2020中考数学高分一轮复习教材同步复习第五章四边形课时21正方形及特殊四边形的综合真题在线 4页

第一部分　第五章　课时21‎ ‎ 命题点一　正方形的性质及相关计算 ‎1．(2016·遵义)如图，正方形ABCD的边长为3，E，F分别是AB，CD上的点，且∠CFE＝60°，将四边形BCFE沿EF翻折，得到B′C′FE，C′恰好落在AD边上，B′C′交AB于点G，则GE的长是(　C　)‎ A．3－4　　　 B．4－5‎ C．4－2 D．5－2 ‎【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝AD＝3. 由折叠的性质得FC′＝FC，∠C′FE＝∠CFE＝60°，∠FC′B′＝∠C＝90°，B′E＝BE，∠B′＝∠B＝90°，∴∠DFC′＝60°，∴∠DC′F＝30°，∴FC′＝FC＝2DF.∵DF＋CF＝CD＝3，∴DF＋2DF＝3，解得DF＝1，∴DC′＝DF＝，则C′A＝3－，AG＝(3－)．设EB＝x，∵∠B′GE＝∠AGC′＝∠DC′F＝30°，∴GE＝2x，则(3－)＋3x＝3，解得x＝2－，∴GE＝2x＝4－2.‎ ‎2．(2018·遵义)如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E，F分别在AB，BC上(AE＜BE)，且∠EOF＝90°，OE，DA的延长线交于点M，OF，AB的延长线交于点N，连接MN.‎ ‎(1)求证：OM＝ON; ‎ ‎(2)若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．‎ ‎(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴OA＝OB，∠DAO＝45°，∠OBA＝45°，‎ ‎∴∠OAM＝∠OBN＝135°.‎ ‎∵∠EOF＝90°，∠AOB＝90°，‎ ‎∴∠AOM＝∠BON，‎ 在△OAM和△OBN中，‎ 4‎ ‎∴△OAM≌△OBN(ASA)，‎ ‎∴OM＝ON.‎ ‎(2)解：如答图，过点O作OH⊥AD于点H.‎ 答图 ‎∵正方形ABCD的边长为4，‎ ‎∴OH＝HA＝2.‎ ‎∵E为OM的中点，‎ ‎∴HM＝4，‎ ‎∴OM＝＝2，‎ ‎∴MN＝OM＝2.‎ ‎3．(2017·遵义)边长为2的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点(点P与A，C不重合)，连接BP，将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ，连接QP，QP与BC交于点E，QP的延长线与AD(或AD延长线)交于点F.‎ ‎(1)连接CQ，证明：CQ＝AP；‎ ‎(2)设AP＝x，CE＝y，试写出y关于x的函数关系式，并求当x为何值时，CE＝BC；‎ ‎(3)猜想PF与EQ的数量关系，并证明你的结论．‎ ‎(1)证明：∵线段BP绕点B顺时针旋转90°得到线段BQ，‎ ‎∴BP＝BQ，∠PBQ＝90°.‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴BA＝BC，∠ABC＝90°.‎ ‎∴∠ABC＝∠PBQ，‎ ‎∴∠ABC－∠PBC＝∠PBQ－∠PBC，‎ 即∠ABP＝∠CBQ.‎ 在△BAP和△BCQ中，‎ ‎∴△BAP≌△BCQ(SAS), ∴CQ＝AP.‎ 4‎ ‎(2)解：∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠BAC＝∠BAD＝45°，∠BCA＝∠BCD＝45°，‎ ‎∴∠APB＋∠ABP＝180°－45°＝135°.‎ ‎∵DC＝AD＝2，‎ ‎∴AC＝＝4.‎ ‎∵AP＝x，∴PC＝4－x.‎ ‎∵△PBQ是等腰直角三角形，∴∠BPQ＝45°，‎ ‎∴∠APB＋∠CPQ＝180°－45°＝135°，‎ ‎∴∠CPQ＝∠ABP. ‎ 又∵∠BAC＝∠ACB＝45°，∴△APB∽△CEP，‎ ‎∴＝，∴＝.‎ ‎∴y＝ x(4－x)＝－x2＋x(0＜x＜4)，‎ 若CE＝BC，即－x2＋x＝，‎ ‎∴x2－4x＋3＝0，‎ 解得x＝3或1，‎ ‎∴当x＝3或1时，CE＝BC.‎ 答图 ‎(3)解：结论：PF＝EQ. ‎ 证明：如答图1，当F在边AD上时，过P作PG⊥FQ，交AB于G，则∠GPF＝90°.‎ ‎∵∠BPQ＝45°，∴∠GPB＝45°，‎ ‎∴∠GPB＝∠PQB＝45°.‎ 在△PGB与△QEB中，‎ ‎∴△PGB≌△QEB(ASA)，∴EQ＝PG.‎ ‎∵∠BAD＝90°，∴F，A，G，P四点共圆，连接FG，‎ ‎∴∠FGP＝∠FAP＝45°，‎ ‎∴△FPG是等腰直角三角形，‎ 4‎ ‎∴PF＝PG，∴PF＝EQ.‎ 当F在AD的延长线上时，如答图2，同理可得PF＝PG＝EQ.‎ ‎ 命题点二　特殊四边形与圆的综合 ‎4．(2014·遵义)如图，边长为2的正方形ABCD中，P是CD的中点，连接AP并延长，交BC的延长线于点F，作△CPF的外接圆⊙O，连接BP并延长交⊙O于点E，连接EF，则EF的长为(　D　)‎ A． B． C．　 D． ‎【解析】∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠ABC＝∠PCF＝90°，CD∥AB.‎ ‎∵P为CD的中点，CD＝AB＝BC＝2，∴CP＝1.‎ ‎∵PC∥AB，∴△FCP∽△FBA，‎ ‎∴＝，即＝，‎ ‎∴BF＝4，∴CF＝4－2＝2.‎ 由勾股定理得BP＝＝.‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠BCP＝∠PCF＝90°，‎ ‎∴PF是⊙O的直径，‎ ‎∴∠E＝90°＝∠BCP.‎ 又∵∠PBC＝∠EBF，‎ ‎∴△BCP∽△BEF，‎ ‎∴＝，即＝，‎ ‎∴EF＝.‎ 4‎