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- 2021-05-10 发布
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第 1 页(共 26 页)
2020 年河南省中考数学试卷
一、选择题(每小题 3 分,共 30 分)下列各小题均有四个答案,其中只有一个是正确
的.
1.(3 分)2 的相反数是( )
A.﹣2 B. - 1
2 C.1
2 D.2
2.(3 分)如图摆放的几何体中,主视图与左视图有可能不同的是( )
A. B. C. D.
3.(3 分)要调查下列问题,适合采用全面调查(普查)的是( )
A.中央电视台《开学第一课》的收视率
B.某城市居民 6 月份人均网上购物的次数
C.即将发射的气象卫星的零部件质量
D.某品牌新能源汽车的最大续航里程
4.(3 分)如图,l1∥l2,l3∥l4,若∠1=70°,则∠2 的度数为( )
A.100° B.110° C.120° D.130°
5.(3 分)电子文件的大小常用 B,KB,MB,GB 等作为单位,其中 1GB=210MB,1MB=
210KB,1KB=210B.某视频文件的大小约为 1GB,1GB 等于( )
A.230B B.830B C.8×1010B D.2×1030B
6.(3 分)若点 A(﹣1,y1),B(2,y2),C(3,y3)在反比例函数 y = - 6
푥的图象上,
则 y1,y2,y3 的大小关系是( )
A.y1>y2>y3 B.y2>y3>y1 C.y1>y3>y2 D.y3>y2>y1
7.(3 分)定义运算:m☆n=mn2﹣mn﹣1.例如:4☆2=4×22﹣4×2﹣1=7.则方程 1☆x
=0 的根的情况为( )
第 2 页(共 26 页)
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.无实数根 D.只有一个实数根
8.(3 分)国家统计局统计数据显示,我国快递业务收入逐年增加.2017 年至 2019 年我国
快递业务收入由 5000 亿元增加到 7500 亿元.设我国 2017 年至 2019 年快递业务收入的
年平均增长率为 x,则可列方程为( )
A.500(1+2x)=7500
B.5000×2(1+x)=7500
C.5000(1+x)2=7500
D.5000+5000(1+x)+5000(1+x)2=7500
9.(3 分)如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,边 BC 在 x 轴上,顶点 A,B 的坐标分别为
(﹣2,6)和(7,0).将正方形 OCDE 沿 x 轴向右平移,当点 E 落在 AB 边上时,点 D
的坐标为( )
A.(3
2,2) B.(2,2) C.(11
4 ,2) D.(4,2)
10.(3 分)如图,在△ABC 中,AB=BC = 3,∠BAC=30°,分别以点 A,C 为圆心,AC
的长为半径作弧,两弧交于点 D,连接 DA,DC,则四边形 ABCD 的面积为( )
A.6 3 B.9 C.6 D.3 3
二、填空题(每小题 3 分,共 15 分)
11.(3 分)请写出一个大于 1 且小于 2 的无理数 .
12.(3 分)已知关于 x 的不等式组{x>a,
푥>푏,其中 a,b 在数轴上的对应点如图所示,则这个
不等式组的解集为 .
第 3 页(共 26 页)
13.(3 分)如图所示的转盘,被分成面积相等的四个扇形,分别涂有红、黄、蓝、绿四种
颜色.固定指针,自由转动转盘两次,每次停止后,记下指针所指区域(指针指向区域
分界线时,忽略不计)的颜色,则两次颜色相同的概率是 .
14.(3 分)如图,在边长为 2 2的正方形 ABCD 中,点 E,F 分别是边 AB,BC 的中点,连
接 EC,FD,点 G,H 分别是 EC,FD 的中点,连接 GH,则 GH 的长度为 .
15.(3 分)如图,在扇形 BOC 中,∠BOC=60°,OD 平分∠BOC 交BC于点 D,点 E 为半
径 OB 上一动点.若 OB=2,则阴影部分周长的最小值为 .
三、解答题(本大题共 8 个小题,满分 75 分)
16.(8 分)先化简,再求值:(1 - 1
푎 + 1) ÷ 푎
푎2 ― 1
,其中 a = 5 + 1.
17.(9 分)为发展乡村经济,某村根据本地特色,创办了山药粉加工厂.该厂需购置一台
分装机,计划从商家推荐试用的甲、乙两台不同品牌的分装机中选择.试用时,设定分
装的标准质量为每袋 500g,与之相差大于 10g 为不合格.为检验分装效果,工厂对这两
台机器分装的成品进行了抽样和分析,过程如下:
[收集数据]从甲、乙两台机器分装的成品中各随机抽取 20 袋,测得实际质量(单位:g)
如下:
甲:501 497 498 502 513 489 506 490 505 486
502 503 498 497 491 500 505 502 504 505
乙:505 499 502 491 487 506 493 505 499 498
502 503 501 490 501 502 511 499 499 501
第 4 页(共 26 页)
[整理数据]整理以上数据,得到每袋质量 x(g)的频数分布表.
质量
频数
机器
485≤x<
490
490≤x<
495
495≤x<
500
500≤x<
505
505≤x<
510
510≤x<
515
甲 2 2 4 7 4 1
乙 1 3 5 7 3 1
[分析数据]根据以上数据,得到以下统计量.
统计量
机器
平均数 中位数 方差 不合格率
甲 499.7 501.5 42.01 b
乙 499.7 a 31.81 10%
根据以上信息,回答下列问题:
(1)表格中的 a= ,b= ;
(2)综合上表中的统计量,判断工厂应迭购哪一台分装机,并说明理由.
18.(9 分)位于河南省登封市境内的元代观星台,是中国现存最早的天文台,也是世界文
化遗产之一.
某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度.如图所示,他们在
地面一条水平步道 MP 上架设测角仪,先在点 M 处测得观星台最高点 A 的仰角为 22°,
然后沿 MP 方向前进 16m 到达点 N 处,测得点 A 的仰角为 45°.测角仪的高度为
1.6m.
(1)求观星台最高点 A 距离地面的高度(结果精确到 0.1m.参考数据:sin22°≈0.37,
cos22°≈0.93,tan22°≈0.40, 2 ≈ 1.41);
(2)“景点简介”显示,观星台的高度为 12.6m.请计算本次测量结果的误差,并提出一
条减小误差的合理化建议.
19.(9 分)暑期将至,某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动,活动方案如下.
第 5 页(共 26 页)
方案一:购买一张学生暑期专享卡,每次健身费用按六折优惠;
方案二:不购买学生暑期专享卡,每次健身费用按八折优惠.
设某学生暑期健身 x(次),按照方案一所需费用为 y1(元),且 y1=k1x+b;按照方案二
所需费用为 y2(元),且 y2=k2x.其函数图象如图所示.
(1)求 k1 和 b 的值,并说明它们的实际意义;
(2)求打折前的每次健身费用和 k2 的值;
(3)八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身 8 次,应选择哪种方案所需费用更少?
说明理由.
20.(9 分)我们学习过利用尺规作图平分一个任意角,而“利用尺规作图三等分一个任意
角”曾是数学史上一大难题,之后被数学家证明是不可能完成的.人们根据实际需要,
发明了一种简易操作工具﹣﹣三分角器.图 1 是它的示意图,其中 AB 与半圆 O 的直径 BC
在同一直线上,且 AB 的长度与半圆的半径相等;DB 与 AC 垂直于点 B,DB 足够长.
使用方法如图 2 所示,若要把∠MEN 三等分,只需适当放置三分角器,使 DB 经过∠MEN
的顶点 E,点 A 落在边 EM 上,半圆 O 与另一边 EN 恰好相切,切点为 F,则 EB,EO
就把∠MEN 三等分了.
为了说明这一方法的正确性,需要对其进行证明.如下给出了不完整的“已知”和“求
证”,请补充完整,并写出“证明”过程.
已知:如图 2,点 A,B,O,C 在同一直线上,EB⊥AC,垂足为点 B, .
第 6 页(共 26 页)
求证: .
21.(10 分)如图,抛物线 y=﹣x2+2x+c 与 x 轴正半轴,y 轴正半轴分别交于点 A,B,且 OA
=OB,点 G 为抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式及点 G 的坐标;
(2)点 M,N 为抛物线上两点(点 M 在点 N 的左侧),且到对称轴的距离分别为 3 个单
位长度和 5 个单位长度,点 Q 为抛物线上点 M,N 之间(含点 M,N)的一个动点,求
点 Q 的纵坐标 yQ 的取值范围.
22.(10 分)小亮在学习中遇到这样一个问题:
如图,点 D 是BC上一动点,线段 BC=8cm,点 A 是线段 BC 的中点,过点 C 作 CF∥
BD,交 DA 的延长线于点 F.当△DCF 为等腰三角形时,求线段 BD 的长度.
小亮分析发现,此问题很难通过常规的推理计算彻底解决,于是尝试结合学习函数的经
验研究此问题.请将下面的探究过程补充完整:
(1)根据点 D 在BC上的不同位置,画出相应的图形,测量线段 BD,CD,FD 的长度,
得到下表的几组对应值.
BD/cm 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0
CD/cm 8.0 7.7 7.2 6.6 5.9 a 3.9 2.4 0
FD/cm 8.0 7.4 6.9 6.5 6.1 6.0 6.2 6.7 8.0
操作中发现:
①“当点 D 为BC的中点时,BD=5.0cm”.则上表中 a 的值是 ;
②“线段 CF 的长度无需测量即可得到”.请简要说明理由.
(2)将线段 BD 的长度作为自变量 x,CD 和 FD 的长度都是 x 的函数,分别记为 yCD 和
yFD,并在平面直角坐标系 xOy 中画出了函数 yFD 的图象,如图所示.请在同一坐标系中
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画出函数 yCD 的图象;
(3)继续在同一坐标系中画出所需的函数图象,并结合图象直接写出:当△DCF 为等腰
三角形时,线段 BD 长度的近似值(结果保留一位小数).
23.(11 分)将正方形 ABCD 的边 AB 绕点 A 逆时针旋转至 AB′,记旋转角为 α,连接 BB′,
过点 D 作 DE 垂直于直线 BB′,垂足为点 E,连接 DB′,CE.
(1)如图1,当α=60°时,△DEB′的形状为 ,连接BD,可求出 퐵퐵′
퐶퐸 的值为 ;
(2)当 0°<α<360°且 α≠90°时,
①(1)中的两个结论是否仍然成立?如果成立,请仅就图 2 的情形进行证明;如果不成
立,请说明理由;
②当以点 B′,E,C,D 为顶点的四边形是平行四边形时,请直接写出퐵퐸
퐵′퐸的值.
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2020 年河南省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(每小题 3 分,共 30 分)下列各小题均有四个答案,其中只有一个是正确
的.
1.(3 分)2 的相反数是( )
A.﹣2 B. - 1
2 C.1
2 D.2
【解答】解:2 的相反数是﹣2.
故选:A.
2.(3 分)如图摆放的几何体中,主视图与左视图有可能不同的是( )
A. B. C. D.
【解答】解:A、主视图和左视图是长方形,一定相同,故本选项不合题意题意;
B、主视图和左视图都是等腰三角形,一定相同,故选项不符合题意;
C、主视图和左视图都是圆,一定相同,故选项不符合题意;
D、主视图是长方形,左视图是正方形,故本选项符合题意;
故选:D.
3.(3 分)要调查下列问题,适合采用全面调查(普查)的是( )
A.中央电视台《开学第一课》的收视率
B.某城市居民 6 月份人均网上购物的次数
C.即将发射的气象卫星的零部件质量
D.某品牌新能源汽车的最大续航里程
【解答】解:A、调查中央电视台《开学第一课》的收视率,适合抽查,故本选项不合题
意;
B、调查某城市居民 6 月份人均网上购物的次数,适合抽查,故本选项不合题意;
C、调查即将发射的气象卫星的零部件质量,适合采用全面调查(普查),故本选项符合
题意;
D、调查某品牌新能源汽车的最大续航里程,适合抽查,故本选项不合题意.
故选:C.
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4.(3 分)如图,l1∥l2,l3∥l4,若∠1=70°,则∠2 的度数为( )
A.100° B.110° C.120° D.130°
【解答】解:∵l1∥l2,∠1=70°,
∴∠3=∠1=70°,
∵l3∥l4,
∴∠2=180°﹣∠3=180°﹣70°=110°,
故选:B.
5.(3 分)电子文件的大小常用 B,KB,MB,GB 等作为单位,其中 1GB=210MB,1MB=
210KB,1KB=210B.某视频文件的大小约为 1GB,1GB 等于( )
A.230B B.830B C.8×1010B D.2×1030B
【解答】解:由题意得:210×210×210B=210+10+10=230B,
故选:A.
6.(3 分)若点 A(﹣1,y1),B(2,y2),C(3,y3)在反比例函数 y = - 6
푥的图象上,
则 y1,y2,y3 的大小关系是( )
A.y1>y2>y3 B.y2>y3>y1 C.y1>y3>y2 D.y3>y2>y1
【解答】解:∵点 A(﹣1,y1)、B(2,y2)、C(3,y3)在反比例函数 y = - 6
푥的图象
上,
∴y1 = - 6
―1 = 6,y2 = - 6
2 = ― 3,y3 = - 6
3 = ― 2,
又∵﹣3<﹣2<6,
∴y1>y3>y2.
第 10 页(共 26 页)
故选:C.
7.(3 分)定义运算:m☆n=mn2﹣mn﹣1.例如:4☆2=4×22﹣4×2﹣1=7.则方程 1☆x
=0 的根的情况为( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.无实数根 D.只有一个实数根
【解答】解:由题意可知:1☆x=x2﹣x﹣1=0,
∴△=1﹣4×1×(﹣1)=5>0,
故选:A.
8.(3 分)国家统计局统计数据显示,我国快递业务收入逐年增加.2017 年至 2019 年我国
快递业务收入由 5000 亿元增加到 7500 亿元.设我国 2017 年至 2019 年快递业务收入的
年平均增长率为 x,则可列方程为( )
A.500(1+2x)=7500
B.5000×2(1+x)=7500
C.5000(1+x)2=7500
D.5000+5000(1+x)+5000(1+x)2=7500
【解答】解:设我国 2017 年至 2019 年快递业务收入的年平均增长率为 x,
由题意得:5000(1+x)2=7500,
故选:C.
9.(3 分)如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,边 BC 在 x 轴上,顶点 A,B 的坐标分别为
(﹣2,6)和(7,0).将正方形 OCDE 沿 x 轴向右平移,当点 E 落在 AB 边上时,点 D
的坐标为( )
A.(3
2,2) B.(2,2) C.(11
4 ,2) D.(4,2)
【解答】解:如图,设正方形 D′C′O′E′是正方形 OCDE 沿 x 轴向右平移后的正方
形,
∵顶点 A,B 的坐标分别为(﹣2,6)和(7,0),
第 11 页(共 26 页)
∴AC=6,OC=2,OB=7,
∴BC=9,
∵四边形 OCDE 是正方形,
∴DE=OC=OE=2,
∴O′E′=O′C′=2,
∵E′O′⊥BC,
∴∠BO′E′=∠BCA=90°,
∴E′O′∥AC,
∴△BO′E′∽△BCA,
∴퐸′푂′
퐴퐶 =
퐵푂′
퐵퐶 ,
∴2
6 =
퐵푂′
9 ,
∴BO′=3,
∴OC′=7﹣2﹣3=2,
∴当点 E 落在 AB 边上时,点 D 的坐标为(2,2),
故选:B.
10.(3 分)如图,在△ABC 中,AB=BC = 3,∠BAC=30°,分别以点 A,C 为圆心,AC
的长为半径作弧,两弧交于点 D,连接 DA,DC,则四边形 ABCD 的面积为( )
A.6 3 B.9 C.6 D.3 3
【解答】解:连接 BD 交 AC 于 O,
∵AD=CD,AB=BC,
第 12 页(共 26 页)
∴BD 垂直平分 AC,
∴BD⊥AC,AO=CO,
∵AB=BC,
∴∠ACB=∠BAC=30°,
∵AC=AD=CD,
∴△ACD 是等边三角形,
∴∠DAC=∠DCA=60°,
∴∠BAD=∠BCD=90°,∠ADB=∠CDB=30°,
∵AB=BC = 3,
∴AD=CD = 3AB=3,
∴四边形 ABCD 的面积=2 × 1
2 × 3 × 3 = 3 3,
故选:D.
二、填空题(每小题 3 分,共 15 分)
11.(3 分)请写出一个大于 1 且小于 2 的无理数 3 .
【解答】解:大于 1 且小于 2 的无理数是 3,答案不唯一.
故答案为: 3.
12.(3 分)已知关于 x 的不等式组{x>a,
푥>푏,其中 a,b 在数轴上的对应点如图所示,则这个
不等式组的解集为 x>a .
【解答】解:∵b<0<a,
∴关于 x 的不等式组{x>a,
푥>푏,的解集为:x>a,
故答案为:x>a.
13.(3 分)如图所示的转盘,被分成面积相等的四个扇形,分别涂有红、黄、蓝、绿四种
颜色.固定指针,自由转动转盘两次,每次停止后,记下指针所指区域(指针指向区域
第 13 页(共 26 页)
分界线时,忽略不计)的颜色,则两次颜色相同的概率是 1
4 .
【解答】解:自由转动转盘两次,指针所指区域所有可能出现的情况如下:
共有 16 种可能出现的结果,其中两次颜色相同的有 4 种,
∴P(两次颜色相同) = 4
16 =
1
4,
故答案为:1
4.
14.(3 分)如图,在边长为 2 2的正方形 ABCD 中,点 E,F 分别是边 AB,BC 的中点,连
接 EC,FD,点 G,H 分别是 EC,FD 的中点,连接 GH,则 GH 的长度为 1 .
【解答】解:设 DF,CE 交于 O,
∵四边形 ABCD 是正方形,
∴∠B=∠DCF=90°,BC=CD=AB,
∵点 E,F 分别是边 AB,BC 的中点,
∴BE=CF,
∴△CBE≌△DCF(SAS),
∴CE=DF,∠BCE=∠CDF,
∵∠CDF+∠CFD=90°,
∴∠BCE+∠CFD=90°,
∴∠COF=90°,
第 14 页(共 26 页)
∴DF⊥CE,
∴CE=DF = (2 2)2 + ( 2)2 = 10,
∵点 G,H 分别是 EC,FD 的中点,
∴CG=FH =
10
2 ,
∵∠DCF=90°,CO⊥DF,
∴CF2=OF•DF,
∴OF = 퐶퐹2
퐷퐹 =
( 2)2
10 =
10
5 ,
∴OH = 3 10
10 ,OD = 4 10
5 ,
∵OC2=OF•OD,
∴OC = 10
5 ×
4 10
5 =
2 10
5 ,
∴OG=CG﹣OC =
10
2 ―
2 10
5 =
10
10 ,
∴HG = 푂퐺2 + 푂퐻2 =
1
10 +
9
10 = 1,
故答案为:1.
15.(3 分)如图,在扇形 BOC 中,∠BOC=60°,OD 平分∠BOC 交BC于点 D,点 E 为半
径 OB 上一动点.若 OB=2,则阴影部分周长的最小值为 6 2 + 휋
3 .
【解答】解:如图,作点 D 关于 OB 的对称点 D′,连接 D′C 交 OB 于点 E′,连接
E′D、OD′,
此时 E′C+E′C 最小,即:E′C+E′C=CD′,
由题意得,∠COD=∠DOB=∠BOD′=30°,
∴∠COD′=90°,
∴CD′ = 푂퐶2 + 푂퐷′2 = 22 + 22 = 2 2,
第 15 页(共 26 页)
CD的长 l = 30휋 × 2
180 =
휋
3,
∴阴影部分周长的最小值为 2 2 +
휋
3 =
6 2 + 휋
3 .
故答案为:6 2 + 휋
3 .
三、解答题(本大题共 8 个小题,满分 75 分)
16.(8 分)先化简,再求值:(1 - 1
푎 + 1) ÷ 푎
푎2 ― 1
,其中 a = 5 + 1.
【解答】解:(1 - 1
푎 + 1) ÷
푎
푎2 ― 1
= 푎 + 1 ― 1
푎 + 1 ×
(푎 ― 1)(푎 + 1)
푎
=a﹣1,
把 a = 5 + 1 代入 a﹣1 = 5 + 1﹣1 = 5.
17.(9 分)为发展乡村经济,某村根据本地特色,创办了山药粉加工厂.该厂需购置一台
分装机,计划从商家推荐试用的甲、乙两台不同品牌的分装机中选择.试用时,设定分
装的标准质量为每袋 500g,与之相差大于 10g 为不合格.为检验分装效果,工厂对这两
台机器分装的成品进行了抽样和分析,过程如下:
[收集数据]从甲、乙两台机器分装的成品中各随机抽取 20 袋,测得实际质量(单位:g)
如下:
甲:501 497 498 502 513 489 506 490 505 486
502 503 498 497 491 500 505 502 504 505
乙:505 499 502 491 487 506 493 505 499 498
502 503 501 490 501 502 511 499 499 501
[整理数据]整理以上数据,得到每袋质量 x(g)的频数分布表.
质量 485≤x< 490≤x< 495≤x< 500≤x< 505≤x< 510≤x<
第 16 页(共 26 页)
频数
机器
490 495 500 505 510 515
甲 2 2 4 7 4 1
乙 1 3 5 7 3 1
[分析数据]根据以上数据,得到以下统计量.
统计量
机器
平均数 中位数 方差 不合格率
甲 499.7 501.5 42.01 b
乙 499.7 a 31.81 10%
根据以上信息,回答下列问题:
(1)表格中的 a= 501 ,b= 15% ;
(2)综合上表中的统计量,判断工厂应迭购哪一台分装机,并说明理由.
【解答】解:(1)将乙的成绩从小到大排列后,处在中间位置的两个数都是 501,因此
中位数是 501,
b=3➗20=15%,
故答案为:501,15%;
(2)选择乙机器,理由:乙的不合格率较小,
18.(9 分)位于河南省登封市境内的元代观星台,是中国现存最早的天文台,也是世界文
化遗产之一.
某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度.如图所示,他们在
地面一条水平步道 MP 上架设测角仪,先在点 M 处测得观星台最高点 A 的仰角为 22°,
然后沿 MP 方向前进 16m 到达点 N 处,测得点 A 的仰角为 45°.测角仪的高度为
1.6m.
(1)求观星台最高点 A 距离地面的高度(结果精确到 0.1m.参考数据:sin22°≈0.37,
cos22°≈0.93,tan22°≈0.40, 2 ≈ 1.41);
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(2)“景点简介”显示,观星台的高度为 12.6m.请计算本次测量结果的误差,并提出一
条减小误差的合理化建议.
【解答】解:(1)过 A 作 AD⊥PM 于 D,延长 BC 交 AD 于 E,
则四边形 BMNC,四边形 BMDE 是矩形,
∴BC=MN=16m,DE=CN=BM=1.6m,
∵∠AED=90°,∠ACE=45°,
∴△ACE 是等腰直角三角形,
∴CE=AE,
设 AE=CE=x,
∴BE=16+x,
∵∠ABE=22°,
∴tan22° = 퐴퐸
퐵퐸 =
푥
16 + 푥 = 0.40,
∴x≈10.7(m),
∴AD=10.7+1.6=12.3(m),
答:观星台最高点 A 距离地面的高度约为 12.3m;
(2)∵“景点简介”显示,观星台的高度为 12.6m,
∴本次测量结果的误差为 12.6﹣12.3=0.3m,
减小误差的合理化建议为:为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法.
19.(9 分)暑期将至,某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动,活动方案如下.
方案一:购买一张学生暑期专享卡,每次健身费用按六折优惠;
方案二:不购买学生暑期专享卡,每次健身费用按八折优惠.
设某学生暑期健身 x(次),按照方案一所需费用为 y1(元),且 y1=k1x+b;按照方案二
所需费用为 y2(元),且 y2=k2x.其函数图象如图所示.
(1)求 k1 和 b 的值,并说明它们的实际意义;
(2)求打折前的每次健身费用和 k2 的值;
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(3)八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身 8 次,应选择哪种方案所需费用更少?
说明理由.
【解答】解:(1)∵y1=k1x+b 过点(0,30),(10,180),
∴{b = 30
10푘1 + 푏 = 180,解得{k1 = 15
푏 = 30 ,
k1=15 表示的实际意义是:购买一张学生暑期专享卡后每次健身费用为 15 元,
b=30 表示的实际意义是:购买一张学生暑期专享卡的费用为 30 元;
(2)由题意可得,打折前的每次健身费用为 15÷0.6=25(元),
则 k2=25×0.8=20;
(3)选择方案一所需费用更少.理由如下:
由题意可知,y1=15x+30,y2=20x.
当健身 8 次时,
选择方案一所需费用:y1=15×8+30=150(元),
选择方案二所需费用:y2=20×8=160(元),
∵150<160,
∴选择方案一所需费用更少.
20.(9 分)我们学习过利用尺规作图平分一个任意角,而“利用尺规作图三等分一个任意
角”曾是数学史上一大难题,之后被数学家证明是不可能完成的.人们根据实际需要,
发明了一种简易操作工具﹣﹣三分角器.图 1 是它的示意图,其中 AB 与半圆 O 的直径 BC
在同一直线上,且 AB 的长度与半圆的半径相等;DB 与 AC 垂直于点 B,DB 足够长.
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使用方法如图 2 所示,若要把∠MEN 三等分,只需适当放置三分角器,使 DB 经过∠MEN
的顶点 E,点 A 落在边 EM 上,半圆 O 与另一边 EN 恰好相切,切点为 F,则 EB,EO
就把∠MEN 三等分了.
为了说明这一方法的正确性,需要对其进行证明.如下给出了不完整的“已知”和“求
证”,请补充完整,并写出“证明”过程.
已知:如图 2,点 A,B,O,C 在同一直线上,EB⊥AC,垂足为点 B, AB=OB,EN
切半圆 O 于 F .
求证: EB,EO 就把∠MEN 三等分 .
【解答】解:已知:如图 2,点 A,B,O,C 在同一直线上,EB⊥AC,垂足为点 B,AB
=OB,EN 切半圆 O 于 F.
求证:EB,EO 就把∠MEN 三等分,
证明:∵EB⊥AC,
∴∠ABE=∠OBE=90°,
∵AB=OB,BE=BE,
∴△ABE≌△OBE(SAS),
∴∠1=∠2,
∵BE⊥OB,
∴BE 是⊙E 的切线,
∵EN 切半圆 O 于 F,
∴∠2=∠3,
∴∠1=∠2=∠3,
∴EB,EO 就把∠MEN 三等分.
故答案为:AB=OB,EN 切半圆 O 于 F;EB,EO 就把∠MEN 三等分.
21.(10 分)如图,抛物线 y=﹣x2+2x+c 与 x 轴正半轴,y 轴正半轴分别交于点 A,B,且 OA
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=OB,点 G 为抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式及点 G 的坐标;
(2)点 M,N 为抛物线上两点(点 M 在点 N 的左侧),且到对称轴的距离分别为 3 个单
位长度和 5 个单位长度,点 Q 为抛物线上点 M,N 之间(含点 M,N)的一个动点,求
点 Q 的纵坐标 yQ 的取值范围.
【解答】解:(1)∵抛物线 y=﹣x2+2x+c 与 y 轴正半轴分别交于点 B,
∴点 B(0,c),
∵OA=OB=c,
∴点 A(c,0),
∴0=﹣c2+2c+c,
∴c=3 或 0(舍去),
∴抛物线解析式为:y=﹣x2+2x+3,
∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,
∴顶点 G 为(1,4);
(2)∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,
∴对称轴为直线 x=1,
∵点 M,N 为抛物线上两点(点 M 在点 N 的左侧),且到对称轴的距离分别为 3 个单位
长度和 5 个单位长度,
∴点 M 的横坐标为﹣2 或 4,点 N 的横坐标为 6,
∴点 M 坐标为(﹣2,﹣5)或(4,﹣5),点 N 坐标(6,﹣21),
∵点 Q 为抛物线上点 M,N 之间(含点 M,N)的一个动点,
∴﹣21≤yQ≤4 或﹣21≤yQ≤﹣5.
22.(10 分)小亮在学习中遇到这样一个问题:
如图,点 D 是BC上一动点,线段 BC=8cm,点 A 是线段 BC 的中点,过点 C 作 CF∥
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BD,交 DA 的延长线于点 F.当△DCF 为等腰三角形时,求线段 BD 的长度.
小亮分析发现,此问题很难通过常规的推理计算彻底解决,于是尝试结合学习函数的经
验研究此问题.请将下面的探究过程补充完整:
(1)根据点 D 在BC上的不同位置,画出相应的图形,测量线段 BD,CD,FD 的长度,
得到下表的几组对应值.
BD/cm 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0
CD/cm 8.0 7.7 7.2 6.6 5.9 a 3.9 2.4 0
FD/cm 8.0 7.4 6.9 6.5 6.1 6.0 6.2 6.7 8.0
操作中发现:
①“当点 D 为BC的中点时,BD=5.0cm”.则上表中 a 的值是 5 ;
②“线段 CF 的长度无需测量即可得到”.请简要说明理由.
(2)将线段 BD 的长度作为自变量 x,CD 和 FD 的长度都是 x 的函数,分别记为 yCD 和
yFD,并在平面直角坐标系 xOy 中画出了函数 yFD 的图象,如图所示.请在同一坐标系中
画出函数 yCD 的图象;
(3)继续在同一坐标系中画出所需的函数图象,并结合图象直接写出:当△DCF 为等腰
三角形时,线段 BD 长度的近似值(结果保留一位小数).
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【解答】解:(1)∵点 D 为BC的中点,
∴BD = CD,
∴BD=CD=a=5cm,
故答案为:5;
(2)∵点 A 是线段 BC 的中点,
∴AB=AC,
∵CF∥BD,
∴∠F=∠BDA,
又∵∠BAD=∠CAF,
∴△BAD≌△CAF(AAS),
∴BD=CF,
∴线段 CF 的长度无需测量即可得到;
(3)由题意可得:
(4)由题意画出函数 yCF 的图象;
由图象可得:BD=3.8cm 或 5cm 或 6.2cm 时,△DCF 为等腰三角形.
23.(11 分)将正方形 ABCD 的边 AB 绕点 A 逆时针旋转至 AB′,记旋转角为 α,连接 BB′,
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过点 D 作 DE 垂直于直线 BB′,垂足为点 E,连接 DB′,CE.
(1)如图 1,当 α=60°时,△DEB′的形状为 等腰直角三角形 ,连接 BD,可求出
퐵퐵′
퐶퐸 的值为 2 ;
(2)当 0°<α<360°且 α≠90°时,
①(1)中的两个结论是否仍然成立?如果成立,请仅就图 2 的情形进行证明;如果不成
立,请说明理由;
②当以点 B′,E,C,D 为顶点的四边形是平行四边形时,请直接写出퐵퐸
퐵′퐸的值.
【解答】解:(1)∵AB 绕点 A 逆时针旋转至 AB′,
∴AB=AB',∠BAB'=60°,
∴△ABB'是等边三角形,
∴∠BB'A=60°,
∴∠DAB'=∠BAD﹣∠BAB'=90°﹣60°=30°,
∵AB'=AB=AD,
∴∠AB'D=∠ADB',
∴∠AB'D = 180° ― 30°
2 = 75°,
∴∠DB'E=180°﹣60°﹣75°=45°,
∵DE⊥B'E,
∴∠B'DE=90°﹣45°=45°,
∴△DEB'是等腰直角三角形.
∵四边形 ABCD 是正方形,
∴∠BDC=45°,
∴퐵퐷
퐷퐶 = 2,
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同理퐵′퐷
퐷퐸 = 2,
∴퐵퐷
퐷퐶 =
퐵′퐷
퐷퐸,
∵∠BDB'+∠B'DC=45°,∠EDC+∠B'DC=45°,
∴BDB'=∠EDC,
∴△BDB'∽△CDE,
∴퐵퐵′
퐶퐸 =
퐵퐷
퐷퐶 = 2.
故答案为:等腰直角三角形,퐵퐵′
퐶퐸 = 2.
(2)①两结论仍然成立.
证明:连接 BD,
∵AB=AB',∠BAB'=α,
∴∠AB'B=90° - 훼
2,
∵∠B'AD=α﹣90°,AD=AB',
∴∠AB'D=135° - 훼
2,
∴∠EB'D=∠AB'D﹣∠AB'B=135° - 훼
2 ― (90° ―
훼
2) = 45°,
∵DE⊥BB',
∴∠EDB'=∠EB'D=45°,
∴△DEB'是等腰直角三角形,
∴퐷퐵′
퐷퐸 = 2,
∵四边形 ABCD 是正方形,
∴퐵퐷
퐶퐷 = 2,∠BDC=45°,
∴퐵퐷
퐶퐷 =
퐷퐵′
퐷퐸,
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∵∠EDB'=∠BDC,
∴∠EDB'+∠EDB=∠BDC+∠EDB,
即∠B'DB=∠EDC,
∴△B'DB∽△EDC,
∴퐵퐵′
퐶퐸 =
퐵퐷
퐶퐷 = 2.
②
퐵퐸
퐵′퐸 = 3 或 1.
若 CD 为平行四边形的对角线,
点 B'在以 A 为圆心,AB 为半径的圆上,取 CD 的中点.连接 BO 交⊙A 于点 B',
过点 D 作 DE⊥BB'交 BB'的延长线于点 E,
由(1)可知△B'ED 是等腰直角三角形,
∴B'D = 2B'E,
由(2)①可知△BDB'∽△CDE,且 BB' = 2CE.
∴퐵퐸
퐵′퐸 =
퐵′퐵 + 퐵′퐸
퐵′퐸 =
퐵퐵′
퐵′퐸 + 1 =
2퐶퐸
퐵′퐸 + 1 =
2퐵′퐷
퐵′퐸 + 1 = 2 × 2 + 1=3.
若 CD 为平行四边形的一边,如图 3,
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点 E 与点 A 重合,
∴퐵퐸
퐵′퐸 = 1.
综合以上可得퐵퐸
퐵′퐸 = 3 或 1.