全国各地中考数学压轴题专集6三角形无答案 23页

2011 年全国各地中考数学压轴题专集：6 三角形 1．△ABC 是一张等腰直角三角形纸板，∠C＝90°，AC＝BC＝2． （1）要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图 1），比较甲、 乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积更大？请说明理由． （2）图 1 中甲种剪法称为第 1 次剪取，记所得正方形面积为 S1；按照甲种剪法，在余下的 △ADE 和△BDF 中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第 2 次剪取，并记这两 个正方形面积和为 S2（如图 2），则 S2＝_______；再在余下的四个三角形中，用同样方法分 别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第 3 次剪取，并记这四个正方形面积和为 S3 （如图 3）；继续操作下去…则第 10 次剪取时，S10＝_______． （3）求第 10 次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和． 2． 问题探究 （1）如图，在△ABC 中，D 是 BC 边上的中点，DE⊥DF，DE 交 AB 于点 E，DF 交 AC 于点 F， 连接 EF． ①求证：BE＋CF＞EF； ②若∠A＝90°，探索线段 BE、CF、EF 之间的等量关系，并加以证明． 问题解决 （2）如图，在四边形 ABDC 中，∠B＋∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以 D 为顶点作 一个 60°角，角的两边分别交 AB、AC 于 E、F 两点，连接 EF，探索线段 BE、CF、EF 之间的 数量关系，并加以证明． A BC E D F A BC 图 1 甲 乙 P N M Q A BC E D F 图 2 A BC 图 3 B M A M C M D M E M F M B M A M C M D M E M F M 3．阅读下面的情景对话，然后解答问题： 小明：那直角三角形 中是否存在奇异三 角形呢？ 老师：我们新定义一种三角形， 两边平方和等于第三边平方的 2 倍的三角形叫做奇异三角形． 小华：等边三角形一 定是奇异三角形！ （1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角 形”是真命题还是假命题？ （2）在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且 b＞a， 若 Rt△ABC 是奇异三角形，求 a : b : c； （3）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点（不与点 A、B 重合）， D 是半圆ADB ︵ 的中点，C、D 在直径 AB 的两侧，若在⊙O 内存在 点 E，使 AE＝AD，CB＝CE． ① 求证：△ACE 是奇异三角形； ② 当△ACE 是直角三角形时，求∠AOC 的度数． 4．如图 1，在等边△ABC 中，点 D 是边 AC 的中点，点 P 是线段 DC 上的动点(点 P 与点 C 不 重合)，连结 BP，将△ABP 绕点 P 按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜180°），得到△A1B1P， 连结 AA1，射线 AA1 分别交射线 PB、射线 B1B 于点 E、F． （1）如图 1，当 0°＜α＜60°时，在α角变化过程中，△BEF 与△AEP 始终存在相似关系， 请说明理由； （2）如图 2，设∠ABP＝β，当 60°＜α＜180°时，在α角变化过程中，是否存在△BEF 与△AEP 全等？若存在，求出α与β之间的数量关系；若不存在，请说明理由； （3）如图 3，当α＝60°时，点 E、F 与点 B 重合．已知 AB＝4，设 DP＝x，△A1BB1 的面积 为 S，求 S 关于 x 的函数关系式． A BO C D E 图 2 A B C F D P E A1 B1 图 3 A B CD P A1 B1 图 1 A B C F D P E A1 B1 5．数学课上，李老师出示了如下框中的题目． 在等边三角形 ABC 中，点 E 在 AB 上， 点 D 在 CB 的延长线上，且 ED＝EC，如图． 试确定线段 AE 与 DB 的大小关系，并说明 理由． A B C E D 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： （1）特殊情况，探索结论 当点 E 为 AB 的中点时，如图 1，确定线段 AE 与 DB 的大小关系．请你直接写出结论： AE_______DB（填“＞”，“＜”或“＝”）． A B C E D 图 1 A B C E D 图 2 F （2）特例启发，解答题目 解：题目中，AE 与 DB 的大小关系是：AE_______DB（填“＞”，“＜”或“＝”），理由 如下． 如图 2，过点 E 作 EF∥BC，交 AC 于点 F． （请你完成以下解答过程） （3）拓展结论，设计新题 在等边三角形 ABC 中，点 E 在直线 AB 上，点 D 在直线 BC 上，且 ED＝EC．若△ABC 的 边长为 1，AE＝2，求 CD 的长（请你直接写出结果）． 6．如图，△ABC 的三条中线分别为 AD、BE、CF． （1）在图中利用图形变换画出并指明以 AD、BE、CF 的长度为三边长的一个三角形（保留画 图痕迹）； （2）若△ABC 的面积为 1，试求以 AD、BE、CF 的长度为三边长的三角形的面积． 7．在平面直角坐标系中，点 A（3，0），B（0，4）．以点 A 为旋转中心，把△ABO 顺时针旋 转，得△ACD．记旋转转角为α，∠ABO 为β． （1）如图①，当旋转后点 D 恰好落在 AB 边上时，求点 D 的坐标； A E B C F D （2）如图②，当旋转后满足 BC∥x 轴时，求α与β之间的数量关系； （3）当旋转后满足∠AOD＝β时，求直线 CD 的解析式． 8．在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，BC＝30，AB＝50．点 P 是 AB 边上任意一点，直线 PE⊥AB， 与边 AC 或 BC 相交于 E．点 M 在线段 AP 上，点 N 在线段 BP 上，EM＝EN，sin∠EMP＝ 12 13 ． （1）如图 1，当点 E 与点 C 重合时，求 CM 的长； （2）如图 2，当点 E 在边 AC 上时，点 E 不与点 A、C 重合，设 AP＝x，BN＝y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出函数的定义域； （3）若△AME∽△ENB（△AME 的顶点 A、M、E 分别与△ENB 的顶点 E、N、B 对应），求 AP 的长． 9．已知∠MON＝60°，射线 OT 是∠MON 的平分线，点 P 是射线 OT 上的一个动点，射线 PB 交射线 ON 于点 B． （1）如图，若射线 PB 绕点 P 顺时针旋转 120°后与射线 OM 交于点 A，求证：PA＝PB； （2）在（1）的条件下，若点 C 是 AB 与 OP 的交点，且满足 PC＝ 3 2 PB，求△POB 与△PBC 的面积之比； （3）当 OB＝2 时，射线 PB 绕点 P 顺时针旋转 120°后与直线 OM 交于点 A（点 A 不与点 O 重合），直线 PA 交射线 ON 于点 D，且满足∠PBD＝∠ABO，求 OP 的长． 10．在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC 绕顶点 C 顺时针旋转，旋转角为θ （0°＜θ＜180°），得到△A′B′C． 图① A B C O y D x 图② AO x y B D C (E) A BP C M N 图 1 A BP C M N 图 2 E A B C 备用图 B C M A O N P T M O N T 备用图 M O N T 备用图 （1）如图 1，当 AB∥CB′ 时，设 A′B′ 与 CB 相交于点 D．证明：△A′CD 是等边三角形； （2）如图 2，连接 A′A、B′B，设△ACA′ 和△BCB′ 的面积分别为 S△ACA′ 和 S△BCB′ ． 求证：S△ACA′ : S△BCB′ ＝1 : 3； （3）如图 3，设 AC 中点为 E，A′B′ 中点为 P，AC＝a，连接 EP，当θ＝__________°时， EP 长度最大，最大值为__________． 11．如图，△ABC 是边长为 3 的等边三角形，点 F 在边 BC 上，CF＝1，点 E 是射线 BA 上一 动点，以线段 EF 为边向右侧作等边△EFG，直线 EG、FG 分别交直线 AC 于点 M、N． （1）设 BE＝x，MN＝y，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （2）若 AE＝1，求△GMN 的面积． 12．如图，边长为 4 的等边三角形 AOB 的顶点 O 在坐标原点，点 A 在 x 轴的正半轴上，点 B 在第一象限．点 P 从点 O 出发，沿 x 轴以每秒 1 个单位长的速度向点 A 匀速运动，当点 P 到达点 A 时停止运动，设点 P 运动的时间是 t 秒．将线段 BP 的中点绕点 P 按顺时针方向旋 转 60°得点 C，点 C 随点 P 的运动而运动，连接 CP、CA． （1）求点 C 的坐标（用含 t 的代数式表示）； （2）在点 P 从 O 向 A 运动的过程中，△PCA 能否成为直角三角形？若能，求 t 的值．若不 能，请说明理由； （3）点 P 从点 O 运动到点 A 时，点 C 运动路线的长是多少？ A BC D A′ B′ θ 图 1 A BC A′ B′ θ 图 2 A BC A′ B′ θ 图 3 E P A B CF E G M N A B C 备用图 A B C 备用图 A B O A x y 备用图 A C B O A P x y 13．如图，直线 y＝－ 3 3 x＋2 分别交 x 轴、y 轴于 C、A 两点，将射线 AM 绕点 A 顺时针旋 转 45°得到射线 AN，D 为 AM 上的动点，B 为 AN 上的动点，点 C 在∠MAN 的内部． （1）当 AM∥x 轴，且四边形 ABCD 为梯形时，求△BCD 的面积； （2）求△BCD 周长的最小值； （3）当△BCD 的周长取得最小值，且 BD＝ 5 2 3 时，求△BCD 的面积． 14．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC : BC＝4 : 3，点 P 从点 A 出发沿 AB 方向向点 B 运动，速度为 1cm/s，同时点 Q 从点 B 出发沿 B→C→A 方向向点 A 运动，速度为 2cm/s，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动． （1）设点 P 的运动时间为 x（s），△PBQ 的面积为 y（cm2），当△PBQ 存在时，求 y 与 x 的 函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （2）当点 Q 在 CA 上运动，使 PQ⊥AB 时，以点 B、P、Q 为顶点的三角形与△ABC 是否相似， 请说明理由； （3）当 x＝5s 时，在直线 PQ 上是否存在一点 M，使△BCM 的周长最小，若存在，求出最小 周长，若不存在，请说明理由． 15．如图，在△ABC 中，AB＝5，AC＝3，cosA＝ 3 10 ，D 为射线 BA 上的动点（点 D 不与点 B 重合），DE∥BC 交射线 CA 于点 E． （1）设 CE＝x，BD＝y，求 y 与 x 的函数关系式； （2）若以线段 BD、CE 为直径的两圆相切，求 DE 的长度； （3）当点 D 在 AB 边上时，BC 边上是否存在点 F，使△ABC 与△DEF 相似？ 若存在，请求出线段 BF 的长；若不存在，请说明理由． 16．已知：在△ABC 中，BC＝2AC，∠DBC＝∠ACB，BD＝BC，CD 交线段 AB 于点 E． A x y 1O D 2 1 2 M N B 3 4C A x y 1O 2 1 2 3 4C 备用图 A x y 1O 2 1 2 3 4C 备用图 B C Q PA A B C D E （1）如图 l，当∠ACB＝90°时，则线段 DE、CE 之间的数量关系为____________________； （2）如图 2，当∠ACB＝120°时，求证：DE＝3CE； （3）如图 3，在（2）的条件下，点 F 是 BC 边的中点，连接 DF，DF 与 AB 交于点 G，△DKG 和△DBG 关于直线 DG 对称（点 B 的对称点是点 K），延长 DK 交 AB 于点 H．若 BH＝10，求 CE 的长． 17．如图，在平面直角坐标系中，点 A、B、C 的坐标分别为（0，2）、（－1，0）、（4，0）．P 是线段 OC 上的一动点（点 P 与点 O、C 不重合），过点 P 的直线 x＝t 与 AC 相交于点 Q．设 四边形 ABPQ 关于直线 x＝t 的对称的图形与△QPC 重叠部分的面积为 S． （1）点 B 关于直线 x＝t 的对称点 B′ 的坐标为___________； （2）求 S 与 t 的函数关系式． 18．在△ABC 中，∠A＝90°，点 D 在线段 BC 上，∠EDB ＝ 1 2 ∠C，BE⊥DE，垂足为 E，DE 与 AB 相交于点 F． （1）当 AB＝AC 时，（如图 1） ①∠EBF＝_________°； ②探究线段 BE 与 FD 的数量关系，并加以证明； （2）当 AB＝kAC 时（如图 2），求 BE FD 的值（用含 k 的式子表示）． 19．如图 1，在△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝BC，BD 为斜边 AC 上的中线，将△ABD 绕点 D 顺时针旋转α（0°＜α＜180°），得到△EFD，点 A 的对应点为点 E，点 B 的对应点为点 F， 连接 BE、CF． （1）判断 BE 与 CF 的位置、数量关系，并说明理由； （2）若连接 BF、CE，请直接写出在旋转过程中四边形 BFEC 能形成哪些特殊四边形； C A B D E 图 1 C A B D E 图 2 C A B D E 图 3 K H G F A B O C x y 图 1 A B C F E D 图 2 A B C F E D （3）如图 2，将△ABC 中 AB＝BC 改成 AB≠BC 时，其他条件不变，直接写出α为多少度时（1） 中的两个结论同时成立． 20．如图 11，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，BD 是 AC 边上的中线，CE⊥BD，垂足 为 E． （1）求 sin∠DCE 的值； （2）求证：∠ABD＝∠CAE； （3）若点 F 在边 AB 上，且△AEF 为等腰三角形，求 AF 的长． 21．如图，点 C 为线段 AB 上任意一点（不与 A、B 两点重合），分别以 AC、BC 为一腰在 AB 的同侧作等腰△ACD 和等腰△BCE，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD 与∠BCE 都是锐角且∠ACD＝∠BCE， 连接 AE 交 CD 于点 M，连接 BD 交 CE 于点 N，AE 与 BD 交于点 P，连接 PC． （1）求证：△ACE≌△DCB； （2）请你判断△AMC 与△DMP 的形状有何关系并说明理由； （3）求证：∠APC＝∠BPC． 22．如图①，P 为△ABC 内一点，连接 PA、PB、PC，在△PAB、△PBC 和△PAC 中，如果存在 一个三角形与△ABC 相似，那么就称 P 为△ABC 的自相似点． （1）如图②，已知 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠ACB＞∠A，CD 是 AB 上的中线，过点 B 作 BE⊥CD，垂足为 E，试说明 E 是△ABC 的自相似点； （2）在△ABC 中，∠A＜∠B＜∠C． ①如图③，利用尺规作出△ABC 的自相似点 P（写出作法并保留作图痕迹）； ②若△ABC 的内心 P 是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数． A B C F E D 图 1 A B C D 备用图 A B C D 图 2 A B C D E BA C P E D M N A B C A A C CB B ① ② ③ D EP 23．如图①，在△ABC 中，AB＝AC，BC＝a cm，∠B＝30°．动点 P 以 1cm/s 的速度从点 B 出发，沿折线 B－A－C 运动到点 C 时停止运动．设点 P 出发 x s 时，△PBC 的面积为 y cm2．已 知 y 与 x 的函数图象如图②所示，请根据图中信息，解答下列问题： （1）试判断△DOE 的形状，并说明理由； （2）当 a 为何值时，△DOE 与△ABC 相似？ 24．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，点 D 为 AC 中点，点 E 为边 AB 上一动点， 点 F 为射线 BC 上一动点，且∠FDE＝90°． （1）当 DF∥AB 时，连接 EF，求 cos∠DEF 的值； （2）当点 F 在线段 BC 上时，设 AE＝x，BF＝y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （3）连接 CE，若△CDE 为等腰三角形，求 BF 的长． 25．某课题研究小组就图形面积问题进行专题研究，他们发现如下结论： （1）有一条边对应相等的两个三角形的面积之比等于这条边上的对应高之比； （2）有一个角对应相等的两个三角形的面积之比等于夹这个角的两边乘积之比； … 现请你继续对下面问题进行探究，探究过程可直接应用上述结论．（S 表示面积） 问题 1：如图 1，现有一块三角形纸板 ABC，P1，P2 三等分边 AB，R1，R2 三等分边 AC．经探究 知 S 四边形 P1R1R2P2 ＝ 1 3 S△ABC ，请证明． 问题 2：若有另一块三角形纸板，可将其与问题 1 中的△ABC 拼合成四边形 ABCD，如图 2， Q1，Q2 三等分边 DC．请探究 S 四边形 P1Q1Q2P2 与 S 四边形 ABCD 之间的数量关系． 问题 3：如图 3，P1，P2，P3，P4 五等分边 AB，Q1，Q2，Q3，Q4 五等分边 DC．若 S 四边形 ABCD ＝1， 求 S 四边形 P2Q2Q3P3 ． 问题 4：如图 4，P1，P2，P3 四等分边 AB，Q1，Q2，Q3 四等分边 DC，P1Q1，P2Q2，P3Q3 将四边形 ABCD 分成四个部分，面积分别为 S1，S2，S3，S4．请直接写出含有 S1，S2，S3，S4 的一个等式． 图① 图② A B C P D EO x y 1 1 A C B D E F 图 1 图 2 图 3 图 4 A C BP1 P2 R2 R1 R1 R2 P1 P2 Q1 Q2 A C B D Q1 Q2 CD P1 P2A BP3 P4 Q3 Q4 Q1 Q2 CD P1 P2A BP3 Q3 26．在平面直角坐标系中，直线 y＝ 2 3 3 kx＋m（－ 1 2 ≤k ≤ 1 2 ）经过点 A（2 3，4），与 y 轴相交于点 C，点 B 坐标为（0，7）．记△ABC 的面积为 S． （1）求 m 的取值范围； （2）求 S 关于 m 的函数关系式； （3）当 S 取得最大值时，将△ABC 沿 AC 翻折得到△AB′C，求点 B′ 的坐标． 27．如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝3cm，CB＝4cm．点 P、Q 分别是 AB、CB 上动点， 它们分别从 A、C 同时出发向 B 点匀速移动，移动速度为 1cm/秒，设 P、Q 移动时间为 t 秒 （0≤t≤4）． （1）当∠CPQ＝90°时，求 t 的值； （2）是否存在 t，使△CPQ 成为等边三角形？若存在，求出 t 的值；若不存在，能否改变 Q 的运动速度（P 的速度不变），使△CPQ 成为等边三角形？如何改变？并求出相应的 t 值． 28．如图，在△ABC 中，∠ABC＝∠BAC＝72°，将△ABC 绕点 A 顺时针旋转α度（36°＜α ＜180°）得到△ADE，连接 CE，线段 BD（或其延长线）分别交 AC、CE 于点 G、F． （1）求证：△ABG∽△FCG； （2）在旋转的过程中，是否存在某一时刻，使得△ABG 与△FCG 全等？若存在，求出此时旋 转角α的大小；若不存在，说明理由． A C B P Q A C B D E F G 29．已知 Rt△ABC 中，∠ACB＝90º，BC＝5，tan∠A＝ 3 4 ．将△ABC 绕点 C 逆时针旋转α（45° ＜α＜135°）得到△DCE，设直线 DE 与直线 AB 相交于点 P，连接 CP． （1）如图 1，当 CD⊥AB 时，求证：PC 平分∠EPA； （2）如图 2，当点 P 在边 AB 上时，求证：PE＋PB＝6； （3）在△ABC 旋转过程中，连接 BE，当△BCE 的面积为 25 4 3 时，求∠BPE 的度数及 PB 的 长． 30．已知△ABC 中，点 D 在 AC 上，点 E 在 BC 上，且 DE∥AB．将△CDE 绕点 C 按顺时针方向 旋转得到△CD′E′（∠BCE′＜180°），连接 AD′、BE′，设直线 BE′ 与 AC、AD′ 分别 交于点 O、F． （1）如图 1，若△ABC 为等边三角形，则 AD′ BE′ 的值为________，∠AFB 的度数为________； （2）如图 2，若△ABC 满足∠ACB＝60°，AC＝ 3，BC＝ 2． ①求 AD′ BE′ 的值和∠AFB 的度数； ②若 E 是 BC 的中点，求△OBC 面积的最大值． 31．如图 1，△ABC 与△EFD 为等腰直角三角形，AC 与 DE 重合，AB＝AC＝EF＝9，∠BAC＝ ∠DEF＝90º．固定△ABC，将△DEF 绕点 A 顺时针旋转，当 DF 边与 AB 边重合时，旋转中止．现 不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设 DE，DF（或它们的延长线）分别交 BC（或它的延 长线）于 G，H 点，如图 2． （1）始终与△AGC 相似的三角形有___________和___________； （2）在图 2 中，设 CG＝x，BH＝y，求 y 关于 x 的函数关系式； （3）当 x 为何值时，△AGH 是等腰三角形？ AC B D E F P 图 1 AC B D E F P 图 2 AC B 备用图 D A F CB O D′ E E′ 图 1 D A F CB O D′ E E′ 图 2 A B C F(D) (E) A B C F (D) H E G 32．如图 1，已知线段 AB 的长为 2a，点 P 是 AB 上的动点（P 不与 A、B 重合），分别以 AP、 PB 为边向线段 AB 的同一侧作正△APC 和正△PBD． （1）当△APC 与△PBD 的面积之和取最小值时，AP＝_________；（直接写出结果） （2）连结 AD、BC 相交于点 Q，设∠AQC＝α，那么α的大小是否随点 P 的移动而变化？请 说明理由； （3）如图 2，若点 P 固定，将△PBD 绕点 P 按顺时针方向旋转（旋转角小于 180°），此时 α的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明） 33．已知直线 l 经过 A（6，0）和 B（0，12）两点，且与直线 y＝x 交于点 C． （1）求直线 l 的解析式； （2）若点 P（x，0）在线段 OA 上运动，过点 P 作 l 的平行线交直线 y＝x 于 D，求△PCD 的 面积 S 与 x 的函数关系式；S 有最大值吗？若有，求出当 S 最大时 x 的值； （3）若点 P（x，0）在 x 轴上运动，是否存在点 P，使得△PCA 成为等腰三角形？若存在， 请写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 34．如图，Rt△ABC 中，∠A＝30°，BC＝10cm，点 Q 在线段 BC 上从 B 向 C 运动，点 P 在线 段 BA 上从 B 向 A 运动．Q、P 两点同时出发，运动的速度相同，当点 Q 到达点 C 时，两点都 A C BP DQ 图 1 A C B P DQ 图 2 A C B P D O x l y 停止运动．作 PM⊥PQ 交 CA 于点 M，过点 P 分别作 BC、CA 的垂线，垂足分别为 E、F． （1）求证：△PQE∽△PMF； （2）当点 P、Q 运动时，请猜想线段 PM 与 MA 的大小有怎样的关系？并证明你的猜想； （3）设 BP＝x，△PEM 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数关系式，当 x 为何值时，y 有最大值， 并将这个值求出来． 35．如图 1，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC，D 是 AB 边上一点，E 是 AC 边上的一个动 点（与点 A、C 不重合），DF⊥DE，DF 与射线 BC 相交于点 F． （1）如图 2，若点 D 是边 AB 的中点，求证：DE＝DF； （2）若 AD : DB＝m，求 DE : DF 的值； （3）若 AC＝BC＝6，AD : DB＝1 : 2，设 AE＝x，BF＝y． ①求 y 关于 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； ②以 CE 为直径的圆与直线 AB 是否可相切，若可能，求出此时 x 的值，若不可能，请说 明理由． 36．（1）如图 1，在△ABC 中，点 D、E、Q 分别在 AB、AC、BC 上，且 DE∥BC，AQ 交 DE 于点 P．求证： DP BQ ＝ PE QC ． （2）如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，正方形 DEFG 的四个顶点在△ABC 的边上，连接 AG、 AF 分别交 DE 于 M、N 两点． ①如图 2，若 AB＝AC＝1，直接写出 MN 的长； ②如图 3，求证：MN 2＝DM·EN． MF B PE Q AC 30° BDA C 图 1 E F BDA C 图 2 E F BDA C 备用图 BDA C 备用图 B Q A C D EP 图 1 B G A C D E 图 3 F MN B G A C D EM 图 2 F N 37．如图，D 是△ABC 的边 BC 的中点，过 AD 延长线上的点 E 作 AD 的垂线 EF，E 为垂足，EF 与 AB 的延长线相交于点 F，点 O 在 AD 上，AO＝CO，BC∥EF． （1）证明：AB＝AC； （2）证明：点 O 是△ABC 的外接圆的圆心； （3）当 AB＝5，BC＝6 时，连接 BE，若∠ABE＝90°，求 AE 的长． 38．两个大小相同且含 30°角的三角板 ABC 和 DEC 如图①摆放，使直角顶点重合．将图① 中△DEC 绕点 C 逆时针旋转 30°得到图②，点 F、G 分别是 CD、DE 与 AB 的交点，点 H 是 DE 与 AC 的交点． （1）不添加辅助线，写出图②中所有与△BCF 全等的三角形； （2）将图②中的△DEC 绕点 C 逆时针旋转 45°得△D1E1C，点 F、G、H 的对应点分别为 F1、 G1、H1，如图③．探究线段 D1F1 与 AH1 之间的数量关系，并写出推理过程； （3）在（2）的条件下，若 D1E1 与 CE 交于点 I，求证：G1I＝CI． 39．已知△ABC 是等腰直角三角形，∠A＝90°，D 是腰 AC 上的一个动点，过 C 作 CE 垂直于 BD 或 BD 的延长线，垂足为 E，如图 1． （1）若 BD 是 AC 的中线，如图 2，求 BD CE 的值； （2）若 BD 是∠ABC 的角平分线，如图 3，求 BD CE 的值； B F A CD O E 图① B A C D E 图② BF A C D E H G 图③ BF A C D E H GF1 G1 D1 H1 I E1 （3）结合（1）、（2），请你推断 BD CE 的值的取值范围（直接写出结论，不必证明），并探究 BD CE 的值能小于 4 3 吗？若能，求出满足条件的 D 点的位置；若不能，请说明理由． 40．Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，M 为 AB 中点，将线段 BM 绕点 B 顺时针旋转 90°，得到线 段 BP，连接 AP、CP，CP 交 AB 于点 N（如图 1）． （1）若 AC＝BC，求证：△NPB∽△PAB； （2）若 BC＝2，当 AC 的长为多少时，△ACB∽△ABP？ （3）图 1 中，当点 A 沿直线 AC 向下运动（其余条件不变）时，Rt△ABC、△PAB、△PBC 都 会变化（如图 2），若点 A 一直运动到 BC 下方，请在图 3 中画出相应的图形．若 BC＝2，设 AC＝x，△BCP 的面积为 S1，△PAB 的面积为 S2，试问 S1、S2 是否都为定值？若是，求出这个 定值；若不是，求出其关于 x 的函数关系式． 41．如图（1），在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为 D，点 E 在 AC 上，BE 交 CD 于点 G，EF⊥BE 交 AB 于点 F．若 AC＝mBC，CE＝nEA（m，n 为实数）． 试探究线段 EF 与 EG 的数量关系． （1）如图（2），当 m＝1，n＝1 时，EF 与 EG 的数量关系是____________； 证明： （2）如图（3），当 m＝1，n 为任意实数时，EF 与 EG 的数量关系是____________； 证明： （3）如图（1），当 m，n 为任意实数时，EF 与 EG 的数量关系是____________．（写出关系 式，不必证明） （图 1）B A C D E （图 2）B A C D E （图 3）B A C D E 图 1 C A B N M P M BC A 图 3图 2 C A B M P 图（1） C A BF D GE 图（2） C A BF D G E 图（3） C A BF D G E 42．如图，已知在△ABC 中，AB＝4，BC＝2，以点 B 为圆心，BC 长为半径的弧交边 AC 于点 D，且∠DBC＝∠BAC．P 是边 BC 延长线上一点，过点 P 作 PQ⊥BP，交 BD 的延长线于点 Q．设 CP＝x，DQ＝y． （1）求 CD 的长； （2）求 y 关于 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （3）若∠DAQ＝2∠BAC，求 CP 的长． 43．如图，在平面直角坐标系中，等边△OAB 的边长是 12，点 A 在第一象限，OB 边在 x 轴 的正半轴上．将△OAB 沿直线 CD：y＝kx＋b 折叠，使点 A 落在 x 轴上的点 E 处． （1）若点 A 恰好落在线段 OB 上（不包括 O、B），△OCE 与△BED 相似吗？为什么？若 OE:EB ＝2 : 3，求 CE : DE 的值； （2）①若点 C 是 OA 的中点，AD＝2DB，试判断以 CD 为直径的圆与 x 轴的位置关系，并说明 理由； ②若点 C、D 分别在线段 OA、AB 上，试求 b 的取值范围； （3）当点 E 从点 O 移动到点 B 时，点 D 运动的总路线长为多少？ 44．Rt△ABC 的直角顶点 B 在 Rt△DEF 的斜边 DF 上，已知 AB＝DF，DE＝EF，∠A＝30°．固 定△DEF 不动，将△ABC 绕点 B 旋转，并使边 AB 与边 DE 交于点 P，边 BC 与边 EF 于点 Q． （1）如图 1，若 FB BD ＝m，求 BP BQ 的值，并确定 m 的取值范围； （2）若 DF＝30， FB BD ＝2，连接 PQ，设△BPQ 的面积为 S，在旋转过程中： ①如图 2，当点 E 恰好落在边 AC 上时，求 AE 的长； ②S 是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，请说明理由； ③随着 S 取不同的值，对应△BPQ 的个数有哪些变化？求相应 S 值的取值范围． A B C D Q P O E D A B C x y Q ME M D M F M B M A M P M C M图 1 Q ME M D M F M B M A M P M C M图 2 H M 45．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，D，E 分别为 CA，CB 延长线上的点，AE 与 BD 相交于 点 F． （1）若 BE＝AC，AD＝CE，求∠AFD 的度数； （2）若 BE＝ 3 3 AC，AD＝ 3 3 CE，求∠AFD 的度数． 46．已知：△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，点 M 是 CE 的中点， 连接 BM． （1）如图①，点 D 在 AB 上，连接 DM，猜想 BD 与 BM 的数量关系，并说明理由； （2）如图②，点 D 不在 AB 上，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立， 请直接写出此时 BD 与 BM 的数量关系． 47．如图，在四边形 ABCD 中，∠C＝90°，∠ABD＝∠DBC＝30°，E 在 BC 上，AE⊥BC，且 ∠ADE＝60°． （1）求证：CD＝EC； （2）若 BE＝1，求 AD、BC、CD 的长． 48．如图，△ABC 与△BCD 均为等边三角形，过 D 点的直线与 AB 交于点 M，与 CA 的延长线 交于点 N，CM 与 BN 交于点 E，求∠BEC 的度数． A C B A B C D M E M 图① M M A B C D ME M M M 图② A B C D M E M A C E B D M N 49．已知△ABC 是锐角三角形． （1）求证：2sinA＞cosB+cosC； （2）若点 M 在边 AC 上，作△ABM 和△CBM 的外接圆，则当 M 在什么位置时，两外接圆的公 共部分面积最小？ 50．如图，△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，AD 的垂直平分线交 AD 于点 E，交 BC 的延长 线于点 F． （1）求证：DF 2＝BF·CF； （2）若 AB AC ＝ 5 3 ，求 BC CF 的值． 51．在△ABC 中，点 M 为 BC 的中点． （1）如图 1，求证：AM＜ 1 2 (AB＋AC)； （2）延长 AB 到 D，使得 BD＝AC，延长 AC 到 E，使得 CE＝AB，连接 DE． ①如图 2，连接 BE，若∠BAC＝60°，请你探究线段 BE 与线段 AM 之间的数量关系．写出 你的结论，并加以证明； ②请在图 3 中证明：BC ≥ 1 2 DE． 52．如图①，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2 3，D、E 两点分别在 AC、BC 上，且 DE∥AB，CD＝2 2．将△CDE 绕点 C 顺时针旋转，得到△CD′E′（如图②，点 D′、E′分 别与点 D、E 对应），点 E′ 在 AB 上，D′E′ 与 AC 相交于点 F． （1）求∠ACE′ 的度数； （2）求证：四边形 ABCD′ 是梯形； （3）求△AD′F 的面积． A CB E D F A C B M 图 1 A C B M D E 图 2 A C B M D E 图 3 图① A B CE D 图② A B C E′ D′ F 53．如图，在△ABC 中，∠ABC＝45°，点 D 在边 BC 上，且∠ADC＝60°，BD ＝ 1 2 CD．将 △ACD 沿 AD 折叠，得到△AC′D，连接 BC′． （1）求证：BC′⊥BC； （2）求∠C 的大小． 54．已知等边三角形 ABC 中，点 D、E、F 分别为 AB、AC、BC 边的中点，P 为直线 BC 上的动 点，以 DP 为一边在 DP 的右侧作等边三角形 DPQ． （1）如图，当点 P 在 BC 边上时，请你判断 PF 与 QE 有怎样的数量关系？点 F 是否在直线 QE 上？说明理由； （2）当点 P 在 CB 的延长线或 BC 的延长线上时，你在（1）中得到的结论是否仍然成立？说 明理由． 55．如图，直角三角板 ABC 中，∠A＝30°，BC＝1，将三角板 ABC 绕直角顶点 C 逆时针旋转 一个角度α（0°＜α＜120°且α≠90°），得到 Rt△A′B′C． （1）当 A′B′边经过点 B 时，求旋转角α的大小； （2）在三角板旋转的过程中，边 A′C 与直线 AB 交于点 D，过点 D 作 DE∥A′B′ 交 CB′ 边 于点 E，连接 BE． ①当 0°＜α＜90°时，设 AD＝x，BE＝y，求 y 与 x 之间的函数关系式； ②当 S△BDE ＝ 1 3 S△ABC 时，求 AD 的长． 56．如图，在平面直角坐标系中，直线 y＝－ 4 3 x＋b 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，且 A B CD C′ B C D E A FP Q B C D E A 备用图 F B C D E A 备用图 F AC B 备用图 AC B A′ B′ α AC B 备用图 B 点的坐标为（0，8），直线 AC 交线段 OB 于点 C（0，n）． （1）过 C 点作 CD⊥AB 于 D 点，CD＝m，求 m 与 n 的函数关系式； （2）将△AOC 沿着 AC 翻折，使点 O 落在 AB 上． ①求点 C 的坐标； ②P 是直线 AC 上的点，在 x 轴上方的平面内是否存在点 Q，使得以 O、C、P、Q 为顶点的 四边形为菱形？若存在，求点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 57．如图 1 所示，直线 y＝－x＋9 与 x 轴、y 轴交于 B、A 两点，直线 y＝－ 2 3 x－4 与 x 轴、 y 轴交于 C、D 两点，E（4，0），直线 l 过 B 点且垂直于 x 轴，P 是直线l 上一点（与 B 点不 重合），连结 AP． （1）求 A、C 两点的坐标； （2）设 M 是 AP 的中点，若 ME＝5，猜想∠CME 的度数，并说明理由； （3）如图 2 所示，连结 PE，求△PCE 外接圆面积的最小值，并求△PCE 外接圆面积最小时， 圆心 G 的坐标． 58．在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝α，点 D 是 BC 上一动点（不与 B、C 重合），将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转α后到达 AE 位置，连接 DE、CE，设∠BCE＝β． （1）如图 1，若α＝90°，求β的大小； （2）如图 2，当点 D 在线段 BC 上运动时，试探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论； （3）当点 D 在线段 BC 的反向延长线上运动时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请证 明，若不成立，请写出α与β之间的数量关系，并说明理由． O x y A B 图 2 O A B x y C D P E l 图 1 O A B x y C D P E l M E D CB A 图 1 E D CB A 图 2 59．已知：在平面直角坐标系中，直线 y＝kx＋4 与 y 轴、x 轴分别交于 A、B 两点，点 C 的 坐标为（10，0）． （1）如图①，若 k＝－1，在直线 y＝kx＋4 上求点 P，使∠OPC＝90°； （2）若在直线 y＝kx＋4 上只存在一个点 P，使∠OPC＝90°，求 k 的值． 60．如图 1，△ABC 和△DEF 均为等边三角形，BC 和 EF 的中点均为 O． （1）将△DEF 绕点 O 旋转到图 2 的位置时，试判断 AD 与 CF 的位置关系，并证明你的结论； （2）将△DEF 绕点 O 旋转一周，若顶点 D 与 AC 只有一个交点，且 AB＝4，求△COF 的面积． 61．把 Rt△ABC 和 Rt△DEF 按如图（1）摆放（点 C 与 E 重合），点 B、C（E）、F 在同一条直 线上．已知：∠ACB＝∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，AC＝8cm，BC＝6cm，EF＝10cm．如图（2）， △DEF 从图（1）的位置出发，以 1cm/s 的速度沿 CB 向△ABC 匀速移动，在△DEF 移动的同 时，点 P 从△ABC 的顶点 A 出发，以 2cm/s 的速度沿 AB 向点 B 匀速移动；当点 P 移动到点 B 时，点 P 停止移动，△DEF 也随之停止移动．DE 与 AC 交于点 Q，连结 PQ，设移动时间为 t （s）． （1）用含 t 的代数式表示线段 AP 和 AQ 的长，并写出 t 的取值范围； （2）连结 PE，设四边形 APEQ 的面积为 y（cm2），试探究 y 的最大值； （3）当 t 为何值时，△APQ 是等腰三角形？ C A O B x M y M 图① CO x M y M 备用图 C A B E M D M O M F M 图 1 C A B E M D M O M F M图 2 C A B E M D M O M F M图 3 (E) A B D C F 图（1） A B D C F 图（2） Q P E 62．如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB 为等边三角形，点 A 的坐标为（0，4），点 B 在第一象限，点 P 是 x 轴上的一个动点，将△AOP 绕点 A 按逆时针方向旋转，使边 AO 与 AB 重合，得到△ABC． （1）求直线 AB 的解析式； （2）当点 P 运动到点（ 3，0）时，求此时 CP 的长及点 C 的坐标； （3）是否存在点 P，使△COP 的面积等于 3 4 ？若存在，请求出符合条件的点 P 的坐标；若 不存在，请说明理由． 63．已知△ABC 为等边三角形，AB＝6，P 是 AB 上的一个动点（与 A、B 不重合），过点 P 作 AB 的垂线与 BC 相交于点 D，以点 D 为正方形的一个顶点，在△ABC 内作正方形 DEFG，其中 D、E 在 BC 上，F 在 AC 上． （1）设 BP 的长为 x，正方形 DEFG 的边长为 y，求 y 关于 x 的函数关系式； （2）当 BP＝2 时，求 CF 的长； （3）△GDP 是否可能成为直角三角形？若能，求出 BP 的长；若不能，请说明理由． 64．如图，在平面直角坐标系中，直线 l 的解析式为 y＝2x，点 M 的坐标为（6，2），MN⊥x 轴，垂足为 N，点 P 是 x 轴上位于点 N 右侧的一动点，连结 PM 并延长交直线 l 于点 Q． （1）当点 M 平分线段 PQ 时，试判断△POQ 的形状，并说明理由； （2）当△POQ 是等腰三角形时，求点 P 的坐标； （3）设 PM PQ ＝k，是否存在适当的 k 值，使得 S△PMNB S 四边形 ONMQ ＝k？若存在，求出 k 的值；若不存 在，请说明理由． O P x B y C A O x B y A 备用图 E P DB C A FG M l O N P x Q y M l O N x y （备用图） 65．在 Rt△ABC 中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点 D 是边 AB 上的一动点（不与点 A、B 重 合），过点 D 作 DE∥BC，交边 AC 于点 E． （1）如图 1，当 AD＝2BD 时，求△ADE 的面积； （2）当△ADE 的周长与四边形 BDEC 的周长相等时，求 AD 的长； （3）如图 2，将四边形 BDEC 沿 DE 向上翻折，得四边形 DEFG，设 AD 的长为 x，四边形 DEFG 与△ADE 公共部分的面积为 y，求 y 关于 x 的函数关系式，当 x 为何值时 y 最大，最大值是 多少？ ED A B C 图 2 FGED A B C 图 1