中考数学常见数学思想方法 7页

数学思想方法 （整体思想、转化思想、分类讨论思想） 一、中考专题诠释 数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本 策略。数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学 知识的重要组成部分。数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学 知识的发生、发展和应用的过程中。 抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因 此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用 数学思想方法解决问题的意识． 二、解题策略和解法精讲 数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题 中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程 思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这 些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。 三、中考考点精讲 考点一：整体思想 整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体,通过观察与分析，找出 整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。 整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根 据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。 例 1 若 a-2b=3，则 2a-4b-5= ． 思路分析：把所求代数式转化为含有（a-2b）形式的代数式，然后将 a-2b=3 整体代入并求 值即可． 解：2a-4b-5=2（a-2b）-5=2×3-5=1． 故答案是：1． 点评：本题考查了代数式求值．代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中， 首先应从题设中获取代数式（a-2b）的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值． 对应训练 1．已知实数 a，b 满足 a+b=2，a-b=5，则（a+b）3•（a-b）3 的值是 ． 1．1000 考点二：转化思想 转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。在研究数学问题时，我们通常是 将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具 体的问题，将实际问题转化为数学问题。转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、 图形与图形之间都可以通过转化来获得解决问题的转机。 例 2 如图，圆柱形容器中，高为 1.2m，底面周长为 1m，在容器内壁离容器底部 0.3m 的 点 B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿 0.3m 与蚊子相对的点 A 处， 则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 m（容器厚度忽略不计）． 思路分析：将容器侧面展开，建立 A 关于 EF 的对称点 A′，根据两点之间线段最短可知 A′B 的长度即为所求． 解：如图： ∵高为 1.2m，底面周长为 1m，在容器内壁离容器底部 0.3m 的点 B 处有一蚊子， 此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿 0.3m 与蚊子相对的点 A 处， ∴A′D=0.5m，BD=1.2m， ∴将容器侧面展开，作 A 关于 EF 的对称点 A′， 连接 A′B，则 A′B 即为最短距离， A′B= =1.3（m）． 故答案为：1.3． 点评：本题利用转化思想把立体问题转化为平面问题，从而使问题简单化、直观化。将图形 展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性 思维能力． 　 对应训练 2．如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点 P 是 AB 上的任意一点，作 PD⊥AC 于点 D，PE⊥CB 于点 E，连结 DE，则 DE 的最小值为 ． 2 2 2 20.5 1.2AD BD′ + = + 2．4.8 解：∵Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6， ∴AB=10， 如图，连接 CP， ∵PD⊥AC 于点 D，PE⊥CB 于点 E， ∴四边形 DPEC 是矩形， ∴DE=CP， 当 DE 最小时，则 CP 最小，根据垂线段最短可知当 CP⊥AB 时，则 CP 最小， ∴DE=CP= =4.8， 故答案为 4.8． 考点三：分类讨论思想 在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求 解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想， 同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。分 类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类 讨论应逐级进行．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．　 例 3 某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案，印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按 印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要．两种印刷方式的费用 y（元） 与印刷份数 x（份）之间的关系如图所示： （1）填空：甲种收费的函数关系式是 ． 乙种收费的函数关系式是 ． （2）该校某年级每次需印制 100～450（含 100 和 450）份学案，选择哪种印刷方式较合 算？ 6 8 10 × 思路分析：（1）设甲种收费的函数关系式 y1=kx+b，乙种收费的函数关系式是 y2=k1x，直 接运用待定系数法就可以求出结论； （2）由（1）的解析式分三种情况进行讨论，当 y1＞y2 时，当 y1=y2 时，当 y1＜y2 时分别 求出 x 的取值范围就可以得出选择方式． 解：（1）设甲种收费的函数关系式 y1=kx+b，乙种收费的函数关系式是 y2=k1x，由题意， 得 ，12=100k1， 解得： ，k1=0.12， ∴y1=0.1x+6，y2=0.12x； （2）由题意，得 当 y1＞y2 时，0.1x+6＞0.12x，得 x＜300； 当 y1=y2 时，0.1x+6=0.12x，得 x=300； 当 y1＜y2 时，0.1x+6＜0.12x，得 x＞300； ∴当 100≤x＜300 时，选择乙种方式合算； 当 x=100 时，甲乙两种方式一样合算； 当 300＜x≤4500 时，选择甲种方式合算． 故答案为：y1=0.1x+6，y2=0.12x． 点评：本题考查待定系数法求一次函数的解析式的运用，运用函数的解析式解答方案设计的 运用，解答时求出函数解析式是关键，分类讨论设计方案是难点． 对应训练 3．某农场的一个家电商场为了响应国家家电下乡的号召，准备用不超过 105700 元购进 40 台电脑，其中 A 型电脑每台进价 2500 元，B 型电脑每台进价 2800 元，A 型每台售价 3000 元，B 型每台售价 3200 元，预计销售额不低于 123200 元．设 A 型电脑购进 x 台、商场的 总利润为 y（元）． （1）请你设计出进货方案； （2）求出总利润 y（元）与购进 A 型电脑 x（台）的函数关系式，并利用关系式说明哪种 方案的利润最大，最大利润是多少元？ （3）商场准备拿出（2）中的最大利润的一部分再次购进 A 型和 B 型电脑至少各两台，另 一部分为地震灾区购买单价为 500 元的帐篷若干顶．在钱用尽三样都购买的前提下请直接 写出购买 A 型电脑、B 型电脑和帐篷的方案． 6 16 100 b k b =  = + 0.1 6 k b =  = 3．解：（1）设 A 型电脑购进 x 台，则 B 型电脑购进（40-x）台，由题意，得 ， 解得：21≤x≤24， ∵x 为整数， ∴x=21，22，23，24 ∴有 4 种购买方案： 方案 1：购 A 型电脑 21 台，B 型电脑 19 台； 方案 2：购 A 型电脑 22 台，B 型电脑 18 台； 方案 3：购 A 型电脑 23 台，B 型电脑 17 台； 方案 4：购 A 型电脑 24 台，B 型电脑 16 台； （2）由题意，得 y=（3000-2500）x+（3200-2800）（40-x）， =500x+16000-400x， =100x+16000． ∵k=100＞0， ∴y 随 x 的增大而增大， ∴x=24 时，y 最大=18400 元． （3）设再次购买 A 型电脑 a 台，B 型电脑 b 台，帐篷 c 顶，由题意，得 2500a+2800b+500c=18400， c= ． ∵a≥2，b≥2，c≥1，且 a、b、c 为整数， ∴184-25a-28b＞0，且是 5 的倍数．且 c 随 a、b 的增大而减小． 当 a=2，b=2 时，184-25a-28b=78，舍去； 当 a=2，b=3 时，184-25a-28b=50，故 c=10； 当 a=3，b=2 时，184-25a-28b=53，舍去； 当 a=3，b=3 时，184-25a-28b=25，故 c=5； 当 a=3，b=4 时，184-25a-28b=-2，舍去， 当 a=4，b=3 时，184-25a-28b=0，舍去． ∴有 2 种购买方案： 方案 1：购 A 型电脑 2 台，B 型电脑 3 台，帐篷 10 顶， 方案 2：购 A 型电脑 3 台，B 型电脑 3 台，帐篷 5 顶． 四、中考真题演练 一、选择题 1．若 a+b=3，a-b=7，则 ab=（　　） A．-10 B．-40 C．10 D．40 1．A 2． 已知一个圆柱的侧面展开图为如图所示的矩形，则其底面圆的面积为（　　） 2500 2800(40- ) 105700 3000 3200(40- ) 123200 x x x x + ≤  + ≥ 184 25 28 5 a b− − A．π B．4π C．π 或 4π D．2π 或 4π 2．C 3．如图，在 Rt△ABC 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点 D 在 BC 上，以 AC 为对角线的所 有▱ADCE 中，DE 最小的值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 3．B 4． CD 是⊙O 的一条弦，作直径 AB，使 AB⊥CD，垂足为 E，若 AB=10，CD=8，则 BE 的长是（　　） A．8 B．2 C．2 或 8 D．3 或 7 4．C 5．已知⊙O 的直径 CD=10cm，AB 是⊙O 的弦，AB⊥CD，垂足为 M，且 AB=8cm，则 AC 的长为（　　） A．2 cm B．4 cm C．2 cm 或 4 cm D．2cm 或 4 cm 5．C 6．等腰三角形的一个角是 80°，则它顶角的度数是（　　） A．80° B．80°或 20° C．80°或 50° D．20° 6．B 7．等腰三角形的两边长分别为 3 和 6，则这个等腰三角形的周长为（　　） A．12 B．15 C．12 或 15 D．18 7．B 8．如图，将含 60°角的直角三角板 ABC 绕顶点 A 顺时针旋转 45°度后得到△AB′C′，点 B 经过的路径为弧 BB′，若∠BAC=60°，AC=1，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D．π 8．A 5 5 5 5 3 2 π 3 π 4 π 二、填空题 9．若 a2−b2＝ ，a−b＝ ，则 a+b 的值为 ． 9． 10．若（a-1）2+|b-2|=0，则以 a、b 为边长的等腰三角形的周长为 ． 10．5 11．已知⊙O1 与⊙O2 相切，两圆半径分别为 3 和 5，则圆心距 O1O2 的值是 ． 11．8 或 2 12．如图，在 Rt△AOB 中，OA=OB=3 ，⊙O 的半径为 1，点 P 是 AB 边上的动点，过 点 P 作⊙O 的一条切线 PQ（点 Q 为切点），则切线 PQ 的最小值为 ． 12． 1 6 1 3 1 2 2 2 2