2020年中考数学压轴题：圆的有关位置关系考点专练 93页

2020 年中考数学压轴题：圆的有关位置关系考点专练 【考点 1】点与圆的位置关系 【例 1】（2018·浙江中考真题）用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与 圆的位置关系只能是（ ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆心上 D．点在圆上或圆内 【答案】D 【解析】【分析】在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种， 那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 【解答】用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立， 那么点应该在圆内或者圆上. 故选 D. 【点评】考查反证法以及点和圆的位置关系，解题的关键是掌握点和圆的位置关系. 【变式 1-1】（2016·湖北中考真题）在公园的 O 处附近有 E、F、G、H 四棵树，位置如图所 示（图中小正方形为边长均相等），现计划修建一座以 O 为圆心，OA 为半径的圆形水池，要 求池中不留树木，则 E、F、G、H 四棵树中需要被移除的为（ ） A．E、F、G B．F、G、H C．G、H、E D．H、E、F 【答案】A 【解析】 试题分析：根据圆与直线的位置关系可得：点 E、F、G 在圆内，点 H 在圆外. 考点：点与圆的位置关系 【变式 1-2】（2017·山东中考真题）如图，在网格（每个小正方形的边长均为 1）中选取 9 个格点（格线的交点称为格点），如果以 A 为圆心，r 为半径画圆，选取的格点中除点 A 外恰 好有 3 个在圆内，则 r 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 试题分析：给各点标上字母，如图所示． AB= = ，AC=AD= = ，AE= = ，AF= = ， AG=AM=AN= =5，∴ 时，以 A 为圆心，r 为半径画圆，选取的格点中 除点 A 外恰好有 3 个在圆内．故选 B． 考点：点与圆的位置关系；勾股定理；推理填空题． 【考点 2】直线与圆的位置关系 【例 2】（2018·黑龙江中考真题）已知直线 y=kx（k≠0）经过点（12，﹣5），将直线向上 平移 m（m＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为 6 的⊙O 相交（点 O 为坐标原点）， 则 m 的取值范围为_____． 【答案】00， ∴ 5d  ， 故答案为： 5 . 【点睛】 本题是圆综合题，主要考查了三角形外接圆、外心和内切圆、内心，圆周角性质，角平分线定 义，三角形外角性质等，综合性较强，熟练掌握相关知识是解题的关键. 【变式 4-2】（2018·湖南中考真题）如图，在△ABC 中，AD 是边 BC 上的中线， ∠BAD=∠CAD，CE∥AD，CE 交 BA 的延长线于点 E，BC=8，AD=3． （1）求 CE 的长； （2）求证：△ABC 为等腰三角形． （3）求△ABC 的外接圆圆心 P 与内切圆圆心 Q 之间的距离． 【答案】（1）CE=6；（2）证明见解析；（3）△ABC 的外接圆圆心 P 与内切圆圆心 Q 之间的 距离为 5 2 ． 【解析】 【分析】 （1）证明 AD 为△BCE 的中位线得到 CE=2AD=6； （2）过 B 点作 AC 的平行线，并与 AD 的延长线交于点 F，证明△ACD≌△FBD，从而得到 AC=BF，∠CAD=∠BFD，再结合∠BAD=∠CAD，得到 BA=BF，等量代换后即可证得结论； （3）如图，连接 BP、BQ、CQ，先利用勾股定理计算出 AB=5，设⊙P 的半径为 R，⊙Q 的 半径为 r，在 Rt△PBD 中利用勾股定理得到（R-3）2+42=R2，解得 R= 25 6 ，则 PD= 7 6 ，再利用 面积法求出 r= 4 3 ，即 QD= 4 3 ，然后计算 PD+QD 即可． 【详解】 （1）解：∵AD 是边 BC 上的中线， ∴BD=CD， ∵CE∥AD， ∴AD 为△BCE 的中位线， ∴CE=2AD=6； （2）证明：过 B 点作 AC 的平行线，并与 AD 的延长线交于点 F， 则∠ACD=∠FBD, ∠ADC=∠FDB， 又∵BD=CD， ∴△ACD≌△FBD， ∴AC=BF，∠CAD=∠BFD， 又∵∠BAD=∠CAD， ∴∠BAD=∠BFD， ∴BA=BF, ∴AB=AC, ∴△ABC 为等腰三角形． （3）如图，连接 BP、BQ、CQ， 在 Rt△ABD 中，AB= 2 23 4 =5， 设⊙P 的半径为 R，⊙Q 的半径为 r， 在 Rt△PBD 中，（R-3）2+42=R2，解得 R= 25 6 ， ∴PD=PA-AD= 25 6 -3= 7 6 ， ∵S△ABQ+S△BCQ+S△ACQ=S△ABC， ∴ 1 2 ×r×5+ 1 2 ×r×8+ 1 2 ×r×5= 1 2 ×3×8，解得 r= 4 3 ， 即 QD= 4 3 ， ∴PQ=PD+QD= 7 6 + 4 3 = 5 2 ． 答：△ABC 的外接圆圆心 P 与内切圆圆心 Q 之间的距离为 5 2 ． 点睛：本题考查了三角形内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内 心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等腰三角形的判定与性质和三角形的外接圆． 【变式 4-3】（2019·湖南中考真题）如图，PA、PB 为圆 O 的切线，切点分别为 A、B，PO 交 AB 于点 C，PO 的延长线交圆 O 于点 D，下列结论不一定成立的是( ) A．PA＝PB B．∠BPD＝∠APDC．AB⊥PD D．AB 平分 PD 【答案】D 【解析】 【分析】 先根据切线长定理得到 PA＝PB，∠APD＝∠BPD；再根据等腰三角形的性质得 OP⊥AB，根 据菱形的性质，只有当 AD∥PB，BD∥PA 时，AB 平分 PD，由此可判断 D 不一定成立． 【详解】 ∵PA，PB 是⊙O 的切线， ∴PA＝PB，所以 A 成立； ∠BPD＝∠APD，所以 B 成立； ∴AB⊥PD，所以 C 成立； ∵PA，PB 是⊙O 的切线， ∴AB⊥PD，且 AC＝BC， 只有当 AD∥PB，BD∥PA 时，AB 平分 PD，所以 D 不一定成立， 故选 D． 【点睛】 本题考查了切线长定理，垂径定理，等腰三角形的性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键. 一、单选题 1．（2019·浙江中考真题）如图，等边三角形 ABC 的边长为 8，以 BC 上一点O为圆心的圆分 别与边 AB ， AC 相切，则 O 的半径为（ ） A． 2 3 B．3 C．4 D． 4 3 【答案】A 【解析】 【分析】 连接 AO ，OE ，根据等边三角形的性质及含 30°的直角三角形的性质即可求解. 【详解】 设 O 与 AC 的切点为 E ， 连接 AO ，OE ， ∵等边三角形 ABC 的边长为 8， ∴ 8AC  ， 60C BAC    ， ∵圆分别与边 AB ， AC 相切， ∴ 1 302BAO CAO BAC       ， ∴ 90AOC   ， ∴ 1 42OC AC  ， ∵OE AC ， ∴ 3 2 32OE OC  ， ∴ O 的半径为2 3 ， 故选：A． 【点睛】 此题主要考查圆的半径，解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解. 2．（2019·黑龙江中考真题）如图，PA . PB 分别与 O 相切于 A. B 两点，点C 为 O 上一点， 连接 AC . BC ，若 50P   ，则 ACB 的度数为（ ）. A．60； B．75； C．70； D．65. 【答案】D 【解析】 【分析】 连接OA.OB ，由切线的性质可知 90OAP OBP    ，由四边形内角和可求出 AOB 的度数， 根据圆周角定理（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）可知 ACB 的度数. 【详解】 解：连接OA.OB ， ∵ PA . PB 分别与 O 相切于 A. B 两点， ∴OA PA ，OB PB ， ∴ 90OAP OBP    ， ∴ 180 180 50 130AOB P       ， ∴ 1 1 130 652 2ACB AOB        ． 故选：D． 【点睛】 本题主要考查了圆的切线性质及圆周角定理，灵活应用切线性质及圆周角定理是解题的关键. 3．（2019·辽宁中考真题）如图，CB 为⊙O 的切线，点 B 为切点，CO 的延长线交⊙O 于 点 A，若∠A=25°，则∠C 的度数是( ) A．25° B．30° C．35° D．40° 【答案】D 【解析】 【分析】 连接 OB，CB 与⊙O 相切于点 B，得到∠OBC=90°，根据条件得到∠COB 的度数，然后用 三角形内角和求出∠C 的度数即可． 【详解】 解：如图：连接 OB， ∵OB=OA， ∴∠A=∠OBA， ∵∠A=25°， ∴∠COB=∠A+∠OBA=2∠A=2×25°=50°， ∵AB 与⊙O 相切于点 B， ∴∠OBC=90°， ∴∠C=90°-∠BOC=90°-50°=40°． 故选：D． 【点睛】 本题考查的是切线的性质及三角形内角和定理，先求出∠COB 的度数，然后在三角形中求出 ∠C 的度数．正确作出辅助线是解题的关键． 4．（2019·江苏中考真题）如图， AB 为 O 的切线，切点为 A，连接 AO BO、 ， BO与 O 交 于点C ，延长 BO与 O 交于点 D ，连接 AD ，若 36ABO  o ，则 ADC 的度数为( ) A． 54o B．36o C．32o D． 27o 【答案】D 【解析】 【分析】 由切线性质得到 AOB ，再由等腰三角形性质得到 OAD ODA   ，然后用三角形外角性质得 出 ADC 【详解】 切线性质得到 90BAO  o 90 36 54AOB   o o o OD OAQ OAD ODA  ∴ AOB OAD ODA    Q 27ADC ADO    o 故选 D 【点睛】 本题主要考查圆的切线性质、三角形的外角性质等，掌握基础定义是解题关键 5．（2019·江苏中考真题）如图，四边形 ABCD是半圆的内接四边形，AB 是直径，DC CB ．若 110C  ，则 ABC 的度数等于（ ） A．55 B．60 C．65 D．70 【答案】A 【解析】 【分析】 连接 AC，根据圆内接四边形的性质求出∠DAB，根据圆周角定理求出∠ACB、∠CAB，计算 即可． 【详解】 连接 AC， ∵四边形 ABCD 是半圆的内接四边形， ∴∠DAB=180°-∠C=70°， ∵ DC CB ， ∴∠CAB= 1 2 ∠DAB=35°， ∵AB 是直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠ABC=90°-∠CAB=55°， 故选 A． 【点睛】 本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 6．（2019·浙江中考真题）如图，已知⊙O 上三点 A，B，C，半径 OC=1，∠ABC=30°， 切线 PA 交 OC 延长线于点 P，则 PA 的长为（ ） A．2 B． 3 C． 2 D． 1 2 【答案】B 【解析】 【分析】 连接 OA，由圆周角定理可求出∠AOC=60°，再根据∠AOC 的正切即可求出 PA 的值. 【详解】 连接 OA， ∵∠ABC=30°， ∴∠AOC=60°， ∵PA 是圆的切线， ∴∠PAO=90°， ∵tan∠AOC = PA OA , ∴PA= tan60°×1= 3 . 故选 B. 【点睛】 本题考查了圆周角定理、切线的性质及锐角三角函数的知识，根据圆周角定理可求出 ∠AOC=60°是解答本题的关键. 7．（2019·湖南中考真题）如图，边长为 2 3 的等边 ABC 的内切圆的半径为( ) A．1 B． 3 C．2 D． 2 3 【答案】A 【解析】 【分析】 连接 AO、CO，CO 的延长线交 AB 于 H，如图，利用内心的性质得 CH 平分∠BCA，AO 平分∠BAC，再根据等边三角形的性质得∠CAB=60°，CH⊥AB，则∠OAH=30°， AH=BH= 1 2 AB=3，然后利用正切的定义计算出 OH 即可． 【详解】 设 ABC 的内心为 O，连接 AO、BO，CO 的延长线交 AB 于 H，如图， ∵ ABC 为等边三角形， ∴CH 平分 BCA ，AO 平分 BAC ，∵ ABC 为等边三角形， ∴ 60CAB   ，CH AB ， ∴ 30OAH   ， 1 32AH BH AB   ， 在 Rt AOH 中，∵ OHtan tan30AHOAH    ， ∴ 3 3 13OH    ， 即 ABC 内切圆的半径为 1． 故选 A． 【点睛】 本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与 三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等边三角形的性质． 8．（2019·山东中考真题）如图,O 的直径 AB=2,点 D 在 AB 的延长线上,DC 与 O 相切于点 C,连接 AC.若∠A=30°,则 CD 长为( ) A． 1 3 B． 3 3 C． 2 3 3 D． 3 【答案】D 【解析】 【分析】 先连接 BC，OC，由于 AB 是直径，可知∠BCA=90°，而∠A=30°，易求∠CBA，又 DC 是切线，利用弦切角定理可知∠DCB=∠A=30°，再利用三角形外角性质可求∠D，再由切线 的性质可得∠BCD=∠A=30°，∠OCD=90°，易得 OD，由勾股定理可得 CD． 【详解】 如图所示，连接 BC，OC， ∵AB 是直径, ∴∠BCA=90°， 又∵∠A=30°， ∴∠CBA=90°−30°=60°， ∵DC 是切线， ∴∠BCD=∠A=30°,∠OCD=90°， ∴∠D=∠CBA−∠BCD=60°−30°=30°， ∵AB=2， ∴OC=1， ∴OD=2， ∴CD= 2 2 2 22 1 3OD OC    ， 故选 D. 【点睛】 考核知识点：切线性质定理.作好辅助线是关键. 9．（2019·重庆中考真题）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，若 40C   ， 则 BÐ 的度数为（ ） A． 60 B．50 C． 40 D．30 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意可得，根据直角三角形两锐角互余可求∠ABC＝50°． 【详解】 解：∵AC 是⊙O 的切线， ∴ AB AC ，且 40C   ， ∴ 50ABC   ， 故选：B． 【点睛】 本题考查了切线的性质，直角三角形两锐角互余，熟练运用切线的性质是本题的关键． 10．（2019·云南中考真题）如图，△ABC 的内切圆⊙O 与 BC、CA、AB 分别相切于点 D、 E、F，且 AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分(即四边形 AEOF)的面积是( ) A．4 B．6.25 C．7.5 D．9 【答案】A 【解析】 【分析】 先利用勾股定理判断△ABC 为直角三角形，且∠BAC=90°，继而证明四边形 AEOF 为正方 形，设⊙O 的半径为 r，利用面积法求出 r 的值即可求得答案. 【详解】 ∵AB=5，BC=13，CA=12， ∴AB2+AC2=BC2， ∴△ABC 为直角三角形，且∠BAC=90°， ∵⊙O 为△ABC 内切圆， ∴∠AFO=∠AEO=90°，且 AE=AF， ∴四边形 AEOF 为正方形， 设⊙O 的半径为 r， ∴OE=OF=r， ∴S 四边形 AEOF=r²， 连接 AO，BO，CO， ∴S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC， ∴ 1 1( )2 2AB AC BC r AB AC    ， ∴r=2， ∴S 四边形 AEOF=r²=4， 故选 A. 【点睛】 本题考查了三角形的内切圆，勾股定理的逆定理，正方形判定与性质，面积法等，正确把握相 关知识是解题的关键. 11．（2019·湖北中考真题）如图， AD 是圆O的直径， BC 是弦，四边形OBCD是平行四边 形， AC 与OB 相交于点 P ，下列结论错误的是（ ） A． 2AP OP B． 2CD OP C．OB AC D． AC 平分OB 【答案】A 【解析】 【分析】 利用圆周角定理得到∠ACD＝90°，再根据平行四边形的性质得到 CD∥OB，CD＝0B，则 可求出∠A＝30°，在 Rt△AOP 中利用含 30 度的直角三角形三边的关系，可对 A 选项进行 判断；利用 OP∥CD，CD⊥AC 可对 C 选项进行判断；利用垂径可判断 OP 为△ACD 的中 位线，则 CD＝20P，原式可対 B 选项进行判断；同时得到 OB＝2OP，则可对 D 选项进行判 断. 【详解】 解：∵ AD 为直径， ∴ 90ACD   ， ∵四边形OBCD为平行四边形， ∴ / /CD OB ，CD OB ， 在 Rt ACD 中， 1sin 2 CDA AD   ， ∴ 30A   ， 在 Rt AOP 中， 3AP OP ，所以 A 选项的结论错误； ∵ / /OP CD ，CD AC ， ∴OP AC ，所以 C 选项的结论正确； ∴ AP CP ， ∴OP 为 ACD 的中位线， ∴ 2CD OP ，所以 B 选项的结论正确； ∴ 2OB OP ， ∴ AC 平分OB ，所以 D 选项的结论正确． 故选：A． 【点睛】 此题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对 的圆心角的一半.推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.也 考查了垂径定理和平行四边形的性质. 12．（2019·甘肃中考真题）如图，四边形 ABCD是菱形， O 经过点 A、C 、 D ，与 BC 相 交于点 E ，连接 AC 、 AE ．若 80D   ，则 EAC 的度数为( ) A． 20 B． 25 C．30° D．35 【答案】C 【解析】 【分析】 由菱形的性质求出∠ACB=50°，由边形 AECD是圆内接四边形可求出∠AEB=80°，然后利 用三角形外角的性质即可求出 EAC 的度数. 【详解】 ∵四边形 ABCD是菱形， 80D   ， ∴  1 1 180 502 2ACB DCB D        ， ∵四边形 AECD是圆内接四边形， ∴ 80AEB D    ， ∴ 30EAC AEB ACE       ， 故选：C． 【点睛】 本题考查了菱形的性质，圆内接四边形的性质，三角形外角的性质. 圆内接四边形的性：①圆 内接四边形的对角互补，②圆内接四边形的外角等于它的内对角，③圆内接四边形对边乘积的 和，等于对角线的乘积. 13．（2019·四川中考真题）如图，等腰 ABC 的内切圆⊙O与 AB ，BC ，CA 分别相切于点 D ， E ， F ，且 5AB AC  ， 6BC  ，则 DE 的长是( ) A． 3 10 10 B． 3 10 5 C． 3 5 5 D． 6 5 5 【答案】D 【解析】 【分析】 如图，连接OA、OE 、OB ，OB 交 DE 于 H ，先证明点 A、O、 E 共线，即 AE BC ，从而 可得 3BE CE  ，在 Rt ABE 中，利用勾股定理求出 AE 长，再由切线长定理求得 BD 长，进 而得 AD 长，设⊙O的半径为 r ，则OD OE r  ， 4AO r  ， 在 Rt AOD 中，利用勾股定理求得 3 2r  ，在 Rt BOE 中，求得 3 5= 2OB ，再证明 OB 垂直平 分 DE ，利用面积法可得 1 1 2 2HE OB OE BE   ，求得 HE 长即可求得答案. 【详解】 连接OA、OE 、OB ，OB 交 DE 于 H ，如图， 等腰 ABC 的内切圆⊙O与 AB ， BC ，CA 分别相切于点 D ， E ， F OA 平分 BAC ， OE BC ， OD AB ， BE BD ， AB AC ， AO BC  ， 点 A、O、 E 共线， 即 AE BC ， 3BE CE   ， 在 Rt ABE 中， 2 25 3 4AE    ， 3BD BE  ， 2AD  ， 设⊙O的半径为 r ，则OD OE r  ， 4AO r  ， 在 Rt AOD 中， 2 2 22 (4 )r r   ，解得 3 2r  ， 在 Rt BOE 中， 2 23 3 53 ( =2 2OB   ） ， BE BD ， OE OD= ， OB 垂直平分 DE ， DH EH  ，OB DE ， 1 1 2 2HE OB OE BE   ， 33 3 52 53 5 2 OE BEHE OB     ， 6 52 5DE EH   ， 故选 D． 【点睛】 本题考查了三角形的内切圆，三角形的内心，等腰三角形的性质，勾股定理，面积法等，正确 添加辅助线，灵活运用相关知识是解题的关键. 14．（2019·广西中考真题）如图，在 ABC 中，O是 AB 边上的点，以O为圆心，OB 为半径 的 O 与 AC 相切于点 D ， BD 平分 ABC ， 3AD OD ， 12AB  ，CD 的长是（ ） A． 2 3 B．2 C．3 3 D． 4 3 【答案】A 【解析】 【分析】 由切线的性质得出 AC OD ，求出 30A ＝ ，证出 ODB CBD ＝ ，得出 //OD BC ，得出 90C ADO  ＝ ＝ ，由直角三角形的性质得出 160 6 3 6 32ABC BC AB AC BC ＝ ， ＝ ＝ ， ＝ ＝ ， 得出 30CBD ＝ ，再由直角三角形的性质即可得出结果． 【详解】 解：∵ O 与 AC 相切于点 D， 90 3 3 3 30 / / 90 160 6 3 6 32 30 3 3 6 2 33 3 AC OD ADO AD OD ODtanA AD A BD ABC OBD CBD OB OD OBD ODB ODB CBD OD BC C ADO ABC BC AB AC BC CBD CD BC                            ， ＝ ， ＝ ， ＝ ＝ ， ＝ ， 平分 ， ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ， ， ＝ ＝ ， ＝ ， ＝ ＝ ， ＝ ＝ ， ＝ ， ＝ ＝ ＝ ； 故选 A． 【点睛】 本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、锐 角三角函数的定义等知识，熟练掌握圆的切线和直角三角形的性质，证出 / /OD BC 是解题的 关键． 15．（2019·湖北中考真题）如图， AB 是 O 的直径， M 、 N 是弧 AB （异于 A、 B ）上两 点，C 是弧 MN 上一动点， ACB 的角平分线交 O 于点 D ， BAC 的平分线交CD 于点 E ．当 点C 从点 M 运动到点 N 时，则C 、 E 两点的运动路径长的比是（ ） A． 2 B． 2  C． 3 2 D． 5 2 【答案】A 【解析】 【分析】 连接 BE，由题意可得点 E 是△ABC 的内心，由此可得∠AEB＝135°，为定值，确定出点 E 的运动轨迹是是弓形 AB 上的圆弧，此圆弧所在圆的圆心在 AB 的中垂线上，根据题意过圆心 O 作直径 CD，则 CD⊥AB，在 CD 的延长线上，作 DF＝DA，则可判定 A、E、B、F 四点共 圆，继而得出 DE＝DA＝DF，点 D 为弓形 AB 所在圆的圆心，设⊙O 的半径为 R，求出点 C 的运动路径长为 R ，DA＝ 2 R，进而求出点 E 的运动路径为弧 AEB，弧长为 2 2 R ，即可 求得答案. 【详解】 连结 BE， ∵点 E 是∠ACB 与∠CAB 的交点， ∴点 E 是△ABC 的内心， ∴BE 平分∠ABC， ∵AB 为直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠AEB＝180°－ 1 2 (∠CAB+∠CBA)＝135°，为定值， AD BD ， ∴点 E 的轨迹是弓形 AB 上的圆弧， ∴此圆弧的圆心一定在弦 AB 的中垂线上， ∵ AD BD ， ∴AD=BD， 如下图，过圆心 O 作直径 CD，则 CD⊥AB， ∠BDO＝∠ADO＝45°， 在 CD 的延长线上，作 DF＝DA， 则∠AFB＝45°， 即∠AFB+∠AEB＝180°， ∴A、E、B、F 四点共圆， ∴∠DAE＝∠DEA＝67.5°， ∴DE＝DA＝DF， ∴点 D 为弓形 AB 所在圆的圆心， 设⊙O 的半径为 R， 则点 C 的运动路径长为： R ， DA＝ 2 R， 点 E 的运动路径为弧 AEB，弧长为： 90 2 2 180 2 R R   ， C、E 两点的运动路径长比为： 2 2 2 R R    ， 故选 A. 【点睛】 本题考查了点的运动路径，涉及了三角形的内心，圆周角定理，四点共圆，弧长公式等，综合 性较强，正确分析出点 E 运动的路径是解题的关键. 16．（2019·广西中考真题）如图，在 Rt ABC 中， 90 C ， 4AC  ， 3BC  ，点 O 是 AB 的三等分点，半圆 O 与 AC 相切，M，N 分别是 BC 与半圆弧上的动点，则 MN 的最小值和 最大值之和是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【解析】 【分析】 设⊙O 与 AC 相切于点 D，连接 OD，作OP BC 垂足为 P 交⊙O 于 F，此时垂线段 OP 最短， PF 最小值为OP OF ，当 N 在 AB 边上时，M 与 B 重合时，MN 经过圆心，经过圆心的弦最 长，根据图形与圆的性质即可求解. 【详解】 如图，设⊙O 与 AC 相切于点 D，连接 OD，作OP BC 垂足为 P 交⊙O 于 F， 此时垂线段 OP 最短，PF 最小值为OP OF ， ∵ 4AC  ， 3BC  ， ∴ 5AB  ∵ 90OPB   ， ∴OP AC ∵点 O 是 AB 的三等分点， ∴ 2 1053 3OB    ， 2 3 OP OB AC AB   ， ∴ 8 3OP  ， ∵⊙O 与 AC 相切于点 D， ∴OD AC ， ∴OD BC‖ ， ∴ 1 3 OD OA BC AB   ， ∴ 1OD  ， ∴MN 最小值为 8 513 3OP OF    ， 如图，当 N 在 AB 边上时，M 与 B 重合时，MN 经过圆心，经过圆心的弦最长， MN 最大值 10 1313 3    ， 5 13+ =63 3 , ∴MN 长的最大值与最小值的和是 6． 故选 B． 【点睛】 此题主要考查圆与三角形的性质，解题的关键是熟知圆的性质及直角三角形的性质. 17．（2019·四川中考真题）如图， EOF 的顶点 O 是边长为 2 的等边 ABC 的重心， EOF 的两边与 ABC 的边交于 E，F， 120EOF   ，则 EOF 与 ABC 的边所围成阴影部分的面积 是（ ） A． 3 2 B． 2 3 5 C． 3 3 D． 3 4 【答案】C 【解析】 【分析】 连接OB 、OC ，过点 O 作ON BC ，垂足为 N，由点 O 是等边三角形 ABC 的内心可以得到 30OBC OCB     ，结合条件 2BC  即可求出 OBC 的面积，由 EOF BOC   ，从而得 到 EOB FOC   ，进而可以证到 EOB FOC ≌ ，因而阴影部分面积等于 OBC 的面积． 【详解】 解：连接OB 、OC ，过点 O 作ON BC ，垂足为 N， ∵ ABC 为等边三角形， ∴ 60ABC ACB     ， ∵点 O 为 ABC 的内心 ∴ 1 2OBC OBA ABC     ， 1 2OCB ACB   ． ∴ 30OBA OBC OCB       ． ∴OB OC ． 120BOC   ， ∵ON BC ， 2BC  ， ∴ 1BN NC  ， ∴ 3 3tan · 13 3ON OBC BN     ， ∴ 1 3·2 3OBCS BC ON   ． ∵ 120EOF AOB     ， ∴ EOF BOF AOB BOF     ，即 EOB FOC   ． 在 EOB 和 FOC 中， OBE CF 30 OB C EOB FOC O O           ， ∴  EOB FOC ASA ≌ ． ∴ 3 3OBCS S 阴影 故选 C． 【点睛】 此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角函数的定义、全等三角形的判定与性 质、三角形的内心、三角形的内角和定理，有一定的综合性，作出辅助线构建全等三角形是解 题的关键． 二、填空题 18．（2019·海南中考真题）如图， O 与正五边形 ABCDE 的边 AB、DE 分别相切于点 B、 D，则劣弧 BD 所对的圆心角 BOD 的大小为_____度． 【答案】144 【解析】 【分析】 根据正多边形内角和公式可求出 E 、 D ，根据切线的性质可求出 .OAE 、 OCD ，从而可 求出 AOC ，然后根据圆弧长公式即可解决问题． 【详解】 解：五边形 ABCDE 是正五边形， (5 2) 180 1085E A        ． AB、DE 与 O 相切， 90OBA ODE     ， (5 2) 180 90 108 108 90 144BOD               ， 故答案为：144． 【点睛】 本题主要考查了切线的性质、正五边形的性质、多边形的内角和公式、熟练掌握切线的性质是 解决本题的关键． 19．（2019·浙江中考真题）如图，⊙O 分别切∠BAC 的两边 AB，AC 于点 E，F，点 P 在优 弧 EDF上．若∠BAC＝66°，则∠EPF 等于___________度． 【答案】57 【解析】 【分析】 连接 OE，OF，由切线的性质可得 OE⊥AB，OF⊥AC，由四边形内角和定理可求∠EOF＝ 114°，即可求∠EPF 的度数． 【详解】 解：连接 OE，OF， ∵⊙O 分别切∠BAC 的两边 AB，AC 于点 E，F ∴OE⊥AB，OF⊥AC 又∵∠BAC＝66° ∴∠EOF＝114° ∵∠EOF＝2∠EPF ∴∠EPF＝57° 故答案为 57. 【点睛】 本题考查了切线的性质，圆周角定理，四边形内角和定理，熟练运用切线的性质是本题的关键． 20．（2019·江苏中考真题）如图，半径为 3 的⊙O与边长为8 的等边三角形 ABC 的两边 AB 、 BC 都相切，连接OC ，则 tan OCB _____． 【答案】 3 5 【解析】 【分析】 连接OB ，作 OD BC^ 于 D ，根据切线长定理得出 1 302OBC OBA ABC       ，解直角三 角形求得 BD ，即可求CD ，然后解直角三角形OCD 即可求得 tan OCB 的值． 【详解】 连接OB ，作 OD BC^ 于 D ， ⊙O与等边三角形 ABC 的两边 AB 、 BC 都相切，  1 302OBC OBA ABC       ，  tan ODOBC BD   ，  3 3tan30 3 3 ODBD    ，  8 3 5CD BC BD     ，  3tan 5 ODOCB CD    ． 故答案为 3 5 ． 【点睛】 本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，解直角三角形等，作出辅助线构建直角三角形是 解题的关键． 21．（2019·湖北中考真题）如图， AB 为 O 的直径，C 为 O 上一点，过 B 点的切线交 AC 的延长线于点 D ， E 为弦 AC 的中点， 10AD  ， 6BD  ，若点 P 为直径 AB 上的一个动点， 连接 EP ，当 AEP 是直角三角形时， AP 的长为__________． 【答案】4 或 2.56． 【解析】 【分析】 根据勾股定理求出 AB，由△BCD∽△ABD 得到比例式求出 CD 的长，当 AEP 是直角三角形 时，分∠AEP=90°和∠APE=90°两种情况进行讨论,可求出 AP 长有 2 种情况. 【详解】 解：连接 BC 过 B 点的切线交 AC 的延长线于点 D ， AB BD  ， 2 2 2 210 6 8AB AD BD  ＝ ＝ ＝ ， 当 90AEP ＝ 时， AE EC ＝ ， EP 经过圆心O， 4AP AO ＝ ＝ ； 当 90APE ＝ 时，则 / /EP BD ， AP AE AB AD  ＝ ， ∵AB 是直径， ∴∠ACB＝90°. ∴∠BCD＝90°. ∵∠BCD ＝∠ABD，∠D 是公共角， ∴△BCD∽△ABD. ∴ BD CD AD BD  2DB CD AD ＝ ， 2 36 3.610 BDCD AD  ＝ ＝ ＝ ， 10 3.6 6.4AC ＝ ＝ ， 3.2AE ＝ ， 3.2 8 10 AP ＝ ， 2.56AP ＝ ． 综上 AP 的长为 4 或 2.56． 故答案为 4 或 2.56． 【点睛】 本题考查的是切线的性质和相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键. 22．（2019·四川中考真题）如图，在 Rt AOB 中， 4 2OA OB  ． O 的半径为 2，点 P 是 AB 边上的动点，过点 P 作 O 的一条切线 PQ (点Q为切点)，则线段 PQ 长的最小值为______． 【答案】 2 3 【解析】 【分析】 连接OQ ，根据勾股定理知 2 2 2PQ OP OQ  ，可得当OP AB 时，即线段 PQ 最短，然后由勾股 定理即可求得答案． 【详解】 连接OQ ． ∵ PQ 是 O 的切线， ∴OQ PQ ； ∴ 2 2 2PQ OP OQ  ， ∴当 PO AB 时，线段 OP 最短， ∴PQ 的长最短， ∵在 Rt AOB 中， 4 2OA OB  ， ∴ 2 8AB OA  ， ∴ 4OA OBOP AB   ， ∴ 2 2 2 3PQ OP OQ   . 故答案为： 2 3 ． 【点睛】 本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助 线的作法，得到 PO AB 时，线段 PQ 最短是关键． 23．（2019·江苏中考真题）直角三角形的两条直角边分别是 5 和 12，则它的内切圆半径为 _____． 【答案】2 【解析】 【分析】 先利用勾股定理计算出斜边的长，然后利用直角三角形的内切圆的半径为 2 a b c  （其中 a 、b 为直角边，c为斜边）求解． 【详解】 直角三角形的斜边 2 25 12 13   ， 所以它的内切圆半径 5 12 13 22    . 故答案为 2． 【点睛】 本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与 三角形顶点的连线平分这个内角；直角三角形的内切圆的半径为 2 a b c  （其中 a 、b 为直角 边，c为斜边）． 24．（2019·山东中考真题）如图，O 为 Rt△ABC 直角边 AC 上一点，以 OC 为半径的 ⊙O 与斜边 AB 相切于点 D，交 OA 于点 E，已知 BC= 3 ，AC=3．则图中阴影部分的面积是_____． 【答案】 6  ． 【解析】 【分析】 首先利用勾股定理求出 AB 的长，再证明 BD BC ，进而由 AD AB BD  可求出 AD 的长度； 利用特殊角的锐角三角函数可求出 A 的度数，则圆心角 DOA 的度数可求出，在直角三角形 ODA 中求出 OD 的长，最后利用扇形的面积公式即可求出阴影部分的面积． 【详解】 解：在 Rt ABC 中，∵ 3BC  ， 3AC  ． ∴ 2 2 2 3AB AC BC   ， ∵ BC OC ， ∴ BC 是圆的切线， ∵ O 与斜边 AB 相切于点 D ， ∴ BD BC ， ∴ 2 3 3 3AD AB BD     ； 在 Rt ABC 中，∵ 3 1sin 22 3 BCA AB    ， ∴ 30A  ， ∵ O 与斜边 AB 相切于点 D ， ∴ OD AB ， ∴ 90 60AOD A      ， ∵ tan tan30OD AAD   ， ∴ D 3 33 O  ， ∴ 1OD  ， ∴ 260 1 360 6S   阴影 ． 故答案是： 6  ． 【点睛】 本题考查了切线的性质定理、切线长定理以及勾股定理、解直角三角形的运用，熟记和圆有关 的各种性质定理是解题的关键． 25．（2019·广西中考真题）如图，PA、PB 是 O 的切线，A、B 为切点，∠OAB=38°，则 ∠P=____ ． 【答案】76． 【解析】 【分析】 由切线的性质得出 PA=PB，PA⊥OA，得出∠PAB=∠PBA，∠OAP=90°，由已知得出 ∠PBA=∠PAB=90°-∠OAB=52°，再由三角形内角和定理即可得出结果． 【详解】 解：∵ ,PA PB 是 O 的切线， ∴ ,PA PB PA OA  ， ∴ , 90PAB PBA OAP      ， ∴ 90 90 38 52PBA PAB OAB          ， ∴ 180 52 52 76P      ； 故答案为：76． 【点睛】 本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理；利用 切线的性质来解答问题时，解此类问题的一般思路是利用直角来解决问题． 26．（2019·江苏中考真题）如图，在△ABC 中，AC：BC：AB=5：12：13,⊙O 在△ABC 内自由移动，若⊙O 的半径为 1，且圆心 O 在△ABC 内所能到达的区域的面积为10 3 ，则△ABC 的周长为______. 【答案】25 【解析】 【分析】 如图，可知圆心 O 在△ABC 内所能到达的区域为△DEF 的边以及其内部，其中点 D 在∠BAC 的角平分线上，且到 AB、AC 边的距离为 1，点 E 在∠ACB 的角平分线上，且到 CA、CB 边 的距离为 1，点 F 在∠ABC 的角平分线上，且到 BA、BC 边的距离为 1，DH、EP 分别垂直于 AC，EM、FQ 分别垂直于 BC，DK、FN 分别垂直于 AB， 则有 AH=AK，CP=CM=EM=1，BN=BQ，四边形 EDPH、EFQM、DFNK 是矩形，△DEF 是 直角三角形且△DEF∽△ACB，继而根据已知可分别求出 DE、EF、DF 的长，再设 AH=AK=x， BN=BQ=y， 则有 AC =x+ 8 3 ，BC=5+y，AB= x+y+13 3 ，再根据 AC：BC：AB=5：12：13 列方程组可求出 x、y 的值，继而根据三角形的周长公式进行求解即可. 【详解】 如图，可知圆心 O 在△ABC 内所能到达的区域为△DEF 的边以及其内部，其中点 D 在∠BAC 的角平分线上，且到 AB、AC 边的距离为 1，点 E 在∠ACB 的角平分线上，且到 CA、CB 边 的距离为 1，点 F 在∠ABC 的角平分线上，且到 BA、BC 边的距离为 1，DH、EP 分别垂直于 AC，EM、FQ 分别垂直于 BC，DK、FN 分别垂直于 AB， 则有 AH=AK，CP=CM=EM=1，BN=BQ，四边形 EDPH、EFQM、DFNK 是矩形，△DEF 是 直角三角形且△DEF∽△ACB， 又∵AC：BC：AB=5：12：13， ∴DE：EF：DF=5：12：13， 又∵S△DEF= 1 2 DE•EF=10 3 ， ∴DE= 5 3 ，EF=4， ∴DF=13 3 ， ∴PH=DE= 5 3 ，MQ=EF=4，NK=DF=13 3 ， 设 AH=AK=x，BN=BQ=y， 则有 AC=AH+HP+CP=x+ 8 3 ，BC=CM+MQ+BQ=5+y，AB=AK+NK+BN=x+y+13 3 ， 又∵AC：BC：AB=5：12：13， ∴  8 : 5 5:123 8 13: 5:133 3 x y x x y                    ， 解得： 3 2 5 x y     ， ∴AC= 8 3 + 3 2 ，BC=10，AB=13 3 + 3 2 +5， ∴AC+BC+AB= 8 3 + 3 2 +10+13 3 + 3 2 +5=7+3+10+5=25， 故答案为 25. 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质，切线长定理，三角形的面积等知识，难度很大，正确画 出图形确定出点 O 的运动区域是解题的关键. 27．（2019·湖南中考真题）如图，AB 为⊙O 的直径，点 P 为 AB 延长线上的一点，过点 P 作⊙O 的切线 PE，切点为 M，过 A、B 两点分别作 PE 的垂线 AC、BD，垂足分别为 C、D， 连接 AM，则下列结论正确的是___________.(写出所有正确结论的序号) ①AM 平分∠CAB； ②AM2＝AC•AB； ③若 AB＝4，∠APE＝30°，则 BM 的长为 3  ； ④若 AC＝3，BD＝1，则有 CM＝DM＝ 3 . 【答案】①②④ 【解析】 【分析】 连接 OM，由切线的性质可得 OM⊥PC，继而得 OM∥AC，再根据平行线的性质以及等边对 等角即可求得∠CAM＝∠OAM，由此可判断①；通过证明△ACM∽△AMB，根据相似三角 形的对应边成比例可判断②；求出∠MOP＝60°，利用弧长公式求得 BM 的长可判断③；由 BD⊥PC，AC⊥PC，OM⊥PC，可得 BD∥AC//OM，继而可得 PB=OB=AO，PD=DM=CM， 进而有 OM=2BD＝2，在 Rt△PBD 中，PB=BO=OM=2，利用勾股定理求出 PD 的长，可得 CM＝DM＝DP＝ 3 ，由此可判断④. 【详解】 连接 OM， ∵PE 为⊙O 的切线， ∴OM⊥PC， ∵AC⊥PC， ∴OM∥AC， ∴∠CAM＝∠AMO， ∵OA＝OM， ∠OAM＝∠AMO， ∴∠CAM＝∠OAM，即 AM 平分∠CAB，故①正确； ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠AMB＝90°， ∵∠CAM＝∠MAB，∠ACM＝∠AMB， ∴△ACM∽△AMB， ∴ AC AM AM AB  ， ∴AM2＝AC•AB，故②正确； ∵∠APE＝30°， ∴∠MOP＝∠OMP﹣∠APE＝90°﹣30°＝60°， ∵AB＝4， ∴OB＝2， ∴ BM 的长为 60π 2 2 π180 3   ，故③错误； ∵BD⊥PC，AC⊥PC，OM⊥PC， ∴BD∥AC//OM， ∴△PBD∽△PAC， ∴ PB BD 1 PA AC 3   ， ∴PB＝ 1 3 PA， 又∵AO=BO，AO+BO=AB，AB+PB=PA， ∴PB=OB=AO， 又∵BD∥AC//OM， ∴PD=DM=CM， ∴OM=2BD＝2， 在 Rt△PBD 中，PB=BO=OM=2 ∴PD= 2 2PB BD = 3 ， ∴CM＝DM＝DP＝ 3 ，故④正确， 故答案为①②④. 【点睛】 本题考查了切线的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等， 综合性较强，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 三、解答题 28．（2019·江苏中考真题）如图， AB 为⊙O的直径，C 为⊙O上一点，D 为 BC 的中点．过 点 D 作直线 AC 的垂线，垂足为 E ，连接OD ． （1）求证： A DOB   ； （2） DE 与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2） DE 与⊙O相切，理由见解析. 【解析】 【分析】 (1)连接OC ，由 D 为 BC 的中点，得到CD BD ，根据圆周角定理即可得到结论； (2)根据平行线的判定定理得到 / /AE OD，根据平行线的性质得到OD DE 于是得到结论． 【详解】 (1)连接OC ， DQ 为 BC 的中点， ∴CD BD ， 1 2BOD BOC   ， 1 2BAC BOC   ， A DOB   ； (2) DE 与⊙O相切，理由如下： A DOB   ， / /AE OD ， ∴∠ODE+∠E=180°， DE AE ， ∴∠E=90°， ∴∠ODE=90°， OD DE  ， 又∵OD 是半径， DE 与⊙O相切． 【点睛】 本题考查了直线与圆的位置关系，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，熟练掌握切线的判定 定理是解题的关键． 29．（2019·湖北中考真题）如图， ABC 中， AB AC ，以 AC 为直径的⊙O交 BC 于点 D ， 点 E 为C 延长线上一点，且 1 2CDE BAC   ． （1）求证： DE 是⊙O的切线； （2）若 3 , 2AB BD CE  ，求⊙O的半径． 【答案】（1）见解析；（2）7 【解析】 【分析】 （1）根据圆周角定理得出 90ADC   ，按照等腰三角形的性质和已知的2 倍角关系，证明 ODE 为直角即可； （2）通过证得 ~CDE DAE  ，根据相似三角形的性质即可求得． 【详解】 （1）如图，连接 ,OD AD ， AC 是直径， 90ADC   ， AD BC  ， AB AC ， 1 2CAD BAD BAC     ， 1 2CDE BAC   ． CDE CAD   ， OA OD ， CAD ADO   ， 90ADO ODC     ， 90ODC CDE     90QDF   又 OD 是⊙O的半径 DE 是⊙O的切线； （2） ,AB AC AD BC  ， BD CD  ， 3AB BD ， 3AC DC  ， 设 DC x ，则 3AC x ， 2 2AC DC 2 2xAD    ， ,CDE CAD DEC AED      ， ~ CDE DAE ， CE DC DE DE AD AE    ，即 2 x DE DE 3x 22 2x    144 2, 3DE x   ， 3 14AC x   ， ⊙O的半径为 7 ． 【点睛】 本题考查了圆的切线的判定定理、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形相似的判定和性质， 解题的关键是作出辅助线构造直角三角形或等腰三角形． 30．（2019·辽宁中考真题）如图，M，N 是以 AB 为直径的⊙O 上的点，且 AN ＝ BN ，弦 MN 交 AB 于点 C，BM 平分∠ABD，MF⊥BD 于点 F． （1）求证：MF 是⊙O 的切线； （2）若 CN＝3，BN＝4，求 CM 的长． 【答案】（1）见解析；（2）CM＝ 7 3 . 【解析】 【分析】 （1）根据等腰三角形的性质和角平分线的定义证得∠OMB=∠MBF，得出 OM∥BF，即可证 得 OM⊥MF，即可证得结论； （2）由勾股定理可求 AB 的长，可得 AO，BO，ON 的长，由勾股定理可求 CO 的长，通过 证明△ACN∽△MCB，可得 AC CN CM BC  ，即可求 CM 的长． 【详解】 （1）连接 OM， ∵OM＝OB， ∴∠OMB＝∠OBM， ∵BM 平分∠ABD， ∴∠OBM＝∠MBF， ∴∠OMB＝∠MBF， ∴OM∥BF， ∵MF⊥BD， ∴OM⊥MF，即∠OMF＝90°， ∴MF 是⊙O 的切线； （2）如图，连接 AN ，ON  AN BN ， 4AN BN   ABQ 是直径， AN BN ， 90ANB   ，ON AB 2 2 4 2AB AN BN    2 2AO BO ON    2 2 9 8 1OC CN ON      2 2 1AC   ， 2 2 1BC   A NMB   ， ANC MBC   ACN MCB ∽  AC CN CM BC  AC BC CM CN  7 3 CM  7 3CM  【点睛】 此题考查切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题关键在于作辅助线和通过证 明△ACN∽△MCB 来求解. 31．（2019·甘肃中考真题）如图，在 Rt ABC 中， 90C  ＝ ，以 BC 为直径的⊙O交 AB 于点 D ，切线 DE 交 AC 于点 E ． （1）求证： A ADE ＝ ； （2）若 8 5AD DE＝ ， ＝ ，求 BC 的长． 【答案】（1）见解析；（2） 15 2BC  【解析】 【分析】 （1）只要证明∠A+∠B=90°，∠ADE+∠B=90°即可解决问题； （2）首先证明 AC=2DE=10，在 Rt△ADC 中，DC=6，设 BD=x，在 Rt△BDC 中，BC2=x2+62， 在 Rt△ABC 中，BC2=（x+8）2-102，可得 x2+62=（x+8）2-102，解方程即可解决问题． 【详解】 （1）证明：连接 OD ， DE 是切线， 90ODE  ＝ ， 90ADE BDO    ＝ ， 90ACB  ＝ ， 90A B    ＝ ， OD OB ＝ ， B BDO ＝ ， ADE A ＝ ． （2）解：连接CD ． ADE A  ＝ ， AE DE ＝ ， BC 是⊙O的直径， 90ACB  ＝ ， EC 是⊙O的切线， ED EC ＝ ， AE EC ＝ ， 5DE ＝ ， 2 10AC DE ＝ ＝ ， 在 Rt ADC 中， 6DC＝ ， 设 BD x＝ ，在 Rt BDC 中， 2 2 26BC x ＝ ，在 Rt ABC 中， 2 2 28 10BC x ＝（ ）﹣ ， 2 2 2 26 8 10x x  ＝（ ）﹣ ， 解得 9 2x  ， 2 2 9 156 2 2BC        【点睛】 本题考查切线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所 学知识解决问题，属于中考常考题型． 32．（2019·浙江中考真题）如图，在等腰 ABC 中，AB AC ，以 AC 为直径作 O 交 BC 于 点 D ，过点 D 作 DE AB ，垂足为 E . （1）求证： DE 是 O 的切线. （2）若 3DE  ， 30C   ，求 AD 的长. 【答案】（1）见解析；（2） AD 2 3  【解析】 【分析】 （1）连结OD ，根据等腰三角形性质和等量代换得 1 B   ，由垂直定义和三角形内角和定理 得 2 90B     ，等量代换得 2 1 90     ，由平角定义得 90DOE  ，从而可得证.（2） 连结 AD ，由圆周角定理得 90ADC   ，根据等腰三角形性质和三角形外角性质可得 60AOD  ，在 Rt DEB 中，由直角三角形性质得 2 3BD CD  ，在Rt ADC 中，由直角三 角形性质得 2OA OC  ，再由弧长公式计算即可求得答案. 【详解】 （1）证明：如图，连结 OD ． ∵OC OD ， AB AC ， ∴ 1 C   ， C B   ， ∴ 1 B   ， ∴ DE AB ， ∴ 2 90B     ， ∴ 2 1 90     ， ∴ 90ODE  ， ∴ DE 为 O 的切线． （2）解：连结 AD ，∵ AC 为 O 的直径． ∴ 90ADC   ． ∵ AB AC ， ∴ 30B C     ， BD CD ， ∴ 60AOD  ． ∵ 3DE  ， ∴ 2 3BD CD  ， ∴ 2OC  ， ∴ 60 22180 3AD     【点睛】 本题考查切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半 径），再证垂直即可． 33．（2019·湖南中考真题）如图，点 D 在以 AB 为直径的⊙O 上，AD 平分 BAC ，DC AC ， 过点 B 作⊙O 的切线交 AD 的延长线于点 E． (1)求证：直线 CD 是⊙O 的切线． (2)求证：CD BE AD DE   ． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）连接 OD，由角平分线的定义得到∠CAD=∠BAD，根据等腰三角形的性质得到 ∠BAD=∠ADO，求得∠CAD=∠ADO，根据平行线的性质得到 CD⊥OD，于是得到结论； （2）连接 BD，根据切线的性质得到∠ABE=∠BDE=90°，根据相似三角形的性质即可得到 结论． 【详解】 解：证明：(1)连接 OD， ∵AD 平分 BAC ， ∴ CAD BAD   ， ∵OA OD ， ∴ BAD ADO∠ ∠ ， ∴ CAD ADO   ， ∴ AC OD∥ ， ∵CD AC ， ∴CD OD ， ∴直线 CD 是⊙O 的切线； (2)连接 BD， ∵BE 是⊙O 的切线，AB 为⊙O 的直径， ∴ 90ABE BDE     ， ∵CD AC ， ∴ 90C BDE     ， ∵ CAD BAE DBE     ， ∴ ACD BDE ∽ ， ∴ CD AD DE BE  ， ∴CD BE AD DE   ． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的定义．圆周角定理，切线的判定和性质，正 确的作出辅助线是解题的关键． 34．（2019·江苏中考真题）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 与⊙O 交于点 F，弦 AD 平分 BAC ， DE AC ，垂足为 E． （1）试判断直线 DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若⊙O 的半径为 2， 60BAC   ，求线段 EF 的长． 【答案】（1）直线 DE 与⊙O 相切；（2） 1EF  . 【解析】 【分析】 （1）欲证明 DE 是⊙O 的切线，只要证明 90ODE   即可； （2）过 O 作OG AF 于 G，得到 2AF AG ，根据直角三角形的性质得到 1 12AG OA  ， 得到 2AF  ，推出四边形 AODF 是菱形，得到 DF OA∥ ， 2DF OA  ，于是得到结论． 【详解】 （1）直线 DE 与⊙O 相切， 连结 OD． ∵AD 平分 BAC ， ∴ OAD CAD   ， ∵OA OD ， ∴ OAD ODA   ， ∴ ODA CAD   ， ∴OD AC ， ∵ DE AC ，即 90AED ∠ ， ∴ 90ODE   ，即 DE OD ， ∴DE 是⊙O 的切线； （2）过 O 作OG AF 于 G， ∵ 2AF AG ， ∴ 60BAC   ， 2OA  ， ∴ 1 12AG OA  ， ∴ 2AF  ， ∴ AF OD ， ∴四边形 AODF 是菱形， ∵ DF OA∥ ， 2DF OA  ， ∴ 60EFD BAC     ， ∴ 1 12EF DF  ． 【点睛】 本题考查切线的判定和性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线， 属于中考常考题型． 35．（2019·湖北中考真题）如图，在 Rt ABC 中， 90ACB D ＝ ， 为 AB 的中点，以CD 为直 径 O 的分别交 AC BC， 于点 E F， 两点，过点 F 作 FG AB 于点G .  1 试判断 FG 与 O 的位置关系，并说明理由．  2 若 3 2.5AC CD＝ ， ＝ ，求 FG 的长． 【答案】（1） FG O与 相切，理由见解析；（2） 6 .5FG  【解析】 【分析】  1 如图，连接OF ，根据直角三角形的性质得到CD BD＝ ，得到 DBC DCB ＝ ，根据等腰三 角形的性质得到 OFC OCF ＝ ，得到 OFC DBC ＝ ，推出 90OFG ＝ ，于是得到结论；  2 连接 DF ，根据勾股定理得到 2 2 4BC AB AC   ，根据圆周角定理得到 90DFC ＝ ，根 据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】 （1）相 FG O与 切， 理由：如图，连接OF ， 90ACB D  ＝ ， 为 AB 的中点， CD BD ＝ ， DBC DCB ＝ ， OF OC ＝ ， OFC OCF ＝ ， OFC DBC ＝ ， / /OF DB ， 180OFG DGF   ＝ ， FG AB ， 90DGF ＝ ， 90OFG ＝ ， FG 与 O 相切；  2 连接 DF ， 2.5CD ＝ ， 2 5AB CD ＝ ＝ ， 2 2 4BC AB AC   CD 为 O 的直径， 90DFC ＝ ， FD BC  ， DB DC ＝ ， 1 22BF BC   sin AC FGABC AB FB    即 3 5 2 FG ， 6 .5FG  【点睛】 本题考查了直线与圆的位置关系，平行线的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，正确的作 出辅助线是解题的关键． 36．（2019·山东中考真题）如图，已知 AB 是⊙O 的直径，CB⊥AB，D 为圆上一点，且 AD∥OC，连接 CD，AC，BD，AC 与 BD 交于点 M． （1）求证：CD 为⊙O 的切线； （2）若 CD＝ 2 AD，求 CM MA 的值． 【答案】（1）见解析；（2） 33 1= 4 CM AM  . 【解析】 【分析】 （1）连接 OD，设 OC 交 BD 于 K．想办法证明△ODC≌△OBC（SSS）即可解决问题． （2）由 CD= 2 AD，可以假设 AD=a，CD= 2 a，设 KC=b．由△CDK∽△COD，推出 CD OC ＝ CK CD ，推出 2 1 2 a a b ＝ 2 b a 整理得：2（ b a ）2+（ b a ）-4=0，解得 b a ＝ 33 1 4  ． 【详解】 （1）证明：连接 OD，设 OC 交 BD 于 K． ∵AB 是直径， ∴∠ADB＝90°， ∴AD⊥BD， ∵OC∥AD， ∴OC⊥BD， ∴DK＝KB， ∴CD＝CB， ∵OD＝OB，OC＝OC，CD＝CB， ∴△ODC≌△OBC（SSS）， ∴∠ODC＝∠OBC， ∵CB⊥AB， ∴∠OBC＝90°， ∴∠ODC＝90°， ∴OD⊥CD， ∴CD 是⊙O 的切线． （2）∵CD＝ 2 AD， ∴可以假设 AD＝a，CD＝ 2 a，设 KC＝b． ∵DK＝KB，AO＝OB， ∴OK＝ 1 2 AD＝ 1 2 a， ∵∠DCK＝∠DCO，∠CKD＝∠CDO＝90°， ∴△CDK∽△COD， ∴ CD OC ＝ CK CD ， ∴ 2 1 2 a a b ＝ 2 b a 整理得：2（ b a ）2+（ b a ）﹣4＝0， 解得 b a ＝ 33 1 4  或 33 1 4   （舍弃）， ∵CK∥AD， ∴ CM AM ＝ CK AD ＝ b a ＝ 33 1 4  ． 【点睛】 本题考查切线的判定，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等 知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，题目有一定难度． 37．（2019·贵州中考真题）如图，点 P 在⊙O 外，PC 是⊙O 的切线，C 为切点，直线 PO 与⊙O 相交于点 A、B. （1）若∠A＝30°，求证：PA＝3PB； （2）小明发现，∠A 在一定范围内变化时，始终有∠BCP＝ 1 2 （90°﹣∠P）成立.请你写出 推理过程. 【答案】（1）见解析；（2）推理过程见解析. 【解析】 【分析】 (1)由直径所对的圆周角是直角，以及∠A=30°可得∠ABC=60°，从而可判断△OBC 是等边 三角形，得到∠COB=60°，再结合切线的性质可求得∠P＝30°，继而可推得 PB=OB，再根 据 AB=2OB，即可确定 AP 与 BP 的数量关系； (2)连接 OC，由圆周角定理以及切线的性质结合等角对等边可以推导得出∠BCP＝∠A，再由 三角形内角和定理即可确定出两角的关系. 【详解】 (1)连接 OC， ∵AB 是直径， ∴∠ACB＝90°， 又∵∠A=30°， ∴∠ABC=90°-30°=60°， ∵OB=OC， ∴△OBC 是等边三角形， ∴OB=BC=OC，∠COB=60°， ∵PC 是⊙O 的切线，OC 是半径， ∴∠OCP=90°， ∴∠P＝90°-∠BOC＝30°， ∴PO=2OC， ∴PB=OB， ∵AB=2OB， ∴AP=AB+PB=3PB； (2)如图，连接 OC， ∵AB 是直径， ∴∠ACB＝90°，即∠ACO+∠BCO=90°， ∵PC 是⊙O 的切线，OC 是半径， ∴∠OCP=90°，即∠BCP+∠BCO=90°， ∴∠BCP=∠ACO， ∵OA=OC， ∴∠A=∠ACO， ∴∠BCP＝∠A， ∵∠A+∠P+∠ACB+∠BCP＝180°，且∠ACB＝90°， ∴2∠BCP＝180°﹣∠P， ∴∠BCP＝ 1 2 (90°﹣∠P). 【点睛】 本题考查了切线的性质，等边三角形的判定与性质，含 30 度角的直角三角形的性质等知识， 正确添加辅助线，灵活运用相关知识是解题的关键. 38．（2019·辽宁中考真题）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，点 D 在 AB 上，以 AD 为直径的⊙O 与边 BC 相切于点 E，与边 AC 相交于点 G，且 AG ＝ EG ，连接 GO 并延长交 ⊙O 于点 F，连接 BF． （1）求证：①AO＝AG．②BF 是⊙O 的切线． （2）若 BD＝6，求图形中阴影部分的面积． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）S 阴影＝ 27 3 62  ． 【解析】 【分析】 （1）①先利用切线的性质判断出∠ACB＝∠OEB，再用平行线结合弧相等判断出∠AOG＝ ∠AGO，即可得出结论； ②先判断出△AOG 是等边三角形，进而得出∠BOF＝∠AOG＝60°，进而判断出∠EOB＝ 60°，得出△OFB≌△OEB，得出∠OFB＝90°，即可得出结论； （2）先判断出∠ABC＝30°，进而得出 OB＝2BE，建立方程 6+r＝2r，继而求出 AG＝6， AB＝18，AC＝9，CG＝3，再判断出△OGE 是等边三角形，得出 GE＝OE＝6，进而利用根 据勾股定理求出 CE＝3 3 ，即可得出结论． 【详解】 解：（1）证明：①如图 1，连接 OE， ∵⊙O 与 BC 相切于点 E， ∴∠OEB＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACB＝∠OEB， ∴AC∥OE， ∴∠GOE＝∠AGO， ∵ AG ＝ EG ， ∴∠AOG＝∠GOE， ∴∠AOG＝∠AGO， ∴AO＝AG； ②由①知，AO＝AG， ∵AO＝OG， ∴∠AO＝OG＝AG， ∴△AOG 是等边三角形， ∴∠AGO＝∠AOG＝∠A＝60°， ∴∠BOF＝∠AOG＝60°， 由①知，∠GOE＝∠AOG＝60°， ∴∠EOB＝180°﹣∠AOG﹣∠GOE＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴∠FOB＝∠EOB， ∵OF＝OE，OB＝OB， ∴△OFB≌△OEB（SAS）， ∴∠OFB＝∠OEB＝90°， ∴OF⊥BF， ∵OF 是⊙O 的半径， ∴BF 是⊙O 的切线； （2）如图 2，连接 GE， ∵∠A＝60°， ∴∠ABC＝90°﹣∠A＝30°， ∴OB＝2BE， 设⊙O 的半径为 r， ∵OB＝OD+BD， ∴6+r＝2r， ∴r＝6， ∴AG＝OA＝6，AB＝2r+BD＝18， ∴AC＝ 1 2 AB＝9，∴CG＝AC﹣AG＝3， 由（1）知，∠EOB＝60°， ∵OG＝OE， ∴△OGE 是等边三角形， ∴GE＝OE＝6， 根据勾股定理得，CE＝ 2 2 2 26 3 3 3GE CG    ， ∴S 阴影＝S 梯形 GCEO﹣S 扇形 OGE＝ 1 2 （6+3）× 260 6 27 33 3 6360 2     ． 【点睛】 此题是圆的综合题，主要考查了切线的性质和判定，勾股定理，含 30 度角的直角三角形的性 质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，梯形和扇形的面积公式，判断出 ⊙O 的半径是解本题的关键． 39．（2019·山东中考真题）如图，在 ABC△ 中，AB AC ，以 AB 为直径的 O 分别与 ,BC AC 交于点 ,D E ，过点 D 作 DF AC ，垂足为点 F ． （1）求证：直线 DF 是 O 的切线； （2）求证： 2 4BC CF AC ； （3）若 O 的半径为 4， 15CDF  ，求阴影部分的面积． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）16 4 33   【解析】 【分析】 （1）连接 OD ，再根据 AB AC 可得 ABC C   ，而OB OD 可得 ODB ABC C     ，再 结合 DF AC ，便可证明 90ODF   ，即直线 DF 是 O 的切线. （2）连接 AD ，再证明 CFD CDA∽ ，利用相似比则可证明 2 4BC CF AC （3）根据阴影部分的面积由扇形 AOE 的面积减去三角形 AOE 的面积计算可得. 【详解】 解：（1）如图所示，连接 OD ， ∵ AB AC ， ∴ ABC C   ， 而OB OD ， ∴ ODB ABC C     ， ∵ DF AC ， ∴ 90CDF C     ， ∴ 90CDF ODB     ， ∴ 90ODF   ， ∴直线 DF 是 O 的切线； （2）连接 AD ，则 AD BC ，则 AB AC ， 则 1 2DB DC BC  ， ∵ 90CDF C     ， 90C DAC    ， ∴ CDF DCA   ， 而 90DFC ADC     ， ∴ CFD CDA∽ ， ∴ 2 •CD CF AC ，即 2 4BC CF AC ； （3）连接OE ， ∵ 15 , 75CDF C      ， ∴ 30OAE OEA     ， ∴ 120AOE  ， 1 1sin 2 cos sin 4 32 2OAES AE OE OEA OE OEA OE OEA           ， 2120 164 4 3 4 3360 3OAES OAES S          阴影部分 扇形 【点睛】 本题主要考查圆的综合性知识，难度系数不大，应该熟练掌握，关键在于做辅助线，这是这类 题的难点. 40．（2019·湖南中考真题）如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，且 BC 为⊙O 的直径，在 劣弧 AC 上取一点 D，使CD AB ，将△ADC 沿 AD 对折，得到△ADE，连接 CE． （1）求证：CE 是⊙O 的切线； （2）若 CE 3 C D，劣弧CD 的弧长为π，求⊙O 的半径． 【答案】（1）见解析；（2）圆的半径为 3． 【解析】 【分析】 （1）在△ACE 中，根据三角形内角和为 180°，则 2α+2β+2γ＝180°，即可求解； （2）证明四边形 AMCN 为矩形， 1 3CN CE x AM2 2    ，而 AB=x，则 sin∠ABM= 3 2 ，即∠ABM=60°，即可求解． 【详解】 （1）∵CD AB ，∴∠CAD＝∠BCA＝α＝∠EAD， 设：∠DCA＝∠DEA＝β，∠DCE＝∠DEC＝γ， 则△ACE 中，根据三角形内角和为 180°， ∴2α+2β+2γ＝180°， ∴α+β+γ＝90°， ∴CE 是⊙O 的切线； （2）过点 A 作 AM⊥BC，延长 AD 交 CE 于点 N， 则 DN⊥CE，∴四边形 AMCN 为矩形， 设：AB＝CD＝x，则 CE 3 x， 则 CN 1 2  CE 3 2  x＝AM，而 AB＝x， 则 sin∠ABM 3 2  ，∴∠ABM＝60°， ∴△OAB 为等边三角形，即∠AOB＝60°， 60 360CD AB    2πr＝π， 解得：r＝3， 故圆的半径为 3． 【点睛】 本题主要考查的是圆切线的基本性质，涉及到弧长的计算、三角形内角和知识等，综合性较强， 难度较大．