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- 2021-05-10 发布
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2018中考数学试题分类汇编:考点36 相似三角形
一.选择题(共28小题)
1.(2018•重庆)制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元,在每平方米制作成本相同的情况下,若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍,那么扩大后长方形广告牌的成本是( )
A.360元 B.720元 C.1080元 D.2160元
【分析】根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本,根据相似多边形的性质求出扩大后长方形广告牌的面积,计算即可.
【解答】解:3m×2m=6m2,
∴长方形广告牌的成本是120÷6=20元/m2,
将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍,
则面积扩大为原来的9倍,
∴扩大后长方形广告牌的面积=9×6=54m2,
∴扩大后长方形广告牌的成本是54×20=1080m2,
故选:C.
2.(2018•玉林)两三角形的相似比是2:3,则其面积之比是( )
A.: B.2:3 C.4:9 D.8:27
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可.
【解答】解:∵两三角形的相似比是2:3,
∴其面积之比是4:9,
故选:C.
3.(2018•重庆)要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边长分别为5cm,6cm和9cm,另一个三角形的最短边长为2.5cm,则它的最长边为( )
A.3cm B.4cm C.4.5cm D.5cm
【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解可得.
【解答】解:设另一个三角形的最长边长为xcm,
根据题意,得: =,
解得:x=4.5,
即另一个三角形的最长边长为4.5cm,
故选:C.
4.(2018•内江)已知△ABC与△A1B1C1相似,且相似比为1:3,则△ABC与△A1B1C1的面积比为( )
A.1:1 B.1:3 C.1:6 D.1:9
【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方,求出即可.
【解答】解:已知△ABC与△A1B1C1相似,且相似比为1:3,
则△ABC与△A1B1C1的面积比为1:9,
故选:D.
5.(2018•铜仁市)已知△ABC∽△DEF,相似比为2,且△ABC的面积为16,则△DEF的面积为( )
A.32 B.8 C.4 D.16
【分析】由△ABC∽△DEF,相似比为2,根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方,即可得△ABC与△DEF的面积比为4,又由△ABC的面积为16,即可求得△DEF的面积.
【解答】解:∵△ABC∽△DEF,相似比为2,
∴△ABC与△DEF的面积比为4,
∵△ABC的面积为16,
∴△DEF的面积为:16×=4.
故选:C.
6.(2017•重庆)已知△ABC∽△DEF,且相似比为1:2,则△ABC与△DEF的面积比为( )
A.1:4 B.4:1 C.1:2 D.2:1
【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可.
【解答】解:∵△ABC∽△DEF,且相似比为1:2,
∴△ABC与△DEF的面积比为1:4,
故选:A.
7.(2018•临安区)如图,小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是( )
A. B. C. D.
【分析】根据正方形的性质求出∠ACB,根据相似三角形的判定定理判断即可.
【解答】解:由正方形的性质可知,∠ACB=180°﹣45°=135°,
A、C、D图形中的钝角都不等于135°,
由勾股定理得,BC=,AC=2,
对应的图形B中的边长分别为1和,
∵=,
∴图B中的三角形(阴影部分)与△ABC相似,
故选:B.
8.(2018•广东)在△ABC中,点D、E分别为边AB、AC的中点,则△ADE与△ABC的面积之比为( )
A. B. C. D.
【分析】由点D、E分别为边AB、AC的中点,可得出DE为△ABC的中位线,进而可得出DE∥BC及△ADE∽△ABC,再利用相似三角形的性质即可求出△ADE与△ABC的面积之比.
【解答】解:∵点D、E分别为边AB、AC的中点,
∴DE为△ABC的中位线,
∴DE∥BC,
∴△ADE∽△ABC,
∴=()2=.
故选:C.
9.(2018•自贡)如图,在△ABC中,点D、E分别是AB、AC的中点,若△ADE的面积为4,则△ABC的面积为( )
A.8 B.12 C.14 D.16
【分析】直接利用三角形中位线定理得出DE∥BC,DE=BC,再利用相似三角形的判定与性质得出答案.
【解答】解:∵在△ABC中,点D、E分别是AB、AC的中点,
∴DE∥BC,DE=BC,
∴△ADE∽△ABC,
∵=,
∴=,
∵△ADE的面积为4,
∴△ABC的面积为:16,
故选:D.
10.(2018•崇明县一模)如图,在平行四边形ABCD中,点E在边DC上,DE:EC=3:1,连接AE交BD于点F,则△DEF的面积与△BAF的面积之比为( )
A.3:4 B.9:16 C.9:1 D.3:1
【分析】可证明△DFE∽△BFA,根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案.
【解答】解:∵四边形ABCD为平行四边形,
∴DC∥AB,
∴△DFE∽△BFA,
∵DE:EC=3:1,
∴DE:DC=3:4,
∴DE:AB=3:4,
∴S△DFE:S△BFA=9:16.
故选:B.
11.(2018•随州)如图,平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分,则的值为( )
A.1 B. C. 1 D.
【分析】由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC,利用相似三角形的性质结合S△ADE=S四边形BCED,可得出=,结合BD=AB﹣AD即可求出的值,此题得解.
【解答】解:∵DE∥BC,
∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C,
∴△ADE∽△ABC,
∴()2=.
∵S△ADE=S四边形BCED,
∴=,
∴===﹣1.
故选:C.
12.(2018•哈尔滨)如图,在△ABC中,点D在BC边上,连接AD,点G在线段AD上,GE∥BD,且交AB于点E,GF∥AC,且交CD于点F,则下列结论一定正确的是( )
A. = B. = C. = D. =
【分析】由GE∥BD、GF∥AC可得出△AEG∽△ABD、△DFG∽△DCA,根据相似三角形的性质即可找出==,此题得解.
【解答】解:∵GE∥BD,GF∥AC,
∴△AEG∽△ABD,△DFG∽△DCA,
∴=, =,
∴==.
故选:D.
13.(2018•遵义)如图,四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=5,BC=10,连接AC、BD,以BD为直径的圆交AC于点E.若DE=3,则AD的长为( )
A.5 B.4 C.3 D.2
【分析】先求出AC,进而判断出△ADF∽△CAB,即可设DF=x,AD=x,利用勾股定理求出BD,再判断出△DEF∽△DBA,得出比例式建立方程即可得出结论.
【解答】解:如图,在Rt△ABC中,AB=5,BC=10,
∴AC=5
过点D作DF⊥AC于F,
∴∠AFD=∠CBA,
∵AD∥BC,
∴∠DAF=∠ACB,
∴△ADF∽△CAB,
∴,
∴,
设DF=x,则AD=x,
在Rt△ABD中,BD==,
∵∠DEF=∠DBA,∠DFE=∠DAB=90°,
∴△DEF∽△DBA,
∴,
∴,
∴x=2,
∴AD=x=2,
故选:D.
14.(2018•扬州)如图,点A在线段BD上,在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE,CD与BE、AE分别交于点P,M.对于下列结论:
①△BAE∽△CAD;②MP•MD=MA•ME;③2CB2=CP•CM.其中正确的是( )
A.①②③ B.① C.①② D.②③
【分析】(1)由等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE三边份数关系可证;
(2)通过等积式倒推可知,证明△PAM∽△EMD即可;
(3)2CB2转化为AC2,证明△ACP∽△MCA,问题可证.
【解答】解:由已知:AC=AB,AD=AE
∴
∵∠BAC=∠EAD
∴∠BAE=∠CAD
∴△BAE∽△CAD
所以①正确
∵△BAE∽△CAD
∴∠BEA=∠CDA
∵∠PME=∠AMD
∴△PME∽△AMD
∴
∴MP•MD=MA•ME
所以②正确
∵∠BEA=∠CDA
∠PME=∠AMD
∴P、E、D、A四点共圆
∴∠APD=∠EAD=90°
∵∠CAE=180°﹣∠BAC﹣∠EAD=90°
∴△CAP∽△CMA
∴AC2=CP•CM
∵AC=AB
∴2CB2=CP•CM
所以③正确
故选:A.
15.(2018•贵港)如图,在△ABC中,EF∥BC,AB=3AE,若S四边形BCFE=16,则S△ABC=( )
A.16 B.18 C.20 D.24
【分析】由EF∥BC,可证明△AEF∽△ABC,利用相似三角形的性质即可求出则S△ABC的值.
【解答】解:∵EF∥BC,
∴△AEF∽△ABC,
∵AB=3AE,
∴AE:AB=1:3,
∴S△AEF:S△ABC=1:9,
设S△AEF=x,
∵S四边形BCFE=16,
∴=,
解得:x=2,
∴S△ABC=18,
故选:B.
16.(2018•孝感)如图,△ABC是等边三角形,△ABD是等腰直角三角形,∠BAD=90°,AE⊥BD于点E,连CD分别交AE,AB于点F,G,过点A作AH⊥CD交BD于点H.则下列结论:①∠ADC=15°;②AF=AG;③AH=DF;④△AFG∽△CBG;⑤AF=(﹣1)EF.其中正确结论的个数为( )
A.5 B.4 C.3 D.2
【分析】①由等边三角形与等腰直角三角形知△CAD是等腰三角形且顶角∠CAD=150°,据此可判断;②求出∠AFP和∠FAG度数,从而得出∠AGF度数,据此可判断;③证△ADF≌△BAH即可判断;④由∠AFG=∠CBG=60°、∠AGF=∠CGB即可得证;⑤设PF=x,则AF=2x、AP==x,设EF=a,由△ADF≌△BAH知BH=AF=2x,根据△ABE是等腰直角三角形之BE=AE=a+2x,据此得出EH=a,证△PAF∽△EAH得=,从而得出a与x的关系即可判断.
【解答】解:∵△ABC为等边三角形,△ABD为等腰直角三角形,
∴∠BAC=60°、∠BAD=90°、AC=AB=AD,∠ADB=∠ABD=45°,
∴△CAD是等腰三角形,且顶角∠CAD=150°,
∴∠ADC=15°,故①正确;
∵AE⊥BD,即∠AED=90°,
∴∠DAE=45°,
∴∠AFG=∠ADC+∠DAE=60°,∠FAG=45°,
∴∠AGF=75°,
由∠AFG≠∠AGF知AF≠AG,故②错误;
记AH与CD的交点为P,
由AH⊥CD且∠AFG=60°知∠FAP=30°,
则∠BAH=∠ADC=15°,
在△ADF和△BAH中,
∵,
∴△ADF≌△BAH(ASA),
∴DF=AH,故③正确;
∵∠AFG=∠CBG=60°,∠AGF=∠CGB,
∴△AFG∽△CBG,故④正确;
在Rt△APF中,设PF=x,则AF=2x、AP==x,
设EF=a,
∵△ADF≌△BAH,
∴BH=AF=2x,
△ABE中,∵∠AEB=90°、∠ABE=45°,
∴BE=AE=AF+EF=a+2x,
∴EH=BE﹣BH=a+2x﹣2x=a,
∵∠APF=∠AEH=90°,∠FAP=∠HAE,
∴△PAF∽△EAH,
∴=,即=,
整理,得:2x2=(﹣1)ax,
由x≠0得2x=(﹣1)a,即AF=(﹣1)EF,故⑤正确;
故选:B.
17.(2018•泸州)如图,正方形ABCD中,E,F分别在边AD,CD上,AF,BE相交于点G,若AE=3ED,DF=CF,则的值是( )
A. B. C. D.
【分析】如图作,FN∥AD,交AB于N,交BE于M.设DE=a,则AE=3a,利用平行线分线段成比例定理解决问题即可;
【解答】解:如图作,FN∥AD,交AB于N,交BE于M.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB∥CD,∵FN∥AD,
∴四边形ANFD是平行四边形,
∵∠D=90°,
∴四边形ANFD是解析式,
∵AE=3DE,设DE=a,则AE=3a,AD=AB=CD=FN=4a,AN=DF=2a,
∵AN=BN,MN∥AE,
∴BM=ME,
∴MN=a,
∴FM=a,
∵AE∥FM,
∴===,
故选:C.
18.(2018•临安区)如图,在△ABC中,DE∥BC,DE分别与AB,AC相交于点D,E,若AD=4,DB=2,则DE:BC的值为( )
A. B. C. D.
【分析】根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所截得的三角形与原三角形相似,再根据相似三角形的对应边成比例解则可.
【解答】解:∵DE∥BC,
∴△ADE∽△ABC,
∴===.
故选:A.
19.(2018•恩施州)如图所示,在正方形ABCD中,G为CD边中点,连接AG并延长交BC边的延长线于E点,对角线BD交AG于F点.已知FG=2,则线段AE的长度为( )
A.6 B.8 C.10 D.12
【分析】根据正方形的性质可得出AB∥CD,进而可得出△ABF∽△GDF,根据相似三角形的性质可得出==2,结合FG=2可求出AF、AG的长度,由CG∥AB、AB=2CG可得出CG为△
EAB的中位线,再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度,此题得解.
【解答】解:∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=CD,AB∥CD,
∴∠ABF=∠GDF,∠BAF=∠DGF,
∴△ABF∽△GDF,
∴==2,
∴AF=2GF=4,
∴AG=6.
∵CG∥AB,AB=2CG,
∴CG为△EAB的中位线,
∴AE=2AG=12.
故选:D.
20.(2018•杭州)如图,在△ABC中,点D在AB边上,DE∥BC,与边AC交于点E,连结BE.记△ADE,△BCE的面积分别为S1,S2( )
A.若2AD>AB,则3S1>2S2 B.若2AD>AB,则3S1<2S2
C.若2AD<AB,则3S1>2S2 D.若2AD<AB,则3S1<2S2
【分析】根据题意判定△ADE∽△ABC,由相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答.
【解答】解:∵如图,在△ABC中,DE∥BC,
∴△ADE∽△ABC,
∴=()2,
∴若2AD>AB,即>时,>,
此时3S1>S2+S△BDE,而S2+S△BDE<2S2.但是不能确定3S1与2S2的大小,
故选项A不符合题意,选项B不符合题意.
若2AD<AB,即<时,<,
此时3S1<S2+S△BDE<2S2,
故选项C不符合题意,选项D符合题意.
故选:D.
21.(2018•永州)如图,在△ABC中,点D是边AB上的一点,∠ADC=∠ACB,AD=2,BD=6,则边AC的长为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
【分析】只要证明△ADC∽△ACB,可得=,即AC2=AD•AB,由此即可解决问题;
【解答】解:∵∠A=∠A,∠ADC=∠ACB,
∴△ADC∽△ACB,
∴=,
∴AC2=AD•AB=2×8=16,
∵AC>0,
∴AC=4,
故选:B.
22.(2018•香坊区)如图,点D、E、F分别是△ABC的边AB、AC、BC上的点,若DE∥BC,EF∥AB,则下列比例式一定成立的是( )
A. = B. = C. = D. =
【分析】用平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定即可得出结论.
【解答】解:∵DE∥BC,
∴,
∵DE∥BC,
∴△ADE∽△ABC,
∴,
∵EF∥AB,
∴,
∵EF∥AB,
∴△CEF∽△CAB,
∴,
∵DE∥BC,EF∥AB,
∴四边形BDEF是平行四边形,
∴DE=BF,EF=BD,
∴,,,,
∴正确,
故选:C.
23.(2018•荆门)如图,四边形ABCD为平行四边形,E、F为CD边的两个三等分点,连接AF、BE交于点G,则S△EFG:S△ABG=( )
A.1:3 B.3:1 C.1:9 D.9:1
【分析】利用相似三角形的性质面积比等于相似比的平方即可解决问题;
【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴CD=AB,CD∥AB,
∵DE=EF=FC,
∴EF:AB=1:3,
∴△EFG∽△BAG,
∴=()2=,
故选:C.
24.(2018•达州)如图,E,F是平行四边形ABCD对角线AC上两点,AE=CF=AC.连接DE,DF并延长,分别交AB,BC于点G,H,连接GH,则的值为( )
A. B. C. D.1
【分析】首先证明AG:AB=CH:BC=1:3,推出GH∥AC,推出△BGH∽△BAC,可得==()2=()2=, =,由此即可解决问题.
【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC,DC=AB,
∵AC=CA,
∴△ADC≌△CBA,
∴S△ADC=S△ABC,
∵AE=CF=AC,AG∥CD,CH∥AD,
∴AG:DC=AE:CE=1:3,CH:AD=CF:AF=1:3,
∴AG:AB=CH:BC=1:3,
∴GH∥AC,
∴△BGH∽△BAC,
∴==()2=()2=,
∵=,
∴=×=,
故选:C.
25.(2018•南充)如图,正方形ABCD的边长为2,P为CD的中点,连结AP,过点B作BE⊥AP于点E,延长CE交AD于点F,过点C作CH⊥BE于点G,交AB于点H,连接HF.下列结论正确的是( )
A.CE= B.EF= C.cos∠CEP= D.HF2=EF•CF
【分析】首先证明BH=AH,推出EG=BG,推出CE=CB,再证明△CEH≌△CBH,Rt△HFE≌Rt△HFA,利用全等三角形的性质即可一一判断.
【解答】解:连接EH.
∵四边形ABCD是正方形,
∴CD=AB═BC=AD=2,CD∥AB,
∵BE⊥AP,CH⊥BE,
∴CH∥PA,
∴四边形CPAH是平行四边形,
∴CP=AH,
∵CP=PD=1,
∴AH=PC=1,
∴AH=BH,
在Rt△ABE中,∵AH=HB,
∴EH=HB,∵HC⊥BE,
∴BG=EG,
∴CB=CE=2,故选项A错误,
∵CH=CH,CB=CE,HB=HE,
∴△ABC≌△CEH,
∴∠CBH=∠CEH=90°,
∵HF=HF,HE=HA,
∴Rt△HFE≌Rt△HFA,
∴AF=EF,设EF=AF=x,
在Rt△CDF中,有22+(2﹣x)2=(2+x)2,
∴x=,
∴EF=,故B错误,
∵PA∥CH,
∴∠CEP=∠ECH=∠BCH,
∴cos∠CEP=cos∠BCH==,故C错误.
∵HF=,EF=,FC=
∴HF2=EF•FC,故D正确,
故选:D.
26.(2018•临沂)如图.利用标杆BE测量建筑物的高度.已知标杆BE高1.2m,测得AB=1.6m.BC=12.4m.则建筑物CD的高是( )
A.9.3m B.10.5m C.12.4m D.14m
【分析】先证明∴△ABE∽△ACD,则利用相似三角形的性质得=,然后利用比例性质求出CD即可.
【解答】解:∵EB∥CD,
∴△ABE∽△ACD,
∴=,即=,
∴CD=10.5(米).
故选:B.
27.(2018•长春)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作,成书于约一千五百年前,其中有首歌谣:今有竿不知其长,量得影长一丈五尺,立一标杆,长一尺五寸,影长五寸,问竿长几何?意即:有一根竹竿不知道有多长,量出它在太阳下的影子长一丈五尺,同时立一根一尺五寸的小标杆,它的影长五寸(提示:1丈=10尺,1尺=10寸),则竹竿的长为( )
A.五丈 B.四丈五尺 C.一丈 D.五尺
【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论.
【解答】解:设竹竿的长度为x尺,
∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺,标杆长=一尺五寸=1.5尺,影长五寸=0.5尺,
∴,解得x=45(尺).
故选:B.
28.(2018•绍兴)学校门口的栏杆如图所示,栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置,已知AB⊥BD,CD⊥BD,垂足分别为B,D,AO=4m,AB=1.6m,CO=1m,则栏杆C端应下降的垂直距离CD为( )
A.0.2m B.0.3m C.0.4m D.0.5m
【分析】由∠ABO=∠CDO=90°、∠AOB=∠COD知△ABO∽△CDO,据此得=,将已知数据代入即可得.
【解答】解:∵AB⊥BD,CD⊥BD,
∴∠ABO=∠CDO=90°,
又∵∠AOB=∠COD,
∴△ABO∽△CDO,
则=,
∵AO=4m,AB=1.6m,CO=1m,
∴=,
解得:CD=0.4,
故选:C.
二.填空题(共7小题)
29.(2018•邵阳)如图所示,点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点,连接AE,交CD于点F,连接BF.写出图中任意一对相似三角形: △ADF∽△ECF .
【分析】利用平行四边形的性质得到AD∥CE,则根据相似三角形的判定方法可判断△ADF∽△ECF.
【解答】解:∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD∥CE,
∴△ADF∽△ECF.
故答案为△ADF∽△ECF.
30.(2018•北京)如图,在矩形ABCD中,E是边AB的中点,连接DE交对角线AC于点F,若AB=4,AD=3,则CF的长为 .
【分析】根据矩形的性质可得出AB∥CD,进而可得出∠FAE=∠FCD,结合∠AFE=∠CFD(对顶角相等)可得出△AFE∽△CFD,利用相似三角形的性质可得出==2,利用勾股定理可求出AC的长度,再结合CF=•AC,即可求出CF的长.
【解答】解:∵四边形ABCD为矩形,
∴AB=CD,AD=BC,AB∥CD,
∴∠FAE=∠FCD,
又∵∠AFE=∠CFD,
∴△AFE∽△CFD,
∴==2.
∵AC==5,
∴CF=•AC=×5=.
故答案为:.
31.(2018•包头)如图,在▱ABCD中,AC是一条对角线,EF∥BC,且EF与AB相交于点E,与AC相交于点F,3AE=2EB,连接DF.若S△AEF=1,则S△ADF的值为 .
【分析】由3AE=2EB可设AE=2a、BE=3a,根据EF∥BC得=()2=,结合S△AEF=1知S△ADC=S△ABC=,再由==知=,继而根据S△ADF=S△ADC可得答案.
【解答】解:∵3AE=2EB,
∴可设AE=2a、BE=3a,
∵EF∥BC,
∴△AEF∽△ABC,
∴=()2=()2=,
∵S△AEF=1,
∴S△ABC=,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴S△ADC=S△ABC=,
∵EF∥BC,
∴===,
∴==,
∴S△ADF=S△ADC=×=,
故答案为:.
32.(2018•资阳)已知:如图,△ABC的面积为12,点D、E分别是边AB、AC的中点,则四边形BCED的面积为 9 .
【分析】设四边形BCED的面积为x,则S△ADE=12﹣x,由题意知DE∥BC且DE=BC,从而得=()2,据此建立关于x的方程,解之可得.
【解答】解:设四边形BCED的面积为x,则S△ADE=12﹣x,
∵点D、E分别是边AB、AC的中点,
∴DE是△ABC的中位线,
∴DE∥BC,且DE=BC,
∴△ADE∽△ABC,
则=()2,即=,
解得:x=9,
即四边形BCED的面积为9,
故答案为:9.
33.(2018•泰安)《九章算术》是中国传统数学最重要的著作,在“勾股”章中有这样一个问题:“今有邑方二百步,各中开门,出东门十五步有木,问:出南门几步面见木?”
用今天的话说,大意是:如图,DEFG是一座边长为200步(“步”是古代的长度单位)的正方形小城,东门H位于GD的中点,南门K位于ED的中点,出东门15步的A处有一树木,求出南门多少步恰好看到位于A处的树木(即点D在直线AC上)?请你计算KC的长为 步.
【分析】证明△CDK∽△DAH,利用相似三角形的性质得=,然后利用比例性质可求出CK的长.
【解答】解:DH=100,DK=100,AH=15,
∵AH∥DK,
∴∠CDK=∠A,
而∠CKD=∠AHD,
∴△CDK∽△DAH,
∴=,即=,
∴CK=.
答:KC的长为步.
故答案为.
34.(2018•岳阳)《九章算术》是我国古代数学名著,书中有下列问题:“今有勾五步,股十二步,问勾中容方几何?”其意思为:“今有直角三角形,勾(短直角边)长为5步,股(长直角边)长为12步,问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步?”该问题的答案是 步.
【分析】如图1,根据正方形的性质得:DE∥BC,则△ADE∽△ACB,列比例式可得结论;如图2,同理可得正方形的边长,比较可得最大值.
【解答】解:如图1,∵四边形CDEF是正方形,
∴CD=ED,DE∥CF,
设ED=x,则CD=x,AD=12﹣x,
∵DE∥CF,
∴∠ADE=∠C,∠AED=∠B,
∴△ADE∽△ACB,
∴,
∴,
x=,
如图2,四边形DGFE是正方形,
过C作CP⊥AB于P,交DG于Q,
设ED=x,
S△ABC=AC•BC=AB•CP,
12×5=13CP,
CP=,
同理得:△CDG∽△CAB,
∴,
∴,
x=,
∴该直角三角形能容纳的正方形边长最大是(步),
故答案为:.
35.(2018•吉林)如图是测量河宽的示意图,AE与BC相交于点D,∠B=∠C=90°,测得BD=120m,DC=60m,EC=50m,求得河宽AB= 100 m.
【分析】由两角对应相等可得△BAD∽△CED,利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB.
【解答】解:∵∠ADB=∠EDC,∠ABC=∠ECD=90°,
∴△ABD∽△ECD,
∴,,
解得:AB=(米).
故答案为:100.
三.解答题(共15小题)
36.(2018•张家界)如图,点P是⊙O的直径AB延长线上一点,且AB=4,点M为上一个动点(不与A,B重合),射线PM与⊙O交于点N(不与M重合)
(1)当M在什么位置时,△MAB的面积最大,并求岀这个最大值;
(2)求证:△PAN∽△PMB.
【分析】(1)当M在弧AB中点时,三角形MAB面积最大,此时OM与AB垂直,求出此时三角形面积最大值即可;
(2)由同弧所对的圆周角相等及公共角,利用两对角相等的三角形相似即可得证.
【解答】解:(1)当点M在的中点处时,△MAB面积最大,此时OM⊥AB,
∵OM=AB=×4=2,
∴S△ABM=AB•OM=×4×2=4;
(2)∵∠PMB=∠PAN,∠P=∠P,
∴△PAN∽△PMB.
37.(2018•株洲)如图,在Rt△ABM和Rt△ADN的斜边分别为正方形的边AB和AD,其中AM=AN.
(1)求证:Rt△ABM≌Rt△AND;
(2)线段MN与线段AD相交于T,若AT=,求tan∠ABM的值.
【分析】(1)利用HL证明即可;
(2)想办法证明△DNT∽△AMT,可得由AT=,推出,在Rt△ABM中,tan∠ABM=.
【解答】解:(1)∵AD=AB,AM=AN,∠AMB=∠AND=90°
∴Rt△ABM≌Rt△AND(HL).
(2)由Rt△ABM≌Rt△AND易得:∠DAN=∠BAM,DN=BM
∵∠BAM+∠DAM=90°;∠DAN+∠ADN=90°
∴∠DAM=∠AND
∴ND∥AM
∴△DNT∽△AMT
∴
∵AT=,
∴
∵Rt△ABM
∴tan∠ABM=.
38.(2018•大庆)如图,AB是⊙O的直径,点E为线段OB上一点(不与O,B重合),作EC⊥OB,交⊙O于点C,作直径CD,过点C的切线交DB的延长线于点P,作AF⊥PC于点F,连接CB.
(1)求证:AC平分∠FAB;
(2)求证:BC2=CE•CP;
(3)当AB=4且=时,求劣弧的长度.
【分析】(1)根据等角的余角相等证明即可;
(2)只要证明△CBE∽△CPB,可得=解决问题;
(3)作BM⊥PF于M.则CE=CM=CF,设CE=CM=CF=3a,PC=4a,PM=a,利用相似三角形的性质求出BM,求出tan∠BCM的值即可解决问题;
【解答】(1)证明:∵AB是直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠BCP+∠ACF=90°,∠ACE+∠BCE=90°,
∵∠BCP=∠BCE,
∴∠ACF=∠ACE,即AC平分∠FAB.
(2)证明:∵OC=OB,
∴∠OCB=∠OBC,
∵PF是⊙O的切线,CE⊥AB,
∴∠OCP=∠CEB=90°,
∴∠PCB+∠OCB=90°,∠BCE+∠OBC=90°,
∴∠BCE=∠BCP,
∵CD是直径,
∴∠CBD=∠CBP=90°,
∴△CBE∽△CPB,
∴=,
∴BC2=CE•CP;
(3)解:作BM⊥PF于M.则CE=CM=CF,设CE=CM=CF=3a,PC=4a,PM=a,
∵∠MCB+∠P=90°,∠P+∠PBM=90°,
∴∠MCB=∠PBM,
∵CD是直径,BM⊥PC,
∴∠CMB=∠BMP=90°,
∴△BMC∽△PMB,
∴=,
∴BM2=CM•PM=3a2,
∴BM=a,
∴tan∠BCM==,
∴∠BCM=30°,
∴∠OCB=∠OBC=∠BOC=60°,∠BOD=120°
∴的长==π.
39.(2018•江西)如图,在△ABC中,AB=8,BC=4,CA=6,CD∥AB,BD是∠ABC的平分线,BD交AC于点E,求AE的长.
【分析】根据角平分线定义和平行线的性质求出∠D=∠CBD,求出BC=CD=4,证△AEB∽△CED,得出比例式,求出AE=2CE,即可得出答案.
【解答】解:∵BD为∠ABC的平分线,
∴∠ABD=∠CBD,
∵AB∥CD,
∴∠D=∠ABD,
∴∠D=∠CBD,
∴BC=CD,
∵BC=4,
∴CD=4,
∵AB∥CD,
∴△ABE∽△CDE,
∴=,
∴=,
∴AE=2CE,
∵AC=6=AE+CE,
∴AE=4.
40.(2018•上海)已知:如图,正方形ABCD中,P是边BC上一点,BE⊥AP,DF⊥AP,垂足分别是点E、F.
(1)求证:EF=AE﹣BE;
(2)联结BF,如课=.求证:EF=EP.
【分析】(1)利用正方形的性质得AB=AD,∠BAD=90°,根据等角的余角相等得到∠1=∠3,则可判断△ABE≌△DAF,则BE=AF,然后利用等线段代换可得到结论;
(2)利用=和AF=BE得到=,则可判定Rt△BEF∽Rt△DFA,所以∠4=∠3,再证明∠4=∠5,然后根据等腰三角形的性质可判断EF=EP.
【解答】证明:(1)∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=AD,∠BAD=90°,
∵BE⊥AP,DF⊥AP,
∴∠BEA=∠AFD=90°,
∵∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°,
∴∠1=∠3,
在△ABE和△DAF中
,
∴△ABE≌△DAF,
∴BE=AF,
∴EF=AE﹣AF=AE﹣BE;
(2)如图,∵=,
而AF=BE,
∴=,
∴=,
∴Rt△BEF∽Rt△DFA,
∴∠4=∠3,
而∠1=∠3,
∴∠4=∠1,
∵∠5=∠1,
∴∠4=∠5,
即BE平分∠FBP,
而BE⊥EP,
∴EF=EP.
41.(2018•东营)如图,CD是⊙O的切线,点C在直径AB的延长线上.
(1)求证:∠CAD=∠BDC;
(2)若BD=AD,AC=3,求CD的长.
【分析】(1)连接OD,由OB=OD可得出∠OBD=∠ODB,根据切线的性质及直径所对的圆周角等于180°,利用等角的余角相等,即可证出∠CAD=∠BDC;
(2)由∠C=∠C、∠CAD=∠CDB可得出△CDB∽△CAD,根据相似三角形的性质结合BD=AD、AC=3,即可求出CD的长.
【解答】(1)证明:连接OD,如图所示.
∵OB=OD,
∴∠OBD=∠ODB.
∵CD是⊙O的切线,OD是⊙O的半径,
∴∠ODB+∠BDC=90°.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠OBD+∠CAD=90°,
∴∠CAD=∠BDC.
(2)解:∵∠C=∠C,∠CAD=∠CDB,
∴△CDB∽△CAD,
∴=.
∵BD=AD,
∴=,
∴=,
又∵AC=3,
∴CD=2.
42.(2018•南京)如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,连接DE.过点A作AF⊥DE,垂足为F,⊙O经过点C、D、F,与AD相交于点G.
(1)求证:△AFG∽△DFC;
(2)若正方形ABCD的边长为4,AE=1,求⊙O的半径.
【分析】(1)欲证明△AFG∽△DFC,只要证明∠FAG=∠FDC,∠AGF=∠FCD;
(2)首先证明CG是直径,求出CG即可解决问题;
【解答】(1)证明:在正方形ABCD中,∠ADC=90°,
∴∠CDF+∠ADF=90°,
∵AF⊥DE,
∴∠AFD=90°,
∴∠DAF+∠ADF=90°,
∴∠DAF=∠CDF,
∵四边形GFCD是⊙O的内接四边形,
∴∠FCD+∠DGF=180°,
∵∠FGA+∠DGF=180°,
∴∠FGA=∠FCD,
∴△AFG∽△DFC.
(2)解:如图,连接CG.
∵∠EAD=∠AFD=90°,∠EDA=∠ADF,
∴△EDA∽△ADF,
∴=,即=,
∵△AFG∽△DFC,
∴=,
∴=,
在正方形ABCD中,DA=DC,
∴AG=EA=1,DG=DA﹣AG=4﹣1=3,
∴CG==5,
∵∠CDG=90°,
∴CG是⊙O的直径,
∴⊙O的半径为.
43.(2018•滨州)如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,AD⊥CD于点D,且AC平分∠DAB,求证:
(1)直线DC是⊙O的切线;
(2)AC2=2AD•AO.
【分析】(1)连接OC,由OA=OC、AC平分∠DAB知∠OAC=∠OCA=∠DAC,据此知OC∥AD,根据AD⊥DC即可得证;
(2)连接BC,证△DAC∽△CAB即可得.
【解答】解:(1)如图,连接OC,
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA,
∵AC平分∠DAB,
∴∠OAC=∠DAC,
∴∠DAC=∠OCA,
∴OC∥AD,
又∵AD⊥CD,
∴OC⊥DC,
∴DC是⊙O的切线;
(2)连接BC,
∵AB为⊙O的直径,
∴AB=2AO,∠ACB=90°,
∵AD⊥DC,
∴∠ADC=∠ACB=90°,
又∵∠DAC=∠CAB,
∴△DAC∽△CAB,
∴=,即AC2=AB•AD,
∵AB=2AO,
∴AC2=2AD•AO.
44.(2018•十堰)如图,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,交AC于点E,过点D作FG⊥AC于点F,交AB的延长线于点G.
(1)求证:FG是⊙O的切线;
(2)若tanC=2,求的值.
【分析】(1)欲证明FG是⊙O的切线,只要证明OD⊥FG;
(2)由△GDB∽△GAD,设BG=a.可得===,推出DG=2a,AG=4a,由此即可解决问题;
【解答】(1)证明:连接AD、OD.
∵AB是直径,
∴∠ADB=90°,即AD⊥BC,
∵AC=AB,
∴CD=BD,
∵OA=OB,
∴OD∥AC,
∵DF⊥AC,
∴OD⊥DF,
∴FG是⊙O的切线.
(2)解:∵tanC==2,BD=CD,
∴BD:AD=1:2,
∵∠GDB+∠ODB=90°,∠ADO+∠ODB=90°,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∴∠GDB=∠GAD,
∵∠G=∠G,
∴△GDB∽△GAD,设BG=a.
∴===,
∴DG=2a,AG=4a,
∴BG:GA=1:4.
45.(2018•杭州)如图,在△ABC中,AB=AC,AD为BC边上的中线,DE⊥AB于点E.
(1)求证:△BDE∽△CAD.
(2)若AB=13,BC=10,求线段DE的长.
【分析】(1)想办法证明∠B=∠C,∠DEB=∠ADC=90°即可解决问题;
(2)利用面积法: •AD•BD=•AB•DE求解即可;
【解答】解:(1)∵AB=AC,BD=CD,
∴AD⊥BC,∠B=∠C,
∵DE⊥AB,
∴∠DEB=∠ADC,
∴△BDE∽△CAD.
(2)∵AB=AC,BD=CD,
∴AD⊥BC,
在Rt△ADB中,AD===12,
∵•AD•BD=•AB•DE,
∴DE=.
46.(2018•烟台)如图,已知D,E分别为△ABC的边AB,BC上两点,点A,C,E在⊙D上,点B,D在⊙E上.F为上一点,连接FE并延长交AC的延长线于点N,交AB于点M.
(1)若∠EBD为α,请将∠CAD用含α的代数式表示;
(2)若EM=MB,请说明当∠CAD为多少度时,直线EF为⊙D的切线;
(3)在(2)的条件下,若AD=,求的值.
【分析】(1)根据同圆的半径相等和等边对等角得:∠EDB=∠EBD=α,∠CAD=∠ACD,∠DCE=∠DEC=2α,再根据三角形内角和定理可得结论;
(2)设∠MBE=x,同理得:∠EMB=∠MBE=x,根据切线的性质知:∠DEF=90°,所以∠CED+∠MEB=90°,同理根据三角形内角和定理可得∠CAD=45°;
(3)由(2)得:∠CAD=45°;根据(1)的结论计算∠MBE=30°,证明△CDE是等边三角形,得CD=CE=DE=EF=AD=,求EM=1,MF=EF﹣EM=﹣1,根据三角形内角和及等腰三角形的判定得:EN=CE=,代入化简可得结论.
【解答】解:(1)连接CD、DE,⊙E中,∵ED=EB,
∴∠EDB=∠EBD=α,
∴∠CED=∠EDB+∠EBD=2α,
⊙D中,∵DC=DE=AD,
∴∠CAD=∠ACD,∠DCE=∠DEC=2α,
△ACB中,∠CAD+∠ACD+∠DCE+∠EBD=180°,
∴∠CAD==;
(2)设∠MBE=x,
∵EM=MB,
∴∠EMB=∠MBE=x,
当EF为⊙D的切线时,∠DEF=90°,
∴∠CED+∠MEB=90°,
∴∠CED=∠DCE=90°﹣x,
△ACB中,同理得,∠CAD+∠ACD+∠DCE+∠EBD=180°,
∴2∠CAD=180°﹣90∴=90∴,
∴∠CAD=45°;
(3)由(2)得:∠CAD=45°;
由(1)得:∠CAD=;
∴∠MBE=30°,
∴∠CED=2∠MBE=60°,
∵CD=DE,
∴△CDE是等边三角形,
∴CD=CE=DE=EF=AD=,
Rt△DEM中,∠EDM=30°,DE=,
∴EM=1,MF=EF﹣EM=﹣1,
△ACB中,∠NCB=45°+30°=75°,
△CNE中,∠CEN=∠BEF=30°,
∴∠CNE=75°,
∴∠CNE=∠NCB=75°,
∴EN=CE=,
∴===2+.
47.(2018•陕西)周末,小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时,他们选择了河对岸岸边的一棵大树,将其底部作为点A,在他们所在的岸边选择了点B,使得AB与河岸垂直,并在B点竖起标杆BC,再在AB的延长线上选择点D,竖起标杆DE,使得点E与点C、A共线.
已知:CB⊥AD,ED⊥AD,测得BC=1m,DE=1.5m,BD=8.5m.测量示意图如图所示.请根据相关测量信息,求河宽AB.
【分析】由BC∥DE,可得=,构建方程即可解决问题.
【解答】解:∵BC∥DE,
∴△ABC∽△ADE,
∴=,
∴=,
∴AB=17(m),
经检验:AB=17是分式方程的解,
答:河宽AB的长为17米.
48.(2018•济宁)如图,在正方形ABCD中,点E,F分别是边AD,BC的中点,连接DF,过点E作EH⊥DF,垂足为H,EH的延长线交DC于点G.
(1)猜想DG与CF的数量关系,并证明你的结论;
(2)过点H作MN∥CD,分别交AD,BC于点M,N,若正方形ABCD的边长为10,点P是MN上一点,求△PDC周长的最小值.
【分析】(1)结论:CF=2DG.只要证明△DEG∽△CDF即可;
(2)作点C关于NM的对称点K,连接DK交MN于点P,连接PC,此时△PDC的周长最短.周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK;
【解答】解:(1)结论:CF=2DG.
理由:∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=BC=CD=AB,∠ADC=∠C=90°,
∵DE=AE,
∴AD=CD=2DE,
∵EG⊥DF,
∴∠DHG=90°,
∴∠CDF+∠DGE=90°,∠DGE+∠DEG=90°,
∴∠CDF=∠DEG,
∴△DEG∽△CDF,
∴==,
∴CF=2DG.
(2)作点C关于NM的对称点K,连接DK交MN于点P,连接PC,此时△PDC的周长最短.周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK.
由题意:CD=AD=10,ED=AE=5,DG=,EG=,DH==,
∴EH=2DH=2,
∴HM==2,
∴DM=CN=NK==1,
在Rt△DCK中,DK===2,
∴△PCD的周长的最小值为10+2.
49.(2018•聊城)如图,正方形ABCD中,E是BC上的一点,连接AE,过B点作BH⊥AE,垂足为点H,延长BH交CD于点F,连接AF.
(1)求证:AE=BF.
(2)若正方形边长是5,BE=2,求AF的长.
【分析】(1)根据ASA证明△ABE≌△BCF,可得结论;
(2)根据(1)得:△ABE≌△BCF,则CF=BE=2,最后利用勾股定理可得AF的长.
【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠ABE=∠BCF=90°,
∴∠BAE+∠AEB=90°,
∵BH⊥AE,
∴∠BHE=90°,
∴∠AEB+∠EBH=90°,
∴∠BAE=∠EBH,
在△ABE和△BCF中,
,
∴△ABE≌△BCF(ASA),
∴AE=BF;
(2)解:∵AB=BC=5,
由(1)得:△ABE≌△BCF,
∴CF=BE=2,
∴DF=5﹣2=3,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD=5,∠ADF=90°,
由勾股定理得:AF====.
50.(2018•乌鲁木齐)如图,AG是∠HAF的平分线,点E在AF上,以AE为直径的⊙O交AG于点D,过点D作AH的垂线,垂足为点C,交AF于点B.
(1)求证:直线BC是⊙O的切线;
(2)若AC=2CD,设⊙O的半径为r,求BD的长度.
【分析】(1)根据角平分线的定义和同圆的半径相等可得OD∥AC,证明OD⊥CB,可得结论;
(2)在Rt△ACD中,设CD=a,则AC=2a,AD=a,证明△ACD∽△ADE,表示a=,由平行线分线段成比例定理得:,代入可得结论.
【解答】(1)证明:连接OD,
∵AG是∠HAF的平分线,
∴∠CAD=∠BAD,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∴∠CAD=∠ODA,
∴OD∥AC,
∵∠ACD=90°,
∴∠ODB=∠ACD=90°,即OD⊥CB,
∵D在⊙O上,
∴直线BC是⊙O的切线;(4分)
(2)解:在Rt△ACD中,设CD=a,则AC=2a,AD=a,
连接DE,
∵AE是⊙O的直径,
∴∠ADE=90°,
由∠CAD=∠BAD,∠ACD=∠ADE=90°,
∴△ACD∽△ADE,
∴,
即,
∴a=,
由(1)知:OD∥AC,
∴,即,
∵a=,解得BD=r.(10分)