初中数学中考总复习教案1 41页

2008 年中考总复习 （初中数学） 衢江区峡川镇中心学校 胡荣进 目 录 第一章 实数与代数式 1.1 有理数 …………………………………………………………………………………… 4 1.2 实数 ……………………………………………………………………………………… 6 1.3 整式 ……………………………………………………………………………………… 8 1.4 因式分解………………………………………………………………………………… 10 1.5 分式……………………………………………………………………………………… 12 1.6 二次根式………………………………………………………………………………… 14 ● 单元综合评价 …………………………………………………………………………… 16 第二章 方程与不等式 2.1 一次方程（组）……………………………………………………………………………20 2.2 分式方程 …………………………………………………………………………………23 2.3 一元二次方程 ……………………………………………………………………………25 2.4 一元一次不等式（组） …………………………………………………………………28 2.5 方程与不等式的应用 ……………………………………………………………………30 ● 单元综合评价………………………………………………………………………………33 第三章 函数 3.1 平面直角坐标系与函数 …………………………………………………………………37 3.2 一次函数 …………………………………………………………………………………39 3.3 反比例函数 ……………………………………………………………………………… 3.4 二次函数 ………………………………………………………………………………… 3.5 函数的综合应用 ………………………………………………………………………… ● 单元综合评价……………………………………………………………………………… 第四章 图形的认识 4.1 简单空间图形的认识 …………………………………………………………………… 4.2 线段、角、相交线与平行线 …………………………………………………………… 4.3 三角形及全等三角形 …………………………………………………………………… 4.4 等腰三角形与直角三角形 ……………………………………………………………… 4.5 平行四边形 ……………………………………………………………………………… 4.6 矩形、菱形、正方形 …………………………………………………………………… 4.7 梯形 ……………………………………………………………………………………… ● 单元综合评价……………………………………………………………………………… 第五章 圆 5.1 圆的有关性质 …………………………………………………………………………… 5.2 与圆有关的位置关系 …………………………………………………………………… 5.3 圆中的有关计算 ………………………………………………………………………… 5.4 几何作图 ………………………………………………………………………………… ● 单元综合评价……………………………………………………………………………… 第六章 图形的变换 6.1 图形的轴对称 …………………………………………………………………………… 6.2 图形的平移与旋转 ……………………………………………………………………… 6.3 图形的相似 ……………………………………………………………………………… 6.4 图形与坐标 ……………………………………………………………………………… 6.5 锐角三角函数 …………………………………………………………………………… 6.6 锐角三角函数的应用 …………………………………………………………………… ● 单元综合评价……………………………………………………………………………… 第七章 统计与概率 7.1 数据的收集、整理与描述 ……………………………………………………………… 7.2 数据的分析 ……………………………………………………………………………… 7.3 概率 ……………………………………………………………………………………… ● 单元综合评价……………………………………………………………………………… 第八章 拓展性专题 8.1 数感与符号感 …………………………………………………………………………… 8.2 空间观念 ………………………………………………………………………………… 8.3 统计观念 ………………………………………………………………………………… 8.4 应用性问题 ……………………………………………………………………………… 8.5 推理与说理 ……………………………………………………………………………… 8.6 分类讨论问题 …………………………………………………………………………… 8.7 方案设计问题 …………………………………………………………………………… 8.8 探索性问题 ……………………………………………………………………………… 8.9 阅读理解问题 …………………………………………………………………………… 1.1 有理数 【教学目标】 1.理解有理数的有关概念，能用数轴上的点表示有理数，会求倒数、相反数、绝对值. 2.掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算，会比较两个有理数的大小. 3.理解近似数和有效数字的概念，会将一个数表示成科学记数法的形式. 4.能运用有理数的运算解决简单的实际问题，会探索有规律性的计算问题. 【重点难点】 重点：有理数的加、减、乘、除、乘方运算及简单的混合运算. 难点：对含有较大数字的信息作出合理的解释和推断. 【考点例解】 例 1 （1）-5 的绝对值是（ ） A. -5 B. 5 C. D. （2）2007 年 3 月 5 日，温总理在《政府工作报告》中，讲述了六大民生新亮点，其 中之一就是全部免除了西部地区和部分中部地区农村义务教育阶段约 52000000 名学生的学杂费. 这个数据保留两个有效数字用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. （3）2008 年 2 月 4 日，我国遭受特大雪灾，部分城市的平均气温情况如下表（记温 度零上为正，单位：℃），则其中当天平均气温最低的城市是（ ） 城市 杭州 福州 北京 哈尔滨 广州 平均气温 -4 0 -9.5 -17.5 8 A. 广州 B. 福州 C. 北京 D. 哈尔滨 分析：本题主要是考查学生对有理数相关概念的理解. 第（1）小题考查绝对值的意义；第 （2）小题考查科学记数法；第（3）小题考查有理数的大小比较. 解答：（1）B； （2）B； （3）D. 例 2 计算： . 分析：本题主要是考查有理数的乘方运算及有理数混合运算的顺序. 解答：原式 . 例 3 观察表①，寻找规律，表②、表③、表④分别是从表①中截取的一部分，其中 、 1 5 1 5 − 752 10× 75.2 10× 85.2 10× 852 10× 3 2 211 ( 1) 3 ( )3 + − ÷ × − 1 1 801 ( 1) 9 19 81 81 = + − ÷ × = − = a 、 的值分别是（ ） A. 20，29，30 B. 18，30，26 C. 18，20，26 D. 18，30，28 分析：本题主要考查有理数运算的简单应用. 表①中第一行中的数均为连续的自然数，而下 面各行依次是第一行的 2 倍、3 倍、4 倍、…；表①中第一列中的数均为连续的自然 数，依次从左往右各列的最大公约数分别是 2、3、4、…. 解答：D. 【考题选粹】 1.（2007·宜宾）数学家发明了一个魔术盒，当任意实数对（ ， ）进入其中时，会得到 一个新的实数： .如把（3，-2）放入其中，会得到 .现将实数 对（-2，3）放入其中得到实数 ，再将实数对（ ，1）放入其中得到的数是 . 2.（2007·玉溪）小颖中午回家自己煮面条吃，有下面几道工序：①洗锅盛水 2 分钟；②洗 菜 3 分钟；③准备面条及佐料 2 分钟；④用锅把水烧开 7 分钟；⑤用烧开的水煮面条和 菜 3 分钟. 以上各道工序，除④外，一次只能进行一道工序，则小颖要将面条煮好，最 少用 分钟. 【自我检测】 见《数学中考复习一课一练》. b c a b 2 1a b+ + 23 ( 2) 1 8+ − + = m m 20 24 25 b 12 15 a 18 c 32 1 2 3 4 … 2 4 6 8 … 3 6 9 12 … 4 8 12 16 … … … … … … 表① 表② 表③ 表④ 1.2 实数 【教学目标】 1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会求非负数的算术平方根和实数的立方根. 2.了解无理数与实数的概念，知道实数与数轴上的点的一一对应关系，能用有理数估计 一个无理数的大致范围. 3.会用算术平方根的性质进行实数的简单四则运算，会用计算器进行近似计算. 【重点难点】 重点：用算术平方根的性质进行实数的简单四则运算. 难点：实数的分类及无理数的值的近似估计. 【考点例解】 例 1 （1）下列实数： ， ， ， ，3.14159， ， ， 中， 无理数有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 （2）下列语句：①无理数的相反数是无理数；②一个数的绝对值一定是非负数；③有 理数比无理数小；④无限小数不一定是无理数. 其中正确的是（ ） A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.②④ 分析：本题主要是考查学生对无理数与实数概念的理解. 解答：（1）C； （2）C. 例 2 计算： . 分析：本题主要是考查零指数幂、负指数幂及算术平方根的化简与运算. 解答：原式 . 例 3 我国《劳动法》对劳动者的加班工资作出了明确规定：春节长假期间，前 3 天是法定 休假日，用人单位应按照不低于劳动者本人日工资或小时工资的 300%支付加班工资; 后 4 天是休息日，用人单位应首先安排劳动者补休，不能安排补休的，按照不低于劳 动者本人日工资或小时工资的 200%支付加班工资. 小王由于工作需要，今年春节的 22 7 sin 60 3 π 0( 2) 9− 2( 7)−− 8 0 21 11 2 1 sin30 182008 2 −   − − − + −         ( ) 12 1 1 4 3 2 2 1 1 2 3 2 2 22 = − − + × − = − − + − = − 初一、初二、初三共加班三天（春节长假从十二月卅日开始）. 如果小王的月平均工 资为 2800 元，那么小王加班三天的加班工资应不低于 元. 分析：本题主要考查学生灵活应用实数运算的相关知识解决实际问题的能力.要注意的是今 年的法定假期共有 11 天，因此日工资标准的计算方法是： . 解答： （元）. 【考题选粹】 1.（2007·内江）若 ， 均为整数，且当 时，代数式 的值为 0，则 的算术平方根为 . 2.（2007·嘉兴）计算： . 3.（2007·重庆）将正整数按如右图所示的规律排列 下去. 若用有序实数对（ ， ）表示第 排、 从左到右第 个数，如（4，3）表示实数 9，则 （7，2）表示的实数是 . 【自我检测】 见《数学中考复习一课一练》. 2800 21.75÷ ( )2800 21.75 2 300% 1 200% 1030÷ × × + × ≈ a b 3 1x = − 2x ax b+ + ba ( )3 28 1 2 tan 452 + − − × +  n m n m 1 ………………… 第一排 2 3 ……………… 第二排 4 5 6 …………… 第三排 7 8 9 10 ……… 第四排 …………………………………… 1.3 整式 【教学目标】 1.了解整式的有关概念，理解去括号法则，能熟练进行整式的加减运算. 2.掌握正整数指数幂的运算性质，能在运算中灵活运用各种性质. 3.会进行简单的整式乘法运算和简单的多项式除法运算，了解两个乘法公式及其几何背 景，能运用乘法公式进行简便. 4.会通过对问题的分析列出代数式，能熟练进行整式的化简与求值. 【重点难点】 重点：列代数式表示数量关系，整式的化简与求值. 难点：乘法公式的灵活运用. 【考点例解】 例 1 （1）已知整式 与 是同类项，那么 ， 的值分别是（ ） A. 2，-1 B. 2，1 C. -2，-1 D. -2，1 （2）下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. （3）如果 ， ，那么代数式 的值是 . 分析：本题主要是考查同类项的概念和整式的加法、乘法和正整数指数幂的运算. 解答：（1）A； （2）C； （3）5. 例 2 （1）王老板以每枝 元的单价买进玫瑰花 100 枝.现以每枝比进价多两成的价格卖出 70 枝后，再以每枝比进价低 元的价格将余下的 30 枝玫瑰花全部卖出，则王 老板的全部玫瑰花共卖了 元（用含 ， 的代数式表示）. （2）如图 3-1 所示，用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加 1 的规律 拼成一列图案： 31 2 1 yx a− bab yx +−− 23 a b 853 xxx =+ ( ) 923 xx = 734 xxx =⋅ ( ) 93 22 +=+ xx 5mx = 25nx = 5 2m nx − a b a b ①第 4 个图案中有白色纸片 张；②第 个图案中有白色纸片 张. 分析：本题主要考查列代数式表示数量关系，第（1）题的关键是弄清前 70 枝玫瑰花的单价 和后 30 枝的单价分别是多少；第（2）题的关键是要发现图案中的规律：第一个图形 有 4 张白色纸片，以后每个图形都比前一个图形多 3 张白色纸片. 解答：（1） . （2）①13； ② . 例 3 先化简，再求值： ，其中 . 分析：本题主要考查乘法公式的灵活应用及整式的化简求值.解答这一类题目时，一般应先 将整式化简，然后再将字母的值代入计算. 解答：原式 . 当 时，原式 . 【考题选粹】 1.（2006·济宁） 能被下列数整除的是( ) A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 2.（2007·淄博）根据以下 10 个乘积，回答问题： ； ； ； ； ； ； ； ； ； . （1）试将以上各乘积分别写成一个“□2－○2”（两数平方差）的形式，并写出其中一个 的思考过程； （2）将以上 10 个乘积按照从小到大的顺序排列起来； （3）试由（1）、（2）猜测一个一般性的结论（不要求证明）. 【自我检测】 见《数学中考复习一课一练》. n ( ) ( ) babaa 3011430%20170 −=−++ 3 1n + ( )( ) ( ) ( )23 2 3 2 5 1 2 1x x x x x+ − − − − − 1 3x = − 2 2 29 4 5 5 4 4 1 9 5x x x x x x= − − + − + − = − 1 3x = − 19 5 83  = × − − = −   ( ) ( )2006 20058 8− + − 11 29× 12 28× 13 27× 14 26× 15 25× 16 24× 17 23× 18 22× 19 21× 20 20× 1.4 因式分解 【教学目标】 1.理解因式分解的概念，了解因式分解与整式乘法之间的关系. 2.掌握因式分解的一般思考顺序，会运用提公因式法和公式法进行因式分解，会利用因 式分解解决一些简单的实际问题. 【重点难点】 重点：运用提公因式法和公式法进行因式分解. 难点：利用因式分解解决一些简单的实际问题. 【考点例解】 例 1 （1）在一次数学课堂练习中，小聪做了以下 4 道因式分解题，你认为小聪做得不够完 整的一道题是（ ） A. B. C. D. . （2）因式分解 的结果是（ ） A. B. C. D. . 分析：本题主要是考查因式分解的概念和因式分解一般思考顺序，强调因式分解一定要分解 到结果中的每个因式都不能再分解为止. 解答：（1）A； （2）B. 例 2 利用因式分解说明： 能被 120 整除. 分析：要说明 能被 120 整除，关键是通过因式分解得到 含有因数 120，可 将 化为同底数形式，然后利用提公因式法分解因数. ( )3 2 1x x x x− = − ( )22 22x xy y x y− + = − ( )2 2x y xy xy x y− = − ( )( )2 2x y x y x y− = + − ( )21 9x − − ( )( )8 1x x+ + ( )( )2 4x x+ − ( )( )2 4x x− + ( )( )10 8x x− + 7 1225 5− 7 1225 5− 7 1225 5− 7 1225 5− 解答：∵ ， ∴ 能被 120 整除. 例 3 在日常生活中经常需要密码，如到银行取款、上网等. 有种用“因式分解”法产生的 密 码 方 便 记 忆 ， 原 理 是 ： 如 对 于 多 项 式 ， 因 式 分 解 的 结 果 是 ，若取 ， ，则各因式的值分别是： ， ， ，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码. 同理， 对 于 多 项 式 ， 若 取 ， ， 则 产 生 的 密 码 是 ： （写出一个即可）. 分析：本题是因式分解的知识在实际生活中的简单应用. 解答时只需要先对多项式进行因式 分解，再求各因式的值就可以了. 解答： ，当 ， 时，各因式的值 分别是： ， ， ，所以密码可以为 101030（也可以为 103010 或 301010）. 【考题选粹】 1.（2006·南通）已知 ， ， ，其中 . （1）求证： ，并指出 与 的大小关系； （2）指出 与 的大小关系，并说明理由. 2.（2007·临安）已知 、 、 是 的三边，且满足 ，判断 的形状. 阅读下面的解题过程： 解：由 得 ， ① 即 ， ② ∴ ， ③ ∴ 是直角三角形. ④ 试问：以上解题过程是否正确？ . 若不正确，请指出错在哪一步？（填代号） ； 错误原因是 ；本题的正确结论应该是 . 【自我检测】 ( )7 12 14 12 12 2 12 1125 5 5 5 5 5 1 5 24 5 120− = − = − = × = × 7 1225 5− ( )( )( )2 2x y x y x y− + + 9x = 9y = 0x y− = 18x y+ = 2 2 162x y+ = 3 24a ab− 10a = 10b = ( ) ( )( )3 2 2 24 4 2 2a ab a a b a a b a b− = − = − + 10a = 10b = 10a = 2 10a b− = 2 30a b+ = 2A a= + 2 5B a a= − + 2 5 19C a a= + − 2a > 0B A− > A B A C a b c ABC∆ 4 2 2 4 2 2a b c b a c+ = + ABC∆ 4 2 2 4 2 2a b c b a c+ = + 4 4 2 2 2 2a b a c b c− = − ( )( ) ( )2 2 2 2 2 2 2a b a b c a b+ − = − 2 2 2a b c+ = ABC∆ 见《数学中考复习一课一练》. 1.5 分式 【教学目标】 1.了解分式概念，会求分式有意义、无意义和分式值为 0 时，分式中所含字母的条件. 2.掌握分式的基本性质和分式的变号法则，能熟练地进行分式的通分和约分. 3.掌握分式的加、减、乘、除四则运算，能灵活地运用分式的四则运算法则进行分式的 化简和求值. 【重点难点】 重点：分式的基本性质和分式的化简. 难点：分式的化简和通过分式的运算解决简单的实际问题. 【考点例解】 例 1 （1）在函数 中，自变量 的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 . （2）若分式 的值为零，则 的值为 . （3）下列分式的变形中，正确的是（ ） A. B. C. D. 分析：本题主要考查分式的概念与分式的基本性质. 在分式中，要使分式有意义，分式的分 母要不为零；要使分式值为 0，则要求分子的值为 0 且分式有意义. 解答：（1）B； （2） ； （3）C. 例 2 先化简： ，再选择一个恰当的 的值代入求值. 分析：本题主要考查分式的化简和分式有意义的条件. 在分式化简中，经常可以把分式的除 2 3 xy x = − x 0x ≠ 3 2x ≠ 3 2x > 0x ≠ 0x ≠ 3 2x ≠ 2 3 3 x x − + x 1 1 1 1 a a b b + −=+ − x y x y x y x y − − −=− + + ( )2 2 2 x y x y x y x y − −=− + 2 2 x y x y x y x y − −=+ + 3x = 2 11 1 1 x x x  + ÷ − −  x 法改为乘法，再利用“分解约分”法进行化简. 在本题中的 不能取 0 和±1. 解答：原式 ，当 时，原式＝3. 例 3 （1）已知一个正分数 ，如果分子、分母同时增加 1，分数的值是增大 减小？请证明你的结论；（2）若正分数 中分子和分母同时增加 2， 3，…， （整数 ＞0），情况如何？（3）请你用上面的结论解释下面的问题：建筑 学规定，民用住宅窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板的比 应不小于 10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好. 问同时增加相等的窗户面 积和地板面积，住宅的采光条件是变好还是变坏？请说明理由. 分析：本题考查了分式的大小比较，并要求利用有关知识解决实际问题. 解题的关键是理解 题意，得到正确的结论. 解答：（1）正分数 中，若分子、分母同时增加 1，分数的值增大，证明如下： ∵ ， ∴ ， ∴ ， 即 . （2）正分数 中分子和分母同时增加 2，3，…， （整数 ＞0）时， 分式的值也增大. （3）住宅的采光条件变好，理由略. 【考题选粹】 1. （ 2007 · 东 营 ） 小 明 在 考 试 时 看 到 一 道 这 样 的 题 目 ： “ 先 化 简 ，再求值.”小明代入某个数后求得值为 3. 你能确定小明 代入的是哪一个数吗?你认为他代入的这个数合适吗?为什么? 2.（2007·嘉兴）解答一个问题后，将结论作为条件之一，提出与原问题有关的新问题，我 们把它称为原问题的一个“逆向”问题. 例如，原问题是“若矩形的两边长分别为 3 和 4，求矩形的周长”，求出周长等于 14 后，它的一个“逆向”问题可以是“若矩形的周长 为 14，且一边长为 3，求另一边的长”；也可以是“若矩形的周长为 14，求矩形面积的 最大值”等等. x ( )( )1 1 11 x xx xx x − += ⋅ = +− 2x = ( )0n m nm > > ( )0n m nm > > k k ( )0n m nm > > 0m n> > 0m n− > ( )1 0m m + > ( ) 1 01 1 n n m n m m m m + −− = >+ + 1 1 n n m m + >+ ( )0n m nm > > k k 2 2 111 1 1 a a a a    − ÷ −   − − +    （1）设 ， ，求 与 的值； （2）提出（1）的一个“逆向”问题，并解答这个问题. 【自我检测】 见《数学中考复习一课一练》. 1.6 二次根式 【教学目标】 1.了解二次根式的概念，掌握二次根式有意义的条件. 2.了解二次根式的加、减、乘、除运算法则，会对简单的二次根式进行化简，会用二次 根式的运算法则进行实数的简单四则运算. 【重点难点】 重点：二次根式的化简和用二次根式的运算法则进行实数的简单四则运算. 难点：二次根式的化简. 【考点例解】 例 1 （1）若代数式 在实数范围内有意义，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. . （2）若 为实数，则下列各式中一定有意义的是（ ） A. B. C. D. 分析：本题主要考查二次根式的概念，即在二次根式中，被开方数必须是非负数. 解答：（1）B； （2）B. 例 2 （1）计算： . （2）比较大小： . 分析：本题主要考查二次根式性质的灵活应用和二次根式的混合运算. 第（1）题中，可先 利用二次根式的性质进行化简，然后利用实数的运算法则进行计算；第（2）题要先 逆用性质： ，再进行两个数的大小比较. 3 2 2 x xA x x = −− + 2 4xB x −= A B 2−x x 2>x 2≥x 2 15273 −<− ABC∆ a b c 224210212 −−+=−−++ bacba ABC∆ a 0≥a 0≥a ( ) ( ) 02114242510 22 =−−+    +−−−++− cbbaa ( ) ( ) 021145 22 =−−+−−+− cba 05 =−a 014 =−−b 021 =−−c 5=== cba ABC∆ 0− acb 042 =− acb 042 <− acb ( )1332 +=+ xx 0122 2 =−+ xx 032 =− xx ( ) 03 =−xx 0=x 03 =−x 03 =−x 3=x 01 =x 32 =x 2=a 2=b 1−=c ( ) 01212424 22 >=−××−=− acb 4 322 22 122 2 42 ±−=× ±−=−±−= a acbbx 2 13 4 322 1 −=+−=x 2 13 4 322 2 +−=−−=x 这种台灯的售价每上涨 1 元，其销售量将减少 10 台. 如果该商场想实现每月 10000 元的销售利润，那么这种台灯的售价应定为多少元？这时商场应进台灯多少台？ 分析：本题考查了列一元二次方程解应用题. 在降价销售问题中，利润＝（现售价－进价）× [原销量＋（原售价－现售价）/单位涨价×变化销量]. 解答：设这种台灯的售价为 元，则现在的销量为（ ）台. 根据题意，得 整理，得 解得 ， . 答：这种台灯的售价应定为 50 元或 80 元. 当售价定为 50 元时，应进 500 台；当售 价定为 80 元时，应进 200 台. 【考题选粹】 1.（2007·巴中）三角形的一边长为 10，另两边长是方程 的两个实数根， 那么这个三角形是 三角形. 2.（2007·绵阳）已知 ， 是关于 的方程 的两实根. （1）试求 ， 的值（用含 ， 的代数式表示）； （2）若 ， 是某直角三角形的两直角边的长，问：当实数 ， 满足什么条件时， 这个直角三角形的面积最大？并求出其最大值. 【自我检测】 见《数学中考复习一课一练》. x 40 101 x− × ( ) 4030 600 10 100001 xx − − + × =   2 130 400 0x x− + = 1 50x = 2 80x = 2 14 48 0x x− + = 1x 2x x ( )( ) ( )( )2 2x x m p p m− − = − − 1x 2x m p 1x 2x m p 2.4 一元一次不等式（组） 【教学目标】 1.了解不等式和一元一次不等式（组）的概念，掌握不等式的基本性质. 2.了解一元一次不等式（组）的解和解集的概念，理解它们与方程的解的区别，会在数 轴上表示一元一次不等式（组）的解集. 3.掌握解一元一次不等式（组）的一般方法和步骤，能熟练地解一元一次不等式（组）， 会用口诀或数轴确定一元一次不等式组的解集. 4.能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式或一元一次不等式组解决简单 的实际问题，能确定一元一次不等式（组）的整数解. 【重点难点】 重点：一元一次不等式（组）的解法，列一元一次不等式（组）解应用题. 难点：列一元一次不等式（组）解应用题，确定一元一次不等式（组）的整数解. 【考点例解】 例 1 解下列不等式（组），并将其解集表示在数轴上： （1） ； （2） 分析：本题主要考查一元一次不等式（组）的解法及解集在数轴上的表示. 一元一次不等式 的解法类似于一元一次方程的解法；解一元一次不等式组时，应先求出不等式组中 每个不等式的解，再利用口诀或数轴来确定不等式组的解集. 口诀为“大大取大， 小小取小，大小小大连起写，大大小小题无解”. 解答：（1）略解： ，其解集在数轴上表示如下图①所示. （2）解不等式 ，得 ； 解不等式 ，得 . ∴ 原不等式的解集是 ，其在数轴上表示如下图②所示. 例 2 “全国文明村”江油白玉村果农王灿收获枇杷 20 吨，桃子 12 吨. 现计划租用甲、乙 两种货车共 8 辆将这批水果全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装运 4 吨枇杷和 1 吨桃子，一辆乙种货车可装运枇杷和桃子各 2 吨. （1）王灿如何安排甲、乙两种货车可一次性地将全部水果运往销售地？有几种方案？ （2）若甲种货车每辆要付运费 300 元，乙种货车每辆要付运费 240 元，则王灿应选择 哪种运输方案，才能使运费最省？最少运费是多少？ 分析：本题主要考查根据题中的数量关系列不等式组和不等式组的整数解，解答的关键是确 定甲种货车的数量，然后进行分类讨论，最后可利用函数性质求最值. 解答：（1）设王灿安排甲种货车 辆，则安排了乙种货车（8－ ）辆，根据题意，得 解这个不等式组，得 . ∵ 是整数， ∴ 可以取 2，3，4. ∴ 王灿有以下三种安排货车的方案：①甲种货车 2 辆，乙种货车 6 辆；②甲种 货车 3 辆，乙种货车 5 辆；③甲种货车 4 辆，乙种货车 4 辆. 3 3 12 x x − + ≥ + ( )5 2 3 1 1 31 72 2 x x x x − > + − ≤ − 1x ≤ ( )5 2 3 1x x− > + 5 2x > 1 31 72 2 x− ≤ − 4x ≤ 5 42 x< ≤ x x ( ) ( ) 4 2 8 20 2 8 12 x x x x + − ≥ + − ≥ 2 4x≤ ≤ x x 图 ① 图 ② （2）设安排 辆甲种货车时，需运费 元，根据题意，得 即 . 因为 是 的一次函数，且 随着 的增大而增大，所以当 （辆）时， 取到最小值，且 （元）. 【考题选粹】 1.（2007·德州）不等式组 的整数解是 . 2.（2006·青岛）“五一”期间，某学校计划组织 385 名师生租车旅游，现知道出租公司有 42 座和 60 座两种客车，42 座客车的租金为每辆 320 元，60 座客车的租金为每辆 460 元. （1）若学校单独租用这两种车辆，各需要多少租金？ （2）若学校同时租用这两种客车共 8 辆，且租金比单独租用一种车辆要省，请你帮助设 计一种最节省租金的租车方案. 【自我检测】 见《数学中考复习一课一练》. 2.5 方程与不等式的应用 【教学目标】 1.掌握一些基本问题中的数量关系和等量关系，能借助图表寻找数量关系和等量关系. 2.了解列不等式解应用师的特征，能准确列出不等式，会用不等式的整数解解决简单的 实际问题. 3.能解决与方程（组）、不等式（组）和一次函数有关的实际问题. 【重点难点】 重点：列方程（组）或不等式（组）解决实际问题. 难点：综合运用方程、不等式和一次函数的有关知识解决实际问题. 【考点例解】 例 1 某地区原有可退耕还林面积 63.68 万亩，从 2000 年开始执行国家退耕还林政策，当 年就退耕还林 8 万亩，此后退耕还林的面积逐年增加，到 2002 年底共退耕还林 29.12 万亩. x y ( )300 240 8y x x= + − 60 1920y x= + y x y x 2x = y 60 2 1920 2040y = × + =最小值 2 7 5 2 31 2 x x xx − < − ++ > （1）求 2001 年、2002 年退耕还林面积的平均增长率； （2）该地区从 2003 年起加大退耕还林的力度. 设 2003 年退耕还林的面积为 万亩， 退耕还林面积的增长率为 ，试写出 与 的函数关系式，并求出当 不小于 14.4 万亩时 的取值范围. 分析：本题主要考查列一元二次方程解应用题、根据数量关系写函数关系式及一元一次不等 式组的解法. 解答的结果一定要符合问题的实际意义. 解答：（1）设平均增长率为 ，根据题意，得 整理，得 解得 ， （不合题意，舍去） ∴ 答：2001 年、2002 年退耕还林面积的平均增长率为 20%. （2）根据题意，得 ，即 . 当 （万亩）时，有 ， 解这个不等式组，得 . 例 2 2007 年某县筹备 20 周年庆典，园林部门决定利用现有的 3490 盆甲种花卉和 2950 盆 乙种花卉搭配 A，B 两种园艺造型共 50 个. 已知搭配一个 A 种造型需甲种花卉 80 盆， 乙种花卉 40 盆；搭配一个 B 种造型需甲种花卉 50 盆，乙种花卉 90 盆. （1）某校九年级（1）班的课外数学兴趣小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计工作， 问：符合题意的搭配方案有哪几种？请你帮助设计出来； （2）若搭配一个 A 种造型的成本是 800 元，搭配一个 B 种造型的成本是 960 元，试说 明第（1）小题中哪种方案的成本最低？最低成本是多少元？ 分析：本题综合考查了不等式（组）和一次函数的有关知识. 解题时要先利用不等式组的整 数解确定两种造型的数量，再利用一次函数的增减性得出最佳方案. y x y x y x x ( ) ( )28 1 8 1 8 29.12x x+ + + + = 2 3 0.64 0x x+ − = 1 0.2x = 2 3.2x = − 0.2 20%x = = ( ) ( )28 1 0.2 1y x= + ⋅ + 11.52 11.52y x= + 14.4y ≥ 11.52 11.52 14.4 11.52 11.52 63.68 29.12 x x + ≥  + ≤ − 0.25 2x≤ ≤ 解答：（1）设搭配 A 种造型 个，则搭配了 B 种造型（50－ ）个，根据题意，得 解这个不等式组，得 . ∵ 是整数， ∴ 可以取 31，32，33. ∴ 可设计三种搭配方案：①A 种造型 31 个，B 种造型 19 个；②A 种造型 32 个， B 种造型 18 个；③A 种造型 33 个，B 种造型 17 个. （2）设搭配 A 种造型 个时，需成本 元，根据题意，得 即 . 因为 是 的一次函数，且 随着 的增大而减小，所以当 （个）时， 造型的总成本最低，且 （元）. 【考题选粹】 1.（2007·福州）李晖到“宇泉牌”服装专卖店做社会调查. 了解到商店为了激励营业员的 工作积极性，实行“月总收入＝基本工资＋计件奖金”的方法，并获得如下信息： 营业员 小俐 小花 月销售件数（件） 200 150 月总收入（元） 1400 1250 假设月销售件数为 件，月总收入为 元，销售每件奖励 元，营业员月基本工资为 元. （1）求 ， 的值； （2）若营业员小俐的月总收入不低于 1800 元，那么小俐当月至少要卖服装多少件？ 2.（2007·重庆）某镇组织 20 辆汽车装运完 A、B、C 三种脐橙共 100 吨到外地销售. 按计 划，20 辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙，且必须装满. 根据下表提供的 信息，解答以下问题： 脐橙品种 A B C 每辆汽车运载量（吨） 6 5 4 每吨脐橙获利（百元） 12 16 10 （1）设装运 A 种脐橙的车辆数为 ，装运 B 种脐橙的车辆数为 ，求 与 间的函数关 系式； x x ( ) ( ) 80 50 50 3490 40 90 50 2950 x x x x + − ≤ + − ≤ 31 33x≤ ≤ x x x y ( )800 960 50y x x= + − 160 48000y x= − + y x y x 33x = 160 33 48000 42720y = − × + =最小值 x y a b a b x y y x （2）如果装运每种脐橙的车辆数都不少于 4 辆，那么车辆的安排方案有几种？请写出每 种安排方案； （3）若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出最大利润的值. 【自我检测】 见《数学中考复习一课一练》. 第二单元综合测试（方程与不等式） 班级 学号 姓名 得分 . 一、选择题（本题有 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1. 已知 ，那么下列各式中，不成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程组 中，由②－①，得正确的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 下列关于 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ） a b> 3 3a b− > − 0a b− > a b− < − 5 5a b− > − 5 2 10 x y x y + =  + = 3 10x = 3 5x = − 5x = 5x = − x ① ② A. B. C. D. 4. 如图，天平右盘中的每个砝码的质量都 是 1 克，则天平左盘中的每个小立方体 的质量 的取值范围是( ) A. ＜2 B. ＞ 3 2 C. ＜2 或 ＞ 3 2 D. 3 2＜ ＜2 5. 如图是 2008 年 4 月的日历表，任意圈出一竖列上相邻的 三个数，请你运用方程思想来研究，发现这三个数的和不 可能是（ ） A.27 B.36 C.40 D.54 6. 若方程组 的解是 ，则 的解是（ ） A. B. C. D. 7. 三角形的两边长分别是 3 和 6，第三边的长是方程 的一个根，则这个三角 形的周长是（ ） A. 9 B. 11 C. 13 D. 11 或 13 8. 如果 ， ， 这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，那么 的取 值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 关于 的不等式组 只有 4 个整数解，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10.“某市为处理污水，需要铺设一条长为 4000 米的管道，为了尽量减少施工对交通所造成 的 影 响 ， 实 际 施 工 是 *******. 设 原 计 划 每 天 铺 设 管 道 米 ， 则 可 得 方 程 .”根据这个情境，题中用“*******”表示的缺失条件应补为（ ） A. 每天比原计划多铺设 10 米，结果延期 20 天才完成任务 2 1 0x + = 2 2 1 0x x+ + = 2 2 3 0x x+ + = 2 2 3 0x x+ − = m m m m m m 2 3 13 3 5 30.9 a b a b − =  + = 8.3 1.2 a b =  = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 1 13 3 2 5 1 30.9 x y x y + − − = + + − = 8.3 1.2 x y =  = 10.3 2.2 x y =  = 6.3 2.2 x y =  = 10.3 0.2 x y =  = 2 6 8 0x x− + = 2m m 1 m− m 0m < 1 2m > 0m > 10 2m< < x 15 32 2 2 3 x x x x a + > − + < + a 145 3a− ≤ ≤ − 145 3a− < ≤ − 145 3a− ≤ < − 145 3a− < < − x 4000 4000 2010x x − =− 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 >500 输出结果输入 x 计算 5 1x + 的值 是 否 B. 每天比原计划少铺设 10 米，结果延期 20 天才完成任务 C. 每天比原计划多铺设 10 米，结果提前 20 天才完成任务 D. 每天比原计划少铺设 10 米，结果提前 20 天才完成任务 二、填空题（本题有 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 11.如果 是关于 的方程 的解，那么 的值等于 . 12.若关于 的分式方程 无解，那么 的值等于 . 13.一次知识竞赛共有 30 道题，规定答对一道题得 4 分，答错或不答一道题得-1 分.在这次 竞赛中，小明获得了优秀（90 分或 90 分以上），则小明至少答对了 道题. 14.对正实数 ， 作定义： ，若 ，则 的值是 . 15.已知二次函数 的图象与 轴的一个交点坐标为（3，0），则关于 的方 程 的解是 . 16.按上面的程序计算，若开始输入的值 为正数，最后输出的结果为 656，则满足条件的 的值为 . 三、解答题（本题有 7 小题，共 80 分） 17.（10 分）解方程： . 18.（10 分）解不等式组： ，把它的解集在数轴上表示出来，并写出这 个不等式组的整数解. 19.（10 分）已知关于 的方程 有两个不相等的实数根. （1）求 的取值范围； 5x = x 7 3ax x− = + a x 1 13 3 a x x − =+ + a a b a b ab a b∗ = − + 4 44x∗ = x 2 2y x x m= − + + x x 2 2 0x x m− − = x x 3 2 21 1 x x x + =− + ( ) 3 3 12 1 3 1 8 x x x x − + ≥ +  − − < − x ( )2 2 1 1 0kx k x k− + + − = k （2）若方程有一个根为-1，求方程的另一个根及 的值. 20.（10 分）某商场将某种商品的售价从原来的每件 40 元经两次降价后调整为每件 32.4 元. （1）若该商场两次调价的降价率相同，这个降价率； （2）经调查，该商品每降价 0.2 元，就可多销售 10 件. 若该商品原来每月可销售 500 件，那么经两次降价后，每月可销售该商品多少件？ 21.（12 分）某公园门票每张 10 元，只供一次使用，考虑到人们的不同需求，也为了吸引 游客，该公园除保留原有的售票方法外，还推出一种“购个人年票”的售票方法（个人 年票从购买之日起，可供持有者使用一年）. 年票分 A、B、C 三类：A 类年票每张 120 元，持票者进入公园时无需再购买门票；B 类年票每张 60 元，持票者进入公园时，需 再购买门票，每次 2 元；C 类年票每张 40 元，持票者进入公园时，需再购买门票，每 次 3 元. （1）如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用 80 元花在该公园的门 票上，试通过计算，找出可使你进入该公园次数最多的购票方式； （2）求一年中进入该公园至少超过多少次时，购买 A 类票比较合算？ 22.（14 分）某超市在春节期间对顾客衽优惠，规定如下： 一次性购物 优惠方法 少于 200 元 不予优惠 低于 500 元但不低于 200 元 九折优惠 500 元或超过 500 元 其中 500 元部分给予九折优惠，超过 500 元部分给予八折优惠 （1）王老师一次性购物 600 元，他实际付款 元； （2）如果顾客在该超市一次性购物 元，当 小于 500 元但不小于 200 元时，他实际付 款 元；当 大于或等于 500 元时，他实际付款 元（用含 的代数式表示）； （3）如果王老师两次购物合计 820 元，实际付款共 728 元，且第一次购物的货款少于第 二次购物的货款，求王老师两次购物各多少元？ k x x x x 23.（14 分）机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油 量为 90 千克，用油的重复利用率为 60%，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油 量为 36 千克. 为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员 为减少实际油耗量进行攻关. （1）甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到 70 千克，用油 的重复利用率仍为 60%，问：甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗 油量是多少千克？ （2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了重复利用率，并且 发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少 1 千克，用油的重复利用率将增加 1.6%，这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到 12 千克. 问：乙车 间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用 率是多少？ 3.1 平面直角坐标系与函数 【教学目标】 1.了解平面直角坐标系，掌握坐标平面内特殊点的坐标特征，能用点的坐标表示位置. 2.了解常量和变量的意义，理解函数概念，会通过公式变形写出两个变量间的函数关系. 3.掌握函数的三种表示方式，能从函数图象中获取相关信息. 【重点难点】 重点：用点的坐标表示位置，从函数图象中获取相关信息. 难点：坐标变化与图形变换间的关系，根据图象获取信息. 【考点例解】 例 1（1）点 P 在第二象限内，并且它到 轴的距离是 4，到 轴的距离是 3，那么点 P 的坐x y 标为（ ） A.（-4，3） B.（-3，-4） C.（-3，4） D.（3，-4） （2）点（-2，1）关于 轴的对称点的坐标为（ ） A.（2，1） B.（-2，-1） C.（2，-1） D.（1，-2） （3）若 的顶点坐标分别为 A（3，6），B（1，3），C（4，2）. 如果将 绕 C 点按顺时针旋转 ，得到 ，那么点 A 的对应点 的坐标是 . 分析：本题主要考查坐标系的相关知识. 在解答时，关键要利用“数形结合”的数学思想， 把图形的变换与坐标的改变联系起来. 解答：（1）C； （2）B； （3）（8，3）. 例 2 向高为 的水瓶中注水，一直到将水瓶注满为止. 如果注水量 与水深 的函数图象 如图所示，那么水瓶的形状可能是（ ） 分析：本题主要考查学生对函数图象的理解. 在解答时，首先要搞清楚各种容器的结构，其 次要分清横、纵坐标轴所表示的实际意义. 解答：A. 例 3 一名考生步行前往考场参加学业考试，前 10 分钟走了总路程的 ，估计步行不能准 时赶到考场，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图所示，则他到达 考场所花的时间比一直步行提前了 分钟. 分析：本题考查学生根据图象获取信息的能力. 在解题时，首 先要理解函数的概念，然后再结合图形特征和问题的现 实意义，来获取正确的信息. 解答：24. 【考题选粹】 1.（2006· 烟台）先将一矩形 ABCD 置于直角坐标系中，使点 A 与原点重合，边 AB，AD 分 x ABC∆ ABC∆ 90 ' 'A B C∆ 'A 0h v h 1 4 0h h v A. B. C. D. 1 4 O 路程1 1 2 10 12 时间（分钟） 别落在 轴、 轴上，再将此矩形在坐标平面内按逆时针方向绕原点旋转 ，若 AB＝4， BC＝3，则旋转后点 B 的坐标为 ，点 C 的坐标为 . 2.（2007·绍兴）绍兴黄酒是中国名酒之一. 某黄酒厂的瓶酒车间先将散装黄酒灌装成瓶装 黄酒，再将瓶装黄酒装箱出车间.该车间有灌装、装箱生产线共 26 条，每条灌装、装箱 生产线的生产流量分别如图①、②所示.某日 8∶00～11∶00，车间内的生产线全部投入 生产，图③表示该时段内未装箱的瓶装黄酒存量的变化情况，则灌装生产线有 条. 【自我检测】 见《数学中考复习一课一练》. 3.2 一次函数 【教学目标】 1.理解正比例函数和一次函数的概念，能根据实际问题的条件或图象上的点的坐标确定 正比例函数和一次函数的解析式. 2.理解一次函数和正比例函数的图象与性质，理解它们的性质在实际应用中的意义. 3.会用图象法解二元一次方程组，能利用一次函数的图象与性质解决简单的实际问题. 【重点难点】 重点：一次函数的图象与性质. x y 30 O 1 650 y （瓶） x （时） 图① O 1 750 y （瓶） x （时） 图② O 8 10 400 700 y （瓶） x （时） 图③ 难点：用图象法解二元一次方程组，及利用一次函数的增减性解决实际问题中的最值. 【考点例解】 例 1 已知一次函数的图象经过点（2，5）和（-1，-1）两点. （1）求这个一次函数的解析式； （2）设该一次函数的图象向上平移 2 个单位后，与 轴、 轴的交点分别是点 A、点 B，试求 的面积. 分析：本题主要考查用待定系数法求一次函数的解析式和函数图象的平移. 解答：（1）设一次函数的解析式为 . 把点（2，5）和（-1，-1）的坐标分别代入 ，得 ， 解这个方程组，得 . ∴ 一次函数的解析式为 . （2）将直线 向上平移 2 个单位后，可得 . 在 函 数 中 ， 令 ， 得 ； 令 ， 得 ， 即 . ∴ ， . ∴ . 例 2 如图，某地区一种商品的需求量 （万件）、供应量 （万件）与价格 （元/件） 分别近似满足下列函数关系式： ， .需求量为 0 时，即停止 供应. 当 时，该商品的价格称为稳定价格，此时的需求量称为稳定需求量. （1）求该商品的稳定价格与稳定需求量； （2）价格在什么范围内，该商品的需求量低于供应量？ （3）当需求量高于供应量时，政府常通过对供应方提供价格补 贴来提高供货价格，以提高供应量. 现若要使稳定需求量 增加 4 万件，政府应对每件商品提供多少元补贴，才能使供应量等于需求量？ 分析：本题主要考查一次函数与一次方程及一元一次不等式间的联系. 在解答时要弄清在具 x y AOB∆ y kx b= + y kx b= + 2 5 1 k b k b + = − + = − 2 1 k b = −  = 2 1y x= − + 2 1y x= − + 2 3y x= − + 2 3y x= − + 0x = 3y = 0y = 2 3 0x− + = 3 2x = 3 2OA = 3OB = 1 1 3 932 2 2 4AOBS OA OB∆ = ⋅ = × × = 1y 2y x 1 60y x= − + 2 2 36y x= − 1 2y y= 2 2 36y x= − 1 60y x= − + O x O y 体的实际问题中，比例系数 的实际意义. 解答：（1）由 ，得 ，解得 （元/件）. 当 （元/件）时， （万元）. （2）由 ，得 ，解得 （元/件）. 由 ，得 . ∴ 当 时，需求量低于供应量. （3）当 （万件）时， ，解得 （元/件）. 当 （万件）时， ，解得 （元/件）. ∴ 应补贴 （元）. 【考题选粹】 1.（2006· 济宁）已知一次函数 与 的图象交于点 P（-2，-5），那么 不等式 的解是 . 2.（2007·晋江）小东从 A 地出发以某一速度向 B 地走去，同时小明从 B 地出发以另一速度 向 A 地而行，如图所示，图中的线段 、 分别表示小东、小明离 B 地的距离（千米） 与所用时间（小时）间的关系. （1）试用文字说明交点 P 所表示的实际意义； （2）试求出 A、B 两地之间的距离. 【自我检测】 见《数学中考复习一课一练》. k 1 2y y= 60 2 36x x− + = − 32x = 32x = 1 60 32 60 28y x= − + = − + = 1 2y y< 60 2 36x x− + < − 32x > 1 60 0y x= − + > 60x < 32 60x< < 1 28 4 32y = + = 60 32x− + = 28x = 2 1 32y y= = 2 36 32x − = 34x = 34 28 6− = 3y x b= + 3y ax= − 3 3x b ax+ > − 1y 2y 2y O x （小时） y （千米） 2.5 P 7.5 1y 4