例1 2015年安徽省中考第9题
如图1,矩形ABCD中,AB=8,BC=4.点E在边AB上,点F在边CD上,点G、H在对角线AC上.若四边形EGFH是菱形,则AE的长是( ).
A. B. C.5 D.6
图1
答案 C.思路如下:
如图3,在Rt△ABC中,AB=8,BC=4,所以AC=.
由cos∠BAC=,得.所以AE=5.
图2 图3
例2 2014年广州市中考第8题
将四根长度相等的细木条首尾相接,用钉子钉成四边形ABCD,转动这个四边形,使它形状改变.当∠B=90°时,如图1,测得AC=2.当∠B=60°时,如图2,AC等于( ).
(A); (B)2; (C) ; (D) 2.
图1 图2
答案 (A).思路如下:
4.6圆
例1 2015年兰州市中考第15题
如图1,⊙O的半径为2,AB,CD是互相垂直的两条直径,点P是⊙O上任意一点(P与A,B,C,D不重合),过点P作PM⊥AB于点M,PN⊥CD于点N,点Q是MN的中点,当点P沿着圆周转过45°时,点Q走过的路径长为__________.
A. B. C. D.
图1
答案 A.思路如下:
如图2,四边形PMON是矩形,对角线MN与OP互相平分且相等,因此点Q是OP的中点.
如图3,当∠DOP=45°时,的长为.
图2 图3
例2 2014年温州市中考第16题
如图1,在矩形ABCD中,AD=8,E是AB边上一点,且AE=AB,⊙O经过点E,与边CD所在直线相切于点G(∠GEB为锐角),与边AB所在直线相交于另一点F,且EG∶EF=∶2.当边AD或BC所在的直线与⊙O相切时,AB的长是________.
图1
答案 12或4.思路如下:
如图2,在Rt△GEH中,由GH=8,EG∶EF=∶2,可以得到EH=4.
在Rt△OEH中,设⊙O的半径为r,由勾股定理,得r2=42+(8-r)2.解得r=5.
设AE=x,那么AB=4x.
如图3,当⊙O与BC相切时,HB=r=5.
由AB=AE+EH+HB,得4x=x+4+5.解得x=3.此时AB=12.
如图4,当⊙O与AD相切时,HA=r=5.
由AE=AH-EH,得x=5-4=1.此时AB=4.
图2 图3 图4
4.7函数图像的性质
例1 2015年青岛市中考第8题
如图1,正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于A、B两点,其中点A的横坐标为2,当y1>y2时,x的取值范围是( ).
A.x<-2或x>2 B. x<-2或0<x<2
C.-2<x<0或0<x<2 D.-2<x<0或x>2
图1
答案 D.如图2所示.
图2
例2 2014年苏州市中考第18题
如图1,直线l与半径为4的⊙O相切于点A,P是⊙O上一个动点(不与点A重合),过点P作PB⊥l,垂足为B,联结PA.设PA=x,PB=y,则(x-y)的最大值是_____.
图1
答案 2.思路如下:如图3,AC为⊙O的直径,联结PC.
由△ACP∽△PAB,得,即.所以.
因此.
所以当x=4时,x-y最大,最大值为2.