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- 2021-05-10 发布
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图形的展开与叠折
一、选择题
.(2015•江苏无锡,第9题2分)如图的正方体盒子的外表面上画有3条粗黑线,将这个正方体盒子的表面展开(外表面朝上),展开图可能是( )
A. B. C. D.
考点: 几何体的展开图.
分析: 根据正方体的表面展开图进行分析解答即可.
解答: 解:根据正方体的表面展开图,两条黑线在一列,故A错误,且两条相邻成直角,故B错误,间相隔一个正方形,故C错误,只有D选项符合条件,
故选D
点评: 本题主要考查了几何体的展开图,注意正方体的空间图形,从相对面入手,分析及解答问题.
2.(2015湖北荆州第8题3分)如图所示,将正方形纸片三次对折后,沿图中AB线剪掉一个等腰直角三角形,展开铺平得到的图形是( )
A. B. C. D.
考点: 剪纸问题.
分析: 根据题意直接动手操作得出即可.
解答: 解:找一张正方形的纸片,按上述顺序折叠、裁剪,然后展开后得到的图形如图所示:
故选A.
点评: 本题考查了剪纸问题,难点在于根据折痕逐层展开,动手操作会更简便.
3.(2015湖北鄂州第8题3分)如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=12,点E是BC的中点,连接AE,将△ABE 沿AE折叠,点B落在点F处,连接FC,则sin∠ECF =( )
A. B. C. D.
【答案】D.
考点:翻折问题.
图5
4.(2015•四川资阳,第9题3分)如图5,透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm,底面周长为10cm,在容器内壁离容器底部3 cm的点B处有一饭粒,此时一只蚂蚁正好在容器外壁,且离容器上沿3 cm的点A处,则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是
A.13cm B.cm C.cm D.cm
考点:平面展开-最短路径问题..
分析:将容器侧面展开,建立A关于EF的对称点A′,根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求.
解答:解:如图:
∵高为12cm,底面周长为10cm,在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒,
此时蚂蚁正好在容器外壁,离容器上沿3cm与饭粒相对的点A
处,
∴A′D=5cm,BD=12﹣3+AE=12cm,
∴将容器侧面展开,作A关于EF的对称点A′,
连接A′B,则A′B即为最短距离,
A′B=
=
=13(Cm).
故选:A.
点评:本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题,将图形展开,利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键.同时也考查了同学们的创造性思维能力.
5、(2015•四川自贡,第10题4分) 如图,在矩形中,,是边的中点,是线段边上的动点,将△沿所在直线折叠得到△,连接,则的最小值是 ( )
A. B.6 C. D.4
考点:矩形的性质、翻折(轴对称)、勾股定理、最值.
分析:连接后抓住△中两边一定,要使的长度最小即要使最小(也就是使其角度为0°),此时点落在上, 此时.
略解:
∵是边的中点, ∴
∵四边形矩形 ∴
∴在△根据勾股定理可知:
又∵ ∴.
根据翻折对称的性质可知
∵△中两边一定,要使的长度最小即要使最小(也就是使其角度为0°),此时点落在上(如图所示).
∴ ∴的长度最小值为. 故选A
6. (2015•绵阳第12题,3分)如图,D是等边△ABC边AB上的一点,且AD:DB=1:2,现将△ABC折叠,使点C与D重合,折痕为EF,点E,F分别在AC和BC上,则CE:CF=( )
A. B. C. D.
考点: 翻折变换(折叠问题)..
分析: 借助翻折变换的性质得到DE=CE;设AB=3k,CE=x,则AE=3k﹣x;根据余弦定理分别求出CE、CF的长即可解决问题.
解答: 解:设AD=k,则DB=2k;
∵△ABC为等边三角形,
∴AB=AC=3k,∠A=60°;
设CE=x,则AE=3k﹣x;
由题意知:
EF⊥CD,且EF平分CD,
∴CE=DE=x;
由余弦定理得:
DE2=AE2+AD2﹣2AE•AD•cos60°
即x2=(3k﹣x)2+k2﹣2k(3k﹣x)cos60°,
整理得:x=,
同理可求:CF=,
∴CE:CF=4:5.
故选:B.
点评: 主要考查了翻折变换的性质及其应用问题;解题的关键是借助余弦定理分别求出CE、CF的长度(用含有k的代数式表示);对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求.
7. (2015•浙江省台州市,第8题)如果将长为6cm,宽为5cm的长方形纸片折叠一次,那么这条折痕的长不可能是( )
A.8cm B.cm C.5.5cm D.1cm
8.(2015·贵州六盘水,第4题3分)如图2是正方体的一个平面展开图,原正方体
上两个“我”字所在面的位置关系是( )
A.相对 B.相邻 C.相隔 D.重合
考点:专题:正方体相对两个面上的文字..
分析:正方体的表面展开图,相对的面之间一定相隔一个正方形,根据这一特点作答.
解答:解:正方体的表面展开图,相对的面之间一定相隔一个正方形,
“我”与“国”是相对面,
“我”与“祖”是相对面,
“爱”与“的”是相对面.
故原正方体上两个“我”字所在面的位置关系是相邻.
故选B.
点评:本题主要考查了正方体相对两个面上的文字,注意正方体的空间图形,从相对面入手,分析及解答问题.
9. (2015•浙江宁波,第10题4分)如图,将△ABC沿着过AB中点D的直线折叠,使点A落在BC边上的A1处,称为第1次操作,折痕DE到BC的距离记为;还原纸片后,再将△ADE沿着过AD中点D1的直线折叠,使点A落在DE边上的A2处,称为第2次操作,折痕D1E1到BC的距离记为;按上述方法不断操作下去,经过第2015次操作后得到的折痕D2014E2014到BC的距离记为,若=1,则的值为【 】
A. B. C. D.
【答案】D.
【考点】探索规律题(图形的变化类);折叠对称的性质;三角形中位线定理.
【分析】根据题意和折叠对称的性质,DE是△ABC的中位线,D1E1是△A D1E1的中位线,D2E2是△A2D2E1的中位线,…
∴,
,
,
…
.
故选D.
10.(2015•江苏泰州,第4题3分)一个几何体的表面展开图如图所示, 则这个几何体是
A.四棱锥 B.四棱柱 C.三棱锥 D.三棱柱
【答案】A.
【解析】
试题分析:根据四棱锥的侧面展开图得出答案.
试题解析:如图所示:这个几何体是四棱锥.
故选A.
考点:几何体的展开图.
11. (2015•四川广安,第4题3分)在市委、市府的领导下,全市人民齐心协力,将广安成功地创建为“全国文明城市”,为此小红特制了一个正方体玩具,其展开图如图所示,原正方体中与“文”字所在的面上标的字应是( )
A. 全 B. 明 C. 城 D. 国
考点: 专题:正方体相对两个面上的文字..
分析: 正方体的表面展开图,相对的面之间一定相隔一个正方形,根据这一特点作答.
解答: 解:由正方体的展开图特点可得:与“文”字所在的面上标的字应是“城”.
故选:C.
点评: 此题考查了正方体相对两个面上的文字的知识;掌握常见类型展开图相对面上的两个字的特点是解决本题的关键.
12. (2015•浙江金华,第9题3分)以下四种沿AB折叠的方法中,不一定能判定纸带两条边线 , 互相平行的是【 】
A. 如图1,展开后,测得∠1=∠2
B. 如图2,展开后,测得∠1=∠2,且∠3=∠4
C. 如图3,测得∠1=∠2
D. 如图4,展开后,再沿CD折叠,两条折痕的交点为O,测得OA=OB,OC=OD
【答案】C.
【考点】折叠问题;平行的判定;对顶角的性质;全等三角形的判定和性质.
【分析】根据平行的判定逐一分析作出判断:
A. 如图1,由∠1=∠2,根据“内错角相等,两直线平行”的判定可判定纸带两条边线 , 互相平行;
B. 如图2,由∠1=∠2和∠3=∠4,根据平角定义可得∠1=∠2=∠3=∠4=90°,从而根据“内错角相等,两直线平行”或“同旁内角互补,两直线平行”的判定可判定纸带两条边线 , 互相平行;
C. 如图3,由∠1=∠2不一定得到内错角相等或同位角相等或同旁内角互补,故不一定能判定纸带两条边线 , 互相平行;
D. 如图4,由OA=OB,OC=OD, 得到 ,从而得到 ,进而根据“内错角相等,两直线平行”的判定可判定纸带两条边线 , 互相平行.
故选C.
13. (2015•山东潍坊第11 题3分)如图,有一块边长为6cm
的正三角形纸板,在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形,再沿图中的虚线折起,做成一个无盖的直三棱柱纸盒,则该纸盒侧面积的最大值是( )
A. cm2 B. cm2 C. cm2 D. cm2
考点: 二次函数的应用;展开图折叠成几何体;等边三角形的性质..
分析: 如图,由等边三角形的性质可以得出∠A=∠B=∠C=60°,由三个筝形全等就可以得出AD=BE=BF=CG=CH=AK,根据折叠后是一个三棱柱就可以得出DO=PE=PF=QG=QH=OK,四边形ODEP、四边形PFGQ、四边形QHKO为矩形,且全等.连结AO证明△AOD≌△AOK就可以得出∠OAD=∠OAK=30°,设OD=x,则AO=2x,由勾股定理就可以求出AD= x,由矩形的面积公式就可以表示纸盒的侧面积,由二次函数的性质就可以求出结论.
解答: 解:∵△ABC为等边三角形,
∴∠A=∠B=∠C=60°,AB=BC=AC.
∵筝形ADOK≌筝形BEPF≌筝形AGQH,
∴AD=BE=BF=CG=CH=AK.
∵折叠后是一个三棱柱,
∴DO=PE=PF=QG=QH=OK,四边形ODEP、四边形PFGQ、四边形QHKO都为矩形.
∴∠ADO=∠AKO=90°.
连结AO,
在Rt△AOD和Rt△AOK中,
,
∴Rt△AOD≌Rt△AOK(HL).
∴∠OAD=∠OAK=30°.
设OD=x,则AO=2x,由勾股定理就可以求出AD= x,
∴DE=6﹣2 x,
∴纸盒侧面积=3x(6﹣2 x)=﹣6 x2+18x,
=﹣6 (x﹣ )2+ ,
∴当x= 时,纸盒侧面积最大为 .
故选C.
点评: 本题考查了等边三角形的性质的运用,全等三角形的判定及性质的运用,勾股定理的运用,矩形的面积公式的运用,二次函数的性质的运用,解答时表示出纸盒的侧面积是关键.
二、填空题
1. (2015•浙江嘉兴,第14题5分)如图,一张三角形纸片ABC,AB=AC=5.折叠该纸片使点A落在边BC的中点上,折痕经过AC上的点E,则线段AE的长为____▲____.
考点:翻折变换(折叠问题)..
分析:如图,D为BC的中点,AD⊥BC,因为折叠该纸片使点A落在BC的中点D
上,所以折痕EF垂直平分AD,根据平行线等分线段定理,易知E是AC的中点,故AE=2.5.
解答:解:如图所示,
∵D为BC的中点,AB=AC,
∴AD⊥BC,
∵折叠该纸片使点A落在BC的中点D上,
∴折痕EF垂直平分AD,
∴E是AC的中点,
∵AC=5
∴AE=2.5.
故答案为:2.5.
点评:本题考查了折叠的性质,等腰三角形的性质以及平行线等分线段定理,意识到折痕EF垂直平分AD,是解决问题的关键.
2. (2015•四川省内江市,第14题,5分)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,E为CD上一点,分别以EA,EB为折痕将两个角(∠D,∠C)向内折叠,点C,D恰好落在AB边的点F处.若AD=2,BC=3,则EF的长为 .
考点: 翻折变换(折叠问题)..
分析: 先根据折叠的性质得DE=EF,CE=EF,AF=AD=2,BF=CB=3,则DC=2EF,AB=5,再作AH⊥BC于H,由于AD∥BC,∠B=90°,则可判断四边形ADCH为矩形,所以AH=DC=2EF,HB=BC﹣CH=BC﹣AD=1,然后在Rt△ABH中,利用勾股定理计算出AH=2,所以EF=.
解答: 解∵分别以AE,BE为折痕将两个角(∠D,∠C)向内折叠,点C,D恰好落在AB边的点F处,
∴DE=EF,CE=EF,AF=AD=2,BF=CB=3,
∴DC=2EF,AB=5,
作AH⊥BC于H,
∵AD∥BC,∠B=90°,
∴四边形ADCH为矩形,
∴AH=DC=2EF,HB=BC﹣CH=BC﹣AD=1,
在Rt△ABH中,AH==2,
∴EF=.
故答案为:.
点评: 本题考查了折叠的性质:折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等.也考查了勾股定理.
3. (2015•浙江滨州,第17题4分)如图,在平面直角坐标系中,将矩形AOCD沿直线AE折叠(点E在边DC上),折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处.若点D的坐标为(10,8),则点E的坐标为 .
【答案】(10,3)
考点:折叠的性质,勾股定理
4. (2015•浙江杭州,第16题4分)如图,在四边形纸片ABCD中,AB=BC,AD=CD,∠A=∠C=90°,∠B=150°,将纸片先沿直线BD对折,再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪,剪开后的图形打开铺平,若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形,则CD=_______________________________
【答案】或.
【考点】剪纸问题;多边形内角和定理;轴对称的性质;菱形、矩形的判定和性质;含30度角直角三角形的性质;相似三角形的判定和性质;分类思想和方程思想的应用.
【分析】∵四边形纸片ABCD中,∠A=∠C=90°,∠B=150°,∴∠C=30°.
如答图,根据题意对折、裁剪、铺平后可有两种情况得到平行四边形:
如答图1,剪痕BM、BN,过点N作NH⊥BM于点H,
易证四边形BMDN是菱形,且∠MBN=∠C=30°.
设BN=DN=,则NH=.
根据题意,得,∴BN=DN=2, NH=1.
易证四边形BHNC是矩形,∴BC=NH=1. ∴在中,CN=.
∴CD=.
如答图2,剪痕AE、CE,过点B作BH⊥CE于点H,
易证四边形BAEC是菱形,且∠BCH =30°.
设BC=CE =,则BH=.
根据题意,得,∴BC=CE =2, BH=1.
在中,CH=,∴EH=.
易证,∴,即.
∴.
综上所述,CD=或.
5. (2015•四川省宜宾市,第15题,3分)如图, 一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B,将△AOB沿直线AB翻折,得△ACB.若C(,),则该一次幽数的解析式为 .
三、解答题
1. (2015•浙江金华,第23题10分)图1,图2为同一长方体房间的示意图,图2为该长方体的表面展开图.
(1)蜘蛛在顶点处①苍蝇在顶点B处时,试在图1中画出蜘蛛为捉住苍蝇,沿墙面爬行的最近路线;②苍蝇在顶点C处时,图2中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线,往天花板ABCD爬行的最近路线和往墙面爬行的最近路线,试通过计算判断哪条路线更近?
(2)在图3中,半径为10dm的⊙M与相切,圆心M到边的距离为15dm,蜘蛛
P在线段AB上,苍蝇Q在⊙M的圆周上,线段PQ为蜘蛛爬行路线。若PQ与⊙M相切,试求PQ的长度的范围.
【答案】解:(1)①如答图1,连结,线段就是所求作的最近路线.
E
B′
A′
A
B
F
C
②两种爬行路线如答图2所示,
由题意可得:
在Rt△A'C'C2中, A'HC2= (dm);
在Rt△A'B'C1中, A'GC1=(dm)
∵>,∴路线A'GC1更近.
(2)如答图,连接MQ,
∵PQ为⊙M的切线,点Q为切点,
∴MQ⊥PQ.
∴在Rt△PQM中,有PQ2=PM2-QM2= PM2-100,
当MP⊥AB时,MP最短,PQ取得最小值,如答图3,
此时MP=30+20=50,
∴PQ= (dm).
当点P与点A重合时, MP最长,PQ取得最大值,如答图4,
过点M作MN⊥AB,垂足为N
,
∵由题意可得 PN=25,MN=50,
∴在Rt△PMN中,.
∴在Rt△PQM中,PQ= (dm).
综上所述, 长度的取值范围是.
【考点】长方体的表面展开图;双动点问题;线段、垂直线段最短的性质;直线与圆的位置关系;勾股定理.
【分析】(1)①根据两点之间线段最短的性质作答.
②根据勾股定理,计算两种爬行路线的长,比较即可得到结论.
(2)当MP⊥AB时,MP最短,PQ取得最小值;当点P与点A重合时, MP最长,PQ取得最大值.求出这两种情况时的PQ长即可得出结论.
2.(2015•广东省,第21题,7分)如题图,在边长为6的正方形ABCD中,E是边CD的中点,将△ADE沿AE对折至△AFE,延长交BC于点G,连接AG.
(1)求证:△ABG≌△AFG;
(2)求BG的长.
【答案】解:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴∠B=∠D=90°,AD=AB.
由折叠的性质可知,AD=AF,∠AFE=∠D=90°,∴∠AFG=90°,AB=AF.
∴∠AFG=∠B.
又∵AG=AG,∴△ABG≌△AFG(HL).
(2)∵△ABG≌△AFG,∴BG=FG.
设BG=FG=,则GC=,
∵E为CD的中点,∴CF=EF=DE=3,∴EG=,
在中,由勾股定理,得,解得,
∴BG=2.
【考点】折叠问题;正方形的性质;折叠对称的性质;全等三角形的判定和性质;勾股定理;方程思想的应用.
【分析】(1)根据正方形和折叠对称的性质,应用HL即可证明△ABG≌△AFG(HL).
(2)根据全等三角形的性质,得到BG=FG,设BG=FG=,将GC和EG用的代数式表示,从而在中应用勾股定理列方程求解即可.
3. (2015•四川南充,第22题8分)如图,矩形纸片ABCD,将△AMP和△BPQ分别沿PM和PQ折叠(AP>AM),点A和点B都与点E重合;再将△CQD沿DQ折叠,点C落在线段EQ上点F处.
(1)判断△AMP,△BPQ,△CQD和△FDM中有哪几对相似三角形?(不需说明理由)
(2)如果AM=1,sin∠DMF=,求AB的长.
【答案】△AMP∽△BPQ∽△CQD;AB=6.
试题解析:(1)、有三对相似三角形,即△AMP∽△BPQ∽△CQD
(2) 、设AP=x,有折叠关系可得:BP=AP=EP=x AB=DC=2x AM=1
由△AMP∽△BPQ得: 即
由△AMP∽△CQD得: 即CQ=2
AD=BC=BQ+CQ=+2 MD=AD-AM=+2-1=+1
又∵在Rt△FDM中,sin∠DMF= DF=DC=2x ∴ 解得:x=3或x=(不合题意,舍去)
∴AB=2x=6.
考点:相似三角形的应用、三角函数、折叠图形的性质.
4.(2015•福建泉州第25题13分)(1)如图1是某个多面体的表面展开图.
①请你写出这个多面体的名称,并指出图中哪三个字母表示多面体的同一点;
②如果沿BC、GH将展开图剪成三块,恰好拼成一个矩形,那么△BMC应满足什么条件?(不必说理)
(2)如果将一个三棱柱的表面展开图剪成四块,恰好拼成一个三角形,如图2,那么该三棱柱的侧面积与表面积的比值是多少?为什么?(注:以上剪拼中所有接缝均忽略不计)
解:(1)①根据这个多面体的表面展开图,可得
这个多面体是直三棱柱,
点A、M、D三个字母表示多面体的同一点.
②△BMC应满足的条件是:
a、∠BMC=90°,且BM=DH,或CM=DH;
b、∠MBC=90°,且BM=DH,或BC=DH;
c、∠BCM=90°,且BC=DH,或CM=DH;
(2)如图2,连接AB、BC、CA,,
∵△DEF是由一个三棱柱表面展开图剪拼而成,
∴矩形ACKL、BIJC、AGHB为棱柱的三个侧面,
且四边形DGAL、EIBH、FKCJ须拼成与底面△ABC全等的另一个底面的三角形,
∴AC=LK,且AC=DL+FK,
∴,
同理,可得
,
∴△ABC∽△DEF,
∴,
即S△DEF=4S△ABC,
∴,
即该三棱柱的侧面积与表面积的比值是.