中考数学 函数课标解读典例诠释复习1 36页

第八单元 函 数 第一节 函数概念与图象 课标解读 考试内容 考 试 要 求 考查频度 A B C 坐标与 图 形位置 了解有序数对的概念； 知道用有序数对可以 表示物体的位置；认识 并能理解平面直角坐 标系的有关概念； 会 选择合适的平面直角 坐标系并能写出给定 正方形的顶点坐标；了 解可以用坐标描述一 个简单图形 能画出平面直角坐标系； 在给定的平面直角坐标系 中，能根据坐标描出点的 位置或由点的位置写出点 的坐标；能在实际问题中 建立适当的平面直角坐标 系，描述物体的位置；能 用方位角和距离描述两个 物体的相对位置 ★★★★ 函数及其 图象 了解常量和变量的意 义；了解函数的概念和 三种表示方法；会用描 点法画出函数的图象； 会求函数的值 能列举函数的实例；能用 适当的函数表示法描述简 单实际问题中变量之间的 关系，并能确定函数自变 量的取值范围；能结合图 象对简单实际问题中的函 数关系进行分析；能用函 数的有关知识解决简单的 实际问题 运用函数的 有关内容， 探索有关问 题中的数量 关系和变化 规律，并结 合对函数关 系的分析， 对变量之间 的对应关系 和变化情况 进行初步预 测 ★★★★ ★ 知识要点 1.已知点 P(x,y),若点 P 在第一象限，则 x ,y ; 若点 P 在第二象限，则 x ,y ; 若点 P 在第三象限，则 x ,y ；若点 P 在第四象限， 则 x ,y ；若点 P 在 x 轴上，则 y ；若点 P 在 y 轴上，则 x . 2.已知点 P(a,b),关于 x 轴的对称点的坐标是 ；关于 y 轴的对称点的坐标 是 ；关于原点的对称点的坐标是 . 3.若点 P(a,b)在第一、三象限的角平分线上，则 x,y 的关系是 ；若点 P(a,b)在第 二、四象限的角平分线上，则 x,y 的关系是 . 4.点 P(x,y)到 x 轴的距离是 ，到 y 轴的距离是 ，到原点的距离是 . 5.平面内任意两点，则线段= . 6.平行于 x 轴的直线上的点 ；平行于 y 轴的直线上的点 . 7.理解函数概念时，应注意：①在某一变化过程中有两个 x 和 y；②y 的值随 x 的 ；③对于 x 的每一个值，y 都 . 8.画函数图象的一般步骤为 ； ； . 典例诠释 考点一 坐标与图形位置 例 1 (2016·朝阳一模)我市为了促进全民健身，举办“健步走”活动，朝阳区活动场地位 于奥林匹克公园(路线：森林公园—玲珑塔—国家体育场－水立方)．如图 1-8-1，体育局的 工作人员在奥林匹克公园设计图上设定玲珑塔的坐标为(－1，0)，森林公园的坐标为(－2， 2)，则终点水立方的坐标为( ) 图 1-8-1 A．(－2，－4) B．(－1，－4) C．(－2，4) D．(－4，－1) 【答案】 A 【名师点评】 本题主要涉及平面直角坐标系的有关知识，解题的关键在于根据所给点的坐 标确定原点位置，建立平面直角坐标系. 例 2 (2016·东城一模)在平面直角坐标系中，将点 A(－1，2)向右平移 3 个单位长度得到 点 B，则点 B 关于 x 轴的对称点 C 的坐标是( ) A．(－4，－2) B．(2，2) C．(－2，2) D．(2，－2) 【答案】 D 【名师点评】 本题主要涉及平面直角坐标系中点的平移和轴对称问题，解题的最好方法是 将抽象的问题具体化，在平面直角坐标系中表示出 A 点位置，再根据变换最终确定所求点的 坐标. 考点二 函数自变量的取值范围 例 3 (2016·昌平二模)在函数 y＝中，自变量 x 的取值范围是( ) A.x＞2 B.x≠2 C.x＜2 D.x≤2 【答案】 D 【名师点评】 本题所涉及的函数为二次根式型函数 ，其自变量 x 的取值范围是使被开方 数为非负数的实数. 例 4 (2016·门头沟二模)函数 y=的自变量 x 的取值范围是 ． 【答案】 x≠2 【名师点评】 本题所涉及的函数为分式型函数，其自变量 x 的取值范围是使分母不为 0 的实数. 例 5 (2016·石景山二模)函数 y= 的自变量 x 的取值范围是( ) A．x≠3 B．x>且 x≠3 C．x≥2 D．x≥且 x≠3 【答案】 D 【名师点评】 本题涉及的函数为综合型函数,自变量 x 的取值范围应满足使等式右侧．．．．的代 数式有意义. 考点三 函数图象 例 6 (2016·房山一模)如图 1-8-2，在正方形 ABCD 中，AB=3 厘米，动点 M 自点 A 出发沿 AB 方向以每秒 1 厘米的速度运动，同时动点 N 自点 A 出发沿折线 AD—DC—CB 以每秒 3 厘米 的速度运动，到达点 B 时运动同时停止.设△AMN 的面积为，运动时间为 x(秒)，则下列图象 中能大致反映 y 与 x 之间的函数关系是( ) 图 1-8-2 A B C D 【答案】 B 例 7 (2015·东城二模)如图 1-8-3，矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4，动点 P 从 A 点出发，按 A→B→C 的方向在边 AB 和边 BC 上移动，记 PA=x，点 D 到直线 PA 的距离为 y，则 y 关于 x 的函数图象大致是( ) 图 1-8-3 A B C D 【答案】 B 例 8 (2016·丰台一模)如图 1-8-4，矩形 ABCD 中，AB=2，BC=1，O 是 AB 的中点，动点 P 从B点开始沿着边BC，CD运动到点D结束.设BP=x，OP=y，则y关于x的函数图象大致为( ) 图 1-8-4 A B C D 【答案】 D 【名师点评】 动点的函数图象是通过点、线或图形的运动构成一种函数关系，生成一种函 数图象，将几何图形和函数关系有机地结合在一起，体现了数形结合的思想.解答时按照以 下三个步骤进行思考：一看，即结合几何图形和函数图象的变化趋势做初步判断；二找，即 找特殊点，根据相应的自变量的值(或函数值)求出相应的函数值(或自变量的值)，从而再利 用排除法进行选择；三列，以上两个步骤行不通时再考虑列函数关系式. 考点四 求点的坐标 例 9 (2016·西城二模)在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为(1，0)．P 是第一象限内 任意一点，连接 PO，PA．若∠POA= m°，∠PAO=n°，则我们把 P(m°，n°)叫做点 P 的“双 角坐标”．例如，点(1，1)的“双角坐标”为(45°，90°)． (1)点(，)的“双角坐标”为 ； (2)若点 P 到 x 轴的距离为，则 m+n 的最小值为 ． 【答案】 (1)(60°，60°) (2)90 例 10 (2016·昌平二模)已知：如图 1-8-5，在平面直角坐标系 xOy 中，点，的坐标分别为 (1，0)，(1，1). 将△绕原点 O 逆时针旋转 90°， 再将其各边都扩大为原来的 m 倍，使， 得到△；将△ 绕原点 O 逆时针旋转 90°，再将其各边都扩大为原来的 m 倍，使，得到△．如 此下去，得到△． 图 1-8-5 (1)m 的值为 ； (2)在△中，点的纵坐标为 . 【答案】 ；－ 例 11 (2016·东城二模)在平面直角坐标系中，小明玩走棋的游戏，其走法是：棋子从原 点出发，第 1 步向右走 1 个单位长度，第 2 步向右走 2 个单位长度，第 3 步向上走 1 个单位 长度，第 4 步向右走 1 个单位长度，…，依次类推，第 n 步的走法是：当 n 能被 3 整除时， 则向上走 1 个单位长度；当 n 被 3 除，余数为 1 时，则向右走 1 个单位长度；当 n 被 3 除， 余数为 2 时，则向右走 2 个单位长度.当走完第 8 步时，棋子所处位置的坐标是 ； 当走完第 2016 步时，棋子所处位置的坐标是 ． 【答案】 (9，2)；(2016，672) 【名师点评】 此类问题是对点的坐标的规律变化的考查，学生往往需要通过图形(或画出 图形)，观察并求出至少 5 个点的坐标，再根据“从特殊到一般”的方法猜想出一般性结论， 进而得出结果. 基础精练 1.(2016·房山一模)象棋在中国有着三千多年的历史，属于二人对抗性游戏的一种.由于用 具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的棋艺活动.如图 1-8-6 是一方的棋盘，如果“帅” 的坐标是(0,1)，“卒”的坐标是(2,2)，那么“马”的坐标是( ) 图 1-8-6 A．(－2，1) B．(2，－2) C．(－2，2) D．(2，2) 【答案】 C 2.(2016·通州一模)如图 1-8-7，在 5×5 正方形网格中，一条圆弧经过 A，B，C 三点，已 知点 A 的坐标是(－2，3)，点 C 的坐标是(1，2)，那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是( ) A．(0，0) B．(－1，1) C．(－1，0) D．(－1，－1) 图 1-8-7 【答案】 B 3.(2016·朝阳期末)在平面直角坐标系 xOy 中，点 B 的坐标为(3，1)，则点 B 关于原点的对 称点的坐标为( ) A.(3，－1) B.(－3，1) C.(－1，－3) D.(－3，－1) 【答案】 D 4.(2016·昌平一模)在平面直角坐标系 xOy 中，将点 A(－2，3)向右平移 3 个单位长度后得 到的对应点 A′的坐标是( ) A．(1，3) B．(－2，－3) C．(－2，6) D．(－2，1) 【答案】 A 5.(2016·西城期末)如图 1-8-8，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为(－1，2)，AB⊥ x 轴于点 B．以原点 O 为位似中心，将△OAB 放大为原来的 2 倍，得到△，且点在第二象限， 则点的坐标为( ) 图 1-8-8 A.(－2，4) B.(－，1) C.(2，－4) D.(2，4) 【答案】 A 6.(2016·朝阳二模)函数 y=2x+的自变量 x 的取值范围是 ． 【答案】 x≠－1 7.(2016·顺义二模)函数 y=中，自变量 x 的取值范围是( ) A.x≠3 B.x＞3 C.x≥3 D.x<3 【答案】 C 8.(2015·大兴一模)函数 y=中，自变量 x 的取值范围是( ) A.x≤2 且 x≠0 B.x≤2 C.x<2 且 x≠0 D.x≠0 【答案】 A 9.(2016·昌平二模)如图 1-8-9，是雷达探测器测得的结果，图中显示在点 A，B，C，D，E， F 处有目标出现，目标的表示方法为(r，α)，其中，r 表示目标与探测器的距离；α表示以 正东为始边，逆时针旋转后的角度.例如，点 A，D 的位置表示为 A(5，30°)，D(4，240°). 用这种方法表示点 B，C，E，F 的位置，其中表示正确的是( ) 图 1-8-9 A．B(2，90°) B．C(2，120°) C．E(3，120°) D．F(4，210°) 【答案】 A 10.(2016·朝阳二模)一艘海上搜救船借助雷达探测仪寻找到事故船的位置，雷达示意图如 图 1-8-10 所示，搜救船位于图中圆心 O 处，事故船位于距 O 点 40 海里的 A 处，雷达操作员 要用方位角．．．把事故船相对于搜救船的位置汇报给船长，以便调整航向，下列四种表述方式中 正确的为( ) 图 1-8-10 A．事故船在搜救船的北偏东 60°方向 B．事故船在搜救船的北偏东 30°方向 C．事故船在搜救船的北偏西 60°方向 D．事故船在搜救船的南偏东 30°方向 【答案】 B 11.(2016·平谷二模)如图 1-8-11，矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4，动点 P 从 A 点出发，按 A→B→C 的方向在边 AB 和 BC 上移动，若点 P 的运动路程为 x，DP=y，则 y 关于 x 的函数图象大致为 ( ) 图 1-8-11 A B C D 【答案】 B 12.(2016·房山二模)如图 1-8-12，在平面直角坐标系中，点 A,B,C 的坐标分别为(1，0)， (0，1)，(－1，0)．一个电动玩具从坐标原点 O 出发，第一次跳跃到点，使得点与点 O 关于 点 A 成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点 B 成中心对称；第三次跳跃到点，使 得点与点关于点 C 成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点 A 成中心对称；第五次 跳跃到点，使得点与点关于点 B 成中心对称……照此规律重复下去，则点的坐标为 ， 点的坐标为 ． 图 1-8-12 【答案】 (－2,0);(0,0) 真题演练 1.(2016·北京)如图 1-8-13，直线 m⊥n.在某平面直角坐标系中，x 轴∥m，y 轴∥n，点 A 的坐标为(－4，2)，点 B 的坐标为(2，－4)，则坐标原点为( ) 图 1-8-13 A. B. C. D. 【答案】 A 2.(2015·北京)如图 1-8-14 是利用平面直角坐标系画出的故宫博物院的主要建筑分布图. 若这个坐标系分别以正东、正北方向为 x 轴、y 轴的正方向.表示太和门的点坐标为(0，－ 1)，表示九龙壁的点的坐标为(4，1)，则下列表示宫殿的点的坐标正确的是( ) 图 1-8-14 A．景仁宫(4，2) B．养心殿(－2，3) C．保和殿(1，0) D．武英殿(－3.5，－4) 【答案】 B 3.(2015·北京)函数 y=+的自变量 x 的取值范围是 . 【答案】 x≠0 4.(2015·天津)在平面直角坐标系中，把点 P(－3，2)绕原点 O 顺时针旋转 180°，所得到 的对应点 P′的坐标为( ) A.(3，2) B.(2，－3) C.(－3，－2) D.(3，－2) 【答案】 D 5.(2011·北京)如图 1-8-15，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC＝30°，AB=2,D 是 AB 边 上的一个动点(不与点 A，B 重合)，过点 D 作 CD 的垂线交射线 CA 于点 E.设 AD=x，CE＝y， 则下列图象中，能表示 y 与 x 的函数关系图象大致是( ) 图 1-8-15 A B C D 【答案】 B 第二节 一次函数 课标解读 考试内容 考 试 要 求 考查频度 A B C 一次函数 理解正比例函数；了解 一次函数的意义，会利 用待定系数法确定一 次函数的表达式；了解 一次函数与二元一次 能根据已知条件确定一次 函数的表达式；能画出一 次函数的图象；结合图象 与表达式，掌握当 k＞0 和 k＜0 时，一次函数图象的 能运用一次 函数、方程、 不等式的有 关内容解决 有关问题 ★★★★ 方程的关系 变化情况 知识要点 1.一次函数 y=kx+b(k,b 为常数且 k≠0)的图象是 ；当 b=0 时，一次函数 y=kx(k≠0) 又叫 函数. 2.一次函数 y=kx+b(k≠0)的图象所经过的象限：当 k>0,b=0 时图象经过 ； 当 k<0,b=0 时图象经过 ；当 k>0,b>0 时图象经过 ；当 k>0,b<0 时图象经过 ；当 k<0,b<0 时图象经过 ；当 k<0,b>0 时图象经 过 . 3. 一 次 函 数 y=kx+b(k≠0) 与 x 轴 的 交 点 坐 标 为 ； 与 y 轴 的 交 点 坐 标 为 . 4.一次函数 y=kx+b(k≠0)，当 k>0 时 y 随 x 的增大而 ；当 k<0 时 y 随 x 的增大 而 . 5.一次函数 y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数 y=kx 的图象平移得到，当 b>0，由正比例 函数 y=kx 的图象 平移 b 个单位长度；当 b<0，由正比例函数 y=kx 的图象 平移 |b|个单位长度. 6.直线:和直线:平行，则 且 . 7.直线:和直线:垂直，则 . 典例诠释 考点一 一次函数的图象与性质 例 1 (2016·顺义二模)某函数符合如下条件：①图象经过点(1，3)；②y 随 x 的增大而减 小.请写出一个符合上述条件的一次函数表达式 . 【答案】 y=－x+4(不唯一) 【名师点评】 此题考查了一次函数的性质和解析式的确定，结论虽然开放，但不难看出 y 随 x 的增大而减小的条件是 k<0，这是解决本题的关键. 例 2 (2015·东城二模)一次函数 y=kx+b 的图象经过第一、二、三象限且经过点(0,2).任 写一个满足上述条件的一次函数的表达式是 . 【答案】 y=x+2(不唯一) 【名师点评】 本题考查了一次函数的性质和解析式的确定，通过图象所经过的象限可以判 断出 k>0，b>0,通过图象经过点(0,2)，则可以确定 b 值.本题答案不唯一. 考点二 待定系数法求一次函数表达式 例 3 (2016·西城二模改)在平面直角坐标系 xOy 中，反比例函数=的图象与一次函数=ax+b 的图象交于点 A(1，3)和点 B(－3，m)．求反比例函数=和一次函数=ax+b 的表达式. 【答案】 =;=x+2 【解题思路】借助反比例函数的图象经过已知点 A，可以求出 k 的值；利用反比例函数表达 式进一步求出 B 点坐标；在已知 A，B 点坐标的情况下，将两个点的坐标代入一次函数表达 式，即可求出 a,b 的值. 例 4 (2014·门头沟二模)如图 1-8-16，直线 AB 与 y 轴交于点 A,与 x 轴交于点 B，点 A 的 纵坐标、点 B 的横坐标如图所示． 图 1-8-16 (1)求直线 AB 的解析式. (2)点 P 在直线 AB 上，是否存在点 P 使得△AOP 的面积为 1？如果有，请直接写出所有满足 条件的点 P 的坐标. 【答案】 (1)y=－x+2 (2) 或 【名师点评】 本题主要考查了一次函数表达式的确定，第(2)问点 P 的坐标注意分类讨论， 点 P 的横坐标的绝对值应满足：=1.这是正确解答本题的一个难点. 考点三 一次函数的应用 例 5 (2016·东城二模)如图 1-8-17 所示，购买一种苹果，所付款金额 y(元)与购买量 x(千 克)之间的函数图象由线段 OA 和射线 AB 组成，则一次购买 3 千克这种苹果比分三次每次购 买 1 千克这种苹果可节省( ) 图 1-8-17 A．1 元 B．2 元 C．3 元 D．4 元 【答案】 B 【解题思路】 根据图象信息分别求出一次购买 3 千克苹果应付的金额和分三次每次购买 1 千克苹果应付的金额，作差比较即可得到本题答案. 例 6 (2016·海淀二模)随着“互联网+”时代的到来，一种新型的打车方式受到大众欢 迎．该打车方式采用阶梯收费标准．打车费用 y(单位：元)与行驶里程 x(单位：千米)的函 数关系如图 1-8-18 所示．如果小明某次打车行驶里程为 20 千米，则他的打车费用为( ) 图 1-8-18 A．32 元 B．34 元 C．36 元 D．40 元 【答案】 B 【解题思路】 从图象信息可以看出，打车费用按两个阶段收费，通过点(12,18)可以求出 第一阶段打车每千米需付费 1.5 元；第二阶段打车每千米需付费 元；打车里程为 20 千米的打车费用可列式为 . 考点四 一次函数、方程、不等式 例 7 (2015·怀柔一模)如图 1-8-19，函数 y=2x 和 y=ax+4 的图象相交于点 A(m，3)，则不 等式 2x≥ax+4 的解集为( ) 图 1-8-19 A.x≥ B.x≤3 C.x≤ D.x≥3 【答案】 A 【解题思路】 通过函数 y=2x 的图象过交点 A,可以求出 A 点横坐标 m 的值；不等式 2x≥ax+4 的解集就是正比例函数图象在一次函数图象的上方(含交点)时对应自变量 x 的取值范围. 例 8 (2015·石景山二模)如图 1-8-20 所示，已知函数 y=x+b 和 y=ax－1 的图象的交点为 M， 则不等式 x+b0)个单位长度后，与 x 轴、y 轴分别交于点 A、点 B，与双曲 线 y=(k≠0)的一个交点记为 Q.若 BQ=2AB，求 b 的值. 【答案】 (1)k=－6 (2)b=1 或 b= 真题演练 1.(2016·北京)在 1～7 月份，某种水果的每斤进价与每斤售价的信息如图 1-8-27 所示，则 出售该种水果每斤利润最大的月份是( ) 图 1-8-27 A.3 月份 B.4 月份 C.5 月份 D.6 月份 【答案】 B 2.(2014·北京)园林队在某公园进行绿化，中间休息了一段时间，已知绿化面积 S(单位： 平方米)与工作时间 t(单位：小时)的函数关系的图象如图 1-8-28 所示，则休息后园林队每 小时绿化面积为( ) 图 1-8-28 A．40 平方米 B．50 平方米 C．80 平方米 D．100 平方米 【答案】 B 3.(2016·北京)如图 1-8-29，在平面直角坐标系 xOy 中，过点 A(－6,0)的直线与直线：y=2x 相交于点 B(m,4). 图 1-8-29 (1)求直线的表达式； (2)过动点 P(n,0)且垂直于 x 轴的直线与，的交点分别为 C，D，当点 C 位于点 D 上方时，写 出 n 的取值范围. 【答案】 (1)y=x+3 (2)n<2 4.(2016·上海)某物流公司引进 A,B 两种机器人用来搬运某种货物，这两种机器人充满电后 可以连续搬运 5 小时.A 种机器人于某日 0 时开始搬运，过了 1 小时，B 种机器人也开始搬运. 如图 1-8-30，线段 OG 表示 A 种机器人的搬运量(千克)与时间 x(时)的函数图象，线段 EF 表示 B 种机器人的搬运量(千克)与时间 x(时)的函数图象.根据图象提供的信息，解答下列 问题： (1)求关于 x 的函数解析式. (2)如果 A，B 两种机器人各连续搬运 5 小时，那么 B 种机器人比 A 种机器人多搬运了多少千 克？ 图 1-8-30 【答案】 =90x－90(1≤x≤6). (2)B 种机器人比 A 种机器人多搬运了 150 千克． 第三节 反比例函数 课标解读 考试内容 考 试 要 求 考查频度 A B C 反比例函 数 了解反比例函数的意义；结合 图象与表达式，理解当 k＞0 和 k＜0 时，反比例函数图象 的变化情况 能根据已知条件确 定反比例函数的表 达式；能画出反比例 函数的图象 ★★★★ 知识要点 1.反比例函数 y=(k≠0)的图象是 . 2.反比例函数 y=(k≠0)，当 k>0 时，其图象在第 象限，在每个象限内 y 随 x 的增大 而 ；当 k<0 时，其图象在第 象限，在每个象限内 y 随 x 的增大而 . 3.双曲线 y=(k≠0)与 x 轴、y 轴都 公共点，且两个分支关于 对称. 4.双曲线 y=(k≠0)上任意一点 P(a,b)满足 ab= . 5.由双曲线 y=(k≠0)上任意一点分别向 x 轴、y 轴引垂线，它们与两坐标轴所围成的四边形 的面积为 . 典例诠释 考点一 确定反比例函数的表达式 例 1 (2016·房山一模)已知反比例函数的图象经过点 A(2,－3),那么此反比例函数的关系 式为 . 【答案】 y=－ 【解题思路】 由反比例函数表达式为 y=(k≠0)可推导出 k=x·y，再将 A 点坐标代入即可. 例 2 (2015·西城一模)在平面直角坐标系 xOy 中，第一象限内的点 P 在反比例函数的图象 上，如果点 P 的纵坐标是 3，OP=5，那么该函数的表达式为( ) A.y= B.y=－ C.y= D.y=－ 【答案】 A 【名师点评】 本题主要涉及了平面直角坐标系中点的坐标的确定和反比例函数表达式的确 定.解决本题的关键是求出点 P 的坐标. 例 3 (2015·平谷一模)如图 1-8-31，矩形 OABC 的顶点 A，C 分别在 x 轴和 y 轴上.若 OA=4， OC=6，写出一个函数 y=(k≠0)，使它的图象与矩形 OABC 的两边 AB，BC 分别交于点 E，D， 这个函数的表达式为 . 图 1-8-31 【答案】 y=－(x<0)(不唯一，k＞－24 即可) 【名师点评】 本题涉及了反比例函数图象的有关性质，即表达式中|k|越大图象越远离坐 标轴，|k|越小图象越靠近坐标轴.由题意可知 k＜0，因此满足条件的 k 值只需要大于图象 过 B 点的反比例函数的 k 值即可. 考点二 反比例函数的图象与性质 例 4 (2016·房山二模)直线 y=kx－k 与双曲线 y=(k≠0)在同一坐标系中的大致图象是 ( ) A B C D 【答案】 B 【名师点评】本题考查了一次函数和反比例函数的图象，判断时可先根据反比例函数图象确 定出 k 的范围，再去验证一次函数的图象是否正确. 例 5 (2015·门头沟一模)已知反比例函数的表达式为 y=，它的图象在各自象限内具有 y 随 x 增大而减小的特点，那么 k 的取值范围是( ) A．k＞1 B．k＜1 C．k＞0 D．k＜0 【答案】 A 【名师点评】 本题主要考查了反比例函数的性质，图象在各自象限内具有 y 随 x 的增大而 减小的特点，说明 k－1＞0. 例 6 (2016·朝阳期末)如图 1-8-32，反比例函数 y=－的图象上有一点 A，过点 A 作 AB⊥x 轴于点 B，则是( ) 图 1-8-32 A. B.1 C.2 D.4 【答案】 B 【名师点评】 本题主要考查了反比例函数的反比例系数 k 的几何意义,即. 考点三 一次函数与反比例函数的综合 例 7 (2016·西城一模)在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=x+1 与 x 轴交于点 A，且与双曲 线 y=的一个交点为 B ． (1)求点 A 的坐标和双曲线 y=的表达式； (2)若 BC∥y 轴，且点 C 到直线 y=x+1 的距离为 2，求点 C 的纵坐标． 【答案】 (1) ;y= (2)或 【名师点评】 本题主要涉及点到直线的距离公式，一次函数、反比例函数的有关知识，其 中第(2)问“点 C 到直线 y=x+1 的距离为 2”注意分为“点 C 在直线上方”和“点 C 在直线 下方”两种情况. 例 8 (2016·朝阳期末)如图 1-8-33，在平面直角坐标系 xOy 中，正比例函数 y=2x 与反比 例函数 y=的图象交于 A，B 两点，点 A 的横坐标为 2，AC⊥x 轴于点 C，连接 BC. (1)求反比例函数的表达式； (2)若点 P 是反比例函数 y=图象上的一点，且满足△OPC 的面积是△ABC 面积的一半，请直 接写出点 P 的坐标． 图 1-8-33 【答案】 (1)y= (2)(2，4)或(－2，－4) 【名师点评】 本题涉及一次函数、反比例函数、三角形面积的有关知识.本题第(2)问注意 分类讨论. 基础精练 1.(2016·石景山一模)反比例函数 y=的图象上有两个点 A，则 (用“>”“<”或“=” 连接)． 【答案】 < 2.(2016·西城一模)已知函数满足下列两个条件：①当 x>0 时，y 随 x 的增大而增大；②它 的图象经过点(1,2)，请写出一个符合上述条件的函数的表达式 ． 【答案】 y=2x(不唯一) 3.(2016·海淀一模)在下列函数①y=2x+1，②+2x，③y=，④y=－3x 中，与众不同的一个是 (填序号)，你的理由是 ． 【答案】 ③；只有③的自变量 x 的取值范围不是全体实数(不唯一) 4.(2016·门头沟一模)在平面直角坐标系 xOy 中，A(1，2)，B(3，2)，连接 AB．写出一个 函数 y=(k≠0)，使它的图象与线段 AB 有公共点，那么这个函数的表达式为 ． 【答案】 y=(不唯一，2≤k≤6 即可) 5.(2015·石景山一模)已知点 A(4,6)与点 B(3,n)都在反比例函数 y=(k≠0)的图象上，则 n= ． 【答案】 8 6.(2015·大兴一模)如图 1-8-34，正比例函数和反比例函数=的图象交于 A(－1，2)，B(1， －2)两点，若＜，则自变量 x 的取值范围是( ) 图 1-8-34 A．x＜－1 或 x＞1 B．x＜－1 或 0＜x＜1 C．－1＜x＜0 或 0＜x＜1 D．－1＜x＜0 或 x＞1 【答案】 D 7.(2015·丰台二模)如图 1-8-35，A，B 是函数 y=的图象上关于原点对称的任意两点， BC ∥x 轴， AC∥y 轴，如果△ABC 的面积记为 S，那么( ) 图 1-8-35 A．S=4 B．S=2 C．2＜S＜4 D．S＞4 【答案】 A 8.(2015·西城二模)如图 1-8-36，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=3x 与双曲线 y= (n≠0) 在第一象限内的公共点是 P(1,m)．小明说：“从图象上可以看出，满足 3x>的 x 的取值范围 是 x>1．”你同意他的观点吗？答： ． 理由是 ． 图 1-8-36 【答案】 不同意；3x>的 x 的取值范围是－11(或其他正确结论) 9.(2016·丰台二模)已知反比例函数 y＝(k≠0)的图象经过点 A(－1，6)． (1)求 k 的值； (2)过点 A 作直线 AC 与函数 y＝的图象交于点 B，与 x 轴交于点 C，且 AB＝2BC，求点 B 的坐 标． 【答案】 (1)k=－6. (2)点 B 的坐标为(－3，2)或(1，－6). 10.(2016·平谷一模)如图 1-8-37，直线 y=－2x+8 和双曲线 y=(k≠0)交于点 A(1，m)，B(n， 2)． (1)求 m，n，k 的值； (2)在坐标轴上有一点 M，使 MA+MB 的值最小，直接写出点 M 的坐标． 图 1-8-37 【答案】 (1)m=6,n=3,k=6 (2) 或(0,5) 真题演练 1.(2016·天津)若点 A，B，C 在反比例函数 y=的图象上，则，,的大小关系是( ) A. B. C. D. 【答案】 D 2.(2016·上海)已知反比例函数 y=(k≠0)，如果在这个函数图象所在的每一个象限内，y 的值随着 x 的值增大而减小，那么 k 的取值范围是 . 【答案】 k＞0 3.(2014·北京)如图 1-8-38，在平面直角坐标系 xOy 中，正方形 OABC 的边长为 2．写出一 个函数 y=(k≠0)，使它的图象与正方形 OABC 有公共点，这个函数的表达式为 . 图 1-8-38 【答案】 y=(不唯一，00 时，开口向 ；当 a<0 时，开口向 . ③增减性：当 a>0 时，在 x＝－的左侧，y 随 x 的增大而 ，在 x＝－的右侧，y 随 x 的增大而 ；当 a<0 时，在 x＝－的左侧，y 随 x 的增大而 ，在 x＝－的右 侧，y 随 x 的增大而 . ④最大(小)值：当 a>0 时，函数有最 值，且当 x 时，y 有最 值 是 ；当 a<0 时，函数有最 值，且当 x 时，y 有最 值 是 . 3.我们可以用根的判别式判断抛物线+bx+c(a≠0)与 x 轴的交点个数，即当 Δ 时，抛物线与 x 轴有两个交点；当Δ 时，抛物线与 x 轴只有一个交点(顶点)；当Δ 时，抛物线与 x 轴没有交点. 典例诠释 考点一 求二次函数图象的顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点 例 1 (2016·昌平期末)二次函数－2x－3 的最小值为( ) A.5 B.0 C.－3 D.－4 【答案】 D 例 2 (2016·丰台期末)函数+4x－5 是二次函数． (1)m 的值为 ； (2)写出这个二次函数图象的对称轴： ； 将解析式化成+k(a≠0)的形式为： . 【答案】 (1)1，(2)x=－2;－9 【名师点评】 此题型主要考查了利用配方法确定二次函数图象的顶点坐标和对称轴.正确 配方是解这类题的关键. 考点二 二次函数图象与 a、b、c 的关系 例 3 (2016·石景山期末)二次函数+bx+c(a≠0)的图象如图 1-8-40 所示，则下列关系式中 正确的是( ) 图 1-8-40 A.ac>0 B.b+2a<0 C.－4ac>0 D.a－b+c<0 【答案】 C 例 4 (2016·延庆期末)已知二次函数+bx+c(a≠0)的图象如图 1-8-41 所示，有下列 5 个结 论：①abc>0；②b0；④ 2c<3b；⑤a+b>m(am+b)(m≠1),其中正确的结论 有 ( ) 图 1-8-41 A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 【答案】 B 【名师点评】 二次函数图象的特征从如下方面进行研究：开口方向，对称轴，顶点坐标以 及增减性，最值，开口大小.同时需要关注一些特殊的代数式的值，如：a+b+c,a－ b+c,4a+2b+c,4a－2b+c,2a+b 等. 考点三 二次函数图象的变换 例 5 (2015·通州二模)将抛物线向上平移 3 个单位长度得到的抛物线表达式是 . 【答案】 +3 例 6 (2016·房山期末)将抛物线先向左平移 2 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度后得 到新的抛物线，则新抛物线的表达式是( ) A．+3 B．+3 C．－3 D．－3 【答案】 A 【名师点评】 对于二次函数图象的平移、旋转、轴对称问题要特别关注变换前后抛物线的 开口方向和顶点坐标的变化.抛物线+k(a≠0)与(a≠0)形状相同，位置不同.把抛物线(a≠0) 向上平移 k(k＞0)个单位长度、向右平移 h(h＞0)个单位长度可以得到抛物线+k(a≠0). 考点四 二次函数解析式的确定 例 7 (2016·丰台期末)请写出一个符合以下三个条件的二次函数的解析式： . ①过点(1，1)；②当 x>0 时，y 随 x 的增大而减小；③当自变量 x 的值为 3 时，函数值 y 小 于 0． 【答案】 +2(答案不唯一) 【解题思路】 由条件②可以确定这个二次函数图象的对称轴为 y 轴，且开口向下，可设表 达式为+c(a≠0),由条件①可得 a+c=1,由条件③可得 9a+c＜0 ,这两个条件组可确定 a、c 的取值范围.本题答案不唯一. 例8 (2016·昌平期末)抛物线+bx+c(a≠0)上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x … －2 －1 0 1 2 … y … 0 4 6 6 4 … (1)求这个抛物线的表达式及顶点坐标； (2)直接写出当 y＜0 时 x 的取值范围． 【解】 (1)抛物线的表达式为+x+6;顶点坐标为 . (2)x＜－2 或 x＞3. 例 9 (2016·昌平期末)如图 1-8-42，二次函数+k 图象的顶点坐标为 M(1，－4). 图 1-8-42 (1)求出该二次函数的图象与 x 轴的交点 A，B 的坐标. (2)在二次函数的图象上是否存在点 P(点 P 与点 M 不重合)使=?若存在，求出 P 点的坐标； 若不存在，请说明理由． 【解】 (1)A(－1，0)，B(3，0). (2)存在，点 P 的坐标为(4，5)或(－2，5). 【名师点评】 确定二次函数解析式经常会用到待定系数法，一般有几个待定系数就有几个 方程.分为以下几种情况： (1)当已知抛物线上任意三点的坐标时，一般选用一般式+bx+c(a≠0)； (2)当已知抛物线的顶点坐标、对称轴或最值时，常选用顶点式+k(a≠0)； (3)当已知抛物线与 x 轴的两个交点坐标时，常选用交点(双根)式 (a≠0). 考点五 二次函数与方程、不等式的关系 例 10 (2016·石景山期末)二次函数+bx+c(a≠0)的部分图象如图 1-8-43 所示，对称轴为 直线 x=－1，与 x 轴的一个交点为(1,0)，与 y 轴的交点为(0,3)，则方程+bx+c=0(a≠0)的 解为( ) 图 1-8-43 A．x=1 B．x=－1 C．=1，=－3 D．=1，=－4 【答案】 C 【名师点评】 本题考查的主要知识是二次函数图象的性质.由对称轴为直线 x=－1 及一个 交点(1,0)可求出另一个与 x 轴的交点坐标为(－3,0).方程+bx+c=0(a≠0)的解的实质是当 二次函数值为 0 时其图象与 x 轴的交点的横坐标. 例 11 (2016·东城二模)若二次函数＋bx 的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于 y 轴的 直线，则关于 x 的方程＋bx =5 的解为( ) A．=0,=4 B．=1,=5 C．=1,=－5 D．=－1,=5 【答案】 D 【名师点评】 本题主要考查了二次函数图象的性质.解决本题的关键是数形结合，根据已 知条件画出图象即可做出正确判断. 考点六 二次函数的应用 例 12 (2016·西城期末)某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件．市场调查 反映，如果调整商品售价，每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件．设每件商品降价 x 元后， 每星期售出商品的总销售额为 y 元，则 y 与 x 的关系式为( ) A.y=60(300+20x) B.y=(60－x)(300+20x) C.y=300(60－20x) D.y=(60－x)(300－20x) 【答案】 B 例 13 (2016·石景山二模)为了促进旅游业的发展，某市新建一座景观桥，如图 1-8-44．桥 的拱肋 ADB 可视为抛物线的一部分，桥面 AB 可视为水平线段，桥面与拱肋用垂直于桥面的 杆状景观灯连接，拱肋的跨度 AB 为 40 米，桥拱的最大高度 CD 为 16 米(不考虑灯杆和拱肋 的粗细)，求与 CD 的距离为 5 米的景观灯杆 MN 的高度． 图 1-8-44 【解】 建立如图 1-8-45 所示的坐标系，设抛物线的表达式为+16(a≠0)，由题意可知，B 的坐标为(20,0)， 图 1-8-45 ∴ 400a+16=0，∴ a=－，∴ y=－+16，∴ 当 x=5 时，y=15. 答：与 CD 的距离为 5 米的景观灯杆 MN 的高度为 15 米. 【名师点评】 这是一类二次函数实际应用的题目，包括如喷泉、掷铅球、涵洞、跳水运动 等问题，解决此类题需要建立适当的坐标系，用待定系数法确定解析式，再利用解析式解决 有关问题.在建立坐标系后，要特别注意坐标系中的点与实际问题中的量的关系，合理建系 正确确定相应点的坐标是关键. 考点七 二次函数与几何图形的综合运用 例 14 (2015·东城二模)在平面直角坐标系中，抛物线+bx+3(a≠0)与 x 轴交于点 A(－ 3,0)、B(1,0)两点，D 是抛物线的顶点，E 是对称轴与 x 轴的交点. (1)求抛物线的解析式; (2)若点 F 和点 D 关于 x 轴对称, 点 P 是 x 轴上的一个动点，过点 P 作 PQ∥OF 交抛物线于点 Q，是否存在以点 O,F,P,Q 为顶点的平行四边形？若存在，求出点 P 的坐标;若不存在，请说 明理由. 【解】 －2x+3. (2)存在，当 x=－=1 时，y=4， ∴ 顶点 D(－1,4)，∴ F(－1，－4). 假设以点 O，F，P，Q 为顶点的平行四边形存在， ∴ 点 Q(x,y)的纵坐标满足｜y｜=｜EF｜=4， ①当 y=－4 时，－2x+3=－4， 解得 x=－1±2， ∴ (－1－2，－4)，(－1+2，－4)， ∴ (－2，0)，(2，0). ②当 y=4 时，－2x+3=4，解得 x=－1， ∴ (－1,4)，∴ (－2,0). 综上所述，符合条件的 P 点有三个，即：(－2，0)，(2，0)，(－2，0). 基础精练 1.(2016·昌平期末)已知+2 是 y 关于 x 的二次函数，那么 m 的值为( ) A.－2 B.2 C.±2 D.0 【答案】 A 2.(2016·东城期末)二次函数+2x+4 的最大值为( ) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】 C 3.(2016·房山期末)抛物线+3 的顶点坐标为( ) A．(2,1) B．(2,－1) C．(－1,3) D． (1,3) 【答案】 D 4.(2016·海淀期末)抛物线向左平移 1 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，则平移后的 抛物线的解析式为( ) A．+3 B．－3 C．－3 D．+3 【答案】 B 5.(2016·东城期末)将抛物线－2x+3 向上平移 2 个单位长度，再向右平移 3 个单位长度后， 得到的抛物线的解析式为 ． 【答案】 +4 6.(2015·西城二模)请写出一个图象的对称轴是直线 x=1，且经过(0,1)点的二次函数的表 达式： ． 【答案】 －2x+1(答案不唯一) 7.(2015·海淀二模)将函数－2x + 3 写成+k(a≠0)的形式为 . 【答案】 +2 8.(2015·丰台二模)将二次函数－4x+5 化为+k(a≠0)的形式，那么 h+k= . 【答案】 3 9.(2015·平谷二模)如图 1-8-46 是二次函数的图象，那么二次函数的表达式可能 是 .(只写出一个即可) 图 1-8-46 【答案】 －x(答案不唯一) 10.(2016·房山期末)下表给出了代数式+bx+c 与 x 的一些对应值： x … －2 －1 0 1 2 3 … +bx+c … 5 n c 2 －3 －10 … (1)根据表格中的数据，确定 b，c，n 的值； (2)设+bx+c，直接写出当 0≤x≤2 时 y 的最大值． 【解】 (1)b=－2,c=5,=5. 11.(2015·丰台二模)在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线+bx+1(a≠0)经过 A(1，3)，B(2，1) 两点. (1)求抛物线及直线 AB 的解析式； (2)点 C 在抛物线上，且点 C 的横坐标为 3．将抛物线在点 A，C 之间的部分(包含点 A，C) 记为图象 G，如果图象 G 沿 y 轴向上平移 t(t>0)个单位长度后与直线 AB 只有一个公共点， 求 t 的取值范围． 【解】 +4x+1；y=－2x+5． (2)∵ 点 C 在抛物线上，且点 C 的横坐标为 3, ∴ 点 C 的坐标为(3，－5)． 点 C 向上平移 t(t>0)个单位长度后的对应点为点 C′(3,t－5)，将其代入直线表达式 y= －2x+5，解得 t=4． 结合图象可知，符合题意的 t 的取值范围是 0