平行四边形中考专题 30页

‎2.（2017浙江衢州第9题）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于（ ）‎ A. B. C. D. [来源:学。科。网]‎ ‎【答案】B．‎ ‎【解析】 ‎ 试题解析：∵矩形ABCD沿对角线AC对折，使△ABC落在△ACE的位置，‎ ‎∴AE=AB，∠E=∠B=90°，‎ 又∵四边形ABCD为矩形，‎ ‎∴AB=CD，‎ ‎∴AE=DC，‎ 而∠AFE=∠DFC，‎ ‎∵在△AEF与△CDF中，‎ ‎，‎ ‎∴△AEF≌△CDF（AAS），‎ ‎∴EF=DF；‎ ‎∵四边形ABCD为矩形，‎ ‎∴AD=BC=6，CD=AB=4，‎ ‎∵Rt△AEF≌Rt△CDF，‎ ‎∴FC=FA，‎ 设FA=x，则FC=x，FD=6﹣x，‎ 在Rt△CDF中，CF2=CD2+DF2，即x2=42+（6﹣x）2，解得x=，‎ 则FD=6﹣x=．‎ 故选B．‎ 考点：1.矩形的性质；2.折叠问题.‎ ‎14.（2017四川宜宾第7题）如图，在矩形ABCD中BC=8，CD=6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则DE的长是（　　）‎ A．3 B． C．5 D． ‎ ‎【答案】C.‎ ‎【解析】‎ 试题解析：∵矩形ABCD，‎ ‎∴∠BAD=90°，‎ 由折叠可得△BEF≌△BAE，‎ ‎∴EF⊥BD，AE=EF，AB=BF，‎ 在Rt△ABD中，AB=CD=6，BC=AD=8，‎ 根据勾股定理得：BD=10，即FD=10﹣6=4，‎ 设EF=AE=x，则有ED=8﹣x，‎ 根据勾股定理得：x2+42=（8﹣x）2，‎ 解得：x=3（负值舍去），‎ 则DE=8﹣3=5，‎ 故选C.‎ 考点：1. 翻折变换（折叠问题）；2.矩形的性质．‎ ‎38.（2017湖南株洲第9题）如图，点E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA的中点，则关于四边形EFGH，下列说法正确的为（　　）‎ A．一定不是平行四边形 　　　　　　　　B．一定不是中心对称图形 C．可能是轴对称图形 　　　　　　　　　　D．当AC=BD时它是矩形 ‎【答案】C.‎ 考点：中点四边形；平行四边形的判定；矩形的判定；轴对称图形 ‎7. （2017青海西宁第7题）如图，点是矩形的对角线的中点，交于点，若，则的长为（ ）‎ A． 5 B． 4 C. D．‎ ‎【答案】D 考点：矩形的性质．‎ ‎9. （2017海南第11题）如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则△ABC的周长是（ ）‎ A．14 B．16 C．18 D．20‎ ‎【答案】C.‎ 考点：菱形的性质，勾股定理.‎ ‎3.（2017贵州安顺第17题）如图所示，正方形ABCD的边长为6，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为　 　．‎ ‎【答案】6.‎ ‎【解析】设BE与AC交于点P，连接BD，‎ ‎∵点B与D关于AC对称，‎ ‎∴PD=PB，‎ ‎∴PD+PE=PB+PE=BE最小．‎ 即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度；‎ ‎∵正方形ABCD的边长为6，‎ ‎∴AB=6．‎ 又∵△ABE是等边三角形，‎ ‎∴BE=AB=6．‎ 故所求最小值为6．‎ 考点：轴对称﹣最短路线问题；等边三角形的性质；正方形的性质．‎ ‎14..(2017天津第17题)如图，正方形和正方形的边长分别为3和1，点分别在边上，为的中点，连接，则的长为 . ‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：连结AC,根据正方形的性质可得A、E、C三点共线，连结FG交AC于点M，因正方形和正方形的边长分别为3和1，根据勾股定理可求得EC=FG=,AC=3,即可得AE=2,因为的中点，可得PE=AP=,再由正方形的性质可得GM=EM= ,FG垂直于AC，在Rt△PGM中，PM= ,由勾股定理即可求得PG=.‎ ‎15.(2017福建第15题)两个完全相同的正五边形都有一边在直线上，且有一个公共顶点，其摆放方式如图所示，则等于 度．‎ ‎8. （2017黑龙江齐齐哈尔第16题）如图，在等腰三角形纸片中，，，沿底边上的高剪成两个三角形，用这两个三角形拼成平行四边形，则这个平行四边形较长的对角线的长是 ．‎ ‎【答案】10cm或2cm或4cm．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：如图：， ‎ 过点A作AD⊥BC于点D，‎ ‎∵△ABC边AB=AC=10cm，BC=12cm，∴BD=DC=6cm，∴AD=8cm，‎ 如图①所示：可得四边形ACBD是矩形，则其对角线长为：10cm，‎ 如图②所示：AD=8cm，‎ 连接BC，过点C作CE⊥BD于点E，则EC=8cm，BE=2BD=12cm，则BC=4 cm，‎ 如图③所示：BD=6cm，‎ 由题意可得：AE=6cm，EC=2BE=16cm，‎ 故AC= =2cm，‎ 故答案为：10cm或2cm或4cm．‎ 考点：图形的剪拼．.‎ ‎14. （2017湖南张家界第14题）如图，在正方形ABCD中，AD=，把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则三角形PCE的面积为 ．‎ ‎【答案】．‎ 考点：旋转的性质；正方形的性质；综合题．‎ ‎4.（2017甘肃庆阳第26题）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．‎ ‎（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；‎ ‎（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．‎ ‎【答案】(1)证明见解析.（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据平行四边形ABCD的性质，判定△BOE≌△DOF（ASA），得出四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论；‎ ‎（2）在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，得出OB，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的长．‎ ‎（2）当四边形BEDF是菱形时，BE⊥EF，‎ 设BE=x，则 DE=x，AE=6﹣x，‎ 在Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2，‎ ‎∴x2=42+（6﹣x）2，‎ 解得：x=，‎ ‎∵BD=，‎ ‎∴OB=BD=，‎ ‎∵BD⊥EF，‎ ‎∴EO=，‎ ‎∴EF=2EO=．‎ 考点：矩形的性质；平行四边形的判定与性质；菱形的性质．‎ ‎6.（2017贵州安顺第21题）如图，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点，‎ ‎（1）求证：BC=DE；‎ ‎（2）连接AD、BE，若要使四边形DBEA是矩形，则给△ABC添加什么条件，为什么？‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）添加AB=BC．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）要证明BC=DE，只要证四边形BCED是平行四边形．通过给出的已知条件便可．‎ ‎（2）矩形的判定方法有多种，可选择利用“对角线相等的平行四边形为矩形”来解决．‎ 试题解析：（1）证明：∵E是AC中点，‎ ‎∴EC=AC．‎ ‎∵DB=AC，‎ ‎∴DB∥EC． ‎ 又∵DB∥EC，‎ ‎∴四边形DBCE是平行四边形．‎ ‎∴BC=DE． ‎ ‎（2）添加AB=BC． ‎ 理由：∵DB∥AE，DB=AE ‎∴四边形DBEA是平行四边形． ‎ ‎∵BC=DE，AB=BC，‎ ‎∴AB=DE．‎ ‎∴▭ADBE是矩形．‎ 考点：矩形的判定；平行四边形的判定与性质．‎ ‎10.（2017江苏盐城第22题）如图，矩形ABCD中，∠ABD、∠CDB的平分线BE、DF分别交边AD、BC于点E、F．‎ ‎（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；‎ ‎（2）当∠ABE为多少度时，四边形BEDF是菱形？请说明理由．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）当∠ABE=30°时，四边形BEDF是菱形，理由见解析.‎ 试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AB∥DC、AD∥BC，‎ ‎∴∠ABD=∠CDB，‎ ‎∵BE平分∠ABD、DF平分∠BDC，‎ ‎∴∠EBD=∠ABD，∠FDB=∠BDC，‎ ‎∴∠EBD=∠FDB，‎ ‎∴BE∥DF，‎ 又∵AD∥BC，‎ ‎∴四边形BEDF是平行四边形；‎ ‎（2）当∠ABE=30°时，四边形BEDF是菱形，‎ ‎∵BE平分∠ABD，‎ ‎∴∠ABD=2∠ABE=60°，∠EBD=∠ABE=30°，‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠A=90°，‎ ‎∴∠EDB=90°-∠ABD=30°，‎ ‎∴∠EDB=∠EBD=30°，‎ ‎∴EB=ED，‎ 又∵四边形BEDF是平行四边形，‎ ‎∴四边形BEDF是菱形．‎ 考点：矩形的性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定．‎ ‎11.（2017甘肃兰州第26题）如图，1，将一张矩形纸片沿着对角线向上折叠，顶点落到点处，交于点.‎ ‎(1)求证：是等腰三角形；‎ ‎(2)如图2，过点作，交于点，连结交于点.‎ ‎①判断四边形的形状，并说明理由；‎ ‎②若，，求的长.‎ ‎【答案】(1)证明见解析;(2) ．‎ ‎【解析】‎ 试题分析: （1）根据两直线平行内错角相等及折叠特性判断；‎ ‎（2）①根据已知矩形性质及第一问证得邻边相等判断；‎ ‎②根据折叠特性设未知边，构造勾股定理列方程求解．‎ 试题解析：（1）证明：如图1，根据折叠，∠DBC=∠DBE，‎ 又AD∥BC，‎ ‎∴∠DBC=∠ADB，‎ ‎∴∠DBE=∠ADB，‎ ‎∴DF=BF，‎ ‎∴△BDF是等腰三角形；‎ ‎（2）①∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AD∥BC，‎ ‎∴FD∥BG，‎ 又∵FD∥BG，‎ ‎∴四边形BFDG是平行四边形，‎ ‎∵DF=BF，‎ ‎∴四边形BFDG是菱形；‎ ‎②∵AB=6，AD=8，‎ ‎∴BD=10．‎ ‎∴OB=BD=5．‎ 假设DF=BF=x，∴AF=AD﹣DF=8﹣x．‎ ‎∴在直角△ABF中，AB2+A2=BF2，即62+（8﹣x）2=x2，‎ 解得x=，‎ 即BF=，‎ ‎∴FO==，‎ ‎∴FG=2FO=．‎ 考点：四边形综合题．‎ ‎13.（2017江苏徐州第23题）如图，在平行四边形中，点是边的中点，连接并延长，交延长线于点连接.‎ ‎（1）求证：四边形是平行四边形； ‎ ‎（2）若，则当 时，四边形是矩形.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）100°‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由AAS证明△BOE≌△COD，得出OE=OD，即可得出结论；‎ ‎（2）由平行四边形的性质得出∠BCD=∠A=50°，由三角形的外角性质求出∠ODC=∠BCD，得出OC=OD，证出DE=BC，即可得出结论．‎ 试题解析:（1）∵四边形ABCD为平行四边形，‎ ‎∴AB∥DC，AB=CD，‎ ‎∴∠OEB=∠ODC，‎ 又∵O为BC的中点，‎ ‎∴BO=CO，‎ 在△BOE和△COD中，‎ ‎，‎ ‎∴△BOE≌△COD（AAS）；‎ ‎∴OE=OD，‎ ‎∴四边形BECD是平行四边形；‎ ‎（2）若∠A=50°，则当∠BOD=100°时，四边形BECD是矩形．理由如下：‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴∠BCD=∠A=50°，‎ ‎∵∠BOD=∠BCD+∠ODC，‎ ‎∴∠ODC=100°-50°=50°=∠BCD，‎ ‎∴OC=OD，‎ ‎∵BO=CO，OD=OE，‎ ‎∴DE=BC，‎ ‎∵四边形BECD是平行四边形，‎ ‎∴四边形BECD是矩形；‎ ‎16. (2017北京第22题)如图，在四边形中，为一条对角线，，为的中点，连接.‎ ‎（1）求证：四边形为菱形；‎ ‎（2）连接，若平分，求的长.‎ ‎【答案】（1）证明见解析.（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先证四边形是平行四边形，再证其为菱形；（2）利用等腰三角形的性质，锐角三角函数，即可求解.‎ 本题解析：(1)证明：∵E为AD中点，AD=2BC,∴BC=ED, ∵AD∥BC, ∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD=2BE, ∠ABD=90°,AE=DE∴BE=ED, ∴四边形ABCD是菱形.‎ ‎(2)∵AD∥BC,AC平分∠BAD ∴∠BAC=∠DAC=∠BCA,∴BA=BC=1, ∵AD=2BC=2，∴sin∠ADB=,∠ADB=30°, ∴∠DAC=30°, ∠ADC=60°.在RT△ACD中，AD=2，CD=1，AC= .‎ 考点：平行线性质，菱形判定，直角三角形斜边中线定理.‎ 考点：1.矩形的判定；2.平行四边形的判定与性质．‎ ‎17.(2017天津第24题)将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点.是边上的一点（点不与点重合），沿着折叠该纸片，得点的对应点.‎ ‎（1）如图①，当点在第一象限，且满足时，求点的坐标；‎ ‎（2）如图②，当为中点时，求的长；‎ ‎（3）当时，求点的坐标（直接写出结果即可）.‎ ‎【答案】（1）点A’的坐标为（，1）；（2）1；（3）或 .‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）因点，点，可得OA= ,OB=1，根据折叠的性质可得△A’OP≌△AOP，由全等三角形的性质可得OA’=OA=,在Rt△A’OB中，根据勾股定理求得的长，即可求得点A的坐标；（2）在Rt△AOB中，根据勾股定理求得AB=2，再证△BOP是等边三角形，从而得∠OPA =120°.在判定四边形OPA’B是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得的长；‎ 试题解析：（1）因点，点，‎ ‎∴OA= ,OB=1.‎ 根据题意，由折叠的性质可得△A’OP≌△AOP.‎ ‎∴OA’=OA=,‎ 由，得∠A’BO=90°. ‎ 在Rt△A’OB中，,‎ ‎∴点A’的坐标为（，1）.‎ ‎(2) 在Rt△AOB中，OA= ,OB=1,‎ ‎∴‎ ‎∵当为中点，‎ ‎∴AP=BP=1,OP=AB=1.‎ ‎∴OP=OB=BP,‎ ‎∴△BOP是等边三角形 ‎∴∠BOP=∠BPO=60°，‎ ‎∴∠OPA=180°-∠BPO=120°.‎ 由（1）知，△A’OP≌△AOP，‎ ‎∴∠OPA’=∠OPA=120°，P’A=PA=1，‎ 又OB=PA’=1，‎ ‎∴四边形OPA’B是平行四边形.‎ ‎∴A’B=OP=1.‎ ‎(3)或 .‎ ‎21.（2017山东青岛第21题）（本小题满分8分）‎ 已知：如图，在菱形ABCD 中，点E，O，F 分别是边AB，AC，AD的中点，连接CE、CF、OF．‎ ‎（1）求证：△ BCE≌△DCF；‎ ‎（2）当AB与BC满足什么条件时，四边形AEOF正方形？请说明理由．‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）四边形AEOF是正方形 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用SAS证明△ BCE≌△DCF；‎ ‎（2）先证明AEOF为菱形，当BC⊥AB，得∠BAD＝90°，再利用知识点：有一个角是90°的菱形是正方形。‎ 试题解析：（1）∵四边形ABCD为菱形 ‎∴AB=BC=CD=DA，∠B=∠D 又E、F分别是AB、AD中点，∴BE=DF ‎∴△ABE≌△CDF（SAS）‎ 考点：1、菱形，2、全等三角形，3、正方形 ‎29．（2017四川省达州市）如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB、外角∠ACD的平分线于点E、F．‎ ‎（1）若CE=8，CF=6，求OC的长；‎ ‎（2）连接AE、AF．问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．‎ ‎【答案】（1）5；（2）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，证出OE=OC=OF，∠ECF=90°，由勾股定理求出EF，即可得出答案；‎ ‎（2）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：‎ 连接AE、AF，如图所示：‎ 当O为AC的中点时，AO=CO，∵EO=FO，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECF=90°，∴平行四边形AECF是矩形．‎ 考点：1．矩形的判定；2．平行线的性质；3．等腰三角形的判定与性质；4．探究型；5．动点型．‎ ‎31．（2017山东省济宁市）实验探究：‎ ‎（1）如图1，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开；再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN，MN．请你观察图1，猜想∠MBN的度数是多少，并证明你的结论．‎ ‎（2）将图1中的三角形纸片BMN剪下，如图2，折叠该纸片，探究MN与BM的数量关系，写出折叠方案，并结合方案证明你的结论．‎ ‎【答案】（1）∠MBN=30°；（2）MN=BM．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）猜想：∠MBN=30°．只要证明△ABN是等边三角形即可；‎ ‎（2）结论：MN=BM．‎ 折纸方案：如图2中，折叠△BMN，使得点N落在BM上O处，折痕为MP，连接OP．‎ 理由：由折叠可知△MOP≌△MNP，∴MN=OM，∠OMP=∠NMP=∠OMN=30°=∠B，∠MOP=∠MNP=90°，∴∠BOP=∠MOP=90°，∵OP=OP，∴△MOP≌△BOP，∴MO=BO=BM，∴MN=BM．‎ 考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．矩形的性质；3．剪纸问题．‎ ‎32．（2017广东省）如图所示，已知四边形ABCD，ADEF都是菱形，∠BAD=∠FAD，∠BAD为锐角．‎ ‎（1）求证：AD⊥BF；‎ ‎（2）若BF=BC，求∠ADC的度数．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）150°．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）连结DB、DF．根据菱形四边相等得出AB=AD=FA，再利用SAS证明△BAD≌△FAD，得出DB=DF，那么D在线段BF的垂直平分线上，又AB=AF，即A在线段BF的垂直平分线上，进而证明AD⊥BF；‎ ‎（2）如图，设AD⊥BF于H，作DG⊥BC于G，则四边形BGDH是矩形，∴DG=BH=‎ BF．∵BF=BC，BC=CD，∴DG=CD．在直角△CDG中，∵∠CGD=90°，DG=CD，∴∠C=30°，∵BC∥AD，∴∠ADC=180°﹣∠C=150°．‎ 考点：菱形的性质．‎ ‎5. （2017广西百色第22题）矩形中，分别是的中点， 分别交于两点.‎ 求证：（1）四边形是平行四边形；‎ ‎ （2）‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.‎ 考点：1.矩形的性质；2.平行四边形的判定与性质．‎ ‎12. （2017上海第23题）已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=EC．‎ ‎（1）求证：四边形ABCD是菱形；‎ ‎（2）如果BE=BC，且∠CBE：∠BCE=2：3，求证：四边形ABCD是正方形．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.‎ 考点：1.正方形的判定与性质；2.菱形的判定及性质.‎ ‎ 13. （2017湖南张家界第17题）如图，在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连接AF，BE．‎ ‎（1）求证：△AGE≌△BGF；‎ ‎（2）试判断四边形AFBE的形状，并说明理由．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）四边形AFBE是菱形．‎ 考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；探究型．‎