中考数学第一轮复习数与式人教新课标版 13页

九年级第一轮复习------数与式 第一部分 《数学课程标准》的考查要求 一、实数 1. 在具体环境中，理解实数及其运算的意义。‎ 2. 能用数轴上的点表示实数，会比较实数的大小。‎ 3. 借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求相反数与绝对值。‎ 4. 了解平方根，算术平方根，立方根，无理数和实数，近似数，有效数字的概念。会求某些数（非负数）的平方根与某些数的立方根。‎ 5. 会估算一个无理数的范围。‎ 6. 能运用实数及其运算法则解决简单的实际问题。‎ 二、代数式 1． 会根据实际问题列代数式，理解代数式的含义，能理解一些简单代数式的实际背景或几何意义，体会数学与现实世界的联系。‎ 2． 理解合并同类项和去括号法则，并会进行运算。‎ 3． 会求代数式的值，能解释值的实际意义，能根据代数式的值推断代数式反映的规律。‎ 4． 根据数量关系或图形关系寻找规律，分析，归纳，总结两变量间的关系。‎ 5． 整式加减在运算时要注意同类项的识别和合并同类项的方法；在整式的乘除运算中要注意理解和区分幂的运算性质，记住乘法公式，理解其特点和应用范围。‎ 6． 弄清因式分解与整式乘法的区别，并加强对基本类型的练习。会用提公因式法，公式法进行因式分解。‎ 7． 会利用分式的基本性质进行约分和通分。会进行简单的分式加，减，乘，除运算。‎ 第二部分 考点分析 ‎ 作者：刘瑞莲 严俊敏 省份 题号 题型 分值 考点 相关的其它考点 所占比例 ‎2007年河南 ‎1‎ 选择题 ‎3‎ 乘方的意义 ‎　‎ ‎15%‎ ‎2‎ 选择题 ‎3‎ 分式的定义 ‎　‎ ‎7‎ 填空题 ‎3‎ 相反数的概念 ‎　‎ ‎8‎ 填空题 ‎3‎ 整式的运算 ‎　‎ ‎12‎ 填空题 ‎3‎ 实数的意义 ‎　‎ ‎13‎ 填空题 ‎3‎ 数的规律探究题 ‎　‎ ‎2008年河南 ‎1‎ 选择题 ‎3‎ 绝对值的意义 ‎　‎ ‎　‎ ‎14%‎ ‎2‎ 选择题 ‎3‎ 科学记数法的概念 ‎　‎ ‎7‎ 填空题 ‎3‎ 实数 ‎　‎ ‎16‎ 解答题 ‎8‎ 分式的运算 ‎　‎ ‎2009年河南 ‎1‎ 选择题 ‎3‎ 相反数的概念 ‎　‎ ‎14%‎ ‎7‎ 填空题 ‎3‎ 平方根的意义 ‎　‎ ‎9‎ 填空题 ‎3‎ 代数式的运算 ‎　‎ ‎16‎ 解答题 ‎8‎ 分式的运算 分式的定义 ‎　‎ ‎2009年北京 ‎1‎ 选择题 ‎4‎ 相反数的概念 ‎　‎ ‎18%‎ ‎2‎ 选择题 ‎4‎ 科学记数法的概念 ‎　‎ ‎7‎ 选择题 ‎4‎ 因式分解 ‎　‎ ‎13‎ 解答题 ‎5‎ 实数的运算 ‎　‎ ‎16‎ 解答题 ‎5‎ 整式的运算 整体思想 ‎2009年天津 ‎1‎ 选择题 ‎3‎ 实数的运算 特殊三角函数值 ‎10%‎ ‎3‎ ‎　‎ 选择题 ‎　‎ ‎3‎ ‎　‎ 绝对值的意义，二次根式 乘方的意义，非负数 ‎　‎ ‎　‎ ‎11‎ 填空题 ‎3‎ 二次根式的运算 ‎　‎ ‎12‎ 填空题 ‎3‎ 分式的意义，分式的运算 一元二次方程 ‎2009年重庆 ‎1‎ 选择题 ‎4‎ 相反数的概念 ‎　‎ ‎19%‎ ‎2‎ 选择题 ‎4‎ 幂的运算 ‎　‎ ‎11‎ 填空题 ‎4‎ 科学记数法的概念 ‎　‎ ‎17‎ 解答题 ‎6‎ 实数的运算 ‎　‎ ‎21‎ 解答题 ‎10‎ 实数的运算 ‎　‎ ‎2009年河北 ‎1‎ 选择题 ‎2‎ 乘方的意义 ‎　‎ ‎18%‎ ‎2‎ 选择题 ‎2‎ 乘方的意义 ‎　‎ ‎4‎ 选择题 ‎2‎ 幂的运算，整式的运算 ‎　‎ ‎7‎ 选择题 ‎2‎ 实数的意义及相关概念 概率 ‎13‎ 填空题 ‎3‎ 实数的意义 ‎　‎ ‎16‎ 填空题 ‎3‎ 倒数的意义 ‎　‎ ‎19‎ 解答题 ‎8‎ 分式的运算 ‎　‎ ‎2009年山东 ‎1‎ 选择题 ‎3‎ 实数的运算 ‎　‎ ‎14%‎ ‎2‎ 选择题 ‎3‎ 幂的运算 ‎　‎ ‎13‎ 填空题 ‎4‎ 科学记数法的概念 ‎　‎ ‎18‎ 解答题 ‎7‎ 分式的运算 ‎　‎ 数与式是初中数学的基础，中考着重对基本概念和计算能力的考查，题型以选择、填空及简单的解答题为主。题量一般在3个左右。分值在17分左右，所占比例为14%（指河南省）。近几年，出现更多贴近学生生活实际、探究规律的开放型问题、估算无理数的大致范围等热点题目，强化了实数的应用和规律探索问题，并注意数形结合、分类讨论思想的应用和创新意识的培养。分式的化简求值常常在河南中招试卷中以解答题的形式考查，以探索规律，写出公式是方式考查学生思维过程和数学思想方法的应用题目越来越成为热点。‎ 第三部分 典型例题 作者：牛保中 高玉平 第一节 ‎ 实数 典例1．把下列各数分别填入相应的集合里.‎ ‎，21.3，－1，1.234，－,0，,,， , , ‎ ‎(－)，，…中 ‎ 无理数集合｛　　　　　　　　｝　　负分数集合｛　　　　　　　　｝‎ ‎ 整数集合　｛　　　　　　　　｝　　非负数集合｛　　　　　　　　｝‎ 点拨： 实数分类不能只看表面形式，应先化简再根据结果去判断。‎ 变式1：把下列各数填入相应的集合内：‎ ‎ ‎ ‎，，， 。‎ 有理数集{ }，无理数集{ }正实数集{ }‎ 变式2.：在下面两个集合中各有一些实数，请你分别从中选出2个有理数和2个无理数，再用“＋，－，×，÷”中的3种符号将选出的4个数进行3次运算，使得运算结果是一个正整数。‎ ‎ ‎ 典例2：在2008年北京奥运会国家体育场的“鸟巢”钢结构工程施工建设中，首次使用了我国科研人员自主研制的强度为4.581亿帕的钢材.4.581亿帕用科学记数法表示为____________帕（保留两个有效数字）.‎ 点拨： 对大数保留有效数字，可以先将这些数用科学记数法表示出来，再保留有效数字。解：4.581亿＝458100000，用科学记数法表示为4.581×10，故填4.6×10。‎ 变式1：北京2008奥运的国家体育场“鸟巢”建筑面积达25.8万平方米，用科学记数法表示为（ ）‎ A.㎡ B .㎡C .㎡ D.㎡ 变式2：由四舍五入法得到的近似数，它精确到　　　　　位。这个近似值的有效数字是　　　　　　。‎ 典例3 ：已知x，y是实数，，若则实数的值是(　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎　　　　解：由，得.‎ ‎ 解得 ‎　　　　　将，y=3代入，得，从而a=.‎ ‎　　 答案：选A.‎ 点拨： 将已知的第一个等式变为：，根据非负数的性质，得3x+4=0及y-3=0，可求得x，y的值，代入已知的第二个等式，便可求出的值.‎ 变式1：已知△ABC的三边长分别为 且，试判断△ABC的形状．‎ 变式2：若实数和 满足 ,则的值等于_______‎ 典例4 计算：（－1）＋（）＋∣5－∣－2.‎ 点拨： 对实数运算的考查往往是一些基础概念的理解和运用，解题时应注意运算顺序。‎ 解：（－1）＝1，（）＝2，∣5－∣＝3.‎ ‎（－1）＋（）＋∣5－∣－2‎ ‎ ＝1＋2＋3－5－2‎ ‎ ＝－2.‎ 变式1：计算：‎ 变式2：计算：‎ 典例5： 将，，这三个实数按从小到大的顺序排列，正确的结果是（ ）‎ ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 答案：C 点拨：比较实数的大小，有许多种方法可供选者，如求商 画数轴等，具体方法根据题目特征而定。‎ 变式1：已知中，最大的数是__.‎ 变式2：已知＜0，＞0，且＜，用“＜”连结，－，－，。‎ 典例6 有一列数，，，，，从第二个数开始，每一个数都等于与它前面那个数的倒数的差，若，则为（　）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ 答案：C 点拨： 解决数字规律问题，应从简单的特例开始，分析存在的普遍规律 再利用规律解决问题。‎ 典例7 先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题。‎ ‎＝1－，＝－，，…‎ ‎（1）计算＋＋＋＋.‎ ‎（2）探究＋＋＋…＋＝___________.（用含有的式子表示）‎ ‎(3)若…＋的值为，求的值.‎ 点拨： 通过给出的三个特殊的式子，可以发现相邻两自然数积的倒数等于这两个数的倒数的差，解决数字规律问题时，应从简单的特例开始，分析存在的普遍规律，再利用规律解决问题。‎ 解：(1)原式＝‎ ‎＝1－‎ ‎＝，‎ ‎（2）原式＝…＋‎ ‎ ＝1－‎ ‎ ＝‎ ‎（3）原式＝…‎ ‎＋×（） ‎ ‎＝‎ ‎＝。‎ ‎ 由＝，解得＝17.‎ 经检验＝17使原等式成立，所以＝17.‎ 变式1：小王利用计算机设计了计算程序，输入和输出的数据如下：‎ ‎ 那么，当输入数据为8时，输出的数据是（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ 变式 2： 根据下表中的规律，从左到右的空格中应依次填写的数字是（ ）‎ ‎ A. 100，011 B. 011，‎100 ‎ C. 011，101 D. 101，110‎ 第二节 整式 典例1 先化简，再求值：（）＋（）（2）－3，其中。‎ 点拨： 先运用乘法公式及多项式乘法化简，再代入计算。‎ 解：原式 ‎ 。‎ 当时，原式 ‎＝－（3－4）‎ ‎＝1。‎ 变式1：已知求代数式的值。‎ 典例2 图（1）是一个边长为的正方形，小颖将图（1）中的阴影部分拼成图（2）的形状，由图（1）和图（2）能验证的式子是（ ）‎ ‎ 图（1） 图（2）‎ A. B.‎ C. D.‎ 点拨： 根据两个图形中阴影部分的面积相同，得出两种计算面积的代数式的值相等，来验证公式。‎ 解：由题意得两图中阴影部分的面积相等，图（1）中，由勾股定理得空白部分正方形的边长为，图（1）中阴影部分面积为图（2）阴影部分面积为4，所以，故选B。‎ 变式1： 从边长为的正方形内去掉一个边长为的小正方形（如图1），然后将剩余部分剪拼成一个矩形（如图2），上述操作所能验证的等式是（ ）‎ ‎ A． B.‎ C. D．‎ 典例3 有一列单项式：…, ‎ ‎(1)你能说出它们的规律是什么吗？‎ ‎(2)写出第2008个单项式，‎ ‎(3)写出第个以及第（+1）个单项式。‎ 点拨： 代数式的规律探究题，需要经过观察、分析、类比、归纳等过程，进而由特殊到一般发现其规律。‎ 解：(1)每个单项式的系数的绝对值与该单项式中的指数相等，奇数项系数为负，偶数项系数为正。‎ ‎(2)2008.‎ ‎(3)当为奇数时，第个单项式为，第个单项式为，‎ 当为偶数时，第个单项式为，第个单项式为。‎ 变式1： 用同样大小的正方形按下列规律摆放，将重叠部分涂上颜色，下面的图案中，第n个图案中正方形的个数是__________。‎ 变式2：将连续的自然数1至36按右图的方式排成一个正方形阵列，用一个小正方形任意 ‎ 圈出其中的9个数，设圈出的9个数的中心的数为a，用含有a的代数式表示这9‎ 个数的和为__________．‎ 典例4：代数式的值为9，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 点拨： 体现的思想方法是整体代入法。‎ 变式1：当时，代数式 的值为2005，则当时，代数式的值为（ ）‎ A.－2004　　 B.－‎2005 ‎ 　C.2005　 　D.2004‎ 变式2：设，求的值。‎ 典例5：把代数式分解因式，下列结果中正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 点拨：分解因式常用的方法是：“先提再套”，还应从多项式的角度考虑，直到各因式都不能继续分解为止。‎ 变式1：分解因式： ‎ 变式2 ：把代数式分解因式，结果正确的是（ ）‎ ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 典例6：下列运算结果正确的是（ ）‎ ‎① ② ③ ‎ ‎④‎ A．①② B. ②④ C. ②③ D. ②③④‎ 变式1：下列计算中错误的是（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ 第三节 分式 典例1 （1）当为何值时，分式无意义？‎ ‎（2）当的何值时，分式的值为零？‎ 点拨： 判断分式有无意义，必须对原分式进行讨论，在分式中，若，则分式无意义，若，则分式有意义，分式的值为零的条件是且，两者缺一不可。‎ 解：（1）要使分式无意义，则需。‎ 即当或时，分式无意义。‎ ‎（2）要使分式的值为零，则需，且，解得变式1：已知分式当x≠______时，分式有意义；当x=______时，分式的值为0．‎ 变式2：若将分式 (均为正数）中的字母的值分别扩大为原来的2倍，则分 式的值为（ ）‎ ‎ A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．缩小为原来的 典例2 先化简，再求值：，其中。‎ 点拨： 在分式的混合运算中，除法运算要先变为乘法运算，分子，分母能分解因式的可先分解因式再约分。‎ 解：原式＝‎ ‎。‎ 当时，原式＝－2.‎ 变式1：求值：,其中满足 变式2：若，则＝ 。‎ 典例3 已知，求的值.‎ 点拨： 根据分式乘除的运算法则，先将分式化简，再将转化为代入求值。‎ 解：原式 ‎。‎ 当时，原式 ‎ ‎ ‎ ＝‎ 变式1： 若，则= 。‎ 变式2：若=___‎ 典例4 玉米试验田是边长为米的正方形减去边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分；‎ B玉米试验田是边长为（）米的正方形，两块试验田都收获了500千克玉米。‎ ‎（1）哪个玉米试验田的单位面积产量高？‎ ‎（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？‎ 点拨：要解决第（1）小问，可先利用正方形的面积公式分别求出其面积，即可求出各自的 单位面积产量，进而利用作差法比较它们的大小，对于第（2）小问，可以利用作商 的办法来解决。‎ 解：（1）A玉米试验田的面积是米，单位面积产量是千克∕米；‎ B玉米试验田的面积是米，单位面积产量是千克∕米；‎ 因为，而＞0，‎ 所以0＜＜.‎ 所以＜，即B玉米试验田的单位面积产量高。‎ ‎（2）因为÷＝。‎ 所以高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍。‎ 第四部分 跟踪练习 作者：周培玲 卢敏丽 严俊敏 第一节 实数 河南真题透视 1、 ‎－的绝对值是______.‎ 2、 计算( －1)的结果是______.‎ 3、 下列各组数中，互为相反数的是( ).‎ A 2与 B ( －1)与－1 ‎ ‎ C －1与－1 D ︳－2︳与2‎ 4、 为支援四川地震灾区，中央电视台于2008年5月18日举办了《爱的奉献》赈灾晚会，晚会现场捐款达1514000 000元。1514000 000用科学记数法表示正确的是（ ）‎ ‎ A 1514×10 B 15.14×10 ‎ ‎ C 1.514×10 D 0.1514×10‎ 5、 ‎( 3－)的相反数是______.‎ 6、 ‎16的平方根是_______.‎ 7、 已知为整数，且满足－≤≤，则=_____.‎ 全国真题精选 ‎1、（－1）等于（ ）‎ A －1 B ‎1 C －3 D 3‎ ‎2、在实数－,0,,,中，无理数有（ ）‎ A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 ‎3、二次根式的值是（ ）‎ A －3 B 3或－‎3 C 9 D 3‎ ‎4、计算－的结果是（ ）‎ A － B －‎3‎ C D－‎ ‎5、按一定的规律排列的一列数依次为：－2，5，－10，17，－26，…按此规律排下去，这列数中的第9个数是______.‎ ‎6、在数轴上与表示的点的距离最近的整数点所表示的数是_________.‎ ‎7、在一个不透明的袋中，装有十个除数字外其他完全相同的小球，球面上分别写有1，2，3、4，5这5个数字（每个数字只标两个球）。小芳从袋中任意摸出一个球，球面数字的平 方根是无理数的概率是_______.‎ ‎8、比较大小：7____.（填“＞”、“＝”或“＜”）‎ ‎9、化简：3－5的结果为______.‎ ‎10、符号“”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：‎ ‎（1）（1）＝0，（2）＝1，（3）＝2，（4）＝3，…‎ ‎（2）（）＝2，（）＝3，（）＝4，（）＝5，…利用以上规律计算：（）－（2008）＝______.‎ ‎11、计算：2－5×＋∣－2∣.‎ ‎12、计算：∣－2∣＋（）×（－）－＋（－1）.‎ ‎13、计算：()－(－2008)＋∣1－∣－（结果保留根号）.‎ ‎14、阅读下列材料：‎ 我们知道∣∣的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即∣∣＝∣－0∣,也就是说,∣∣表示在数轴上数与数0‎ 对应点之间的距离；这个结论可以推广为∣－∣表示在数轴上,对应点之间的距离。‎ ‎ 例1 解方程∣∣＝2,容易看出,在数轴上与原点距离为2的点的对应数为2，即该方程的解为 两个连续奇数的平方差不是神秘数。‎ ‎.‎