上海市中考数学试题分类解析汇编专题5函数的图像与性质 21页

‎2002年-2011年上海市中考数学试题分类解析汇编 专题5：函数的图像与性质 锦元数学工作室 编辑 一、 选择题 ‎1. （上海市2004年3分）在函数的图象上有三点、，已知，则下列各式中，正确的是【 】‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎【答案】 C。‎ ‎【考点】反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质。‎ ‎【分析】根据题意画出图形，再根据函数的增减性解答即可：‎ ‎∵＞0，函数图象如图，‎ ‎∴图象在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小。‎ ‎∵，∴。‎ 故选C。‎ ‎2.（上海市2006年4分）二次函数图像的顶点坐标是【 】‎ ‎（A.） （－1，3） （B）. （1，3） （C）.（－1，－3） （ D）. （1，－3）‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】二次函数的性质。‎ ‎【分析】根据二次函数的顶点式的特点，直接写出顶点坐标：（1，3）。故选B。‎ ‎3.（上海市2007年4分）如果一次函数的图象经过第一象限，且与轴负半轴相交，那么【 】A．， B．， C．， D．，‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】一次函数图象与系数的关系。‎ ‎【分析】一次函数的图象有四种情况：‎ ‎①当，时，函数的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大；‎ ‎②当，时，函数的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大；‎ ‎③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减小；‎ ‎④当，时，函数的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小。‎ ‎ 由题意得，函数的图象经过第一、三、四象限，，。故选B。‎ ‎4.（上海市2008年4分）在平面直角坐标系中，直线经过【 】‎ A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 ‎【答案】A。‎ ‎【考点】一次函数图象与系数的关系。‎ ‎【分析】一次函数的图象有四种情况：‎ ‎①当，时，函数的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大；‎ ‎②当，时，函数的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大；‎ ‎③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减小；‎ ‎④当，时，函数的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小。‎ ‎ 由题意得，函数的，，故它的图象经过第一、二、三象限。故选A。‎ ‎5.（上海市2008年Ⅰ组4分）在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点的个数是【 】‎ A．3 B．‎2 ‎ C．1 D．0‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】抛物线与轴的交点。‎ ‎【分析】抛物线与轴的交点的个数即方程不相等实数根的个数，有2个，故选B。‎ ‎6.（上海市2009年4分）抛物线（是常数）的顶点坐标是【 】‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】抛物线的性质。‎ ‎【分析】因为抛物线是顶点式，根据顶点式的坐标特点，它的顶点坐标是。‎ 故选B。‎ ‎7.（上海市2010年4分）在平面直角坐标系中，反比例函数 图像的两支分别在【 】‎ A.第一、三象限 B.第二、四象限 C.第一、二象限 D.第三、四象限 ‎【答案】B。‎ ‎【考点】反比例函数的性质。‎ ‎【分析】根据反比例函数的性质：当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限：‎ ‎ ∵反比例函数的系数，‎ ‎ ∴图象两个分支分别位于第二、四象限。‎ 故选B。‎ ‎8.（上海市2011年4分）抛物线＝－(＋2)2－3的顶点坐标是【 】‎ ‎(A) （2，－3）； (B) （－2，3）； (C) （2，3）； (D) （－2，－3） ．‎ ‎【答案】Ｄ。‎ ‎【考点】二次函数的顶点坐标。‎ ‎【分析】由二次函数的顶点式表达式＝－(＋2)2－3直接得到其顶点坐标是（－2，－3）。故选Ｄ。‎ 二、填空题 ‎1. （上海市2002年2分）抛物线的顶点坐标是 ▲ ．‎ ‎【答案】（3，－6）。‎ ‎【考点】二次函数的性质 ‎【分析】把抛物线解析式的一般式配方为顶点式，再根据顶点式直接写出顶点坐标：‎ ‎∵，∴抛物线的顶点坐标是（3，－6）。‎ ‎2.（上海市2003年2分）在平面直角坐标系内，从反比例函数的图象上的一点分别作x、y轴的垂线段，与x、y轴所围成的矩形面积是12，那么该函数解析式是 ▲ 。‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】反比例函数系数k的几何意义。‎ ‎【分析】因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S=|k|：‎ 根据题意，知|k|=12，k=±12，‎ 又∵k＞0，∴k=12。‎ ‎∴该函数关系式为：。‎ ‎3.（上海市2005年3分）点A(2，4)在正比例函数的图象上，这个正比例函数的解析式是 ▲ ‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】待定系数法求正比例函数解析式，曲线上的点与坐标的关系。‎ ‎【分析】设这个正比例函数的解析式是，因为点A（2，4）在该正比例函数的图象上，所以有4=2 ，从而可求出 =2。从而得这个正比例函数的解析式是。‎ ‎4.（上海市2005年3分）如果将二次函数的图象沿y轴向上平移1个单位，那么所得图象的函 数解析式是 ▲ ‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】二次函数图象与平移变换。‎ ‎【分析】直接利用平移的规律“左加右减，上加下减”，在原函数上加1可得新函数解析式。‎ ‎5.（上海市2006年3分）某型号汽油的数量与相应金额的关系如图所示，‎ 那么这种汽油的单价是每升 ▲ 元。‎ ‎【答案】5.09。‎ ‎【考点】函数的图象。‎ ‎【分析】根据图象知道‎100升油花费了509‎ 元，由此即可求出这种汽油的单价：单价=509÷100=5.09元。‎ ‎6.（上海市2007年3分）如图，正比例函数图象经过点，该函数解析式是 ▲ ．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】待定系数法求正比例函数解析式。‎ ‎【分析】设该正比例函数的解析式为，‎ ‎ 由图象可知，该函数图象过点A（1，3），∴。‎ ‎ ∴该正比例函数的解析式为。‎ ‎7.（上海市2008年4分）在平面直角坐标系中，如果双曲线经过点，那么 ‎ ▲ ．‎ ‎【答案】－2。‎ ‎【考点】曲线上点的坐标与方程的关系。‎ ‎【分析】因为双曲线经过点，所以满足方程，即，从而。‎ ‎8.（上海市2009年4分）反比例函数图像的两支分别在第 ▲ 象限．‎ ‎【答案】一、三。‎ ‎【考点】反比例函数的性质。‎ ‎【分析】根据反比例函数的性质：当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限：∵反比例函数的系数，∴图象两个分支分别位于第一、三象限。‎ ‎9.（上海市2010年4分）一辆汽车在行驶过程中，路程 y（千米）与时间 x ‎（小时）之间的函数关系如图所示 当 0≤x≤1时，y关于x的函数解析式为 ‎ y = 60 x，那么当 1≤x≤2时，y关于x的函数解析式为 ▲ .‎ ‎【答案】y=100x－40。‎ ‎【考点】函数图象，直线上点的坐标与方程的关系。‎ ‎【分析】在0≤x≤1时，把x=1代入y = 60 x，则y=60，那么当 1≤x≤2时由两点坐标（1,60）与（2,160）‎ 得当1≤x≤2时的函数解析式为y=100x－40。‎ ‎10.（上海市2011年4分）如果反比例函数（是常数，≠0）的图像经过点(－1，2)，那么这个函数的解析式是 ▲ ．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】曲线上的点与方程的关系。‎ ‎【分析】根据点在曲线图上点的坐标满足方程的关系，把(－1，2)代入，得，即，那么这个函数的解析式是。‎ ‎11.（上海市2011年4分）一次函数＝3－2的函数值随自变量值的增大而 ▲ （填“增大”或“减小”）．‎ ‎【答案】增大。‎ ‎【考点】一次函数的性质。‎ ‎【分析】由一次函数＝3－2中k=3＞0，根据一次函数的增减性的性质知，函数值随自变量值的增大而增大。‎ 三、解答题 ‎1.（上海市2002年10分）如图，直线y＝x＋2分别交x、y轴于点A、C，P是该直线上在第一象限内的一点，PB⊥x轴，B为垂足，S△ABP＝9．‎ ‎　　（1）求点P的坐标；‎ ‎　　（2）设点R与点P的同一个反比例函数的图象上，且点R在直线PB的右侧，作RT⊥x轴，T为垂足，当△BRT与△AOC相似时，求点R的坐标.‎ ‎【答案】解：（1）由题意，得点C（0，2），点A（－4，0）。‎ ‎　　 设点P的坐标为（a，a＋2），其中a＞0。‎ 由题意，得S△ABP＝（a＋4）（a＋2）＝9，‎ ‎　　 解得a＝2或a＝－10（舍去）。‎ ‎　 　而当a＝2时，a＋2＝3，∴点P的坐标为（2，3）。‎ ‎　　 （2）设反比例函数的解析式为。‎ ‎　　 ∵点P在反比例函数的图象上，∴，k＝6 。 ‎ ‎∴反比例函数的解析式为。‎ 设点R的坐标为（b，），点T的坐标为（b，0）其中b＞2，那么BT＝b－2，RT＝。‎ ‎①当△RTB∽△AOC时，，即，‎ ‎∴，解得b＝3或b＝－1（舍去）。‎ ‎∴点R 的坐标为（3，2）。　　　　　　　　　　　　　　‎ ②当△RTB∽△COA时，，即，　‎ ‎∴　，解得b＝1＋或b＝1－（舍去）。‎ ‎∴点R 的坐标为（1＋，）。　‎ 综上所述，点R的坐标为（3，2）或（1＋，）。‎ ‎【考点】一次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程。‎ ‎【分析】（1）根据点在直线上，点的坐标满足方程的性质，求出BP，AB的值从而可求出点P的坐标。‎ ‎（2）设R点坐标为（x，y），求出反比例函数．又因为△BRT∽△AOC，利用线段比联立方程组求出x，y的值。‎ ‎2.（上海市2003年10分）卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分，在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度AB＝‎5cm，拱高OC＝‎0.9cm，线段DE表示大桥拱内桥长，DE∥AB。如图，在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以‎1cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图：‎ ‎（1）求出图上以这一部分抛物线为图像的函数解析式，写出函数定义域；‎ ‎ （2）如果DE与AB的距离OM＝‎0.45cm，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：≈1.4，计算结果精确到‎1米）‎ ‎【答案】解：（1）∵顶点C在y轴上，∴设以这部分抛物线为图象的函数解析式为。‎ ‎∵点A（，0）在抛物线上，∴，得。‎ ‎∴所求函数解析式为：。‎ ‎（2）∵点D、E的纵坐标为，∴，得。‎ ‎∴点D的坐标为（，），点E的坐标为（，）。‎ ‎∴DE=－()=。‎ 因此月河河流宽度为×11000×0.01=（米）。‎ ‎【考点】二次函数的应用，曲线上的点与方程的关系。‎ ‎【分析】（1）因为C在y轴上，故设抛物线的解析式为，把A点坐标代入解析式求出a即可。‎ ‎（2）因为点D、E的纵坐标相同，易求DE的长。 ‎ ‎3.（上海市2003年10分）已知在平面直角坐标系内，O为坐标原点，A、B是轴正半轴上的两点，点A在点B的左侧，如图，二次函数的图象经过点A、B，与轴相交于点C。‎ ‎ （1）、的符号之间有何关系？‎ ‎ （2）如果线段OC的长度是线段OA、OB长度的比例中项，试证、互为倒数；‎ ‎ （3）在（2）的条件下，如果＝－4，AB＝，求、的值。‎ ‎【答案】解：（1）由图可知：当抛物线开口向下，即＜0时，＜0（如图）；‎ 当抛物线开口向上，即＞0时，＞0；‎ 因此、同号。‎ ‎（2）设A（m，0），B（n，0），‎ 抛物线的解析式中，令=0，得：。‎ ‎∴OA•OB=mn=，OC2=。‎ ‎∵OA•OB=OC2，∴=，解得=1。‎ 所以、互为倒数。‎ ‎（3）由题意知：，则m＋n=，mn=。‎ ‎∵AB=，∴AB2=48。‎ ‎∴（n－m）2=48，即（m+n）2－4mn=48，。‎ 解得。∴。‎ 因此、的值分别为：、2或－、－2。‎ ‎【考点】二次函数综合题，一元二次方程根与系数的关系。‎ ‎【分析】（1）根据A、B点的位置即可判断出当抛物线开口向下时，函数图象与y轴交于负半轴，当抛物线开口向上时，函数图象与轴交于正半轴，即、同号。‎ ‎（2）当CO2=OA•OB时，可用表示出OC，用、表示出OA•OB，代入上式即可求得、是否为倒数关系。‎ ‎（3）沿用（2）的思路，首先将值代入抛物线的解析式中，可依据韦达定理表示出AB的长，几何、的倒数关系，即可求得、的值。 ‎ ‎4.（上海市2004年10分）在直角坐标平面内，点O为坐标原点，二次函数的图象交轴于点。‎ ‎ （1）求二次函数的解析式；‎ ‎ （2）将上述函数图象沿x轴向右平移2个单位，设平移后的图象与y轴的交点为C，顶点为P，求△POC的面积。‎ ‎【答案】解：（1）∵二次函数的图象交轴于点 ‎ ∴ 。‎ ‎ 又∵，即，‎ ‎ ∴，∴‎ ‎ ∴二次函数的解析式为。‎ ‎ （2）平移后为顶点 ‎ ∴ 。‎ ‎【考点】抛物线与轴的交点，二次函数图象与几何变换，‎ ‎【分析】（1）把展开即可得到与根与系数有关的式子，让二次函数的函数值为0，结合求值即可。‎ ‎（2）可根据顶点式得到平移后的解析式，求得P，C坐标，S△POC=×|OC|×P的横坐标的绝对值。‎ ‎5.（上海市2004年12分）数学课上，老师出示图和下面框中条件。‎ 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A点的坐标为（1，0），点B在轴上，且在点A的右侧，AB=OA，过点A和B作轴的垂线，分别交二次函数的图象于点C和D，直线OC交BD于点M，直线CD交轴于点H，记点C、D的横坐标分别为，点H的纵坐标为．‎ ‎ 同学发现两个结论：‎ ‎ ①；‎ ‎ ②数值相等关系：。‎ ‎ （1）请你验证结论①和结论②成立；‎ ‎ （2）请你研究：如果将上述框中的条件“A点坐标（1，0）”改为“A点坐标为”，其他条件不变，结论①是否仍成立？（请说明理由）‎ ‎ （3）进一步研究：如果将上述框中的条件“A点坐标（1，0）”改为“A点坐标为”，又将条件“”改为“”，其他条件不变，那么和有怎么样的数值关系？（写出结果并说明理由）‎ ‎【答案】解：（1）由已知可得点的坐标为（2，0），点C的坐标为（1，1），点D的坐标为（2，4），由点C坐标为（1，1）易得直线OC的函数解析式为 ‎ ∴点M的坐标为（2，2），‎ ‎∴。‎ ‎ ∴， 即结论①成立。‎ ‎ 设直线CD的函数解析式为 ‎ 则，得 ‎ ∴直线CD的函数解析式为；‎ ‎ 由上述可得，点H的坐标为（0，－2），。‎ ‎ ∵，∴，即结论②成立。‎ ‎ （2）结论①仍成立，理由如下：‎ ‎ ∵点A的坐标为，则点B坐标为（），从而点C坐标为，点D坐标为，设直线OC的函数解析式为，则，得。‎ ‎ ∴直线OC的函数解析式为。‎ ‎ 设点M的坐标为（），‎ ‎ ∵点M在直线OC上， ∴当时，，点M的坐标为（）。‎ ‎ ∴。‎ ‎ ∴结论①仍成立。‎ ‎ （3），理由如下：‎ ‎ 由题意，当二次函数的解析式为，且点A坐标为（t，0）（）时，点C坐标为（），点D坐标为（），设直线CD的函数解析式为 ‎ 则 ‎ ∴直线CD的函数解析式为。‎ ‎ 则点H的坐标为（），。‎ ‎ ∵，∴。‎ ‎【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系。‎ ‎【分析】（1）可先根据AB=OA得出B点的坐标，然后根据抛物线的解析式和A，B的坐标得出C，D两点的坐标，再依据C点的坐标求出直线OC的解析式．进而可求出M点的坐标，然后根据C、D两点的坐标求出直线CD的解析式进而求出D点的坐标，然后可根据这些点的坐标进行求解即可。‎ ‎（2）（3）的解法同（1）完全一样。‎ ‎6.（上海市2005年10分）在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数 的图象与x轴的负半轴相交于点C（如图），点C的坐标为（0，－3），且BO＝CO （1） 求这个二次函数的解析式；‎ （2） 设这个二次函数的图象的顶点为M，求AM的长.‎ ‎【答案】解：（1）∵C（0，－3），OC=|－3|=3，∴=－3。‎ ‎ 又∵OC=BO，∴BO=3，∴B（3，0）。‎ ‎ ∴9＋3－3=0，=－2。‎ ‎ ∴这个二次函数的解析式为。‎ ‎ （2）∵，∴M（1，－4）。‎ ‎ 又由解得 A（－1，0）， ‎ ‎ ∴AM=。‎ ‎【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理。‎ ‎【分析】（1）由已知可得B（3，0），又C（0，－3），代入抛物线解析式可求、。‎ ‎ （2）求抛物线顶点坐标和A点坐标，在直角三角形中用勾股定理可求AM的长。‎ ‎7.（上海市2006年12分）如图，在直角坐标系中，为原点．点在第一象限，它的纵坐标是横坐标的3倍，反比例函数的图象经过点．‎ ‎（1）求点的坐标（5分）；‎ ‎（2）如果经过点的一次函数图象与轴的正半轴交于点，且，求这个一次函数的解析式（7分）。‎ ‎【答案】解：（1）由题意，设点的坐标为，．‎ ‎　　　 ∵点在反比例函数的图象上，得，解得，。‎ ‎　　　 经检验，是原方程的根，但不符合题意，舍去。‎ ‎　　 　∴点的坐标为。‎ ‎　　　 （2）由题意，设点的坐标为．‎ ‎　　　 ∵ ，∴，　解得，经检验是原方程的根。‎ ‎ ∴点的坐标为。‎ ‎　　 　设一次函数的解析式为，‎ ‎　　 ∵一次函数图象过点，∴，得。‎ ‎　　　 ∴所求一次函数的解析式为。‎ ‎【考点】反比例函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。‎ ‎【分析】（1）根据点位置及坐标特点，代入反比例函数解析式解方程即可求出的坐标。 （2）根据题意求B点坐标，再求解析式。‎ ‎8.（上海市2006年12分）如图，在直角坐标系中，为原点．点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，。二次函数的图象经过点，，顶点为。‎ ‎（1）求这个二次函数的解析式（5分）。‎ ‎（2）将绕点顺时针旋转后，点落到点的位置。将上述二次函数图象沿轴向上或向下平移后经过点。请直接写出点的坐标和平移后所得图象的函数解析式（3分）。‎ ‎（3）设（2）中平移后所得二次函数图象与轴的交点为，顶点为。点在平移后的二次函数图象上，且满足的面积是面积的倍，求点的坐标（4分）。‎ ‎【答案】解：（1）由题意，点在二次函数的图象上，∴点的坐标为，∴。‎ ‎ ∵，即，∴。∴点的坐标为。　　‎ ‎ 　又∵二次函数的图象过点，∴，解得。‎ ‎ 　　　 ∴所求二次函数的解析式为。‎ ‎ 　　　（2）由题意，可得点的坐标为，所求二次函数解析式为。‎ ‎　　　 （3）由（2），经过平移后所得图象是原二次函数图象向下平移个单位后所得的图象，那么对称轴直线 不变，且。　　　‎ ‎ ∵点在平移后所得二次函数图象上，‎ ‎ ∴设点的坐标为，‎ ‎　　　 在和中，∵，∴边上的高是边上的高的倍。‎ ‎　　 　①当点在对称轴的右侧时，，得，∴点的坐标为。‎ ‎　　　 ②当点在对称轴的左侧，同时在轴的右侧时，，得，∴点的坐标为。‎ ‎　　　 ③当点在轴的左侧时，，又，得（舍去）。‎ ‎　　　 ∴所求点的坐标为或。‎ ‎【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，三角函数定义，旋转和平移的性质。‎ ‎【分析】（1）由点在二次函数的图象上求出点的坐标而得到。由，根据三角函数定义求出而得到点的坐标。由点在二次函数的图象上求出，从而得到所求二次函数的解析式。‎ ‎ （2）由题意，可知点的横坐标等于点的纵坐标，点的纵坐标等于点的横坐标，即。‎ 由平移的性质，设平移后得到的函数关系式为，把代入，得，从而得到所求二次函数的解析式。‎ ‎ （3）由和，知边上的高是边上的高的倍，据此，分别讨论点在对称轴的右侧，点在对称轴的左侧且在轴的右侧，点在轴的左侧三种情况即可。‎ ‎9.（上海市2007年12分）在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为，且过点．‎ ‎（1）求该二次函数的解析式；‎ ‎（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标．‎ ‎【答案】解：（1）设二次函数解析式为，‎ ‎ ∴二次函数图象过点，∴，得。‎ ‎ ∴二次函数解析式为，即。‎ ‎ （2）令，得，解方程，得，。‎ ‎ ∴二次函数图象与轴的两个交点坐标分别为和。‎ ‎ ∴二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点，平移后所得图象与轴的另一个交点坐标为。‎ ‎【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象与几何变换。‎ ‎【分析】（1）有顶点就用顶点式来求二次函数的解析式。‎ ‎ （2）由于是向右平移，可让二次函数的的值为0，得到相应的两个值，算出负值相对于原点的距离，而后让较大的值也加上距离即可。‎ ‎10.（上海市2007年12分）如图，在直角坐标平面内，函数（，是常数）的图象经过，，其中．过点作轴垂线，垂足为，过点作轴垂线，垂足为，连结，，．‎ ‎（1）若的面积为4，求点的坐标；‎ ‎（2）求证：；‎ ‎（3）当时，求直线的函数解析式．‎ ‎【答案】解：（1）∵函数，是常数）图象经过，∴。‎ ‎ 设交于点，据题意，可得点的坐标为，点的坐标为，‎ 点的坐标为。‎ ‎ ∵，∴，。‎ ‎ 由的面积为4，即，得，∴点的坐标为。‎ ‎ （2）证明：根据题意，点的坐标为，则。‎ ‎ ∵，易得，，‎ ‎ ∴，。∴。‎ ‎ ∴。‎ ‎ （3）∵，∴当时，有两种情况：‎ ‎ ①当时，四边形是平行四边形，‎ ‎ 由（2）得，，∴，得。‎ ‎ ∴点的坐标是（2，2）。‎ ‎ 设直线的函数解析式为，把点的坐标代入，‎ ‎ 得解得。‎ ‎ ∴直线的函数解析式是。‎ ‎ ②当与所在直线不平行时，四边形是等腰梯形，‎ ‎ 则，∴，∴点的坐标是（4，1）。‎ ‎ 设直线的函数解析式为，把点的坐标代入，‎ ‎ 得解得。‎ ‎ ∴直线的函数解析式是。‎ ‎ 综上所述，所求直线的函数解析式是或。‎ ‎【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，待定系数法，两直线平行的判定，平行四边形的判定和性质，等腰梯形的判定和性质。‎ ‎【分析】（1）由函数（，是常数）的图象经过，根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，求出函数关系式，从而由的面积为4求出点的坐标。‎ ‎ （2）由已知，求出，即可证得。‎ ‎ （3）分和与所在直线不平行两种情况讨论即可。‎ ‎11.（上海市2008年12分）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点．二次函数的图像经过点，顶点为．‎ ‎（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点的坐标（5分）；‎ ‎（2）如果点的坐标为，，垂足为点，点在直线上，，求点的坐标（7分）．‎ ‎【答案】解：（1）∵二次函数的图像经过点，‎ ‎ ∴，得。所求二次函数的解析式为。‎ ‎ 则这个二次函数图像顶点的坐标为。‎ ‎ （2）过点作轴，垂足为点。‎ ‎ 在中，，，，‎ ‎ ∴。‎ ‎ 在中，，又，可得。∴。‎ ‎ 过点作轴，垂足为点。由题意知，点在点的右侧，‎ ‎ 易证．∴。‎ ‎ 其中，。设点的坐标为，则，。‎ ‎ ①若点在的延长线上，则，得，‎ ‎ ∴ ，。∴点的坐标为。‎ ‎ ②若点在线段上，则，得，‎ ‎ ∴ ，。∴点的坐标为。‎ ‎ 综上所述，点的坐标为或。‎ ‎【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的顶点坐标，锐角三角函数定义，相似三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】（1）根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，由二次函数的图像经过点，可求得，从而得到二次函数的解析式。把二次函数的解析式化为顶点式，可得这个二次函数图像顶点的坐标为。 ‎ ‎ （2）过点作轴，垂足为点，过点作轴，垂足为点。分点在的延长线上和点在线段上两种情况分别求出点的坐标为或。‎ ‎12.（上海市2010年12分）如图，已知平面直角坐标系xOy，抛物线y＝－x2＋bx＋c过点A(4,0)、B(1,3) .‎ ‎（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；‎ ‎（2）记该抛物线的对称轴为直线l，设抛物线上的点P(m,n)在第四象限，点P关于直线l的对称点为E，‎ 点E关于y轴的对称点为F，若四边形OAPF的面积为20，求m、n的值.[来源:Z&xx&k.Com]‎ ‎【答案】解：（1）将A(4,0)、B(1,3)两点坐标代入抛物线的方程得：‎ ‎ ，解之得：b=4，c=0‎ ‎ ∴抛物线的表达式为：。‎ ‎ 将抛物线的表达式配方得：‎ ‎ ∴该抛物线的对称轴为x=2，顶点坐标为（2，4）。‎ ‎ （2）点p（m，n）关于直线x=2的对称点为点E（4－m，n），点E关于y轴的对称点为点F（4－m,－n）。[来源:学.科.网]‎ ‎ 则四边形OAPF可以分为：△OFA与△OAP，‎ ‎ ∴= + = =20‎ ‎ ∴=5。‎ ‎ ∵点P为第四象限的点，∴n<0，∴n= －5。‎ ‎ 代入抛物线方程得m=5。‎ ‎【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，抛物线的性质，轴对称的性质。‎ ‎【分析】（1）根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将点A、B的坐标代入函数关系式即可求出b=4，c=0，得到抛物线的表达式。将表达式化为顶点式即可得到该抛物线的对称轴和顶点坐标。‎ ‎ （2）根据轴对称的性质可得到点E和F的坐标，由已知四边形OAPF的面积为20，列式求出n，‎ 代入抛物线方程求得m。‎ ‎13.（上海市2011年12分）已知平面直角坐标系O（如图1），一次函数的图 像与轴交于点A，点M在正比例函数的图像上，且MO＝MA．二次函数＝2＋b＋c的图像经过点A、M．‎ ‎（1）求线段AM的长；‎ ‎（2）求这个二次函数的解析式；‎ ‎（3）如果点B在轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图像上，点D在一次函数的图像上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标． ‎ ‎【答案】解：（1）在一次函数中，当=0时，=3。∴A（0，3）。‎ ‎∵MO=MA，∴M为OA垂直平分线上的点，而OA垂直平分线的解析式为。‎ 又∵点M在反比例函数 上，∴M（1，）。‎ 又∵A（0，3）．∴AM= 。‎ ‎（2）∵二次函数＝2＋b＋c的图象经过点A、M．可得 ‎，解得。∴这个二次函数的解析式＝2－＋3。‎ ‎（3）∵点D在一次函数 y=的图象上，‎ 则可设D（n， ），设B（0，m）（m＜3），C（n， ）。‎ ‎∵四边形ABDC是菱形，‎ ‎∴| AB |=3—m，| DC |= = －（）= 。‎ ‎| AD |=‎ ‎∵ | AB |=| DC |，∴3－m= ①。‎ ‎∵| AB |=| AD |，∴3－m= ②。‎ 解①②得，n 1=0（舍去），n 2=2。‎ 将n=2，代入C（n， ）。∴点C的坐标为C（2，2）。‎ ‎【考点】二次函数综合题，线段垂直平分线的性质，曲线上的点与方程的关系，待定系数法，菱形的性质，勾股定理。‎ ‎【分析】（1）先求出根据OA垂直平分线上的解析式，再根据两点的距离公式求出线段AM的长。‎ ‎（2）二次函数＝2＋b＋c的图象经过点A、M．由待定系数法即可求出二次函数的解析式。‎ ‎（3）可设D（n， ），，C（n， ）且点C在二次函数＝2－＋3上，根据菱形的性质得出| AB |=| DC |，| AB |=| AD |，得到方程求解即可。‎