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- 2021-05-10 发布
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2017年甘肃省天水市中考数学试卷
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)
1.若x与3互为相反数,则|x+3|等于( )
A.0 B.1 C.2 D.3
2.如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成,它的俯视图是( )
A. B. C. D.
3.下列运算正确的是( )
A.2x+y=2xy B.x•2y2=2xy2 C.2x÷x2=2x D.4x﹣5x=﹣1
4.下列说法正确的是( )
A.不可能事件发生的概率为0
B.随机事件发生的概率为
C.概率很小的事件不可能发生
D.投掷一枚质地均匀的硬币1000次,正面朝上的次数一定是500次
5.我国平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量,相当于燃烧130 000 000kg的煤所产生的能量.把130 000 000kg用科学记数法可表示为( )
A.13×107kg B.0.13×108kg C.1.3×107kg D.1.3×108kg
6.在正方形网格中,△ABC的位置如图所示,则cosB的值为( )
A. B. C. D.
7.关于的叙述不正确的是( )
A. =2
B.面积是8的正方形的边长是
C.是有理数
D.在数轴上可以找到表示的点
8.下列给出的函数中,其图象是中心对称图形的是( )
①函数y=x;②函数y=x2;③函数y=.
A.①② B.②③ C.①③ D.都不是
9.如图,AB是圆O的直径,弦CD⊥AB,∠BCD=30°,CD=4,则S阴影=( )
A.2π B.π C.π D.π
10.如图,在等腰△ABC中,AB=AC=4cm,∠B=30°,点P从点B出发,以cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止,同时点Q从点B出发,以1cm/s的速度沿BA﹣AC方向运动到点C停止,若△BPQ的面积为y(cm2),运动时间为x(s),则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是( )
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共8小题,每小题4分,共32分)
11.若式子有意义,则x的取值范围是 .
12.分解因式:x3﹣x= .
13.定义一种新的运算:x*y=,如:3*1==,则(2*3)*2= .
14.如图所示,在矩形ABCD中,∠DAC=65°,点E是CD上一点,BE交AC于点F,将△BCE沿BE折叠,点C恰好落在AB边上的点C′处,则∠AFC′= .
15.观察下列的“蜂窝图”
则第n个图案中的“”的个数是 .(用含有n的代数式表示)
16.如图,路灯距离地面8米,身高1.6米的小明站在距离灯的底部(点O)20米的A处,则小明的影子AM长为 米.
17.如图所示,正方形ABCD的边长为4,E是边BC上的一点,且BE=1,P是对角线AC上的一动点,连接PB、PE,当点P在AC上运动时,△PBE周长的最小值是 .
18.如图是抛物线y1=ax2+bx+c(a≠
0)的图象的一部分,抛物线的顶点坐标是A(1,3),与x轴的一个交点是B(4,0),直线y2=mx+n(m≠0)与抛物线交于A,B两点,下列结论:
①abc>0;②方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根;③抛物线与x轴的另一个交点是(﹣1,0);④当1<x<4时,有y2>y1;⑤x(ax+b)≤a+b,其中正确的结论是 .(只填写序号)
三、解答题(本大题共3小题,共28分)
19.(1)计算:﹣14+sin60°+()﹣2﹣(π﹣)0
(2)先化简,再求值:(1﹣)÷,其中x=﹣1.
20.一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向的A处,它向东航行20海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处,若轮船继续沿正东方向航行,求轮船航行途中与灯塔P的最短距离.(结果保留根号)
21.八年级一班开展了“读一本好书”的活动,班委会对学生阅读书籍的情况进行了问卷调查,问卷设置了“小说”“戏剧”“散文”“其他”四个类型,每位同学仅选一项,根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图.
类别
频数(人数)
频率
小说
0.5
戏剧
4
散文
10
0.25
其他
6
合计
1
根据图表提供的信息,解答下列问题:
(1)八年级一班有多少名学生?
(2)请补全频数分布表,并求出扇形统计图中“其他”类所占的百分比;
(3)在调查问卷中,甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类,现从以上四位同学中任意选出2名同学参加学校的戏剧兴趣小组,请用画树状图或列表法的方法,求选取的2人恰好是乙和丙的概率.
四、解答题(共50分)
22.如图所示,一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象交于A(2,4),B(﹣4,n)两点.
(1)分别求出一次函数与反比例函数的表达式;
(2)过点B作BC⊥x轴,垂足为点C,连接AC,求△ACB的面积.
23.如图,△ABD是⊙O的内接三角形,E是弦BD的中点,点C是⊙O外一点且∠DBC=∠A,连接OE延长与圆相交于点F,与BC相交于点C.
(1)求证:BC是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为6,BC=8,求弦BD的长.
24.天水某公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车,计划购买A型和B型两行环保节能公交车共10辆,若购买A型公交车1辆,B型公交车2辆,共需400万元;若购买A型公交车2辆,B型公交车1辆,共需350万元,
(1)求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元?
(2)预计在该条线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次.若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1220万元,且确保这10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于650万人次,则该公司有哪几种购车方案?哪种购车方案总费用最少?最少总费用是多少?
25.△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠EDF=90°,△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合,将△DEF绕点E旋转,旋转过程中,线段DE与线段AB相交于点P,线段EF与射线CA相交于点Q.
(1)如图①,当点Q在线段AC上,且AP=AQ时,求证:△BPE≌△CQE;
(2)如图②,当点Q在线段CA的延长线上时,求证:△BPE∽△CEQ;并求当BP=2,CQ=9时BC的长.
26.如图所示,在平面直角坐标系中xOy中,抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a(a<0)与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),经过点A的直线l:y=kx+b与y轴负半轴交于点C,与抛物线的另一个交点为D,且CD=4AC.
(1)求A、B两点的坐标及抛物线的对称轴;
(2)求直线l的函数表达式(其中k、b用含a的式子表示);
(3)点E是直线l上方的抛物线上的动点,若△ACE的面积的最大值为,求a的值;
(4)设P是抛物线对称轴上的一点,点Q在抛物线上,以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形?若能,求出点P的坐标;若不能,请说明理由.
2017年甘肃省天水市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)
1.若x与3互为相反数,则|x+3|等于( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【考点】15:绝对值;14:相反数.
【分析】先求出x的值,进而可得出结论.
【解答】解:∵x与3互为相反数,
∴x=﹣3,
∴|x+3|=|﹣3+3|=0.
故选A.
2.如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成,它的俯视图是( )
A. B. C. D.
【考点】U2:简单组合体的三视图.
【分析】找到从上面看所得到的图形即可,注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中.
【解答】解:从上面看易得横着的“”字,
故选C.
3.下列运算正确的是( )
A.2x+y=2xy B.x•2y2=2xy2 C.2x÷x2=2x D.4x﹣5x=﹣1
【考点】4H:整式的除法;35:合并同类项;49:单项式乘单项式.
【分析】直接利用合并同类项法则和整式的乘除运算法则分别化简求出答案.
【解答】解:A、2x+y无法计算,故此选项错误;
B、x•2y2=2xy2,正确;
C、2x÷x2=,故此选项错误;
D、4x﹣5x=﹣x,故此选项错误;
故选:B.
4.下列说法正确的是( )
A.不可能事件发生的概率为0
B.随机事件发生的概率为
C.概率很小的事件不可能发生
D.投掷一枚质地均匀的硬币1000次,正面朝上的次数一定是500次
【考点】X3:概率的意义.
【分析】根据不可能事件是指在任何条件下不会发生,随机事件就是可能发生,也可能不发生的事件,发生的机会大于0并且小于1,进行判断.
【解答】解:A、不可能事件发生的概率为0,故本选项正确;
B、随机事件发生的概率P为0<P<1,故本选项错误;
C、概率很小的事件,不是不发生,而是发生的机会少,故本选项错误;
D、投掷一枚质地均匀的硬币1000次,是随机事件,正面朝上的次数不确定是多少次,故本选项错误;
故选A.
5.我国平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量,相当于燃烧130 000 000kg的煤所产生的能量.把130 000 000kg用科学记数法可表示为( )
A.13×107kg B.0.13×108kg C.1.3×107kg D.1.3×108kg
【考点】1I:科学记数法—表示较大的数.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<
10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
【解答】解:130 000 000kg=1.3×108kg.
故选:D.
6.在正方形网格中,△ABC的位置如图所示,则cosB的值为( )
A. B. C. D.
【考点】KQ:勾股定理;T1:锐角三角函数的定义.
【分析】先设小正方形的边长为1,然后找个与∠B有关的RT△ABD,算出AB的长,再求出BD的长,即可求出余弦值.
【解答】解:设小正方形的边长为1,则AB=4,BD=4,
∴cos∠B==.
故选B.
7.关于的叙述不正确的是( )
A. =2
B.面积是8的正方形的边长是
C.是有理数
D.在数轴上可以找到表示的点
【考点】27:实数.
【分析】=2,
是无理数,可以在数轴上表示,还可以表示面积是8的正方形的边长,由此作判断.
【解答】解:A、=2,所以此选项叙述正确;
B、面积是8的正方形的边长是,所以此选项叙述正确;
C、=2,它是无理数,所以此选项叙述不正确;
D、数轴既可以表示有理数,也可以表示无理数,所以在数轴上可以找到表示的点;所以此选项叙述正确;
本题选择叙述不正确的,
故选C.
8.下列给出的函数中,其图象是中心对称图形的是( )
①函数y=x;②函数y=x2;③函数y=.
A.①② B.②③ C.①③ D.都不是
【考点】G2:反比例函数的图象;F4:正比例函数的图象;H2:二次函数的图象;R5:中心对称图形.
【分析】函数①③是中心对称图形,对称中心是原点.
【解答】解:根据中心对称图形的定义可知函数①③是中心对称图形.
故选C
9.如图,AB是圆O的直径,弦CD⊥AB,∠BCD=30°,CD=4,则S阴影=( )
A.2π B.π C.π D.π
【考点】M5:圆周角定理;M2:垂径定理;MO:扇形面积的计算.
【分析】根据垂径定理求得CE=ED=2,然后由圆周角定理知∠DOE=60°,然后通过解直角三角形求得线段OD、OE的长度,最后将相关线段的长度代入S阴影=S扇形ODB﹣S△DOE+S△BEC.
【解答】解:如图,假设线段CD、AB交于点E,
∵AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,
∴CE=ED=2,
又∵∠BCD=30°,
∴∠DOE=2∠BCD=60°,∠ODE=30°,
∴OE=DE•cot60°=2×=2,OD=2OE=4,
∴S阴影=S扇形ODB﹣S△DOE+S△BEC=﹣OE×DE+BE•CE=﹣2+2=.
故选B.
10.如图,在等腰△ABC中,AB=AC=4cm,∠B=30°,点P从点B出发,以cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止,同时点Q从点B出发,以1cm/s的速度沿BA﹣AC方向运动到点C停止,若△BPQ的面积为y(cm2),运动时间为x(s),则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是( )
A. B. C. D.
【考点】E7:动点问题的函数图象.
【分析】作AH⊥BC于H,根据等腰三角形的性质得BH=CH,利用∠B=30°可计算出AH=AB=2,BH=AH=2,则BC=2BH=4,利用速度公式可得点P从B点运动到C需4s,Q点运动到C需8s,然后分类讨论:当0≤x≤4时,作QD⊥BC于D,如图1,BQ=x,BP=x,DQ=BQ=x,利用三角形面积公式得到y=x2;当4<x≤8时,作QD⊥BC于D,如图2,CQ=8﹣x,BP=4,DQ=CQ=(8﹣x),利用三角形面积公式得y=﹣x+8,于是可得0≤x≤4时,函数图象为抛物线的一部分,当4<x≤8时,函数图象为线段,则易得答案为D.
【解答】解:作AH⊥BC于H,
∵AB=AC=4cm,
∴BH=CH,
∵∠B=30°,
∴AH=AB=2,BH=AH=2,
∴BC=2BH=4,
∵点P运动的速度为cm/s,Q点运动的速度为1cm/s,
∴点P从B点运动到C需4s,Q点运动到C需8s,
当0≤x≤4时,作QD⊥BC于D,如图1,BQ=x,BP=x,
在Rt△BDQ中,DQ=BQ=x,
∴y=•x•x=x2,
当4<x≤8时,作QD⊥BC于D,如图2,CQ=8﹣x,BP=4
在Rt△BDQ中,DQ=CQ=(8﹣x),
∴y=•(8﹣x)•4=﹣x+8,
综上所述,y=.
故选D.
二、填空题(本大题共8小题,每小题4分,共32分)
11.若式子有意义,则x的取值范围是 x≥﹣2且x≠0 .
【考点】72:二次根式有意义的条件;62:分式有意义的条件.
【分析】分式中:分母不为零、分子的被开方数是非负数.
【解答】解:根据题意,得
x+2≥0,且x≠0,
解得x≥﹣2且x≠0.
故答案是:x≥﹣2且x≠0.
12.分解因式:x3﹣x= x(x+1)(x﹣1) .
【考点】55:提公因式法与公式法的综合运用.
【分析】本题可先提公因式x,分解成x(x2﹣1),而x2﹣1可利用平方差公式分解.
【解答】解:x3﹣x,
=x(x2﹣1),
=x(x+1)(x﹣1).
故答案为:x(x+1)(x﹣1).
13.定义一种新的运算:x*y=,如:3*1==,则(2*3)*2= 2 .
【考点】1G:有理数的混合运算.
【分析】原式利用题中的新定义计算即可得到结果.
【解答】解:根据题中的新定义得:(2*3)*2=()*2=4*2==2,
故答案为:2
14.如图所示,在矩形ABCD中,∠DAC=65°,点E是CD上一点,BE交AC于点F,将△BCE沿BE折叠,点C恰好落在AB边上的点C′处,则∠AFC′= 40° .
【考点】PB:翻折变换(折叠问题);LB:矩形的性质.
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠ACD,再根据翻折变换的性质判断出四边形BCEC′是正方形,根据正方形的性质可得∠BEC=45°,然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BFC,再根据翻折变换的性质可得∠BFC′=∠BFC,然后根据平角等于180°列式计算即可得解.
【解答】解:∵矩形ABCD,∠DAC=65°,
∴∠ACD=90°﹣∠DAC=90°﹣65°=25°,
∵△BCE沿BE折叠,点C恰好落在AB边上的点C′处,
∴四边形BCEC′是正方形,
∴∠BEC=45°,
由三角形的外角性质,∠BFC=∠BEC+∠ACD=45°+25°=70°,
由翻折的性质得,∠BFC′=∠BFC=70°,
∴∠AFC′=180°﹣∠BFC﹣∠BFC′=180°﹣70°﹣70°=40°.
故答案为:40°.
15.观察下列的“蜂窝图”
则第n个图案中的“”的个数是 3n+1 .(用含有n的代数式表示)
【考点】38:规律型:图形的变化类.
【分析】根据题意可知:第1个图有4个图案,第2个共有7个图案,第3个共有10个图案,第4个共有13‘个图案,由此可得出规律.
【解答】解:由题意可知:每1个都比前一个多出了3个“”,
∴第n个图案中共有“”为:4+3(n﹣1)=3n+1
故答案为:3n+1
16.如图,路灯距离地面8米,身高1.6米的小明站在距离灯的底部(点O)20米的A处,则小明的影子AM长为 5 米.
【考点】SA:相似三角形的应用.
【分析】易得:△ABM∽△OCM,利用相似三角形的相似比可得出小明的影长.
【解答】解:根据题意,易得△MBA∽△MCO,
根据相似三角形的性质可知=,即=,
解得AM=5m.则小明的影长为5米.
17.如图所示,正方形ABCD的边长为4,E是边BC上的一点,且BE=1,P是对角线AC上的一动点,连接PB、PE,当点P在AC上运动时,△PBE周长的最小值是 6 .
【考点】PA:轴对称﹣最短路线问题;LE:正方形的性质.
【分析】根据两点之间线段最短和点B和点D关于AC对称,即可求得△PBE周长的最小值,本题得以解决.
【解答】解:连接DE于AC交于点P′,连接BP′,则此时△BP′E的周长就是△PBE周长的最小值,
∵BE=1,BC=CD=4,
∴CE=3,DE=5,
∴BP′+P′E=DE=5,
∴△PBE周长的最小值是5+1=6,
故答案为:6.
18.如图是抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)的图象的一部分,抛物线的顶点坐标是A(1,3),与x轴的一个交点是B(4,0),直线y2=mx+n(m≠0)与抛物线交于A,B两点,下列结论:
①abc>0;②方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根;③抛物线与x轴的另一个交点是(﹣1,0);④当1<x<4时,有y2>y1;⑤x(ax+b)≤a+b,其中正确的结论是 ②⑤ .(只填写序号)
【考点】HC:二次函数与不等式(组);H4:二次函数图象与系数的关系;HA:抛物线与x轴的交点.
【分析】根据二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系一一判断即可.
【解答】解:由图象可知:a<0,b>0,c>0,故abc<0,故①错误.
观察图象可知,抛物线与直线y=3只有一个交点,故方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根,故②正确.
根据对称性可知抛物线与x轴的另一个交点是(﹣2,0),故③错误,
观察图象可知,当1<x<4时,有y2<y1,故④错误,
因为x=1时,y1有最大值,所以ax2+bx+c≤a+b+c,即x(ax+b)≤a+b,故⑤正确,
所以②⑤正确,
故答案为②⑤.
三、解答题(本大题共3小题,共28分)
19.(1)计算:﹣14+sin60°+()﹣2﹣(π﹣)0
(2)先化简,再求值:(1﹣)÷,其中x=﹣1.
【考点】6D:分式的化简求值;2C:实数的运算;6E:零指数幂;6F:负整数指数幂;T5:特殊角的三角函数值.
【分析】(1)根据实数的运算法则计算即可;
(2)原式利用除法法则变形,约分得到最简结果,把x的值代入计算即可求出值.
【解答】解:(1)﹣14+sin60°+()﹣2﹣(π﹣)0=﹣1+2×+4﹣1=5;
(2)(1﹣)÷=×=,
当x=﹣1时,
原式=.
20.一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向的A处,它向东航行20海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处,若轮船继续沿正东方向航行,求轮船航行途中与灯塔P的最短距离.(结果保留根号)
【考点】TB:解直角三角形的应用﹣方向角问题;KU:勾股定理的应用.
【分析】利用题意得到AC⊥PC,∠APC=60°,∠BPC=45°,AP=20,如图,在Rt△APC中,利用余弦的定义计算出PC=10,利用勾股定理计算出AC=10,再判断△PBC为等腰直角三角形得到BC=PC=10,然后计算AC﹣BC即可.
【解答】解:如图,AC⊥PC,∠APC=60°,∠BPC=45°,AP=200,
在Rt△APC中,∵cos∠APC=,
∴PC=20•cos60°=10,
∴AC==10,
在△PBC中,∵∠BPC=45°,
∴△PBC为等腰直角三角形,
∴BC=PC=10,
∴AB=AC﹣BC=10﹣10(海里).
答:轮船航行途中与灯塔P的最短距离是(10﹣10)海里.
21.八年级一班开展了“读一本好书”的活动,班委会对学生阅读书籍的情况进行了问卷调查,问卷设置了“小说”“戏剧”“散文”“其他”四个类型,每位同学仅选一项,根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图.
类别
频数(人数)
频率
小说
0.5
戏剧
4
散文
10
0.25
其他
6
合计
1
根据图表提供的信息,解答下列问题:
(1)八年级一班有多少名学生?
(2)请补全频数分布表,并求出扇形统计图中“其他”类所占的百分比;
(3)在调查问卷中,甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类,现从以上四位同学中任意选出2名同学参加学校的戏剧兴趣小组,请用画树状图或列表法的方法,求选取的2人恰好是乙和丙的概率.
【考点】X6:列表法与树状图法;V7:频数(率)分布表;VB:扇形统计图.
【分析】(1)用散文的频数除以其频率即可求得样本总数;
(2)根据其他类的频数和总人数求得其百分比即可;
(3)画树状图得出所有等可能的情况数,找出恰好是丙与乙的情况,即可确定出所求概率.
【解答】解:(1)∵喜欢散文的有10人,频率为0.25,
∴总人数=10÷0.25=40(人);
(2)在扇形统计图中,“其他”类所占的百分比为×100%=15%,
故答案为:15%;
(3)画树状图,如图所示:
所有等可能的情况有12种,其中恰好是丙与乙的情况有2种,
∴P(丙和乙)==.
四、解答题(共50分)
22.如图所示,一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象交于A(2,4),B(﹣4,n)两点.
(1)分别求出一次函数与反比例函数的表达式;
(2)过点B作BC⊥x轴,垂足为点C,连接AC,求△ACB的面积.
【考点】G8:反比例函数与一次函数的交点问题.
【分析】(1)将点A坐标代入y=可得反比例函数解析式,据此求得点B坐标,根据A、B两点坐标可得直线解析式;
(2)根据点B坐标可得底边BC=2,由A、B两点的横坐标可得BC边上的高,据此可得.
【解答】解:(1)将点A(2,4)代入y=,得:m=8,
则反比例函数解析式为y=,
当x=﹣4时,y=﹣2,
则点B(﹣4,﹣2),
将点A(2,4)、B(﹣4,﹣2)代入y=kx+b,
得:,
解得:,
则一次函数解析式为y=x+2;
(2)由题意知BC=2,
则△ACB的面积=×2×6=6.
23.如图,△ABD是⊙O的内接三角形,E是弦BD的中点,点C是⊙O外一点且∠DBC=∠A,连接OE延长与圆相交于点F,与BC相交于点C.
(1)求证:BC是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为6,BC=8,求弦BD的长.
【考点】MD:切线的判定.
【分析】(1)连接OB,由垂径定理的推论得出BE=DE,OE⊥BD, =,由圆周角定理得出∠BOE=∠A,证出∠OBE+∠DBC=90°,得出∠OBC=90°即可;
(2)由勾股定理求出OC,由△OBC的面积求出BE,即可得出弦BD的长.
【解答】(1)证明:连接OB,如图所示:
∵E是弦BD的中点,
∴BE=DE,OE⊥BD, =,
∴∠BOE=∠A,∠OBE+∠BOE=90°,
∵∠DBC=∠A,
∴∠BOE=∠DBC,
∴∠OBE+∠DBC=90°,
∴∠OBC=90°,
即BC⊥OB,
∴BC是⊙O的切线;
(2)解:∵OB=6,BC=8,BC⊥OB,
∴OC==10,
∵△OBC的面积=OC•BE=OB•BC,
∴BE===4.8,
∴BD=2BE=9.6,
即弦BD的长为9.6.
24.天水某公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车,计划购买A型和B型两行环保节能公交车共10辆,若购买A型公交车1辆,B型公交车2辆,共需400万元;若购买A型公交车2辆,B型公交车1辆,共需350万元,
(1)求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元?
(2)预计在该条线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次.若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1220万元,且确保这10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于650万人次,则该公司有哪几种购车方案?哪种购车方案总费用最少?最少总费用是多少?
【考点】CE:一元一次不等式组的应用;9A:二元一次方程组的应用.
【分析】(1)设购买A型公交车每辆需x万元,购买B型公交车每辆需y万元,根据“A型公交车1辆,B型公交车2辆,共需400万元;A型公交车2辆,B型公交车1辆,共需350万元”列出方程组解决问题;
(2)设购买A型公交车a辆,则B型公交车(10﹣a)辆,由“购买A型和B型公交车的总费用不超过1220万元”和“10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于650万人次”列出不等式组探讨得出答案即可.
【解答】解:(1)设购买A型公交车每辆需x万元,购买B型公交车每辆需y万元,由题意得
,
解得,
答:购买A型公交车每辆需100万元,购买B型公交车每辆需150万元.
(2)设购买A型公交车a辆,则B型公交车(10﹣a)辆,由题意得
,
解得:≤a≤,
因为a是整数,
所以a=6,7,8;
则(10﹣a)=4,3,2;
三种方案:
①购买A型公交车6辆,则B型公交车4辆:100×6+150×4=1200万元;
②购买A型公交车7辆,则B型公交车3辆:100×7+150×3=1150万元;
③购买A型公交车8辆,则B型公交车2辆:100×8+150×2=1100万元;
购买A型公交车8辆,则B型公交车2辆费用最少,最少总费用为1100万元.
25.△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠EDF=90°,△
DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合,将△DEF绕点E旋转,旋转过程中,线段DE与线段AB相交于点P,线段EF与射线CA相交于点Q.
(1)如图①,当点Q在线段AC上,且AP=AQ时,求证:△BPE≌△CQE;
(2)如图②,当点Q在线段CA的延长线上时,求证:△BPE∽△CEQ;并求当BP=2,CQ=9时BC的长.
【考点】S9:相似三角形的判定与性质;KD:全等三角形的判定与性质;KW:等腰直角三角形;R2:旋转的性质.
【分析】(1)由△ABC是等腰直角三角形,易得∠B=∠C=45°,AB=AC,又由AP=AQ,E是BC的中点,利用SAS,可证得:△BPE≌△CQE;
(2)由△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形,易得∠B=∠C=∠DEF=45°,然后利用三角形的外角的性质,即可得∠BEP=∠EQC,则可证得:△BPE∽△CEQ;根据相似三角形的对应边成比例,即可求得BE的长,即可得BC的长,
【解答】(1)证明:∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠B=∠C=45°,AB=AC,
∵AP=AQ,
∴BP=CQ,
∵E是BC的中点,
∴BE=CE,
在△BPE和△CQE中,
∵,
∴△BPE≌△CQE(SAS);
(2)解:连接PQ,
∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形,
∴∠B=∠C=∠DEF=45°,
∵∠BEQ=∠EQC+∠C,
即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C,
∴∠BEP+45°=∠EQC+45°,
∴∠BEP=∠EQC,
∴△BPE∽△CEQ,
∴=,
∵BP=2,CQ=9,BE=CE,
∴BE2=18,
∴BE=CE=3,
∴BC=6.
26.如图所示,在平面直角坐标系中xOy中,抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a(a<0)与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),经过点A的直线l:y=kx+b与y轴负半轴交于点C,与抛物线的另一个交点为D,且CD=4AC.
(1)求A、B两点的坐标及抛物线的对称轴;
(2)求直线l的函数表达式(其中k、b用含a的式子表示);
(3)点E是直线l上方的抛物线上的动点,若△ACE的面积的最大值为,求a的值;
(4)设P是抛物线对称轴上的一点,点Q在抛物线上,以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形?若能,求出点P的坐标;若不能,请说明理由.
【考点】HF:二次函数综合题.
【分析】(1)解方程即可得到结论;
(2)根据直线l:y=kx+b过A(﹣1,0),得到直线l:y=kx+k,解方程得到点D的横坐标为4,求得k=a,得到直线l的函数表达式为y=ax+a;
(3)过E作EF∥y轴交直线l于F,设E(x,ax2﹣2ax﹣3a),得到F(x,ax+a),求出EF=ax2﹣3ax﹣4a,根据三角形的面积公式列方程即可得到结论;
(4)令ax2﹣2ax﹣3a=ax+a,即ax2﹣3ax﹣4a=0,得到D(4,5a),设P(1,m),①若AD是矩形ADPQ的一条边,②若AD是矩形APDQ的对角线,列方程即可得到结论.
【解答】解:(1)当y=0时,ax2﹣2ax﹣3a=0,
解得:x1=﹣1,x2=3,
∴A(﹣1,0),B(3,0),
对称轴为直线x==1;
(2)∵直线l:y=kx+b过A(﹣1,0),
∴0=﹣k+b,
即k=b,
∴直线l:y=kx+k,
∵抛物线与直线l交于点A,D,
∴ax2﹣2ax﹣3a=kx+k,
即ax2﹣(2a+k)x﹣3a﹣k=0,
∵CD=4AC,
∴点D的横坐标为4,
∴﹣3﹣=﹣1×4,
∴k=a,
∴直线l的函数表达式为y=ax+a;
(3)过E作EF∥y轴交直线l于F,设E(x,ax2﹣2ax﹣3a),
则F(x,ax+a),EF=ax2﹣2ax﹣3a﹣ax﹣a=ax2﹣3ax﹣4a,
∴S△ACE=S△AFE﹣S△CEF=(ax2﹣3ax﹣4a)(x+1)﹣(ax2﹣3ax﹣4a)x=(ax2﹣3ax﹣4a)=a(x﹣)2﹣a,
∴△ACE的面积的最大值=﹣a,
∵△ACE的面积的最大值为,
∴﹣a=,
解得a=﹣;
(4)以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形,
令ax2﹣2ax﹣3a=ax+a,即ax2﹣3ax﹣4a=0,
解得:x1=1,x2=4,
∴D(4,5a),
∵抛物线的对称轴为直线x=1,
设P(1,m),
①若AD是矩形ADPQ的一条边,
则易得Q(﹣4,21a),
m=21a+5a=26a,则P(1,26a),
∵四边形ADPQ是矩形,
∴∠ADP=90°,
∴AD2+PD2=AP2,
∴52+(5a)2+32+(26﹣5a)2=22+(26a)2,
即a2=,
∵a<0,
∴a=﹣,
∴P(1,﹣);
②若AD是矩形APDQ的对角线,
则易得Q(2,﹣3a),
m=5a﹣(﹣3a)=8a,则P(1,8a),
∵四边形APDQ是矩形,
∴∠APD=90°,
∴AP2+PD2=AD2,
∴(﹣1﹣1)2+(8a)2+(1﹣4)+(8a﹣5a)2=52+(5a)2,
即a2=,
∵a<0,
∴a=﹣,
∴P(1,﹣4),
综上所述,点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形,点P(1,﹣)或(1,﹣4).
2017年7月2日
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