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  • 2021-05-10 发布

2020年河南省中考数学试卷(含解析)

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第 1 页(共 26 页) 2020 年河南省中考数学试卷 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分)下列各小题均有四个答案,其中只有一个是正确 的. 1.(3 分)2 的相反数是(  ) A.﹣2 B. - 1 2 C.1 2 D.2 2.(3 分)如图摆放的几何体中,主视图与左视图有可能不同的是(  ) A. B. C. D. 3.(3 分)要调查下列问题,适合采用全面调查(普查)的是(  ) A.中央电视台《开学第一课》的收视率 B.某城市居民 6 月份人均网上购物的次数 C.即将发射的气象卫星的零部件质量 D.某品牌新能源汽车的最大续航里程 4.(3 分)如图,l1∥l2,l3∥l4,若∠1=70°,则∠2 的度数为(  ) A.100° B.110° C.120° D.130° 5.(3 分)电子文件的大小常用 B,KB,MB,GB 等作为单位,其中 1GB=210MB,1MB= 210KB,1KB=210B.某视频文件的大小约为 1GB,1GB 等于(  ) A.230B B.830B C.8×1010B D.2×1030B 6.(3 分)若点 A(﹣1,y1),B(2,y2),C(3,y3)在反比例函数 y = - 6 푥的图象上, 则 y1,y2,y3 的大小关系是(  ) A.y1>y2>y3 B.y2>y3>y1 C.y1>y3>y2 D.y3>y2>y1 7.(3 分)定义运算:m☆n=mn2﹣mn﹣1.例如:4☆2=4×22﹣4×2﹣1=7.则方程 1☆x =0 的根的情况为(  ) 第 2 页(共 26 页) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.只有一个实数根 8.(3 分)国家统计局统计数据显示,我国快递业务收入逐年增加.2017 年至 2019 年我国 快递业务收入由 5000 亿元增加到 7500 亿元.设我国 2017 年至 2019 年快递业务收入的 年平均增长率为 x,则可列方程为(  ) A.500(1+2x)=7500 B.5000×2(1+x)=7500 C.5000(1+x)2=7500 D.5000+5000(1+x)+5000(1+x)2=7500 9.(3 分)如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,边 BC 在 x 轴上,顶点 A,B 的坐标分别为 (﹣2,6)和(7,0).将正方形 OCDE 沿 x 轴向右平移,当点 E 落在 AB 边上时,点 D 的坐标为(  ) A.(3 2,2) B.(2,2) C.(11 4 ,2) D.(4,2) 10.(3 分)如图,在△ABC 中,AB=BC = 3,∠BAC=30°,分别以点 A,C 为圆心,AC 的长为半径作弧,两弧交于点 D,连接 DA,DC,则四边形 ABCD 的面积为(  ) A.6 3 B.9 C.6 D.3 3 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11.(3 分)请写出一个大于 1 且小于 2 的无理数   . 12.(3 分)已知关于 x 的不等式组{x>a, 푥>푏,其中 a,b 在数轴上的对应点如图所示,则这个 不等式组的解集为   . 第 3 页(共 26 页) 13.(3 分)如图所示的转盘,被分成面积相等的四个扇形,分别涂有红、黄、蓝、绿四种 颜色.固定指针,自由转动转盘两次,每次停止后,记下指针所指区域(指针指向区域 分界线时,忽略不计)的颜色,则两次颜色相同的概率是   . 14.(3 分)如图,在边长为 2 2的正方形 ABCD 中,点 E,F 分别是边 AB,BC 的中点,连 接 EC,FD,点 G,H 分别是 EC,FD 的中点,连接 GH,则 GH 的长度为   . 15.(3 分)如图,在扇形 BOC 中,∠BOC=60°,OD 平分∠BOC 交BC于点 D,点 E 为半 径 OB 上一动点.若 OB=2,则阴影部分周长的最小值为   . 三、解答题(本大题共 8 个小题,满分 75 分) 16.(8 分)先化简,再求值:(1 - 1 푎 + 1) ÷ 푎 푎2 ― 1 ,其中 a = 5 + 1. 17.(9 分)为发展乡村经济,某村根据本地特色,创办了山药粉加工厂.该厂需购置一台 分装机,计划从商家推荐试用的甲、乙两台不同品牌的分装机中选择.试用时,设定分 装的标准质量为每袋 500g,与之相差大于 10g 为不合格.为检验分装效果,工厂对这两 台机器分装的成品进行了抽样和分析,过程如下: [收集数据]从甲、乙两台机器分装的成品中各随机抽取 20 袋,测得实际质量(单位:g) 如下: 甲:501 497 498 502 513 489 506 490 505 486 502 503 498 497 491 500 505 502 504 505 乙:505 499 502 491 487 506 493 505 499 498 502 503 501 490 501 502 511 499 499 501 第 4 页(共 26 页) [整理数据]整理以上数据,得到每袋质量 x(g)的频数分布表. 质量 频数 机器 485≤x< 490 490≤x< 495 495≤x< 500 500≤x< 505 505≤x< 510 510≤x< 515 甲 2 2 4 7 4 1 乙 1 3 5 7 3 1 [分析数据]根据以上数据,得到以下统计量. 统计量 机器 平均数 中位数 方差 不合格率 甲 499.7 501.5 42.01 b 乙 499.7 a 31.81 10% 根据以上信息,回答下列问题: (1)表格中的 a=   ,b=   ; (2)综合上表中的统计量,判断工厂应迭购哪一台分装机,并说明理由. 18.(9 分)位于河南省登封市境内的元代观星台,是中国现存最早的天文台,也是世界文 化遗产之一. 某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度.如图所示,他们在 地面一条水平步道 MP 上架设测角仪,先在点 M 处测得观星台最高点 A 的仰角为 22°, 然后沿 MP 方向前进 16m 到达点 N 处,测得点 A 的仰角为 45°.测角仪的高度为 1.6m. (1)求观星台最高点 A 距离地面的高度(结果精确到 0.1m.参考数据:sin22°≈0.37, cos22°≈0.93,tan22°≈0.40, 2 ≈ 1.41); (2)“景点简介”显示,观星台的高度为 12.6m.请计算本次测量结果的误差,并提出一 条减小误差的合理化建议. 19.(9 分)暑期将至,某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动,活动方案如下. 第 5 页(共 26 页) 方案一:购买一张学生暑期专享卡,每次健身费用按六折优惠; 方案二:不购买学生暑期专享卡,每次健身费用按八折优惠. 设某学生暑期健身 x(次),按照方案一所需费用为 y1(元),且 y1=k1x+b;按照方案二 所需费用为 y2(元),且 y2=k2x.其函数图象如图所示. (1)求 k1 和 b 的值,并说明它们的实际意义; (2)求打折前的每次健身费用和 k2 的值; (3)八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身 8 次,应选择哪种方案所需费用更少? 说明理由. 20.(9 分)我们学习过利用尺规作图平分一个任意角,而“利用尺规作图三等分一个任意 角”曾是数学史上一大难题,之后被数学家证明是不可能完成的.人们根据实际需要, 发明了一种简易操作工具﹣﹣三分角器.图 1 是它的示意图,其中 AB 与半圆 O 的直径 BC 在同一直线上,且 AB 的长度与半圆的半径相等;DB 与 AC 垂直于点 B,DB 足够长. 使用方法如图 2 所示,若要把∠MEN 三等分,只需适当放置三分角器,使 DB 经过∠MEN 的顶点 E,点 A 落在边 EM 上,半圆 O 与另一边 EN 恰好相切,切点为 F,则 EB,EO 就把∠MEN 三等分了. 为了说明这一方法的正确性,需要对其进行证明.如下给出了不完整的“已知”和“求 证”,请补充完整,并写出“证明”过程. 已知:如图 2,点 A,B,O,C 在同一直线上,EB⊥AC,垂足为点 B,   . 第 6 页(共 26 页) 求证:   . 21.(10 分)如图,抛物线 y=﹣x2+2x+c 与 x 轴正半轴,y 轴正半轴分别交于点 A,B,且 OA =OB,点 G 为抛物线的顶点. (1)求抛物线的解析式及点 G 的坐标; (2)点 M,N 为抛物线上两点(点 M 在点 N 的左侧),且到对称轴的距离分别为 3 个单 位长度和 5 个单位长度,点 Q 为抛物线上点 M,N 之间(含点 M,N)的一个动点,求 点 Q 的纵坐标 yQ 的取值范围. 22.(10 分)小亮在学习中遇到这样一个问题: 如图,点 D 是BC上一动点,线段 BC=8cm,点 A 是线段 BC 的中点,过点 C 作 CF∥ BD,交 DA 的延长线于点 F.当△DCF 为等腰三角形时,求线段 BD 的长度. 小亮分析发现,此问题很难通过常规的推理计算彻底解决,于是尝试结合学习函数的经 验研究此问题.请将下面的探究过程补充完整: (1)根据点 D 在BC上的不同位置,画出相应的图形,测量线段 BD,CD,FD 的长度, 得到下表的几组对应值. BD/cm 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 CD/cm 8.0 7.7 7.2 6.6 5.9 a 3.9 2.4 0 FD/cm 8.0 7.4 6.9 6.5 6.1 6.0 6.2 6.7 8.0 操作中发现: ①“当点 D 为BC的中点时,BD=5.0cm”.则上表中 a 的值是   ; ②“线段 CF 的长度无需测量即可得到”.请简要说明理由. (2)将线段 BD 的长度作为自变量 x,CD 和 FD 的长度都是 x 的函数,分别记为 yCD 和 yFD,并在平面直角坐标系 xOy 中画出了函数 yFD 的图象,如图所示.请在同一坐标系中 第 7 页(共 26 页) 画出函数 yCD 的图象; (3)继续在同一坐标系中画出所需的函数图象,并结合图象直接写出:当△DCF 为等腰 三角形时,线段 BD 长度的近似值(结果保留一位小数). 23.(11 分)将正方形 ABCD 的边 AB 绕点 A 逆时针旋转至 AB′,记旋转角为 α,连接 BB′, 过点 D 作 DE 垂直于直线 BB′,垂足为点 E,连接 DB′,CE. (1)如图1,当α=60°时,△DEB′的形状为   ,连接BD,可求出 퐵퐵′ 퐶퐸 的值为   ; (2)当 0°<α<360°且 α≠90°时, ①(1)中的两个结论是否仍然成立?如果成立,请仅就图 2 的情形进行证明;如果不成 立,请说明理由; ②当以点 B′,E,C,D 为顶点的四边形是平行四边形时,请直接写出퐵퐸 퐵′퐸的值. 第 8 页(共 26 页) 2020 年河南省中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分)下列各小题均有四个答案,其中只有一个是正确 的. 1.(3 分)2 的相反数是(  ) A.﹣2 B. - 1 2 C.1 2 D.2 【解答】解:2 的相反数是﹣2. 故选:A. 2.(3 分)如图摆放的几何体中,主视图与左视图有可能不同的是(  ) A. B. C. D. 【解答】解:A、主视图和左视图是长方形,一定相同,故本选项不合题意题意; B、主视图和左视图都是等腰三角形,一定相同,故选项不符合题意; C、主视图和左视图都是圆,一定相同,故选项不符合题意; D、主视图是长方形,左视图是正方形,故本选项符合题意; 故选:D. 3.(3 分)要调查下列问题,适合采用全面调查(普查)的是(  ) A.中央电视台《开学第一课》的收视率 B.某城市居民 6 月份人均网上购物的次数 C.即将发射的气象卫星的零部件质量 D.某品牌新能源汽车的最大续航里程 【解答】解:A、调查中央电视台《开学第一课》的收视率,适合抽查,故本选项不合题 意; B、调查某城市居民 6 月份人均网上购物的次数,适合抽查,故本选项不合题意; C、调查即将发射的气象卫星的零部件质量,适合采用全面调查(普查),故本选项符合 题意; D、调查某品牌新能源汽车的最大续航里程,适合抽查,故本选项不合题意. 故选:C. 第 9 页(共 26 页) 4.(3 分)如图,l1∥l2,l3∥l4,若∠1=70°,则∠2 的度数为(  ) A.100° B.110° C.120° D.130° 【解答】解:∵l1∥l2,∠1=70°, ∴∠3=∠1=70°, ∵l3∥l4, ∴∠2=180°﹣∠3=180°﹣70°=110°, 故选:B. 5.(3 分)电子文件的大小常用 B,KB,MB,GB 等作为单位,其中 1GB=210MB,1MB= 210KB,1KB=210B.某视频文件的大小约为 1GB,1GB 等于(  ) A.230B B.830B C.8×1010B D.2×1030B 【解答】解:由题意得:210×210×210B=210+10+10=230B, 故选:A. 6.(3 分)若点 A(﹣1,y1),B(2,y2),C(3,y3)在反比例函数 y = - 6 푥的图象上, 则 y1,y2,y3 的大小关系是(  ) A.y1>y2>y3 B.y2>y3>y1 C.y1>y3>y2 D.y3>y2>y1 【解答】解:∵点 A(﹣1,y1)、B(2,y2)、C(3,y3)在反比例函数 y = - 6 푥的图象 上, ∴y1 = - 6 ―1 = 6,y2 = - 6 2 = ― 3,y3 = - 6 3 = ― 2, 又∵﹣3<﹣2<6, ∴y1>y3>y2. 第 10 页(共 26 页) 故选:C. 7.(3 分)定义运算:m☆n=mn2﹣mn﹣1.例如:4☆2=4×22﹣4×2﹣1=7.则方程 1☆x =0 的根的情况为(  ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.只有一个实数根 【解答】解:由题意可知:1☆x=x2﹣x﹣1=0, ∴△=1﹣4×1×(﹣1)=5>0, 故选:A. 8.(3 分)国家统计局统计数据显示,我国快递业务收入逐年增加.2017 年至 2019 年我国 快递业务收入由 5000 亿元增加到 7500 亿元.设我国 2017 年至 2019 年快递业务收入的 年平均增长率为 x,则可列方程为(  ) A.500(1+2x)=7500 B.5000×2(1+x)=7500 C.5000(1+x)2=7500 D.5000+5000(1+x)+5000(1+x)2=7500 【解答】解:设我国 2017 年至 2019 年快递业务收入的年平均增长率为 x, 由题意得:5000(1+x)2=7500, 故选:C. 9.(3 分)如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,边 BC 在 x 轴上,顶点 A,B 的坐标分别为 (﹣2,6)和(7,0).将正方形 OCDE 沿 x 轴向右平移,当点 E 落在 AB 边上时,点 D 的坐标为(  ) A.(3 2,2) B.(2,2) C.(11 4 ,2) D.(4,2) 【解答】解:如图,设正方形 D′C′O′E′是正方形 OCDE 沿 x 轴向右平移后的正方 形, ∵顶点 A,B 的坐标分别为(﹣2,6)和(7,0), 第 11 页(共 26 页) ∴AC=6,OC=2,OB=7, ∴BC=9, ∵四边形 OCDE 是正方形, ∴DE=OC=OE=2, ∴O′E′=O′C′=2, ∵E′O′⊥BC, ∴∠BO′E′=∠BCA=90°, ∴E′O′∥AC, ∴△BO′E′∽△BCA, ∴퐸′푂′ 퐴퐶 = 퐵푂′ 퐵퐶 , ∴2 6 = 퐵푂′ 9 , ∴BO′=3, ∴OC′=7﹣2﹣3=2, ∴当点 E 落在 AB 边上时,点 D 的坐标为(2,2), 故选:B. 10.(3 分)如图,在△ABC 中,AB=BC = 3,∠BAC=30°,分别以点 A,C 为圆心,AC 的长为半径作弧,两弧交于点 D,连接 DA,DC,则四边形 ABCD 的面积为(  ) A.6 3 B.9 C.6 D.3 3 【解答】解:连接 BD 交 AC 于 O, ∵AD=CD,AB=BC, 第 12 页(共 26 页) ∴BD 垂直平分 AC, ∴BD⊥AC,AO=CO, ∵AB=BC, ∴∠ACB=∠BAC=30°, ∵AC=AD=CD, ∴△ACD 是等边三角形, ∴∠DAC=∠DCA=60°, ∴∠BAD=∠BCD=90°,∠ADB=∠CDB=30°, ∵AB=BC = 3, ∴AD=CD = 3AB=3, ∴四边形 ABCD 的面积=2 × 1 2 × 3 × 3 = 3 3, 故选:D. 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11.(3 分)请写出一个大于 1 且小于 2 的无理数  3 . 【解答】解:大于 1 且小于 2 的无理数是 3,答案不唯一. 故答案为: 3. 12.(3 分)已知关于 x 的不等式组{x>a, 푥>푏,其中 a,b 在数轴上的对应点如图所示,则这个 不等式组的解集为 x>a . 【解答】解:∵b<0<a, ∴关于 x 的不等式组{x>a, 푥>푏,的解集为:x>a, 故答案为:x>a. 13.(3 分)如图所示的转盘,被分成面积相等的四个扇形,分别涂有红、黄、蓝、绿四种 颜色.固定指针,自由转动转盘两次,每次停止后,记下指针所指区域(指针指向区域 第 13 页(共 26 页) 分界线时,忽略不计)的颜色,则两次颜色相同的概率是 1 4 . 【解答】解:自由转动转盘两次,指针所指区域所有可能出现的情况如下: 共有 16 种可能出现的结果,其中两次颜色相同的有 4 种, ∴P(两次颜色相同) = 4 16 = 1 4, 故答案为:1 4. 14.(3 分)如图,在边长为 2 2的正方形 ABCD 中,点 E,F 分别是边 AB,BC 的中点,连 接 EC,FD,点 G,H 分别是 EC,FD 的中点,连接 GH,则 GH 的长度为 1 . 【解答】解:设 DF,CE 交于 O, ∵四边形 ABCD 是正方形, ∴∠B=∠DCF=90°,BC=CD=AB, ∵点 E,F 分别是边 AB,BC 的中点, ∴BE=CF, ∴△CBE≌△DCF(SAS), ∴CE=DF,∠BCE=∠CDF, ∵∠CDF+∠CFD=90°, ∴∠BCE+∠CFD=90°, ∴∠COF=90°, 第 14 页(共 26 页) ∴DF⊥CE, ∴CE=DF = (2 2)2 + ( 2)2 = 10, ∵点 G,H 分别是 EC,FD 的中点, ∴CG=FH = 10 2 , ∵∠DCF=90°,CO⊥DF, ∴CF2=OF•DF, ∴OF = 퐶퐹2 퐷퐹 = ( 2)2 10 = 10 5 , ∴OH = 3 10 10 ,OD = 4 10 5 , ∵OC2=OF•OD, ∴OC = 10 5 × 4 10 5 = 2 10 5 , ∴OG=CG﹣OC = 10 2 ― 2 10 5 = 10 10 , ∴HG = 푂퐺2 + 푂퐻2 = 1 10 + 9 10 = 1, 故答案为:1. 15.(3 分)如图,在扇形 BOC 中,∠BOC=60°,OD 平分∠BOC 交BC于点 D,点 E 为半 径 OB 上一动点.若 OB=2,则阴影部分周长的最小值为 6 2 + 휋 3  . 【解答】解:如图,作点 D 关于 OB 的对称点 D′,连接 D′C 交 OB 于点 E′,连接 E′D、OD′, 此时 E′C+E′C 最小,即:E′C+E′C=CD′, 由题意得,∠COD=∠DOB=∠BOD′=30°, ∴∠COD′=90°, ∴CD′ = 푂퐶2 + 푂퐷′2 = 22 + 22 = 2 2, 第 15 页(共 26 页) CD的长 l = 30휋 × 2 180 = 휋 3, ∴阴影部分周长的最小值为 2 2 + 휋 3 = 6 2 + 휋 3 . 故答案为:6 2 + 휋 3 . 三、解答题(本大题共 8 个小题,满分 75 分) 16.(8 分)先化简,再求值:(1 - 1 푎 + 1) ÷ 푎 푎2 ― 1 ,其中 a = 5 + 1. 【解答】解:(1 - 1 푎 + 1) ÷ 푎 푎2 ― 1 = 푎 + 1 ― 1 푎 + 1 × (푎 ― 1)(푎 + 1) 푎 =a﹣1, 把 a = 5 + 1 代入 a﹣1 = 5 + 1﹣1 = 5. 17.(9 分)为发展乡村经济,某村根据本地特色,创办了山药粉加工厂.该厂需购置一台 分装机,计划从商家推荐试用的甲、乙两台不同品牌的分装机中选择.试用时,设定分 装的标准质量为每袋 500g,与之相差大于 10g 为不合格.为检验分装效果,工厂对这两 台机器分装的成品进行了抽样和分析,过程如下: [收集数据]从甲、乙两台机器分装的成品中各随机抽取 20 袋,测得实际质量(单位:g) 如下: 甲:501 497 498 502 513 489 506 490 505 486 502 503 498 497 491 500 505 502 504 505 乙:505 499 502 491 487 506 493 505 499 498 502 503 501 490 501 502 511 499 499 501 [整理数据]整理以上数据,得到每袋质量 x(g)的频数分布表. 质量 485≤x< 490≤x< 495≤x< 500≤x< 505≤x< 510≤x< 第 16 页(共 26 页) 频数 机器 490 495 500 505 510 515 甲 2 2 4 7 4 1 乙 1 3 5 7 3 1 [分析数据]根据以上数据,得到以下统计量. 统计量 机器 平均数 中位数 方差 不合格率 甲 499.7 501.5 42.01 b 乙 499.7 a 31.81 10% 根据以上信息,回答下列问题: (1)表格中的 a= 501 ,b= 15% ; (2)综合上表中的统计量,判断工厂应迭购哪一台分装机,并说明理由. 【解答】解:(1)将乙的成绩从小到大排列后,处在中间位置的两个数都是 501,因此 中位数是 501, b=3➗20=15%, 故答案为:501,15%; (2)选择乙机器,理由:乙的不合格率较小, 18.(9 分)位于河南省登封市境内的元代观星台,是中国现存最早的天文台,也是世界文 化遗产之一. 某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度.如图所示,他们在 地面一条水平步道 MP 上架设测角仪,先在点 M 处测得观星台最高点 A 的仰角为 22°, 然后沿 MP 方向前进 16m 到达点 N 处,测得点 A 的仰角为 45°.测角仪的高度为 1.6m. (1)求观星台最高点 A 距离地面的高度(结果精确到 0.1m.参考数据:sin22°≈0.37, cos22°≈0.93,tan22°≈0.40, 2 ≈ 1.41); 第 17 页(共 26 页) (2)“景点简介”显示,观星台的高度为 12.6m.请计算本次测量结果的误差,并提出一 条减小误差的合理化建议. 【解答】解:(1)过 A 作 AD⊥PM 于 D,延长 BC 交 AD 于 E, 则四边形 BMNC,四边形 BMDE 是矩形, ∴BC=MN=16m,DE=CN=BM=1.6m, ∵∠AED=90°,∠ACE=45°, ∴△ACE 是等腰直角三角形, ∴CE=AE, 设 AE=CE=x, ∴BE=16+x, ∵∠ABE=22°, ∴tan22° = 퐴퐸 퐵퐸 = 푥 16 + 푥 = 0.40, ∴x≈10.7(m), ∴AD=10.7+1.6=12.3(m), 答:观星台最高点 A 距离地面的高度约为 12.3m; (2)∵“景点简介”显示,观星台的高度为 12.6m, ∴本次测量结果的误差为 12.6﹣12.3=0.3m, 减小误差的合理化建议为:为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法. 19.(9 分)暑期将至,某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动,活动方案如下. 方案一:购买一张学生暑期专享卡,每次健身费用按六折优惠; 方案二:不购买学生暑期专享卡,每次健身费用按八折优惠. 设某学生暑期健身 x(次),按照方案一所需费用为 y1(元),且 y1=k1x+b;按照方案二 所需费用为 y2(元),且 y2=k2x.其函数图象如图所示. (1)求 k1 和 b 的值,并说明它们的实际意义; (2)求打折前的每次健身费用和 k2 的值; 第 18 页(共 26 页) (3)八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身 8 次,应选择哪种方案所需费用更少? 说明理由. 【解答】解:(1)∵y1=k1x+b 过点(0,30),(10,180), ∴{b = 30 10푘1 + 푏 = 180,解得{k1 = 15 푏 = 30 , k1=15 表示的实际意义是:购买一张学生暑期专享卡后每次健身费用为 15 元, b=30 表示的实际意义是:购买一张学生暑期专享卡的费用为 30 元; (2)由题意可得,打折前的每次健身费用为 15÷0.6=25(元), 则 k2=25×0.8=20; (3)选择方案一所需费用更少.理由如下: 由题意可知,y1=15x+30,y2=20x. 当健身 8 次时, 选择方案一所需费用:y1=15×8+30=150(元), 选择方案二所需费用:y2=20×8=160(元), ∵150<160, ∴选择方案一所需费用更少. 20.(9 分)我们学习过利用尺规作图平分一个任意角,而“利用尺规作图三等分一个任意 角”曾是数学史上一大难题,之后被数学家证明是不可能完成的.人们根据实际需要, 发明了一种简易操作工具﹣﹣三分角器.图 1 是它的示意图,其中 AB 与半圆 O 的直径 BC 在同一直线上,且 AB 的长度与半圆的半径相等;DB 与 AC 垂直于点 B,DB 足够长. 第 19 页(共 26 页) 使用方法如图 2 所示,若要把∠MEN 三等分,只需适当放置三分角器,使 DB 经过∠MEN 的顶点 E,点 A 落在边 EM 上,半圆 O 与另一边 EN 恰好相切,切点为 F,则 EB,EO 就把∠MEN 三等分了. 为了说明这一方法的正确性,需要对其进行证明.如下给出了不完整的“已知”和“求 证”,请补充完整,并写出“证明”过程. 已知:如图 2,点 A,B,O,C 在同一直线上,EB⊥AC,垂足为点 B, AB=OB,EN 切半圆 O 于 F . 求证: EB,EO 就把∠MEN 三等分 . 【解答】解:已知:如图 2,点 A,B,O,C 在同一直线上,EB⊥AC,垂足为点 B,AB =OB,EN 切半圆 O 于 F. 求证:EB,EO 就把∠MEN 三等分, 证明:∵EB⊥AC, ∴∠ABE=∠OBE=90°, ∵AB=OB,BE=BE, ∴△ABE≌△OBE(SAS), ∴∠1=∠2, ∵BE⊥OB, ∴BE 是⊙E 的切线, ∵EN 切半圆 O 于 F, ∴∠2=∠3, ∴∠1=∠2=∠3, ∴EB,EO 就把∠MEN 三等分. 故答案为:AB=OB,EN 切半圆 O 于 F;EB,EO 就把∠MEN 三等分. 21.(10 分)如图,抛物线 y=﹣x2+2x+c 与 x 轴正半轴,y 轴正半轴分别交于点 A,B,且 OA 第 20 页(共 26 页) =OB,点 G 为抛物线的顶点. (1)求抛物线的解析式及点 G 的坐标; (2)点 M,N 为抛物线上两点(点 M 在点 N 的左侧),且到对称轴的距离分别为 3 个单 位长度和 5 个单位长度,点 Q 为抛物线上点 M,N 之间(含点 M,N)的一个动点,求 点 Q 的纵坐标 yQ 的取值范围. 【解答】解:(1)∵抛物线 y=﹣x2+2x+c 与 y 轴正半轴分别交于点 B, ∴点 B(0,c), ∵OA=OB=c, ∴点 A(c,0), ∴0=﹣c2+2c+c, ∴c=3 或 0(舍去), ∴抛物线解析式为:y=﹣x2+2x+3, ∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4, ∴顶点 G 为(1,4); (2)∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4, ∴对称轴为直线 x=1, ∵点 M,N 为抛物线上两点(点 M 在点 N 的左侧),且到对称轴的距离分别为 3 个单位 长度和 5 个单位长度, ∴点 M 的横坐标为﹣2 或 4,点 N 的横坐标为 6, ∴点 M 坐标为(﹣2,﹣5)或(4,﹣5),点 N 坐标(6,﹣21), ∵点 Q 为抛物线上点 M,N 之间(含点 M,N)的一个动点, ∴﹣21≤yQ≤4 或﹣21≤yQ≤﹣5. 22.(10 分)小亮在学习中遇到这样一个问题: 如图,点 D 是BC上一动点,线段 BC=8cm,点 A 是线段 BC 的中点,过点 C 作 CF∥ 第 21 页(共 26 页) BD,交 DA 的延长线于点 F.当△DCF 为等腰三角形时,求线段 BD 的长度. 小亮分析发现,此问题很难通过常规的推理计算彻底解决,于是尝试结合学习函数的经 验研究此问题.请将下面的探究过程补充完整: (1)根据点 D 在BC上的不同位置,画出相应的图形,测量线段 BD,CD,FD 的长度, 得到下表的几组对应值. BD/cm 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 CD/cm 8.0 7.7 7.2 6.6 5.9 a 3.9 2.4 0 FD/cm 8.0 7.4 6.9 6.5 6.1 6.0 6.2 6.7 8.0 操作中发现: ①“当点 D 为BC的中点时,BD=5.0cm”.则上表中 a 的值是 5 ; ②“线段 CF 的长度无需测量即可得到”.请简要说明理由. (2)将线段 BD 的长度作为自变量 x,CD 和 FD 的长度都是 x 的函数,分别记为 yCD 和 yFD,并在平面直角坐标系 xOy 中画出了函数 yFD 的图象,如图所示.请在同一坐标系中 画出函数 yCD 的图象; (3)继续在同一坐标系中画出所需的函数图象,并结合图象直接写出:当△DCF 为等腰 三角形时,线段 BD 长度的近似值(结果保留一位小数). 第 22 页(共 26 页) 【解答】解:(1)∵点 D 为BC的中点, ∴BD = CD, ∴BD=CD=a=5cm, 故答案为:5; (2)∵点 A 是线段 BC 的中点, ∴AB=AC, ∵CF∥BD, ∴∠F=∠BDA, 又∵∠BAD=∠CAF, ∴△BAD≌△CAF(AAS), ∴BD=CF, ∴线段 CF 的长度无需测量即可得到; (3)由题意可得: (4)由题意画出函数 yCF 的图象; 由图象可得:BD=3.8cm 或 5cm 或 6.2cm 时,△DCF 为等腰三角形. 23.(11 分)将正方形 ABCD 的边 AB 绕点 A 逆时针旋转至 AB′,记旋转角为 α,连接 BB′, 第 23 页(共 26 页) 过点 D 作 DE 垂直于直线 BB′,垂足为点 E,连接 DB′,CE. (1)如图 1,当 α=60°时,△DEB′的形状为 等腰直角三角形 ,连接 BD,可求出 퐵퐵′ 퐶퐸 的值为  2 ; (2)当 0°<α<360°且 α≠90°时, ①(1)中的两个结论是否仍然成立?如果成立,请仅就图 2 的情形进行证明;如果不成 立,请说明理由; ②当以点 B′,E,C,D 为顶点的四边形是平行四边形时,请直接写出퐵퐸 퐵′퐸的值. 【解答】解:(1)∵AB 绕点 A 逆时针旋转至 AB′, ∴AB=AB',∠BAB'=60°, ∴△ABB'是等边三角形, ∴∠BB'A=60°, ∴∠DAB'=∠BAD﹣∠BAB'=90°﹣60°=30°, ∵AB'=AB=AD, ∴∠AB'D=∠ADB', ∴∠AB'D = 180° ― 30° 2 = 75°, ∴∠DB'E=180°﹣60°﹣75°=45°, ∵DE⊥B'E, ∴∠B'DE=90°﹣45°=45°, ∴△DEB'是等腰直角三角形. ∵四边形 ABCD 是正方形, ∴∠BDC=45°, ∴퐵퐷 퐷퐶 = 2, 第 24 页(共 26 页) 同理퐵′퐷 퐷퐸 = 2, ∴퐵퐷 퐷퐶 = 퐵′퐷 퐷퐸, ∵∠BDB'+∠B'DC=45°,∠EDC+∠B'DC=45°, ∴BDB'=∠EDC, ∴△BDB'∽△CDE, ∴퐵퐵′ 퐶퐸 = 퐵퐷 퐷퐶 = 2. 故答案为:等腰直角三角形,퐵퐵′ 퐶퐸 = 2. (2)①两结论仍然成立. 证明:连接 BD, ∵AB=AB',∠BAB'=α, ∴∠AB'B=90° - 훼 2, ∵∠B'AD=α﹣90°,AD=AB', ∴∠AB'D=135° - 훼 2, ∴∠EB'D=∠AB'D﹣∠AB'B=135° - 훼 2 ― (90° ― 훼 2) = 45°, ∵DE⊥BB', ∴∠EDB'=∠EB'D=45°, ∴△DEB'是等腰直角三角形, ∴퐷퐵′ 퐷퐸 = 2, ∵四边形 ABCD 是正方形, ∴퐵퐷 퐶퐷 = 2,∠BDC=45°, ∴퐵퐷 퐶퐷 = 퐷퐵′ 퐷퐸, 第 25 页(共 26 页) ∵∠EDB'=∠BDC, ∴∠EDB'+∠EDB=∠BDC+∠EDB, 即∠B'DB=∠EDC, ∴△B'DB∽△EDC, ∴퐵퐵′ 퐶퐸 = 퐵퐷 퐶퐷 = 2. ② 퐵퐸 퐵′퐸 = 3 或 1. 若 CD 为平行四边形的对角线, 点 B'在以 A 为圆心,AB 为半径的圆上,取 CD 的中点.连接 BO 交⊙A 于点 B', 过点 D 作 DE⊥BB'交 BB'的延长线于点 E, 由(1)可知△B'ED 是等腰直角三角形, ∴B'D = 2B'E, 由(2)①可知△BDB'∽△CDE,且 BB' = 2CE. ∴퐵퐸 퐵′퐸 = 퐵′퐵 + 퐵′퐸 퐵′퐸 = 퐵퐵′ 퐵′퐸 + 1 = 2퐶퐸 퐵′퐸 + 1 = 2퐵′퐷 퐵′퐸 + 1 = 2 × 2 + 1=3. 若 CD 为平行四边形的一边,如图 3, 第 26 页(共 26 页) 点 E 与点 A 重合, ∴퐵퐸 퐵′퐸 = 1. 综合以上可得퐵퐸 퐵′퐸 = 3 或 1.