• 3.82 MB
  • 2021-05-10 发布

中考数学压轴题动点问题专题讲解

  • 47页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
中考动点专题 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上 运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想:分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考查 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形,通过“对称、动点 的运动”等研究手段和方法,来探索与发现图形性质及图形变化,在解题过程中渗透空间观 念和合情推理。选择基本的几何图形,让学生经历探索的过程,以能力立意,考查学生的自 主探究能力,促进培养学生解决问题的能力.图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况, 需要理解图形在不同位置的情况,才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解 决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。 二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验 探究等方向发展.这些压轴题题型繁多、题意创新,目的是考察学生的分析问题、解决问题 的能力,内容包括空间观念、应用意识、推理能力等.从数学思想的层面上讲:(1)运动 观点;(2)方程思想;(3)数形结合思想;(4)分类思想;(5)转化思想等.研究历年 来各区的压轴性试题,就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向,它有利于我 们教师在教学中研究对策,把握方向.只的这样,才能更好的培养学生解题素养,在素质教 育的背景下更明确地体现课程标准的导向.本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存 在性和区分度小题处理手法提出自己的观点. 专题一:建立动点问题的函数解析式 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种 函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化 关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式 例 1(2000 年·上海)如图 1,在半径为 6,圆心角为 90°的扇形 OAB 的弧 AB 上,有一个动点 P,PH⊥OA, 垂足为 H,△OPH 的重心为 G. (1)当点 P 在弧 AB 上运动时,线段 GO、GP、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线 段,并求出相应的长度. (2)设 PH x ,GP y ,求 y 关于 x 的函数解析式,并写出函数的定义域(即自变量 x 的取值范围). (3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段 PH 的长. 解:(1)当点 P 在弧 AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段 GO、GP、GH 中,有长度保持不变的线段,这条线段是 GH= 3 2 NH= 2 1 3 2  OP=2. (2) 在 Rt △ POH 中 , 222 36 xPHOPOH  , ∴ 2362 1 2 1 xOHMH  . 在 Rt△MPH 中, .22222 3362 1 4 19 xxxMHPHMP  HM N G P O A B 图 1 x y ∴ y =GP= 3 2 MP= 23363 1 x (0< x <6). (3)△PGH 是等腰三角形有三种可能情况: ①GP=PH 时, xx  23363 1 ,解得 6x . 经检验, 6x 是原方程的根,且符合题意. ②GP=GH 时, 23363 1 2  x ,解得 0x . 经检验, 0x 是原方程的根,但不符合题意. ③PH=GH 时, 2x . 综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段 PH 的长为 6 或 2. 二、应用比例式建立函数解析式 例 2(2006 年·山东)如图 2,在△ABC 中,AB=AC=1,点 D,E 在直线 BC 上运动.设 BD= ,x CE= y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定 y 与 x 之间的函数解析式; (2)如果∠BAC 的度数为 ,∠DAE 的度数为  ,当 ,  满足怎样的关系式时,(1)中 y 与 x 之间的函 数解析式还成立?试说明理由. 解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°, ∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°. ∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°, 又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°, ∴∠CAE=∠ADB, ∴△ADB∽△EAC, ∴ AC BD CE AB  , ∴ 1 1 x y  , ∴ xy 1 . (2)由于∠DAB+∠CAE=   ,又∠DAB+∠ADB=∠ABC= 290  ,且 函数关系式成立, ∴ 290  =   , 整理得  2  90 . 当  2  90 时,函数解析式 xy 1 成立. 例 3(2005 年·上海)如图 3(1),在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3. 点 O 是边 AC 上的一个动点,以点 O 为圆心作半圆,与边 AB 相切于点 D, 交线段 OC 于点 E.作 EP⊥ED,交射线 AB 于点 P,交射线 CB 于点 F. (1)求证: △ADE∽△AEP. (2)设 OA= x ,AP= y ,求 y 关于 x 的函数解析式,并写出它的定 义域. (3)当 BF=1 时,求线段 AP 的长. 解:(1)连结 OD. 根据题意,得 OD⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP. 又由 OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP, ∴△ADE∽△ AEP. A ED CB 图 2 ● P D E AC B 3(2) O F O ● F P D E AC B 3(1) (2)∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3, ∴AC=5. ∵∠ABC=∠ADO=90°, ∴OD∥BC, ∴ 53 xOD  , 54 xAD  , ∴OD= x5 3 ,AD= x5 4 . ∴AE= xx 5 3 = x5 8 . ∵△ADE∽△AEP, ∴ AE AD AP AE  , ∴ x x y x 5 8 5 4 5 8  . ∴ xy 5 16 ( 8 250  x ). (3)当 BF=1 时, ①若 EP 交线段 CB 的延长线于点 F,如图 3(1),则 CF=4. ∵∠ADE=∠AEP, ∴∠PDE=∠PEC. ∵∠FBP=∠DEP=90°, ∠FPB=∠DPE, ∴∠F=∠PDE, ∴∠F=∠FEC, ∴CF=CE. ∴5- x5 8 =4,得 8 5x .可求得 2y ,即 AP=2. ②若 EP 交线段 CB 于点 F,如图 3(2), 则 CF=2. 类似①,可得 CF=CE. ∴5- x5 8 =2,得 8 15x . 可求得 6y ,即 AP=6. 综上所述, 当 BF=1 时,线段 AP 的长为 2 或 6. 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式 例 4(2004 年·上海)如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC= 22 ,⊙A 的半径为 1.若点 O 在 BC 边上 运动(与点 B、C 不重合),设 BO= x ,△AOC 的面积为 y . (1)求 y 关于 x 的函数解析式,并写出函数的定义域. (2)以点 O 为圆心,BO 长为半径作圆 O,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积. 解:(1)过点 A 作 AH⊥BC,垂足为 H. ∵∠BAC=90°,AB=AC= 22 , ∴BC=4,AH= 2 1 BC=2. ∴OC=4- x . ∵ AHOCS AOC  2 1 , ∴ 4 xy ( 40  x ). (2)①当⊙O 与⊙A 外切时, 在 Rt△AOH 中,OA= 1x ,OH= x2 , ∴ 222 )2(2)1( xx  . 解得 6 7x . 此时,△AOC 的面积 y = 6 17 6 74  . ②当⊙O 与⊙A 内切时, 在 Rt△AOH 中,OA= 1x ,OH= 2x , ∴ 222 )2(2)1(  xx . 解得 2 7x . 此时,△AOC 的面积 y = 2 1 2 74  . 综上所述,当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积为 6 17 或 2 1 . A B CO 图 8 H F A B C E D 专题二:动态几何型压轴题 动态几何特点----问题背景是特殊图形,考查问题也是特殊图形,所以要把握好一般与特殊的关系; 分析过程中,特别要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。)动点问题一直是 中考热点,近几年考查探究运动中的特殊性:等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯 形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍,解题方法、关键 给以点拨。 一、以动态几何为主线的压轴题 (一)点动问题. 1.(09 年徐汇区)如图, ABC 中, 10 ACAB , 12BC ,点 D 在边 BC 上,且 4BD , 以点 D 为顶点作 BEDF  ,分别交边 AB 于点 E ,交射线CA 于点 F . (1)当 6AE 时,求 AF 的长; (2)当以点C 为圆心 CF 长为半径的⊙C 和以点 A 为圆心 AE 长为半径的⊙ A 相切时, 求 BE 的长; (3)当以边 AC 为直径的⊙O 与线段 DE 相切时,求 BE 的长. [题型背景和区分度测量点] 本题改编自新教材九上《相似形》24.5(4)例六,典型的一 线三角(三等角)问题,试题在原题的基础上改编出第一小题, 当 E 点在 AB 边上运动时,渗透入圆与圆的位置关系(相切 问题)的存在性的研究形成了第二小题,加入直线与圆的位置 关系(相切问题)的存在性的研究形成了第三小题.区分度测 量点在直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系,从而利用 方程思想来求解. [区分度性小题处理手法] 1.直线与圆的相切的存在性的处理方法:利用 d=r 建立方程. 2.圆与圆的位置关系的存在性(相切问题)的处理方法:利用 d=R±r( rR  )建立方程. 3.解题的关键是用含 x 的代数式表示出相关的线段. [ 略解] 解:(1) 证明 CDF ∽ EBD ∴ BE CD BD CF  ,代入数据得 8CF ,∴AF=2 (2) 设 BE= x ,则 ,10 ACd ,10 xAE  利用(1)的方法 xCF 32 , 相切时分外切和内切两种情况考虑: 外切, xx 321010  , 24x ; 内切, xx 321010  , 17210 x . 100  x ∴当⊙C 和⊙ A 相切时, BE 的长为 24 或 17210  . (3)当以边 AC 为直径的⊙O 与线段 DE 相切时, 3 20BE . 类题 ⑴一个动点:09 杨浦 25 题(四月、五月)、09 静安 25 题、 ⑵两个动点:09 闸北 25 题、09 松江 25 题、09 卢湾 25 题、09 青浦 25 题. (二)线动问题 在矩形 ABCD 中,AB=3,点 O 在对角线 AC 上,直线 l 过点 O,且与 AC 垂直交 AD 于点 E.(1)若直 A B C DE O l A′ A B C DE O l F 线 l 过点 B,把△ABE 沿直线 l 翻折,点 A 与矩形 ABCD 的对称中心 A'重合,求 BC 的长; (2)若直线 l 与 AB 相交于点 F,且 AO= 4 1 AC,设 AD 的长为 x ,五边 形 BCDEF 的面积为 S.①求 S 关于 x 的函数关系式,并指出 x 的取值范 围; ②探索:是否存在这样的 x ,以 A 为圆心,以 x 4 3 长为半径的圆与 直线 l 相切,若存在,请求出 x 的值;若不存在,请说明理由. [题型背景和区分度测量点] 本题以矩形为背景,结合轴对称、相似、三角等相关知识编制得到.第 一小题考核了学生轴对称、矩形、勾股定理三小块知识内容;当直线 l 沿 AB 边向上平移时,探求面积函数解析式为区分测量点一、加入直线与圆 的位置关系(相切问题)的存在性的研究形成了区分度测量点二. [区分度性小题处理手法] 1.找面积关系的函数解析式,规则图形套用公式或用割补法,不规则 图形用割补法. 2.直线与圆的相切的存在性的处理方法:利用 d=r 建立方程. 3.解题的关键是用含 x 的代数式表示出相关的线段. [ 略解] (1)∵A’是矩形 ABCD 的对称中心∴A’B=AA’= 2 1 AC ∵AB=A’B,AB=3∴AC=6 33BC (2)① 92  xAC , 94 1 2  xAO , )9(12 1 2  xAF , x xAE 4 92  ∴ AF2 1  AES AEF x x 96 )9( 22  , x xxS 96 )9(3 22  x xxS 96 81270 24  ( 333  x ) ②若圆 A 与直线 l 相切,则 94 1 4 3 2  xx , 01 x (舍去), 5 8 2 x ∵ 35 8 2 x ∴ 不存在这样的 x ,使圆 A 与直线 l 相切. [类题]09 虹口 25 题. (三)面动问题 如图,在 ABC 中, 6,5  BCACAB ,D 、E 分别是边 AB 、 AC 上的 两个动点( D 不与 A 、 B 重合),且保持 BCDE ∥ ,以 DE 为边,在点 A 的 异侧作正方形 DEFG . (1)试求 ABC 的面积; (2)当边 FG 与 BC 重合时,求正方形 DEFG 的边长; (3)设 xAD  , ABC 与正方形 DEFG 重叠部分的面积为 y ,试求 y 关 F G E C A B D 于 x 的函数关系式,并写出定义域; (4)当 BDG 是等腰三角形时,请直接写出 AD 的长. [题型背景和区分度测量点] 本题改编自新教材九上《相似形》24.5(4)例七,典型的共角相似三角形问题,试题为了形成坡度,在原 题的基础上改编出求等腰三角形面积的第一小题,当 D 点在 AB 边上运动时,正方形 DEFG 整体动起来, GF 边落在 BC 边上时,恰好和教材中的例题对应,可以说是相似三角形对应的小高比大高=对应的小边比 大边,探寻正方形和三角形的重叠部分的面积与线段 AD 的关系的函数解析式形成了第三小题,仍然属 于面积类习题来设置区分测量点一,用等腰三角形的存在性来设置区分测量点二. [区分度性小题处理手法] 图3-5 图3-4 图3-3 图3-2 图3-1 K F G E K F G E F G E U K F G E F G E C A A C A C A C A C B D B D B D B D B D 1.找到三角形与正方形的重叠部分是解决本题的关键,如上图 3-1、3-2 重叠部分分别为正方形和 矩形包括两种情况. 2.正确的抓住等腰三角形的腰与底的分类,如上图 3-3、3-4、3-5 用方程思想解决. 3.解题的关键是用含 x 的代数式表示出相关的线段. [ 略解] 解:(1) 12ABCS . (2)令此时正方形的边长为 a ,则 4 4 6 aa  ,解得 5 12a . (3)当 20 x 时, 2 2 25 36 5 6 xxy      , 当 52  x 时,   2 25 24 5 2455 4 5 6 xxxxy  . (4) 7 20,11 25,73 125AD . [类题] 改编自 09 奉贤 3 月考 25 题,将条件(2)“当点 M、N 分别在边 BA、CA 上时”,去掉,同时加 到第(3)题中. 已知:在△ABC 中,AB=AC,∠B=30º,BC=6,点 D 在边 BC 上,点 E 在线段 DC 上,DE=3,△DEF 是等边三角形,边 DF、EF 与边 BA、CA 分别相交于点 M、N. (1)求证:△BDM∽△CEN; (2)设 BD= x ,△ABC 与△DEF 重叠部分的面积为 y ,求 y 关于 x 的函数解析式,并写出定义域. (3)当点 M、N 分别在边 BA、CA 上时,是否存在点 D,使以 M 为圆心, BM 为半径的圆与直线 EF 相切, A B F D E M N C 如果存在,请求出 x 的值;如不存在,请说明理由. 例 1:已知⊙O 的弦 AB 的长等于⊙O 的半径,点 C 在⊙O 上变化(不与 A、B)重合,求∠ACB 的 大小 . 分析:点 C 的变化是否影响∠ACB 的大小的变化呢?我们不妨将点 C 改变一下,如何变化呢?可能在 优弧 AB 上,也可能在劣弧 AB 上变化,显然这两者的结果不一样。那么,当点 C 在优弧 AB 上变化时, ∠ACB 所对的弧是劣弧 AB,它的大小为劣弧 AB 的一半,因此很自然地想到它的圆心角,连结 AO、BO, 则由于 AB=OA=OB,即三角形 ABC 为等边三角形,则∠AOB=600,则由同弧所对的圆心角与圆周角的 关系得出:∠ACB= 2 1 ∠AOB=300, 当点 C 在劣弧 AB 上变化时,∠ACB 所对的弧是优弧 AB,它的大小为优弧 AB 的一半,由∠AOB=600 得,优弧 AB 的度数为 3600-600=3000,则由同弧所对的圆心角与圆周角的关 系得出:∠ACB=1500, 因此,本题的答案有两个,分别为 300 或 1500. 反思:本题通过点 C 在圆上运动的不确定性而引起结果的不唯一性。从 而需要分类讨论。这样由点 C 的运动变化性而引起的分类讨论在解题中经常 出现。 变式 1:已知△ABC 是半径为 2 的圆内接三角形,若 32AB ,求∠C 的 大小. 本题与例 1 的区别只是 AB 与圆的半径的关系发生了一些变化,其解题方法与上 面一致,在三角形 AOB 中, 2 32 1 2 1sin  OB AB AOB ,则 0602 1 AOB ,即 0120AOB , 从而当点 C 在优弧 AB 上变化时,∠C 所对的弧是劣弧 AB,它的大小为劣弧 AB 的一半,即 060C , 当点 C 在劣弧 AB 上变化时,∠C 所对的弧是优弧 AB,它的大小为优 弧 AB 的一半,由∠AOB=1200 得,优弧 AB 的度数为 3600-1200=2400,则 由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出:∠C=1200, 因此 060C 或∠C=1200. 变式 2: 如图,半经为 1 的半圆 O 上有两个动点 A、B,若 AB=1, 判断∠AOB 的大小是否会随点 A、B 的变化而变化,若变化,求出变化范 围,若不变化,求出它的值。 四边形 ABCD 的面积的最大值。 解:(1)由于 AB=OA=OB,所以三角形 AOB 为等边三角形,则∠ AOB=600,即∠AOB 的大小不会随点 A、B 的变化而变化。 (2)四边形 ABCD 的面积由三个三角形组成,其中三角形 AOB 的面积为 4 3 ,而三角 O B A C O B A C H G F E O D C B A A B C D O 形 AOD 与三角形 BOC 的面积之和为 )(2 1 2 1 2 1 BGAFBGOCAFOD  ,又由梯形 的中位线定理得三角形 AOD 与三角形 BOC 的面积之和 EHBGAF  )(2 1 ,要四边形 ABCD 的面积最大,只需 EH 最大,显然 EH≤OE= 2 3 ,当 AB∥CD 时,EH=OE,因此 四边形 ABCD 的面积最大值为 4 3 + 2 3 = 4 33 . 对于本题同学们还可以继续思考:四边形 ABCD 的周长的变化范围. 变式 3: 如图,有一块半圆形的木板,现要把它截成三角形板块.三角形的 两个顶点分 别为 A、B,另一个顶点 C 在半圆上,问怎样截取才能使截出的三角形 的面积最大?要求说明理由(广州市 2000 年考题) 分析:要使三角形 ABC 的面积最大,而三角形 ABC 的底边 AB 为 圆的直径为常量,只需 AB 边上的高最大即可。过点 C 作 CD⊥AB 于点 D,连结 CO, 由于 CD≤CO,当 O 与 D 重合,CD=CO,因此,当 CO 与 AB 垂直时, 即 C 为半圆弧 的中点时,其三角形 ABC 的面积最大。 本题也可以先猜想,点 C 为半圆弧的中点时,三角形 ABC 的面积最大, 故只需另选一个位置 C1(不与 C 重合),,证明三角形 ABC 的面积大于 三角形 ABC1 的面积即可。如图 显然三角形 ABC1 的面积= 2 1 AB×C1D,而 C1D< C1O=CO,则三角形 ABC1 的面积= 2 1 AB×C1D< 2 1 AB ×C1O=三角形 ABC 的面积,因此,对于除点 C 外的任意点 C1,都有三角形 ABC1 的面积小于三角形三角形 ABC 的面积,故点 C 为半圆中点时,三角形 ABC 面积最大. 本题还可研究三角形 ABC 的周长何时最大的问题。 提示:利用周长与面积之间的关系。要三角形 ABC 的周长最大,AB 为常 数,只需 AC+BC 最大,而(AC+BC)2=AC2+CB2+2AC×BC=AB2+4×Δ ABC 的面积,因此ΔABC 的面积最大时,AC+BC 最大,从而ΔABC 的周 长最大。 从以上一道题及其三个变式的研究我们不难发现,解决动态几何问题的常见 方法有: 一、 特殊探路,一般推证 例 2:(2004 年广州市中考题第 11 题)如图,⊙O1 和⊙O2 内切于 A,⊙O1 的半径为 3,⊙O2 的 半径为 2,点 P 为⊙O1 上的任一点(与点 A 不重合),直线 PA 交⊙O2 于点 C,PB 切⊙O2 于点 B, 则 PC BP 的值为 (A) 2 (B) 3 (C) 2 3 (D) 2 6 O C B A D A B C O C D A B C 1 O C O 1 O 2 P B A 分析:本题是一道选择题,给出四个答案有且只有一个是正确的,因此可以取一个特殊位置进行研究, 当点 P 满足 PB⊥AB 时,可以通过计算得出 PB= 2213 22  BC×AP=BP×AB,因此 BC= 6 24 62 28 816 28 22      BPAB BPAB , 在三角形 BPC 中,PC= 3 6222  BCBP , 所以, PC BP = 3 选(B) 当然,本题还可以根据三角形相似得 BP AP PC BP  ,即可计算出结论。 作为一道选择题,到此已经完成,但如果是一道解答题,我们得出的结论只是一个特殊情况,还要进一 步证明对一般情况也成立。 例 3:如图,在等腰直角三角形 ABC 中,斜边 BC=4,OA  BC 于 O,点 E 和点 F 分别在边 AB、AC 上滑 动并保持 AE=CF,但点 F 不与 A、C 重合,点 E 不与 B、A 重合。 判断  OEF 的形状,并加以证明。 判断四边形 AEOF 的面积是否随点 E、F 的变化而变化,若变化,求其 变化范围,若不变化,求它的值.  AEF 的面积是否随着点 E、F 的变化而变化,若变化,求其变化范围, 若不变化,求它的值。 分析:本题结论很难发现,先从特殊情况入手。最特殊情况为 E、F 分别为 AB、AC 中点,显然有ΔEOF 为等腰直角三角形。还可发现当点 E 与 A 无限接近时,点 F 与点 C 无限接 近,此时ΔEOF 无限接近ΔAOC,而ΔAOC 为等腰直角三角形,几种特殊 情况都可以得出ΔEOF 为等腰直角三角形。一般情况下成立吗?OE 与 OF 相等吗?∠EOF 为直角吗?能否证明。如果它们成立,便可以推出三角形 OFC 与三角形 OEA 全等,一般情况下这两个三角形全等吗? 不难从题目的条件可得:OA=OC,∠OCF=∠OAE,而 AE=CF,则ΔOEA ≌ΔOFC,则 OE=OF,且∠FOC=∠EOA,所以∠EOF=∠EOA+∠AOF=∠ FOC+∠FOA=900,则∠EOF 为直角,故ΔEOF 为等腰直角三角形。 二、 动手实践,操作确认 例 4(2003 年广州市中考试题)在⊙O 中,C 为弧 AB 的中点,D 为弧 AC 上任一点(与 A、C 不重 合),则 (A)AC+CB=AD+DB (B) AC+CBAD+DB (D) AC+CB 与 AD+DB 的大小关系不确定 分析:本题可以通过动手操作一下,度量 AC、CB、AD、DB 的长度,可以尝试换几个位置量一量, 得出结论(C) C O 1 O 2 P B A D C B A F E O C B A 例 5:如图,过两同心圆的小圆上任一点 C 分别作小圆的直径 CA 和非直径的弦 CD,延长 CA 和 CD 与大圆分别交于点 B、E,则下列结论中正确的是( * ) (A) ABDE  (B) ABDE  (C) ABDE  (D) ABDE, 的大小不确定 分析:本题可以通过度量的方法进行,选(B) 本题也可以可以证明得出结论,连结 DO、EO,则在三角形 OED 中, 由于两边之差小于第三边,则 OE—OD3).动点 M,N 同时从 B 点 出发,分别沿 B→A,B→C 运动,速度是 1 厘米/秒.过 M 作直线垂直于 AB,分别交 AN,CD 于 P,Q. 当点 N 到达终点 C 时,点 M 也随之停止运动.设运动时间为 t 秒. (1)若 a=4 厘米,t=1 秒,则 PM=厘米; (2)若 a=5 厘米,求时间 t,使△PNB∽△PAD,并求出它们的相似比; (3)若在运动过程中,存在某时刻使梯形 PMBN 与梯形 PQDA 的面积相等,求 a 的取值范围; (4)是否存在这样的矩形:在运动过程中,存在某时刻使梯形 PMBN,梯形 PQDA,梯形 PQCN 的面 积都相等?若存在,求 a 的值;若不存在,请说明理由. 评析 本题是以双动点为载体,矩形为背景创设的存在性问题.试题由浅入深、层层递进,将几何与代 数知识完美的综合为一题,侧重对相似和梯形面积等知识点的考查,本题的难点主要是题(3),解决此题 的关键是运用相似三角形的性质用 t 的代数式表示 PM,进而利用梯形面积相等列等式求出 t 与 a 的函数 关系式,再利用 t 的范围确定的 a 取值范围. 第(4)小题是题(3)结论的拓展应用,在解决此问题的过程中, 要有全局观念以及对问题的整体把握. 4 以双动点为载体,探求函数最值问题 例 4 (2007 年吉林省)如图 9,在边长为 82cm 的正方形 ABCD 中,E、F 是对角线 AC 上的两个动点, 它们分别从点 A、C 同时出发,沿对角线以 1cm/s 的相同速度运动,过 E 作 EH 垂直 AC 交 Rt△ACD 的 直角边于 H;过 F 作 FG 垂直 AC 交 Rt△ACD 的直角边于 G,连结 HG、EB.设 HE、EF、FG、GH 围成 的图形面积为 S 1,AE、EB、BA 围成的图形面积为 S 2(这里规定:线段的面积为 0).E 到达 C,F 到 达 A 停止.若 E 的运动时间为 x(s),解答下列问题: (1)当 0