- 229.00 KB
- 2021-05-10 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
2014高考数学快速命中考点4
一、选择题
1.设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面( )
A.若m∥α,n∥α,则m∥n
B.若m∥α,m∥β,则α∥β
C.若m∥n,m⊥α,则n⊥α
D.若m∥α,α⊥β,则m⊥β
【解析】 可以借助正方体模型对四个选项分别剖析,得出正确结论.A项,当m∥α,n∥α时,m,n可能平行,可能相交,也可能异面,故错误;B项,当m∥α,m∥β时,α,β可能平行也可能相交,故错误;C项,当m∥n,m⊥α时,n⊥α,故正确;D项,当m∥α,α⊥β时,m可能与β平行,可能在β内,也可能与β相交,故错误.故选C.
【答案】 C
2.已知m、n、l是三条不同的直线,α、β、γ是三个不同的平面,给出以下命题:
①若m⊂α,n∥α,则m∥n;
②若m⊂α,n⊂β,α⊥β,α∩β=l,m⊥l,则m⊥n;
③若n∥m,m⊂α,则n∥α;
④若α∥γ,β∥γ,则α∥β.
其中正确命题的序号是( )
A.②④ B.②③ C.③④ D.①③
【解析】 对于命题①,m、n可能是异面直线,故①错;对于命题③,可能有n⊂α,故③错;故选A.
【答案】 A
3.已知l,m是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,有下列五个命题:
①若l⊂β,且α∥β,则l∥α;
②若l⊥β,且α∥β,则l⊥α;
③若l⊥β,且α⊥β,则l∥α;
④α∩β=m,且l∥m,则l∥α;
⑤若α∩β=m,l∥α,l∥β,则l∥m.
则所有正确命题的序号是( )
A.①③⑤ B.②④⑤
C.①②⑤ D.①②④
【解析】 根据面面平行的性质知,①②正确,⑤中由l∥α,l平行平面α中的某条直线x,同理l平行平面β中的某条直线y,从而x∥y,所以y∥α,进而y∥m,故l∥m,所以⑤正确.故选C.
【答案】 C
4.设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )
A.若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m⊥n
B.若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n
C.若m⊥n,m⊂α,n⊂β,则α⊥β
D.若m⊥α,m∥n,n∥β,则α⊥β
【解析】 本题可以依据相应的判定定理或性质定理进行判断,也可以借助于长方体模型,利用模型中的直线和平面进行判断.
如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,平面BCC1B1⊥平面ABCD,BC1⊂平面BCC1B1,BC⊂平面ABCD,而BC1不垂直于BC,故A错误.
平面A1B1C1D1∥平面ABCD,B1D1⊂平面A1B1C1D1,AC⊂平面ABCD,但B1D1和AC不平行,故B错误.
AB⊥A1D1,AB⊂平面ABCD,A1D1⊂平面A1B1C1D1,但平面A1B1C1D1∥平面ABCD,故C错误.故选D.
【答案】 D
5.如图4-2-8,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF相交的平面个数分别记为m,n,那么m+n=( )
图4-2-8
A.8 B.9
C.10 D.11
【解析】 取CD的中点H,连接EH,HF.在四面体CDEF中,CD⊥EH,CD⊥FH,所以CD⊥平面EFH,所以AB⊥平面EFH,所以正方体的左、右两个侧面与EF平行,其余4个平面与EF相交,即n=4.又因为CE与AB在同一平面内,所以CE与正方体下底面共面,与上底面平行,与其余四个面相交,即m=4,所以m+n=4+4=8.
【答案】 A
二、填空题
图4-2-9
6.如图4-2-9,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,M,N分别是棱C1D1,C1C的中点.以下四个结论:
①直线AM与直线CC1相交;
②直线AM与直线BN平行;
③直线AM与直线DD1异面;
④直线BN与直线MB1异面.
其中正确结论为________.(注:把你认为正确的结论序号都填上)
【解析】 由图可知AM与CC1是异面直线;AM与BN也是异面直线;AM与DD1是异面直线;BN与MB1也是异面直线,故①②错误,③④正确.
【答案】 ③④
7.给出下列命题:
①直线a与平面α不平行,则a与平面α内的所有直线都不平行;
②直线a与平面α不垂直,则a与平面α内的所有直线都不垂直;
③异面直线a,b不垂直,则过a的任何平面与b都不垂直;
④若直线a和b共面,直线b和c共面,则a和c共面.
其中错误的命题是________.(只填序号)
【解析】 对于命题①②,当直线a在平面α内时,结论不成立,故命题①②错;
对于命题③,假设过a的一个平面与b垂直,则异面直线a,b垂直与已知矛盾.故命题③正确;
对于命题④,当直线a和b平行,b与c相交时,a和c可能是异面直线,故命题④错误.
【答案】 ①②④
8.如图4-2-10,正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段CC1上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S,则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号).
图4-2-10
①当0<CQ<时,S为四边形;
②当CQ=时,S为等腰梯形;
③当CQ=时,S与C1D1的交点R满足C1R=;
④当<CQ<1时,S为六边形;
⑤当CQ=1时,S的面积为.
【解析】 ①当0<CQ<时,如图(1).
在平面AA1D1D内,作AE∥PQ,
显然E在棱DD1上,连接EQ,
则S是四边形APQE.
②当CQ=时,如图(2).
显然PQ∥BC1∥AD1,连接D1Q,
则S是等腰梯形.
③当CQ=时,如图(3).
作BF∥PQ交CC1的延长线于点F,则C1F=.
作AE∥BF,交DD1的延长线于点E,D1E=,AE∥PQ,
连接EQ交C1D1于点R,由于Rt△RC1Q∽Rt△RD1E,
∴C1Q∶D1E=C1R∶RD1=1∶2,∴C1R=.
④ 当<CQ<1时,如图(3),连接RM(点M为AE与A1D1交点),显然S为五边形APQRM.
⑤当CQ=1时,如图(4).
同③可作AE∥PQ交DD1的延长线于点E,交A1D1于点M,显然点M为A1D1的中点,所以S为菱形APQM,其面积为MP×AQ=××=.
【答案】 ①②③⑤
三、解答题
9.如图4-2-11,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB∥CD,AD⊥AB,AB=2,AD=,AA1=3,E为CD上一点,DE=1,EC=3.
图4-2-11
(1)证明:BE⊥平面BB1C1C;
(2)求点B1到平面EA1C1的距离.
【解】 (1)证明 过点B作CD的垂线交CD于点F,则
BF=AD=,EF=AB-DE=1,FC=2.
在Rt△BFE中,BE=.
在Rt△CFB中,BC=.
在△BEC中,因为BE2+BC2=9=EC2,故BE⊥BC.
由BB1⊥平面ABCD,得BE⊥BB1,
所以BE⊥平面BB1C1C.
(2)连接B1E,则三棱锥E-A1B1C1的体积V=AA1·S△A1B1C1=.
在Rt△A1D1C1中,A1C1==3.
同理,EC1==3,
A1E==2,
故S△A1C1E=3.
设点B1到平面EA1C1的距离为d,
则三棱锥B1-EA1C1的体积
V=·d·S△EA1C1=d,
从而d=,d=.
10.如图4-2-12,斜三棱柱A1B1C1—ABC中,侧面AA1C1C⊥底面ABC,底面ABC是边长为2的等边三角形,侧面AA1C1C是菱形,∠A1AC=60°,E、F分别是A1C1、AB的中点.
图4-2-12
(1)求证:EC⊥平面ABC;
(2)求三棱锥A1—EFC的体积.
【解】 证明 (1)在平面AA1C1C内,作A1O⊥AC,O为垂足.
因为∠A1AC=60°,所以AO=AA1=AC,即O为AC的中点,所以OC綊A1E.
因而EC綊A1O.因为侧面AA1C1C⊥底面ABC,交线为AC,A1O⊥AC,所以A1O⊥平面ABC.
所以EC⊥平面ABC.
(2)F到平面A1EC的距离等于B点到平面A1EC距离BO长度的一半,而BO=.
所以VA1—EFC=VF—A1EC=S△A1EC·BO
=·A1E·EC·=···=.
11.如图4-2-13,在长方形ABCD中,AB=2,BC=1,E为CD的中点,F为AE的中点.现在沿AE将三角形ADE向上折起,在折起的图形中解答下列问题:
图4-2-13
(1)在线段AB上是否存在一点K,使BC∥平面DFK?若存在,请证明你的结论;若不存在,请说明理由.
(2)若平面ADE⊥平面ABCE,求证:平面BDE⊥平面ADE.
【解】 (1)线段AB上存在一点K,且当AK=AB时,BC∥平面DFK.
证明如下:
设H为AB的中点,连接EH,则BC∥EH.
又因为AK=AB,F为AE的中点,所以KF∥EH,所以KF∥BC,
∵KF⊂平面DFK,BC⊄平面DFK,
∴BC∥平面DFK.
(2)证明 因为F为AE的中点,DA=DE=1,所以DF⊥AE.
因为平面ADE⊥平面ABCE,所以DF⊥平面ABCE.
因为BE⊂平面ABCE,所以DF⊥BE.
又因为在折起前的图形中E为CD的中点,AB=2,BC=1,所以在折起后的图形中,AE=BE=,
从而AE2+BE2=4=AB2,
所以AE⊥BE.
因为AE∩DF=F,所以BE⊥平面ADE,
因为BE⊂平面BDE,所以平面BDE⊥平面ADE.