中考数学圆中分类讨论问题目归类举例三轮冲刺 5页

‎2013中考总结复习冲刺练：圆中分类讨论问题归类举例 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，还具有旋转不变性，圆的这些特性决定了关于圆的某些问题会有多解。解答这类问题时需要按照一定的标准，分成若干种情况，逐一加以讨论。这样可以避免漏解，培养同学们分析问题、解决问题的能力。本文就近年中考题举例说明如下。‎ 一、点和圆的位置 凡涉及点与圆的位置关系问题，在没有指明其位置时，应考虑点在圆内、圆上、圆外三种可能情形。‎ 例1.过不在⊙O上的一点A，作⊙O的割线，交⊙O于B、C，且AB·AC＝64，OA＝10，则⊙O的半径R为___________。‎ 解：依题意，点A与⊙O的位置关系有两种：‎ ‎（1）点A在⊙O内，如图1，延长AO交⊙O于F，则 由相交弦定理得：‎ 所以（负值已舍去）‎ ‎（2）点A在⊙O外，如图2，‎ 此时 由割线定理得：‎ 所以（负值已舍去）‎ 故⊙O的半径R为或6。‎ 二、点与弦的相对位置 例2.⊙O是△ABC的外接圆，OD⊥BC于D，且∠BOD＝48°，则∠BAC＝_________。‎ 解：（1）点A和圆心O在弦BC同侧，如图3，可求得∠BAC＝∠BOD＝48°‎ ‎ ‎ ‎（2）点A和圆心O在弦BC异侧，如图4，可求得∠BAC＝132°‎ 三、弦所对的圆周角 例3.半径为1的圆中有一条弦，如果它的长为，那么这条弦所对的圆周角的度数等于___________。‎ 解：弦所对的圆周角有两种情况：‎ ‎（1）当弦所对的圆周角的顶点在优弧上时，其圆周角为60°；‎ ‎（2）当弦所对的圆周角的顶点在劣弧上时，其圆周角为120°。‎ 故应填60°或120°。‎ 四、平行弦与圆心的位置 例4.在半径为‎5cm的⊙O中，弦AB＝‎6cm，弦CD＝‎8cm，且AB∥CD，求AB与CD之间的距离。‎ 分析：两平行弦与圆心的位置关系一般有两种：两弦在圆心的同侧；两弦在圆心的异侧。‎ 解：过O作AB、CD的垂线，分别交AB、CD于点E、F，连接OA、OC.‎ 在Rt△OAE中，‎ 在Rt△OCF中，‎ ‎（1）当AB、CD在圆心O的同侧时，如图5，AB和CD之间的距离为 ‎ ‎ ‎（2）当AB、CD在圆心O的异侧时，如图6，AB和CD之间的距离为 所以AB和CD之间的距离为‎1cm或‎7cm。‎ 五、圆心与角的位置 例5.在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为和，则∠BAC的度数是____________。‎ 解：如图7，当圆心在∠BAC内部时，连接AO并延长交⊙O于E 在Rt△ABE中，由勾股定理得：‎ 所以∠BAE＝30°‎ 同理，在Rt△CAE中，EC＝AC，所以 ‎∠EAC＝45°，‎ 当圆心O在∠BAC的外部时（∠BAC'），由轴对称性可知：‎ 所以∠BAC为75°或15°‎ 六、点在弧上的位置 例6.如图8，在平面直角坐标系中，P是经过O（0，0），A（0，2），B（2，0）的圆上的一个动点（P与O、B不重合），则∠OAB＝_________度，∠OPB＝_________度。‎ 图8‎ 解：依题意可知△AOB 是等腰直角三角形，所以∠OAB＝45°‎ 当动点P在上时，∠OPB＝∠OAB＝45°‎ 当动点P在上时，∠OPB＝180°－45°＝135°‎ 故∠OPB为45°或135°。‎ 七、相交两圆的圆心与公共弦的位置 例7.已知半径为4和的两圆相交，公共弦长为4，则两圆的圆心距为_________。‎ 分析：相交两圆圆心的位置有在公共弦的同侧和异侧两种情况。‎ 解：如图9、图10，‎ 在中，‎ 在中，‎ ‎（1）当圆心在公共弦AB的同侧时，如图9‎ ‎ ‎ ‎（2）当圆心在公共弦AB的异侧时，如图10‎ 八、直线与圆的位置 例8.两圆的半径分别为4和2‎ ‎，如果它们的两条公切线互相垂直，求两圆的圆心距。‎ 分析：两圆的公切线有内公切线和外公切线两种，公切线互相垂直，有三种情况。‎ 解：（1）当内公切线与外公切线垂直时，如图11，AB切⊙于A，切⊙于B，EF切⊙于E，切⊙于F，AB⊥EF于D。‎ 由切线定理，得：‎ 所以 故有 ‎（2）当内公切线垂直时，如图12，作，交点为E，则 ‎ ‎ ‎（3）当外公切线垂直时，如图13，作于G，则 ‎.‎