中考数学压轴题 33页

‎1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．‎ ‎（1）求AC、BC的长；‎ ‎（2）设点P的运动时间为x（秒），△PBQ的面积为y（cm2），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；‎ ‎（3）当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC是否相似，请说明理由；‎ ‎（4）当x=5秒时，在直线PQ上是否存在一点M，使△BCM得周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由．‎ 解：（1）设AC=4x，BC=3x，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，‎ 即：（4x）2+（3x）2=102，解得：x=2，∴AC=8cm，BC=6cm；‎ ‎（2）①当点Q在边BC上运动时，过点Q作QH⊥AB于H，‎ ‎∵AP=x，∴BP=10﹣x，BQ=2x，∵△QHB∽△ACB，‎ ‎∴，∴QH=x，y=BP•QH=（10﹣x）•x=﹣x2+8x（0＜x≤3），‎ ‎②当点Q在边CA上运动时，过点Q作QH′⊥AB于H′，‎ ‎∵AP=x，‎ ‎∴BP=10﹣x，AQ=14﹣2x，∵△AQH′∽△ABC，‎ ‎∴，即：，解得：QH′=（14﹣x），‎ ‎∴y=PB•QH′=（10﹣x）•（14﹣x）=x2﹣x+42（3＜x＜7）；‎ ‎∴y与x的函数关系式为：y=；‎ ‎（3）∵AP=x，AQ=14﹣x，‎ ‎∵PQ⊥AB，∴△APQ∽△ACB，∴，即：，‎ 解得：x=，PQ=，∴PB=10﹣x=，∴，‎ ‎∴当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC不相似；‎ ‎（4）存在．‎ 理由：∵AQ=14﹣2x=14﹣10=4，AP=x=5，∵AC=8，AB=10，‎ ‎∴PQ是△ABC的中位线，∴PQ∥AB，∴PQ⊥AC，‎ ‎∴PQ是AC的垂直平分线，∴PC=AP=5，∴当点M与P重合时，△BCM的周长最小，‎ ‎∴△BCM的周长为：MB+BC+MC=PB+BC+PC=5+6+5=16．∴△BCM的周长最小值为16．‎ ‎2、（12分） 如图，矩形ABCD中，点P在边CD上，且与点C、 D不重合，过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q，连接PQ，PQ的中点为M.‎ ‎(1)求证：△ADP∽△ABQ；‎ ‎(2)若AD=10，AB=20，点P在边CD上运动，设DP=x, BM 2=y，求y与x的函数关系式，并求线段BM长的最小值；‎ ‎(3)若AD=10, AB=a， DP=8，随着a的大小的变化，点M的位置也在变化，当点M落在矩形ABCD外部时，求a的取值范围。‎ 解：(1)证明：∵ 四边形ABCD是矩形 ∴∠ADP=∠ABC=∠BAD=90°‎ ‎∵∠ABC+∠ABQ=180°‎ ‎10‎ x ‎20-x N ‎∴∠ABQ=∠ADP =90°‎ ‎∵AQ⊥AP ∴∠PAQ=90°‎ ‎∴∠QAB+ ∠BAP=90°‎ 又∵∠PAD+∠BAP=90°‎ ‎∴∠PAD=∠QAB 在△ADP与△ABQ中 ‎∵‎ ‎∴△ADP∽△ABQ ‎（2）如图，作MN⊥QC，则∠QNM=∠QCD=90°‎ 又∵∠MQN=∠PQC ‎∴△MQN∽△PQC ∴‎ ‎∵点M是PQ的中点 ∴‎ ‎∴‎ 又∵‎ ‎∴ ‎ ‎∵△ADP∽△ABQ ‎∴ ∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ 在Rt△MBN中，由勾股定理得：‎ 即： ‎ ‎10‎ ‎8‎ A B C P D Q M ‎10‎ a ‎10‎ 当即时，线段BM长的最小值.‎ ‎ (3)如图，当点PQ中点M落在AB上时，此时QB=BC=10‎ 由△ADP∽△ABQ得解得： ‎ ‎∴随着a的大小的变化，点M的位置也在变化，‎ 当点M落在矩形ABCD外部时，求a的取值范围为：‎ ‎3、如图，抛物线关于直线对称，与坐标轴交于三点，且,点在抛物线上，直线是一次函数的图象，点是坐标原点.（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）若直线平分四边形的面积，求的值.‎ ‎（3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线交于两点，问在轴正半轴上是否存在一定点，使得不论取何值，直线与总是关于轴对称？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.‎ 答案：（1）因为抛物线关于直线x=1对称，AB=4，所以A(-1，0),B(3，0),‎ 由点D(2，1.5)在抛物线上，所以，所以3a+3b=1.5,即a+b=0.5,‎ 又，即b=-2a,代入上式解得a=-0.5,b=1,从而c=1.5,所以.‎ ‎24．（14分）（2013•温州）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A（6，0），B（0.8），点C的坐标为（0，m），过点C作CE⊥AB于点E，点D为x轴上的一动点，连接CD，DE，以CD，DE为边作▱CDEF．‎ ‎（1）当0＜m＜8时，求CE的长（用含m的代数式表示）；‎ ‎（2）当m=3时，是否存在点D，使▱CDEF的顶点F恰好落在y轴上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）点D在整个运动过程中，若存在唯一的位置，使得▱CDEF为矩形，请求出所有满足条件的m的值．‎ 解答：‎ 解：（1）∵A（6，0），B（0，8）．‎ ‎∴OA=6，OB=8．‎ ‎∴AB=10，‎ ‎∵∠CEB=∠AOB=90°，‎ 又∵∠OBA=∠EBC，‎ ‎∴△BCE∽△BAO，‎ ‎∴=，即=，‎ ‎∴CE=﹣m；‎ ‎（2）∵m=3，‎ ‎∴BC=8﹣m=5，CE=﹣m=3．‎ ‎∴BE=4，‎ ‎∴AE=AB﹣BE=6．‎ ‎∵点F落在y轴上（如图2）．‎ ‎∴DE∥BO，‎ ‎∴△EDA∽△BOA，‎ ‎∴=即=．‎ ‎∴OD=，‎ ‎∴点D的坐标为（，0）．‎ ‎（3）取CE的中点P，过P作PG⊥y轴于点G．‎ 则CP=CE=﹣m．‎ ‎（Ⅰ）当m＞0时，‎ ‎①当0＜m＜8时，如图3．易证∠GCP=∠BAO，‎ ‎∴cos∠GCP=cos∠BAO=，‎ ‎∴CG=CP•cos∠GCP=（﹣m）=﹣m．‎ ‎∴OG=OC+OG=m+﹣m=m+．‎ 根据题意得，得：OG=CP，‎ ‎∴m+=﹣m，‎ 解得：m=；‎ ‎②当m≥8时，OG＞CP，显然不存在满足条件的m的值．‎ ‎（Ⅱ）当m=0时，即点C与原点O重合（如图4）．‎ ‎（Ⅲ）当m＜0时，‎ ‎①当点E与点A重合时，（如图5），‎ 易证△COA∽△AOB，‎ ‎∴=，即=，‎ 解得：m=﹣．‎ ‎②当点E与点A不重合时，（如图6）．‎ OG=OC﹣OG=﹣m﹣（﹣m）‎ ‎=﹣m﹣．‎ 由题意得：OG=CP，‎ ‎∴﹣m﹣=﹣m．‎ 解得m=﹣．‎ 综上所述，m的值是或0或﹣或﹣．‎ ‎28、如图，过原点的直线l1：y=3x，l2：y=x．点P从原点O出发沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动．直线PQ交y轴正半轴于点Q，且分别交l1、l2于点A、B．设点P的运动时间为t秒时，直线PQ的解析式为y=﹣x+t．△AOB的面积为Sl（如图①）．以AB为对角线作正方形ACBD，其面积为S2（如图②）．连接PD并延长，交l1于点E，交l2于点F．设△PEA的面积为S3；（如图③）‎ ‎（1）Sl关于t的函数解析式为　_________　；（2）直线OC的函数解析式为　_________　；‎ ‎（3）S2关于t的函数解析式为　_________　；（4）S3关于t的函数解析式为　_________　．‎ 解：（1）由，‎ 得，‎ ‎∴A点坐标为（，）‎ 由 得 ‎∴B点坐标为（，）．‎ ‎∴S1=S△AOP﹣S△BOP=t2（2）由（1）得，点C的坐标为（，）．‎ 设直线OC的解析式为y=kx，根据题意得=，‎ ‎∴k=，‎ ‎∴直线OC的解析式为y=x．‎ ‎（3）由（1）、（2）知，正方形ABCD的边长CB=t﹣=，‎ ‎∴S2=CB2=（）2=．‎ ‎（4）设直线PD的解析式为y=k1x+b，由（1）知，点D的坐标为（t，），‎ 将P（t，0）、D（）代入得，‎ 解得 ‎∴直线PD的解析式为y= 由，‎ 得 ‎∴E点坐标为（，）‎ ‎∴S3=S△EOP﹣S△AOP=t•t﹣t•t=t2．‎ ‎25．（10分）（2013•天津）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），点B（0，4），点E在OB上，且∠OAE=∠0BA．‎ ‎（Ⅰ）如图①，求点E的坐标；‎ ‎（Ⅱ）如图②，将△AEO沿x轴向右平移得到△A′E′O′，连接A′B、BE′．‎ ‎①设AA′=m，其中0＜m＜2，试用含m的式子表示A′B2+BE′2，并求出使A′B2+BE′2取得最小值时点E′的坐标；‎ ‎②当A′B+BE′取得最小值时，求点E′的坐标（直接写出结果即可）．‎ 考点：‎ 相似形综合题．3718684‎ 分析：‎ ‎（Ⅰ）根据相似三角形△OAE∽△OBA的对应边成比例得到=，则易求OE=1‎ ‎，所以E（0，1）；‎ ‎（Ⅱ）如图②，连接EE′．在Rt△A′BO中，勾股定理得到A′B2=（2﹣m）2+42=m2﹣4m+20，在Rt△BE′E中，利用勾股定理得到BE′2=E′E2+BE2=m2+9，则 A′B2+BE′2=2m2﹣4m+29=2（m﹣1）2+27．所以由二次函数最值的求法知，当m=1即点E′的坐标是（1，1）时，A′B2+BE′2取得最小值．‎ 解答：‎ 解：（Ⅰ）如图①，∵点A（﹣2，0），点B（0，4），‎ ‎∴OA=2，OB=4．‎ ‎∵∠OAE=∠0BA，∠EOA=∠AOB=90°，‎ ‎∴△OAE∽△OBA，‎ ‎∴=，即=，‎ 解得，OE=1，‎ ‎∴点E的坐标为（0，1）；‎ ‎（Ⅱ）①如图②，连接EE′．‎ 由题设知AA′=m（0＜m＜2），则A′O=2﹣m．‎ 在Rt△A′BO中，由A′B2=A′O2+BO2，得A′B2=（2﹣m）2+42=m2﹣4m+20．‎ ‎∵△A′E′O′是△AEO沿x轴向右平移得到的，‎ ‎∴EE′∥AA′，且EE′=AA′．‎ ‎∴∠BEE′=90°，EE′=m．‎ 又BE=OB﹣OE=3，‎ ‎∴在Rt△BE′E中，BE′2=E′E2+BE2=m2+9，‎ ‎∴A′B2+BE′2=2m2﹣4m+29=2（m﹣1）2+27．‎ 当m=1时，A′B2+BE′2可以取得最小值，此时，点E′的坐标是（1，1）．‎ ‎②如图②，过点A作AB′⊥x，并使AB′=BE=3．‎ 易证△AB′A′≌△EBE′，‎ ‎∴B′A=BE′，‎ ‎∴A′B+BE′=A′B+B′A′．‎ 当点B、A′、B′在同一条直线上时，A′B+B′A′最小，即此时A′B+BE′取得最小值．‎ 易证△AB′A′∽△OBA′，‎ ‎∴==，‎ ‎∴AA′=×2=，‎ ‎∴EE′=AA′=，‎ ‎∴点E′的坐标是（，1）．‎ 点评：‎ 本题综合考查了相似三角形的判定与性质、平移的性质以及勾股定理等知识点．此题难度较大，需要学生对知识有一个系统的掌握．‎ ‎17、（12分）（2013•雅安）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；‎ ‎（3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（ E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．‎ ‎①求S与m的函数关系式；‎ ‎②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标； 若不存在，请说明理由．‎ 解：（1）由题意可知：‎ 解得：‎ ‎∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；‎ ‎（2）∵△PBC的周长为：PB+PC+BC ‎∵BC是定值，‎ ‎∴当PB+PC最小时，△PBC的周长最小，‎ ‎∵点A、点B关于对称轴I对称，‎ ‎∴连接AC交l于点P，即点P为所求的点 ‎∵AP=BP ‎∴△PBC的周长最小是：PB+PC+BC=AC+BC ‎∵A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），‎ ‎∴AC=3，BC=；‎ ‎（3）①∵抛物线y=﹣x2﹣2x+3顶点D的坐标为（﹣1，4）‎ ‎∵A（﹣3，0）‎ ‎∴直线AD的解析式为y=2x+6‎ ‎∵点E的横坐标为m，‎ ‎∴E（m，2m+6），F（m，﹣m2﹣2m+3）‎ ‎∴EF=﹣m2﹣2m+3﹣（2m+6）‎ ‎=﹣m2﹣4m﹣3‎ ‎∴S=S△DEF+S△AEF ‎=EF•GH+EF•AC ‎=EF•AH ‎=（﹣m2﹣4m﹣3）×2‎ ‎=﹣m2﹣4m﹣3；‎ ‎②S=﹣m2﹣4m﹣3‎ ‎=﹣（m+2）2+1；‎ ‎∴当m=﹣2时，S最大，最大值为1‎ 此时点E的坐标为（﹣2，2）．‎ ‎16、（12分）（2013•南昌）已知抛物线yn=﹣（x﹣an）2+an（n为正整数，且0＜a1＜a2＜…＜an）与x轴的交点为An﹣1（bn﹣1，0）和An（bn，0），当n=1时，第1条抛物线y1=﹣（x﹣a1）2+a1与x轴的交点为A0（0，0）和A1（b1，0），其他依此类推．‎ ‎（1）求a1，b1的值及抛物线y2的解析式；‎ ‎（2）抛物线y3的顶点坐标为（　 　，　 　）；依此类推第n条抛物线yn的顶点坐标为（　 　，　 　）；所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是　 　；‎ ‎（3）探究下列结论：‎ ‎①若用An﹣1An表示第n条抛物线被x轴截得的线段长，直接写出A0A1的值，并求出An﹣1An；‎ ‎②是否存在经过点A（2，0）的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等？若存在，直接写出直线的表达式；若不存在，请说明理由．‎ 解：（1）∵当n=1时，第1条抛物线y1=﹣（x﹣a1）2+a1与x轴的交点为A0（0，0），‎ ‎∴0=﹣（0﹣a1）2+a1，解得a1=1或a1=0．‎ 由已知a1＞0，∴a1=1，‎ ‎∴y1=﹣（x﹣1）2+1．‎ 令y1=0，即﹣（x﹣1）2+1=0，解得x=0或x=2，‎ ‎∴A1（2，0），b1=2．‎ 由题意，当n=2时，第2条抛物线y2=﹣（x﹣a2）2+a2经过点A1（2，0），‎ ‎∴0=﹣（2﹣a2）2+a2，解得a2=1或a2=4，‎ ‎∵a1=1，且已知a2＞a1，‎ ‎∴a2=4，‎ ‎∴y2=﹣（x﹣4）2+4．‎ ‎∴a1=1，b1=2，y2=﹣（x﹣4）2+4．‎ ‎（2）抛物线y2=﹣（x﹣4）2+4，令y2=0，即﹣（x﹣4）2+4=0，解得x=2或x=6．‎ ‎∵A1（2，0），‎ ‎∴A2（6，0）．‎ 由题意，当n=3时，第3条抛物线y3=﹣（x﹣a3）2+a3经过点A2（6，0），‎ ‎∴0=﹣（6﹣a3）2+a3，解得a3=4或a3=9．‎ ‎∵a2=4，且已知a3＞a2，‎ ‎∴a3=9，‎ ‎∴y3=﹣（x﹣9）2+9．‎ ‎∴y3的顶点坐标为（9，9）．‎ 由y1的顶点坐标（1，1），y2的顶点坐标（4，4），y3的顶点坐标（9，9），‎ 依此类推，yn的顶点坐标为（n2，n2）．‎ ‎∵所有抛物线顶点的横坐标等于纵坐标，‎ ‎∴顶点坐标满足的函数关系式是：y=x．‎ ‎（3）①∵A0（0，0），A1（2，0），‎ ‎∴A0A1=2．‎ yn=﹣（x﹣n2）2+n2，令yn=0，即﹣（x﹣n2）2+n2=0，‎ 解得x=n2+n或x=n2﹣n，‎ ‎∴An﹣1（n2﹣n，0），An（n2+n，0），即An﹣1An=（n2+n）﹣（n2﹣n）=2n．‎ ‎②存在．‎ 设过点（2，0）的直线解析式为y=kx+b，则有：0=2k+b，得b=﹣2k，‎ ‎∴y=kx﹣2k．‎ 设直线y=kx﹣2k与抛物线yn=﹣（x﹣n2）2+n2交于E（x1，y1），F（x2，y2）两点，‎ 联立两式得：kx﹣2k=﹣（x﹣n2）2+n2，整理得：x2+（k﹣2n2）x+n4﹣n2﹣2k=0，‎ ‎∴x1+x2=2n2﹣k，x1•x2=n4﹣n2﹣2k．‎ 过点F作FG⊥x轴，过点E作EG⊥FG于点G，则EG=x2﹣x1，‎ FG=y2﹣y1=[﹣（x2﹣n2）2+n2]﹣[﹣（x1﹣n2）2+n2]=（x1+x2﹣2n2）（x1﹣x2）=k（x2﹣x1）．‎ 在Rt△EFG中，由勾股定理得：EF2=EG2+FG2，‎ 即：EF2=（x2﹣x1）2+[k（x2﹣x1）]2=（k2+1）（x2﹣x1）2=（k2+1）[（x1+x2）2﹣4x1•x2]，‎ 将x1+x2=2n2﹣k，x1•x2=n4﹣n2﹣2k代入，整理得：EF2=（k2+1）[4n2•（1﹣k）+k2+8k]，‎ 当k=1时，EF2=（1+1）（1+8）=9，∴EF=3为定值，‎ ‎∴k=1满足条件，此时直线解析式为y=x﹣2．‎ ‎∴存在满足条件的直线，该直线的解析式为y=x﹣2．‎ ‎15．（2012义乌市）如图1，已知直线y=kx与抛物线y=交于点A（3，6）．‎ ‎（1）求直线y=kx的解析式和线段OA的长度；‎ ‎（2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M（点M、O不重合），交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N．试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；‎ ‎（3）如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O、A不重合），点D（m，0）是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE=∠BED=∠AOD．继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个？‎ 解答：解：（1）把点A（3，6）代入y=kx 得；‎ ‎∵6=3k，‎ ‎∴k=2，‎ ‎∴y=2x．（2012义乌市）‎ OA=．…（3分）‎ ‎（2）是一个定值，理由如下：‎ 如答图1，过点Q作QG⊥y轴于点G，QH⊥x轴于点H．‎ ‎①当QH与QM重合时，显然QG与QN重合，‎ 此时；‎ ‎②当QH与QM不重合时，‎ ‎∵QN⊥QM，QG⊥QH 不妨设点H，G分别在x、y轴的正半轴上，‎ ‎∴∠MQH=∠GQN，‎ 又∵∠QHM=∠QGN=90°‎ ‎∴△QHM∽△QGN…（5分），‎ ‎∴，‎ 当点P、Q在抛物线和直线上不同位置时，同理可得． …（7分）①①‎ ‎（3）如答图2，延长AB交x轴于点F，过点F作FC⊥OA于点C，过点A作AR⊥x轴于点R ‎∵∠AOD=∠BAE，‎ ‎∴AF=OF，‎ ‎∴OC=AC=OA=‎ ‎∵∠ARO=∠FCO=90°，∠AOR=∠FOC，‎ ‎∴△AOR∽△FOC，‎ ‎∴，‎ ‎∴OF=，‎ ‎∴点F（，0），‎ 设点B（x，），‎ 过点B作BK⊥AR于点K，则△AKB∽△ARF，‎ ‎∴，‎ 即，‎ 解得x1=6，x2=3（舍去），‎ ‎∴点B（6，2），‎ ‎∴BK=6﹣3=3，AK=6﹣2=4，‎ ‎∴AB=5 …（8分）；‎ ‎（求AB也可采用下面的方法）‎ 设直线AF为y=kx+b（k≠0）把点A（3，6），点F（，0）代入得 k=，b=10，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴（舍去），，‎ ‎∴B（6，2），‎ ‎∴AB=5…（8分）‎ ‎（其它方法求出AB的长酌情给分）‎ 在△ABE与△OED中 ‎∵∠BAE=∠BED，‎ ‎∴∠ABE+∠AEB=∠DEO+∠AEB，‎ ‎∴∠ABE=∠DEO，‎ ‎∵∠BAE=∠EOD，‎ ‎∴△ABE∽△OED．…（9分）‎ 设OE=x，则AE=﹣x （），‎ 由△ABE∽△OED得，‎ ‎∴‎ ‎∴（）…（10分）‎ ‎∴顶点为（，）‎ 如答图3，当时，OE=x=，此时E点有1个；‎ 当时，任取一个m的值都对应着两个x值，此时E点有2个．‎ ‎∴当时，E点只有1个…（11分）‎ 当时，E点有2个…（12分）．‎ 已知一个直角三角形纸片OAB，其中∠AOB=90°，OA=2，OB=4，如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D。‎ ‎（Ⅰ）若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标； （Ⅱ）若折叠后点B落在边OA上的点为B′，设OB′=x，OC=y，试写出y关于x的函数解析式，并确定y的取值范围； （Ⅲ）若折叠后点B落在边OA上的点为B′，且使B′D∥OB，求此时点C的坐标。‎ 解：（Ⅰ）如图（1），折叠后点B与点A重合，连接AC， 则△ACD≌△BCD， 设点C的坐标为（0，m）（m>0）， 则BC=OB-OC=4-m， ‎ 于是AC=BC=4-m， 在Rt△AOC中，由勾股定理，得AC2=OC2+OA2， 即（4-m）2=m2+22，解得m=， ∴点C的坐标为；‎ ‎（Ⅱ）如图（2），折叠后点B落在OA边上的点为B′连接B′C，B′D， 则△B′CD≌△BCD， 由题设OB′=x，OC=y， 则B′C=BC=OB-OC=4-y， 在Rt△B′OC中，由勾股定理， 得B′C2=OC2+OB′2， ∴（4-y）2=y2+x2， 即， 由点B′在边OA上，有0≤x≤2， ∴解析式（0≤x≤2）为所求， ∵当0≤x≤2时，y随x的增大而减小， ∴y的取值范围为；‎ ‎（Ⅲ）如图（3），折叠后点B落在OA边上的点为B′，连接B′C，B′D，B′D∥OB， 则∠OCB′=∠CB′D， 又∵∠CBD=∠CB′D， ∴∠CB′=∠CBD， ∴CB′∥BA， ∴Rt△COB′∽Rt△BOA， 有， 得OC=20B′， 在Rt△B′OC中，设OB′=x0（x0>0），则OC=2x0， 由（Ⅱ）的结论，得2x0=， 解得x0=， ∵x0>0， ∴x0=， ∴点C的坐标为。‎ ‎12、在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCO的顶点A、C分别在y轴、x轴正半轴上，点P在AB上，PA=1，AO=2．经过原点的抛物线y=mx2﹣x+n的对称轴是直线x=2．‎ ‎（1）求出该抛物线的解析式．‎ ‎（2）如图1，将一块两直角边足够长的三角板的直角顶点放在P点处，两直角边恰好分别经过点O和C．现在利用图2进行如下探究：‎ ‎①将三角板从图1中的位置开始，绕点P顺时针旋转，两直角边分别交OA、OC于点E、F，当点E和点A重合时停止旋转．请你观察、猜想，在这个过程中，的值是否发生变化？若发生变化，说明理由；若不发生变化，求出的值．‎ ‎②设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为D，顶点为M，在①的旋转过程中，是否存在点F，使△DMF为等腰三角形？若不存在，请说明理由．‎ ‎（1）∵抛物线y=mx2﹣x+n经过原点，∴n=0．‎ ‎∵对称轴为直线x=2，∴﹣=2，解得m=．‎ ‎∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x．‎ ‎（2）①的值不变．理由如下：‎ 如答图1所示，过点P作PG⊥x轴于点G，则PG=AO=2．‎ ‎∵PE⊥PF，PA⊥PG，∴∠APE=∠GPF．‎ 在Rt△PAE与Rt△PGF中，‎ ‎∵∠APE=∠GPF，∠PAE=∠PGF=90°，‎ ‎∴Rt△PAE∽Rt△PGF．‎ ‎∴==．‎ ‎②存在．‎ 抛物线的解析式为：y=x2﹣x，‎ 令y=0，即x2﹣x=0，解得：x=0或x=4，∴D（4，0）．‎ 又y=x2﹣x=（x﹣2）2﹣1，∴顶点M坐标为（2，﹣1）．‎ 若△DMF为等腰三角形，可能有三种情形：‎ ‎（I）FM=FD．如答图2所示：‎ 过点M作MN⊥x轴于点N，则MN=1，ND=2，MD===．‎ 设FM=FD=x，则NF=ND﹣FD=2﹣x．‎ 在Rt△MNF中，由勾股定理得：NF2+MN2=MF2，‎ 即：（2﹣x）2+1=x2，解得：x=，‎ ‎∴FD=，OF=OD﹣FD=4﹣=，‎ ‎∴F（，0）；‎ ‎（II）若FD=DM．如答图3所示：‎ 此时FD=DM=，∴OF=OD﹣FD=4﹣．‎ ‎∴F（4﹣，0）；‎ ‎（III）若FM=MD．‎ 由抛物线对称性可知，此时点F与原点O重合．‎ 而由题意可知，点E与点A重合后即停止运动，故点F不可能运动到原点O．‎ ‎∴此种情形不存在．‎ 综上所述，存在点F（，0）或F（4﹣，0），使△DMF为等腰三角形．‎ 如图1，两块等腰直角三角板ABC和DEF有一条边在同一条直线l上，∠ABC =∠DEF = 90°，AB = 1，DE = 2．将直线EB绕点E逆时针旋转45°，交直线AD于点M．将图1中的三角板ABC沿直线l向右平移，设C、E两点间的距离为x．‎ ‎11、‎ ‎（第11题图1）‎ C D E A F M l B ‎（第11题图2）‎ D E F(C)‎ A B M l 请你和艾思轲同学一起尝试探究下列问题：‎ ‎（1）①当点C与点F重合时，如图2所示，可得的值为 ；‎ ‎②在平移过程中，的值为 （用含x的代数式表示）；‎ ‎（2）艾思轲同学将图2中的三角板ABC绕点C逆时针旋转，原题中的其他条件保持不变．‎ 当点A落在线段DF上时，如图3所示，请你帮他补全图形，并计算的值；‎ ‎（3）艾思轲同学又将图1中的三角板ABC绕点C逆时针旋转度，，原题中的其他条件保持不变．请你计算的值（用含x的代数式表示）．‎ ‎（第11题备用图）‎ D E F l ‎（第11题图3）‎ D E F(C)‎ l A B ‎11．解：（1）① 1． ………………………………………………………………………（2分）‎ ‎②． ………………………………………………………………………（2分）‎ ‎（2）联结AE，补全图形如图1所示．…………………………………………（1分）‎ ‎∵△ABC和△DEF是等腰直角三角形，‎ ‎∠ABC =∠DEF = 90°，AB = 1，DE = 2，‎ ‎∴BC = 1，EF = 2，∠DFE =∠ACB = 45°．‎ ‎∴，，∠EFB = 90°．‎ ‎∴，∴点A为DF的中点．………………………（1分）‎ ‎∴EA⊥DF，EA平分∠DEF．‎ ‎∴∠MAE = 90°，∠AEF = 45°，．‎ ‎∵∠MEB =∠AEF = 45°，∴∠MEA =∠BEF．‎ ‎∴Rt△MAE∽Rt△BFE．……………………………………………………（1分）‎ ‎∴，∴．……………………………………………（1分）‎ ‎（第25题图1）‎ D E F(C)‎ l A B M ‎（第25题图2）‎ D E A F M l C B G ‎∴，∴．……………………（1分）‎ ‎（3）如图2，过点B作BE的垂线交直线EM于点G，联结AG．‎ ‎∵∠EBG = 90°，∠BEM = 45°，∴∠BGE = 45°．‎ ‎∴BE = BG．…………………………………………………………………（1分）‎ ‎∵∠ABC =∠EBG = 90°，∴∠ABG =∠CBE．……………………………（1分）‎ 又∵BA = BC，∴△ABG≌△CBE．………………………………………（1分）‎ ‎∴AG = CE = x，∠AGB =∠CEB．‎ ‎∵∠AGB +∠AGM =∠CEB +∠DEM = 45°，‎ ‎∴∠AGM =∠DEM，∴AG∥DE．…………………………………………（1分）‎ ‎∴．…………………………………………………………（1分）‎ 注：第（3）小题直接写出结果不得分 10、如图，抛物线：y＝ax2＋bx＋4与x轴交于点A(－2，0)和B(4，0)、与y轴交于点C．‎ ‎(1)求抛物线的解析式；‎ ‎(2)T是抛物线对称轴上的一点，且△ACT是以AC为底的等腰三角形，求点T的坐标；‎ ‎ 3)点M、Q分别从点A、B以每秒1个单位长度的速度沿x轴同时出发相向而行．当点M原点时，点Q立刻掉头并以每秒3/2个单位长度的速度向点B方向移动，当点M到达抛物线的对称轴时，两点停止运动．过点M的直线l⊥轴，交AC或BC于点P．求点M的运动时间t(秒)与△APQ的面积S的函数关系式，并求出S的最大值．‎ ‎（1)、‎ ‎⑵‎ ‎⑶‎ 9、 如图 (1)，△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB＝EF＝9，∠BAC＝∠DEF＝90°，固定△ABC，将△EFD绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止，不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE、DF（或它们的延长线）分别交BC(或它的延长线)于G、H点，如图(2). ‎ ‎(1)问：始终与△AGC相似的三角形有( )及( )； (2)设CG＝x，BH＝y，求y关于x的函数关系式(只要求根据图(2)的情况说明理由）； (3)问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形？ ‎ 解：(1)△HGA及△HAB； (2)由(1)可知△AGC∽△HAB ∴即＝，所以，y＝ (3)当CG＜BC时，∠GAC＝∠H＜∠HAC， ∴ACAG,AH>GH 此时，△AGH不可能是等腰三角形； ‎ ‎ 当CG=BC时，G为BC的中点，H与C重合， △AGH是等腰三角形; 此时，GC=，即x= 当CG>BC时， 由(1)可知△AGC∽△HGA， 所以，若△AGH是等腰三角形，只可能存在AG＝AH 若AG＝AH，则AC＝CG，此时x＝9． 综上，当x＝9或时，△AGH是等腰三角形．‎ ‎8、如图，已知二次函数y=的图象与y轴交于点A，与x轴 ‎ 交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D，连接AC．‎ ‎ (1)点A的坐标为_______ ，点C的坐标为_______ ；‎ ‎ (2)线段AC上是否存在点E，使得△EDC为等腰三角形?若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎ (3)点P为x轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，若所得△PAC的面积为S，则S取何值时，相应的点P有且只有2个?‎ ‎28．解：（1）A（0，4），C（8，0）．…………………………………………………………2分 ‎（2）易得D（3，0），CD=5．设直线AC对应的函数关系式为，‎ 则 解得 ∴． ……………………………………3分 ‎ ‎①当DE=DC时，∵OA=4，OD=3．∴DA=5，∴（0，4）． ………………………4分 ‎②当ED=EC时，可得（，）．……………5分 ‎③当CD=CE时，如图，过点E作EG⊥CD，‎ 则△CEG ∽△CAO，∴．‎ 即，，∴（，）．……………………………………6分 综上，符合条件的点E有三个：（0，4），（，），（，）．‎ ‎（3）如图，过P作PH⊥OC，垂足为H，交直线AC于点Q．‎ 设P（m，），则Q（，）．‎ ‎①当时， ‎ PQ=（）()=，‎ ‎，…………………………7分 ‎∴； ……………………………………………………………………………8分 ‎②当时， ‎ PQ=（）()=，‎ ‎，‎ ‎∴．………………………………………………………………………………9分 故时，相应的点P有且只有两个．………………………………………………10分 ‎7、如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B． ‎ ‎（1）求抛物线的解析式 ‎（2）在抛物线上求点M，使△MOB的面积是△AOB面积的2倍； （3）点C在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点P，使以O、B、P、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出P的坐标；若不存在，说明理由。‎