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- 2021-05-10 发布
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2014年厦门市初中毕业及高中阶段各类学校招生考试
数 学
(试卷满分:150分 考试时间:120分钟)
准考证号 姓名 座位号
注意事项:
1.全卷三大题,26小题,试卷共4页,另有答题卡.
2.答案一律写在答题卡上,否则不能得分.
3.可直接用2B铅笔画图.
一、选择题(本大题有7小题,每小题3分,共21分.每小题都有四个选项,其中有且只有一个选项正确)
1. (2014福建省厦门市,1,3分)sin30°的值为
A. B. C. D.1
【答案】A
2. (2014福建省厦门市,2,3分)4的算术平方根是
A.16 B.2 C.-2 D.±2
【答案】B
3. (2014福建省厦门市,3,3分)3x2 可以表示为
A. 9x B. x2·x2·x2 C. 3x·3x D. x2+x2+x2
【答案】D
4.(2014福建省厦门市,4,3分)已知直线AB,CB ,l 在同一平面内,若AB⊥l,垂足为B,CB⊥l,垂足也为B,则符合题意的图形可以是
A. B. C. D.
【答案】C
5.(2014福建省厦门市,5,3分)已知命题A:“任何偶数都是8的整数倍” .在下列选项中,可以作为“命题A是假命题”的反例的是
A.2k B. 15 C.24 D. 42
【答案】D
6. (2014福建省厦门市,6,3分)如图1,在△ABC和△BDE中,点C在边BD上,边AC交边BE
于点F,若AC=BD, AB=ED,BC=BE,则∠ACB等于
A. ∠EDB B. ∠BED C. ∠AFB D. 2∠ABF
图1
【答案】C
7.(2014福建省厦门市,7,3分)已知某校女子田径队23人年龄的平均数和中位数都是13岁,但是后来发现其中有一位同学的年龄登记错误,将14岁写成15岁.经重新计算后,正确的平均数为a岁,中位数为b岁,则下列结论中正确的是
A.a<13, b=13 B.a<13 ,b<13 C.a>13,b<13 D.a>13,b=13
【答案】A
二、填空题(本大题有10小题,每小题4分,共40分)
8. (2014福建省厦门市,7,4分)一个圆形转盘被平均分成红、黄、蓝、白4个扇形区域,向其投掷一枚飞镖,飞镖落在转盘上,则飞镖落在黄色区域的概率是 .
【答案】
9.(2014福建省厦门市,9,4分)代数式在实数范围内有意义,则x的取值范围是 .
【答案】x≥1
10.(2014福建省厦门市,10,4分)四边形的内角和是 .
【答案】360°
11.(2014福建省厦门市,11,4分)在平面直角坐标系中,已知点O(0,0),A(1,3),将线段OA向右平移3个单位,得到线段O1 A1,则点O1的坐标是 ,A1的坐标是 .
【答案】(3,0),(4,3)
12.(2014福建省厦门市,12,4分)已知一组数据是:6,6,6,6,6,6,则这组数据的方差是 .
【注:计算方差的公式是S2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2] 】
【答案】0
13.(2014福建省厦门市,13,4分)方程x+5=( x+3)的解是 .
【答案】—7
14.(2014福建省厦门市,14,4分)如图2,在等腰梯形ABCD中
AD∥BC,若AD=2,BC=8,
梯形的高是3,则∠B的度数是 .
【答案】45°
15.(2014福建省厦门市,15,4分)设a=192×918,
b=8882-302,c=10532-7472,则数a,b,c 图2
按从小到大的顺序排列,结果是 < < .
【答案】a<c<b
16.(2014福建省厦门市,16,4分)某工厂一台机器的工作效率相当于一个工人工作效率的12倍,用这台机器生产60个零件比8个工人生产这些零件少用2小时,
则这台机器每小时生产 个零件.
【答案】15
17.(2014福建省厦门市,17,4分)如图3,正六边形ABCDEF
的边长为2,延长BA,EF交于点O.以O为原点,以边
AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,
则直线DF与直线AE的交点坐标是( , ).
【答案】(2,4)
图3
三、解答题(本大题有9小题,共89分)
18.(2014福建省厦门市,18,21分)
(1)计算:(-1) ×(-3) +(-)0-(8-2) ;
(2)在平面直角坐标系中,已知点A(-3,1),
B(-1,0),C(-2, -1),请在图4中
画出△ABC,并画出与△ABC关于y轴
对称的图形; 图4
(3)甲口袋中装有3个小球,分别标有号码1,2,3;乙口袋中装有2个小球,分别标有
号码1,2;这些球除数字外完全相同.从甲、乙两口袋中分别随机地摸出一个小球,
求这两个小球的号码都是1的概率.
【答案】(1)解:(-1) ×(-3) +(-)0-(8-2)
=3+1-6 ……………………………6分
=-2. ……………………………7分
(2)解:
正确画出△ABC ; ……………………………11分
正确画出△ABC关于y轴对称的图形. …………………14分
(3)
解: P(两个球的号码都是1)=. ……………………………21分
19.(2014福建省厦门市,19,18分)
(1)如图5,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,
若DE∥BC,DE=2 ,BC=3,求的值;
(2)先化简下式,再求值:
(-x2+3-7x)+(5x-7+2x2),其中x=+1; 图5
(3)解方程组
【答案】(1)解:∵ DE∥BC,
∴ △ADE ∽△ABC. …………………3分
∴ =. ……………………………5分
∵DE=2,BC=3,
∴ =. ……………………………6分
(2)解1:(-x2+3-7x)+(5x-7+2x2)
= -x2+3-7x+5x-7+2x2
=x2-2x-4 ……………………………10分
当 x=+1时,
原式=(+1)2-2(+1) -4 ……………………………11分
= 2+2+1-2-2-4
=—3. ……………………………12分
解2:(-x2+3-7x)+(5x-7+2x2)
= -x2+3-7x+5x-7+2x2
=x2-2x-4 . ……………………………10分
∵ x2-2x-4=(x-1)2-5
∴当 x=+1时,
原式=(+1-1)2-5 ……………………………11分
=—3. ……………………………12分
(3)解1:由①得y=-2x+4, ……………………………15分
解得x=1, ……………………………16分
y=2. ……………………………17分
∴ ……………………………18分
解2:整理得 ……………………………15分
解得x=1, ……………………………16分
y=2. ……………………………17分
∴ ……………………………18分
20. (2014福建省厦门市,20,6分)如图6,在四边形ABCD中
,AD∥BC,AM⊥BC,垂足为M,AN⊥DC,垂足为N.
若∠BAD=∠BCD,AM=AN,求证四边形ABCD是菱形.
【答案】证明1:∵AD∥BC,
∴∠BAD+∠B=180°. …………1分
∵∠BAD=∠BCD,
∴∠BCD+∠B=180°. …………2分
∴ AB∥DC.
∴四边形ABCD是平行四边形. ……………………………3分
∴∠B=∠D.
∵AM=AN,AM⊥BC,AN⊥DC,
∴Rt△ABM≌Rt△ADN. ……………………………4分
∴AB=AD. ……………………………5分
∴平行四边形ABCD是菱形. ……………………………6分
证明2:连接BD,
∵AD∥BC,
∴∠ADB=∠DBC. ……………………………1分
∵∠BAD=∠BCD, BD=BD.
∴△ABD≌△CDB. ……………………………2分
∴ AD=BC.
∴四边形ABCD是平行四边形. ………………3分
∴∠ABC=∠ADC.
∵AM=AN,AM⊥BC,AN⊥DC,
∴Rt△ABM≌Rt△ADN. ………………4分
∴AB=AD. ………………5分
∴ 平行四边形ABCD是菱形 ……………………………6分
证明3:连接AC,∵AM=AN,AC=AC,AM⊥BC,AN⊥DC,
∴Rt△ACM≌Rt△ACN. ………………1分
∴∠ACB=∠ACD.
∵AD∥BC,
∴∠ACB=∠CAD,
∴∠ACD=∠CAD.
∴DC=AD. ……………………………2分
∵∠BAD=∠BCD,
∴∠BAC=∠ACD. ……………………………3分
∴AB∥DC. ……………………………4分
∴四边形ABCD是平行四边形. ……………………………5分
∴ 平行四边形ABCD是菱形. ……………………………6分
图6
21. (2014福建省厦门市,21,6分)已知A(x1,y1),
B (x2,y2)是反比例函数y=图象上的两点,
且x1-x2=-2,x1·x2=3,y1-y2=-.当-3<x<-1时,求y的取值范围.
【答案】解1:y1-y2=- ……………………………2分
==. ……………………………3分
∵ x1-x2=-2,x1·x2=3,y1-y2=-
∴ -=.
解得 k=-2. ……………………………4分
∴ y=-.
∴当 -3<x<-1时,<y<2. ……………………………6分
解2:依题意得 ……………………………1分
解得 或 ……………………………2分
当时,y1-y2=k-=, ……………………………3分
∵ y1-y2=-,∴k=-2.
当时,y1-y2=-+k=,
∵ y1-y2=-,∴k=-2.
∴ k=-2. ……………………………4分
∴ y=-.
∴当 -3<x<-1时,<y<2. ……………………………6分
22.(2014福建省厦门市,22,6分)A,B,C,D四支足球队分在同一小组进行单循环足球比赛,争夺出线权.比赛规则规定:胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分,小组中积分最高的两个队(有且只有两个队)出线.小组赛结束后,如果A队没有全胜,那么A队的积分至少要几分才能保证一定出线?请说明理由.
【注:单循环比赛就是小组内的每一个队都要和其他队赛一场】
【答案】解1:至少要7分才能保证一定出线. ……………………………2分
依题意得,每队赛3场,本组比赛的场数共6场.
若A队两胜一平,积7分. ……………………………3分
因为输给A队的有2支球队,这2支球队的积分一定小于7分,
所以最多只有与A队打平的那支球队的积分等于7分,所以积7分保证一定出线. ……………………4分
若A队两胜一负,积6分. ……………………5分
若有一队三赛全负,另两队都是两胜一负,则小组中有三个队积6分,
根据规则,在这种情况下,A队不一定出线.
………………………6分
同理当A队积5分、4分、3分、2分时不一定能出线.
即至少要7分才能保证一定出线.
解2:至少要7分才能保证一定出线. ………………………2分
依题意得,每队赛3场,本组比赛的场数共6场.
若A队两胜一平,积7分. ………………………3分
因此其他的球队不可能积9分.依据规则,不可能有球队积8分.
每场比赛,两队得分之和是2分或3分,
6场比赛得分总和最少是12分,最多18分,所以最多只有两个队得7分,
所以积7分保证一定出线. …………………………4分
若A队两胜一负,积6分. …………………………5分
A
B
C
D
A
3
3
0
B
0
3
3
C
0
0
0
D
3
0
3
如表格所示,根据规则,在这种情况下,A队不一定出线. ………………6分
同理当A队积5分、4分、3分、2分时不一定能出线.
即至少要7分才能保证一定出线.
解3:至少要7分才能保证一定出线. …………………………2分
因为这时A队两胜一平, …………………………3分
由于每场比赛,两队得分之和是2分或3分,
而至少有一场比赛出现平局,所以各队积分总和m≤3×5+2=17.
因此不会有3个队都积7分,A队在前2名之内. ………………………4分
A队积6分不一定出线. ……………………5分
不妨设A胜B,B胜C,C胜D,A,B,C都胜D,此时A,B,C三支球队都积6分,由于只有2个队出线,故A队不一定出线. ……………………6分
同理当A队积5分、4分、3分、2分时不一定能出线.
即至少要7分才能保证一定出线.
23.(2014福建省厦门市,23,6分)已知锐角三角形ABC,点D在BC的延长线上,连接AD,若
∠DAB=90°,∠ACB=2∠D,AD=2,AC=,根据题意画出示意图,并求tanD的值.
【答案】(本题满分6分)
解:正确画图 ……………………2分
∵∠ACB=∠D+∠CAD,∠ACB=2∠D,
∴∠CAD=∠D.
∴ CA=CD. …………………………3分
∵∠BAD=90°,
∴∠B+∠D=90°,
∵∠BAC+∠CAD=90°,
∴∠B=∠BAC.
∴CB=CA.
∴ BD =2AC. ………………………4分
∵AC=,
∴BD=3.
在Rt△BAD中,
∵AD=2,
∴ AB=. ………………………5分
∴ tanD==. ………………………6分
24.(2014福建省厦门市,24,6分)当m,n是正实数,且满足m+n=mn时,就称点P(m,)为“完美点”.已知点A(0,5)与点M都在直线y=-x+b上,点B,C是“完美点”,且点B在线段AM上.若MC=,AM=4,求△MBC的面积.
【答案】解1: ∵ m+n=mn且m,n是正实数,
∴ +1=m.即=m-1.
∴P(m,m-1). ……1分
即“完美点”P在直线y=x-1上.
∵点A(0,5)在直线y=-x+b上,
∴ b=5. …………2分
∴ 直线AM: y=-x+5.
∵ “完美点”B在直线AM上,
由 解得 B(3,2). ………………………………3分
∵ 一、三象限的角平分线y=x垂直于二、四象限的角平分线y=-x,
而直线y=x-1与直线y=x平行,直线y=-x+5与直线y=-x平行,
∴直线AM与直线y=x-1垂直.
∵ 点B是y=x-1与直线AM的交点,∴ 垂足是B.
∵点C是“完美点”,
∴点C在直线y=x-1上.
∴△MBC是直角三角形. ………………………………5分
∵ B(3,2),A(0,5),
∴ AB=3.
∵AM=4,
∴ BM=.
又∵ CM=
∴ BC=1 .
∴S△MBC=. ………………………………6分
解2: ∵ m+n=mn且m,n是正实数,
∴ +1=m.即=m-1.
∴P(m,m-1). ……1分
即“完美点”P在直线y=x-1上.
∵点A(0,5)在直线y=-x+b上,
∴ b=5. …………2分
∴ 直线AM: y=-x+5.
设“完美点”B(c,c-1),即有c-1=-c+5,
∴B(3,2). ………………………………3分
∵ 直线AM与x轴所夹的锐角是45°,
直线y=x-1与x轴所夹的锐角是45°,
∴直线AM与直线y=x-1垂直,
∵ 点B是y=x-1与直线AM的交点,∴ 垂足是B.
∵点C是“完美点”,
∴点C在直线y=x-1上.
∴△MBC是直角三角形. ………………………………5分
∵ B(3,2),A(0,5),
∴ AB=3.
∵AM=4,
∴ BM=.
又∵ CM=
∴ BC=1.
∴S△MBC=. ……………………………………6分
25.(2014福建省厦门市,25,6分)已知A,B,C,D是⊙O上的四个点.
(1)如图7,若∠ADC=∠BCD=90°,AD=CD,
求证AC⊥BD;
(2)如图8,若AC⊥BD,垂足为E,AB=2 ,
DC=4,求⊙O的半径. 图7
【答案】 (1)证明:∵∠ADC=90°,∴∠CBA=90°. ……………1分
∵∠BCD=90°,∴∠DAB=90°.
∴四边形ABCD是矩形. …………………2分
∵AD=CD,
∴矩形ABCD是正方形. ………………………3分
∴AC⊥BD. ………………………4分
(2)解1:连接DO并延长交⊙O于点F,连接CF. …………………2分
∵DF是直径,
∴∠FCD=90°. ………………………3分
即∠ACD+∠FCA=90°.
∵=.
∴∠ACD=∠B.
∵AC⊥BD,
∴ ∠B+∠A=90°,
∴∠A=∠FCA. ………………………4分
∴ =.
∴ =.
∴ AB=FC. ………………………5分
在Rt△DFC 中,
DF2=DC2+FC2
=42+22
=20.
∴ DF=2.
∴⊙O的半径是. ………………………6分
解2:连接AO并延长交⊙O于点F,连接BF. …………………2分
∵ AF是直径,
∴∠ABF=90°. ………………………3分
即∠ABD+∠DBF=90°.
∵AC⊥BD,
∴ ∠ABD+∠BAC=90°.
∴∠BAC=∠DBF. ………………………4分
∴ =.
∴=.
∴ DC=BF. ………………………5分
在Rt△ABF 中,
∵AF2=AB2+BF2
=42+22
=20.
∴ DF=2.
∴⊙O的半径是. ………………………6分
解3:连接BO并延长交⊙O于点F,连接AF. ………………2分
设⊙O的半径为r.
∵ BF是直径,
∴+=πr. ………………………3分
∵AC⊥BD,
∴ ∠ABD+∠BAC=90°.
∴+=πr. ………………………4分
∴ +=πr.
∴+=+
∴ =.
∴ AF=DC. ………………………5分
在Rt△ABF 中,
BF2=AF2+AB2
=42+22
=20.
∴ BF=2.
∴⊙O的半径是. ………………………6分
解4:在上找一点F,使得CF=AB,连接CF,连接DF. ………………2分
∵ CF=AB,
∴ =. ………………3分
∴=.
∴∠A=∠FCA. ………………4分
∵=.
∴∠ACD=∠ABD.
∵AC⊥BD,
∴ ∠B+∠A=90°.
∴∠ACD+∠FCA=90°.
∴ DF是直径. ………………………5分
在Rt△DCF 中,
∵DF2=DC2+CF2
=42+22
=20.
∴ DF=2.
∴⊙O的半径是. ………………………6分
解5:设∠BAE=α.
∵AC⊥BD,
∴在Rt△ABE中,sinα=.
∵ BA=2,
∴ BE=2sinα. ………………………1分
∵=,
∴∠BDC=α.
在Rt△DEC中,
sinα=.
∵ DC=4,
∴ CE=4sinα. ………………………2分
在Rt△BEC中,
BC2=CE2+BE2
=20 sin2α.
∴BC=2sinα. ………………………3分
连接BO并延长交⊙O于点F,连接CF. ………………………4分
∴∠BFC=α.
∵BF是直径,
在Rt△BCF中,
sinα=, ………………………5分
∴BF==2.
∴⊙O的半径是. ………………………6分
图8
26.(2014福建省厦门市,26,10分)如图9,已知c<0,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(x1,0),
B(x2,0)两点(x2>x1),与y轴交于点C,
(1)若x2=1,BC=,求函数y=x2+bx+c的最小值;
(2)过点A作AP⊥BC,垂足为P(点P在线段BC上),AP交y轴于点M.若=2,求抛物线y=x2+bx+c顶点的纵坐标随横坐标变化的函数解析式,并直接写出自变量的取值范围.
【答案】
图9
(1)解1:∵x2=1,
∴OB=1. ……………1分
∵ BC=,
∴ OC=2.
∵ c<0,
∴ c=-2.
∴ 1+b-2=0.
解得b=1. ……………2分
得二次函数y=x2+x-2
=(x+)2-.
∴二次函数y=x2+x-2的最小值是-. ………………………4分
解2:∵x2=1,
∴OB=1. ………………………1分
∵ BC=,
∴ OC=2.
∵ c<0,
∴ c=-2
∴ 1+b-2=0.
解得b=1. ………………………2分
得二次函数y=x2+x-2.
此抛物线顶点的横坐标是-,纵坐标是-.
∴ 二次函数y=x2+x-2的最小值是-. ………………………4分
(2)解1:∵ AP⊥BC,
∴∠PMC+∠PCM=90°,
∵∠OAM+∠OMA=90°,
∵∠OMA=∠PMC,
∴∠OAM=∠PCM.
∴Rt△OAM∽Rt△OCB
∴==2. ………………1分
即OC=2OB.
∵c<0,x2>0,
∴-c=2x2. ………………………2分
由 x22+bx2+c=0,得
c=2b-4. ………………………3分
∴二次函数y=x2+b x+c
=x2+b x+2b-4.
它的顶点坐标是(-,).
∵=-(-)2-4·(-)-4,………………………4分
∴顶点的纵坐标随横坐标变化的函数解析式是
y=-x2-4x-4(x>-). ………………………6分
解2:∵ AP⊥BC,
∴∠PMC+∠PCM=90°,
∵∠OAM+∠OMA=90°,
∵∠OMA=∠PMC,
∴∠OAM=∠PCM.
∴tan∠OAM =tan∠PCM.
∴==. …………1分
即OC=2OB.
∵c<0,x2>0,
即-c=2x2. ………………………2分
由 x22+bx2+c=0,得
c=2b-4. ………………………3分
∴二次函数y=x2+b x+c
=x2+b x+2b-4.
它的顶点坐标是(-,).
设m=-,n=, ………………………4分
则b=-2m.
n=
=-m 2-4m-4(m>-). ………………………6分
∴顶点的纵坐标随横坐标变化的函数解析式是
n=-m 2-4m-4(m>-).