中考数学专题特训第十四讲：二次函数的同象和性质(含详细参考答案) 22页

中考数学专题复习第十四讲 二次函数的同象和性质 ‎【基础知识回顾】‎ 一、 二次函数的定义：‎ 一、 ‎ 一般地如果y= （a、b、c是常数a≠0）那么y叫做x的二次函数 ‎【提醒： 二次函数y=kx 2+bx+c(a≠0)的结构特征是：1、等号左边是函数，右边是 关 于 自 变 量x 的 二 次 式，x的 最 高 次 数 是 ， 按 一次排列 2、强调二次项系数a 0】‎ 二、二次函数的同象和性质：‎ ‎1、二次函数y=kx 2+bx+c(a≠0)的同象是一条 ，其定点坐标为 对称轴式 ‎ ‎2、在抛物y=kx 2+bx+c(a≠0)中：1、当a>0时，y口向 ，当x<-时，y随x的增大而 ，当x 时，y随x的增大而增大，2、当a<0时，开口向 当x<-时，y随x增大而增大，当x 时，y随x增大而减小 ‎【提醒：注意几个特殊形式的抛物线的特点 ‎1、y=ax2 ,对称轴 定点坐标 ‎ ‎2、y= ax2 +k，对称轴 定点坐标 ‎ ‎3、y=a(x-h) 2对称轴 定点坐标 ‎ ‎4、y=a(x-h) 2 +k对称轴 定点坐标 】‎ 三、二次函数同象的平移 ‎【提醒：二次函数的平移本质可看作是定点问题的平移，固然要掌握整抛物线的平移，只要关键的顶点平移即可】‎ 四、二次函数y= ax2+bx+c的同象与字母系数之间的关系：‎ a:开口方向 向上则a 0,向下则a 0 ｜a｜越大，开口越 ‎ b:对称轴位置，与a联系一起，用 判断b=0时，对称轴是 ‎ c:与y轴的交点：交点在y轴正半轴上，则c 0负半轴上则c 0，当c=0时，抛物点过 点 ‎【提醒：在抛物线y= ax2+bx+c中，当x=1时，y= 当x=-1时y= ,经常根据对应的函数值判考a+b+c和a-b+c的符号】‎ ‎【重点考点例析】‎ ‎ 考点一：二次函数图象上点的坐标特点 例1 （2012•常州）已知二次函数y=a（x-2）2+c（a＞0），当自变量x分别取、3、0时，对应的函数值分别：y1，y2，y3，，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（　　）‎ A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2 ‎ 思路分析：根据抛物线的性质，开口向上的抛物线，其上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，x取0时所对应的点离对称轴最远，x取 时所对应的点离对称轴最近，即可得到答案．‎ 解：∵二次函数y=a（x-2）2+c（a＞0），‎ ‎∴该抛物线的开口向上，且对称轴是x=2．‎ ‎∴抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，‎ ‎∵x取0时所对应的点离对称轴最远，x取时所对应的点离对称轴最近，‎ ‎∴y3＞y2＞y1．‎ 故选B．‎ 点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．解题时，需熟悉抛物线的有关性质：抛物线的开口向上，则抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大．‎ ‎ 对应训练 ‎1．（2012•衢州）已知二次函数y=x2-7x+，若自变量x分别取x1，x2，x3，且0＜x1＜x2＜x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系正确的是（　　）‎ A．y1＞y2＞y3 B．y1＜y2＜y3 C．y2＞y3＞y1 D．y2＜y3＜y1 ‎ ‎2．A ‎2．解：∵二次函数y=x2-7x+，‎ ‎∴此函数的对称轴为：x==，‎ ‎∵0＜x1＜x2＜x3，三点都在对称轴右侧，a＜0，‎ ‎∴对称轴右侧y随x的增大而减小，‎ ‎∴y1＞y2＞y3．‎ 故选：A．‎ 考点二：二次函数的图象和性质 例2 （2012•咸宁）对于二次函数y=x2-2mx-3，有下列说法：‎ ‎①它的图象与x轴有两个公共点；‎ ‎②如果当x≤1时y随x的增大而减小，则m=1；‎ ‎③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=-1；‎ ‎④如果当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，则当x=2012时的函数值为-3．‎ 其中正确的说法是 ．（把你认为正确说法的序号都填上）考点：二次函数的性质；二次函数图象与几何变换；抛物线与x轴的交点．‎ 思路分析：①根据函数与方程的关系解答；‎ ‎②找到二次函数的对称轴，再判断函数的增减性；‎ ‎③将m=-1代入解析式，求出和x轴的交点坐标，即可判断；‎ ‎④根据坐标的对称性，求出m的值，得到函数解析式，将m=2012代入解析式即可．‎ 解：①∵△=4m2-4×（-3）=4m2+12＞0，∴它的图象与x轴有两个公共点，故本选项正确；‎ ‎②∵当x≤1时y随x的增大而减小，∴函数的对称轴x=-≥1在直线x=1的右侧（包括与直线x=1重合），则≥1，即m≥1，故本选项错误；‎ ‎③将m=-1代入解析式，得y=x2+2x-3，当y=0时，得x2+2x-3=0，即（x-1）（x+3）=0，解得，x1=1，x2=-3，将图象向左平移3个单位后不过原点，故本选项错误；‎ ‎④∵当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，∴对称轴为x==1006，则=1006，m=1006，原函数可化为y=x2-2012x-3，当x=2012时，y=20122-2012×2012-3=-3，故本选项正确．‎ 故答案为①④（多填、少填或错填均不给分）．‎ 点评：本题考查了二次函数的性质、二次函数的图象与几何变换、抛物线与x轴的交点，综合性较强，体现了二次函数的特点．‎ 对应训练 ‎2．（2012•河北）如图，抛物线y1=a（x+2）2-3与y2=（x-3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：‎ ‎①无论x取何值，y2的值总是正数；②a=1；③当x=0时，y2-y1=4；④2AB=3AC；‎ 其中正确结论是（　　）‎ A．①② B．②③ C．③④ D．①④ ‎ ‎1．解：①∵抛物线y2=（x-3）2+1开口向上，顶点坐标在x轴的上方，∴无论x取何值，y2的值总是正数，故本小题正确；‎ ‎②把A（1，3）代入，抛物线y1=a（x+2）2-3得，3=a（1+2）2-3，解得a= ，故本小题错误；‎ ‎③由两函数图象可知，抛物线y1=a（x+2）2-3过原点，当x=0时，y2=（0-3）2+1=，故y2-y1=，故本小题错误；‎ ‎④∵物线y1=a（x+2）2-3与y2=（x-3）2+1交于点A（1，3），‎ ‎∴y1的对称轴为x=-2，y2的对称轴为x=3，‎ ‎∴B（-5，3），C（5，3）‎ ‎∴AB=6，AC=4，‎ ‎∴2AB=3AC，故本小题正确．‎ 故选D． ‎ ‎ 考点三：抛物线的特征与a、b、c的关系 例3 （2012•玉林）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x=1，有如下结论：‎ ‎①c＜1；②2a+b=0；③b2＜4ac；④若方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则x1+x2=2，‎ 则正确的结论是（　　）‎ A．①② B．①③ C．②④ D．③④‎ 思路分析：由抛物线与y轴的交点在1的上方，得到c大于1，故选项①错误；由抛物线的对称轴为x=1，利用对称轴公式得到关于a与b的关系，整理得到2a+b=0，选项②正确；由抛物线与x轴的交点有两个，得到根的判别式大于0，整理可判断出选项③错误；令抛物线解析式中y=0，得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出两根之和，将得到的a与b的关系式代入可得出两根之和为2，选项④正确，即可得到正确的选项．‎ 解：由抛物线与y轴的交点位置得到：c＞1，选项①错误；‎ ‎∵抛物线的对称轴为x==1，∴2a+b=0，选项②正确；‎ 由抛物线与x轴有两个交点，得到b2-4ac＞0，即b2＞4ac，选项③错误；‎ 令抛物线解析式中y=0，得到ax2+bx+c=0，‎ ‎∵方程的两根为x1，x2，且=1，及=2，‎ ‎∴x1+x2==2，选项④正确，‎ 综上，正确的结论有②④．‎ 故选C 点评：此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．‎ 对应训练 ‎3．（2012•重庆）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示对称轴为x=．下列结论中，正确的是（　　）‎ A．abc＞0 B．a+b=0 C．2b+c＞0 D．4a+c＜2b ‎ ‎3．D ‎3．解：A、∵开口向上，‎ ‎∴a＞0，‎ ‎∵与y轴交与负半轴，‎ ‎∴c＜0，‎ ‎∵对称轴在y轴左侧，‎ ‎∴＜0，‎ ‎∴b＞0，‎ ‎∴abc＜0，‎ 故本选项错误；‎ B、∵对称轴：x==，‎ ‎∴a=b，‎ 故本选项错误；‎ C、当x=1时，a+b+c=2b+c＜0，‎ 故本选项错误；‎ D、∵对称轴为x=，与x轴的一个交点的取值范围为x1＞1，‎ ‎∴与x轴的另一个交点的取值范围为x2＜-2，‎ ‎∴当x=-2时，4a-2b+c＜0，‎ 即4a+c＜2b，‎ 故本选项正确．‎ 故选D．‎ 考点四：抛物线的平移 例4 （2012•桂林）如图，把抛物线y=x2沿直线y=x平移个单位后，其顶点在直线上的A处，则平移后的抛物线解析式是（　　）‎ A．y=（x+1）2-1 B．y=（x+1）2+1 C．y=（x-1）2+1 D．y=（x-1）2-1 ‎ 思路分析：首先根据A点所在位置设出A点坐标为（m，m）再根据AO=‎ ‎，利用勾股定理求出m的值，然后根据抛物线平移的性质：左加右减，上加下减可得解析式．‎ 解：∵A在直线y=x上，‎ ‎∴设A（m，m），‎ ‎∵OA= ，‎ ‎∴m2+m2=（）2，‎ 解得：m=±1（m=-1舍去），‎ m=1，‎ ‎∴A（1，1），‎ ‎∴抛物线解析式为：y=（x-1）2+1，‎ 故选：C．‎ 点评：此题主要考查了二次函数图象的几何变换，关键是求出A点坐标，掌握抛物线平移的性质：左加右减，上加下减．‎ 对应训练 ‎4．（2012•南京）已知下列函数①y=x2；②y=-x2；③y=（x-1）2+2．其中，图象通过平移可以得到函数y=x2+2x-3的图象的有 （填写所有正确选项的序号）．‎ ‎4．①③‎ ‎4．解：原式可化为：y=（x+1）2-4，‎ 由函数图象平移的法则可知，将函数y=x2的图象先向左平移1个单位，再向下平移4个单位即可得到函数y=（x+1）2-4，的图象，故①正确；‎ 函数y=（x+1）2-4的图象开口向上，函数y=-x2；的图象开口向下，故不能通过平移得到，故②错误；‎ 将y=（x-1）2+2的图象向左平移2个单位，再向下平移6个单位即可得到函数y=（x+1）2-4的图象，故③正确．‎ 故答案为：①③．‎ ‎【聚焦山东中考】‎ ‎1．（2012•泰安）二次函数y=a（x+m）2+n的图象如图，则一次函数y=mx+n的图象经过（　　）‎ A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 ‎ ‎1．C ‎1．解：∵抛物线的顶点在第四象限，‎ ‎∴-m＞0，n＜0，‎ ‎∴m＜0，‎ ‎∴一次函数y=mx+n的图象经过二、三、四象限，‎ 故选C．‎ ‎2．（2012•济南）如图，二次函数的图象经过（-2，-1），（1，1）两点，则下列关于此二次函数的说法正确的是（　　）‎ A．y的最大值小于0 B．当x=0时，y的值大于1‎ C．当x=-1时，y的值大于1 D．当x=-3时，y的值小于0 ‎ ‎2．D ‎2．解：A、由图象知，点（1，1）在图象的对称轴的左边，所以y的最大值大于1，不小于0；故本选项错误；‎ B、由图象知，当x=0时，y的值就是函数图象与y轴的交点，而图象与y轴的交点在（1，1）点的左边，故y＜1；故本选项错误；‎ C、对称轴在（1，1）的右边，在对称轴的左边y随x的增大而增大，∵-1＜1，∴x=-1时，y的值小于x=-1时，y的值1，即当x=-1时，y的值小于1；故本选项错误；‎ D、当x=-3时，函数图象上的点在点（-2，-1）的左边，所以y的值小于0；故本选项正确．‎ 故选D．‎ ‎3．（2012•菏泽）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=bx+c和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．C ‎3．解：∵二次函数图象开口向下，‎ ‎∴a＜0，‎ ‎∵对称轴x=＜0，‎ ‎∴b＜0，‎ ‎∵二次函数图象经过坐标原点，‎ ‎∴c=0，‎ ‎∴一次函数y=bx+c过第二四象限且经过原点，反比例函数位于第二四象限，‎ 纵观各选项，只有C选项符合．‎ 故选C．‎ ‎4．（2012•泰安）设A（-2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=-（x+1）2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）‎ A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2‎ ‎4．A ‎4．解：∵函数的解析式是y=-（x+1）2+a，如右图，‎ ‎∴对称轴是x=-1，‎ ‎∴点A关于对称轴的点A′是（0，y1），‎ 那么点A′、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边y随x的增大而减小，‎ 于是y1＞y2＞y3．‎ 故选A．‎ ‎5．（2012•烟台）已知二次函数y=2（x-3）2+1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=-3；③其图象顶点坐标为（3，-1）；④当x＜3时，y随x的增大而减小．则其中说法正确的有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎5．A ‎5．解：①∵2＞0，∴图象的开口向上，故本小题错误；‎ ‎②图象的对称轴为直线x=3，故本小题错误；‎ ‎③其图象顶点坐标为（3，1），故本小题错误；‎ ‎④当x＜3时，y随x的增大而减小，正确；‎ 综上所述，说法正确的有④共1个．‎ 故选A．‎ ‎6．（2012•日照）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列结论：①b2-4ac＞0；②2a+b＜0；③4a-2b+c=0；④a：b：c=-1：2：3．其中正确的是（　　）‎ A．①② B．②③ C．③④ D．①④‎ ‎6．D ‎6．解：由二次函数图象与x轴有两个交点，‎ ‎∴b2-4ac＞0，选项①正确；‎ 又对称轴为直线x=1，即=1，‎ 可得2a+b=0（i），选项②错误；‎ ‎∵-2对应的函数值为负数，‎ ‎∴当x=-2时，y=4a-2b+c＜0，选项③错误；‎ ‎∵-1对应的函数值为0，‎ ‎∴当x=-1时，y=a-b+c=0（ii），‎ 联立（i）（ii）可得：b=-2a，c=-3a，‎ ‎∴a：b：c=a：（-2a）：（-3a）=-1：2：3，选项④正确，‎ 则正确的选项有：①④．‎ 故选D．‎ ‎7．（2012•泰安）将抛物线y=3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（　　）‎ A．y=3（x+2）2+3 B．y=3（x-2）2+3 C．y=3（x+2）2-3 D．y=3（x-2）2-3‎ ‎7．A ‎8．（2012•潍坊）许多家庭以燃气作为烧水做饭的燃料，节约用气是我们日常生活中非常现实的问题．某款燃气灶旋转位置从0度到90度（如图），燃气关闭时，燃气灶旋转的位置为0度，旋转角度越大，燃气流量越大，燃气开到最大时，旋转角度为90度．为测试燃气灶旋转在不同位置上的燃气用量，在相同条件下，选择燃气灶旋钮的5个不同位置上分别烧开一壶水（当旋钮角度太小时，其火力不能够将水烧开，故选择旋钮角度x度的范围是18≤x≤90），记录相关数据得到下表： ‎ 旋钮角度（度）‎ ‎20‎ ‎50‎ ‎70‎ ‎80‎ ‎90‎ 所用燃气量（升）‎ ‎73‎ ‎67‎ ‎83‎ ‎97‎ ‎115‎ ‎（1）请你从所学习过的一次函数、反比例函数和二次函数中确定哪种函数能表示所用燃气量y升与旋钮角度x度的变化规律？说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式；‎ ‎（2）当旋钮角度为多少时，烧开一壶水所用燃气量最少？最少是多少？‎ ‎（3）某家庭使用此款燃气灶，以前习惯把燃气开到最大，现采用最节省燃气的旋钮角度，每月平均能节约燃气10立方米，求该家庭以前每月的平均燃气量．‎ ‎8．解：（1）若设y=kx+b（k≠0），‎ 由，‎ 解得，‎ 所以y=x+77，把x=70代入得y=65≠83，所以不符合；‎ 若设（k≠0），由73=，解得k=1460，‎ 所以y=，把x=50代入得y=29.2≠67，所以不符合；‎ 若设y=ax2+bx+c，‎ 则由，‎ 解得 ，‎ 所以y=x2-x+97（18≤x≤90），‎ 把x=80代入得y=97，把x=90代入得y=115，符合题意．‎ 所以二次函数能表示所用燃气量y升与旋钮角度x度的变化规律；‎ ‎（2）由（1）得：y=x2-x+97=（x-40）2+65，‎ 所以当x=40时，y取得最小值65．‎ 即当旋钮角度为40°时，烧开一壶水所用燃气量最少，最少为65升；‎ ‎（3）由（2）及表格知，采用最节省燃气的旋钮角度40度比把燃气开到最大时烧开一壶水节约用气115-65=50（升）‎ 设该家庭以前每月平均用气量为a立方米，则由题意得：‎ a=10，‎ 解得a=23（立方米），‎ 即该家庭以前每月平均用气量为23立方米．‎ ‎【备考真题过关】‎ 一、选择题 ‎1．（2012•白银）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是（　　）‎ A．x＜-1 B．x＞3 C．-1＜x＜3 D．x＜-1或x＞3‎ ‎1．C ‎2．（2012•兰州）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，若|ax2+bx+c|=k（k≠0）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）‎ A．k＜-3 B．k＞-3 C．k＜3 D．k＞3‎ ‎2．D ‎2．解：根据题意得：y=|ax2+bx+c|的图象如右图：‎ 所以若|ax2+bx+c|=k（k≠0）有两个不相等的实数根，‎ 则k＞3，‎ 故选D．‎ ‎3．（2012•德阳）设二次函数y=x2+bx+c，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c的取值范围是（　　）‎ A．c=3 B．c≥3 C．1≤c≤3 D．c≤3‎ ‎3．B ‎3．解：∵当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，‎ ‎∴函数图象过（1，0）点，即1+b+c=0①，‎ ‎∵当1≤x≤3时，总有y≤0，‎ ‎∴当x=3时，y=9+3b+c≤0②，‎ ‎①②联立解得：c≥3，‎ 故选B．‎ ‎4．（2012•北海）已知二次函数y=x2-4x+5的顶点坐标为（　　）‎ A．（-2，-1） B．（2，1） C．（2，-1） D．（-2，1）‎ ‎4．B ‎5．（2012•广元）若二次函数y=ax2+bx+a2-2（a、b为常数）的图象如图，则a的值为（　　）‎ A．1 B． C．- D．-2‎ ‎5．C ‎1．（2012•西宁）如同，二次函数y=ax2+bx+c的图象过（﹣1，1）、（2，﹣1）两点，下列关于这个二次函数的叙述正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 当x=0时，y的值大于1‎ B．‎ 当x=3时，y的值小于0‎ ‎　‎ C．‎ 当x=1时，y的值大于1‎ D．‎ y的最大值小于0‎ 考点：‎ 二次函数的图象。810360 ‎ 专题：‎ 数形结合。‎ 分析：‎ 观察二次函数图象当x＞﹣1时，函数值y随x的增大而减小，对各选项分析判断后利用排除法求解．‎ 解答：‎ 解：由图可知，当x＞﹣1时，函数值y随x的增大而减小，‎ A、当x=0时，y的值小于1，故本选项错误；‎ B、当x=3时，y的值小于0，故本选项正确；‎ C、当x=1时，y的值小于1，故本选项错误；‎ D、y的最大值不小于1，故本选项错误．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数图象，仔细观察图象，利用二次函数的增减性解答即可．‎ ‎6．（2012•巴中）对于二次函数y=2（x+1）（x-3），下列说法正确的是（　　）‎ A．图象的开口向下 B．当x＞1时，y随x的增大而减小 ‎ C．当x＜1时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴是直线x=-1 ‎ ‎6．C ‎6．解：二次函数y=2（x+1）（x-3）可化为y=2（x-1）2-8的形式，‎ A、∵此二次函数中a=2＞0，∴抛物线开口向上，故本选项错误；‎ B、∵由二次函数的解析式可知，此抛物线开口向上，对称轴为x=1，∴当x＞1时，y随x的增大而增大，故本选项错误；‎ C、∵由二次函数的解析式可知，此抛物线开口向上，对称轴为x=1，∴当x＜1时，y随x的增大而减小，故本选项正确；‎ D、由二次函数的解析式可知抛物线对称轴为x=1，故本选项错误．‎ 故选C．‎ ‎7．（2012•天门）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（-1，0），（3，0）．对于下列命题：①b-2a=0；②abc＜0；③a-2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有（　　）‎ A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 ‎7．B ‎7．解：根据图象可得：a＞0，c＜0，‎ 对称轴：＞0，‎ ‎①∵它与x轴的两个交点分别为（-1，0），（3，0），‎ ‎∴对称轴是x=1，‎ ‎∴=1，‎ ‎∴b+2a=0，‎ 故①错误；‎ ‎②∵a＞0，‎ ‎∴b＜0，‎ ‎∵c＜0，‎ ‎∴abc＞0，故②错误；‎ ‎③∵a-b+c=0，‎ ‎∴c=b-a，‎ ‎∴a-2b+4c=a-2b+4（b-a）=2b-3a，‎ 又由①得b=-2a，‎ ‎∴a-2b+4c=-7a＜0，‎ 故此选项正确；‎ ‎④根据图示知，当x=4时，y＞0，‎ ‎∴16a+4b+c＞0，‎ 由①知，b=-2a，‎ ‎∴8a+c＞0；‎ 故④正确；‎ 故正确为：③④两个．‎ 故选：B．‎ ‎8．（2012•乐山）二次函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（-1，0）．设t=a+b+1，则t值的变化范围是（　　）‎ A．0＜t＜1 B．0＜t＜2 C．1＜t＜2 D．-1＜t＜1‎ ‎8．B ‎8．解：∵二次函数y=ax2+bx+1的顶点在第一象限，‎ 且经过点（-1，0），‎ ‎∴易得：a-b+1=0，a＜0，b＞0，‎ 由a=b-1＜0得到b＜1，结合上面b＞0，所以0＜b＜1①，‎ 由b=a+1＞0得到a＞-1，结合上面a＜0，所以-1＜a＜0②，‎ ‎∴由①②得：-1＜a+b＜1，且c=1，‎ 得到0＜a+b+1＜2，‎ ‎∴0＜t＜2．‎ 故选：B．‎ ‎9．（2012•扬州）将抛物线y=x2+1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是（　　）‎ A．y=（x+2）2+2 B．y=（x+2）2-2 C．y=（x-2）2+2 D．y=（x-2）2-2‎ ‎9．B ‎10．（2012•宿迁）在平面直角坐标系中，若将抛物线y=2x2-4x+3先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（　　）‎ A．（-2，3） B．（-1，4） C．（1，4） D．（4，3）‎ ‎10．D ‎11．（2012•陕西）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2-x-6向上（下）或向左（右）平移m个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则|m|的最小值为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．6‎ ‎11．B ‎11．解：当x=0时，y=-6，故函数与y轴交于C（0，-6），‎ 当y=0时，x2-x-6=0，即（x+2）（x-3）=0，‎ 解得x=-2或x=3，‎ 即A（-2，0），B（3，0）；‎ 由图可知，函数图象至少向右平移2个单位恰好过原点，‎ 故|m|的最小值为2．‎ 故选B．‎ 二、填空题 ‎12．（2012•玉林）二次函数y=-（x-2）2+的图象与x轴围成的封闭区域内（包括边界），横、纵坐标都是整数的点有 个（提示：必要时可利用下面的备用图画出图象来分析）．‎ ‎12．7‎ ‎12．解：∵二次项系数为-1，‎ ‎∴函数图象开口向下，‎ 顶点坐标为（2，），‎ 当y=0时，-（x-2）2+=0，‎ 解得x1=，得x2=．‎ 可画出草图为：（右图）‎ 图象与x轴围成的封闭区域内（包括边界），横、纵坐标都是整数的点有7个，为（2，0），（2，1），（2，2），（1，0），（1，1），（3，0），（3，1）．‎ ‎13．（2012•长春）在平面直角坐标系中，点A是抛物线y=a（x-3）2+k与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为 ．‎ ‎13．18‎ ‎13．解：∵抛物线y=a（x-3）2+k的对称轴为x=3，且AB∥x轴，‎ ‎∴AB=2×3=6，‎ ‎∴等边△ABC的周长=3×6=18．‎ 故答案为：18．‎ ‎14．（2012•孝感）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x=1，其图象的一部分如图所示．对于下列说法：‎ ‎①abc＜0； ②a-b+c＜0； ③3a+c＜0； ④当-1＜x＜3时，y＞0．‎ 其中正确的是 （把正确的序号都填上）．‎ ‎14．①②③‎ ‎14．解：根据图象可得：a＜0，c＞0，‎ 对称轴：x==1，‎ ‎=-1，‎ b=-2a，‎ ‎∵a＜0，‎ ‎∴b＞0，‎ ‎∴abc＜0，故①正确；‎ 把x=-1代入函数关系式y=ax2+bx+c中得：y=a-b+c，‎ 由图象可以看出当x=-1时，y＜0，‎ ‎∴a-b+c＜0，故②正确；‎ ‎∵b=-2a，‎ ‎∴a-（-2a）+c＜0，‎ 即：3a+c＜0，故③正确；‎ 由图形可以直接看出④错误．‎ 故答案为：①②③．‎ ‎15．（2012•苏州）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y=（x-1）2+1的图象上，若x1＞x2＞1，则 （填“＞”、“＜”或“=”）． ‎ ‎15．y1＞y2‎ ‎15．解：由二次函数y=（x-1）2+1可，其对称轴为x=1，‎ ‎∵x1＞x2＞1，‎ ‎∴两点均在对称轴的右侧，‎ ‎∵此函数图象开口向上，‎ ‎∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大，‎ ‎∵x1＞x2＞1，‎ ‎∴y1＞y2．‎ 故答案为：＞．‎ ‎16．（2012•成都）有七张正面分别标有数字-3，-2，-1，0，l，2，3的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的一元二次方程x2-2（a-1）x+a（a-3）=0有两个不相等的实数根，且以x为自变量的二次函数y=x2-（a2+1）x-a+2的图象不经过点（1，0）的概率是 ．‎ ‎16．‎ ‎16．解：∵x2-2（a-1）x+a（a-3）=0有两个不相等的实数根，‎ ‎∴△＞0，‎ ‎∴[-2（a-1）]2-4a（a-3）＞0，‎ ‎∴a＞-1，‎ 将（1，0）代入y=x2-（a2+1）x-a+2得，a2+a-2=0，‎ 解得（a-1）（a+2）=0，‎ a1=1，a2=-2．‎ 可见，符合要求的点为0，2，3．‎ ‎∴P=3 7 ．‎ 故答案为．‎ ‎17．（2012•上海）将抛物线y=x2+x向下平移2个单位，所得抛物线的表达式是 ．‎ ‎17．y=x2+x-2‎ ‎18．（2012•宁波）把二次函数y=（x-1）2+2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为 ．‎ ‎18．y=-（x+1）2-2‎ ‎18．解：二次函数y=（x-1）2+2顶点坐标为（1，2），‎ 绕原点旋转180°后得到的二次函数图象的顶点坐标为（-1，-2），‎ 所以，旋转后的新函数图象的解析式为y=-（x+1）2-2．‎ 故答案为：y=-（x+1）2-2．‎ ‎2．（2012•贵港）若直线y=m（m为常数）与函数y=的图象恒有三个不同的交点，则常数m的取值范围是　0＜m＜2　．‎ 考点：‎ 二次函数的图象；反比例函数的图象。810360 ‎ 专题：‎ 图表型。‎ 分析：‎ 首先作出分段函数y=的图象，根据函数的图象即可确定m的取值范围．‎ 解答：‎ 解：分段函数y=的图象如图：‎ 故要使直线y=m（m为常数）与函数y=的图象恒有三个不同的交点，常数m的取值范围为0＜m＜2，‎ 故答案为：0＜m＜2．‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数的图象及反比例函数的图象，首先作出分段函数的图象是解决本题的关键，采用数形结合的方法确定答案是数学上常用的方法之一．‎ ‎19．（2012•广安）如图，把抛物线y=x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（-6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为 ．‎ ‎19．‎ ‎19．解：如图，过点P作PM⊥y轴于点M，‎ ‎∵抛物线平移后经过原点O和点A（-6，0），‎ ‎∴平移后的抛物线对称轴为x=-3，‎ 得出二次函数解析式为：y=（x+3）2+h，‎ 将（-6，0）代入得出：‎ ‎0=（-6+3）2+h，‎ 解得：h=，‎ ‎∴点P的坐标是（-3，），‎ 根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形NPMO的面积，‎ ‎∴S=|-3|×||=．‎ 故答案为：．‎ 三、解答题 ‎20．（2012•柳州）已知：抛物线y=（x-1）2-3．‎ ‎（1）写出抛物线的开口方向、对称轴；‎ ‎（2）函数y有最大值还是最小值？并求出这个最大（小）值；‎ ‎（3）设抛物线与y轴的交点为P，与x轴的交点为Q，求直线PQ的函数解析式．‎ ‎20．解：（1）抛物线y=（x-1）2-3，‎ ‎∵a=＞0，‎ ‎∴抛物线的开口向上，‎ 对称轴为x=1；‎ ‎（2）∵a=＞0，‎ ‎∴函数y有最小值，最小值为-3；‎ ‎（3）令x=0，则y=（0-1）2-3=，‎ 所以，点P的坐标为（0，），‎ 令y=0，则（x-1）2-3=0，‎ 解得x1=-1，x2=3，‎ 所以，点Q的坐标为（-1，0）或（3，0），‎ 当点P（0，），Q（-1，0）时，设直线PQ的解析式为y=kx+b，‎ 则，‎ 解得，‎ 所以直线PQ的解析式为y=x，‎ 当P（0，），Q（3，0）时，设直线PQ的解析式为y=mx+n，‎ 则，‎ 解得 ，‎ 所以，直线PQ的解析式为y=x，‎ 综上所述，直线PQ的解析式为y=x或y=x．‎ ‎3．（2012•佛山）规律是数学研究的重要内容之一．‎ 初中数学中研究的规律主要有一些特定的规则、符号（数）及其运算规律、图形的数值特征和位置关系特征等方面．‎ 请你解决以下与数的表示和运算相关的问题：‎ ‎（1）写出奇数a用整数n表示的式子；‎ ‎（2）写出有理数b用整数m和整数n表示的式子；‎ ‎（3）函数的研究中，应关注y随x变化而变化的数值规律（课本里研究函数图象的特征实际上也是为了说明函数的数值规律）．‎ 下面对函数y=x2的某种数值变化规律进行初步研究：‎ xi ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎…‎ yi ‎0‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎9‎ ‎16‎ ‎25‎ ‎…‎ yi+1﹣yi ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎11‎ ‎…‎ 由表看出，当x的取值从0开始每增加1个单位时，y的值依次增加1，3，5…‎ 请回答：‎ ‎①当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值变化规律是什么？‎ ‎②当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值变化规律是什么？‎ 考点：‎ 二次函数的性质；实数。810360 ‎ 专题：‎ 规律型。‎ 分析：‎ ‎（1）n是任意整数，偶数是能被2整除的数，则偶数可以表示为2n，因为偶数与奇数相差1，所以奇数可以表示为2n+1．‎ ‎（2）根据有理数是整数与分数的统称，而所有的整数都可以写成整数的形式，据此可以得到答案；‎ ‎（3）根据图表计算出相应的数值后即可看出y随着x的变化而变化的规律；‎ 解答：‎ 解：（1）n是任意整数，则表示任意一个奇数的式子是：2n+1；‎ ‎（2）有理数b=（n≠0）；‎ ‎（3）①当x=0时，y=0，‎ 当x=时，y=，‎ 当x=1时，y=1，‎ 当x=时，y=．‎ 故当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值依次增加、、…‎ ‎②当x=0时，y=0，‎ 当x=时，y=，‎ 当x=时，y=，‎ 当x=时，y=，‎ 故当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值依次增加、、…‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数的性质及实数的性质，解题的关键是发现规律并利用规律解题．‎