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- 2021-05-10 发布
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第22讲:相似三角形及其应用
一、夯实基础
1.下列判断正确的是( )
A. 不全等的三角形一定不是相似三角形
B. 不相似的三角形一定不是全等三角形
C. 相似三角形一定不是全等三角形
D. 全等三角形不一定是相似三角形
2.△ABC中,∠ABC为直角,BD⊥AC,则下列结论正确的是( )
A. = B. =
C. = D. =
3.一个三角形三边长之比为4∶5∶6,三边中点连线组成的三角形的周长为30 cm,则原三角形最大边长为 ( )
A. 44 cm B. 40 cm
C. 36 cm D. 24 cm
4.如图,在▱ABCD中,点E在边DC上,DE∶EC=3∶1,连结AE交BD于点F,则△DEF的面积与△BAF的面积之比为( )
A. 3∶4 B. 9∶16
C. 9∶1 D. 3∶1
(第4题图)
(第5题图)
5.下列4×4的正方形网格中,小正方形的边长均为1,三角形的顶点都在格点上,则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是( )
二、能力提升
6.如图,小明用长为3 m的竹竿CD做测量工具,测量学校旗杆AB的高度,移动竹竿,使竹竿与旗杆的距离DB=12 m,则旗杆AB的高为__ __m.
(第6题图)
(第7题图)
7.如图,已知△ABC的面积是的等边三角形,△ABC∽△ADE,AB=2AD,∠BAD=45°,AC与DE相交于点F,则△AEF的面积等于 (结果保留根号).
8.如图,在△ABC中,D是AB边上的一点,连结CD,请添加一个适当的条件,使△ABC∽△ACD: (只填一个即可).
三、课外拓展
9.如图,在Rt△ABC中(∠C=90°),放置边长分别为3,x,4的三个正方形,则x的值为( )
A. 5 B. 6
C. 7 D. 12
(第9题图)
(第10题图)
10.已知:在△ABC中,BC=10,BC边上的高h=5,点E在边AB上,过点E作EF∥BC,交AC边于点F.点D为BC上一点,连结DE,DF.设点E到BC的距离为x,则△DEF的面积S关于x的函数图象大致为( )
(第11题图)
11.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=6,以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC,BC相切于点D,E,则AD为( )
A. 2.5 B. 1.6
C. 1.5 D. 1
12.在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示,其中木竿AB=2 m,它的影子BC=1.6 m,木竿PQ的影子有一部分落在了墙上,PM=1.2 m,MN=0.8 m,则木竿PQ的长度为 _ m.
(第12题图)
四、中考链接
13.如图,四边形ABCD中,AC⊥BD交BD于点E,点F,M分别是AB,BC的中点,BN平分∠ABE交AM于点N,AB=AC=BD,连结MF,NF.
(1)判断△BMN的形状,并证明你的结论.
(2)判断△MFN与△BDC之间的关系,并说明理由.
14.课本中有一道作业题:
有一块三角形余料ABC,它的边BC=120 mm,高AD=80 mm.要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上.问:加工成的正方形零件的边长是多少毫米?
小颖解得此题的答案为48 mm,小颖善于反思,她又提出了如下的问题:
(1)如果原题中要加工的零件是一个矩形,且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成,如图1,此时,这个矩形零件的两条边长又分别为多少毫米?
(2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形,如图2,这样,此矩形零件的两条边长就不能确定,但这个矩形面积有最大值,求达到这个最大值时矩形零件的两条边长.
15.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,CD⊥AB于点D.点P从点D出发,沿线段DC向点C运动,点Q从点C出发,沿线段CA向点A运动,两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度,当点P运动到C时,两点都停止.设运动时间为t(s).
(1)求线段CD的长.
(2)设△CPQ的面积为S,求S与t之间的函数关系式,并确定在运动过程中是否存在某一时刻t,使得S△CPQ∶S△ABC=9∶100?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由.
(3)当t为何值时,△CPQ为等腰三角形?
参考答案
一、夯实基础
1、B
2、B
3、D
4、B
5、B
二、能力提升
6、9
7、
8、∠ACD=∠ABC(答案不唯一)
三、课外拓展
9、C
10、D
11、B
12、2.3
四、中考链接
13、解:(1)△BMN是等腰直角三角形.
证明:∵AB=AC,点M是BC的中点,
∴AM⊥BC,AM平分∠BAC.
∵BN平分∠ABE,AC⊥BD,
∴∠AEB=90°,
∴∠EAB+∠EBA=90°,
∴∠MNB=∠NAB+∠ABN=(∠BAE+∠ABE)=45°.
∴△BMN是等腰直角三角形.
(2)△MFN∽△BDC.
证明:∵点F,M分别是AB,BC的中点,
∴FM∥AC,FM=AC.
∵AC=BD,
∴FM=BD,即=.
∵△BMN是等腰直角三角形,
∴NM=BM=BC,即=,
∴==.
∵AM⊥BC,
∴∠NMF+∠FMB=90°.
∵FM∥AC,
∴∠ACB=∠FMB.
∵∠CEB=90°,
∴∠ACB+∠CBD=90°.
∴∠CBD+∠FMB=90°.
∴∠NMF=∠CBD.
在△MFN与△BDC中,
∵
∴△MFN∽△BDC.
14、解:(1)设矩形的边长PN=2y mm,则PQ=y mm,由PN∥BC可得△APN∽△ABC,
∴=,即=,
解得y=,∴PN=×2=(mm),
答:这个矩形零件的两条边长分别为 mm,
mm.
(2)设PN=x mm,同(1)可得△APN∽△ABC,
∴=,即=,
解得PQ=80-x.
∴矩形PQMN的面积S=PN·PQ=x=-x2+80x=-(x-60)2+2400,
∴S的最大值为2400 mm2,此时PN=60 mm,PQ=80-×60=40(mm).
15、解:(1)∵∠ACB=90°,AC=8,BC=6,
∴AB=10.
∵CD⊥AB,
∴S△ABC=BC·AC=AB·CD,
∴CD==4.8,
∴线段CD的长为4.8.
(2)①过点P作PH⊥AC,垂足为H,如解图①所示,
由题可知DP=t,CQ=t,则CP=4.8-t,
∵∠ACB=∠CDB=90°,
∴∠HCP=90°-∠DCB=∠B.
∵PH⊥AC,∴∠CHP=90°,
∴∠CHP=∠ACB,
∴△CHP∽△BCA,
∴=,即=,得PH=-t,
∴S△CPQ=CQ·PH=t(-t)=-t2+t.
②存在某一时刻t,使得S△CPQ∶S△ABC=9∶100,
∵S△ABC=×6×8=24,
且S△CPQ∶S△ABC=9∶100,
∴(-t2+t)∶24=9∶100,
整理,得5t2-24t+27=0,即(5t-9)(t-3)=0,
解得t=或t=3.
∵0≤t≤4.8,
∴当t= s或t=3 s时,S△CPQ∶S△ABC=9∶100.
(3)①若CQ=CP,
则t=4.8-t,解得t=2.4.
②若PQ=PC,如解图①所示,
∵PQ=PC,PH⊥QC,
∴QH=CH=QC=.
∵△CHP∽△BCA,
∴=,∴=,
解得t=.
③若QC=QP,
过点Q作QE⊥CP,垂足为E,如解图②所示.
∵QC=QP,QE⊥CP,
∴CE=PE=PC=.
∵∠QEC=∠ACB=90°,∠QCE=∠ABC,
∴△QCE∽△ABC,
∴=,
∴=,
解得t=.
综上所述:当t为2.4 s或 s或 s时,△CPQ为等腰三角形.