中考数学真题 尺规作图题型 22页

尺规作图 一.选择题 ‎1. （2015•浙江衢州,第7题3分）数学课上，老师让学生尺规作图画，使其斜边 ，一条直角边.小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断是直角的依据是【 】‎ A．勾股定理 B．直径所对的圆周角是直角 ‎ C．勾股定理的逆定理 D．90°的圆周角所对的弦是直径 ‎【答案】B．‎ ‎【考点】尺规作图（复杂作图）；圆周角定理．‎ ‎【分析】小明的作法是：①取，作的垂直平分线交于点；‎ ‎②以点为圆心，长为半径画圆；‎ ‎③以点为圆心，长为半径画弧，与交于点；‎ ‎④连接.‎ 则即为所求.‎ 从以上作法可知，是直角的依据是：直径所对的圆周角是直角.‎ 故选B．‎ ‎2. （2015•浙江嘉兴，第9题4分）数学活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图，已知直线l和l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l与点Q .”分别作出了下列四个图形. 其中做法错误的是（▲）‎ ‎[ww~w.‎ 考点：作图—基本作图．.‎ 分析：A、根据作法无法判定PQ⊥l；‎ B、以P为圆心大于P到直线l的距离为半径画弧，交直线l，于两点，再以两点为圆心，大于它们的长为半径画弧，得出其交点，进而作出判断；‎ C、根据直径所对的圆周角等于90°作出判断；‎ D、根据全等三角形的判定和性质即可作出判断．‎ 解答：解：根据分析可知，‎ 选项B、C、D都能够得到PQ⊥l于点Q；选项A不能够得到PQ⊥l于点Q．‎ 故选：A．‎ 点评：此题主要考查了过直线外以及过直线上一点作已知直线的垂线，熟练掌握基本作图方法是解题关键．‎ ‎3．（2015•山东潍坊第9 题3分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：‎ 第一步，分别以点A、D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；‎ 第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；‎ 第三步，连接DE、DF．‎ 若BD=6，AF=4，CD=3，则BE的长是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2‎ B．‎ ‎4‎ C．‎ ‎6‎ D．‎ ‎8‎ 考点： 平行线分线段成比例；菱形的判定与性质；作图—基本作图．.‎ 分析： 根据已知得出MN是线段AD的垂直平分线，推出AE=DE，AF=DF，求出DE∥AC，DF∥AE，得出四边形AEDF是菱形，根据菱形的性质得出AE=DE=DF=AF，根据平行线分线段成比例定理得出=，代入求出即可．‎ 解答： 解：∵根据作法可知：MN是线段AD的垂直平分线，‎ ‎∴AE=DE，AF=DF，‎ ‎∴∠EAD=∠EDA，‎ ‎∵AD平分∠BAC，‎ ‎∴∠BAD=∠CAD，‎ ‎∴∠EDA=∠CAD，‎ ‎∴DE∥AC，‎ 同理DF∥AE，‎ ‎∴四边形AEDF是菱形，‎ ‎∴AE=DE=DF=AF，‎ ‎∵AF=4，‎ ‎∴AE=DE=DF=AF=4，‎ ‎∵DE∥AC，‎ ‎∴=，‎ ‎∵BD=6，AE=4，CD=3，‎ ‎∴=，‎ ‎∴BE=8，‎ 故选D．‎ 点评： 本题考查了平行线分线段成比例定理，菱形的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，能根据定理四边形AEDF是菱形是解此题的关键，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例．‎ ‎4．（2015•山东潍坊第9 题3分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：‎ 第一步，分别以点A、D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；‎ 第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；‎ 第三步，连接DE、DF．‎ 若BD=6，AF=4，CD=3，则BE的长是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2‎ B．‎ ‎4‎ C．‎ ‎6‎ D．‎ ‎8‎ 考点： 平行线分线段成比例；菱形的判定与性质；作图—基本作图．.‎ 分析： 根据已知得出MN是线段AD的垂直平分线，推出AE=DE，AF=DF，求出DE∥AC，DF∥AE，得出四边形AEDF是菱形，根据菱形的性质得出AE=DE=DF=AF，根据平行线分线段成比例定理得出=，代入求出即可．‎ 解答： 解：∵根据作法可知：MN是线段AD的垂直平分线，‎ ‎∴AE=DE，AF=DF，‎ ‎∴∠EAD=∠EDA，‎ ‎∵AD平分∠BAC，‎ ‎∴∠BAD=∠CAD，‎ ‎∴∠EDA=∠CAD，‎ ‎∴DE∥AC，‎ 同理DF∥AE，‎ ‎∴四边形AEDF是菱形，‎ ‎∴AE=DE=DF=AF，‎ ‎∵AF=4，‎ ‎∴AE=DE=DF=AF=4，‎ ‎∵DE∥AC，‎ ‎∴=，‎ ‎∵BD=6，AE=4，CD=3，‎ ‎∴=，‎ ‎∴BE=8，‎ 故选D．‎ 点评： 本题考查了平行线分线段成比例定理，菱形的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，能根据定理四边形AEDF是菱形是解此题的关键，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例．‎ 二.填空题 ‎1、（2015•四川自贡,第15题4分）如图，将线段放在边长为1的小正方形网格，点 点均落在格点上，请用无刻度直尺在线段上画出点，‎ 使,并保留作图痕迹.‎ 考点：矩形、正方形的性质、勾股定理、相似三角形的性质和判定.‎ 分析：本题根据勾股定理可求出在网格中的，由于网格线中的对边平行，所以找点较容易，只需连接一对角线与的交点就满足（见图）；根据的是平行线所截得相似三角形的对应边成比例, 所以 ，则.‎ 略解：见图作法.‎ ‎2．（2015•北京市,第16题，3分）阅读下面材料：‎ 在数学课上，老师提出如下问题：‎ 尺规作图：作一条线段的垂直平分线．‎ 已知：线段AB．‎ 小芸的作法如下：‎ 如图，‎ ‎（1）分别以点A和点B为圆心，大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于C、D两点；‎ ‎（2）作直线CD ‎ ‎ 老师说：“小芸的作法正确．”‎ 请回答：小芸的作图依据是_________________________．‎ ‎【考点】点、线 ‎【难度】容易 ‎【答案】到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；两个点确定一条直线。‎ ‎【点评】本题考查线段的基本概念。‎ 三.解答题 ‎1. （2015山东济宁，19，8分）(本题满分8分)‎ 如图，在△ABC中，AB=AC，∠DAC是△ABC的一个外角.‎ 实践与操作：‎ 根据要求尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）. ‎ ‎（1）作∠DAC的平分线AM；‎ ‎（2）作线段AC的垂直平分线，与AM交于点F，与BC边交于点E，连接AE、CF.‎ 猜想并证明：‎ 判断四边形AECF的形状并加以证明.‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ 试题解析：（1）‎ ‎ ‎ ‎（2）猜想：四边形AECF是菱形 ‎ 证明：∵AB=AC ，AM平分∠CAD ‎ ‎ ∴∠B=∠ACB，∠CAD=2∠CAM ‎∵∠CAD是△ABC的外角 ‎∴∠CAD=∠B+∠ACB ‎∴∠CAD=2∠ACB ‎ ‎∴∠CAM=∠ACB ‎∴AF∥CE ‎∵EF垂直平分AC ‎ ‎∴OA=OC, ∠AOF=∠COE=‎ ‎∴AOF≌△COE ‎ ‎∴AF=CE 在四边形AECF中，AF∥CE，AF=CE ‎∴四边形AECF是平行四边形 又∵EF⊥AC ‎ ‎∴四边形AECF是菱形 考点：角平分线，线段的垂直平分线的基本作图，等腰三角形的内外角，三角形全等，菱形的判定 ‎2．（2015•广东省,第19题，6分）如图，已知锐角△ABC.‎ ‎（1）过点A作BC边的垂线MN，交BC于点D（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；‎ ‎【答案】解：（1）作图如答图所示，AD为所作.‎ ‎【考点】尺规作图（基本作图）‎ ‎【分析】（1）①以点A为圆心画弧交BC于点E、F；‎ ②分别以点E、F为圆心，大于长为半径画弧，两交于点G；‎ ③连接AG，即为BC边的垂线MN，交BC于点D.‎ ‎3. （2015•浙江杭州,第21题10分）‎ ‎ “综合与实践”学习活动准备制作一组三角形，记这些三角形的三边分别为a，b，c，并且这些三角形三边的长度为大于1且小于5的整数个单位长度 ‎（1）用记号(a，b，c)(a≤b≤c)表示一个满足条件的三角形，如(2，3，3)表示边长分别为2，3，3个单位长度的一个三角形，请列举出所有满足条件的三角形 ‎（2）用直尺和圆规作出三边满足aDE≥BD，连接AD，AE分别交FG于点M，N，求证：点M，N是线段FG的勾股分割点 ‎（3）已知点C是线段AB上的一定点，其位置如图3所示，请在BC上画一点D，使C，D是线段AB的勾股分割点（要求尺规作图，保留作图痕迹，画出一种情形即可）‎ ‎（4）如图4，已知点M，N是线段AB的勾股分割点，MN>AM≥BN，△AMC，△MND 和△NBM均是等边三角形，AE分别交CM，DM，DN于点F，G，H，若H是DN 的中点，试探究，和的数量关系，并说明理由 ‎6．（2015•广东梅州,第21题9分）如图，已知△ABC，按如下步骤作图：‎ ‎①以A为圆心，AB长为半径画弧；‎ ‎②以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；‎ ‎③连接BD，与AC交于点E，连接AD，CD．‎ ‎（1）求证：△ABC≌△ADC；‎ ‎（2）若∠BAC=30°，∠BCA=45°，AC=4，求BE的长．‎ ‎ ‎ 考点： 全等三角形的判定与性质；作图—复杂作图．‎ 分析： （1）利用SSS定理证得结论；‎ ‎（2）设BE=x，利用特殊角的三角函数易得AE的长，由∠BCA=45°易得CE=BE=x，解得x，得CE的长．‎ 解答： （1）证明：在△ABC与△ADC中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABC≌△ADC（SSS）；‎ ‎（2）解：设BE=x，‎ ‎∵∠BAC=30°，‎ ‎∴∠ABE=60°，‎ ‎∴AE=tan60°•x=x，‎ ‎∵△ABC≌△ADC，‎ ‎∴CB=CD，∠BCA=∠DCA，‎ ‎∵∠BCA=45°，‎ ‎∴∠BCA=∠DCA=90°，‎ ‎∴∠CBD=∠CDB=45°，‎ ‎∴CE=BE=x，‎ ‎∴x+x=4，‎ ‎∴x=2﹣2，‎ ‎∴BE=2﹣2．‎ 点评： 本题主要考查了全等三角形的判定及性质，特殊角的三角函数，利用方程思想，综合运用全等三角形的性质和判定定理是解答此题的关键．‎ ‎7．（2015•广东佛山,第18题6分）如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，请你用尺规作图将△ABC分成两个全等的三角形，并说明这两个三角形全等的理由．（保留作图痕迹，不写作法）‎ 考点：作图—应用与设计作图；全等三角形的判定；等腰三角形的性质．‎ 专题：作图题．‎ 分析：作出底边BC的垂直平分线，交BC于点D，利用三线合一得到D为BC 的中点，可得出三角形ADB与三角形ADC全等．‎ 解答： 解：作出BC的垂直平分线，交BC于点D，‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴AD平分∠BAC，即∠BAD=∠CAD，‎ 在△ABD和△ACD中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABD≌△ACD（SAS）．‎ 点评： 此题考查了作图﹣应用于设计作图，全等三角形的判定，以及等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．‎ ‎ ‎ ‎8．（2015•甘肃武威,第21题6分）如图，已知在△ABC中，∠A=90°‎ ‎（1）请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P在AC边上，且与AB，BC两边都相切（保留作图痕迹，不写作法和证明）．‎ ‎（2）若∠B=60°，AB=3，求⊙P的面积．‎ ‎ ‎ 考点：作图—复杂作图；切线的性质．‎ 分析： （1）作∠ABC的平分线交AC于P，再以P为圆心PA为半径即可作出⊙P；‎ ‎（2）根据角平分线的性质得到∠ABP=30°，根据三角函数可得AP=，再根据圆的面积公式即可求解．‎ 解答： 解：（1）如图所示，则⊙P为所求作的圆．‎ ‎（2）∵∠B=60°，BP平分∠ABC，‎ ‎∴∠ABP=30°，‎ ‎∵tan∠ABP=，‎ ‎∴AP=，‎ ‎∴S⊙P=3π．‎ 点评：本题主要考查了作图﹣复杂作图，角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等．同时考查了圆的面积．‎ ‎9．（2015·湖北省孝感市，第20题8分）‎ ‎ 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（）．‎ ‎（1）用直尺和圆规作出所在圆的圆心；（要求保留作图痕迹，不写作法）（4分）‎ ‎（2）若的中点到弦的距离为m，m，求所在圆的半径．（4分）‎ 考点：作图—复杂作图；勾股定理；垂径定理的应用．.‎ 专题：作图题．‎ 分析：（1）连结AC、BC，分别作AC和BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O，如图1；‎ ‎（2）连接OA，OC，OC交AB于D，如图2，根据垂径定理的推论，由C为的中点得到OC⊥AB，AD=BD=AB=40，则CD=20，设⊙O的半径为r，在Rt△OAD中利用勾股定理得到r2=（r﹣20）2+402，然后解方程即可．‎ 解答：‎ 解：（1）如图1，‎ 点O为所求；‎ ‎（2）连接OA，OC，OC交AB于D，如图2，‎ ‎∵C为的中点，‎ ‎∴OC⊥AB，‎ ‎∴AD=BD=AB=40，‎ 设⊙O的半径为r，则OA=r，OD=OD﹣CD=r﹣20，‎ 在Rt△OAD中，∵OA2=OD2+BD2，‎ ‎∴r2=（r﹣20）2+402，解得r=50，‎ 即所在圆的半径是50m．‎ 点评：本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法；解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了勾股定理和垂径定理．‎ ‎10 , (2015山东青岛，第15题,3分)已知：线段，直线外一点A．‎ 求作：Rt△ABC，使直角边为AC（AC⊥，垂足为C）斜边AB＝C．‎ ‎【答案】略.‎ 考点：作图 ‎11 , （2015•淄博第19题,7分）如图，在△ABC中，AB=4cm，AC=6cm．‎ ‎（1）作图：作BC边的垂直平分线分别交与AC，BC于点D，E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；‎ ‎（2）在（1）的条件下，连结BD，求△ABD的周长．‎ 考点： 作图—复杂作图．.‎ 分析： （1）运用作垂直平分线的方法作图，‎ ‎（2）运用垂直平分线的性质得出BD=DC，利用△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+AC 即可求解．‎ 解答： 解：（1）如图1，‎ ‎（2）如图2，‎ ‎ ‎ ‎∵DE是BC边的垂直平分线，‎ ‎∴BD=DC，‎ ‎∵AB=4cm，AC=6cm．‎ ‎∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+AC=4+6=10cm．‎ 点评： 本题主要考查了作图﹣复杂作图及垂直平分线的性质，解题的关键是熟记作垂直平分线的方法．‎ ‎12. （2015•浙江丽水，第19题6分）如图，已知△ABC，∠C=Rt∠，AC