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  • 2021-05-10 发布

2017中考特殊的平行四边形复习

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特殊的平行四边形复习 一.中点四边形问题:‎ 例1.(变式题:练习第三2和8题)‎ ‎(2016•兰州)阅读下面材料:‎ 在数学课上,老师请同学思考如下问题:如图1,我们把一个四边形ABCD的四边中点E,F,G,H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗?‎ 小敏在思考问题是,有如下思路:连接AC.‎ 结合小敏的思路作答 ‎(1)若只改变图1中四边形ABCD的形状(如图2),则四边形EFGH还是平行四边形吗?说明理由;参考小敏思考问题方法解决一下问题:‎ ‎(2)如图2,在(1)的条件下,若连接AC,BD.‎ ‎①当AC与BD满足什么条件时,四边形EFGH是菱形,写出结论并证明;‎ ‎②当AC与BD满足什么条件时,四边形EFGH是矩形,直接写出结论.‎ 二、四边形中的特殊三角形 例2、如图,在△ABC和△BCD中,∠BAC=∠BCD=90°,AB=AC,CB=CD.延长CA至点E,使AE=AC;延长CB至点F,使BF=BC.连接AD,AF,DF,EF.延长DB交EF于点N.‎ ‎(1)求证:AD=AF;‎ ‎(2)求证:BD=EF;‎ ‎(3)试判断四边形ABNE的形状,并说明理由.‎ 三、四边形中的折叠问题 本质:轴对称(全等性,对称性) 关键:根据折叠实现等量转化 ‎(1)根据勾股定理得方程。 (2)根据相似比得方程。 (3)找折叠中的特殊位置来解决特殊值问题 例3(2015·滨州)如图,在平面直角坐标系中,将矩形AOCD沿直线AE折叠(点E在边DC上),折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处,若点D的坐标为(10,8),则点E的坐标为________.‎ ‎ 例3 例4‎ 例4(2013•遵义)如上图,将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠,使点C落在点A处,点D落在点E处,直线MN交BC于点M,交AD于点N. (1)求证:CM=CN; (2)若△CMN的面积与△CDN的面积比为3:1,求的值.‎ 四、正方形中的线段垂直问题 例5如图1,在正方形ABCD中,E、F分别是边AD、DC上的点,且AF⊥BE. (1)求证:AF=BE;‎ ‎(2)如图2,在正方形ABCD中,M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点,且MP⊥NQ.MP与NQ是否相等?并说明理由.‎ 五、探究型问题 例6.(2015•甘肃武威)如图,平行四边形ABCD中,AB=‎3cm,BC=‎5cm,∠B=60°,G是CD的中点,E是边AD上的动点,EG的延长线与BC的延长线交于点F,连结CE,DF.(1)求证:四边形CEDF是平行四边形;‎ ‎(2)①当AE= cm时,四边形CEDF是矩形; ②当AE= cm时,四边形CEDF是菱形.‎ ‎(直接写出答案,不需要说明理由)‎ 六、四边形中的相似三角形 例7(2015湖南岳阳第22题8分)如图,正方形ABCD中,M为BC上一点,F是AM的中点,EF⊥AM,垂足为F,交AD的延长线于点E,交DC于点N.‎ ‎(1)求证:△ABM∽△EFA;‎ ‎(2)若AB=12,BM=5,求DE的长.‎ 一、 选择题 ‎1.(2016·山东省菏泽市·3分)在▱ABCD中,AB=3,BC=4,当▱ABCD的面积最大时,下列结论正确的有(  )‎ ‎①AC=5;②∠A+∠C=180°;③AC⊥BD;④AC=BD.‎ A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④‎ ‎2.(2016贵州毕节3分)如图,正方形ABCD的边长为9,将正方形折叠,使顶点D落在BC边上的点E处,折痕为GH.若BE:EC=2:1,则线段CH的长是(  )‎ A.3 B.‎4 C.5 D.6‎ ‎ ‎ ‎ 2题图 3题图 5题图 ‎3.(2016海南3分)如图,矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上,且a∥b,∠1=60°,则∠2的度数为(  )‎ A.30° B.45° C.60° D.75° ‎ ‎4.(2016河北3分)关于 ABCD的叙述,正确的是( )‎ A.若AB⊥BC,则 ABCD是菱形 B.若AC⊥BD,则 ABCD是正方形 C.若AC=BD,则 ABCD是矩形 D.若AB=AD,则 ABCD是正方形 ‎5.(2016河南)如图,已知菱形OABC的顶点O(0,0),B(2,2),若菱形绕点O逆时针旋转,每秒旋转45°,则第60秒时,菱形的对角线交点D的坐标为(  )‎ A.(1,﹣1) B.(﹣1,﹣1) C.(,0) D.(0,﹣)‎ ‎6.(16福建龙岩)如图,在周长为12的菱形ABCD中,AE=1,AF=2,若P为对角线BD上一动点,则EP+FP的最小值为(  ) A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎ ‎ ‎ 6T题图 7题图 8题图 ‎7. (2016·四川眉山·3分)把边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′,边BC与D′C′交于点O,则四边形ABOD′的周长是(  ) A. B.‎6 C. D.‎ ‎8. (2016·四川眉山)如图,矩形ABCD中,O为AC中点,过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F,连结BF交AC于点M,连结DE、BO.若∠COB=60°,FO=FC,则下列结论:①FB垂直平分OC;②△EOB≌△CMB;③DE=EF;④S△AOE:S△BCM=2:3.其中正确结论的个数是(  ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 ‎9.(2016·四川宜宾)如图,点P是矩形ABCD的边AD上的一动点,矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8,则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是(  )‎ A.4.8 B.5 C.6 D.7.2‎ ‎ ‎ ‎ 9题图 11题图 12题图 13题图 ‎ ‎10.(2016·四川攀枝花)下列关于矩形的说法中正确的是(  )‎ A.对角线相等的四边形是矩形 B.矩形的对角线相等且互相平分 C.对角线互相平分的四边形是矩形 D.矩形的对角线互相垂直且平分 ‎11.(2016·四川南充)如图,对折矩形纸片ABCD,使AB与DC重合得到折痕EF,将纸片展平;再一次折叠,使点D落到EF上点G处,并使折痕经过点A,展平纸片后∠DAG的大小为(  ) ‎ A.30° B.45° C.60° D.75°‎ ‎12.(2016·四川泸州)如图,矩形ABCD的边长AD=3,AB=2,E为AB的中点,F在边BC上,且BF=2FC,AF分别与DE、DB相交于点M,N,则MN的长为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎13.(2016·湖北荆门)如图,在矩形ABCD中(AD>AB),点E是BC上一点,且DE=DA,AF⊥DE,垂足为点F,在下列结论中,不一定正确的是(  ) ‎ A.△AFD≌△DCE B.AF=AD C.AB=AF D.BE=AD﹣DF 一、 填空题 ‎ ‎1. (2016·内蒙古包头·3分)如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点A作AE⊥BD,垂足为点E,若∠EAC=2∠CAD,则∠BAE=   度.‎ ‎ ‎ ‎ 1题图 2题图 3题图 4题图 ‎2. (16西宁)如图,在菱形ABCD中,E,F分别是AD,BD的中点,若EF=2,则菱形ABCD的周长是   .‎ ‎3. (2016陕西)如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=2,点P是这个菱形内部或边上的一点,若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形,则P、D(P、D两点不重合)两点间的最短距离为   .‎ ‎4. (2016江西)如图是一张长方形纸片ABCD,已知AB=8,AD=7,E为AB上一点,AE=5,现要剪下一张等腰三角形纸片(△AEP),使点P落在长方形ABCD的某一条边上,则等腰三角形AEP的底边长是   ‎ ‎5. (2016·辽宁丹东)如图,正方形ABCD边长为3,连接AC,AE平分∠CAD,交BC的延长线于点E,FA⊥AE,交CB延长线于点F,则EF的长为  .‎ ‎ D O C E B A 图4‎ ‎ ‎ 5题图 6题图 7题图 8题图 ‎6. (2016·四川南充)如图,菱形ABCD的周长是‎8cm,AB的长是   cm. ‎ ‎7.(2016·四川内江)如图4,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC=8,BD=6,OE⊥BC,垂足为点E,则OE=______.‎ ‎8.(2016·黑龙江齐齐哈尔)如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,请你添加一个适当的条件   使其成为菱形(只填一个即可).‎ ‎9.(2016·齐齐哈尔)有一面积为5的等腰三角形,它的一个内角是30°,则以它的腰长为边的正方形的面积为   . ‎ ‎10.(16昆明)如图,E,F,G,H分别是矩形ABCD各边的中点,AB=6,BC=8,则四边形EFGH的面积是   .‎ ‎11.(2016海南4分)如图,四边形ABCD是轴对称图形,且直线AC是对称轴,AB∥CD,则下列结论:①AC⊥BD;②AD∥BC;③四边形ABCD是菱形;④△ABD≌△CDB.其中正确的是   (只填写序号)‎ ‎ ‎ ‎10题图 11题图 ·12题图 13题图 ‎12.(2016·山东省滨州市·4分)如图,矩形ABCD中,AB=,BC=,点E在对角线BD上,且BE=1.8,连接AE并延长交DC于点F,则=   .‎ ‎13. (16哈尔滨)如图,在菱形ABCD中,∠BAD=120°,点E、F分别在边AB、BC上,△BEF与△GEF关于直线EF对称,点B的对称点是点G,且点G在边AD上.若EG⊥AC,AB=6,则FG的长为   .‎ 三.解答题 ‎1.已知:如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,E是CD中点,连结OE.过点C作CF∥BD交线段OE的延长线于点F,连结DF. 求证:(1)△ODE≌△FCE;(2)四边形ODFC是菱形.‎ ‎2. D、E分别是不等边三角形ABC(即AB≠BC≠AC)的边AB、AC的中点.O是△ABC所在平面上的动点,连接OB、OC,点G、F分别是OB、OC的中点,顺次连接点D、G、F、E.‎ ‎(1)如图,当点O在△ABC的内部时,求证:四边形DGFE是平行四边形;‎ ‎(2)若四边形DGFE是菱形,则OA与BC应满足怎样的数量关系?(直接写出答案,不需要说明理由.)‎ ‎、‎ ‎3.(16吉林)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且DE∥AC,AE∥BD.求证:四边形AODE是矩形.‎ ‎4.(2016·四川内江)(9分)如图6所示,△ABC中,D是BC边上一点,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交CE的延长线于F,且AF=BD,连接BF. (1)求证:D是BC的中点;‎ ‎(2)若AB=AC,试判断四边形AFBD的形状,并证明你的结论.‎ D C E F B A 图6‎ ‎5.(2016·黑龙江哈尔滨·)已知:如图,在正方形ABCD中,点E在边CD上,AQ⊥BE于点Q,DP⊥AQ于点P.‎ ‎(1)求证:AP=BQ;‎ ‎(2)在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图中四对线段,使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长.‎ ‎6.(2016·山东省济宁市)如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,延长CB至点F,使CF=CA,连接AF,∠ACF的平分线分别交AF,AB,BD于点E,N,M,连接EO.‎ ‎(1)已知BD=,求正方形ABCD的边长;‎ ‎(2)猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明.‎ ‎7.如图,△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F.‎ ‎(1)求证:OE=OF;‎ ‎(2)若CE=12,CF=5,求OC的长;‎ ‎(3)当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形?并说明理由.‎ ‎8.(16德州)我们给出如下定义:顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形.‎ ‎(1)如图1,四边形ABCD中,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点.‎ 求证:中点四边形EFGH是平行四边形;‎ ‎(2)如图2,点P是四边形ABCD内一点,且满足PA=PB,PC=PD,∠APB=∠CPD,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点,猜想中点四边形EFGH的形状,并证明你的猜想;‎ ‎(3)若改变(2)中的条件,使∠APB=∠CPD=90°,其他条件不变,直接写出中点四边形EFGH的形状.(不必证明)‎ 例1解:(1)是平行四边形,‎ 证明:如图2,连接AC,‎ ‎∵E是AB的中点,F是BC的中点,‎ ‎∴EF∥AC,EF=AC,‎ 同理HG∥AC,HG=AC,‎ 综上可得:EF∥HG,EF=HG,‎ 故四边形EFGH是平行四边形;‎ ‎(2)AC=BD.‎ 理由如下:‎ 由(1)知,四边形EFGH是平行四边形,且FG=BD,HG=AC,‎ ‎∴当AC=BD时,FG=HG,‎ ‎∴平行四边形EFGH是菱形,‎ ‎(3)当AC⊥BD时,四边形EFGH为矩形;‎ 理由如下:‎ 同(2)得:四边形EFGH是平行四边形,‎ ‎∵AC⊥BD,GH∥AC,‎ ‎∴GH⊥BD,‎ ‎∵GF∥BD,‎ ‎∴GH⊥GF,‎ ‎∴∠HGF=90°,‎ ‎∴四边形EFGH为矩形.‎ ‎【点评】此题主要考查了中点四边形,关键是掌握三角形中位线定理,三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.‎ 例2(1)证明:∵AB=AC,∠BAC=90°,‎ ‎∴∠ABC=∠ACB=45°,‎ ‎∴∠ABF=135°,‎ ‎∵∠BCD=90°,‎ ‎∴∠ABF=∠ACD,‎ ‎∵CB=CD,CB=BF,∴BF=CD,‎ 在△ABF和△ACD中,‎ ‎,‎ ‎∴△ABF≌△ACD(SAS),‎ ‎∴AD=AF;‎ ‎(2)证明:由(1)知,AF=AD,△ABF≌△ACD,‎ ‎∴∠FAB=∠DAC,‎ ‎∵∠BAC=90°,‎ ‎∴∠EAB=∠BAC=90°,‎ ‎∴∠EAF=∠BAD,‎ 在△AEF和△ABD中,‎ ‎,‎ ‎∴△AEF≌△ABD(SAS),‎ ‎∴BD=EF;‎ ‎(3)解:四边形ABNE是正方形;理由如下:‎ ‎∵CD=CB,∠BCD=90°,‎ ‎∴∠CBD=45°,‎ 由(2)知,∠EAB=90°,△AEF≌△ABD,‎ ‎∴∠AEF=∠ABD=90°,‎ ‎∴四边形ABNE是矩形,‎ 又∵AE=AB,‎ ‎∴四边形ABNE是正方形.‎ 例4证明:由折叠的性质可得:∠ANM=∠CNM,‎ ‎∵四边形ABCD是矩形,‎ ‎∴AD∥BC,‎ ‎∴∠ANM=∠CMN,‎ ‎∴∠CMN=∠CNM,‎ ‎∴CM=CN;‎ ‎(2)解:过点N作NH⊥BC于点H,‎ 则四边形NHCD是矩形,‎ ‎∴HC=DN,NH=DC,‎ ‎∵△CMN的面积与△CDN的面积比为3:1,‎ ‎∴===3,‎ ‎∴MC=3ND=3HC,‎ ‎∴MH=2HC,‎ 设DN=x,则HC=x,MH=2x,‎ ‎∴CM=3x=CN,‎ 在Rt△CDN中,DC==2x,‎ ‎∴HN=2x,‎ 在Rt△MNH中,MN==2x,‎ ‎∴==2.‎ 例5(1)证明:在正方形ABCD中,AB=AD,∠BAE=∠D=90°,‎ ‎∴∠DAF+∠BAF=90°,‎ ‎∵AF⊥BE,‎ ‎∴∠ABE+∠BAF=90°,‎ ‎∴∠ABE=∠DAF,‎ ‎∵在△ABE和△DAF中,‎ ‎,‎ ‎∴△ABE≌△DAF(ASA),‎ ‎∴AF=BE;‎ ‎(2)解:MP与NQ相等.‎ 理由如下:如图,过点A作AF∥MP交CD于F,过点B作BE∥NQ交AD于E,‎ 则与(1)的情况完全相同.‎ 参考答案 BBCBB CABAB CBB ‎22.5 16 2﹣2 ‎ ‎5或4或5. 6. 2 ‎ AC⊥BC或∠AOB=90°或AB=BC 20和20 24 ①②③④ 3.‎ ‎3【解答】证明:∵四边形ABCD为菱形,‎ ‎∴AC⊥BD,‎ ‎∴∠AOD=90°,‎ ‎∵DE∥AC,AE∥BD,‎ ‎∴四边形AODE为平行四边形,‎ ‎∴四边形AODE是矩形.‎ ‎4 (1)证明:∵点E是AD的中点,∴AE=DE.‎ ‎∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DCE,∠FAE=∠CDE.‎ ‎∴△EAF≌△EDC.‎ ‎∴AF=DC.‎ ‎∵AF=BD,‎ ‎∴BD=DC,即D是BC的中点.‎ ‎(2)四边形AFBD是矩形.证明如下:‎ ‎∵AF∥BD,AF=BD,‎ ‎∴四边形AFBD是平行四边形.‎ ‎∵AB=AC,又由(1)可知D是BC的中点,‎ ‎∴AD⊥BC.‎ ‎∴□AFBD是矩形. ‎ ‎5【解答】解:(1)∵正方形ABCD ‎∴AD=BA,∠BAD=90°,即∠BAQ+∠DAP=90°‎ ‎∵DP⊥AQ ‎∴∠ADP+∠DAP=90°‎ ‎∴∠BAQ=∠ADP ‎∵AQ⊥BE于点Q,DP⊥AQ于点P ‎∴∠AQB=∠DPA=90°‎ ‎∴△AQB≌△DPA(AAS)‎ ‎∴AP=BQ ‎(2)①AQ﹣AP=PQ ‎②AQ﹣BQ=PQ ‎③DP﹣AP=PQ ‎④DP﹣BQ=PQ ‎6【解答】解:(1)∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴△ABD是等腰直角三角形,‎ ‎∴2AB2=BD2,‎ ‎∵BD=,‎ ‎∴AB=1,‎ ‎∴正方形ABCD的边长为1;‎ ‎(2)CN=CM.‎ 证明:∵CF=CA,AF是∠ACF的平分线,‎ ‎∴CE⊥AF,‎ ‎∴∠AEN=∠CBN=90°,‎ ‎∵∠ANE=∠CNB,‎ ‎∴∠BAF=∠BCN,‎ 在△ABF和△CBN中,‎ ‎,‎ ‎∴△ABF≌△CBN(AAS),‎ ‎∴AF=CN,‎ ‎∵∠BAF=∠BCN,∠ACN=∠BCN,‎ ‎∴∠BAF=∠OCM,‎ ‎∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴AC⊥BD,‎ ‎∴∠ABF=∠COM=90°,‎ ‎∴△ABF∽△COM,‎ ‎∴=,‎ ‎∴==,‎ 即CN=CM.‎ ‎7【解答】解:(1)四边形EBGD是菱形.‎ 理由:∵EG垂直平分BD,‎ ‎∴EB=ED,GB=GD,‎ ‎∴∠EBD=∠EDB,‎ ‎∵∠EBD=∠DBC,‎ ‎∴∠EDF=∠GBF,‎ 在△EFD和△GFB中,‎ ‎,‎ ‎∴△EFD≌△GFB,‎ ‎∴ED=BG,‎ ‎∴BE=ED=DG=GB,‎ ‎∴四边形EBGD是菱形.‎ ‎(2)作EM⊥BC于M,DN⊥BC于N,连接EC交BD于点H,此时HG+HC最小,‎ 在RT△EBM中,∵∠EMB=90°,∠EBM=30°,EB=ED=2,‎ ‎∴EM=BE=,‎ ‎∵DE∥BC,EM⊥BC,DN⊥BC,‎ ‎∴EM∥DN,EM=DN=,MN=DE=2,‎ 在RT△DNC中,∵∠DNC=90°,∠DCN=45°,‎ ‎∴∠NDC=∠NCD=45°,‎ ‎∴DN=NC=,‎ ‎∴MC=3,‎ 在RT△EMC中,∵∠EMC=90°,EM=.MC=3,‎ ‎∴EC===10.‎ ‎∵HG+HC=EH+HC=EC,‎ ‎∴HG+HC的最小值为10.‎ ‎8【解答】(1)证明:如图1中,连接BD.‎ ‎∵点E,H分别为边AB,DA的中点,‎ ‎∴EH∥BD,EH=BD,‎ ‎∵点F,G分别为边BC,CD的中点,‎ ‎∴FG∥BD,FG=BD,‎ ‎∴EH∥FG,EH=GF,‎ ‎∴中点四边形EFGH是平行四边形.‎ ‎(2)四边形EFGH是菱形.‎ 证明:如图2中,连接AC,BD.‎ ‎∵∠APB=∠CPD,‎ ‎∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD 即∠APC=∠BPD,‎ 在△APC和△BPD中,‎ ‎,‎ ‎∴△APC≌△BPD,‎ ‎∴AC=BD ‎∵点E,F,G分别为边AB,BC,CD的中点,‎ ‎∴EF=AC,FG=BD,‎ ‎∵四边形EFGH是平行四边形,‎ ‎∴四边形EFGH是菱形.‎ ‎(3)四边形EFGH是正方形.‎ 证明:如图2中,设AC与BD交于点O.AC与PD交于点M,AC与EH交于点N.‎ ‎∵△APC≌△BPD,‎ ‎∴∠ACP=∠BDP,‎ ‎∵∠DMO=∠CMP,‎ ‎∴∠COD=∠CPD=90°,‎ ‎∵EH∥BD,AC∥HG,‎ ‎∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°,‎ ‎∵四边形EFGH是菱形,‎ ‎∴四边形EFGH是正方形.‎ ‎9【解答】解:当四边形EDD′F为菱形时,△A′DE是等腰三角形,△A′DE≌△EFC′.‎ 理由:∵△BCA是直角三角形,∠ACB=90°,AD=DB,‎ ‎∴CD=DA=DB,‎ ‎∴∠DAC=∠DCA,‎ ‎∵A′C∥AC,‎ ‎∴∠DA′E=∠A,∠DEA′=∠DCA,‎ ‎∴∠DA′E=∠DEA′,‎ ‎∴DA′=DE,‎ ‎∴△A′DE是等腰三角形.‎ ‎∵四边形DEFD′是菱形,‎ ‎∴EF=DE=DA′,EF∥DD′,‎ ‎∴∠CEF=∠DA′E,∠EFC=∠CD′A′,‎ ‎∵CD∥C′D′,‎ ‎∴∠A′DE=∠A′D′C=∠EFC,‎ 在△A′DE和△EFC′中,‎ ‎,‎ ‎∴△A′DE≌△EFC′.‎ ‎【点评】本题考查平移、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理等知识,解题的关键是灵活运用这些知识解决问题,属于中考常考题型.‎ ‎9(1)证明:∵MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F,‎ ‎∴∠2=∠5,4=∠6,‎ ‎∵MN∥BC,‎ ‎∴∠1=∠5,3=∠6,‎ ‎∴∠1=∠2,∠3=∠4,‎ ‎∴EO=CO,FO=CO,‎ ‎∴OE=OF;‎ ‎(2)解:∵∠2=∠5,∠4=∠6,‎ ‎∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°,‎ ‎∵CE=12,CF=5,‎ ‎∴EF==13,‎ ‎∴OC=EF=6.5;‎ ‎(3)答:当点O在边AC上运动到AC中点时,四边形AECF是矩形.‎ 证明:当O为AC的中点时,AO=CO,‎ ‎∵EO=FO,‎ ‎∴四边形AECF是平行四边形,‎ ‎∵∠ECF=90°,‎ ‎∴平行四边形AECF是矩形.‎