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- 2021-05-10 发布
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中考数学专题复习之十四:猜想型题
【中考题特点】:
猜想型题是近两年来中考数学试题中出现的热点题型之一。这类型题要求考生通过对题目中的文字及图形两方面提供的信息,猜想出解决此问题的结论和方法。此类题型打破了以往考查学生从已知条件到所给结论的解题模式。求解这类问题,不能随意乱猜,要结合题目给出的条件,根据图形直观的找出结论后再进行合理的推理论证。
【范例讲析】:
例1:如图,已知为等边三角形,、、分别在边、、上,且也是等边三角形.
(1)除已知相等的边以外,请你猜想还有哪些相等线段,并证明你的猜想是正确的;
(2)你所证明相等的线段,可以通过怎样的变化相互得到?写出变化过程.
例2:如图a,△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形,且有一个公共顶点C,连接AF和BE.
(1)线段AF和BE有怎样的大小关系?请证明你的结论;
(2)将图a中的△CEF绕点C旋转一定的角度,得到图b,(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由;
(3)若将图a中的△ABC绕点C旋转一定的角度,请你画山一个变换后的图形c(草图即可),(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由;
(4)根据以上证明、说理、画图,归纳你的发现.
例3:如图,已知平行四边形及四边形外一直线,四个顶点到直线的距离分别为.
(1)观察图形,猜想得满足怎样的关系式?证明你的结论.
(2)现将向上平移,你得到的结论还一定成立吗?请分情况写出你的结论.
例4:如图1,平面直角坐标系中有一张矩形纸片OABC,O为坐标原点,A点坐标为(10,0),C点坐标为(0,6)。D是BC边上的动点(与点B、C不重合),现将ΔCOD沿OD翻折,得到ΔFOD;再在AB边上选取适当的点E,将ΔBDE沿DE翻折,得到ΔGDE,并使直线DG、DF重合。
(1)如图2,若翻折后点F落在OA边上,求直线DE的函数关系式;
(2)设D(0,6),E(10,b),求b关于a的函数关系式,并求b的最小值;
(3)一般地,请你猜想直线DE与抛物线y=―x2+6的公共点的个数,在图二的情形中通过计算验证你的猜想;如果直线DE与抛物线y=―x2+6始终有公共点,请在图一中作出这样的公共点。
例5:已知A1、A2、A3是抛物线上的三点,A1B1、A2B2、A3B3分别垂直于x轴,垂足为B1、B2、B3,直线A2B2交线段A1A3于点C。
(1) 如图,若A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3,求线段CA2的长。
(2)如图,若将抛物线改为抛物线,A1、A2、A3三点的横坐标为连续整数,其他条件不变,求线段CA2的长。
A1
A2
A3
B3
B2
B1
O
C
x
y
(3)若将抛物线改为抛物线,A1、A2、A3三点的横坐标为连续整数,其他条件不变,请猜想线段CA2的长(用a、b、c表示,并直接写出答案)。
【练习】:
1、空投物资用的某种降落伞的轴截面如图所示,是等边三角形,、是以为直径的半圆的两个三等分点,、分别交于点、,试判断点、分别位于所在线段的什么位置?并证明你的结论(证明一种情况即可)
2、(1)如图一,等边ΔABC中,D是AB边上的动点,以CD为一边,向上作等边ΔEDC,连结AE。求证:AE∥BC;
(2)如图二,将(1)中等边ΔABC的形状改成以BC为底边的等腰三角形,所作ΔEDC改成相似于ΔABC。请问:是否仍有AE∥BC?证明你的结论。
3、已知二次函数(为常数,△=)的图象与轴相交于A,B两点,且A、B两点间的距离为,例如,通过研究其中一个函数及图象(如图),可得出表中第2行的相交数据。
⑴在表内的空格中填上正确的数;
y=x2+px+q
p
q
△
x1
x2
d
y=x2-5x+6
-5
6
1
2
3
1
y=x2-x
-
y=x2+x-2
-2
-2
3
⑵根据上述表内d与△的值,猜想它们之间有什么关系?再举一个符合条件的二次函数,验证你的猜想;
⑶对于函数:(为常数,△=)
证明你的猜想。
参考答案:
例1:解:(1)图中还有相等的线段是:AE=BF=CD,AF=BD=CE,
事实上,∵△ABC与△DEF都是等边三角形,
∴∠A=∠B=∠C=60°,∠EDF=∠DEF=∠EFD=60°,DE=EF=FD,
又∵∠CED+∠AEF=120°,∠CDE+∠CED=120°
∴∠AEF=∠CDE,同理,得∠CDE=∠BFD,
∴△AEF≌△BFD≌△CDE(AAS),所以AE=BF=CD,AF=BD=CE。
(2)线段AE、BF、CD它们绕△ABC的内心按顺时针(或按逆时针)方向旋转120°,可互相得到,线段AF、BD、CE它们绕△ABC的内心按顺时针(或按逆时针)方向旋转
120°,可互相得到。
例2:(1)AF=BE.
证明:在△AFC和△BEC中,
∵△ABC和△CEF是等边三角形,
∴AC=BC,CF=CE,∠ACF=∠BCE=60°.
∴△AFC≌△BEC. ∴AF=BE.
(2)成立.
理由:在△AFC和△BEC中,
∵△ABC和△CEF是等边三角形,
∴AC=BC,CF=CE,∠ACB=∠FCE=60°.
∴∠ACB-∠FCB=∠FCE-∠FCB. 即∠ACF=∠BCE.
∴△AFC≌△BEC. ∴AF=BE.
(3)评价要求:此处图形不惟一,仅举几例,只要正确,即可得分.
如图,(1)中的结论仍成立.
(4)根据以上证明、说明、画图,归纳如下:
例3:(1). …
证明:连结,且相交于点,为点到的距离,
∴OO1为直角梯形的中位线 ,
∴;
同理:.
∴.
(2)不一定成立.
分别有以下情况:
直线过点时,;
直线过点与点之间时,;
直线过点时,;
直线过点与点之间时,;…
直线过点时,;
直线过点与点之间时,;
直线过点时,;
直线过点上方时,.
例4:解:(1)y=-x+12。
(2)当a=5时,b最小值=
(3)猜想:直线DE与抛物线
证明:由(1)可知,DE所在直线为y=-x+12。
代入抛物线,得
化简得x2-24x+144=0,所以△=0。
所以直线DE与抛物线
作法一:延长OF交DE于点H。
作法二:在DB上取点M,使DM=CD,过M作MH⊥BC,交DE于点H。
例5:解:(1)方法一:
∵A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3,
∴A1B1= ,A2B2=,A3B3=…1分
设直线A1A3的解析式为y=kx+b。
∴ 解得
∴直线A1A2的解析式为。∴CB2=2×2-=
∴CA2=CB2-A2B2=-2=。
方法二:∵A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3,
∴A1B1= ,A2B2=,A3B3=
由已知可得A1B1 ∥A3B3,∴CB2=(A1B1+A3B3)=(+)=。
∴CA2=CB2-A2B2=-2=
(1) 方法一:设A1、A2、A3三点的横坐标依次n-1、n、n+1。
则A1B1= ,A2B2=n2-n+1,
A3B3=(n+1)2-(n+1)+1。
设直线A1A3的解析式为y=kx+b
∴ 解得
∴直线A1A3的解析式为,
∴CB2=n(n-1)-n2+=n2-n+
∴CA2= CB2-A2B2=n2-n+-n2+n-1=。
方法二:设A1、A2、A3三点的横坐标依次n-1、n、n+1。
则A1B1= ,A2B2=n2-n+1,A3B3=(n+1)2-(n+1)+1。
由已知可得A1B1 ∥A3B3,∴CB2=(A1B1+A3B3)
= =
∴CA2= CB2-A2B2=n2-n+-n2+n-1=。
(2) 当a>0时,CA2=a;当a<0时,CA2=-a。
【练习】:
1、解:
2、解:
3、解:⑴第一行 ;
第三行 ,△=9,;
⑵猜想:△
例如:中;;由得
,∴△ …
⑶证明:令,得,∵△>0
设的两根为,
则+,