2015中考数学真题分类汇编一元二次方程根与系数的关系解析 24页

‎2015中考数学真题分类汇编：一元二次方程根与系数的关系 一．选择题（共10小题）‎ ‎1．（2015•金华）一元二次方程x2+4x﹣3=0的两根为x1、x2，则x1•x2的值是（　　）‎ A． 4 B． ﹣4 C． 3 D． ﹣3‎ ‎2．（2015•枣庄）已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则m+n的值是（　　）‎ A． ﹣10 B． 10 C． ﹣6 D． 2‎ ‎3．（2015•黔东南州）设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两根，则x12+x22=（　　）‎ A． 6 B． 8 C． 10 D． 12‎ ‎4．（2015•衡阳）若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣1，则另一个根为（　　）‎ A． ﹣2 B． 2 C． 4 D． ﹣3‎ ‎5．（2015•南充）关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②（m﹣1）2+（n﹣1）2≥2；③﹣1≤2m﹣2n≤1，其中正确结论的个数是（　　）‎ A． 0个 B． 1个 C． 2个 D． 3个 ‎6．（2015•广西）已知实数x1，x2满足x1+x2=7，x1x2=12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（　　）‎ A． x2﹣7x+12=0 B． x2+7x+12=0 C． x2+7x﹣12=0 D． x2﹣7x﹣12=0‎ ‎7．（2014•防城港）x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m使+=0成立？则正确的结论是（　　）‎ A． m=0时成立 B． m=2时成立 C． m=0或2时成立 D． 不存在 ‎8．（2014•呼和浩特）已知函数y=的图象在第一象限的一支曲线上有一点A（a，c），点B（b，c+1）在该函数图象的另外一支上，则关于一元二次方程ax2+bx+c=0的两根x1，x2判断正确的是（　　）‎ A． x1+x2＞1，x1•x2＞0‎ B． x1+x2＜0，x1•x2＞0‎ C． 0＜x1+x2＜1，x1•x2＞0‎ D． x1+x2与x1•x2的符号都不确定 ‎9．（2014•烟台）关于x的方程x2﹣ax+2a=0的两根的平方和是5，则a的值是（　　）‎ A． ﹣1或5 B． 1 C． 5 D． ﹣1‎ ‎10．（2014•攀枝花）若方程x2+x﹣1=0的两实根为α、β，那么下列说法不正确的是（　　）‎ A． α+β=﹣1 B． αβ=﹣1 C． α2+β2=3 D． +=﹣1‎ 二．填空题（共10小题）‎ ‎11．（2015•荆州）若m，n是方程x2+x﹣1=0的两个实数根，则m2+2m+n的值为　　　　　　．‎ ‎12．（2015•日照）如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2015=　　　　　　．‎ ‎13．（2015•内江）已知关于x的方程x2﹣6x+k=0的两根分别是x1，x2，且满足+=3，则k的值是　　　　　　．‎ ‎14．（2015•凉山州）已知实数m，n满足3m2+6m﹣5=0，3n2+6n﹣5=0，且m≠n，则=　　　　　　．‎ ‎15．（2015•六盘水）已知x1=3是关于x的一元二次方程x2﹣4x+c=0的一个根，则方程的另一个根x2是　　　　　　．‎ ‎16．（2015•成都）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是　　　　　　（写出所有正确说法的序号）‎ ‎①方程x2﹣x﹣2=0是倍根方程．‎ ‎②若（x﹣2）（mx+n）=0是倍根方程，则4m2+5mn+n2=0；‎ ‎③若点（p，q）在反比例函数y=的图象上，则关于x的方程px2+3x+q=0的倍根方程；‎ ‎④若方程ax2+bx+c=0是倍根方程，且相异两点M（1+t，s），N（4﹣t，s）都在抛物线y=ax2+bx+c上，则方程ax2+bx+c=0的一个根为．‎ ‎17．（2015•西宁）若矩形的长和宽是方程2x2﹣16x+m=0（0＜m≤32）的两根，则矩形的周长为　　　　　　．‎ ‎18．（2015•赤峰）若关于x的一元二次方程x2﹣（a+5）x+8a=0的两个实数根分别为2和b，则ab=　　　　　　．‎ ‎19．（2014•雅安）关于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣1=0的两实数根为x1，x2，且x12+x22=3，则m=　　　　　　．‎ ‎20．（2014•桂林）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2=0的两根为x1和x2，且（x1﹣2）（x1﹣x2）=0，则k的值是　　　　　　．‎ 三．解答题（共10小题）‎ ‎21．（2014•南充）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根．‎ ‎（1）求实数m的最大整数值；‎ ‎（2）在（1）的条下，方程的实数根是x1，x2，求代数式x12+x22﹣x1x2的值．‎ ‎22．（2014•泸州）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两实数根．‎ ‎（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）=28，求m的值；‎ ‎（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．‎ ‎23．（2014•怀化）设m是不小于﹣1的实数，使得关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x1，x2．‎ ‎（1）若+=1，求的值；‎ ‎（2）求+﹣m2的最大值．‎ ‎24．（2013•孝感）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2．‎ ‎（1）求实数k的取值范围；‎ ‎（2）是否存在实数k使得x1•x2﹣x12﹣x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎25．（2013•厦门）若x1，x2是关于x的方程x2+bx+c=0的两个实数根，且|x1|+|x2|=2|k|（k是整数），则称方程x2+bx+c=0为“偶系二次方程”．如方程x2﹣6x﹣27=0，x2﹣2x﹣8=0，x2+3x﹣=0，x2+6x﹣27=0，x2+4x+4=0，都是“偶系二次方程”．‎ ‎（1）判断方程x2+x﹣12=0是否是“偶系二次方程”，并说明理由；‎ ‎（2）对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”，并说明理由．‎ ‎26．（2013•菏泽）已知：关于x的一元二次方程kx2﹣（4k+1）x+3k+3=0 （k是整数）．‎ ‎（1）求证：方程有两个不相等的实数根；‎ ‎（2）若方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＜x2），设y=x2﹣x1﹣2，判断y是否为变量k的函数？如果是，请写出函数解析式；若不是，请说明理由．‎ ‎27．（2012•鄂州）关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0．‎ ‎（1）证明：方程总有两个不相等的实数根；‎ ‎（2）设这个方程的两个实数根为x1，x2，且|x1|=|x2|﹣2，求m的值及方程的根．‎ ‎28．（2012•怀化）已知x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根．‎ ‎（1）是否存在实数a，使﹣x1+x1x2=4+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；‎ ‎（2）求使（x1+1）（x2+1）为负整数的实数a的整数值．‎ ‎29．（2012•内江）如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=﹣p，x1•x2=q，请根据以上结论，解决下列问题：‎ ‎（1）已知关于x的方程x2+mx+n=0，（n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；‎ ‎（2）已知a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，求的值；‎ ‎（3）已知a、b、c满足a+b+c=0，abc=16，求正数c的最小值．‎ ‎30．（2011•南充）关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2．‎ ‎（1）求k的取值范围；‎ ‎（2）如果x1+x2﹣x1x2＜﹣1且k为整数，求k的值．‎ ‎2015中考数学分化真题分类汇编：一元二次方程根与系数的关系 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题）‎ ‎1．（2015•金华）一元二次方程x2+4x﹣3=0的两根为x1、x2，则x1•x2的值是（　　）‎ A． 4 B． ﹣4 C． 3 D． ﹣3‎ 考点： 根与系数的关系．‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 根据根与系数的关系求解．‎ 解答： 解：x1•x2=﹣3．‎ 故选D．‎ 点评： 本题考查了根与系数的关系：若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．‎ ‎2．（2015•枣庄）已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则m+n的值是（　　）‎ A． ﹣10 B． 10 C． ﹣6 D． 2‎ 考点： 根与系数的关系．‎ 分析： 根据根与系数的关系得出﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n，求出即可．‎ 解答： 解：∵关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，‎ ‎∴﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n，‎ 解得：m=﹣2，n=﹣8，‎ ‎∴m+n=﹣10，‎ 故选A．‎ 点评： 本题考查了根与系数的关系的应用，能根据根与系数的关系得出﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n是解此题的关键．‎ ‎3．（2015•黔东南州）设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两根，则x12+x22=（　　）‎ A． 6 B． 8 C． 10 D． 12‎ 考点： 根与系数的关系．‎ 分析： 根据根与系数的关系得到x1+x2=2，x1•x2=﹣3，再变形x12+x22得到（x1+x2）2﹣2x1•x2，然后利用代入计算即可．‎ 解答： 解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两根是x1、x2，‎ ‎∴x1+x2=2，x1•x2=﹣3，‎ ‎∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=22﹣2×（﹣3）=10．‎ 故选C．‎ 点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．‎ ‎4．（2015•衡阳）若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣1，则另一个根为（　　）‎ A． ﹣2 B． 2 C． 4 D． ﹣3‎ 考点： 根与系数的关系．‎ 分析： 根据一元二次方程根与系数的关系，利用两根和，两根积，即可求出a的值和另一根．‎ 解答： 解：设一元二次方程的另一根为x1，‎ 则根据一元二次方程根与系数的关系，‎ 得﹣1+x1=﹣3，‎ 解得：x1=﹣2．‎ 故选A．‎ 点评： 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．‎ ‎5．（2015•南充）关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②（m﹣1）2+（n﹣1）2≥2；③﹣1≤2m﹣2n≤1，其中正确结论的个数是（　　）‎ A． 0个 B． 1个 C． 2个 D． 3个 考点： 根与系数的关系；根的判别式．‎ 专题： 计算题．‎ 分析： ①根据题意，以及根与系数的关系，可知两个整数根都是负数；②根据根的判别式，以及题意可以得出m2﹣2n≥0以及n2﹣2m≥0，进而得解；③可以采用举例反证的方法解决，据此即可得解．‎ 解答： 解：①两个整数根且乘积为正，两个根同号，由韦达定理有，x1•x2=2n＞0，y1•y2=2m＞0，‎ y1+y2=﹣2n＜0，‎ x1+x2=﹣2m＜0，‎ 这两个方程的根都为负根，①正确；‎ ‎②由根判别式有：‎ ‎△=b2﹣4ac=4m2﹣8n≥0，△=b2﹣4ac=4n2﹣8m≥0，‎ ‎4m2﹣8n=m2﹣2n≥0，4n2﹣8m=n2﹣2m≥0，‎ m2﹣2m+1+n2﹣2n+1=m2﹣2n+n2﹣2m+2≥2，‎ ‎（m﹣1）2+（n﹣1）2≥2，②正确；‎ ‎③∵y1+y2=﹣2n，y1•y2=2m，‎ ‎∴2m﹣2n=y1+y2+y1•y2，‎ ‎∵y1与y2都是负整数，‎ 不妨令y1=﹣3，y2=﹣5，‎ 则：2m﹣2n=﹣8+15=7，不在﹣1与1之间，③错误，‎ 其中正确的结论的个数是2，‎ 故选C．‎ 点评： 本题主要考查了根与系数的关系，以及一元二次方程的根的判别式，还考查了举例反证法，有一定的难度，注意总结．‎ ‎6．（2015•广西）已知实数x1，x2满足x1+x2=7，x1x2=12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（　　）‎ A． x2﹣7x+12=0 B． x2+7x+12=0 C． x2+7x﹣12=0 D． x2﹣7x﹣12=0‎ 考点： 根与系数的关系．‎ 分析： 根据以x1，x2为根的一元二次方程是x2﹣（x1+x2）x+x1，x2=0，列出方程进行判断即可．‎ 解答： 解：以x1，x2为根的一元二次方程x2﹣7x+12=0，‎ 故选：A．‎ 点评： 本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握以x1，x2为根的一元二次方程是x2﹣（x1+x2）x+x1，x2=0是具体点关键．‎ ‎7．（2014•防城港）x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m使+=0成立？则正确的结论是（　　）‎ A． m=0时成立 B． m=2时成立 C． m=0或2时成立 D． 不存在 考点： 根与系数的关系．‎ 分析： 先由一元二次方程根与系数的关系得出，x1+x2=m，x1x2=m﹣2．假设存在实数m使+=0成立，则=0，求出m=0，再用判别式进行检验即可．‎ 解答： 解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，‎ ‎∴x1+x2=m，x1x2=m﹣2．‎ 假设存在实数m使+=0成立，则=0，‎ ‎∴=0，‎ ‎∴m=0．‎ 当m=0时，方程x2﹣mx+m﹣2=0即为x2﹣2=0，此时△=8＞0，‎ ‎∴m=0符合题意．‎ 故选：A．‎ 点评： 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：如果x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，那么x1+x2=﹣p，x1x2=q．‎ ‎8．（2014•呼和浩特）已知函数y=的图象在第一象限的一支曲线上有一点A（a，c），点B（b，c+1）在该函数图象的另外一支上，则关于一元二次方程ax2+bx+c=0的两根x1，x2判断正确的是（　　）‎ A． x1+x2＞1，x1•x2＞0‎ B． x1+x2＜0，x1•x2＞0‎ C． 0＜x1+x2＜1，x1•x2＞0‎ D． x1+x2与x1•x2的符号都不确定 考点： 根与系数的关系；反比例函数图象上点的坐标特征．‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 根据点A（a，c）在第一象限的一支曲线上，得出a＞0，c＞0，再点B（b，c+1）在该函数图象的另外一支上，得出b＜0，c+1＞0，再根据x1•x2=，x1+x2=﹣，即可得出答案．‎ 解答： 解：∵点A（a，c）在第一象限的一支曲线上，‎ ‎∴a＞0，c＞0，ac=1，即a=，‎ ‎∵点B（b，c+1）在该函数图象的另外一支上，即第二象限上，‎ ‎∴b＜0，c+1＞0，b（c+1）=﹣1，即b=﹣，‎ ‎∴x1•x2=＞0，x1+x2=﹣=，‎ ‎∴0＜x1+x2＜1，‎ 故选：C．‎ 点评： 本题考查了根与系数的关系，掌握根与系数的关系和各个象限点的特点是本题的关键；若x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的两个实数根，则x1+x2=﹣，x1x2=．‎ ‎9．（2014•烟台）关于x的方程x2﹣ax+2a=0的两根的平方和是5，则a的值是（　　）‎ A． ﹣1或5 B． 1 C． 5 D． ﹣1‎ 考点： 根与系数的关系；根的判别式．‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 设方程的两根为x1，x2，根据根与系数的关系得到x1+x2=a，x1•x2=2a，由于x12+x22=5，变形得到（x1+x2）2﹣2x1•x2=5，则a2﹣4a﹣5=0，然后解方程，满足△≥0的a的值为所求．‎ 解答： 解：设方程的两根为x1，x2，则x1+x2=a，x1•x2=2a，‎ ‎∵x12+x22=5，‎ ‎∴（x1+x2）2﹣2x1•x2=5，‎ ‎∴a2﹣4a﹣5=0，‎ ‎∴a1=5，a2=﹣1，‎ ‎∵△=a2﹣8a≥0，‎ ‎∴a=﹣1．‎ 故选：D．‎ 点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．也考查了一元二次方程的根的判别式．‎ ‎10．（2014•攀枝花）若方程x2+x﹣1=0的两实根为α、β，那么下列说法不正确的是（　　）‎ A． α+β=﹣1 B． αβ=﹣1 C． α2+β2=3 D． +=﹣1‎ 考点： 根与系数的关系．‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 先根据根与系数的关系得到α+β=﹣1，αβ=﹣1，再利用完全平方公式变形α2+β2得到（α+β）2﹣2αβ，利用通分变形+得到，然后利用整体代入的方法分别计算两个代数式的值，这样可对各选项进行判断．‎ 解答： 解：根据题意得α+β=﹣1，αβ=﹣1．‎ 所以α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=（﹣1）2﹣2×（﹣1）=3；‎ ‎+===1．‎ 故选：D．‎ 点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．‎ 二．填空题（共10小题）‎ ‎11．（2015•荆州）若m，n是方程x2+x﹣1=0的两个实数根，则m2+2m+n的值为　0　．‎ 考点： 根与系数的关系；一元二次方程的解．‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 由题意m为已知方程的解，把x=m代入方程求出m2+m的值，利用根与系数的关系求出m+n的值，原式变形后代入计算即可求出值．‎ 解答： 解：∵m，n是方程x2+x﹣1=0的两个实数根，‎ ‎∴m+n=﹣1，m2+m=1，‎ 则原式=（m2+m）+（m+n）=1﹣1=0，‎ 故答案为：0‎ 点评： 此题考查了根与系数的关系，以及一元二次方程的解，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．‎ ‎12．（2015•日照）如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2015=　2026　．‎ 考点： 根与系数的关系．‎ 分析： 由于m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，可知m，n是x2﹣x﹣3=0的两个不相等的实数根．则根据根与系数的关系可知：m+n=2，mn=﹣3，又n2=n+3，利用它们可以化简2n2﹣mn+2m+2015=2（n+3）﹣mn+2m+2015=2n+6﹣mn+2m+2015=2（m+n）﹣mn+2021，然后就可以求出所求的代数式的值．‎ 解答： 解：由题意可知：m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，‎ 所以m，n是x2﹣x﹣3=0的两个不相等的实数根，‎ 则根据根与系数的关系可知：m+n=1，mn=﹣3，‎ 又n2=n+3，‎ 则2n2﹣mn+2m+2015‎ ‎=2（n+3）﹣mn+2m+2015‎ ‎=2n+6﹣mn+2m+2015‎ ‎=2（m+n）﹣mn+2021‎ ‎=2×1﹣（﹣3）+2021‎ ‎=2+3+2021‎ ‎=2026．‎ 故答案为：2026．‎ 点评： 本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题关键是把所求代数式化成两根之和、两根之积的系数，然后利用根与系数的关系式求值．‎ ‎13．（2015•内江）已知关于x的方程x2﹣6x+k=0的两根分别是x1，x2，且满足+=3，则k的值是　2　．‎ 考点： 根与系数的关系．‎ 分析： 找出一元二次方程的系数a，b及c的值，利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，然后利用完全平方公式变形后，将求出的两根之和与两根之积代入，即可求出所求式子的值．‎ 解答： 解：∵3x2+2x﹣11=0的两个解分别为x1、x2，‎ ‎∴x1+x2=6，x1x2=k，‎ ‎+===3，‎ 解得：k=2，‎ 故答案为：2．‎ 点评： 此题考查了一元二次方程根与系数的关系，对所求的代数式进行正确的变形是解决本题的关键．‎ ‎14．（2015•凉山州）已知实数m，n满足3m2+6m﹣5=0，3n2+6n﹣5=0，且m≠n，则=　﹣　．‎ 考点： 根与系数的关系．‎ 分析： 由m≠n时，得到m，n是方程x2﹣2x﹣1=0的两个不等的根，根据根与系数的关系进行求解．‎ 解答： 解：∵m≠n时，则m，n是方程3x2﹣6x﹣5=0的两个不相等的根，∴m+n=2，mn=﹣．‎ ‎∴原式====﹣，‎ 故答案为：﹣．‎ 点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．‎ ‎15．（2015•六盘水）已知x1=3是关于x的一元二次方程x2﹣4x+c=0的一个根，则方程的另一个根x2是　1　．‎ 考点： 根与系数的关系．‎ 分析： 根据根与系数的关系，由两根之和可以求出方程的另一个根．‎ 解答： 解：设方程的另一个根是x2，则：‎ ‎3+x2=4，‎ 解得x=1，‎ 故另一个根是1．‎ 故答案为1．‎ 点评： 本题考查的是一元二次方程的解，根据根与系数的关系，由两根之和可以求出方程的另一个根．‎ ‎16．（2015•成都）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是　②③　（写出所有正确说法的序号）‎ ‎①方程x2﹣x﹣2=0是倍根方程．‎ ‎②若（x﹣2）（mx+n）=0是倍根方程，则4m2+5mn+n2=0；‎ ‎③若点（p，q）在反比例函数y=的图象上，则关于x的方程px2+3x+q=0的倍根方程；‎ ‎④若方程ax2+bx+c=0是倍根方程，且相异两点M（1+t，s），N（4﹣t，s）都在抛物线y=ax2+bx+c上，则方程ax2+bx+c=0的一个根为．‎ 考点： 根与系数的关系；根的判别式；反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征．‎ 专题： 新定义．‎ 分析： ①解方程x2﹣x﹣2=0得：x1=2，x2=﹣1，得到方程x2﹣x﹣2=0不是倍根方程，故①错误；②由（x﹣2）（mx+n）=0是倍根方程，且x1=2，x2=﹣，得到=﹣1，或=﹣4，∴m+n=于是得到4m2+5mn+n2=（4m+1）（m+n）=0，故②正确；③由点（p，q）在反比例函数y=的图象上，得到pq=2，解方程px2+3x+q=0得：x1=﹣，x2=﹣，故∴③正确；④由方程ax2+bx+c=0是倍根方程，得到x1=2x2，由相异两点M（1+t，s），N（4﹣t，s）都在抛物线y=ax2+bx+c上，∴‎ 得到抛物线的对称轴x===，于是求出x1=，故④错误．‎ 解答： 解：①解方程x2﹣x﹣2=0得：x1=2，x2=﹣1，‎ ‎∴方程x2﹣x﹣2=0不是倍根方程，故①错误；‎ ‎②∵（x﹣2）（mx+n）=0是倍根方程，且x1=2，x2=﹣，‎ ‎∴=﹣1，或=﹣4，‎ ‎∴m+n=0，4m+n=0，‎ ‎∵4m2+5mn+n2=（4m+n）（m+n）=0，故②正确；‎ ‎③∵点（p，q）在反比例函数y=的图象上，‎ ‎∴pq=2，‎ 解方程px2+3x+q=0得：x1=﹣，x2=﹣，‎ ‎∴x2=2x1，故③正确；‎ ‎④∵方程ax2+bx+c=0是倍根方程，‎ ‎∴设x1=2x2，‎ ‎∵相异两点M（1+t，s），N（4﹣t，s）都在抛物线y=ax2+bx+c上，‎ ‎∴抛物线的对称轴x===，‎ ‎∴x1+x2=5，‎ ‎∴x1+2x1=5，‎ ‎∴x1=，故④错误．‎ 故答案为：②③．‎ 点评： 本题考查了根与系数的关系，根的判别式，反比例函数图形上点的坐标特征，二次函数图形上点的坐标特征，正确的理解“倍根方程”的定义是解题的关键．‎ ‎17．（2015•西宁）若矩形的长和宽是方程2x2﹣16x+m=0（0＜m≤32）的两根，则矩形的周长为　16　．‎ 考点： 根与系数的关系；矩形的性质．‎ 分析： 设矩形的长和宽分别为x、y，由矩形的长和宽是方程2x2﹣16x+m=0（0＜m≤32）的两个根，根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系得到x+y=8；xy=，然后利用矩形的性质易求得到它的周长．‎ 解答： 解：设矩形的长和宽分别为x、y，‎ 根据题意得x+y=8；‎ 所以矩形的周长=2（x+y）=16．‎ 故答案为：16．‎ 点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根分别为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．也考查了矩形的性质．‎ ‎18．（2015•赤峰）若关于x的一元二次方程x2﹣（a+5）x+8a=0的两个实数根分别为2和b，则ab=　4　．‎ 考点： 根与系数的关系．‎ 分析： 根据根与系数的关系得到，通过解该方程组可以求得a、b的值．‎ 解答： 解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（a+5）x+8a=0的两个实数根分别是2、b，‎ ‎∴由韦达定理，得，‎ 解得，．‎ ‎∴ab=1×4=4．‎ 故答案是：4．‎ 点评： 本题考查了根与系数的关系．x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=，反过来也成立，即=﹣（x1+x2），=x1x2．‎ ‎19．（2014•雅安）关于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣1=0的两实数根为x1，x2，且x12+x22=3，则m=　0　．‎ 考点： 根与系数的关系；根的判别式．‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 根据方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣1=0的两实数根为x1，x2，得出x1+x2与x1x2的值，再根据x12+x22=3，即可求出m的值．‎ 解答： 解：∵方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣1=0的两实数根为x1，x2，‎ ‎∴x1+x2=2m﹣1，x1x2=m2﹣1，‎ ‎∵x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（2m﹣1）2﹣2（m2﹣1）=3，‎ 解得：m1=0，m2=2，‎ ‎∵方程有两实数根，‎ ‎∴△=（2m﹣1）2﹣4（m2﹣1）≥0，‎ 即m≤‎ ‎∴m2=2（不合题意，舍去），‎ ‎∴m=0；‎ 故答案为：0．‎ 点评： 本题考查了根与系数的关系及根的判别式，难度适中，关键掌握x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=﹣p，x1x2=q．‎ ‎20．（2014•桂林）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2=0的两根为x1和x2，且（x1﹣2）（x1﹣x2）=0，则k的值是　﹣2或﹣　．‎ 考点： 根与系数的关系；根的判别式．‎ 分析： 先由（x1﹣2）（x1﹣x2）=0，得出x1﹣2=0或x1﹣x2=0，再分两种情况进行讨论：①如果x1﹣2=0，将x=2代入x2+（2k+1）x+k2﹣2=0，得4+2（2k+1）+k2﹣2=0，解方程求出k=﹣2；②如果x1﹣x2=0，那么将x1+x2=﹣（2k+1），x1x2=k2﹣2代入可求出k的值，再根据判别式进行检验．‎ 解答： 解：∵（x1﹣2）（x1﹣x2）=0，‎ ‎∴x1﹣2=0或x1﹣x2=0．‎ ‎①如果x1﹣2=0，那么x1=2，‎ 将x=2代入x2+（2k+1）x+k2﹣2=0，‎ 得4+2（2k+1）+k2﹣2=0，‎ 整理，得k2+4k+4=0，‎ 解得k=﹣2；‎ ‎②如果x1﹣x2=0，‎ 那么（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=[﹣（2k+1）]2﹣4（k2﹣2）=4k+9=0，‎ 解得k=﹣．‎ 又∵△=（2k+1）2﹣4（k2﹣2）≥0．‎ 解得：k≥﹣．‎ 所以k的值为﹣2或﹣．‎ 故答案为：﹣2或﹣．‎ 点评： 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，注意在利用根与系数的关系时，需用判别式进行检验．‎ 三．解答题（共10小题）‎ ‎21．（2014•南充）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根．‎ ‎（1）求实数m的最大整数值；‎ ‎（2）在（1）的条下，方程的实数根是x1，x2，求代数式x12+x22﹣x1x2的值．‎ 考点： 根与系数的关系；根的判别式．‎ 专题： 代数综合题．‎ 分析： （1）若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围，进而得出m的最大整数值；‎ ‎（2）根据（1）可知：m=1，继而可得一元二次方程为x2﹣2x+1=0，根据根与系数的关系，可得x1+x2=2，x1x2=1，再将x12+x22﹣x1x2变形为（x1+x2）2﹣3x1x2，则可求得答案．‎ 解答： 解：∵一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，‎ ‎∴△=8﹣4m＞0，‎ 解得m＜2，‎ 故整数m的最大值为1；‎ ‎（2）∵m=1，‎ ‎∴此一元二次方程为：x2﹣2x+1=0，‎ ‎∴x1+x2=2，x1x2=1，‎ ‎∴x12+x22﹣x1x2=（x1+x2）2﹣3x1x2=8﹣3=5．‎ 点评： 此题考查了一元二次方程根与系数的关系与根的判别式．此题难度不大，解题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：‎ ‎（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；‎ ‎（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；‎ ‎（3）△＜0⇔方程没有实数根．‎ 掌握根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．‎ ‎22．（2014•泸州）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两实数根．‎ ‎（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）=28，求m的值；‎ ‎（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．‎ 考点： 根与系数的关系；三角形三边关系；等腰三角形的性质．‎ 专题： 代数几何综合题．‎ 分析： （1）利用（x1﹣1）（x2﹣1）=x1•x2﹣（x1+x2）+1=m2+5﹣2（m+1）+1=28，求得m的值即可；‎ ‎（2）分7为底边和7为腰两种情况分类讨论即可确定等腰三角形的周长．‎ 解答： 解：（1）∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两实数根，‎ ‎∴x1+x2=2（m+1），x1•x2=m2+5，‎ ‎∴（x1﹣1）（x2﹣1）=x1•x2﹣（x1+x2）+1=m2+5﹣2（m+1）+1=28，‎ 解得：m=﹣4或m=6；‎ 当m=﹣4时原方程无解，‎ ‎∴m=6；‎ ‎（2）①当7为底边时，此时方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0有两个相等的实数根，‎ ‎∴△=4（m+1）2﹣4（m2+5）=0，‎ 解得：m=2，‎ ‎∴方程变为x2﹣6x+9=0，‎ 解得：x1=x2=3，‎ ‎∵3+3＜7，‎ ‎∴不能构成三角形；‎ ‎②当7为腰时，设x1=7，‎ 代入方程得：49﹣14（m+1）+m2+5=0，‎ 解得：m=10或4，‎ 当m=10时方程变为x2﹣22x+105=0，‎ 解得：x=7或15‎ ‎∵7+7＜15，不能组成三角形；‎ 当m=4时方程变为x2﹣10x+21=0，‎ 解得：x=3或7，‎ 此时三角形的周长为7+7+3=17．‎ 点评： 本题考查了根与系数的关系及三角形的三边关系，解题的关键是熟知两根之和和两根之积分别与系数的关系．‎ ‎23．（2014•怀化）设m是不小于﹣1的实数，使得关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x1，x2．‎ ‎（1）若+=1，求的值；‎ ‎（2）求+﹣m2的最大值．‎ 考点： 根与系数的关系；根的判别式；二次函数的最值．‎ 专题： 代数综合题．‎ 分析： （1）首先根据根的判别式求出m的取值范围，利用根与系数的关系，求出符合条件的m的值；‎ ‎（2）把利用根与系数的关系得到的关系式代入代数式，细心化简，结合m的取值范围求出代数式的最大值．‎ 解答： 解：∵方程有两个不相等的实数根，‎ ‎∴△=b2﹣4ac=4（m﹣2）2﹣4（m2﹣3m+3）=﹣4m+4＞0，‎ ‎∴m＜1，‎ 结合题意知：﹣1≤m＜1．‎ ‎（1）∵x1+x2=﹣2（m﹣2），x1x2=m2﹣3m+3，‎ ‎∴+===1‎ 解得：m1=，m2=（不合题意，舍去）‎ ‎∴=﹣2．‎ ‎（2）+﹣m2‎ ‎=﹣m2‎ ‎=﹣2（m﹣1）﹣m2‎ ‎=﹣（m+1）2+3．‎ 当m=﹣1时，最大值为3．‎ 点评： 此题考查根与系数的关系，一元二次方程的根的判别式△=b2﹣4ac来求出m的取值范围；解答此题的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：x1+x2=﹣，x1x2=．‎ ‎24．（2013•孝感）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2．‎ ‎（1）求实数k的取值范围；‎ ‎（2）是否存在实数k使得x1•x2﹣x12﹣x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．‎ 考点： 根与系数的关系；根的判别式．‎ 专题： 压轴题．‎ 分析： （1）根据已知一元二次方程的根的情况，得到根的判别式△≥0，据此列出关于k的不等式[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+2k）≥0，通过解该不等式即可求得k的取值范围；‎ ‎（2）假设存在实数k使得≥0成立．利用根与系数的关系可以求得，然后利用完全平方公式可以把已知不等式转化为含有两根之和、两根之积的形式≥0，通过解不等式可以求得k的值．‎ 解答： 解：（1）∵原方程有两个实数根，‎ ‎∴[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+2k）≥0，‎ ‎∴4k2+4k+1﹣4k2﹣8k≥0‎ ‎∴1﹣4k≥0，‎ ‎∴k≤．‎ ‎∴当k≤时，原方程有两个实数根．‎ ‎（2）假设存在实数k使得≥0成立．‎ ‎∵x1，x2是原方程的两根，‎ ‎∴．‎ 由≥0，‎ 得≥0．‎ ‎∴3（k2+2k）﹣（2k+1）2≥0，整理得：﹣（k﹣1）2≥0，‎ ‎∴只有当k=1时，上式才能成立．‎ 又∵由（1）知k≤，‎ ‎∴不存在实数k使得≥0成立．‎ 点评： 本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号的变化关系．‎ ‎25．（2013•厦门）若x1，x2是关于x的方程x2+bx+c=0的两个实数根，且|x1|+|x2|=2|k|（k是整数），则称方程x2+bx+c=0为“偶系二次方程”．如方程x2﹣6x﹣27=0，x2﹣2x﹣8=0，x2+3x﹣=0，x2+6x﹣27=0，x2+4x+4=0，都是“偶系二次方程”．‎ ‎（1）判断方程x2+x﹣12=0是否是“偶系二次方程”，并说明理由；‎ ‎（2）对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”，并说明理由．‎ 考点： 根与系数的关系；解一元二次方程-因式分解法；根的判别式．‎ 专题： 压轴题；阅读型；新定义．‎ 分析： （1）求出原方程的根，再代入|x1|+|x2|看结果是否为2的整数倍就可以得出结论；‎ ‎（2）由条件x2﹣6x﹣27=0和x2+6x﹣27=0是偶系二次方程建模，设c=mb2+n，就可以表示出c，然后根据公式法就可以求出其根，再代入|x1|+|x2|就可以得出结论．‎ 解答： 解：（1）不是，‎ 解方程x2+x﹣12=0得，x1=3，x2=﹣4．‎ ‎|x1|+|x2|=3+4=7=2×3.5．‎ ‎∵3.5不是整数，‎ ‎∴x2+x﹣12=0不是“偶系二次方程；‎ ‎（2）存在．理由如下：‎ ‎∵x2﹣6x﹣27=0和x2+6x﹣27=0是偶系二次方程，‎ ‎∴假设c=mb2+n，‎ 当b=﹣6，c=﹣27时，‎ ‎﹣27=36m+n．‎ ‎∵x2=0是偶系二次方程，‎ ‎∴n=0时，m=﹣，‎ ‎∴c=﹣b2．‎ ‎∵是偶系二次方程，‎ 当b=3时，c=﹣×32．‎ ‎∴可设c=﹣b2．‎ 对于任意一个整数b，c=﹣b2时，‎ ‎△=b2﹣4ac，‎ ‎=4b2．‎ x=，‎ ‎∴x1=﹣b，x2=b．‎ ‎∴|x1|+|x2|=2|b|，‎ ‎∵b是整数，‎ ‎∴对于任何一个整数b，c=﹣b2时，关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”．‎ 点评： 本题考查了一元二次方程的解法的运用，根的判别式的运用根与系数的关系的运用及数学建模思想的运用，解答本题时根据条件特征建立模型是关键．‎ ‎26．（2013•菏泽）已知：关于x的一元二次方程kx2﹣（4k+1）x+3k+3=0 （k是整数）．‎ ‎（1）求证：方程有两个不相等的实数根；‎ ‎（2）若方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＜x2），设y=x2﹣x1﹣2，判断y是否为变量k的函数？如果是，请写出函数解析式；若不是，请说明理由．‎ 考点： 根与系数的关系；根的判别式．‎ 专题： 证明题．‎ 分析： （1）根据一元二次方程的定义得到k≠0，再计算出判别式得到△=（2k﹣1）2，根据k为整数和非负数的性质得到△＞0，则根据判别式的意义即可得到结论；‎ ‎（2）根据根与系数的关系得x1+x2=，x1•x2=，则根据完全平方公式变形得 ‎（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1•x2=﹣==（2﹣）2，‎ 由于k为整数，则2﹣＞0，所以x2﹣x1=2﹣，则y=2﹣﹣2=﹣．‎ 解答： （1）证明：根据题意得k≠0，‎ ‎∵△=（4k+1）2﹣4k（3k+3）=4k2﹣4k+1=（2k﹣1）2，‎ 而k为整数，‎ ‎∴2k﹣1≠0，‎ ‎∴（2k﹣1）2＞0，即△＞0，‎ ‎∴方程有两个不相等的实数根；‎ ‎（2）解：y是变量k的函数．‎ ‎∵x1+x2=，x1•x2=，‎ ‎∴（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1•x2=﹣==（2﹣）2，‎ ‎∵k为整数，‎ ‎∴2﹣＞0，‎ 而x1＜x2，‎ ‎∴x2﹣x1=2﹣，‎ ‎∴y=2﹣﹣2‎ ‎=﹣（k≠0的整数），‎ ‎∴y是变量k的函数．‎ 点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．也考查了一元二次方程的根的判别式．‎ ‎27．（2012•鄂州）关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0．‎ ‎（1）证明：方程总有两个不相等的实数根；‎ ‎（2）设这个方程的两个实数根为x1，x2，且|x1|=|x2|﹣2，求m的值及方程的根．‎ 考点： 根与系数的关系；根的判别式．‎ 专题： 计算题．‎ 分析： （1）找出一元二次方程中的a，b及c，表示出b2﹣4ac，然后判断出b2﹣4ac大于0，即可得到原方程有两个不相等的实数根；‎ ‎（2）利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，判断出两根之积小于0，得到两根异号，分两种情况考虑：若x1＞0，x2＜0，利用绝对值的代数意义化简已知的等式，将表示出的两根之和代入，列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，进而确定出方程，求出方程的解即可；若x1＜0，x2＞0，同理求出m的值及方程的解．‎ 解答： 解：（1）一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0，‎ ‎∵a=1，b=﹣（m﹣3）=3﹣m，c=﹣m2，‎ ‎∴△=b2﹣4ac=（3﹣m）2﹣4×1×（﹣m2）=5m2﹣6m+9=5（m﹣）2+，‎ ‎∴△＞0，‎ 则方程有两个不相等的实数根；‎ ‎（2）∵x1•x2==﹣m2≤0，x1+x2=m﹣3，‎ ‎∴x1，x2异号，‎ 又|x1|=|x2|﹣2，即|x1|﹣|x2|=﹣2，‎ 若x1＞0，x2＜0，上式化简得：x1+x2=﹣2，‎ ‎∴m﹣3=﹣2，即m=1，‎ 方程化为x2+2x﹣1=0，‎ 解得：x1=﹣1+，x2=﹣1﹣，‎ 若x1＜0，x2＞0，上式化简得：﹣（x1+x2）=﹣2，‎ ‎∴x1+x2=m﹣3=2，即m=5，‎ 方程化为x2﹣2x﹣25=0，‎ 解得：x1=1﹣，x2=1+．‎ 点评： 此题考查了一元二次方程根的判别式，以及根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2﹣4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2﹣4ac＜0时，方程没有实数根．‎ ‎28．（2012•怀化）已知x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根．‎ ‎（1）是否存在实数a，使﹣x1+x1x2=4+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；‎ ‎（2）求使（x1+1）（x2+1）为负整数的实数a的整数值．‎ 考点： 根与系数的关系；根的判别式．‎ 分析： 根据根与系数的关系求得x1x2=，x1+x2=﹣；根据一元二次方程的根的判别式求得a的取值范围；‎ ‎（1）将已知等式变形为x1x2=4+（x2+x1），即=4+，通过解该关于a的方程即可求得a的值；‎ ‎（2）根据限制性条件“（x1+1）（x2+1）为负整数”求得a的取值范围，然后在取值范围内取a的整数值．‎ 解答： 解：∵x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根，‎ ‎∴由根与系数的关系可知，x1x2=，x1+x2=﹣；‎ ‎∵一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0有两个实数根，‎ ‎∴△=4a2﹣4（a﹣6）•a≥0，且a﹣6≠0，‎ 解得，a≥0，且a≠6；‎ ‎（1）∵﹣x1+x1x2=4+x2，‎ ‎∴x1x2=4+（x1+x2），即=4﹣，‎ 解得，a=24＞0；‎ ‎∴存在实数a，使﹣x1+x1x2=4+x2成立，a的值是24；‎ ‎（2）∵（x1+1）（x2+1）=x1x2+（x1+x2）+1=﹣+1=﹣，‎ ‎∴当（x1+1）（x2+1）为负整数时，a﹣6＞0，且a﹣6是6的约数，‎ ‎∴a﹣6=6，a﹣6=3，a﹣6=2，a﹣6=1，‎ ‎∴a=12，9，8，7；‎ ‎∴使（x1+1）（x2+1）为负整数的实数a的整数值有12，9，8，7．‎ 点评： 本题综合考查了根与系数的关系、根的判别式．注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数）的二次项系数a≠0．‎ ‎29．（2012•内江）如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=﹣p，x1•x2=q，请根据以上结论，解决下列问题：‎ ‎（1）已知关于x的方程x2+mx+n=0，（n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；‎ ‎（2）已知a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，求的值；‎ ‎（3）已知a、b、c满足a+b+c=0，abc=16，求正数c的最小值．‎ 考点： 根与系数的关系；根的判别式．‎ 分析： （1）先设方程x2+mx+n=0，（n≠0）的两个根分别是x1，x2，得出+=﹣，•=，再根据这个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，即可求出答案．‎ ‎（2）根据a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，得出a，b是x2﹣15x﹣5=0的解，求出a+b和ab的值，即可求出的值．‎ ‎（3）根据a+b+c=0，abc=16，得出a+b=﹣c，ab=，a、b是方程x2+cx+=0的解，再根据c2﹣4•≥0，即可求出c的最小值．‎ 解答： 解：（1）设方程x2+mx+n=0，（n≠0）的两个根分别是x1，x2，‎ 则：+==﹣，‎ ‎•==，‎ 若一个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，‎ 则这个一元二次方程是：x2+x+=0；‎ ‎（2）∵a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，‎ ‎∴a，b是x2﹣15x﹣5=0的解，‎ 当a≠b时，a+b=15，ab=﹣5，‎ ‎====﹣47．‎ 当a=b时，原式=2；‎ ‎（3）∵a+b+c=0，abc=16，‎ ‎∴a+b=﹣c，ab=，‎ ‎∴a、b是方程x2+cx+=0的解，‎ ‎∴c2﹣4•≥0，‎ c2﹣≥0，‎ ‎∵c是正数，‎ ‎∴c3﹣43≥0，‎ c3≥43，‎ c≥4，‎ ‎∴正数c的最小值是4．‎ 点评： 本题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．‎ ‎30．（2011•南充）关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2．‎ ‎（1）求k的取值范围；‎ ‎（2）如果x1+x2﹣x1x2＜﹣1且k为整数，求k的值．‎ 考点： 根与系数的关系；根的判别式；解一元一次不等式组．‎ 专题： 代数综合题；压轴题．‎ 分析： （1）方程有两个实数根，必须满足△=b2﹣4ac≥0，从而求出实数k的取值范围；‎ ‎（2）先由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=﹣2，x1x2=k+1．再代入不等式x1+x2﹣x1x2＜﹣1，即可求得k的取值范围，然后根据k为整数，求出k的值．‎ 解答： 解：（1）∵方程有实数根，‎ ‎∴△=22﹣4（k+1）≥0，‎ 解得k≤0．‎ 故K的取值范围是k≤0．‎ ‎（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=﹣2，x1x2=k+1，‎ x1+x2﹣x1x2=﹣2﹣（k+1）．‎ 由已知，得﹣2﹣（k+1）＜﹣1，解得k＞﹣2．‎ 又由（1）k≤0，‎ ‎∴﹣2＜k≤0．‎ ‎∵k为整数，‎ ‎∴k的值为﹣1和0．‎ 点评： 本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系．在运用一元二次方程根与系数的关系解题时，一定要注意其前提是此方程的判别式△≥0．‎