初三中考数学四边形专题训练 19页

中考数学：四边形试题 一、选择题 ‎1.下列命题，真命题是 (　　)‎ A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 ‎ B. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 C. 在同一个圆中，相等的弦所对的弧相等 ‎ D. 对角线相等的四边形是矩形 ‎2.如图2，M是ABCD的AB边中点，CM交BD于点E， 则图中阴影部分的面积ABCD的面积的比是 ( ） ‎ A. 1:3 B.1:4 ‎ C. 1:6 D.5:12 ‎ ‎（第3题图）‎ ‎1‎ ‎3.把矩形ABCD沿EF对折后使两部分叠合，如图所示．若，则∠1= （ ） ‎ A.50° B.55° C.60° D.65°‎ ‎4.如图，直角梯形ABCD中，AB⊥CD，AE∥CD交BC于E，O是AC的中点，，，，下列结论：①∠CAE=30°；②四边形ADCE是菱形；③；④OB⊥CD.其中正确的结论是（ ）‎ A．①②④ 　　B. ②③④ 　　C．①③④ 　　 D．①②③④‎ Ａ Ｂ Ｅ Ｏ Ｄ Ｃ 第4题图 ‎5.已知如图，在ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点BD是对角线，AG∥DB，交CB的延长线于G，连接GF，若AD⊥BD.下列结论：①DE∥BF；②四边形BEDF是菱形；③FG⊥AB；④S△BFG= 其中正确的是（ ）‎ ‎ A. ①②③④ B. ①② C. ①③ D. ①②④‎ ‎6.如图，ABCD、CEFG是正方形，E在CD上，直线BE、DG交于H，且HE·HB＝，BD、AF交于M，当E在线段CD（不与C、D重合）上运动时，下列四个结论：① BE⊥GD；② AF、GD所夹的锐角为45°；③ GD=；④ 若BE平分∠DBC，则正方形ABCD的面积为4.其中正确的结论个数有（ ）‎ A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 ‎7．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB＝65°，则∠AED′等于（　　）‎ A．50°　 B．55°　 C．60°　 D．65°‎ ‎8.把长为‎8cm，宽为‎2cm的矩形按虚线对折，按图中的斜线剪出一个直角梯形，展开得到一个等腰梯形，剪掉部分的面积为‎6cm2，则打开后梯形的周长是（　　）‎ A．cm　 B．cm C．‎22cm　 D．‎‎18cm ‎9.一幅美丽的图案,在某个顶点处由三个边长相等的正多边形密铺而成,其中有两个正八边形,那么另一个是( )‎ A 正三角形 B 正四边形 C 正五边形 D 正六边形 ‎10.如图将矩形ABCD沿DE折叠，使A点落在BC上的F处，若∠EFB＝600，则∠CFD＝（ ）‎ A、200 B、‎300 C、400 D、500‎ ‎11．下列命题中真命题是 （ ）‎ A.有一组邻边相等的四边形是菱形； B.四条边都相等的四边形是菱形； ‎ C.对角线互相垂直的四边形是菱形； D.对角线互相平分且相等的四边形是菱形．‎ ‎12.边长为2的正六边形的边心距为 （ ）‎ A.1； B.2； C.； D.2． ‎ ‎13.如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1=50°，则∠AEF= ( ) ‎ A．110° B．115° C．120° D．130°‎ ‎14.两条对角线互相垂直平分的四边形是 （ ）.‎ A.等腰梯形； B.菱形； C.矩形； D.平行四边形. ‎ ‎16.下列命题中，真命题是 （ ）‎ ‎ A.对角线互相平分且相等的四边形是矩形 ‎ B.对角线互相垂直且相等的四边形是矩形 ‎ C.对角线互相平分且相等的四边形是菱形 ‎ D.对角线互相垂直且相等的四边形是菱形 ‎17．如图，已知正方形ADBF，点E在AD上，且∠AEB=，EC//DF交BD的延长线于C，N为BE延长线上一点，BN交AC于M，且CE=2MN，连结AN、CN，下列结论：①AC⊥BN； ②△NCE为等边三角形；③BF=2AM；④BE+DE=DF，其中正确的有：（ ）‎ A、①②③ B、①②④ C、①③④ D、②③④‎ ‎18．如图，正方形ABCD，以D为圆心，DC为半径画弧与以BC为直径的⊙O交于点P，⊙O交AC于E，CP交AB于M，延长AP交⊙O于N，下列结论：①AE=EC；②PC=PN；‎ ‎③EP⊥PN；④ON//AB。其中正确的是 （ ）‎ A、①②③④ B、①②③ C、①②④ D、①③④‎ ‎19.如图，已知菱形ABCD的边长为2㎝，，点M从点A出发，以1㎝／s的速度向点B运动，点N从点A 同时出发，以2㎝／s的速度经过点D向点C运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动. 则△AMN的面积(㎝2) 与点M运动的时间(s)的函数的图像大致是( )‎ M N ‎·‎ A B C D ‎·‎ O ‎1‎ ‎2‎ O ‎2‎ O ‎1‎ ‎2‎ A B C D O ‎1‎ ‎2‎ ‎ ‎ ‎20. 如图，在长为‎8 cm、宽为‎4 cm的矩形中，截去一个矩形，使得截下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则截下矩形的面积是（ ）‎ ‎ A. ‎2 cm2 B. ‎4 cm2 C. ‎8 cm2 D. ‎16 cm2‎ ‎21.如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数的图象上，若点A的坐标为 (－2，－2)，则k的值为 ‎（ ）‎ A B C D O x y Ａ．4 Ｂ．－4 ‎ Ｃ．8 Ｄ．—8‎ ‎22.‎ 如图，直角梯形ABCD中,∠A=90°,∠B=45°,底边AB=5,高AD=3,点E由B沿折线BCD向点D移动,EM⊥AB于M,EN⊥AD于N.设BM=x,矩形AMEN的面积为y,那么y与x之间的函数关系的图象大致是( )‎ ‎22．如图,四边形ABCD为矩形纸片,将纸片ABCD折叠,使点B恰好落在CD边的中点E处,折痕为AF,若CD=6,则AF=( )‎ A:4 B:‎3‎ ‎ C:4 D:8‎ ‎23.如图，正方形ABCD的三边中点E、F、G。连ED交AF于M,‎ GC交DE于N,下列结论　①GM⊥CM ②CD=CM ‎ ‎③四边形MFCG为等腰梯形。　④∠CMD=∠AGM 其中正确的有（　　）‎ A ①②③ 　 B ①②④ 　 C ①③④ 　D ①②③④ ‎ ‎24.下列命题中假命题的是（ ）‎ A．平行四边形对角线互相平分； B．对角线互相平分的四边形是平行四边形； C．矩形的对角线相等； D．对角线相等的四边形是矩形；‎ ‎25.如图，已知平行四边形ABCD中，，‎ 于，于，相 交于，的延长线相交于，下面结论：‎ ‎①②③‎ ‎④.其中正确的结论是（ ）‎ A．①②③④ B．①②③ ‎ C．①②④ D．②③④‎ ‎26.（武汉中考命题）如图，直线BD是四边形ABCD的对称轴，已知∠BAD＝120°，∠CDB＝25°，则∠ABC的度数为（ ）‎ A、70° B、60° C、50° D、80°‎ ‎27．如图，Rt△ABC和Rt△CDE中，∠A=30°,‎ ‎∠E=45°,AB=CE,∠BCD=30°,FG⊥AB,下列结论：‎ ‎①CH=FH；②BC=GC；③四边形BDEF为平行四边形；‎ ‎④FH=GF+BH.其中正确的结论是（ ）‎ A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④‎ ‎28.将一张等腰梯形纸片沿中位线剪开，拼成一个新的图形，‎ ‎ 这个新的图形可以是下列图形中的（ ）。‎ A. 三角形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 正方形 二、填空题 ‎2. 如图，在等腰梯形中，A B C D E 且于 ，，，则该梯形的面积为 .‎ ‎3．在梯形ABCD中，AD // BC，E、F分别是两腰AB、CD的中点，如果AD = 4，EF = 6，那么BC =____．‎ ‎4.梯形ABCD中，AD∥BC，如果∠A=5∠B，那么∠B= 度. ‎ ‎5.在四边形ABCD中，如果AB∥CD，AB=BC，要使四边形ABCD是菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是 . ‎ ‎6.已知梯形的上底长为a，中位线长为m，那么这个梯形的下底长为 ．‎ ‎7．如图，□ABCD中，∠B＝60°，AB=4,BC=5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是 ‎ ‎9.如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠CAB的平分线交BD于点E，交BC于点F. 若OE=1，则CF=__________. ‎ A B E C D F ‎10．如图模1-6，E为平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连结AE，交边CD于点F.在不添加辅助线的情况下，请写出一对相似三角形： .‎ ‎11.一个正方形的面积是‎9a2–‎6a+1（a>1），则该正方形的边长是 .‎ 三、解答题 ‎1.如图所示，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且CE=CF。‎ ‎（1）、AE和AF有何数量关系？证明你的结论. ‎ ‎（2）、过点C作CG∥EA交AF于点H，交AD于点G，若∠BAE=25°，‎ ‎∠BCD=130°，求∠AHC的度数. ‎ ‎ ‎ ‎2.一次数学兴趣活动，小明提出这样三个问题，请你解决：‎ ‎（1）把正方形ABCD与等腰Rt△PAQ如图（a）所示重叠在一起，其中∠PAQ=90°，‎ 点Q 在边BC上，连接PD，求证：△ADP≌△ABQ．‎ ‎（2）如图（b），O为正方形ABCD对角线的交点，将一直角三角板FPQ的直角顶点F与点O重合，转动三角板使两直角边始终与BC、AB相交于点M、N，求证：OM=ON．‎ ‎（3）如图（c），将（2）的“正方形”改为“矩形”，其它条件不变，如果AB=4，AD=6，FM=x，FN=y，试求y与x之间的关系式．‎ ‎ ‎ 图（a）‎ ‎（第2题图）‎ ‎（图b）‎ ‎（图c）‎ ‎3．如图正方形ABCD中，E是边BC上一动点，BC=nBE,DO⊥AE于点O,CO的延长线交AB于点F。‎ ‎（1）当n=2时，DO= AO;OE= AO。‎ ‎（2）当n=3时，求证。‎ ‎（3）当n= 时，F是AB的5等分点。‎ ‎ （1） （2）‎ ‎4.如图，在四边形中，点是线段上的任意一点（与不重合），分别是的中点．‎ ‎（1）证明四边形是平行四边形；‎ ‎（2）在（1）的条件下，若，且，证明平行四边形是正方形．‎ B G A E F H D C ‎5.在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E、F是边BC上的两点，且BE＝FC，DE与AF相交于梯形ABCD内一点O．‎ ‎(1) 求证：OE＝OF；‎ ‎(2) 当EF＝AD时，联结AE、DF，先判断四边形AEFD是怎样的四边形，再证明你的结论．‎ ‎6.在□ABCD中，BC＝2AB，M为AD的中点，设∠ABC＝α 过点C作直线AB的垂线，垂足为点E，连ME。‎ ‎（1）如图①，当α＝900，ME与MC的数量关系是 ；∠AEM与∠DME的关系是 。‎ ‎（2）如图②，当600＜α＜900时，请问：（1）中的两个结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。‎ ‎（3）如图③，当00＜α＜600时，请在图中画出图形，ME与MC的数量关系是 ；∠AEM与∠DME的关系是 。（直接写出结论即可，不必证明）‎ ‎ 图① 图② 图③‎ ‎（（第7题图）‎ A B D C G O E F ‎7.已知：如图，在四边形ABCD中，点G在边BC的延长线上，CE平分∠BCD、CF平分∠GCD， EF∥BC交CD于点O ．‎ ‎（1）求证：OE=OF；‎ ‎（2）若点O为CD的中点，求证：四边形DECF是矩形．‎ ‎8.如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的 中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且 AF=BD，连结BF.‎ A F E B D C ‎⑴求证：BD=CD；‎ ‎⑵如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，‎ 并证明你的结论.‎ ‎9.已知：如图，在平行四边形ABCD中，AM=DM．‎ 求证：（1）AE=AB；A B C D E M ‎（第9题图）‎ （2）如果BM平分∠ABC，求证：BM⊥CE．‎ ‎10.如图，在平行四边形ABCD中，点G是BC延长线上 一点，AG与BD交于点E，与DC交于点F， 如果AB=m，CG=BC，‎ 求：（1）DF的长度；‎ ‎（2）三角形ABE与三角形FDE的面积之比.‎ ‎11.如图，△ABC中，AB=AC，AD、AE分别是∠BAC和∠BAC的外角平分线，BE⊥AE．‎ ‎(1)求证：DA⊥AE．‎ ‎(2)试判断AB与DE是否相等?并证明你的结论．‎ ‎12.如图，已知正方形ABCD，F为DC边上一动点，DC=nDF，AE⊥AF交CB的延长线于E，连结EF交AB于G。‎ ‎（1）若n=2,则 ,‎ ‎ ‎ ‎（2）若n=3，求证AG=5GB ‎（3）当n= 时，AG为GB的6倍（直接写结果，不要求证明）‎ ‎13. A B C D E F G 已知：如图，在菱形ABCD中，点E在对角线AC上，点F在BC的延长线上，EF=EB，EF与CD相交于点G．‎ （1） 求证：；‎ （2） 联结DF，如果EF⊥CD，那么∠FDC与∠ADC之间有怎样的数量关系？证明你所得到的结论．‎ ‎13.已知：如图，梯形ABCD中，AB//DC，E是BC的中点，AE、DC的延长线相交于点F，连接AC、BF． ‎ ‎ (1)求证：AB=CF；‎ ‎(2)若将梯形沿对角线AC折叠恰好D点与E点重合,梯形ABCD应满足什么条件,能使四边形ABFC为菱形?并加以证明. ‎ ‎(3)在(2)的条件下求Sin∠CAF的值.‎ ‎14.如图，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥CD，AB=AD,∠ABC=60°.以AD为边在直角梯形ABCD外作等边三角形ADF，点E是直角梯形ABCD内一点，且∠EAD=∠EDA=15°，连接EB、EF.（1）求证：EB=EF；（2）延长FE交BC于点G，点G恰好是BC的中点，若AB=6，求BC的长.‎ A B C D F E G ‎15.两个长为‎2cm，宽为‎1cm的长方形，摆放在直线上（如图①），=‎2cm，将长方形绕着点顺时针旋转角，将长方形绕着点逆时针旋转相同的角度．‎ ‎（1）当旋转到顶点、重合时，连接（如图②），求点到的距离；‎ ‎（2）当时（如图③），求证：四边形为正方形．‎ ‎16．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD交于点O，且OA=OC，求证四边形ABCD是平行四边形。‎ ‎17．如图：正方形ABCD,M是线段BC上一点，且不与B、C重合，AE⊥DM 于E,CF⊥DM于F.求证:AE2+CF2=AD2‎ ‎ ‎ ‎18．已知：如图模1-13，在□ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，得△GFC.‎ ‎⑴求证：BE=DG；‎ A D G C B F E ‎⑵若∠B=60°，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形ABFG是菱形？证明你的结论.‎ ‎19．如图，在平行四边形ABCD中,‎ F E D C B A ‎∠ABC的平分线交CD于点E,∠ADC的平分线交AB于点F，‎ 试判断AF与CE是否相等，并说明理由.‎ ‎ ‎ 正方形中度题专题 例1 已知：O是正方形ABCD对角线的交点，AE为∠BAC的平分线，交BC于E，‎ DH⊥AE于H，交AB于F，交AO于G．求证：BF=2OG 练习 在正方形ABCD中，，‎ ‎∠1=∠2．求证：AE=FE ‎ ‎ 变式思考：如果点E为BC上任意一点，结论AE=EF仍然成立吗？‎ 例2 如图1，矩形纸片ABCD中，AB＝‎3厘米，BC＝‎4厘米．现将A，C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF．试确定重叠部分△AEF的面积．‎ 例3 在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD的面积是18，求DP的长 例4 ‎△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，M，N为斜边AB上两点，如果 ‎∠MCN＝45°．求证 AM2＋BN2＝MN2 ‎ 例5 △ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°， M，N为斜边AB上两点，满足AM2＋BN2＝MN2．求∠MCN的度数．‎ 例6 在△ABC的外面作正方形ABEF和ACGH，M点 例7 在正方形ABCD中，∠1=∠2． 求证：AE=BF＋DE ．‎ 例8 正方形ABCD的边长为1,E、F分别在BC和CD上，，‎ 求 ‎ ‎ 例9 点O为正方形ABCD内一点，‎ 如果OA:OB:OC=1:2:3,求∠AOB的度数 例10 在正方形ABCD中，∠1=∠2．‎ 求证：‎ 提示：注意到基本图形中的AE=AF.‎ 1， 两次应用内角平分线定理和CE=CF可证 2， 过点O作OG‖DE和CO=CG,CF=CE可证. ‎ ‎3， 过点O作OH‖BE, OF= OH=‎ 例11在正方形ABCD中，∠1=∠2．AE⊥DF,‎ 求证： ‎ ‎（提示：一条线段的一半或2倍这两者的位置关系有哪两种）‎ 例12 在正方形ABCD中,点E、F分别为BC和AB的中点 求证：AM=AD 例13 正方形ABCD中,点E为AD的中点，BD和CE相交于点F， 求证：AF⊥BE 例14 如图13，点E为正方形ABCD对角线BD上一点, EF⊥BC, EG⊥CD A D ‎ 求证：AE⊥FG B C F ‎ 13‎ E ‎ ‎ G ‎（提示：延长AE交GF于点M，DC,使CH=DG,连接HF,‎ 证四边形对角互补,法2：延长FE，AE证全等三角形）‎ 例15如图，等腰直角△ABC中，AC=BC, 点E在BC上，以AE为边长作正方形AEMN，EM交AB于F, 连BM. 求证：BM⊥AB C 例16 点E为正方形ABCD的边BC上一点, MN⊥DE 分别交AB、CD于点M、N. 求证：MN=DE 例17 正方形ABCD中, DAF=250,AF交BD于点E.‎ 求BEC的度数.‎ 例18正方形ABCD的边长为‎1cm, △ BCE是等边三角形 ‎ 求△ BCE的面积 。‎ ‎ ‎ 例19以正方形ABCD 的CD边长作等边△DCE,AC和BE相交于点F，连接DF.‎ (1) 求AFD的度数；‎ (2) 求证：AF=EF. ‎ 提示：B CE=1500,CBE=CEB=FDC=150,‎ ‎△A BF全等△ ADF 例20已知：点E、F分别正方形ABCD中AB和BC的中点，连接AF和DE相交于点G,‎ GH⊥AD于点H.‎ (1) 求证：AF⊥DE ；‎ (2) 如果AB=2,求GH的长；‎ (3) 求证：CG=CD (作CM⊥DG,证DM=AG=0.5DG)‎ 例21 如图,已知正方形ABCD的边AB与正方形AEFM的边AM在同一直线上，直线BE与DM交于点N.求证：BN⊥DM A M F D E N B C 例22 如图，在正方形ABCD中，取AD、CD边的中点E、F，连接CE、BF交于点G，连接AG。试判断AG与AB是否相等，并说明道理。‎ 例23 已知Q是正方形ABCD中CD边上一点,P是BC边上一点;‎ (1) 若∠DAQ=∠PAQ,求证:AP=BP+QD;‎ (2) 若AP=BP+QD,则∠DAQ=∠PAQ成立吗？为什么？‎ A B C D Q P 例24 如图，正方形ABCD中对角线AC、BD相交于O，E为AC上一点，AG⊥EB交EB于G，AG交BD于F。‎ （1） 说明OE=OF的道理；‎ 在（1）中，若E为AC延长线上，AG⊥EB交EB的延长线于G，AG、BD的延长线交于F，其他条件不变，如图2，则结论：“OE=OF”还成立吗？请说明理由。‎ ‎ ‎ 例25已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点．‎ 当绕点旋转到时（如图1），易证．‎ ‎（1）当绕点旋转到时（如图2），线段和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．‎ ‎（2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．‎ 答案 一、选择题 ‎1. BAADD DAABB BCBBA ABDAC DAADB ABB ‎ ‎ 二、填空题 ‎2. 25 3． 8 4. 30；5. AB=CD等；6. ；7． ‎ ‎9.2 10．△AFD∽△EFC(或△EFC∽△EAB，或△EAB∽△AFD)‎ ‎11. 3a–1；‎ 三、解答题 答案 （1）AE=AF ‎ (2) 100°‎ ‎2. 答案 （1）由SAS证△ADP≌△ABQ．‎ ‎（2）由同角的余角相等得∠AON=∠BOM，证△OAN≌△OBM（ASA），‎ ‎ 得OM=ON．‎ ‎（3）过F作FE⊥AB，FH⊥BC，证△FEN∽△FHM，‎ ‎ 得．‎ ‎3． 答：（1）2 ，‎ ‎（2）证明：AB=‎3a，BE=a ，易证，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎（3）‎ ‎4.答案：证明：（1）在中，分别是的中点 且 ‎ 又是的中点，，‎ 且 ‎ 四边形是平行四边形 ‎ ‎（2）证明：分别是的中点 且 ‎ 又，且，，且 ‎ 平行四边形是正方形 ‎5.答案：（1）∵四边形ABCD是等腰梯形，‎ ‎∵BE=FC，‎ ‎∴BF=EC ‎∴△ABF≌△DCE ‎∴‎ ‎∴OE=OF ‎ (2)四边形AEFD是矩形 ‎∵EF＝AD且 EF∥AD，‎ ‎∴四边形AEFD是平行四边形 由（1）有△ABF≌△DCE ‎∴AF=DE ‎∴四边形AEFD是矩形。‎ ‎6. 答案：、（1）ME=MC ； ∠AEM＋∠DME＝180°或∠DME－∠AEM＝180°－α ‎ （2）成立。连CM，过M作PQ⊥EA于P，PQ⊥CD于Q ∴四边形PQCE为矩形 ‎ ∴CQ＝EP ∵M为中点，易证△PAM≌△QDM ∴PM＝QM ‎ ∴△EPM≌CQM ∴EM＝CM ‎ 取BC中点N，连NM并延长到G， ∴∠ABC＝∠GMD＝2 MN∥AB ‎ ∴∠AEM＝∠NME ∴∠DME－∠AEM＝∠DME－∠EMN＝∠DMN＝180°－α ‎ ∴∠DME－∠AEM＝180°－α ‎ （3）EM＝MC ∠DME－∠AEM＝α ‎7. （1）证明：∵CE平分∠BCD、CF平分∠GCD ‎ ∴‎ ‎∵EF∥BC，∴‎ ‎∴‎ ‎∴OE=OC，OF=OC，∴OE=OF ‎（2）∵点O为CD的中点，∴OD=OC，又OE=OF ‎ ∴四边形DECF是平行四边形 ‎ ∵CE平分∠BCD、CF平分∠GCD ‎ ∴ ‎ ‎∴‎ 即，∴四边形DECF是矩形 ‎ ‎8. ‎ ‎8答案：证明：⑴∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE.‎ ‎∵E是AD的中点，∴AE=DE. ‎ ‎ ∵ ∴△AEF≌△DEC. ‎ ‎∴AF=DC，∵AF=BD，∴BD=CD.‎ ‎⑵四边形AFBD是矩形 ‎ ‎∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°.‎ ‎∵AF=BD，AF∥BC，∴四边形AFBD是平行四边形.‎ 又∠ADB=90°，∴四边形AFBD是矩形. ‎ ‎9. 答案：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD．‎ ‎ ∴∠E=∠ECD．‎ ‎ 又∵AM=DM，∠AME=∠DMC，∴△AEM≌△DCM． ‎ ‎∴CD=AE． ∴AE=AB．‎ ‎ （2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．‎ ‎ ∴∠AMB=∠MBC．‎ ‎∵BM平分∠ABC，∴∠ABM=∠MBC．‎ ‎∴∠ABM=∠AMB．∴AB=AM．‎ ‎∵AB=AE，∴AM=AE．‎ ‎∴∠E=∠AME．‎ ‎∵∠E＋∠EBM＋∠BMA＋∠AME＝180°，‎ ‎∴∠BME＝90°，即BM⊥CE． ‎ ‎10答案：解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎ ∴AB=CD=m，AB∥CD． ‎ ‎ ∵CG=BC，‎ ‎ ∴CG=BG，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎ ∴．‎ ‎ ∴，‎ ‎ ∴．‎ ‎(2)∵AB∥CD，‎ ‎∴△ABE∽△FDE，‎ ‎∴. ‎ ‎ ∴ 三角形ABE与三角形FDE的面积之比为9∶4.‎ ‎11解：‎ ‎12答案： (1)5, 10 (2)略 (3)或 ‎13答案：‎ 证明：（1）联结BD，∵点E在菱形ABCD的对角线AC上，∴∠ECB=∠ECD．‎ ‎ ∵BC=CD，CE=CE，∴△BCE≌△DCD．∴∠EDC=∠EBC．‎ ‎ ∵EB=EF，∴∠EBC=∠EFC．‎ ‎ ∴∠EDC=∠EFC．‎ ‎∵∠DGE=∠FGC，∴∠DGE∽△FGC．‎ ‎∴∴．‎ ‎（2）∠ADC=2∠FDC．‎ 证明如下：∵∠DGF=∠EGC，∴△DGF∽△EGC．‎ ‎∵EF⊥CD，DA=DC，∴∠DAC=∠DCA=∠DFG=90º–∠FDC．‎ ‎∴∠ADC=180º–2∠DAC=180º–2（90º–∠FDC）=2∠FDC．‎ ‎14（1）证明： ∵△ADF为等边三角形， ∴AF=AD，∠FAD=60°‎ A B C D F E G ‎ ∵∠DAB=90°，∠EAD=15°，AD=AB ‎ ‎∴∠FAE=∠BAE=75°，AB=AF ‎ ∵AE为公共边 ∴△FAE≌△BAE ‎ ‎ ∴EF=EB ‎ ‎（2）如图，连结EC ‎ ‎∵在等边三角形△ADF中，∴FD=FA ‎∵∠EAD=∠EDA=15°，∴ED=EA，‎ ‎∴EF是AD的垂直平分线，则∠EFA=∠EFD=30°‎ 由（1）△FAE≌△BAE知∠EBA=∠EFA=30°‎ ‎∵∠FAE=∠BAE=75°，∴∠BEA=∠BAE=∠FEA=75°‎ ‎∴BE=BA=6‎ ‎∵∠FEA+∠BEA+∠GEB=180°，∴∠GEB=30°‎ ‎∵∠ABC=60°，∴ ∠GBE=30°‎ ‎ ∴GE=GB ‎ ‎∵点G是BC的中点 ‎∴EG=CG ‎ ‎∵∠CGE=∠GEB+∠GBE=60°‎ ‎∴△CEG为等边三角形, ∴∠CEG=60°‎ ‎∴∠CEB=∠CEG+∠GEB=90° ‎ 图②‎ A D B C G E F l 图①‎ A D B C H G E F l 图③‎ A D M C H G E F l C N ‎（H）‎ ‎∴在Rt△CEB中，BC=2CE，BC=CE+BE ‎∴CE=，∴BC=‎ ‎15答案：解：（1）cm，‎ 是等边三角形．‎ 又cm，‎ 图②‎ A ‎（H）‎ B C G E F l 图③‎ A D M C H G E F l B N 图②‎ A D B C G E F l K ‎45°‎ ‎．‎ 如图②作于点．‎ cm．‎ 点到的距离为cm．‎ ‎（2）‎ 四边形是矩形．又 ‎， 矩形是正方形．‎ ‎18答案： ‎ ‎⑵当BC=AB时，四边形ABFC是菱形.‎ ‎∵AB∥GF，AG∥BF，∴四边形ABFG是平行四边形.‎ ‎∵Rt△ABE中，∠B=60°，∴∠BAE=30°，∴BE=AB.‎ ‎∵BE=CF，BC=AB，∴EF=AB.‎ ‎∴AB=BF.∴四边形ABFG是菱形