中考数学难度适中题一 6页

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  • 2021-05-10 发布

中考数学难度适中题一

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中考数学难度适中题(一)‎ ‎1、如图,已知AB为⊙O的直径,∠E=20°,∠DBC=50°,求∠CBE的度数.‎ ‎ ‎ 解:连接AC,∵,∴∠DBA=∠DCA,‎ ‎∵AB为⊙O的直径,∴∠BCA=90°,∴∠CBA+∠CAB=90°,‎ ‎∵∠CAB=∠E+∠DCA,∴∠CBD+∠DBA+∠E+∠DBA=90°,‎ ‎∵∠E=20°,∠DBC=50°,∴∠DBA=10°,‎ ‎∴∠CBE=∠DBA+∠CBD=10°+50°=60°. ‎ ‎2、如图,⊙O的半径是2,直线l与⊙O相交于A、B两点,M、N是⊙O上的两个动点,且在直线l的异侧,若∠AMB=45°,则四边形MANB面积的最大值是 4 .‎ ‎ ‎ ‎ 解:过点O作OC⊥AB于C,交⊙O于D、E两点,连结OA、OB、DA、DB、EA、EB,如图,∵∠AMB=45°,∴∠AOB=2∠AMB=90°,∴△OAB为等腰直角三角形,‎ ‎∴AB=OA=2, ∵S四边形MANB=S△MAB+S△NAB,‎ ‎∴当M点到AB的距离最大,△MAB的面积最大;当N点到AB的距离最大时,△NAB的面积最大,即M点运动到D点,N点运动到E点,‎ 此时四边形MANB面积的最大值=S四边形DAEB=S△DAB+S△EAB=AB•CD+AB•CE=AB(CD+CE)=AB•DE=×2×4=4.故答案为4.‎ ‎3、如图,⊙O的半径为4,B是⊙O外一点,连接OB,且OB=6,过点B作⊙O的切线BD,切点为D,延长BO交⊙O于点A,过点A作切线BD的垂线,垂足为C.‎ ‎(1)求证:AD平分∠BAC;‎ ‎(2)求AC的长.‎ ‎(1)证明:连接OD,‎ ‎∵BD是⊙O的切线,∴OD⊥BD,‎ ‎∵AC⊥BD,OD∥AC,∴∠2=∠3,‎ ‎∵OA=OD,∴∠1=∠3,∴∠1=∠2,即AD平分∠BAC;‎ ‎(2)解:∵OD∥AC,∴△BOD∽△BAC,‎ ‎∴,∴,解得:AC=.‎ ‎4、如图,△ABC中,BC >AC,点D在BC上,且CA=CD,∠ACB的平分线交AD于点F,E是AB的中点.‎ ‎(1)求证:EF∥BD ;‎ ‎(2)若∠ACB=60°,AC=8,BC=12,求四边形BDFE的面积.‎ 试题分析:(1)由题意可推出△ADC为等腰三角形,CF为顶角的角平分线,所以也是底边上的中线和高,因此F为AD的中点,所以EF为△ABD的中位线,即EF∥BD.‎ ‎(2)根据(1)的结论,可以推出△AEF∽△ABD,且S△AEF:S△ABD=1:4,所以S△AEF:S四边形BDEF=1:3,即可求出△AEF的面积,从而由求得四边形BDFE的面积.‎ ‎(1)∵ CA=CD,CF平分∠ACB,∴ CF是AD边的中线.‎ ‎∵ E是AB的中点,∴ EF是△ABD的中位线.‎ ‎∴ EF∥BD .‎ ‎(2)∵∠ACB=60°,CA=CD,∴△CAD是等边三角形.‎ ‎∴∠ADC=60°,AD=DC=AC=8.∴ BD=BC-CD=4.‎ 如图,过点A作AM⊥BC,垂足为M .‎ ‎∴..‎ ‎∵ EF∥BD ,∴△AEF ∽△ABD ,且.‎ ‎∴.∴. ‎ 四边形BDFE的面积=.‎ ‎5、已知抛物线C:y=﹣x2+bx+c经过A(﹣3,0)和B(0,3)两点,将这条抛物线的顶点记为M,它的对称轴与x轴的交点记为N.‎ ‎(1)求抛物线C的表达式;‎ ‎(2)求点M的坐标;‎ ‎(3)将抛物线C平移到C′,抛物线C′的顶点记为M′,它的对称轴与x轴的交点记为N′.如果以点M、N、M′、N′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形,那么应将抛物线C怎样平移?为什么?‎ 解:(1)∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A(﹣3,0)和B(0,3)两点,‎ ‎∴,解得, 故此抛物线的解析式为:y=﹣x2﹣2x+3;‎ ‎(2)∵由(1)知抛物线的解析式为:y=﹣x2﹣2x+3,‎ ‎∴当x=﹣=﹣=﹣1时,y=4, ∴M(﹣1,4).‎ ‎(3)由题意,以点M、N、M′、N′为顶点的平行四边形的边MN的对边只能是M′N′,‎ ‎∴MN∥M′N′且MN=M′N′.∴MN•NN′=16,∴NN′=4.‎ i)当M、N、M′、N′为顶点的平行四边形是▱MNN′M′时,将抛物线C向左或向右平移4个单位可得符合条件的抛物线C′;‎ ii)当M、N、M′、N′为顶点的平行四边形是▱MNM′N′时,将抛物线C先向左或向右平移4个单位,再向下平移8个单位,可得符合条件的抛物线C′.‎ ‎∴上述的四种平移,均可得到符合条件的抛物线C′.‎ ‎6、问题探究 ‎(1)如图①,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,如果BC边上存在点P,使△APD为等腰三角形,那么请画出满足条件的一个等腰三角形△APD,并求出此时BP的长;‎ ‎ ‎ ‎(1)①作AD的垂直平分线交BC于点P,如图①,则PA=PD.∴△PAD是等腰三角形.‎ ‎∵四边形ABCD是矩形,∴AB=DC,∠B=∠C=90°.‎ ‎∵PA=PD,AB=DC,∴Rt△ABP≌Rt△DCP(HL).∴BP=CP.‎ ‎∵BC=4,∴BP=CP=2.‎ ‎②以点D为圆心,AD为半径画弧,交BC于点P′,如图①,.则DA=DP′.‎ ‎∴△P′AD是等腰三角形.∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC,AB=DC,∠C=90°.‎ ‎∵AB=3,BC=4,∴DC=3,DP′=4.∴CP′==.∴BP′=4﹣.‎ ‎③点A为圆心,AD为半径画弧,交BC于点P″,如图①,则AD=AP″.‎ ‎∴△P″AD是等腰三角形.同理可得:BP″=.‎ 综上所述:在等腰三角形△ADP中,‎ 若PA=PD,则BP=2;若DP=DA,则BP=4﹣;若AP=AD,则BP=.‎ ‎(2)如图②,在△ABC中,∠ABC=60°,BC=12,AD是BC边上的高,E、F分别为边AB、AC的中点,当AD=6时,BC边上存在一点Q,使∠EQF=90°,求此时BQ的长;‎ 问题解决 ‎ ‎ ‎(2)∵E、F分别为边AB、AC的中点,∴EF∥BC,EF=BC.‎ ‎∵BC=12,∴EF=6.‎ 以EF为直径作⊙O,过点O作OQ⊥BC,垂足为Q,连接EQ、FQ,如图②.‎ ‎∵AD⊥BC,AD=6,∴EF与BC之间的距离为3.‎ ‎∴OQ=3 ∴OQ=OE=3.∴⊙O与BC相切,切点为Q.‎ ‎∵EF为⊙O的直径,∴∠EQF=90°.‎ 过点E作EG⊥BC,垂足为G,如图②.‎ ‎∵EG⊥BC,OQ⊥BC,∴EG∥OQ.‎ ‎∵EO∥GQ,EG∥OQ,∠EGQ=90°,OE=OQ,∴四边形OEGQ是正方形.‎ ‎∴GQ=EO=3,EG=OQ=3.‎ ‎∵∠B=60°,∠EGB=90°,EG=3,∴BG=.∴BQ=GQ+BG=3+.‎ ‎∴当∠EQF=90°时,BQ的长为3+.‎ ‎(3)有一山庄,它的平面图为如图③的五边形ABCDE,山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安装监控装置,用来监视边AB,现只要使∠AMB大约为60°,就可以让监控装置的效果达到最佳,已知∠A=∠E=∠D=90°,AB=270m,AE=400m,ED=285m,CD=340m,问在线段CD上是否存在点M,使∠AMB=60°?若存在,请求出符合条件的DM的长,若不存在,请说明理由.‎ ‎ ‎ 解:(3)在线段CD上存在点M,使∠AMB=60°.‎ 理由如下:‎ 以AB为边,在AB的右侧作等边三角形ABG,‎ 作GP⊥AB,垂足为P,作AK⊥BG,垂足为K.‎ 设GP与AK交于点O,以点O为圆心,OA为半径作⊙O,‎ 过点O作OH⊥CD,垂足为H,如图③.则⊙O是△ABG的外接圆,‎ ‎∵△ABG是等边三角形,GP⊥AB,∴AP=PB=AB.‎ ‎∵AB=270,∴AP=135.∵ED=285,∴OH=285﹣135=150.‎ ‎∵△ABG是等边三角形,AK⊥BG,∴∠BAK=∠GAK=30°.‎ ‎∴OP=AP•tan30°=135×=45.∴OA=2OP=90.∴OH<OA.‎ ‎∴⊙O与CD相交,设交点为M,连接MA、MB,如图③.‎ ‎∴∠AMB=∠AGB=60°,OM=OA=90.‎ ‎∵OH⊥CD,OH=150,OM=90,∴HM===30.‎ ‎∵AE=400,OP=45,∴DH=400﹣45.‎ 若点M在点H的左边,则DM=DH+HM=400﹣45+30.‎ ‎∵400﹣45+30>340,∴DM>CD. ‎ ‎∴点M不在线段CD上,应舍去. ‎ 若点M在点H的右边,则DM=DH﹣HM=400﹣45﹣30.‎ ‎∵400﹣45﹣30<340,∴DM<CD.∴点M在线段CD上.‎ 综上所述:在线段CD上存在唯一的点M,使∠AMB=60°,‎ 此时DM的长为(400﹣45﹣30)米.‎