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  • 2021-05-10 发布

中考数学分类汇编考点26正方形

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‎2018中考数学试题分类汇编:考点26 正方形 一.选择题(共4小题)‎ ‎1.(2018•无锡)如图,已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点,正方形EFGH的顶点G、H都在边AD上,若AB=3,BC=4,则tan∠AFE的值(  )‎ A.等于 B.等于 C.等于 D.随点E位置的变化而变化 ‎【分析】根据题意推知EF∥AD,由该平行线的性质推知△AEH∽△ACD,结合该相似三角形的对应边成比例和锐角三角函数的定义解答.‎ ‎【解答】解:∵EF∥AD,‎ ‎∴∠AFE=∠FAG,‎ ‎∴△AEH∽△ACD,‎ ‎∴==.‎ 设EH=3x,AH=4x,‎ ‎∴HG=GF=3x,‎ ‎∴tan∠AFE=tan∠FAG===.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎2.(2018•宜昌)如图,正方形ABCD的边长为1,点E,F分别是对角线AC上的两点,EG⊥AB.EI⊥AD,FH⊥AB,FJ⊥AD,垂足分别为G,I,H,J.则图中阴影部分的面积等于 (  )‎ A.1 B. C. D.‎ ‎【分析】根据轴对称图形的性质,解决问题即可;‎ ‎【解答】解:∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴直线AC是正方形ABCD的对称轴,‎ ‎∵EG⊥AB.EI⊥AD,FH⊥AB,FJ⊥AD,垂足分别为G,I,H,J.‎ ‎∴根据对称性可知:四边形EFHG的面积与四边形EFJI的面积相等,‎ ‎∴S阴=S正方形ABCD=,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎3.(2018•湘西州)下列说法中,正确个数有(  )‎ ‎①对顶角相等;‎ ‎②两直线平行,同旁内角相等;‎ ‎③对角线互相垂直的四边形为菱形;‎ ‎④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形.‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎【分析】根据对顶角的性质,菱形的判定,正方形的判定,平行线的性质,可得答案.‎ ‎【解答】解:①对顶角相等,故①正确;‎ ‎②两直线平行,同旁内角互补,故②错误;‎ ‎③对角线互相垂直且平分的四边形为菱形,故③错误;‎ ‎④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形,故④正确,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎4.(2018•张家界)下列说法中,正确的是(  )‎ A.两条直线被第三条直线所截,内错角相等 B.对角线相等的平行四边形是正方形 C.相等的角是对顶角 D.角平分线上的点到角两边的距离相等 ‎【分析】根据平行线的性质、正方形的判定、矩形的判定、对顶角的性质、角平分线性质逐个判断即可.‎ ‎【解答】解:A、两条平行线被第三条直线所截,内错角才相等,错误,故本选项不符合题意;‎ B、对角线相等的四边形是矩形,不一定是正方形,错误,故本选项不符合题意;‎ C、相等的角不一定是对顶角,错误,故本选项不符合题意;‎ D、角平分线上的点到角的两边的距离相等,正确,故本选项符合题意;‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ 二.填空题(共7小题)‎ ‎5.(2018•武汉)以正方形ABCD的边AD作等边△ADE,则∠BEC的度数是 30°或150° .‎ ‎【分析】分等边△ADE在正方形的内部和外部两种情况分别求解可得.‎ ‎【解答】解:如图1,‎ ‎∵四边形ABCD为正方形,△ADE为等边三角形,‎ ‎∴AB=BC=CD=AD=AE=DE,∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,∠AED=∠ADE=∠DAE=60°,‎ ‎∴∠BAE=∠CDE=150°,又AB=AE,DC=DE,‎ ‎∴∠AEB=∠CED=15°,‎ 则∠BEC=∠AED﹣∠AEB﹣∠CED=30°.‎ 如图2,‎ ‎∵△ADE是等边三角形,‎ ‎∴AD=DE,‎ ‎∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴AD=DC,‎ ‎∴DE=DC,‎ ‎∴∠CED=∠ECD,‎ ‎∴∠CDE=∠ADC﹣∠ADE=90°﹣60°=30°,‎ ‎∴∠CED=∠ECD=(180°﹣30°)=75°,‎ ‎∴∠BEC=360°﹣75°×2﹣60°=150°.‎ 故答案为:30°或150°.‎ ‎ ‎ ‎6.(2018•呼和浩特)如图,已知正方形ABCD,点M是边BA延长线上的动点(不与点A重合),且AM<AB,△CBE由△DAM平移得到.若过点E作EH⊥AC,H为垂足,则有以下结论:①点M位置变化,使得∠DHC=60°时,2BE=DM;②无论点M运动到何处,都有DM=HM;③无论点M运动到何处,∠CHM一定大于135°.其中正确结论的序号为 ①②③ .‎ ‎【分析】先判定△MEH≌△DAH(SAS),即可得到△DHM是等腰直角三角形,进而得出DM=HM;依据当∠DHC=60°时,∠ADH=60°﹣45°=15°,即可得到Rt△ADM中,DM=2AM,即可得到DM=2BE;依据点M是边BA延长线上的动点(不与点A重合),且AM<AB,可得∠AHM<∠BAC=45°,即可得出∠CHM>‎ ‎135°.‎ ‎【解答】解:由题可得,AM=BE,‎ ‎∴AB=EM=AD,‎ ‎∵四边形ABCD是正方形,EH⊥AC,‎ ‎∴EM=AH,∠AHE=90°,∠MEH=∠DAH=45°=∠EAH,‎ ‎∴EH=AH,‎ ‎∴△MEH≌△DAH(SAS),‎ ‎∴∠MHE=∠DHA,MH=DH,‎ ‎∴∠MHD=∠AHE=90°,△DHM是等腰直角三角形,‎ ‎∴DM=HM,故②正确;‎ 当∠DHC=60°时,∠ADH=60°﹣45°=15°,‎ ‎∴∠ADM=45°﹣15°=30°,‎ ‎∴Rt△ADM中,DM=2AM,‎ 即DM=2BE,故①正确;‎ ‎∵点M是边BA延长线上的动点(不与点A重合),且AM<AB,‎ ‎∴∠AHM<∠BAC=45°,‎ ‎∴∠CHM>135°,故③正确;‎ 故答案为:①②③.‎ ‎ ‎ ‎7.(2018•青岛)如图,已知正方形ABCD的边长为5,点E、F分别在AD、DC上,AE=DF=2,BE与AF相交于点G,点H为BF的中点,连接GH,则GH的长为  .‎ ‎【分析】根据正方形的四条边都相等可得AB=AD,每一个角都是直角可得∠BAE=∠D=90°,然后利用“边角边”证明△ABE≌△DAF得∠ABE=∠DAF,进一步得∠AGE=∠BGF=90°,从而知GH=BF,利用勾股定理求出BF的长即可得出答案.‎ ‎【解答】解:∵四边形ABCD为正方形,‎ ‎∴∠BAE=∠D=90°,AB=AD,‎ 在△ABE和△DAF中,‎ ‎∵,‎ ‎∴△ABE≌△DAF(SAS),‎ ‎∴∠ABE=∠DAF,‎ ‎∵∠ABE+∠BEA=90°,‎ ‎∴∠DAF+∠BEA=90°,‎ ‎∴∠AGE=∠BGF=90°,‎ ‎∵点H为BF的中点,‎ ‎∴GH=BF,‎ ‎∵BC=5、CF=CD﹣DF=5﹣2=3,‎ ‎∴BF==,‎ ‎∴GH=BF=,‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎8.(2018•咸宁)如图,将正方形OEFG放在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点E的坐标为(2,3),则点F的坐标为 (﹣1,5) .‎ ‎【分析】结合全等三角形的性质可以求得点G的坐标,再由正方形的中心对称的性质求得点F的坐标.‎ ‎【解答】解:如图,过点E作x轴的垂线EH,垂足为H.过点G作x轴的垂线EG,垂足为G,连接GE、FO交于点O′.‎ ‎∵四边形OEFG是正方形,‎ ‎∴OG=EO,∠GOM=∠OEH,∠OGM=∠EOH,‎ 在△OGM与△EOH中,‎ ‎∴△OGM≌△EOH(ASA)‎ ‎∴GM=OH=2,OM=EH=3,‎ ‎∴G(﹣3,2).‎ ‎∴O′(﹣,).‎ ‎∵点F与点O关于点O′对称,‎ ‎∴点F的坐标为 (﹣1,5).‎ 故答案是:(﹣1,5).‎ ‎ ‎ ‎9.(2018•江西)在正方形ABCD中,AB=6,连接AC,BD,P是正方形边上或对角线上一点,若PD=2AP,则AP的长为 2或2或﹣ .‎ ‎【分析】根据正方形的性质得出AC⊥BD,AC=BD,OB=OA=OC=OD,AB=BC=AD=CD=6,∠ABC=90°,根据勾股定理求出AC、BD、求出OA、OB、OC、OD,画出符合的三种情况,根据勾股定理求出即可.‎ ‎【解答】解:∵四边形ABCD是正方形,AB=6,‎ ‎∴AC⊥BD,AC=BD,OB=OA=OC=OD,AB=BC=AD=CD=6,∠ABC=∠DAB=90°,‎ 在Rt△ABC中,由勾股定理得:AC===6,‎ ‎∴OA=OB=OC=OD=3,‎ 有三种情况:①点P在AD上时,‎ ‎∵AD=6,PD=2AP,‎ ‎∴AP=2;‎ ‎②点P在AC上时,‎ 设AP=x,则DP=2x,‎ 在Rt△DPO中,由勾股定理得:DP2=DO2+OP2,‎ ‎(2x)2=(3)2+(3﹣x)2,‎ 解得:x=﹣(负数舍去),‎ 即AP=﹣;‎ ‎③点P在AB上时,‎ 设AP=y,则DP=2y,‎ 在Rt△APD中,由勾股定理得:AP2+AD2=DP2,‎ y2+62=(2y)2,‎ 解得:y=2(负数舍去),‎ 即AP=2;‎ 故答案为:2或2或﹣.‎ ‎ ‎ ‎10.(2018•潍坊)如图,正方形ABCD的边长为1,点A与原点重合,点B在y轴的正半轴上,点D在x轴的负半轴上,将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°至正方形AB'C′D′的位置,B'C′与CD相交于点M,则点M的坐标为 (﹣1,) .‎ ‎【分析】连接AM,由旋转性质知AD=AB′=1、∠BAB′=30°、∠B′AD=60°,证Rt△ADM≌Rt△AB′M得∠DAM=∠B′AD=30°,由DM=ADtan∠DAM可得答案.‎ ‎【解答】解:如图,连接AM,‎ ‎∵将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB'C′D′,‎ ‎∴AD=AB′=1,∠BAB′=30°,‎ ‎∴∠B′AD=60°,‎ 在Rt△ADM和Rt△AB′M中,‎ ‎∵,‎ ‎∴Rt△ADM≌Rt△AB′M(HL),‎ ‎∴∠DAM=∠B′AM=∠B′AD=30°,‎ ‎∴DM=ADtan∠DAM=1×=,‎ ‎∴点M的坐标为(﹣1,),‎ 故答案为:(﹣1,).‎ ‎ ‎ ‎11.(2018•台州)如图,在正方形ABCD中,AB=3,点E,F分别在CD,AD上,CE=DF,BE,CF相交于点G.若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2:3,则△BCG的周长为 +3 .‎ ‎【分析】根据面积之比得出△BGC的面积等于正方形面积的,进而依据△BCG的面积以及勾股定理,得出BG+CG的长,进而得出其周长.‎ ‎【解答】解:∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2:3,‎ ‎∴阴影部分的面积为×9=6,‎ ‎∴空白部分的面积为9﹣6=3,‎ 由CE=DF,BC=CD,∠BCE=∠CDF=90°,可得△BCE≌△CDF,‎ ‎∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等,均为×3=,‎ 设BG=a,CG=b,则ab=,‎ 又∵a2+b2=32,‎ ‎∴a2+2ab+b2=9+6=15,‎ 即(a+b)2=15,‎ ‎∴a+b=,即BG+CG=,‎ ‎∴△BCG的周长=+3,‎ 故答案为: +3.‎ ‎ ‎ 三.解答题(共6小题)‎ ‎12.(2018•盐城)在正方形ABCD中,对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE=DF,连接AE、AF、CE、CF,如图所示.‎ ‎(1)求证:△ABE≌△ADF;‎ ‎(2)试判断四边形AECF的形状,并说明理由.‎ ‎【分析】(1)根据正方形的性质和全等三角形的判定证明即可;‎ ‎(2)四边形AECF是菱形,根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可判断;‎ ‎【解答】证明:(1)∵正方形ABCD,‎ ‎∴AB=AD,‎ ‎∴∠ABD=∠ADB,‎ ‎∴∠ABE=∠ADF,‎ 在△ABE与△ADF中 ‎,‎ ‎∴△ABE≌△ADF(SAS);‎ ‎(2)连接AC,‎ 四边形AECF是菱形.‎ 理由:∵正方形ABCD,‎ ‎∴OA=OC,OB=OD,AC⊥EF,‎ ‎∴OB+BE=OD+DF,‎ 即OE=OF,‎ ‎∵OA=OC,OE=OF,‎ ‎∴四边形AECF是平行四边形,‎ ‎∵AC⊥EF,‎ ‎∴四边形AECF是菱形.‎ ‎ ‎ ‎13.(2018•吉林)如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,且BE=CF,求证:△ABE≌△BCF.‎ ‎【分析】根据正方形的性质,利用SAS即可证明;‎ ‎【解答】证明:∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴AB=BC,∠ABE=∠BCF=90°,‎ 在△ABE和△BCF中,‎ ‎,‎ ‎∴△ABE≌△BCF.‎ ‎ ‎ ‎14.(2018•白银)已知矩形ABCD中,E是AD边上的一个动点,点F,G,H分别是BC,BE,CE的中点.‎ ‎(1)求证:△BGF≌△FHC;‎ ‎(2)设AD=a,当四边形EGFH是正方形时,求矩形ABCD的面积.‎ ‎【分析】(1)根据三角形中位线定理和全等三角形的判定证明即可;‎ ‎(2)利用正方形的性质和矩形的面积公式解答即可.‎ ‎【解答】解:(1)∵点F,G,H分别是BC,BE,CE的中点,‎ ‎∴FH∥BE,FH=BE,FH=BG,‎ ‎∴∠CFH=∠CBG,‎ ‎∵BF=CF,‎ ‎∴△BGF≌△FHC,‎ ‎(2)当四边形EGFH是正方形时,可得:EF⊥GH且EF=GH,‎ ‎∵在△BEC中,点,H分别是BE,CE的中点,‎ ‎∴GH=,且GH∥BC,‎ ‎∴EF⊥BC,‎ ‎∵AD∥BC,AB⊥BC,‎ ‎∴AB=EF=GH=a,‎ ‎∴矩形ABCD的面积=.‎ ‎ ‎ ‎15.(2018•潍坊)如图,点M是正方形ABCD边CD上一点,连接AM,作DE⊥AM于点E,BF⊥AM于点F,连接BE.‎ ‎(1)求证:AE=BF;‎ ‎(2)已知AF=2,四边形ABED的面积为24,求∠EBF的正弦值.‎ ‎【分析】(1)通过证明△ABF≌△DEA得到BF=AE;‎ ‎(2)设AE=x,则BF=x,DE=AF=2,利用四边形ABED的面积等于△ABE的面积与△ADE的面积之和得到•x•x+•x•2=24,解方程求出x得到AE=BF=6,则EF=x﹣2=4,然后利用勾股定理计算出BE,最后利用正弦的定义求解.‎ ‎【解答】(1)证明:∵四边形ABCD为正方形,‎ ‎∴BA=AD,∠BAD=90°,‎ ‎∵DE⊥AM于点E,BF⊥AM于点F,‎ ‎∴∠AFB=90°,∠DEA=90°,‎ ‎∵∠ABF+∠BAF=90°,∠EAD+∠BAF=90°,‎ ‎∴∠ABF=∠EAD,‎ 在△ABF和△DEA中 ‎,‎ ‎∴△ABF≌△DEA(AAS),‎ ‎∴BF=AE;‎ ‎(2)解:设AE=x,则BF=x,DE=AF=2,‎ ‎∵四边形ABED的面积为24,‎ ‎∴•x•x+•x•2=24,解得x1=6,x2=﹣8(舍去),‎ ‎∴EF=x﹣2=4,‎ 在Rt△BEF中,BE==2,‎ ‎∴sin∠EBF===.‎ ‎ ‎ ‎16.(2018•湘潭)如图,在正方形ABCD中,AF=BE,AE与DF相交于点O.‎ ‎(1)求证:△DAF≌△ABE;‎ ‎(2)求∠AOD的度数.‎ ‎【分析】(1)利用正方形的性质得出AD=AB,∠DAB=∠ABC=90°,即可得出结论;‎ ‎(2)利用(1)的结论得出∠ADF=∠BAE,进而求出∠ADF+∠DAO=90°,最后用三角形的内角和定理即可得出结论.‎ ‎【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴∠DAB=∠ABC=90°,AD=AB,‎ 在△DAF和△ABE中,,‎ ‎∴△DAF≌△ABE(SAS),‎ ‎(2)由(1)知,△DAF≌△ABE,‎ ‎∴∠ADF=∠BAE,‎ ‎∵∠ADF+∠DAO=∠BAE+∠DAO=∠DAB=90°,‎ ‎∴∠AOD=180°﹣(∠ADF+DAO)=90°.‎ ‎ ‎ ‎17.(2018•遵义)如图,正方形ABCD的对角线交于点O,点E、F分别在AB、BC上(AE<BE),且∠EOF=90°,OE、DA的延长线交于点M,OF、AB的延长线交于点N,连接MN.‎ ‎(1)求证:OM=ON.‎ ‎(2)若正方形ABCD的边长为4,E为OM的中点,求MN的长.‎ ‎【分析】(1)证△OAM≌△OBN即可得;‎ ‎(2)作OH⊥AD,由正方形的边长为4且E为OM的中点知OH=HA=2、HM=4,再根据勾股定理得OM=2,由直角三角形性质知MN=OM.‎ ‎【解答】解:(1)∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴OA=OB,∠DAO=45°,∠OBA=45°,‎ ‎∴∠OAM=∠OBN=135°,‎ ‎∵∠EOF=90°,∠AOB=90°,‎ ‎∴∠AOM=∠BON,‎ ‎∴△OAM≌△OBN(ASA),‎ ‎∴OM=ON;‎ ‎(2)如图,过点O作OH⊥AD于点H,‎ ‎∵正方形的边长为4,‎ ‎∴OH=HA=2,‎ ‎∵E为OM的中点,‎ ‎∴HM=4,‎ 则OM==2,‎ ‎∴MN=OM=2.‎ ‎ ‎