上海市宝山区中考数学一模试卷解析版 25页

‎2017年上海市宝山区中考数学一模试卷 ‎　‎ 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）‎ ‎1．已知∠A=30°，下列判断正确的是（　　）‎ A．sinA= B．cosA= C．tanA= D．cotA=‎ ‎2．如果C是线段AB的黄金分割点C，并且AC＞CB，AB=1，那么AC的长度为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．二次函数y=x2+2x+3的定义域为（　　）‎ A．x＞0 B．x为一切实数 C．y＞2 D．y为一切实数 ‎4．已知非零向量、之间满足=﹣3，下列判断正确的是（　　）‎ A．的模为3 B．与的模之比为﹣3：1‎ C．与平行且方向相同 D．与平行且方向相反 ‎5．如果从甲船看乙船，乙船在甲船的北偏东30°方向，那么从乙船看甲船，甲船在乙船的（　　）‎ A．南偏西30°方向 B．南偏西60°方向 C．南偏东30°方向 D．南偏东60°方向 ‎6．二次函数y=a（x+m）2+n的图象如图，则一次函数y=mx+n的图象经过（　　）‎ A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 ‎　‎ 二、填空题：（本大题共12小题，每题4分，满分48分）‎ ‎7．已知2a=3b，则=　　．‎ ‎8．如果两个相似三角形的相似比为1：4，那么它们的面积比为　　．‎ ‎9．如图，D为△ABC的边AB上一点，如果∠ACD=∠ABC时，那么图中　　是AD和AB的比例中项．‎ ‎10．如图，△ABC中∠C=90°，若CD⊥AB于D，且BD=4，AD=9，则tanA=　　．‎ ‎11．计算：2（+3）﹣5=　　．‎ ‎12．如图，G为△ABC的重心，如果AB=AC=13，BC=10，那么AG的长为　　．‎ ‎13．二次函数y=5（x﹣4）2+3向左平移二个单位长度，再向下平移一个单位长度，得到的函数解析式是　　．‎ ‎14．如果点A（1，2）和点B（3，2）都在抛物线y=ax2+bx+c的图象上，那么抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线　　．‎ ‎15．已知A（2，y1）、B（3，y2）是抛物线y=﹣（x﹣1）2+的图象上两点，则y1　　y2．（填不等号）‎ ‎16．如果在一个斜坡上每向上前进13米，水平高度就升高了5米，则该斜坡的坡度i=　　．‎ ‎17．数学小组在活动中继承了学兄学姐们的研究成果，将能够确定形如y=ax2+bx+c的抛物线的形状、大小、开口方向、位置等特征的系数a、b、c称为该抛物线的特征数，记作：特征数{a、b、c}，（请你求）在研究活动中被记作特征数为{1、﹣4、3}的抛物线的顶点坐标为　　．‎ ‎18．如图，D为直角△ABC的斜边AB上一点，DE⊥AB交AC于E，如果△AED沿DE翻折，A恰好与B重合，联结CD交BE于F，如果AC═8，tanA═，那么CF：DF═　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：（本大题共7小题，满分78分）‎ ‎19．计算：﹣cos30°+0．‎ ‎20．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果DE∥BC，且DE=BC．‎ ‎（1）如果AC=6，求CE的长；‎ ‎（2）设=， =，求向量（用向量、表示）．‎ ‎21．如图，AB、CD分别表示两幢相距36米的大楼，高兴同学站在CD大楼的P处窗口观察AB大楼的底部B点的俯角为45°，观察AB大楼的顶部A点的仰角为30°，求大楼AB的高．‎ ‎22．直线l：y=﹣x+6交y轴于点A，与x轴交于点B，过A、B两点的抛物线m与x轴的另一个交点为C，（C在B的左边），如果BC=5，求抛物线m的解析式，并根据函数图象指出当m的函数值大于0的函数值时x的取值范围．‎ ‎23．如图，点E是正方形ABCD的对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），作EF⊥AC交边BC于点F，联结AF、BE交于点G．‎ ‎（1）求证：△CAF∽△CBE；‎ ‎（2）若AE：EC=2：1，求tan∠BEF的值．‎ ‎24．如图，二次函数y=ax2﹣x+2（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点A（﹣4，0）．‎ ‎（1）求抛物线与直线AC的函数解析式；‎ ‎（2）若点D（m，n）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，四边形OCDA的面积为S，求S关于m的函数关系；‎ ‎（3）若点E为抛物线上任意一点，点F为x轴上任意一点，当以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出满足条件的所有点E的坐标．‎ ‎25．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P以1cm/秒的速度沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（其中曲线OG为抛物线的一部分，其余各部分均为线段）．‎ ‎（1）试根据图（2）求0＜t≤5时，△BPQ的面积y关于t的函数解析式；‎ ‎（2）求出线段BC、BE、ED的长度；‎ ‎（3）当t为多少秒时，以B、P、Q为顶点的三角形和△ABE相似；‎ ‎（4）如图（3）过E作EF⊥BC于F，△BEF绕点B按顺时针方向旋转一定角度，如果△BEF中E、F的对应点H、I恰好和射线BE、CD的交点G在一条直线，求此时C、I两点之间的距离．‎ ‎　‎ ‎2017年上海市宝山区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）‎ ‎1．已知∠A=30°，下列判断正确的是（　　）‎ A．sinA= B．cosA= C．tanA= D．cotA=‎ ‎【考点】特殊角的三角函数值．‎ ‎【分析】根据特殊角的三角函数值进行判断即可 ‎【解答】解：∵∠A=30°，‎ ‎∴sinA=，cosA=，tanA=，cotA=，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．如果C是线段AB的黄金分割点C，并且AC＞CB，AB=1，那么AC的长度为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】黄金分割．‎ ‎【分析】根据黄金比值是计算即可．‎ ‎【解答】解：∵C是线段AB的黄金分割点C，AC＞CB，‎ ‎∴AC=AB=，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．二次函数y=x2+2x+3的定义域为（　　）‎ A．x＞0 B．x为一切实数 C．y＞2 D．y为一切实数 ‎【考点】二次函数的定义．‎ ‎【分析】找出二次函数的定义域即可．‎ ‎【解答】解：二次函数y=x2+2x+3的定义域为x为一切实数，‎ 故选B ‎　‎ ‎4．已知非零向量、之间满足=﹣3，下列判断正确的是（　　）‎ A．的模为3 B．与的模之比为﹣3：1‎ C．与平行且方向相同 D．与平行且方向相反 ‎【考点】*平面向量．‎ ‎【分析】根据向量的长度和方向，可得答案．‎ ‎【解答】解：A、由=﹣3，得||=3||，故A错误；‎ B、由=﹣3，得||=3||，||：||=3：1，故B错误；‎ C、由=﹣3，得=﹣3方向相反，故C错误；‎ D、由=﹣3，得=﹣3平行且方向相反，故D正确；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎5．如果从甲船看乙船，乙船在甲船的北偏东30°方向，那么从乙船看甲船，甲船在乙船的（　　）‎ A．南偏西30°方向 B．南偏西60°方向 C．南偏东30°方向 D．南偏东60°方向 ‎【考点】方向角．‎ ‎【分析】根据题意正确画出图形进而分析得出从乙船看甲船的方向．‎ ‎【解答】解：如图所示：可得∠1=30°，‎ ‎∵从甲船看乙船，乙船在甲船的北偏东30°方向，‎ ‎∴从乙船看甲船，甲船在乙船的南偏西30°方向．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．二次函数y=a（x+m）2+n的图象如图，则一次函数y=mx+n的图象经过（　　）‎ A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 ‎【考点】二次函数的图象；一次函数的性质．‎ ‎【分析】根据抛物线的顶点在第四象限，得出n＜0，m＜0，即可得出一次函数y=mx+n的图象经过二、三、四象限．‎ ‎【解答】解：∵抛物线的顶点在第四象限，‎ ‎∴﹣m＞0，n＜0，‎ ‎∴m＜0，‎ ‎∴一次函数y=mx+n的图象经过二、三、四象限，‎ 故选C．‎ ‎　‎ 二、填空题：（本大题共12小题，每题4分，满分48分）‎ ‎7．已知2a=3b，则=　　．‎ ‎【考点】比例的性质．‎ ‎【分析】根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积．可直接得到的结果．‎ ‎【解答】解：∵2a=3b，∴=．‎ ‎　‎ ‎8．如果两个相似三角形的相似比为1：4，那么它们的面积比为　1：16　．‎ ‎【考点】相似三角形的性质．‎ ‎【分析】‎ 根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解得．‎ ‎【解答】解：∵两个相似三角形的相似比为1：4，‎ ‎∴它们的面积比为1：16．‎ 故答案为1：16．‎ ‎　‎ ‎9．如图，D为△ABC的边AB上一点，如果∠ACD=∠ABC时，那么图中　AC　是AD和AB的比例中项．‎ ‎【考点】比例线段．‎ ‎【分析】根据两角分别相等的两个三角形相似，可得△ACD∽△ABC的关系，根据相似三角形的性质，可得答案．‎ ‎【解答】解：在△ACD与△ABC中，‎ ‎∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，‎ ‎∴△ACD∽△ABC，‎ ‎∴=，‎ ‎∴AC是AD和AB的比例中项．‎ 故答案为AC．‎ ‎　‎ ‎10．如图，△ABC中∠C=90°，若CD⊥AB于D，且BD=4，AD=9，则tanA=　　．‎ ‎【考点】解直角三角形．‎ ‎【分析】先证明△BDC∽△‎ CDA，利用相似三角形的性质求出CD的长度，然后根据锐角三角函数的定义即可求出tanA的值．‎ ‎【解答】解：∵∠BCD+∠DCA=∠DCA+∠A=90°，‎ ‎∴∠BCD=∠A，‎ ‎∵CD⊥AB，‎ ‎∴∠BDC=∠CDA=90°，‎ ‎∴△BDC∽△CDA，‎ ‎∴CD2=BD•AD，‎ ‎∴CD=6，‎ ‎∴tanA==‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎11．计算：2（+3）﹣5=　2+　．‎ ‎【考点】*平面向量．‎ ‎【分析】可根据向量的加法法则进行计算，可得答案．‎ ‎【解答】解：2（+3）﹣5=2+6﹣5=2+，‎ 故答案为：2+．‎ ‎　‎ ‎12．如图，G为△ABC的重心，如果AB=AC=13，BC=10，那么AG的长为　8　．‎ ‎【考点】三角形的重心；等腰三角形的性质；勾股定理．‎ ‎【分析】延长AG交BC于D，根据重心的概念得到∠BAD=∠CAD，根据等腰三角形的性质求出BD，根据勾股定理和重心的性质计算即可．‎ ‎【解答】解：延长AG交BC于D，‎ ‎∵G为△ABC的重心，‎ ‎∴∠BAD=∠CAD，‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴BD=BC=5，AD⊥BC，‎ 由勾股定理得，AD==12，‎ ‎∵G为△ABC的重心，‎ ‎∴AG=AD=8，‎ 故答案为：8．‎ ‎　‎ ‎13．二次函数y=5（x﹣4）2+3向左平移二个单位长度，再向下平移一个单位长度，得到的函数解析式是　y=5（x﹣2）2+2　．‎ ‎【考点】二次函数图象与几何变换．‎ ‎【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律求解即可．‎ ‎【解答】解：y=5（x﹣4）2+3向左平移二个单位长度，再向下平移一个单位长度得y=5（x﹣4+2）2+3﹣1，即y=5（x﹣2）2+2．‎ 故答案为y=5（x﹣2）2+2．‎ ‎　‎ ‎14．如果点A（1，2）和点B（3，2）都在抛物线y=ax2+bx+c的图象上，那么抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线　x=2　．‎ ‎【考点】二次函数的性质．‎ ‎【分析】根据函数值相等的点到抛物线对称轴的距离相等可求得其对称轴．‎ ‎【解答】解：‎ ‎∵点A（1，2）和点B（3，2）都在抛物线y=ax2+bx+c的图象上，‎ ‎∴其对称轴为x==2‎ 故答案为：x=2．‎ ‎　‎ ‎15．已知A（2，y1）、B（3，y2）是抛物线y=﹣（x﹣1）2+的图象上两点，则y1　＞　y2．（填不等号）‎ ‎【考点】二次函数图象上点的坐标特征．‎ ‎【分析】先确定其对称轴，利用增减性进行判断；也可以将A、B两点的坐标分别代入求出纵坐标，再进行判断．‎ ‎【解答】解：由题意得：抛物线的对称轴是：直线x=1，‎ ‎∵﹣＜0，‎ ‎∴当x＞1时，y随x的增大而减小，‎ ‎∵2＜3，‎ ‎∴y1＞y2，‎ 故答案为：＞．‎ ‎　‎ ‎16．如果在一个斜坡上每向上前进13米，水平高度就升高了5米，则该斜坡的坡度i=　1：2.4　．‎ ‎【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．‎ ‎【分析】根据在一个斜坡上前进5米，水平高度升高了1米，可以计算出此时的水平距离，水平高度与水平距离的比值即为坡度，从而可以解答本题．‎ ‎【解答】解：设在一个斜坡上前进13米，水平高度升高了5米，此时水平距离为x米，‎ 根据勾股定理，得x2+52=132，‎ 解得：x=12，‎ 故该斜坡坡度i=5：12=1：2.4．‎ 故答案为：1：2.4．‎ ‎　‎ ‎17．数学小组在活动中继承了学兄学姐们的研究成果，将能够确定形如y=ax2+bx+c的抛物线的形状、大小、开口方向、位置等特征的系数a、b、c称为该抛物线的特征数，记作：特征数{a、b、c}，（请你求）在研究活动中被记作特征数为{1、﹣4、3}的抛物线的顶点坐标为　（2，﹣1）　．‎ ‎【考点】二次函数的性质；二次函数的图象．‎ ‎【分析】由条件可求得抛物线解析式，化为顶点式可求得答案．‎ ‎【解答】解：‎ ‎∵特征数为{1、﹣4、3}，‎ ‎∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，‎ ‎∴抛物线顶点坐标为（2，﹣1），‎ 故答案为：（2，﹣1）．‎ ‎　‎ ‎18．如图，D为直角△ABC的斜边AB上一点，DE⊥AB交AC于E，如果△AED沿DE翻折，A恰好与B重合，联结CD交BE于F，如果AC═8，tanA═，那么CF：DF═　6：5　．‎ ‎【考点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形．‎ ‎【分析】先根据DE⊥AB，tanA═，AC═8，求得BC=4，CE=3，BD=2，DE=，再过点C作CG⊥BE于G，作DH⊥BE于H，根据面积法求得CG和DH的长，最后根据△CFG∽△DFH，得到===即可．‎ ‎【解答】解：∵DE⊥AB，tanA═，‎ ‎∴DE=AD，‎ ‎∵Rt△ABC中，AC═8，tanA═，‎ ‎∴BC=4，AB==4，‎ 又∵△AED沿DE翻折，A恰好与B重合，‎ ‎∴AD=BD=2，DE=，‎ ‎∴Rt△ADE中，AE==5，‎ ‎∴CE=8﹣5=3，‎ ‎∴Rt△BCE中，BE==5，‎ 如图，过点C作CG⊥BE于G，作DH⊥BE于H，则 Rt△BDE中，DH==2，‎ Rt△BCE中，CG==，‎ ‎∵CG∥DH，‎ ‎∴△CFG∽△DFH，‎ ‎∴===．‎ 故答案为：6：5．‎ ‎　‎ 三、解答题：（本大题共7小题，满分78分）‎ ‎19．计算：﹣cos30°+0．‎ ‎【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．‎ ‎【分析】原式利用特殊角的三角函数值，以及零指数幂法则计算即可得到结果．‎ ‎【解答】解：原式=﹣+1=+﹣+1=++1．‎ ‎　‎ ‎20．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果DE∥BC，且DE=BC．‎ ‎（1）如果AC=6，求CE的长；‎ ‎（2）设=， =，求向量（用向量、表示）．‎ ‎【考点】*平面向量．‎ ‎【分析】（1）根据相似三角形的判定与性质，可得AE的长，根据线段的和差，可得答案；‎ ‎（2）根据相似三角形的判定与性质，可得AE，AD的长，根据向量的减法运算，可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）由DE∥BC，得 ‎△ADE∽△ABC， =．‎ 又DE=BC且AC=6，得 AE=AC=4，‎ CE=AC﹣AE=6﹣4=2；‎ ‎（2）如图，‎ 由DE∥BC，得 ‎△ADE∽△ABC， =．‎ 又AC=6且DE=BC，得 AE=AC，AD=AB．‎ ‎==， ==．‎ ‎=﹣=﹣．‎ ‎　‎ ‎21．如图，AB、CD分别表示两幢相距36米的大楼，高兴同学站在CD大楼的P处窗口观察AB大楼的底部B点的俯角为45°，观察AB大楼的顶部A点的仰角为30°，求大楼AB的高．‎ ‎【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．‎ ‎【分析】过点P作AB 的垂线，垂足为E，根据题意可得出四边形PDBE是矩形，再由∠EPB=45°可知BE=PE=36m，由AE=PE•tan30°得出AE的长，进而可得出结论．‎ ‎【解答】解：如图，过点P作AB 的垂线，垂足为E，‎ ‎∵PD⊥AB，DB⊥AB，‎ ‎∴四边形PDBE是矩形，‎ ‎∵BD=36m，∠EPB=45°，‎ ‎∴BE=PE=36m，‎ ‎∴AE=PE•tan30°=36×=12（m），‎ ‎∴AB=12+36（m）．‎ 答：建筑物AB的高为米．‎ ‎　‎ ‎22．直线l：y=﹣x+6交y轴于点A，与x轴交于点B，过A、B两点的抛物线m与x轴的另一个交点为C，（C在B的左边），如果BC=5，求抛物线m的解析式，并根据函数图象指出当m的函数值大于0的函数值时x的取值范围．‎ ‎【考点】‎ 二次函数与不等式（组）；待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x轴的交点．‎ ‎【分析】先根据函数的解析式求出A、B两点的坐标，再求出点C的坐标，利用待定系数法求出抛物线m的解析式，画出其图象，利用数形结合即可求解．‎ ‎【解答】解：∵y=﹣x+6交y轴于点A，与x轴交于点B，‎ ‎∴x=0时，y=6，‎ ‎∴A（0，6），‎ y=0时，x=8，‎ ‎∴B（8，0），‎ ‎∵过A、B两点的抛物线m与x轴的另一个交点为C，（C在B的左边），BC=5，‎ ‎∴C（3，0）．‎ 设抛物线m的解析式为y=a（x﹣3）（x﹣8），‎ 将A（0，6）代入，得24a=6，解得a=，‎ ‎∴抛物线m的解析式为y=（x﹣3）（x﹣8），即y=x2﹣x+6；‎ 函数图象如右：‎ 当抛物线m的函数值大于0时，x的取值范围是x＜3或x＞8．‎ ‎　‎ ‎23．如图，点E是正方形ABCD的对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），作EF⊥AC交边BC于点F，联结AF、BE交于点G．‎ ‎（1）求证：△CAF∽△CBE；‎ ‎（2）若AE：EC=2：1，求tan∠BEF的值．‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形．‎ ‎【分析】（1）利用AA证明△CEF∽△CAB，再列出比例式利用SAS证明△CAF∽△CBE ‎（2）证出∴∠BAF=∠BEF，设EC=1，则EF=1，FC=，AC=3，由勾股定理得出AB=BC=AC=，得出BF=BC﹣FC=，由三角函数即可得出结果．‎ ‎【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠ABC=90°，‎ ‎∵EF⊥AC，‎ ‎∴∠FEC=90°=∠ABC，‎ 又∵∠FCE=∠ACB，‎ ‎∴△CEF∽△CAB，‎ ‎∴，‎ 又∵∠ACF=∠BCE，‎ ‎∴△CAF∽△CBE；‎ ‎（2）∵△CAF∽△CBE，‎ ‎∴∠CAF=∠CBE，‎ ‎∵∠BAC=∠BCA=45°，‎ ‎∴∠BAF=∠BEF，‎ 设EC=1，则EF=1，FC=，‎ ‎∵AE：EC=2：1，‎ ‎∴AC=3，‎ ‎∴AB=BC=AC=，‎ ‎∴BF=BC﹣FC=，‎ ‎∴．‎ ‎　‎ ‎24．如图，二次函数y=ax2﹣x+2（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点A（﹣4，0）．‎ ‎（1）求抛物线与直线AC的函数解析式；‎ ‎（2）若点D（m，n）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，四边形OCDA的面积为S，求S关于m的函数关系；‎ ‎（3）若点E为抛物线上任意一点，点F为x轴上任意一点，当以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出满足条件的所有点E的坐标．‎ ‎【考点】二次函数综合题；解一元二次方程-公式法；平行四边形的性质．‎ ‎【分析】（1）把点A的坐标代入抛物线的解析式，就可求得抛物线的解析式，根据A，C两点的坐标，可求得直线AC的函数解析式；‎ ‎（2）先过点D作DH⊥x轴于点H，运用割补法即可得到：四边形OCDA的面积=△ADH的面积+四边形OCDH的面积，据此列式计算化简就可求得S关于m的函数关系；‎ ‎（3）由于AC确定，可分AC是平行四边形的边和对角线两种情况讨论，得到点E与点C的纵坐标之间的关系，然后代入抛物线的解析式，就可得到满足条件的所有点E的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）∵A（﹣4，0）在二次函数y=ax2﹣x+2（a≠0）的图象上，‎ ‎∴0=16a+6+2，‎ 解得a=﹣，‎ ‎∴抛物线的函数解析式为y=﹣x2﹣x+2；‎ ‎∴点C的坐标为（0，2），‎ 设直线AC的解析式为y=kx+b，则 ‎，‎ 解得，‎ ‎∴直线AC的函数解析式为：；‎ ‎（2）∵点D（m，n）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，‎ ‎∴D（m，﹣m2﹣m+2），‎ 过点D作DH⊥x轴于点H，则DH=﹣m2﹣m+2，AH=m+4，HO=﹣m，‎ ‎∵四边形OCDA的面积=△ADH的面积+四边形OCDH的面积，‎ ‎∴S=（m+4）×（﹣m2﹣m+2）+（﹣m2﹣m+2+2）×（﹣m），‎ 化简，得S=﹣m2﹣4m+4（﹣4＜m＜0）；‎ ‎（3）①若AC为平行四边形的一边，则C、E到AF的距离相等，‎ ‎∴|yE|=|yC|=2，‎ ‎∴yE=±2．‎ 当yE=2时，解方程﹣x2﹣x+2=2得，‎ x1=0，x2=﹣3，‎ ‎∴点E的坐标为（﹣3，2）；‎ 当yE=﹣2时，解方程﹣x2﹣x+2=﹣2得，‎ x1=，x2=，‎ ‎∴点E的坐标为（，﹣2）或（，﹣2）；‎ ‎②若AC为平行四边形的一条对角线，则CE∥AF，‎ ‎∴yE=yC=2，‎ ‎∴点E的坐标为（﹣3，2）．‎ 综上所述，满足条件的点E的坐标为（﹣3，2）、（，﹣2）、（，﹣2）．‎ ‎　‎ ‎25．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P以1cm/秒的速度沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（其中曲线OG为抛物线的一部分，其余各部分均为线段）．‎ ‎（1）试根据图（2）求0＜t≤5时，△BPQ的面积y关于t的函数解析式；‎ ‎（2）求出线段BC、BE、ED的长度；‎ ‎（3）当t为多少秒时，以B、P、Q为顶点的三角形和△ABE相似；‎ ‎（4）如图（3）过E作EF⊥BC于F，△BEF绕点B按顺时针方向旋转一定角度，如果△BEF中E、F的对应点H、I恰好和射线BE、CD的交点G在一条直线，求此时C、I两点之间的距离．‎ ‎【考点】二次函数综合题．‎ ‎【分析】（1）观察图象可知，AD=BC=5×2=10，BE=1×10=10，ED=4×1=4，AE=10﹣4=6在Rt△ABE中，AB===8，如图1中，作PM⊥BC于M．由△ABE∽△MPB，得=，求出PM，根据△BPQ的面积y=•BQ•PM计算即可问题．‎ ‎（2）观察图象（1）（2），即可解决问题．‎ ‎（3）分三种情形讨论①P在BE上，②P在DE上，③P在CD上，分别求解即可．‎ ‎（4）由∠BIH=∠BCG=90°，推出B、I、C、G四点共圆，推出∠BGH=∠BCI，由△GBH∽△CBI，可得=，由此只要求出GH即可解决问题．‎ ‎【解答】解：（1）观察图象可知，AD=BC=5×2=10，BE=1×10=10，ED=4×1=4，AE=10﹣4=6‎ 在Rt△ABE中，AB===8，‎ 如图1中，作PM⊥BC于M．‎ ‎∵△ABE∽△MPB，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴PM=t，‎ 当0＜t≤5时，△BPQ的面积y=•BQ•PM=•2t•t=t2．‎ ‎（2）由（1）可知BC=BE=10，ED=4．‎ ‎（3）①当P在BE上时，‎ ‎∵BQ=2PB，‎ ‎∴只有∠BPQ=90°，才有可能B、P、Q为顶点的三角形和△ABE相似，‎ ‎∴∠BQP=30°，这个显然不可能，‎ ‎∴当点P在BE上时，不存在△PQB与△ABE相似．‎ ‎②当点P在ED上时，观察图象可知，不存在△．‎ ‎③当点P在DC上时，设PC=a，‎ 当=时，∴=，‎ ‎∴a=，‎ 此时t=10+4+（8﹣）=14.5，‎ ‎∴t=14.5s时，△PQB与△ABE相似．‎ ‎（4）如图3中，设EG=m，GH=n，‎ ‎∵DE∥BC，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴m=，‎ 在Rt△BIG中，∵BG2=BI2+GI2，‎ ‎∴（）2=62+（8+n）2，‎ ‎∴n=﹣8+8或﹣8﹣8（舍弃），‎ ‎∵∠BIH=∠BCG=90°，‎ ‎∴B、I、C、G四点共圆，‎ ‎∴∠BGH=∠BCI，‎ ‎∵∠GBF=∠HBI，‎ ‎∴∠GBH=∠CBI，‎ ‎∴△GBH∽△CBI，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴IC=﹣．‎ ‎　‎ ‎2017年1月20日