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- 2021-05-10 发布
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中考数学难度适中题(一)
1、如图,已知AB为⊙O的直径,∠E=20°,∠DBC=50°,求∠CBE的度数.
解:连接AC,∵,∴∠DBA=∠DCA,
∵AB为⊙O的直径,∴∠BCA=90°,∴∠CBA+∠CAB=90°,
∵∠CAB=∠E+∠DCA,∴∠CBD+∠DBA+∠E+∠DBA=90°,
∵∠E=20°,∠DBC=50°,∴∠DBA=10°,
∴∠CBE=∠DBA+∠CBD=10°+50°=60°.
2、如图,⊙O的半径是2,直线l与⊙O相交于A、B两点,M、N是⊙O上的两个动点,且在直线l的异侧,若∠AMB=45°,则四边形MANB面积的最大值是 4 .
解:过点O作OC⊥AB于C,交⊙O于D、E两点,连结OA、OB、DA、DB、EA、EB,如图,∵∠AMB=45°,∴∠AOB=2∠AMB=90°,∴△OAB为等腰直角三角形,
∴AB=OA=2, ∵S四边形MANB=S△MAB+S△NAB,
∴当M点到AB的距离最大,△MAB的面积最大;当N点到AB的距离最大时,△NAB的面积最大,即M点运动到D点,N点运动到E点,
此时四边形MANB面积的最大值=S四边形DAEB=S△DAB+S△EAB=AB•CD+AB•CE=AB(CD+CE)=AB•DE=×2×4=4.故答案为4.
3、如图,⊙O的半径为4,B是⊙O外一点,连接OB,且OB=6,过点B作⊙O的切线BD,切点为D,延长BO交⊙O于点A,过点A作切线BD的垂线,垂足为C.
(1)求证:AD平分∠BAC;
(2)求AC的长.
(1)证明:连接OD,
∵BD是⊙O的切线,∴OD⊥BD,
∵AC⊥BD,OD∥AC,∴∠2=∠3,
∵OA=OD,∴∠1=∠3,∴∠1=∠2,即AD平分∠BAC;
(2)解:∵OD∥AC,∴△BOD∽△BAC,
∴,∴,解得:AC=.
4、如图,△ABC中,BC >AC,点D在BC上,且CA=CD,∠ACB的平分线交AD于点F,E是AB的中点.
(1)求证:EF∥BD ;
(2)若∠ACB=60°,AC=8,BC=12,求四边形BDFE的面积.
试题分析:(1)由题意可推出△ADC为等腰三角形,CF为顶角的角平分线,所以也是底边上的中线和高,因此F为AD的中点,所以EF为△ABD的中位线,即EF∥BD.
(2)根据(1)的结论,可以推出△AEF∽△ABD,且S△AEF:S△ABD=1:4,所以S△AEF:S四边形BDEF=1:3,即可求出△AEF的面积,从而由求得四边形BDFE的面积.
(1)∵ CA=CD,CF平分∠ACB,∴ CF是AD边的中线.
∵ E是AB的中点,∴ EF是△ABD的中位线.
∴ EF∥BD .
(2)∵∠ACB=60°,CA=CD,∴△CAD是等边三角形.
∴∠ADC=60°,AD=DC=AC=8.∴ BD=BC-CD=4.
如图,过点A作AM⊥BC,垂足为M .
∴..
∵ EF∥BD ,∴△AEF ∽△ABD ,且.
∴.∴.
四边形BDFE的面积=.
5、已知抛物线C:y=﹣x2+bx+c经过A(﹣3,0)和B(0,3)两点,将这条抛物线的顶点记为M,它的对称轴与x轴的交点记为N.
(1)求抛物线C的表达式;
(2)求点M的坐标;
(3)将抛物线C平移到C′,抛物线C′的顶点记为M′,它的对称轴与x轴的交点记为N′.如果以点M、N、M′、N′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形,那么应将抛物线C怎样平移?为什么?
解:(1)∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A(﹣3,0)和B(0,3)两点,
∴,解得, 故此抛物线的解析式为:y=﹣x2﹣2x+3;
(2)∵由(1)知抛物线的解析式为:y=﹣x2﹣2x+3,
∴当x=﹣=﹣=﹣1时,y=4, ∴M(﹣1,4).
(3)由题意,以点M、N、M′、N′为顶点的平行四边形的边MN的对边只能是M′N′,
∴MN∥M′N′且MN=M′N′.∴MN•NN′=16,∴NN′=4.
i)当M、N、M′、N′为顶点的平行四边形是▱MNN′M′时,将抛物线C向左或向右平移4个单位可得符合条件的抛物线C′;
ii)当M、N、M′、N′为顶点的平行四边形是▱MNM′N′时,将抛物线C先向左或向右平移4个单位,再向下平移8个单位,可得符合条件的抛物线C′.
∴上述的四种平移,均可得到符合条件的抛物线C′.
6、问题探究
(1)如图①,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,如果BC边上存在点P,使△APD为等腰三角形,那么请画出满足条件的一个等腰三角形△APD,并求出此时BP的长;
(1)①作AD的垂直平分线交BC于点P,如图①,则PA=PD.∴△PAD是等腰三角形.
∵四边形ABCD是矩形,∴AB=DC,∠B=∠C=90°.
∵PA=PD,AB=DC,∴Rt△ABP≌Rt△DCP(HL).∴BP=CP.
∵BC=4,∴BP=CP=2.
②以点D为圆心,AD为半径画弧,交BC于点P′,如图①,.则DA=DP′.
∴△P′AD是等腰三角形.∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC,AB=DC,∠C=90°.
∵AB=3,BC=4,∴DC=3,DP′=4.∴CP′==.∴BP′=4﹣.
③点A为圆心,AD为半径画弧,交BC于点P″,如图①,则AD=AP″.
∴△P″AD是等腰三角形.同理可得:BP″=.
综上所述:在等腰三角形△ADP中,
若PA=PD,则BP=2;若DP=DA,则BP=4﹣;若AP=AD,则BP=.
(2)如图②,在△ABC中,∠ABC=60°,BC=12,AD是BC边上的高,E、F分别为边AB、AC的中点,当AD=6时,BC边上存在一点Q,使∠EQF=90°,求此时BQ的长;
问题解决
(2)∵E、F分别为边AB、AC的中点,∴EF∥BC,EF=BC.
∵BC=12,∴EF=6.
以EF为直径作⊙O,过点O作OQ⊥BC,垂足为Q,连接EQ、FQ,如图②.
∵AD⊥BC,AD=6,∴EF与BC之间的距离为3.
∴OQ=3 ∴OQ=OE=3.∴⊙O与BC相切,切点为Q.
∵EF为⊙O的直径,∴∠EQF=90°.
过点E作EG⊥BC,垂足为G,如图②.
∵EG⊥BC,OQ⊥BC,∴EG∥OQ.
∵EO∥GQ,EG∥OQ,∠EGQ=90°,OE=OQ,∴四边形OEGQ是正方形.
∴GQ=EO=3,EG=OQ=3.
∵∠B=60°,∠EGB=90°,EG=3,∴BG=.∴BQ=GQ+BG=3+.
∴当∠EQF=90°时,BQ的长为3+.
(3)有一山庄,它的平面图为如图③的五边形ABCDE,山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安装监控装置,用来监视边AB,现只要使∠AMB大约为60°,就可以让监控装置的效果达到最佳,已知∠A=∠E=∠D=90°,AB=270m,AE=400m,ED=285m,CD=340m,问在线段CD上是否存在点M,使∠AMB=60°?若存在,请求出符合条件的DM的长,若不存在,请说明理由.
解:(3)在线段CD上存在点M,使∠AMB=60°.
理由如下:
以AB为边,在AB的右侧作等边三角形ABG,
作GP⊥AB,垂足为P,作AK⊥BG,垂足为K.
设GP与AK交于点O,以点O为圆心,OA为半径作⊙O,
过点O作OH⊥CD,垂足为H,如图③.则⊙O是△ABG的外接圆,
∵△ABG是等边三角形,GP⊥AB,∴AP=PB=AB.
∵AB=270,∴AP=135.∵ED=285,∴OH=285﹣135=150.
∵△ABG是等边三角形,AK⊥BG,∴∠BAK=∠GAK=30°.
∴OP=AP•tan30°=135×=45.∴OA=2OP=90.∴OH<OA.
∴⊙O与CD相交,设交点为M,连接MA、MB,如图③.
∴∠AMB=∠AGB=60°,OM=OA=90.
∵OH⊥CD,OH=150,OM=90,∴HM===30.
∵AE=400,OP=45,∴DH=400﹣45.
若点M在点H的左边,则DM=DH+HM=400﹣45+30.
∵400﹣45+30>340,∴DM>CD.
∴点M不在线段CD上,应舍去.
若点M在点H的右边,则DM=DH﹣HM=400﹣45﹣30.
∵400﹣45﹣30<340,∴DM<CD.∴点M在线段CD上.
综上所述:在线段CD上存在唯一的点M,使∠AMB=60°,
此时DM的长为(400﹣45﹣30)米.