- 702.50 KB
- 2021-05-10 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
中考数学压轴题型研究(一)——动点几何问题
例1:在△ABC中,∠B=60°,BA=24CM,BC=16CM,
(1)求△ABC的面积;
A
C
B
(2)现有动点P从A点出发,沿射线AB向点B方向运动,动点Q从C点出发,沿射线CB也向点B方向运动。如果点P的速度是4CM/秒,点Q的速度是2CM/秒,它们同时出发,几秒钟后,△PBQ的面积是△ABC的面积的一半?
(3)在第(2)问题前提下,P,Q两点之间的距离是多少?
例2: ()已知正方形ABCD的边长是1,E为CD边的中点, P为正方形ABCD边上的一个动点,动点P从A点出发,沿A →B → C →E运动,到达点E.若点P经过的路程为自变量x,△APE的面积为函数y,
(1)写出y与x的关系式
(2)求当y=时,x的值等于多少?
例3:如图1 ,在直角梯形ABCD中,∠B=90°,DC∥AB,动点P从B点出发,沿梯形的边由B→C → D → A 运动,设点P运动的路程为x ,△ABP的面积为y , 如果关于x 的函数y的图象如图2所示 ,那么△ABC 的面积为( )
x
A
O
Q
P
B
y
A.32 B.18 C.16 D.10
例4:直线与坐标轴分别交于两点,动点同时从点出发,同时到达点,运动停止.点沿线段 运动,速度为每秒1个单位长度,点沿路线→→运动.(1)直接写出两点的坐标;
(2)设点的运动时间为秒,的面积为,求出与之间的函数关系式;
(3)当时,求出点的坐标,并直接写出以点为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标.
例5:已知:等边三角形的边长为4厘米,长为1厘米的线段在的边上沿方向以1厘米/秒的速度向点运动(运动开始时,点与点重合,点到达点时运动终止),过点分别作边的垂线,与的其它边交于两点,线段运动的时间为秒.
(1)线段在运动的过程中,为何值时,四边形恰为矩形?并求出该矩形的面积;
C
P
Q
B
A
M
N
(2)线段在运动的过程中,四边形的面积为,运动的时间为.求四边形的面积随运动时间变化的函数关系式,并写出自变量的取值范围.
图(3)
Cc
Dc
Ac
Bc
Qc
Pc
Ec
例6:如图(3),在梯形中,厘米,厘米,的坡度动点从出发以2厘米/秒的速度沿方向向点运动,动点从点出发以3厘米/秒的速度沿方向向点运动,两个动点同时出发,当其中一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止.设动点运动的时间为秒.
(1)求边的长;
(2)当为何值时,与相互平分;
(3)连结设的面积为探求与的函数关系式,求为何值时,有最大值?最大值是多少?
二、利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质(或所求图形面积)直接转化为函数或方程。
A
Q
C
D
B
P
例7:如图,已知中,厘米,厘米,点为的中点.
(1)如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上由C点向A点运动.
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后,与是否全等,请说明理由;
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使与全等?
(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B同时出发,都逆时针沿三边运动,求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇?
例8:如图,在梯形中,动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动;动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动.设运动的时间为秒.
(1)求的长.
(2)当时,求的值.
(3)试探究:为何值时,为等腰三角形.
例9:(如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90º,AB=12cm,AD=8cm,BC=22cm,AB为⊙O
的直径,动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动,动点Q从点C开始沿CB边向点B以2cm/s的速度运动,P、Q分别从点A、C同时出发,当其中一点到达端
点时,另一个动点也随之停止运动.设运动时间为t(s).
(1)当t为何值时,四边形PQCD为平行四边形?
A
B
O
C
D
P
Q
(2)当t为何值时,PQ与⊙O相切?
O
A
P
D
B
Q
C
例10. 如图,在矩形ABCD中,BC=20cm,P,Q,M,N分别从A,B,C,D出发沿AD,BC,CB,DA方向在矩形的边上同时运动,当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时,运动即停止.已知在相同时间内,若BQ=xcm(),则AP=2xcm,CM=3xcm,DN=x2cm.
(1)当x为何值时,以PQ,MN为两边,以矩形的边(AD或BC)的一部分为第三边构成一个三角形;
(2)当x 为何值时,以P,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形;
(3)以P,Q,M,N为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能,求x的值;如果不能,请说明理由.
A
B
D
C
P
Q
M
N
(第25题)
练习1
B
C
P
O
D
Q
A
B
P
C
O
D
Q
A
1.正方形的边长为,在对称中心处有一钉子.动点,同时从点出发,点沿方向以每秒的速度运动,到点停止,点沿方向以每秒的速度运动,到点停止.,两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结,设秒后橡皮筋扫过的面积为.
(1)当时,求与之间的函数关系式;
(2)当橡皮筋刚好触及钉子时,求值;
(3)当时,求与之间的函数关系式,并写出橡皮筋从触及钉子到运动停止时的变化范围;
(4)当时,请在给出的直角坐标系中画出与之间的函数图象.
[解] (1)当时,,,,
即.
(2)当时,橡皮筋刚好触及钉子,
,,,.
(3)当时,,
,,
,
即.
作,为垂足.
当时,,,,
,即.
或
(4)如图所示:
2.如图,平面直角坐标系中,直线AB与轴,轴分别交于A(3,0),B(0,)两点, ,点C为线段AB上的一动点,过点C作CD⊥轴于点D.
(1)求直线AB的解析式;
(2)若S梯形OBCD=,求点C的坐标;
(3)在第一象限内是否存在点P,使得以P,O,B为顶点的
三角形与△OBA相似.若存在,请求出所有符合条件
的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
[解] (1)直线AB解析式为:y=x+.
(2)方法一:设点C坐标为(x,x+),那么OD=x,CD=x+.
∴==.
由题意: =,解得(舍去)
∴ C(2,)
方法二:∵ ,=,∴.
由OA=OB,得∠BAO=30°,AD=CD.
∴ =CD×AD==.可得CD=.
∴ AD=1,OD=2.∴C(2,).
(3)当∠OBP=Rt∠时,如图
①若△BOP∽△OBA,则∠BOP=∠BAO=30°,BP=OB=3,
∴(3,).
②若△BPO∽△OBA,则∠BPO=∠BAO=30°,OP=OB=1.
∴(1,).
当∠OPB=Rt∠时
③ 过点P作OP⊥BC于点P(如图),此时△PBO∽△OBA,∠BOP=∠BAO=30°
过点P作PM⊥OA于点M.
方法一: 在Rt△PBO中,BP=OB=,OP=BP=.
∵ 在Rt△PMO中,∠OPM=30°,
∴ OM=OP=;PM=OM=.∴(,).
方法二:设P(x ,x+),得OM=x ,PM=x+
由∠BOP=∠BAO,得∠POM=∠ABO.
∵tan∠POM=== ,tan∠ABOC==.
∴x+=x,解得x=.此时,(,).
④若△POB∽△OBA(如图),则∠OBP=∠BAO=30°,∠POM=30°.
∴ PM=OM=.
∴ (,)(由对称性也可得到点的坐标).
当∠OPB=Rt∠时,点P在x轴上,不符合要求.
综合得,符合条件的点有四个,分别是:
(3,),(1,),(,),(,).
3.如图所示,在平面直角坐标中,四边形OABC是等腰梯形,BC∥OA,OA=7,AB=4,∠ COA=60°,点P为x轴上的—个动点,点P不与点0、点A重合.连结CP,过点P作PD交AB于点D.
(1)求点B的坐标;
(2)当点P运动什么位置时,△OCP为等腰三角形,求这时点P的坐标;
(3)当点P运动什么位置时,使得∠CPD=∠OAB,且=,求这时点P的坐标。
[解] (1)作BQ⊥x轴于Q.
∵ 四边形ABCD是等腰梯形,
∴∠BAQ=∠COA=60°
在RtΔBQA中,BA=4,
∴BQ=AB·sin∠BAO=4×sin60°=
AQ=AB·cos∠BAO=4×cos60°=2,
∴OQ=OA-AQ=7-2=5
∵点B在第一象限内,
∴点B的的坐标为(5, )
(2)若ΔOCP为等腰三角形,∵∠COP=60°,
此时ΔOCP为等边三角形或是顶角为120°的等腰三角形
若ΔOCP为等边三角形,OP=OC=PC=4,且点P在x轴的正半轴上,
∴点P的坐标为(4,0)
若ΔOCP是顶角为120°的等腰三角形,则点P在x轴的负半轴上,且OP=OC=4
∴点P的坐标为(-4,0)
∴点P的坐标为(4,0)或(-4,0)
(3)若∠CPD=∠OAB
∵∠CPA=∠OCP+∠COP
而∠OAB=∠COP=60°,
∴∠OCP=∠DPA
此时ΔOCP∽ΔADP
∴
∵
∴,
AD=AB-BD=4-=
AP=OA-OP=7-OP
∴
得OP=1或6
∴点P坐标为(1,0)或(6,0).
图①
B
A
Q
P
C
H
4. 已知:如图①,在RtΔABC中,∠C=900,AC=4cm,BC=3cm,点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动,速度为1cm/s;点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动,速度为2cm/s;连接PQ.若设运动的时间为t(s)(0