中考数学压轴题 33页

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  • 2021-05-10 发布

中考数学压轴题

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‎1、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10cm,AC:BC=4:3,点P从点A出发沿AB方向向点B运动,速度为1cm/s,同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动,速度为2cm/s,当一个运动点到达终点时,另一个运动点也随之停止运动.‎ ‎(1)求AC、BC的长;‎ ‎(2)设点P的运动时间为x(秒),△PBQ的面积为y(cm2),当△PBQ存在时,求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;‎ ‎(3)当点Q在CA上运动,使PQ⊥AB时,以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC是否相似,请说明理由;‎ ‎(4)当x=5秒时,在直线PQ上是否存在一点M,使△BCM得周长最小,若存在,求出最小周长,若不存在,请说明理由.‎ 解:(1)设AC=4x,BC=3x,在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,‎ 即:(4x)2+(3x)2=102,解得:x=2,∴AC=8cm,BC=6cm;‎ ‎(2)①当点Q在边BC上运动时,过点Q作QH⊥AB于H,‎ ‎∵AP=x,∴BP=10﹣x,BQ=2x,∵△QHB∽△ACB,‎ ‎∴,∴QH=x,y=BP•QH=(10﹣x)•x=﹣x2+8x(0<x≤3),‎ ‎②当点Q在边CA上运动时,过点Q作QH′⊥AB于H′,‎ ‎∵AP=x,‎ ‎∴BP=10﹣x,AQ=14﹣2x,∵△AQH′∽△ABC,‎ ‎∴,即:,解得:QH′=(14﹣x),‎ ‎∴y=PB•QH′=(10﹣x)•(14﹣x)=x2﹣x+42(3<x<7);‎ ‎∴y与x的函数关系式为:y=;‎ ‎(3)∵AP=x,AQ=14﹣x,‎ ‎∵PQ⊥AB,∴△APQ∽△ACB,∴,即:,‎ 解得:x=,PQ=,∴PB=10﹣x=,∴,‎ ‎∴当点Q在CA上运动,使PQ⊥AB时,以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC不相似;‎ ‎(4)存在.‎ 理由:∵AQ=14﹣2x=14﹣10=4,AP=x=5,∵AC=8,AB=10,‎ ‎∴PQ是△ABC的中位线,∴PQ∥AB,∴PQ⊥AC,‎ ‎∴PQ是AC的垂直平分线,∴PC=AP=5,∴当点M与P重合时,△BCM的周长最小,‎ ‎∴△BCM的周长为:MB+BC+MC=PB+BC+PC=5+6+5=16.∴△BCM的周长最小值为16.‎ ‎2、(12分) 如图,矩形ABCD中,点P在边CD上,且与点C、 D不重合,过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q,连接PQ,PQ的中点为M.‎ ‎(1)求证:△ADP∽△ABQ;‎ ‎(2)若AD=10,AB=20,点P在边CD上运动,设DP=x, BM 2=y,求y与x的函数关系式,并求线段BM长的最小值;‎ ‎(3)若AD=10, AB=a, DP=8,随着a的大小的变化,点M的位置也在变化,当点M落在矩形ABCD外部时,求a的取值范围。‎ 解:(1)证明:∵ 四边形ABCD是矩形 ∴∠ADP=∠ABC=∠BAD=90°‎ ‎∵∠ABC+∠ABQ=180°‎ ‎10‎ x ‎20-x N ‎∴∠ABQ=∠ADP =90°‎ ‎∵AQ⊥AP ∴∠PAQ=90°‎ ‎∴∠QAB+ ∠BAP=90°‎ 又∵∠PAD+∠BAP=90°‎ ‎∴∠PAD=∠QAB 在△ADP与△ABQ中 ‎∵‎ ‎∴△ADP∽△ABQ ‎(2)如图,作MN⊥QC,则∠QNM=∠QCD=90°‎ 又∵∠MQN=∠PQC ‎∴△MQN∽△PQC ∴‎ ‎∵点M是PQ的中点 ∴‎ ‎∴‎ 又∵‎ ‎∴ ‎ ‎∵△ADP∽△ABQ ‎∴ ∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ 在Rt△MBN中,由勾股定理得:‎ 即: ‎ ‎10‎ ‎8‎ A B C P D Q M ‎10‎ a ‎10‎ 当即时,线段BM长的最小值.‎ ‎ (3)如图,当点PQ中点M落在AB上时,此时QB=BC=10‎ 由△ADP∽△ABQ得解得: ‎ ‎∴随着a的大小的变化,点M的位置也在变化,‎ 当点M落在矩形ABCD外部时,求a的取值范围为:‎ ‎3、如图,抛物线关于直线对称,与坐标轴交于三点,且,点在抛物线上,直线是一次函数的图象,点是坐标原点.(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)若直线平分四边形的面积,求的值.‎ ‎(3)把抛物线向左平移1个单位,再向下平移2个单位,所得抛物线与直线交于两点,问在轴正半轴上是否存在一定点,使得不论取何值,直线与总是关于轴对称?若存在,求出点坐标;若不存在,请说明理由.‎ 答案:(1)因为抛物线关于直线x=1对称,AB=4,所以A(-1,0),B(3,0),‎ 由点D(2,1.5)在抛物线上,所以,所以3a+3b=1.5,即a+b=0.5,‎ 又,即b=-2a,代入上式解得a=-0.5,b=1,从而c=1.5,所以.‎ ‎24.(14分)(2013•温州)如图,在平面直角坐标系中,直线AB与x轴,y轴分别交于点A(6,0),B(0.8),点C的坐标为(0,m),过点C作CE⊥AB于点E,点D为x轴上的一动点,连接CD,DE,以CD,DE为边作▱CDEF.‎ ‎(1)当0<m<8时,求CE的长(用含m的代数式表示);‎ ‎(2)当m=3时,是否存在点D,使▱CDEF的顶点F恰好落在y轴上?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由;‎ ‎(3)点D在整个运动过程中,若存在唯一的位置,使得▱CDEF为矩形,请求出所有满足条件的m的值.‎ 解答:‎ 解:(1)∵A(6,0),B(0,8).‎ ‎∴OA=6,OB=8.‎ ‎∴AB=10,‎ ‎∵∠CEB=∠AOB=90°,‎ 又∵∠OBA=∠EBC,‎ ‎∴△BCE∽△BAO,‎ ‎∴=,即=,‎ ‎∴CE=﹣m;‎ ‎(2)∵m=3,‎ ‎∴BC=8﹣m=5,CE=﹣m=3.‎ ‎∴BE=4,‎ ‎∴AE=AB﹣BE=6.‎ ‎∵点F落在y轴上(如图2).‎ ‎∴DE∥BO,‎ ‎∴△EDA∽△BOA,‎ ‎∴=即=.‎ ‎∴OD=,‎ ‎∴点D的坐标为(,0).‎ ‎(3)取CE的中点P,过P作PG⊥y轴于点G.‎ 则CP=CE=﹣m.‎ ‎(Ⅰ)当m>0时,‎ ‎①当0<m<8时,如图3.易证∠GCP=∠BAO,‎ ‎∴cos∠GCP=cos∠BAO=,‎ ‎∴CG=CP•cos∠GCP=(﹣m)=﹣m.‎ ‎∴OG=OC+OG=m+﹣m=m+.‎ 根据题意得,得:OG=CP,‎ ‎∴m+=﹣m,‎ 解得:m=;‎ ‎②当m≥8时,OG>CP,显然不存在满足条件的m的值.‎ ‎(Ⅱ)当m=0时,即点C与原点O重合(如图4).‎ ‎(Ⅲ)当m<0时,‎ ‎①当点E与点A重合时,(如图5),‎ 易证△COA∽△AOB,‎ ‎∴=,即=,‎ 解得:m=﹣.‎ ‎②当点E与点A不重合时,(如图6).‎ OG=OC﹣OG=﹣m﹣(﹣m)‎ ‎=﹣m﹣.‎ 由题意得:OG=CP,‎ ‎∴﹣m﹣=﹣m.‎ 解得m=﹣.‎ 综上所述,m的值是或0或﹣或﹣.‎ ‎28、如图,过原点的直线l1:y=3x,l2:y=x.点P从原点O出发沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动.直线PQ交y轴正半轴于点Q,且分别交l1、l2于点A、B.设点P的运动时间为t秒时,直线PQ的解析式为y=﹣x+t.△AOB的面积为Sl(如图①).以AB为对角线作正方形ACBD,其面积为S2(如图②).连接PD并延长,交l1于点E,交l2于点F.设△PEA的面积为S3;(如图③)‎ ‎(1)Sl关于t的函数解析式为 _________ ;(2)直线OC的函数解析式为 _________ ;‎ ‎(3)S2关于t的函数解析式为 _________ ;(4)S3关于t的函数解析式为 _________ .‎ 解:(1)由,‎ 得,‎ ‎∴A点坐标为(,)‎ 由 得 ‎∴B点坐标为(,).‎ ‎∴S1=S△AOP﹣S△BOP=t2(2)由(1)得,点C的坐标为(,).‎ 设直线OC的解析式为y=kx,根据题意得=,‎ ‎∴k=,‎ ‎∴直线OC的解析式为y=x.‎ ‎(3)由(1)、(2)知,正方形ABCD的边长CB=t﹣=,‎ ‎∴S2=CB2=()2=.‎ ‎(4)设直线PD的解析式为y=k1x+b,由(1)知,点D的坐标为(t,),‎ 将P(t,0)、D()代入得,‎ 解得 ‎∴直线PD的解析式为y= 由,‎ 得 ‎∴E点坐标为(,)‎ ‎∴S3=S△EOP﹣S△AOP=t•t﹣t•t=t2.‎ ‎25.(10分)(2013•天津)在平面直角坐标系中,已知点A(﹣2,0),点B(0,4),点E在OB上,且∠OAE=∠0BA.‎ ‎(Ⅰ)如图①,求点E的坐标;‎ ‎(Ⅱ)如图②,将△AEO沿x轴向右平移得到△A′E′O′,连接A′B、BE′.‎ ‎①设AA′=m,其中0<m<2,试用含m的式子表示A′B2+BE′2,并求出使A′B2+BE′2取得最小值时点E′的坐标;‎ ‎②当A′B+BE′取得最小值时,求点E′的坐标(直接写出结果即可).‎ 考点:‎ 相似形综合题.3718684‎ 分析:‎ ‎(Ⅰ)根据相似三角形△OAE∽△OBA的对应边成比例得到=,则易求OE=1‎ ‎,所以E(0,1);‎ ‎(Ⅱ)如图②,连接EE′.在Rt△A′BO中,勾股定理得到A′B2=(2﹣m)2+42=m2﹣4m+20,在Rt△BE′E中,利用勾股定理得到BE′2=E′E2+BE2=m2+9,则 A′B2+BE′2=2m2﹣4m+29=2(m﹣1)2+27.所以由二次函数最值的求法知,当m=1即点E′的坐标是(1,1)时,A′B2+BE′2取得最小值.‎ 解答:‎ 解:(Ⅰ)如图①,∵点A(﹣2,0),点B(0,4),‎ ‎∴OA=2,OB=4.‎ ‎∵∠OAE=∠0BA,∠EOA=∠AOB=90°,‎ ‎∴△OAE∽△OBA,‎ ‎∴=,即=,‎ 解得,OE=1,‎ ‎∴点E的坐标为(0,1);‎ ‎(Ⅱ)①如图②,连接EE′.‎ 由题设知AA′=m(0<m<2),则A′O=2﹣m.‎ 在Rt△A′BO中,由A′B2=A′O2+BO2,得A′B2=(2﹣m)2+42=m2﹣4m+20.‎ ‎∵△A′E′O′是△AEO沿x轴向右平移得到的,‎ ‎∴EE′∥AA′,且EE′=AA′.‎ ‎∴∠BEE′=90°,EE′=m.‎ 又BE=OB﹣OE=3,‎ ‎∴在Rt△BE′E中,BE′2=E′E2+BE2=m2+9,‎ ‎∴A′B2+BE′2=2m2﹣4m+29=2(m﹣1)2+27.‎ 当m=1时,A′B2+BE′2可以取得最小值,此时,点E′的坐标是(1,1).‎ ‎②如图②,过点A作AB′⊥x,并使AB′=BE=3.‎ 易证△AB′A′≌△EBE′,‎ ‎∴B′A=BE′,‎ ‎∴A′B+BE′=A′B+B′A′.‎ 当点B、A′、B′在同一条直线上时,A′B+B′A′最小,即此时A′B+BE′取得最小值.‎ 易证△AB′A′∽△OBA′,‎ ‎∴==,‎ ‎∴AA′=×2=,‎ ‎∴EE′=AA′=,‎ ‎∴点E′的坐标是(,1).‎ 点评:‎ 本题综合考查了相似三角形的判定与性质、平移的性质以及勾股定理等知识点.此题难度较大,需要学生对知识有一个系统的掌握.‎ ‎17、(12分)(2013•雅安)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣3,0),B(1,0),C(0,3)三点,其顶点为D,对称轴是直线l,l与x轴交于点H.‎ ‎(1)求该抛物线的解析式;‎ ‎(2)若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点,求△PBC周长的最小值;‎ ‎(3)如图(2),若E是线段AD上的一个动点( E与A、D不重合),过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F,交x轴于点G,设点E的横坐标为m,△ADF的面积为S.‎ ‎①求S与m的函数关系式;‎ ‎②S是否存在最大值?若存在,求出最大值及此时点E的坐标; 若不存在,请说明理由.‎ 解:(1)由题意可知:‎ 解得:‎ ‎∴抛物线的解析式为:y=﹣x2﹣2x+3;‎ ‎(2)∵△PBC的周长为:PB+PC+BC ‎∵BC是定值,‎ ‎∴当PB+PC最小时,△PBC的周长最小,‎ ‎∵点A、点B关于对称轴I对称,‎ ‎∴连接AC交l于点P,即点P为所求的点 ‎∵AP=BP ‎∴△PBC的周长最小是:PB+PC+BC=AC+BC ‎∵A(﹣3,0),B(1,0),C(0,3),‎ ‎∴AC=3,BC=;‎ ‎(3)①∵抛物线y=﹣x2﹣2x+3顶点D的坐标为(﹣1,4)‎ ‎∵A(﹣3,0)‎ ‎∴直线AD的解析式为y=2x+6‎ ‎∵点E的横坐标为m,‎ ‎∴E(m,2m+6),F(m,﹣m2﹣2m+3)‎ ‎∴EF=﹣m2﹣2m+3﹣(2m+6)‎ ‎=﹣m2﹣4m﹣3‎ ‎∴S=S△DEF+S△AEF ‎=EF•GH+EF•AC ‎=EF•AH ‎=(﹣m2﹣4m﹣3)×2‎ ‎=﹣m2﹣4m﹣3;‎ ‎②S=﹣m2﹣4m﹣3‎ ‎=﹣(m+2)2+1;‎ ‎∴当m=﹣2时,S最大,最大值为1‎ 此时点E的坐标为(﹣2,2).‎ ‎16、(12分)(2013•南昌)已知抛物线yn=﹣(x﹣an)2+an(n为正整数,且0<a1<a2<…<an)与x轴的交点为An﹣1(bn﹣1,0)和An(bn,0),当n=1时,第1条抛物线y1=﹣(x﹣a1)2+a1与x轴的交点为A0(0,0)和A1(b1,0),其他依此类推.‎ ‎(1)求a1,b1的值及抛物线y2的解析式;‎ ‎(2)抛物线y3的顶点坐标为(   ,   );依此类推第n条抛物线yn的顶点坐标为(   ,   );所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是   ;‎ ‎(3)探究下列结论:‎ ‎①若用An﹣1An表示第n条抛物线被x轴截得的线段长,直接写出A0A1的值,并求出An﹣1An;‎ ‎②是否存在经过点A(2,0)的直线和所有抛物线都相交,且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等?若存在,直接写出直线的表达式;若不存在,请说明理由.‎ 解:(1)∵当n=1时,第1条抛物线y1=﹣(x﹣a1)2+a1与x轴的交点为A0(0,0),‎ ‎∴0=﹣(0﹣a1)2+a1,解得a1=1或a1=0.‎ 由已知a1>0,∴a1=1,‎ ‎∴y1=﹣(x﹣1)2+1.‎ 令y1=0,即﹣(x﹣1)2+1=0,解得x=0或x=2,‎ ‎∴A1(2,0),b1=2.‎ 由题意,当n=2时,第2条抛物线y2=﹣(x﹣a2)2+a2经过点A1(2,0),‎ ‎∴0=﹣(2﹣a2)2+a2,解得a2=1或a2=4,‎ ‎∵a1=1,且已知a2>a1,‎ ‎∴a2=4,‎ ‎∴y2=﹣(x﹣4)2+4.‎ ‎∴a1=1,b1=2,y2=﹣(x﹣4)2+4.‎ ‎(2)抛物线y2=﹣(x﹣4)2+4,令y2=0,即﹣(x﹣4)2+4=0,解得x=2或x=6.‎ ‎∵A1(2,0),‎ ‎∴A2(6,0).‎ 由题意,当n=3时,第3条抛物线y3=﹣(x﹣a3)2+a3经过点A2(6,0),‎ ‎∴0=﹣(6﹣a3)2+a3,解得a3=4或a3=9.‎ ‎∵a2=4,且已知a3>a2,‎ ‎∴a3=9,‎ ‎∴y3=﹣(x﹣9)2+9.‎ ‎∴y3的顶点坐标为(9,9).‎ 由y1的顶点坐标(1,1),y2的顶点坐标(4,4),y3的顶点坐标(9,9),‎ 依此类推,yn的顶点坐标为(n2,n2).‎ ‎∵所有抛物线顶点的横坐标等于纵坐标,‎ ‎∴顶点坐标满足的函数关系式是:y=x.‎ ‎(3)①∵A0(0,0),A1(2,0),‎ ‎∴A0A1=2.‎ yn=﹣(x﹣n2)2+n2,令yn=0,即﹣(x﹣n2)2+n2=0,‎ 解得x=n2+n或x=n2﹣n,‎ ‎∴An﹣1(n2﹣n,0),An(n2+n,0),即An﹣1An=(n2+n)﹣(n2﹣n)=2n.‎ ‎②存在.‎ 设过点(2,0)的直线解析式为y=kx+b,则有:0=2k+b,得b=﹣2k,‎ ‎∴y=kx﹣2k.‎ 设直线y=kx﹣2k与抛物线yn=﹣(x﹣n2)2+n2交于E(x1,y1),F(x2,y2)两点,‎ 联立两式得:kx﹣2k=﹣(x﹣n2)2+n2,整理得:x2+(k﹣2n2)x+n4﹣n2﹣2k=0,‎ ‎∴x1+x2=2n2﹣k,x1•x2=n4﹣n2﹣2k.‎ 过点F作FG⊥x轴,过点E作EG⊥FG于点G,则EG=x2﹣x1,‎ FG=y2﹣y1=[﹣(x2﹣n2)2+n2]﹣[﹣(x1﹣n2)2+n2]=(x1+x2﹣2n2)(x1﹣x2)=k(x2﹣x1).‎ 在Rt△EFG中,由勾股定理得:EF2=EG2+FG2,‎ 即:EF2=(x2﹣x1)2+[k(x2﹣x1)]2=(k2+1)(x2﹣x1)2=(k2+1)[(x1+x2)2﹣4x1•x2],‎ 将x1+x2=2n2﹣k,x1•x2=n4﹣n2﹣2k代入,整理得:EF2=(k2+1)[4n2•(1﹣k)+k2+8k],‎ 当k=1时,EF2=(1+1)(1+8)=9,∴EF=3为定值,‎ ‎∴k=1满足条件,此时直线解析式为y=x﹣2.‎ ‎∴存在满足条件的直线,该直线的解析式为y=x﹣2.‎ ‎15.(2012义乌市)如图1,已知直线y=kx与抛物线y=交于点A(3,6).‎ ‎(1)求直线y=kx的解析式和线段OA的长度;‎ ‎(2)点P为抛物线第一象限内的动点,过点P作直线PM,交x轴于点M(点M、O不重合),交直线OA于点Q,再过点Q作直线PM的垂线,交y轴于点N.试探究:线段QM与线段QN的长度之比是否为定值?如果是,求出这个定值;如果不是,说明理由;‎ ‎(3)如图2,若点B为抛物线上对称轴右侧的点,点E在线段OA上(与点O、A不重合),点D(m,0)是x轴正半轴上的动点,且满足∠BAE=∠BED=∠AOD.继续探究:m在什么范围时,符合条件的E点的个数分别是1个、2个?‎ 解答:解:(1)把点A(3,6)代入y=kx 得;‎ ‎∵6=3k,‎ ‎∴k=2,‎ ‎∴y=2x.(2012义乌市)‎ OA=.…(3分)‎ ‎(2)是一个定值,理由如下:‎ 如答图1,过点Q作QG⊥y轴于点G,QH⊥x轴于点H.‎ ‎①当QH与QM重合时,显然QG与QN重合,‎ 此时;‎ ‎②当QH与QM不重合时,‎ ‎∵QN⊥QM,QG⊥QH 不妨设点H,G分别在x、y轴的正半轴上,‎ ‎∴∠MQH=∠GQN,‎ 又∵∠QHM=∠QGN=90°‎ ‎∴△QHM∽△QGN…(5分),‎ ‎∴,‎ 当点P、Q在抛物线和直线上不同位置时,同理可得. …(7分)①①‎ ‎(3)如答图2,延长AB交x轴于点F,过点F作FC⊥OA于点C,过点A作AR⊥x轴于点R ‎∵∠AOD=∠BAE,‎ ‎∴AF=OF,‎ ‎∴OC=AC=OA=‎ ‎∵∠ARO=∠FCO=90°,∠AOR=∠FOC,‎ ‎∴△AOR∽△FOC,‎ ‎∴,‎ ‎∴OF=,‎ ‎∴点F(,0),‎ 设点B(x,),‎ 过点B作BK⊥AR于点K,则△AKB∽△ARF,‎ ‎∴,‎ 即,‎ 解得x1=6,x2=3(舍去),‎ ‎∴点B(6,2),‎ ‎∴BK=6﹣3=3,AK=6﹣2=4,‎ ‎∴AB=5 …(8分);‎ ‎(求AB也可采用下面的方法)‎ 设直线AF为y=kx+b(k≠0)把点A(3,6),点F(,0)代入得 k=,b=10,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴(舍去),,‎ ‎∴B(6,2),‎ ‎∴AB=5…(8分)‎ ‎(其它方法求出AB的长酌情给分)‎ 在△ABE与△OED中 ‎∵∠BAE=∠BED,‎ ‎∴∠ABE+∠AEB=∠DEO+∠AEB,‎ ‎∴∠ABE=∠DEO,‎ ‎∵∠BAE=∠EOD,‎ ‎∴△ABE∽△OED.…(9分)‎ 设OE=x,则AE=﹣x (),‎ 由△ABE∽△OED得,‎ ‎∴‎ ‎∴()…(10分)‎ ‎∴顶点为(,)‎ 如答图3,当时,OE=x=,此时E点有1个;‎ 当时,任取一个m的值都对应着两个x值,此时E点有2个.‎ ‎∴当时,E点只有1个…(11分)‎ 当时,E点有2个…(12分).‎ 已知一个直角三角形纸片OAB,其中∠AOB=90°,OA=2,OB=4,如图,将该纸片放置在平面直角坐标系中,折叠该纸片,折痕与边OB交于点C,与边AB交于点D。‎ ‎(Ⅰ)若折叠后使点B与点A重合,求点C的坐标; (Ⅱ)若折叠后点B落在边OA上的点为B′,设OB′=x,OC=y,试写出y关于x的函数解析式,并确定y的取值范围; (Ⅲ)若折叠后点B落在边OA上的点为B′,且使B′D∥OB,求此时点C的坐标。‎ 解:(Ⅰ)如图(1),折叠后点B与点A重合,连接AC, 则△ACD≌△BCD, 设点C的坐标为(0,m)(m>0), 则BC=OB-OC=4-m, ‎ 于是AC=BC=4-m, 在Rt△AOC中,由勾股定理,得AC2=OC2+OA2, 即(4-m)2=m2+22,解得m=, ∴点C的坐标为;‎ ‎(Ⅱ)如图(2),折叠后点B落在OA边上的点为B′连接B′C,B′D, 则△B′CD≌△BCD, 由题设OB′=x,OC=y, 则B′C=BC=OB-OC=4-y, 在Rt△B′OC中,由勾股定理, 得B′C2=OC2+OB′2, ∴(4-y)2=y2+x2, 即, 由点B′在边OA上,有0≤x≤2, ∴解析式(0≤x≤2)为所求, ∵当0≤x≤2时,y随x的增大而减小, ∴y的取值范围为;‎ ‎(Ⅲ)如图(3),折叠后点B落在OA边上的点为B′,连接B′C,B′D,B′D∥OB, 则∠OCB′=∠CB′D, 又∵∠CBD=∠CB′D, ∴∠CB′=∠CBD, ∴CB′∥BA, ∴Rt△COB′∽Rt△BOA, 有, 得OC=20B′, 在Rt△B′OC中,设OB′=x0(x0>0),则OC=2x0, 由(Ⅱ)的结论,得2x0=, 解得x0=, ∵x0>0, ∴x0=, ∴点C的坐标为。‎ ‎12、在平面直角坐标系xOy中,矩形ABCO的顶点A、C分别在y轴、x轴正半轴上,点P在AB上,PA=1,AO=2.经过原点的抛物线y=mx2﹣x+n的对称轴是直线x=2.‎ ‎(1)求出该抛物线的解析式.‎ ‎(2)如图1,将一块两直角边足够长的三角板的直角顶点放在P点处,两直角边恰好分别经过点O和C.现在利用图2进行如下探究:‎ ‎①将三角板从图1中的位置开始,绕点P顺时针旋转,两直角边分别交OA、OC于点E、F,当点E和点A重合时停止旋转.请你观察、猜想,在这个过程中,的值是否发生变化?若发生变化,说明理由;若不发生变化,求出的值.‎ ‎②设(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为D,顶点为M,在①的旋转过程中,是否存在点F,使△DMF为等腰三角形?若不存在,请说明理由.‎ ‎(1)∵抛物线y=mx2﹣x+n经过原点,∴n=0.‎ ‎∵对称轴为直线x=2,∴﹣=2,解得m=.‎ ‎∴抛物线的解析式为:y=x2﹣x.‎ ‎(2)①的值不变.理由如下:‎ 如答图1所示,过点P作PG⊥x轴于点G,则PG=AO=2.‎ ‎∵PE⊥PF,PA⊥PG,∴∠APE=∠GPF.‎ 在Rt△PAE与Rt△PGF中,‎ ‎∵∠APE=∠GPF,∠PAE=∠PGF=90°,‎ ‎∴Rt△PAE∽Rt△PGF.‎ ‎∴==.‎ ‎②存在.‎ 抛物线的解析式为:y=x2﹣x,‎ 令y=0,即x2﹣x=0,解得:x=0或x=4,∴D(4,0).‎ 又y=x2﹣x=(x﹣2)2﹣1,∴顶点M坐标为(2,﹣1).‎ 若△DMF为等腰三角形,可能有三种情形:‎ ‎(I)FM=FD.如答图2所示:‎ 过点M作MN⊥x轴于点N,则MN=1,ND=2,MD===.‎ 设FM=FD=x,则NF=ND﹣FD=2﹣x.‎ 在Rt△MNF中,由勾股定理得:NF2+MN2=MF2,‎ 即:(2﹣x)2+1=x2,解得:x=,‎ ‎∴FD=,OF=OD﹣FD=4﹣=,‎ ‎∴F(,0);‎ ‎(II)若FD=DM.如答图3所示:‎ 此时FD=DM=,∴OF=OD﹣FD=4﹣.‎ ‎∴F(4﹣,0);‎ ‎(III)若FM=MD.‎ 由抛物线对称性可知,此时点F与原点O重合.‎ 而由题意可知,点E与点A重合后即停止运动,故点F不可能运动到原点O.‎ ‎∴此种情形不存在.‎ 综上所述,存在点F(,0)或F(4﹣,0),使△DMF为等腰三角形.‎ 如图1,两块等腰直角三角板ABC和DEF有一条边在同一条直线l上,∠ABC =∠DEF = 90°,AB = 1,DE = 2.将直线EB绕点E逆时针旋转45°,交直线AD于点M.将图1中的三角板ABC沿直线l向右平移,设C、E两点间的距离为x.‎ ‎11、‎ ‎(第11题图1)‎ C D E A F M l B ‎(第11题图2)‎ D E F(C)‎ A B M l 请你和艾思轲同学一起尝试探究下列问题:‎ ‎(1)①当点C与点F重合时,如图2所示,可得的值为 ;‎ ‎②在平移过程中,的值为 (用含x的代数式表示);‎ ‎(2)艾思轲同学将图2中的三角板ABC绕点C逆时针旋转,原题中的其他条件保持不变.‎ 当点A落在线段DF上时,如图3所示,请你帮他补全图形,并计算的值;‎ ‎(3)艾思轲同学又将图1中的三角板ABC绕点C逆时针旋转度,,原题中的其他条件保持不变.请你计算的值(用含x的代数式表示).‎ ‎(第11题备用图)‎ D E F l ‎(第11题图3)‎ D E F(C)‎ l A B ‎11.解:(1)① 1. ………………………………………………………………………(2分)‎ ‎②. ………………………………………………………………………(2分)‎ ‎(2)联结AE,补全图形如图1所示.…………………………………………(1分)‎ ‎∵△ABC和△DEF是等腰直角三角形,‎ ‎∠ABC =∠DEF = 90°,AB = 1,DE = 2,‎ ‎∴BC = 1,EF = 2,∠DFE =∠ACB = 45°.‎ ‎∴,,∠EFB = 90°.‎ ‎∴,∴点A为DF的中点.………………………(1分)‎ ‎∴EA⊥DF,EA平分∠DEF.‎ ‎∴∠MAE = 90°,∠AEF = 45°,.‎ ‎∵∠MEB =∠AEF = 45°,∴∠MEA =∠BEF.‎ ‎∴Rt△MAE∽Rt△BFE.……………………………………………………(1分)‎ ‎∴,∴.……………………………………………(1分)‎ ‎(第25题图1)‎ D E F(C)‎ l A B M ‎(第25题图2)‎ D E A F M l C B G ‎∴,∴.……………………(1分)‎ ‎(3)如图2,过点B作BE的垂线交直线EM于点G,联结AG.‎ ‎∵∠EBG = 90°,∠BEM = 45°,∴∠BGE = 45°.‎ ‎∴BE = BG.…………………………………………………………………(1分)‎ ‎∵∠ABC =∠EBG = 90°,∴∠ABG =∠CBE.……………………………(1分)‎ 又∵BA = BC,∴△ABG≌△CBE.………………………………………(1分)‎ ‎∴AG = CE = x,∠AGB =∠CEB.‎ ‎∵∠AGB +∠AGM =∠CEB +∠DEM = 45°,‎ ‎∴∠AGM =∠DEM,∴AG∥DE.…………………………………………(1分)‎ ‎∴.…………………………………………………………(1分)‎ 注:第(3)小题直接写出结果不得分 10、如图,抛物线:y=ax2+bx+4与x轴交于点A(-2,0)和B(4,0)、与y轴交于点C.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)T是抛物线对称轴上的一点,且△ACT是以AC为底的等腰三角形,求点T的坐标;‎ ‎ 3)点M、Q分别从点A、B以每秒1个单位长度的速度沿x轴同时出发相向而行.当点M原点时,点Q立刻掉头并以每秒3/2个单位长度的速度向点B方向移动,当点M到达抛物线的对称轴时,两点停止运动.过点M的直线l⊥轴,交AC或BC于点P.求点M的运动时间t(秒)与△APQ的面积S的函数关系式,并求出S的最大值.‎ ‎(1)、‎ ‎⑵‎ ‎⑶‎ 9、 如图 (1),△ABC与△EFD为等腰直角三角形,AC与DE重合,AB=EF=9,∠BAC=∠DEF=90°,固定△ABC,将△EFD绕点A顺时针旋转,当DF边与AB边重合时,旋转中止,不考虑旋转开始和结束时重合的情况,设DE、DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线)于G、H点,如图(2). ‎ ‎(1)问:始终与△AGC相似的三角形有( )及( ); (2)设CG=x,BH=y,求y关于x的函数关系式(只要求根据图(2)的情况说明理由); (3)问:当x为何值时,△AGH是等腰三角形? ‎ 解:(1)△HGA及△HAB; (2)由(1)可知△AGC∽△HAB ∴即=,所以,y= (3)当CG<BC时,∠GAC=∠H<∠HAC, ∴ACAG,AH>GH 此时,△AGH不可能是等腰三角形; ‎ ‎ 当CG=BC时,G为BC的中点,H与C重合, △AGH是等腰三角形; 此时,GC=,即x= 当CG>BC时, 由(1)可知△AGC∽△HGA, 所以,若△AGH是等腰三角形,只可能存在AG=AH 若AG=AH,则AC=CG,此时x=9. 综上,当x=9或时,△AGH是等腰三角形.‎ ‎8、如图,已知二次函数y=的图象与y轴交于点A,与x轴 ‎ 交于B、C两点,其对称轴与x轴交于点D,连接AC.‎ ‎ (1)点A的坐标为_______ ,点C的坐标为_______ ;‎ ‎ (2)线段AC上是否存在点E,使得△EDC为等腰三角形?若存在,求出所有符合条件的点E的坐标;若不存在,请说明理由;‎ ‎ (3)点P为x轴上方的抛物线上的一个动点,连接PA、PC,若所得△PAC的面积为S,则S取何值时,相应的点P有且只有2个?‎ ‎28.解:(1)A(0,4),C(8,0).…………………………………………………………2分 ‎(2)易得D(3,0),CD=5.设直线AC对应的函数关系式为,‎ 则 解得 ∴. ……………………………………3分 ‎ ‎①当DE=DC时,∵OA=4,OD=3.∴DA=5,∴(0,4). ………………………4分 ‎②当ED=EC时,可得(,).……………5分 ‎③当CD=CE时,如图,过点E作EG⊥CD,‎ 则△CEG ∽△CAO,∴.‎ 即,,∴(,).……………………………………6分 综上,符合条件的点E有三个:(0,4),(,),(,).‎ ‎(3)如图,过P作PH⊥OC,垂足为H,交直线AC于点Q.‎ 设P(m,),则Q(,).‎ ‎①当时, ‎ PQ=()()=,‎ ‎,…………………………7分 ‎∴; ……………………………………………………………………………8分 ‎②当时, ‎ PQ=()()=,‎ ‎,‎ ‎∴.………………………………………………………………………………9分 故时,相应的点P有且只有两个.………………………………………………10分 ‎7、如图,抛物线的顶点为A(2,1),且经过原点O,与x轴的另一个交点为B. ‎ ‎(1)求抛物线的解析式 ‎(2)在抛物线上求点M,使△MOB的面积是△AOB面积的2倍; (3)点C在抛物线的对称轴上,在抛物线上是否存在点P,使以O、B、P、C为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出P的坐标;若不存在,说明理由。‎